2013高三文科暑期第6讲 导数及其应用 教师版

6。

1.2 导数及其几何意义必备知识·素养奠基1。

(1)定义:一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义，自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时，若平均变化率=无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x）在x=x0处的瞬时变化率,此时,也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x）在x=x0处的导数,记作f′(x0）=k.“当Δx无限接近于0时，无限接近于常数k”还可以怎样表示?提示:还可以表示为,当Δx→0时，→k，或者写成=k，即f′(x0）=。

（2）瞬时变化率f′(x0)的实际意义:当自变量在x=x0处改变量Δx 很小时,因变量对应的改变量的近似值为f′（x0)Δx。

（1)函数y=f在x=x0处的导数一定存在吗?提示：当Δx→0时，平均变化率的极限存在，则函数y=f在x=x0处可导,否则在x=x0处不可导或无导数。

(2）函数y=f在x=x0处的导数的定义还可以用别的式子表示吗?提示:还可以表示为f′==等。

2.导数的几何意义（1)割线：一般地,设S是平面上的一条曲线,P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点,则称直线PP0为曲线S的割线.(2）切线:如果P无限接近于P0时,割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l,则称直线l为曲线S在点P0处的切线.f′（x0）就是曲线y=f（x）在点（x0,f(x0）)处(也称在x=x0处）的切线的斜率.切线方程为y-f（x0）=f′（x0)（x-x0）。

（1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？提示：曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个，甚至可以有无穷多个。

（2）曲线的切线与导数有什么关系？提示：①函数f(x)在x=x0处有导数，则函数f（x)在该点处必有切线，并且导数值就是该切线的斜率.②函数f(x）表示的曲线在点(x0，f（x0）)处有切线，但函数f(x）在该点处不一定可导,例如f（x)=在x=0处有切线，但不可导.1.思维辨析（对的打“√”,错的打“×")(1）函数y=f（x)在x=x0处的导数f′（x0)的几何意义是函数y=f(x)在点x=x0处的函数值. （)(2)函数y=f(x）在x=x0处的导数f′(x0）的几何意义是函数y=f（x)在点（x0，f（x0)）处的切线与x轴所夹锐角的正切值。

第1讲导数的概念及运算最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图像直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．知识梳理1．导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)，切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α是实数)f′(x)＝αxα－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝ln x f ′(x )＝1x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)若f (x )＝a 3＋2ax ＋x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x .( )解析 (1)f ′(x 0)表示函数f (x )的导数在x 0处的值，而f ((x 0))′表示函数值f (x 0)的导数，其意义不同，(1)错．(2)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(2)错．(4)f (x )＝a 3＋2ax ＋x 2＝x 2＋2ax ＋a 3，∴f ′(x )＝2x ＋2a ，(4)错． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( ) A.194 B.174 C.154 D.134解析 由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t 2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134. 答案 D3．(2016·天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析 因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案 34．(2017·豫北名校期末联考)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 解析 ∵y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0. 答案 5x ＋y ＋2＝05．(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析 由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1，则f ′(1)＝3a ＋1， 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案 1考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝cos x e x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝3x 2－2x 3. (3)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x. 规律方法 (1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．(2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．【训练1】 (1)f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e(2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析 (1)f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1x ·x ＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，则x 0＝1.(2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 (1)B (2)3考点二 导数的几何意义(多维探究) 命题角度一 求切线方程【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．(2)(2017·南昌质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x . 又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝e 0＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案 (1)2x －y ＝0 (2)B 命题角度二 求切点坐标【例2－2】 (2017·西安调研)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析 由y ′＝e x ，知曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，又y ＝1x (x >0)的导数y ′＝－1x 2， 曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2.依题意k 1k 2＝－1，所以m ＝1，从而n ＝1. 则点P 的坐标为(1,1)． 答案 (1,1)命题角度三 求与切线有关的参数值(或范围)【例2－3】 已知直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－12 D ．1 解析 设切点坐标为P (x 0，y 0)， 由y ＝－12x ＋ln x ，得y ′＝－12＋1x . ∴y ′|x ＝x 0＝－12＋1x 0，依题意，－12＋1x 0＝12，∴x 0＝1，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，又切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12在直线y ＝12x ＋b 上， 故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案 B规律方法 (1)导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其他的公共点．(2)“曲线在点P 处的切线”是以点P 为切点，“曲线过点P 的切线”则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标．(3)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.【训练2】 (1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图像存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2. 