高中数学 第3章 导数及其应用 3.3 3.3.2 函数的极值与导数(教师用书)教案 新人教A版选修

3.3.3 函数的最大(小)值与导数如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．思考：若函数f(x)在区间[a，b]上只有一个极大值点x0，则f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值吗？[提示]根据极大值和最大值的定义知，f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．下列说法正确的是( )A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．在闭区间上的连续函数一定存在最值D[极值有可能是最值，但最值未必是极值，故选D．]2．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是()A ．π－1B ．π2－1C ．πD ．π＋1C[y ′＝1－cos x >0，故函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π是增函数，因此当x ＝π时，函数有最大值，且y max ＝π－sin π＝π.]3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2D ．4C [f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2. 由f (－1)＝－2，f (0)＝2，f (1)＝0得f (x )max ＝f (0)＝2.]求函数的最值(1)f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5，x ∈[－2,1]； (2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]．[解] (1)f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝2，又x ∈[－2,1]，故x ＝－1，且f (－1)＝12. 又因为f (－2)＝1，f (1)＝－8，所以，当x ＝－1时，f (x )取最大值12； 当x ＝1时，f (x )取最小值－8. (2)∵f (x )＝3e x－e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e xx ) ＝－e x (x 2＋2x －3) ＝－e x(x ＋3)(x －1)．∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)＜0， 即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减，∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.求函数在闭区间上最值的步骤 1求f ′x ，解方程f ′x ＝0；2确定在闭区间上方程f ′x ＝0的根； 3求极值、端点值，确定最值.[跟进训练]1．求函数f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]上的最大值和最小值．[解] f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，且x ∈[0,2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 0 ⎝⎛⎭⎫0，2π32π3 ⎝⎛⎭⎫2π3，4π3 4π3 ⎝⎛⎭⎫4π3，2π 2π f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗ππ3＋322π3－32∴当x＝0时，f(x)有最小值，为f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值，为f(2π)＝π.由函数的最值求参数值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a>0时，且x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x －1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b ↗ b ↘－16a＋b[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29. 已知函数最值求参数值范围的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值范围是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围.[跟进训练]2．设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求a ，b 的值．[解] 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0) 0 (0，a ) a (a,1) 1 f ′(x )＋－0 ＋f (x )－1－32a ＋b ↗b↘－a 32 ＋b↗1－32a ＋b由表可知，f (x )的极大值为f (0)＝b ，极小值为f (a )＝b －a 32，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与f (1)及f (－1)与f (a )的大小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b ＝1.又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，a ＝63.所以a ＝63，b ＝1.与最值有关的恒成立问题1．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若f (x )≥c 或f (x )≤c 恒成立，则c 满足的条件是什么？提示：c ≤f (x )min 或c ≥f (x )max .2．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x )≥c 或f (x )≤c 成立，则c 满足的条件是什么？提示：c ≤f (x )max 或c ≥f (x )min .【例3】 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． [思路点拨] (1)利用配方法，即可求出二次函数f (x )的最小值h (t )；(2)构造函数g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )，只需使g (t )在(0,2)上的最大值小于零即可求得m 的取值范围．[解] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g(t)在(0,2))<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？[解] 令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立，等价于g (t )的最小值g (2)<0.∴－3－m <0， ∴m >－3，所以实数m 的取值范围为(－3，＋∞)． 分离参数求解不等式恒成立问题1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题． 1．判断正误(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× 2．函数y ＝ln x x的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D ．103A [函数y ＝ln xx的定义域为(0，＋∞)．y ′＝1－ln x x 2，由1－ln x x2＝0得x ＝e ， 当0<x <e 时，y ′>0， 当x >e 时，y ′<0.因此当x ＝e 时，函数y ＝ln x x 有最大值，且y max ＝1e ＝e －1.]3．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为( )A ．2B ．4C ．18D ．20D [f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0得x ＝±1. 当0≤x <1时，f ′(x )<0； 当1<x ≤3时，f ′(x )>0.则f (1)最小，又f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，f (3)>f (0)，所以最大值为f (3)，即M ＝f (3)， N ＝f (1)，所以M －N ＝f (3)－f (1)＝(18－a )－(－2－a )＝20.]4．设函数f (x )＝12x 2e x，x ∈[－2,2]，若f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．[解] f′(x)＝x e x＋12x2e x＝e x2x(x＋2)，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：当x＝0时，min要使f(x)>m对x∈[－2,2]恒成立，只需m<f(x)min，∴m<0，即实数m的取值范围为(－∞，0)．。

