第二章 矩阵及其运算测试题

第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号第一节 矩阵及其运算一．选择题1．有矩阵23⨯A ，32⨯B ，33⨯C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC 2．设)21,0,0,21(=C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ] （A ）C C E T+ （B ）E （C ）E - （D ）03．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T4．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ] （A ）E C A B A TTTT= （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =2二、填空题： 1．=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4321028244611652112-⎛⎫ ⎪--⎝⎭2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=432112122121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=101012121234B ，则=+B A 3214138725252165⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭3．=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12707532113435649⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4．=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-204131210131431104126782056-⎛⎫ ⎪--⎝⎭三、计算题：1． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求A AB 23-及B A TA AB 23-21322217204292-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭B A T 058056290⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号第二节 逆 矩 阵一．选择题1．设*A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [B ] （A ）1-*=A A A （B ）1-*=n AA （C ）**=A A n λλ)( （D ）0)(=**A2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B |3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ]（A ）A A λλ= （B ）A A λλ= （C ）A A nλλ= （D ）A A nλλ=4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ] （A ）E C A B A TTTT= （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =2二、填空题：1．已知A B AB =-，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1221B ，则=A 10.50.51⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 2．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛12643152X ，则X = 21304⎛⎫⎪-⎝⎭3．设A ，B 均是n 阶矩阵，2=A ，3-=B ，则12-*B A = 21123n --4．设矩阵A 满足042=-+E A A ，则=--1)(E A (2)/2A E +三、计算与证明题：1． 设方阵A 满足022=--E A A ，证明A 及E A 2+都可逆，并求1-A 和12-+)(E A1()22A EA E A A E A -=∴-－可逆＝13(2)()42(32)4A EA E E A E A E A E -+=-+∴-+-－可逆＝2． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，求A 的逆矩阵1-A*420136132142||2A A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭= 12106.530.51671A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭3． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A 且满足B A AB 2+=，求 B1(2)(2)A E B A B A E A--==-线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号233(2)110121A E -⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪-⎝⎭10.5 1.5 1.5(2)0.50.5 1.50.50.50.5A E --⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭033123110B ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭一、把下列矩阵化为等价标准型：1．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 答案：1 -1 0 2 -3 0 0 1 -2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000001000012．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34731038234202173132 答案：1 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 4⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛001000001000001二、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023 答案：.10612631110104211;10612163111101014211111210123211122011023);|()|(1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−-则该矩阵的逆为r rA E E A三、已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1643388143131562231X ，求X 答案： 无解线性代数练习题 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组系 专业 班 姓名 学号 第三节 矩 阵 的 秩一．选择题1．设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且AB = 0，则A 和B 的秩 [ D ] （A ）必有一个等于零 （B ）都等于n C ）一个小于n ，一个等于n （D ）都小于n 2．设n m ⨯矩阵A 的秩为s ，则 [ C ] （A ）A 的所有s －1阶子式不为零 （B ）A 的所有s 阶子式不为零 （C ）A 的所有s +1阶子式为零 （D ）对A 施行初等行变换变成⎪⎪⎭⎫⎝⎛000sE 3．欲使矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛12554621231211t s 的秩为2，则s ，t 满足 [ C ]（A ）s = 3或t = 4 （B ）s = 2或t = 4 （C ）s = 3且t = 4 （D ）s = 2且t = 44．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，则 [ B ] （A ）当n m >时，必有行列式0≠||AB （B ）当n m >时，必有行列式0=||AB （C ）当m n >时，必有行列式0≠||AB （D ）当m n >时，必有行列式0=||AB()min(,)()min(,)()min((),())min(,)()||0()||0m n n m m n n m m n n m R A m n R B m n R A B R A R B m n n mR A A R A m A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯≤≤≤≤=<⇔⇔≠⇔<⇔=又A 可逆满秩A 不可逆5．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，则必有=B [ C ]（A ）21P AP （B ）12P AP （C ）A P P 21 （D ）A P P 12 二．选择题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=443112112013A ，则=)(A R 2 2．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=12221232121a a a A 的秩为2，则a 应满足 31a a ==-或 三、计算题： 1． 设，求)(A R213114413224422322321837103201032023075230750363732580325800242010320218370121710320012170242003635r r r r r r r r r r r r r r --↔-+↔+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→−−→ ⎪-- ⎪---⎝⎭4316141032001217000014000016103200121700001400000() 3.r r R A -⎛⎫⎪- ⎪− ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪-⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭=故2．设A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k ，问k 为何值，可使 ⑴ 1=)(A R ⑵2=)(A R ⑶3=)(A R21313132(1)212302(1)3(1)103(1)10,()1;10,12312302(1)3(1)02(1)3(1):103(1)003(2)(1)||6(2)(1)r r r r r k r r r k A k k k k k R A k k k k k k k B k k k k B k k k +---+-⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪⎪---⎝⎭-==-≠--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--−−−−→--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭=-+-若则若则若122,||0,60,() 2.62,||0,12,() 3.C R A k C k k R A --=-==≠=-≠-≠≠≠-=则但故若则故且时线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号第三节 分块矩阵一．选择题1．