设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ， 所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图像存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a 在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x ，因为a ＞0，所以2－1x ＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2)． 答案 (1)(e ，e) (2)(－∞，2)[思想方法]1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意交换的等价性．3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． [易错防范]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．3．对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．设y ＝x 2e x ，则y ′＝( ) A ．x 2e x ＋2x B ．2x e x C ．(2x ＋x 2)e x D ．(x ＋x 2)e x 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝(2x ＋x 2)e x .2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ， ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 B3．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0解析 y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0. 答案 C4．(2017·成都诊断)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e . 答案 C5．(2017·昆明诊断)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2 解析 ∵y ′＝－1－cos xsin 2 x ，∴＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.二、填空题6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2.答案1 27.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－13，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.答案08．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.解析由y＝x＋ln x，得y′＝1＋1x，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y，得ax2＋ax＋2＝0，∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.答案8三、解答题9．已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， 所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53， 所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53， 斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0. (2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2016·山东卷)若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝ln x C ．y ＝e x D ．y ＝x 3解析 若y ＝f (x )的图像上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))， 使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x 1＞0，x 2>0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x ，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x 2；对于D ：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2.答案 A12．(2017·合肥模拟)点P 是曲线x 2－y －ln x ＝0上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B.32 C.52 D. 2解析 点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时， 点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y ＝x －2的斜率为1，令y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故曲线y ＝x 2－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x －2的距离等于2，∴点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.答案 D13．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x (x >0)．∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)．答案 [2，＋∞)14．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。

第四单元 导数及其应用教材复习课“导数”相关基础知识一课过1．基本初等函数的导数公式2．(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． [小题速通]1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故选B.2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．3．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133D.103解析：选D 因为f ′(x )＝3ax 2＋6x ， 所以f ′(－1)＝3a －6＝4， 所以a ＝103. 4．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：3[清易错]1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n )′＝nx n－1中n ≠0且n∈Q *，(cos x )′＝－sin x .2．注意公式不要用混，如(a x )′＝a x ln a ，而不是(a x )′＝xa x －1.1．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，若f ′(x )＝12f (x )，则tan x 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．2解析：选B ∵f ′(x )＝(sin x －cos x )′＝cos x ＋sin x ， 又f ′(x )＝12f (x )，∴cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，∴tan x ＝－3.2．若函数f (x )＝2x ＋ln x 且f ′(a )＝0，则2a ln 2a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－ln 2D ．ln 2解析：选A f ′(x )＝2x ln 2＋1x ，由f ′(a )＝2a ln 2＋1a ＝0，得2a ln 2＝－1a ，则a ·2a ·ln 2＝－1，即2a ln 2a ＝－1.导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[小题速通]1.(2018·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 2．设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．解析：因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以切线方程为x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝03．已知曲线y ＝2x 2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．解析：因为y ′＝4x ，设切点为(m ，n )，则4m ＝2，所以m ＝12，则n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＝12，则切点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12.