3.3.2 利用导数研究函数的极值课堂导学三点剖析一、求函数极值 【例1】 确定函数f (x )=12+x x在区间［-2,2］上的单调性并求f (x )在区间［-2,2］上的极大值、极小值、最大值和最小值.解析：由已知得f ′(x )=2222222)1(1)1()1()1(+-=+'+-+'x x x x x x x ,令f ′(x )=0,解得x =-1或x =1.列出下表：x-2 (-2,-1) -1 (-1,1) 1 (1,2) 2 f ′(x ) - 0 + 0 - f (x )极小值极大值由表可知：f (x )的极小值是f (-1)=211)1(12-=+--;极大值是f (1)=21. 又f (-2)=-52,f (2)=52, ∴f (x )在区间［-2,2］上的最大值是21，最小值是-21. 温馨提示即函数f (x )=12+x x 的定义域为R.又∵1lim 2+∞→x xx =0, ∴f (x )在R 上的最大值与最小值还分别为21和-21.又f (0)=0, ∴函数f (x )=12+x x 在R 上的值域为［-21,21］. 二、极值的应用【例2】 已知函数f (x )=x 3-3ax 2+2bx 在点x =1处有极小值-1,试确定a 、b 的值，并求出f (x )的极值.思路分析：先利用极值点是导函数对应方程的根，以及极值点的两个坐标满足函数关系式列出方程组，即可求出a 、b 的值，再求函数f (x )的单调区间. 解：由已知，得f (1)=1-3a +2b =-1,又f ′(x )=3x 2-6ax +2b ① ∴f ′(1)=3-6a +2b =0② 由①②得a =31,b =-21. 故函数的解析式为f (x )=x 3-x 2-x .由此得f ′(x )=3x 2-2x -1,由二次函数的性质，当x <-31或x >1时，f ′(x )>0；当-31<x <1时，f ′(x )<0.因此，在区间(-∞,- 31)和(1,+∞)上，函数f (x )为增函数；在区间(-31，1)内，函数f (x )为减函数.因此,f (x )max =f (-31)=275,f (x )min =f (1)=-1. 温馨提示此类问题根据极值点为导函数的根构造方程组.利用待定系数法求解. 三、利用导数极值求函数的解析式【例3】 已知函数f (x )=x 3-3ax 2+2bx 在x =-1处有极小值1，试确定a 、b 的值，并求f (x )的单调区间.解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=++='=--=.21,31.0263)1(,1231)1(b a b a f b a f 解得∴f (x )=x 3+x 2-x ,∴f ′(x )=3x 2+2x -1.由f ′(x )>0,得x <-1或x >31;由f ′(x )<0,得-1<x <31.∴函数f (x )的单调递增区间是(-∞,-1)和(31,+∞),单调递减区间是(-1,31).各个击破 类题演练1求函数y =x 4-2x 2-1的极值.解：y ′=4x 3-4x ,令y ′=0,得x 1=-1,x 2=0,x 3=1.将x 、y 及在相应区间上y ′的符号关系列表如下：x (-∞,-1)-1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) y ′ -+-+y极小值-2 极大值-1极小值-2 所以当x =-1时，函数有极小值-2；当x =0时，函数有极大值-1；当x =1时函数有极小值-2.变式提升1求函数y =322)2(x x -的极值.解：y ′=33222)(3)1(4)2(])2[(·32x x x x x x x x --=--由y ′=0得x =1,由3)2( 3x x -得x =0或x =2 当x 变化时,y ′、y 的变化情况如下表：x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞) y ′ - 不存在 + 0 - 不存在 + y极小值极大值极小值∴当x =0时，y 极小值=0. 当x =1时，y 极大值=1. x =2时,y 极小值=0.类题演练2若f (x )=x 3+3ax 2+3(a +2)x +1有极大值和极小值，求a 的取值范围.解：f (x )为三次函数.f ′(x )为二次函数.要使f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )=0有两个不相等的实数根，从而有Δ=(2a )2-4(a +2)>0，解得a <-1或a >2.变式提升2如果函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足b 2-3ac <0,a ≠0, 求证：函数f (x )无极值.证明：f ′(x )=3ax 2+2bx +c 当a >0时，∵Δ=4b 2-12ac <0∴f ′(x )>0恒成立，f (x )在(-∞,+∞)内单调递增. f (x )无极值.当a <0时，∵Δ=4b 2-12ac <0∴f ′(x )<0恒成立，f (x )在(-∞,+∞)内单调递减，f (x )无极值.类题演练3设x =1与x =2是函数f (x )=a ln x +bx 2+x 的两个极值点. 试确定常数a 和b 的值. 解：f ′(x )=xa+2b +1 ∵f ′(1)=f ′(2)=0∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0142012b a b a解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=6132b a∴f (x )=-32ln x -61x 2+x变式提升3 设a <0 证明：f (x )=12++x bax 取得极大值和极小值的点各1个. 证明：f ′(x )=222)1()(2)1(++-+x b ax x x a =222)1(2++--x a bx ax ,令f ′(x )=0,即ax 2+2bx -a =0,①.∵Δ=4b 2+4a 2>0,∴方程①式有两个不相等的实根，记为x 1、x 2，不妨设x 1<x 2,则有f ′(x )=a (x -x 1)(x -x 2),f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (-∞,x 1) x 1 (x 1,x 2) x 2 (x 2,+∞)。

1 3.3.
2 利用导数研究函数的极值
课前导引
问题导入
已知函数f (x )=x +
x 1，判断f (1)是否为函数f (x )的一个极值，若是极值，是极大值还是极小值？
思路分析：当0<x <1时，f (x )-f (1)=x +x 1-2>2x x 1·-2=0. ∴f (x )>f (1);
当1<x <2时，f (x )-f (1)=x +
x 1-2>2x x 1·-2=0. ∴f (x )>f (1);
∴f (1)是函数f (x )=x +x
1的一个极值. 又∵当x ∈(0,1)或x ∈(1,2)时，f (x )>f (1), ∴f (1)是f (x )的一个极小值.
知识预览
1.设函数f (x )在x 0附近的所有点，都有__________.则称f (x 0)是f (x )的一个极大值；如果对x 0附近的所有的点，都有__________,就说f (x 0)是f (x )的一个__________. 答案：f -(x 0)>0,f +(x 0)<0 f -(x 0)<0,f +(x 0)>0 极小值
