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课 题：n 维向量空间教学目的：掌握n 维向量空间的定义教学重点：n 维向量空间教学时数：二学时教学设计：I ．复习引入1．复习线性方程组的定义（齐次与非齐次）2．复习线性方程组的消元解法（举例说明）3．复习线性方程组解的判定（齐次与非齐次）II ．新课设计由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=c x c x c x 32121所代表的有序数组引入向量的概念3.2 n 维向量空间一．n 维向量1．定义：n 个实数 n ααα,...,21组成的有序数组称为n 维向量。
其中i α为向量的第i 个分量。
n 维向量一般用粗体,,,αβγ，，，a o x y 等表示。
记为),...,,(21n a a a =α向量的分类：n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵. n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵.如： [][], , , ,,,, , n n x x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12120012012 分别称为3维行向量、n 维行向量、4维列向量、n 维列向量。
所有分量均为零的向量称为零向量，记为 O =[0，0， 02．说明：⑴行向量就是行矩阵；列向量就是列矩阵，存在着转置的关系；⑵向量是矩阵，则也可以运算；⑶向量与矩阵的关系：设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A .....................212222111211，若记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nj j j j a a a 21α，则()n A ααα...21=若记()in i i i a a a ...21=β，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A βββ 21，由此说明矩阵可以用行向量表示，也可以用列向量表示。
⑷两个相等（与矩阵类似）例1．()111,=⎪⎭⎫ ⎝⎛=βαx y xy x ，求y x ,。
由βα=，有⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===11111y x xy xy x ⑸特殊的向量：①)0,...,0,0(0=②),...,,(21n a a a =α，则),...,,(21n a a a ---=-α③)1,...,0,0,0()...0,...,0,1,0(),0,...,0,0,1(21===n εεε称为单位向量，n εεε,...,,21为初始单位向量组。
n维向量空间在数学中，向量是用来表示方向和大小的量，而n维向量空间是指由n个方向上的向量组成的空间。
这种空间在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，比如计算机图形学、机器学习、统计学等。
向量的定义和性质一个n维向量可以表示为一个包含n个实数的有序集合，通常写成列向量的形式：$$ \\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ \\vdots \\\\ x_n \\end{pmatrix} $$在 n 维空间中，两个向量的加法和数量乘法满足以下性质：1.加法交换律：$$ \\mathbf{u} + \\mathbf{v} = \\mathbf{v} + \\mathbf{u} $$2.加法结合律：$$ \\mathbf{u} + (\\mathbf{v} + \\mathbf{w}) = (\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) + \\mathbf{w} $$3.数量乘法结合律：$$ c(\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) = c\\mathbf{u} + c\\mathbf{v} $$4.数量分配律：$$ (c+d)\\mathbf{u} = c\\mathbf{u} + d\\mathbf{u} $$5.数量乘法分配律：$$ c(d\\mathbf{u}) = (cd)\\mathbf{u} $$6.标量乘法的单位元：$$ 1\\mathbf{u} = \\mathbf{u} $$n维向量空间的例子n维向量空间并不局限于几何空间的概念，它可以应用于更广泛的领域。
比如在机器学习中，特征向量常常被表示为n维空间中的一个点，这个点对应于特征空间中的一个特定特征组合。
另外，在数字信号处理中，信号通常被表示为一个n 维向量，这样可以更好地处理信号的复杂性。
向量的内积和外积在 n 维空间中，向量的内积和外积是两个重要的运算。
内积定义如下：$$ \\mathbf{u} \\cdot \\mathbf{v} = \\sum_{i=1}^{n} u_i v_i $$内积有许多重要的性质，比如内积为零表示两个向量正交，内积的值与向量夹角的余弦有关等。
![高等代数第二版课件§3[1].2_n维向量空间](https://img.taocdn.com/s1/m/2beb2407e2bd960590c67734.png)
第三章n维向量空间3.2 向量组的线性相关性3.2.2 向量组之间的线性表出二、向量组之间的线性表出向量组I: 1, 2,…, r; II: 1, 2,…, s;若组I 中每一向量都可由组II 线性表出, 称组I 可由组II 线性表出.若组I 与组II 可以相互线性表出, 则称组I 与组II 等价.线性表出的性质:反身性: 每一向量组都可由其自身线性表出;传递性：I 可由II 线性表出, II可由III 线性表出, 则I可由III 线性表出.向量组等价的性质:反身性对称性传递性设向量组II: b 1, …,b s 可由I: a 1, …,a r 线性表出, 则:2. 向量组线性表出的矩阵形式:11121121r r b k a k a k a 21222122r rb k a k a k a1122s s s rs ra ab k k k a 12,,,s b b b12,,,r a a a11211r k k k 12222r k k k12s s rs k k k r sK线性表出的系数矩阵3. 矩阵乘积导出的线性表出2121,,,,,,r s c a c a c a11211r b b b 11121121r r a a c b b b a 12222r b b b21222122r r c b a b a b a 12s s rs b b b 1122s s s rs ra a cb b b a 因此,乘积 C 的列组可由 A 的列组线性表出.对称的,乘积 C 的行组可由 B 的行组线性表出., 写成分块矩阵形式:设m r r s m s A B C。
n 维向量空间§3.1 n 维向量的定义 1. 定义定义：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作),,,(21n a a a =α, 称为n 维行向量．i a –– 称为向量α的第i 个分量 R ∈i a –– 称α为实向量 C ∈i a –– 称α为复向量 零向量：)0,,0,0( =θ负向量：),,,()(21n a a a ---=- α列向量：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a 21α, 或者T21),,,(n a a a =α, 称为n 维列向量．零向量：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000 θ 负向量：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-n a a a 21)(α 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．n 维向量 n 个数a 1,a 2,…,a n 组成的一个有序数组(a 1,a 2,…,a n ) 称为一个n 维向量,记为1212()(,,,)...T n n a aa a a a αα⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭列向量形式或（行向量形式），其中第i 个数a i 称为向量的第i 个分量。
说明1. 列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
行向量可看作是列向量的转置。
零向量 0=(0,0,…,0)T (维数不同, 零向量不同)负向量 12(,,,)T n a a a α-=---。
向量相等设1212(,,,)(,,,)T T n n a a a b b b αβ==，，若,1,2,,i i a b i n ==则αβ=。
向量运算规律：① αββα+=+② ()()αβγαβγ++=++③ 0αα+=（0是零向量，不是数零）④ ()0αα+-= ⑤ 1αα=⑥ ()()()λμαλμαμλα== ⑦ ()λαβλαλβ+=+ ⑧ ()λμαλαμα+=+满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为线性运算。