答案：⎝⎛⎭⎫12，124．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：因为函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，所以f ′(1)＝3，且f (1)＝3×1－2＝1，所以f (1)＋f ′(1)＝1＋3＝4.答案：4[清易错]1．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564， 当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1，所以选A.2.(2017·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．解析：因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：31．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是增加的． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是减少的． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调性及单调区间． [小题速通]1．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞)解析：选A 解f ′(x )＝6x 2－18x ＋12<0可得1<x <2，所以单调减区间是(1,2)． 2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．3．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－26] B.⎝⎛⎦⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C 由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－24>0，－a4≤1，g (1)＝5＋a ≥0⇔－26≤a ≤26或a >26⇔a ≥－26，故选C.[清易错]若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数，∴f ′(x )≥0恒成立， ∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值．2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．[小题速通]1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 由图象及极值点的定义知，f (x )只有一个极小值点． 2．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.3．(2017·济宁一模)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0D ．不存在解析：选A f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.4．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，则a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x －a ＋1x ＝x 2－ax ＋1x(x >0)，因为函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，令g (x )＝x 2－ax ＋1，且g (0)＝1>0，所以⎩⎨⎧a2>0，g ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24＋1<0，解得a >2.答案：(2，＋∞)5．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x ＝a3或a .又∵x 1<2<x 2，∴x 1＝a3，x 2＝a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a3<2，∴2<a <6.答案：(2,6)[清易错]1．f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点；又如f (x )＝|x |，x ＝0是它的极小值点，但f ′(0)不存在．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论． 1．(2017·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x解析：选D 因为A 、B 为单调函数，所以不存在极值，C 不是奇函数，故选D. 2．设函数f (x )＝x 3－3x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )>0可得x >1或x <－1， 由f ′(x )<0可得－1<x <1，所以函数f (x )的增区间是[－2，－1]，[1,2]，减区间是[－1,1]． 又因为f (－2)＝－1，f (－1)＝3，f (1)＝－1，f (2)＝3， 所以M ＝3，m ＝－1， 所以M ＋m ＝2. 答案：2一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a>0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( ) A ．e B.1e C.1e2 D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e . 2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选C 由曲线y ＝x 2＋ax ＋b ，得y ′＝2x ＋a ， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝3，k ＝2＋a ，1＋a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，a ＝0，b ＝2，所以2a ＋b ＝2.3．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情况为( ) A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值 B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对解析：选C y ′＝6x 2－6x ，由y ′＝6x 2－6x >0，可得x >1或x <0， 即单调增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)． 由y ′＝6x 2－6x <0，可得0<x <1，即单调减区间是(0,1)，所以函数在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1. 4．若f(x)＝－12x 2＋m ln x 在(1，＋∞)是减函数，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)解析：选C 由题意，f ′(x )＝－x ＋mx ≤0在(1，＋∞)上恒成立，即m ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立，又因为x 2>1，所以m ≤1.5．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B f(x)＝x(x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ，所以f ′(x)＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m)(3x －m)．由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3.当m ＝3时，f ′(x)＝3(x －1)(x －3)，当1<x<3时，f ′(x)<0，当x<1或x>3时，f ′(x)>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意，∴m ＝1，此时f ′(x)＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f ′(x)<0，当x<13或x>1时，f ′(x)>0，此时在x ＝1处取得极小值．选B .7．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：选A 已知曲线y ＝x 24－3ln x (x >0)的一条切线的斜率为12，由y ′＝12x －3x ＝12，得x ＝3，故选A.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,3]B ．(2,3]C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：选A 当x ≤0时，0≤f (x )＝1－2x <1； 当x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝1－3＋a ＝a －2.由题意得0≤a －2≤1，解得2≤a ≤3，选A.二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ax ，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋ax ＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0.