2.f (x )在x 0处的导数为0是f (x )在x 0处取得极值的__________. 答案：必要条件
3.当函数f (x )在x 0处可导时，判断f (x 0)为极值的方法是______________________________. 答案：看f -(x 0)·f +(x 0)是否小于0
4.若x 0为f (x )的极值点，则__________，导数为零的点__________为极值点. 答案：f ′(x 0)=0 不一定。

3.3.2 函数的极值与导数学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一 极值点与极值的概念 思考 观察函数f (x )＝13x 3－2x 的图象．f ′(－2)的值是多少？在x ＝－2左、右两侧的f ′(x )有什么变化？ f ′(2)的值是多少，在x ＝2左、右两侧的f ′(x )又有什么变化？答案 f ′(－2)＝0，在x ＝－2的左侧f ′(x )>0，在x ＝－2的右侧f ′(x )<0；f ′(2)＝0，在x ＝2的左侧f ′(x )<0，在x ＝2的右侧f ′(x )>0.梳理 (1)极小值点与极小值如图，函数y ＝f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则把点a叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值． (2)极大值点与极大值如(1)中图，函数y ＝f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．知识点二 求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．1．导数值为0的点一定是函数的极值点．( × ) 2．极大值一定比极小值大．( × ) 3．函数f (x )＝1x有极值．( × )4．函数的极值点一定是其导函数的变号零点．( √ )类型一 极值与极值点的判断与求解 命题角度1 知图判断函数的极值例1 已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 C解析 由导函数的图象可知：当x ∈(－∞，0)∪(2,4)时，f ′(x )>0，当x ∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f ′(x )<0，因此f (x )在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以在x ＝0处取得极大值，在x ＝2处取得极小值，在x ＝4处取得极大值，故选C. 反思与感悟 通过导函数值的正负号确定函数单调性，然后进一步明确导函数图象与x 轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点．跟踪训练1 如图为y ＝f (x )的导函数的图象，则下列判断正确的是( )①f (x )在(－3，－1)上为增函数；②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上为增函数；④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①③④考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 B解析 当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0，当x ∈(－1,2)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－3，－1)上为减函数，在(－1,2)上为增函数，∴①不对；x ＝－1是f (x )的极小值点；当x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；x ＝2是f (x )的极大值点，故②③正确，④错误．命题角度2 求函数的极值或极值点 例2 求下列函数的极值． (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1； (2)f (x )＝x 2－2ln x .考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值问题解 (1)函数f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1的定义域为R ，f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x ＋2)(x －1)，解方程6(x ＋2)(x －1)＝0，得x 1＝－2，x 2＝1. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝－2时，f (x )取极大值21； 当x ＝1时，f (x )取极小值－6.(2)函数f (x )＝x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2x＝x ＋x －x ，解方程x ＋x －x＝0，得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值．反思与感悟求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根．(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．跟踪训练2 已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．考点函数的极值与导数的关系题点不含参数的函数求极值问题解(1)f′(x)＝e x(ax＋b)＋a e x－2x－4＝e x(ax＋a＋b)－2x－4，f′(0)＝a＋b－4＝4，①又f(0)＝b＝4，②由①②可得a＝b＝4.(2)f(x)＝e x(4x＋4)－x2－4x，则f′(x)＝e x(4x＋8)－2x－4＝4e x(x＋2)－2(x＋2)＝(x＋2)(4e x－2)．解f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln2，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．类型二 已知函数极值求参数例3 (1)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＝________，b ＝________.(2)若函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，则a 的取值范围为________．考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 (1)2 9 (2)(－∞，1)解析 (1)∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，且函数f (x )在x ＝－1处有极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －＝0，f －＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数． 故f (x )在x ＝－1处取得极小值，∴a ＝2，b ＝9. (2)∵f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意得方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根， ∴Δ＝4－4a >0，解得a <1.反思与感悟 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．跟踪训练3 已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)D ．(－1,0)考点 根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案 D解析若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；若－1<a<0，则f(x)在(－1，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，从而在x＝a处取得极大值．若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，故选D. 类型三函数极值的综合应用例4 已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．考点函数极值的应用题点函数的零点与方程的根解因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1，所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调减区间为(－1,1)，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.作出f(x)的大致图象如图所示．因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．引申探究若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解由本例解析可知当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．反思与感悟利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围． 考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根 解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，∴13f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m ，则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点． ∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)， ∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：则函数g (x )的极大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .∴由y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同交点，得⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝6827－m >0，g＝－16－m <0，解得－16<m <6827.即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－16，6827.1．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 C解析 f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值，f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点． 2．已知函数f (x )＝x ＋1x，则f (x )( )A ．有极大值2，极小值－2B ．有极大值－2，极小值2C ．无极大值，但有极小值－2D ．有极大值2，无极小值 考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 B解析 函数的定义域为{x |x ≠0}，因为f (x )＝x ＋1x ，所以f ′(x )＝1－1x 2，令f ′(x )＝1－1x2＝0，得x ＝±1.当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <0或0<x <1时，f ′(x )<0.所以当x ＝－1时函数有极大值－2；当x ＝1时函数有极小值2.3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，且f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．5B ．3C ．4D ．2考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 A解析 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，则f ′(－3)＝3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，所以a ＝5.4．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( )A．－1<a<2 B．－3<a<6 C．a<－1或a>2 D．a<－3或a>6 考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案 D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)既有极大值又有极小值，则Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.5．求函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)的极值．考点函数的极值与导数的关系题点含参数的函数求极值问题解f′(x)＝1－ae x，①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，所以函数f(x)无极值．②当a>0时，令f′(x)＝0，得e x＝a，x＝ln a.当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，ln a)上是单调递减的，在(ln a，＋∞)上是单调递增的，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．一、选择题1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 函数极值的应用 题点 极值存在性问题 答案 B解析 根据导数的性质可知，若函数y ＝f (x )在这点处取得极值，则f ′(x )＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f (x )＝x 3在R 上是增函数，f ′(x )＝3x 2，则f ′(0)＝0，但在x ＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.2．函数f (x )＝32x 2－ln x 的极值点为( )A ．0,1，－1B ．－33C.33D.33，－33考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 C解析 由已知，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3x －1x ＝3x 2－1x，令f ′(x )＝0，得x ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－33舍去.当x >33时，f ′(x )>0；当0<x <33时，f ′(x )<0. 所以当x ＝33时，f (x )取得极小值，从而f (x )的极小值点为x ＝33，无极大值点． 3．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( ) A ．(2,3) B ．(3，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 B解析 因为函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，又f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－15.令f ′(x )>0，解得x >3或x <2，所以函数的一个单调递增区间是(3，＋∞)．4．设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分如图所示，则( )A ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3) 考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 D解析 当x <－3时，y ＝xf ′(x )>0，即f ′(x )<0； 当－3<x <3时，f ′(x )≥0；当x >3时，f ′(x )<0. ∴f (x )的极大值是f (3)，f (x )的极小值是f (－3)．