答案：(－∞，0)10．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3， ∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：811．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.答案：412．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m－1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝g ′(1)e x －1－g (0)＋x ，令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－1＝1，∴g ′(1)＝e ，∴g (x )＝e x －x ＋12x 2，g ′(x )＝e x －1＋x ，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0， ∴当x ＝0时，函数g (x )取得最小值g (0)＝1. 根据题意得2m －1≥g (x )min ＝1，∴m ≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题13．已知函数f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立，求实数b 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：上是减函数．(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫14≤10，f (1)≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2成立，从而得b ≤74， 所以实数b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，74. 14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1x (x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值． 高考研究课(一)导数运算是基点、几何意义是重点 [全国卷5年命题分析][典例] (1)(2018·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π(2)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 018(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．sin x ＋cos xD ．cos x －sin x(3)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1D ．e[解析] (1)∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. (2)∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ，故选D.(3)由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x . ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.[答案](1)C(2)D(3)B[方法技巧]1．可导函数的求导步骤(1)分析函数y＝f(x)的结构特点，进行化简；(2)选择恰当的求导法则与导数公式求导；(3)化简整理答案．2．求导运算应遵循的原则求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．[即时演练]1．(2018·江西九校联考)已知y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，则y′＝()A．3x2－12x＋6 B．x2＋12x－11C．x2＋12x＋6 D．3x2＋12x＋11解析：选D法一：y′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝3x2＋12x＋11.法二：∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.2．已知函数f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________.解析：f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.答案：e导数的几何意义第(1)问中，难度较低，属中、低档题.常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)确定切点坐标；(3)已知切线求参数值或范围；(4)切线的综合应用.角度一：求切线方程1．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是________．解析：∵f′(x)＝11＋x－1＋2x，∴f′(1)＝32，f(1)＝ln 2，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.答案：3x －2y ＋2ln 2－3＝0角度二：确定切点坐标2．(2018·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x －1上，且在第三象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，∴3x 2－1＝2，x ＝±1， 又∵点M 在第三象限，∴x ＝－1，∴y ＝(－1)3－(－1)－1＝－1， ∴点M 的坐标为(－1，－1)． 答案：(－1，－1)角度三：已知切线求参数值或范围3．(2017·武汉一模)已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知曲线上存在某点的导数值为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1x ＝1有正根， 即2ax 2＋2x －1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；当a ＜0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a ＜0.综上，a ≥－12.答案：⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 4．若两曲线y ＝x 2－1与y ＝a ln x －1存在公切线，则正实数a 的取值范围是________． 解析：设y ＝a ln x －1的切点为(x 0，y 0)，求导y ′＝ax ，则切线的斜率为ax 0，所以公切线方程为y －(a ln x 0－1)＝ax 0(x －x 0)，联立方程y ＝x 2－1可得x 2－ax 0x ＋a －a ln x 0＝0，由题意，可得Δ＝⎝⎛⎭⎫－ax 02－4(a －a ln x 0)＝0， 则a ＝4x 20(1－ln x 0)．令f(x)＝4x2(1－ln x)(x>0)，则f′(x)＝4x(1－2ln x)，易知，函数f(x)＝4x2(1－ln x)在(0，e)上是增函数，在(e，＋∞)上是减函数，所以函数f(x)＝4x2(1－ln x)的最大值是f(e)＝2e，则正实数a的取值范围是(0,2e]．答案：(0,2e]角度四：切线的综合应用5．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋1x－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－a(x－1)x＋1＞0.设g(x)＝ln x－a(x－1) x＋1，则g′(x)＝1x－2a(x＋1)2＝x2＋2(1－a)x＋1x(x＋1)2，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；②当a＞2时，令g′(x)＝0，得x1＝a－1－(a－1)2－1，x2＝a－1＋(a－1)2－1.由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.综上，a的取值范围是(－∞，2]．[方法技巧]利用导数解决切线问题的方法(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0求解．1．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 2．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：y ＝ln x ＋2的切线方程为： y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)， y ＝ln(x ＋1)的切线方程为： y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点的横坐标为x 2)， ∴⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 24．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ， 得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案：8一、选择题 1．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′x ＝π2＝－1，由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1. 2．(2018·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′|x ＝－1＝2， ∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.3．(2018·济南一模)已知曲线f (x )＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C .1eD ．－1e解析：选C 法一：∵f (x )＝ln x ，x ∈(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x.设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝k OP ＝ln x 0x 0.∴ln x 0＝1，∴x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e.法二：(数形结合法)：在同一坐标系下作出y ＝ln x 及曲线y ＝ln x 经过原点的切线，由图可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C .4．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴直线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1， 又因为y 0＝12x 20＋mx 0＋72(m ＜0)， 解得m ＝－2，故选D.5．(2018·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A .⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，πC .⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 6．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0 C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选A y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1ex ＋2，因为e x ＞0，所以e x ＋1e x ≥2e x ×1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A . 二、填空题7．已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：由题意，当x >0时，则－x <0，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，则f ′(x )＝1x －3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线的斜率f ′(1)＝－2，则切线方程为y －(－3)＝－2(x －1)，即2x ＋y ＋1＝0.答案：2x ＋y ＋1＝08．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________． 解析：∵y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2， ∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1，令x ＝0，得y ＝－1ln 2， ∴所求三角形面积为S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.答案：12ln 29．(2017·东营一模)函数f (x )＝x ln x 在点P(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P(x 0，f (x 0))的坐标为________．解析：∵f (x )＝x ln x ， ∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1⇔ln x 0＋1＝1⇔ln x 0＝0⇔x 0＝1， ∴f (x 0)＝1·ln 1＝0， ∴P(1,0)． 答案：(1,0)10．设过曲线f (x )＝－e x －x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，则m 的取值范围是________．解析：设曲线f (x )上任意一点A(x 1，y 1)，曲线g(x )上存在一点B(x 2，y 2)，f ′(x )＝－e x－1，g ′(x )＝m －3cos x .由题意可得f ′(x 1)g ′(x 2)＝－1，且f ′(x 1)＝－ex 1－1∈(－∞，－1)，g ′(x 2)＝m －3cos x 2∈[m －3，m ＋3]．因为过曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，所以(0,1)⊆[m －3，m ＋3]，所以m －3≤0，且m ＋3≥1，解得－2≤m ≤3. 答案：[－2,3] 三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ， 则由题意，及(1)可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)． 12．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2.1．(2018·广东七校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12B.12<x 0<1 C.22<x 0< 2 D.2<x 0< 3解析：选D y ＝ln x ，x ∈(0,1)的导数y ′＝1x >1， 设切点为(t ，ln t )，则切线l 的方程为y ＝1t x ＋ln t －1，因为函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线l 的斜率为2x 0， 则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切， 则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1t ，x 20＝1－ln t ，则1＋ln 2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln 2x －1，x ∈(1，＋∞)， 所以该函数的零点就是x 0，则排除A 、B ；又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x >0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增．又g (1)＝－ln 2<0，g (2)＝1－ln 22<0，g (3)＝2－ln 23>0， 从而2<x 0< 3.2．函数y ＝f (x )图象上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k M ，k N ，规定φ(M ，N )＝|k M －k N ||MN |(|MN |为线段MN 的长度)叫做曲线y ＝f (x )在点M 与点N 之间的“弯曲度”．设曲线f (x )＝x 3＋2上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且x 1x 2＝1，则φ(M ，N )的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2，设x 1＋x 2＝t (|t |>2)， 则φ(M ，N )＝|3x 21－3x 22|(x 1－x 2)2＋(x 31＋2－x 32－2)2 ＝|3x 21－3x 22|(x 1－x 2)2[1＋(x 21＋x 1x 2＋x 22)2]＝3|x 1－x 2|·|x 1＋x 2||x 1－x 2|1＋[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]2＝3|x 1＋x 2|1＋[(x 1＋x 2)2－1]2＝3|t |1＋(t 2－1)2＝3t 2＋2t2－2.设g (x )＝x ＋2x ，x >4，则g ′(x )＝1－2x 2>0，所以g (x )在(4，＋∞)上单调递增，所以g (x )>g (4)＝92. 所以t 2＋2t 2－2>52，所以0<φ(M ，N )<3105.答案：⎝⎛⎭⎫0，3105高考研究课(二) 函数单调性必考，导数工具离不了 [全国卷5年命题分析]函数单调性的判断[典例] 设函数f (x )＝－a 22[解] 由f (x )＝－a 2ln x ＋x 2－ax ，可知f ′(x )＝－a 2x ＋2x －a ＝2x 2－ax －a 2x＝(2x ＋a )(x －a )x(x >0)． 若a >0，则当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；若a ＝0，则f ′(x )＝2x >0在x ∈(0，＋∞)内恒成立，函数f (x )单调递增；若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a 2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．[方法技巧]导数法判断函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[即时演练]1．(2017·芜湖一模)函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A.()0，＋∞ B.()－∞，0 C.()－∞，1D.()1，＋∞解析：选D 由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )＞0，解得x ＞1，故选D.2．