5．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则点(a ，b )为( ) A ．(3，－3)B ．(－4,11)C ．(3，－3)或(－4,11)D ．不存在考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax －b ， ∵当x ＝1时，f (x )有极值10，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3－2a －b ＝0，f ＝1－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3，验证知当a ＝3，b ＝－3时，在x ＝1处无极值， ∴a ＝－4，b ＝11.6．函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(－∞，3)C ．(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 考点 函数极值的应用题点 极值存在性问题 答案 D解析 令y ′＝3x 2－2a ＝0，得x ＝±2a 3. 由题意知，2a3∈(0,1)， 即0<2a3<1， 解得0<a <32.7．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( ) A.427，0 B ．0，427C ．－427，0D ．0，－427考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 A解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q .由f ′(1)＝0，f (1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，所以f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.8．已知a ∈R ，且函数y ＝e x＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则a 的取值范围为( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a <－1eD ．a >－1e考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 A解析 因为y ＝e x＋ax ，所以y ′＝e x＋a .令y ′＝0，即e x ＋a ＝0，则e x＝－a ，即x ＝ln(－a )， 又因为x ＞0，所以－a ＞1，即a ＜－1. 二、填空题9．函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为________． 考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 y ＝－1e解析 令y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x＝0， 得x ＝－1，∴y ＝－1e，∴函数y ＝x e x在极值点处的切线方程为y ＝－1e.10.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋2，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数的极小值是________． 考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 2解析 由图象可知，当x <0时，f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，故当x ＝0时，函数f (x )取极小值f (0)＝2.11．若直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有三个相异的公共点，则a 的取值范围是________．考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根 答案 (－2,2)解析 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得f (x )的极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，所以当－2<a <2时恰有三个相异的公共点． 三、解答题12．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数解 (1)因为f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ，所以f ′(x )＝a x＋2bx ＋1.依题意得f ′(1)＝f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0，解方程组得a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)知，f (x )＝－23ln x －16x 2＋x (x >0)，故f ′(x )＝－23x －13x ＋1＝－x －x －3x.当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0.故在x ＝1处函数f (x )取得极小值56，在x ＝2处函数取得极大值43－23ln2.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点． 13．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－2x －1， 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1. (2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )>0，x 取足够小的负数时，有f (x )<0，∴曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， ∴f (x )极大值<0或f (x )极小值>0， 即527＋a <0或a －1>0， ∴a <－527或a >1，∴当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0,1)D ．(0，＋∞)考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 B解析 由题意知，x >0，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根，即函数y ＝ln x ＋1与y ＝2ax 的图象有两个不同的交点，则a >0.设函数y ＝ln x ＋1的图象上任一点(x 0,1＋ln x 0)处的切线为l ，则k 1＝1x 0，当l 过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，令2a ＝1⇒a ＝12，结合图象知，0<a <12，故选B.15．已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根 解 (1)f (x )的定义域是(0，＋∞)． 令f ′(x )＝2x －2x＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，又f (1)＝1， 所以f (x )的极小值为1，无极大值． (2)k (x )＝f (x )－h (x )＝x －2ln x －a (x >0)， 所以k ′(x )＝1－2x，令k ′(x )>0，得x >2，令k ′(x )<0，得0<x <2，所以k (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 要使函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同的零点，则需⎩⎪⎨⎪⎧k ，k，k，所以2－2ln2<a ≤3－2ln3.。