(2016·全国卷Ⅱ节选)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x＋x ＋2>0.解：f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． f ′(x )＝(x －1)(x ＋2)e x －(x －2)e x (x ＋2)2＝x 2e x(x ＋2)2≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增． 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1. 所以(x －2)e x >－(x ＋2)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0.利用导数研究函数单调性的应用函数的单调性是高考命题的重点，其应用是考查热点.,常见的命题角度有： (1)y ＝f (x )与y ＝f ′(x )的图象辨识； (2)比较大小；(3)已知函数单调性求参数的取值范围； (4)构造函数解不等式.角度一：y ＝f (x )与y ＝f ′(x )的图象辨识1.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，若函数f (x )的图象如图所示，则一定有( )A ．b >0，c >0B ．b <0，c >0C ．b >0，c <0D ．b <0，c <0解析：选B 由函数的图象与y 轴的交点在原点的上方可知，d >0，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由函数的图象可知，函数f (x )有两个极值点，且先增，再减，最后增，所以方程f ′(x )＝0有两个大于0不同的实根，且a >0，由根与系数的关系可得－2b 3a >0，c3a>0，则b <0，c >0.2.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析：选B 由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．角度二：比较大小3．已知函数F (x )＝xf (x )，f (x )满足f (x )＝f (－x )，且当x ∈(－∞，0]时，F ′(x )<0成立，若a ＝20.1·f (20.1)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 212·f ⎝⎛⎭⎫log 212，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．c >b >a D ．a >c >b解析：选C 因为f (x )＝f (－x )，所以f (x )是偶函数，则函数F (x )＝xf (x )是奇函数． 因为当x ∈(－∞，0]时，F ′(x )<0成立， 所以F (x )在(－∞，0]上是减函数， 所以F (x )在R 上是减函数， 因为20.1>1,0<ln 2<1，log 212＝－1<0，所以c >b >a .角度三：已知函数单调性求参数的取值范围4．(2018·宝鸡一检)已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋a ln x ，若函数f (x )在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－6，＋∞)B ．(－∞，－16)C ．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D ．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)解析：选C ∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋4＋a x ＝2x 2＋4x ＋ax，f (x )在(1,2)上是单调函数，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，即2x 2＋4x ＋a ≥0或2x 2＋4x ＋a ≤0在(1,2)上恒成立，即a ≥－()2x 2＋4x 或a ≤－(2x 2＋4x )在(1,2)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋4x )，1＜x ＜2， 则－16＜g (x )＜－6，∴a ≥－6或a ≤－16，故选C.5．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3) [方法技巧]由函数的单调性求参数的范围的方法(1)可导函数f (x )在D 上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)对x ∈D 恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．(4)若已知f (x )在D 上不单调，则f (x )在D 上有极值点，且极值点不是D 的端点．角度四：构造函数解不等式6．已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，且f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，则不等式f (x )<e x－2的解集为( )A ．(－∞，e)B ．(1，＋∞)C ．(1，e)D ．(e ，＋∞) 解析：选B 令g (x )＝f (x )e x －2，g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x －2<0，所以函数g (x )＝f (x )ex －2是减函数，又g (1)＝1，所以不等式f (x )<e x－2的解集为(1，＋∞)．7．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)－f (－1)<0的解集为________．解析：令g (x )＝x 2f (x )，由2f (x )＋xf ′(x )>x 2(x <0)，得g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]<x 3<0，故函数g (x )＝x 2f (x )在(－∞，0)上是减函数，故由不等式(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)－f (－1)<0，可得－1<x ＋2 018<0，即－2 019<x <－2 018，所以不等式的解集为(－2 019，－2 018)．答案：(－2 019，－2 018)1．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 解析：选C 法一：取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C.法二：函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎨⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0，g (－1)＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.故选C.2．(2014·全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1.故选D.3．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a ＞0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a ＜0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )＜0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )＞0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． (2)①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，所以f (x )≥0.②若a ＞0，则由(1)得，当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (ln a )＝－a 2ln a . 从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即0＜a ≤1时，f (x )≥0.③若a ＜0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2.从而当且仅当a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2≥0， 即－2e 34≤a ＜0时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2e 34，1.一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－3x (a ∈R)，则函数f (x )的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，12和(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞) 解析：选D f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x (x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝1，当0<x <12或x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞)． 2．(2018·成都外国语学校月考)已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增．3．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－xf ′(x )≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)解析：选A 当x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减，当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增，∴当x ＝1时，函数f (x )取得极小值同时也取得最小值， 所以f (0)＞f (1)，f (2)＞f (1)，则f (0)＋f (2)＞2f (1)．4．已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( ) A ．x 1－x 2＞0B ．x 1＋x 2＞0C ．x 21－x 22＞0D ．x 21－x 22＜0解析：选D 由f (x )＝x sin x 得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，又f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ，因而f (x )为偶函数，∴当f (x 1)＜f (x 2)时，有f (|x 1|)＜f (|x 2|)，∴|x 1|＜|x 2|，x 21－x 22＜0，故选D.5．(2017·吉林长春三模)定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：选A 设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，由题意知g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f (x 1)e x 1＜f (x 2)e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)． 6．(2018·九江模拟)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，43B.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－32D.⎣⎡⎭⎫－32，＋∞ 解析：选B f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， 即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， ∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.二、填空题7．设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．解析：因为f (x )＝x (e x －1)－12x 2，所以f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．令f ′(x )>0，即(e x －1)·(x ＋1)>0，解得x ∈(－∞，－1)或x ∈(0，＋∞)．所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．答案：(－∞，－1)和(0，＋∞)8．已知函数f (x )＝x ln x －ax 2－x .若函数f (x )在定义域上为减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝ln x －2ax ，因为函数f (x )在定义域上为减函数， 所以ln x －2ax ≤0，即a ≥ln x2x在(0，＋∞)上恒成立，。

第6章导数及其应用[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]导数的几何意义及其应用[例1](1)曲线y＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2eB．e C．2D．1(2)函数y＝f(x)的图像是以下四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如下图，那么该函数的图像是()(1)C(2)B[(1)y′＝e x－1＋x e x－1＝(x＋1)e x－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为k＝2.(2)从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图像的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误；B项正确．]利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程〞，那么此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程〞，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，那么切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，① 又y 1＝f (x 1)，②由①②求出x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程． [跟进训练] 1．曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[解] (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，那么切线的斜率k ＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0. ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 0，y 0)，那么切线的斜率k ＝x 20＝4，∴x 0＝±2. ∴切点为(2,4)或⎝⎛⎭⎫－2，－43. ∴斜率为4的曲线的切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.利用导数判断函数的单调性－(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[思路探究] (1)利用导数的几何意义和求导运算建立方程组求未知数．(2)利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性．[解] (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，那么g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．f (x )为增函数⇔f ′(x )≥0且f ′(x )＝0的根有有限个，f (x )为减函数⇔f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个.[跟进训练]2．(1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x ＞0时，(x －2)e x ＋x ＋2＞0；(2)证明：当a ∈[0,1)时，函数g (x )＝e x －ax －ax 2(x ＞0)有最小值．设g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域．[解] (1)f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． f ′(x )＝(x －1)(x ＋2)e x －(x －2)e x (x ＋2)2＝x 2e x(x ＋2)2≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增． 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1. 所以(x －2)e x >－(x ＋2)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0. (2)g ′(x )＝(x －2)e x ＋a (x ＋2)x 3＝x ＋2x 3(f (x )＋a )．由(1)知，f (x )＋a 单调递增．对任意a ∈[0,1)，f (0)＋a ＝a －1＜0，f (2)＋a ＝a ≥0. 因此，存在唯一x a ∈(0,2]，使得f (x a )＋a ＝0， 即g ′(x a )＝0.当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为g (x a )＝e x a －a (x a ＋1)x 2a ＝e x a ＋f (x a )(x a ＋1)x 2a ＝e x ax a ＋2. 于是h (a )＝e x a x a ＋2.由⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx ＋2′＝(x ＋1)e x(x ＋2)2＞0，得y ＝e xx ＋2在x ∈(0，＋∞)上单调递增， 所以，由x a ∈(0,2]，得12＝e 00＋2＜h (a )＝e x a x a ＋2≤e 22＋2＝e 24. 因为y ＝e xx ＋2在x ∈(0，＋∞)上单调递增，对任意λ∈⎝⎛⎦⎤12，e 24，存在唯一的x a ∈(0,2]，a ＝－f (x a )∈[0,1)，使得h (a )＝λ.所以h (a )的值域是⎝⎛⎦⎤12，e 24.综上，当a ∈[0,1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是⎝⎛⎦⎤12，e 24.利用导数研究函数的极值、最值平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，某某数c 的取值X 围．[思路探究] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f ′(1)＝－3，求出a ，b 即可．(2)对t 分0<t ≤2与2<t <3两种情况求最值．(3)构造函数g (x )＝f (x )－c 转化为g (x )在[1,3]上有实根求解．[解] (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为：f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2. 所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )的最大值为f (0)＝2，f (x )的最小值为f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (x )的最小值为f (2)＝－2，f (x )的最大值为f (0)与f (t )中较大的一个． f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0. 所以f (x )的最大值为f (0)＝2.综上可知，当t ∈(0,2]时，f (x )的最大值为2，最小值为t 3－3t 2＋2；当t ∈(2,3)时，f (x )的最大值为2，最小值为－2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(xg (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，那么⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c ≤0.用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图像与x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数．[跟进训练]3．函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，假设函数y ＝f (x )的图像与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图像有三个不同的交点，某某数m 的取值X 围．[解]由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，∴y ＝13f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m .那么由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图像与x 轴有三个不同的交点．∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)， ∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表： x ⎝⎛⎭⎫－∞，2323 ⎝⎛⎭⎫23，4 4 (4，＋∞)g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )↗6827－m ↘－16－m↗那么函数g (x )的极大值为g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m . ∵y ＝f (x )的图像与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图像有三个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m >0，g (4)＝－16－m <0，解得－16<m <6827.即m 的取值X 围为⎝⎛⎭⎫－16，6827.利用导数解决实际问题[例4]A ，B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v 千米/时(8<v ≤v 0)．假设船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v ＝12(千米/时)时，每小时的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船的实际速度应为多少？[解]设每小时的燃料费为y 1元，比例系数为k (k >0)，那么y 1＝k v 2，当v ＝12时，y 1＝720， ∴720＝k ·122，解得k ＝5. ∴y 1＝5v 2.设全程燃料费为y 元，由题意，得y ＝y 1·200v －8＝1 000v 2v －8，∴y ′＝2 000v (v －8)－1 000v 2(v －8)2＝1 000v 2－16 000v(v －8)2.令y ′＝0，解得v ＝0(舍去)或v ＝16.∴当v 0≥16时，v ＝16(千米/时)时全程燃料费最省； 当v 0<16，v ∈(8，v 0]时，y ′<0，即y 在(8，v 0]上为减函数． ∴当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 20v 0－8.综上可知，假设v 0≥16，那么当v ＝16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32 000元；假设v 0<16，那么当v ＝v 0时，全程燃料费最省，为1 000v 20v 0－8元．1．在某某际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数．2．在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定函数的定义域．3．得出函数的最大值或最小值之后，一定要将数学问题还原成实际问题． [跟进训练]4．某工厂生产某种产品，该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为：p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x (元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？[解] 每月生产x 吨时的利润为 f (x )＝⎝⎛⎭⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x ) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)，令f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x ＝200或x ＝－200(舍去)．因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)，故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．[培优层·素养升华][例] 定义在R 上的函数f (x )的导数为f ′(x )，假设对任意实数x ，有f (x )>f ′(x )，且f (x )＋2 020为奇函数，那么不等式f (x )＋2 020e x <0的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫－∞，1e D.⎝⎛⎭⎫1e ，+∞ B [由题意可知，令g (x )＝f (x )e x ，那么g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x ，因为f ′(x )<f (x )，故f ′(x )－f (x )<0， 即g ′(x )<0，∴g (x )在R 上为减函数． 又因为f (x )＋2 020为奇函数， 所以f (0)＋2 020＝0，即f (0)＝－2 020，那么g (0)＝－2 020. 所以不等式f (x )＋2 020e x <0等价于g (x )<g (0)，∴x >0，即不等式f (x )＋2 020e x <0的解集为x ∈(0，＋∞)．应选B.]这类问题主要考查函数单调性、奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性及其应用.其中如何构造新函数是求解此类问题的重中之重，善于从题目中提取信息，挖掘隐含条件及把所学知识移到此类问题中是解题的关键.[素养提升练]定义在区间(0，＋∞)上函数f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，f ′(x )为f (x )的导数，那么f (2)f (1)的取值X 围是________．(4,8)[令g (x )＝f (x )x 3，那么g ′(x )＝xf ′(x )－3f (x )x 4，因为xf ′(x )<3f (x )，那么xf ′(x )－3f (x )<0. 所以g ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立． 即g (x )在(0，＋∞)上单调递减， 可得g (2)<g (1)，即f (2)8<f (1)1.由2f (x )<3f (x )可得f (x )>0，那么f (2)f (1)<8，令h (x )＝f (x )x 2，那么h ′(x )＝xf ′(x )－2f (x )x 3，因为xf ′(x )>2f (x )， 即xf ′(x )－2f (x )>0，所以h ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立， 即h (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∴h (2)>h (1)． 即f (2)4>f (1)，即f (2)f (1)>4， ∴4<f (2)f (1)<8.]。