设A ，B 为n 阶矩阵*A ，*B 分别为A ，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B AC 00，则C 的伴随矩阵=*C [D ]（A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B B A A 00 （B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**A A B B 00 （C ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**A B B A 00 （D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B A A B 00 解：11111111100||||||0||||||0||||00||||||||,||||,0||||000||||A C B C A B A C C C A B B A B A A B B A A A E A A A B B B E B B B B A A B A A B A B B -*----**-**-*-*-⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎛⎫==⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭=⇒==⇒=⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题：1．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5400320000430021A ，则=-1A -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000 0 0 0 0 -2.5000 1.5000 0 0 2.0000 -1.0000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A = 42．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0030001320001200A ，则=2A 6 5 0 00 6 0 00 0 6 50 0 0 6⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2OC A B O O C O C CB O A B O B O O BC ⎛⎫=⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、计算题：1．设Λ=-AP P 1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001，求11A 11111()P AP P P AP P P P A P P -----=Λ=Λ=Λ 10.20.80.20.2P --⎛⎫= ⎪⎝⎭11111111()()...()A P P P P P P P P ----=ΛΛΛ=Λ 11111002-⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭11111A P P -=Λ2． 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0004300012300000200000100A ，求1-A解：1112*11*21111()r r B r C r O C A B O OCE O A E B O O E B O O E OC E O E O OB O EC O O B A CO --↔-----⎛⎫= ⎪⎝⎭⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤−−−→⎢⎥⎣⎦⎡⎤−−−→⎢⎥⎣⎦⎛⎫= ⎪⎝⎭1 0 0 0 0.8 -0.2 0 0 0 -0.6 0.4 1 0 0 0 0 0 0.5 0 0 010 0 0 03A -⎛=⎝⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭3．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2200020000340043A ，求8A 及 4A12A O A OA ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 1234432022A A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦4142625006251606416A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 462500006250000160006416A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦88881612(||||)(25*4)10A A A A ===-=线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号综 合 练 习一．选择题1．设n 阶矩阵A ，B 是可交换的，即AB = BA ，则不正确的结论是 [ B ] （A ）当A ，B 是对称矩阵时，AB 是对称矩阵 （B ）当A ，B 是反对称矩阵时，AB 是反对称矩阵 （C ）2222)(B AB A B A ++=+ （D ）22))((B A B A B A -=-+2．方阵A 可逆的充要条件是 [ B ] （A ）A ≠ 0 （B ）| A | ≠ 0 （C ）A * ≠ 0 （D ）| A * | ＞0 3．设n 阶矩阵A ，B ，C 和D 满足E ABCD =，则=-1)(CB [ A ]（A ）CDADAB （B ）DA （C ）AD （D ）DABCDA 二．填空题：1．已知二阶矩阵M 的伴随矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4221*M ，则=M 4221-⎛⎫⎪-⎝⎭ 2．若A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121106223211043a 可逆，则a 为 6a ≠-三．计算题与证明题：1． 已知)3,2,1(=α，)3/1,2/1,1(=β，设βαT A =，求nA 解： 1()()...()()nTTTTTTT n A αβαβαβαβαβαβαβ-==T βα＝1(1,1/2,1/3)233⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以111133132(1,1/2,1/3)311/21/33212/333/21n T n n T n n A αβαβ----==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101010112A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=020100301B ，A ，B 与X 满足06*1*=++-BA XA AXA ，求X解：*111*1*1|||||||||606060|||||6E AXA XA BA AX XA B AX X B A A A A A A A A A A A A A B -----∴++=++=+++== 由得右乘（）X ＝－得||3A ＝所以2E 2E A BX A B+=-+-1（）X ＝－（） 4 1 12E 0 3 0-1 0 39.0000 -3.0000 -3.00002E 0 13.0000 0 3.0000 -1.0000 12.0000A A ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭-1（）=1（）=39-9 6 -24 0 0 -13-3 -24 -8⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1x=39 3．设n 阶矩阵A 满足062=--E A A ，试证：（1）A 与A －E 都可逆，并求它们的逆矩阵； （2）A + 2E 和A －3E 不同时可逆11()6|||()||6|06)6A A E E A A E E A E A A A A E A E ---=-=≠-=--=可逆可逆((A+2E)(A-3E)=O又(A+2E)与(A-3E)均可逆因此，R((A+2E))=R((A-3E))=n=R((A+2E)(A-3E))=R(O)=0矛盾。

第二章 矩阵及其运算目标测试题一、填空题：1. 设A 为三阶方阵，且||3=A ，则2-A*1-= TA =2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3121A ，12B 01-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则32A B -= ，AB = 1A B -= 3. 已知1211A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，1111B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则det()BA = *A =________()1*A -= 4.设矩阵A 的逆矩阵11234A -⎛⎫=⎪⎝⎭，则矩阵A = ，矩阵A （是或不是）奇异矩阵 5.设()diag 21,3,=-A ，2A =________，1A -=_________A =6.()=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--021*******,1E ()=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--）（21021110321E 7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300041003A ，则1(2)A E --=8.设A 是43⨯阶矩阵，若将A 的第3行2倍，再将所得矩阵第1列的2-倍加到第4列得到矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=204244013101B ，则=A9.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1100210000120025A ，则=-1A A = 10. 已知A 为3阶方阵，且21=A ，则=-*-A A 2)3(1 11.矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--201000002310的秩是 ；已知2103231040000000A -⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则 R （A ）=12.若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 21330321的秩为2，则=a13.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1212c c r r ↔+ 14.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0211231-11化为行最简形矩阵为 15.设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k kA 111111111111，(1)若3)(=A R ，则=k (2)若1)(=A R ，则=k 二、选择题1.设n 阶矩阵A,B,C 满足ABC=E ，则正确的是（ ）A ． =ACB E B ． =CBA EC ． =BAC ED ．=BCA E 2. 设A 是34⨯矩阵，B 是35⨯矩阵，如果TAC B 有意义，则C 是（ ）矩阵 A ． 34⨯ B ．35⨯ C ．53⨯ D ．54⨯3. 设A ，B ，C 均为n 阶矩阵，则下列矩阵的运算中不成立．．．的是（ ） A.()T T T A B A B +=+ B. =AB B A C. ()+=+A B C BA CAD. ()T T TAB B A =4. 设A 是方阵，若AC AB =，则必有 （ ） A.0≠A 时C B =B.C B ≠时0=AC.C B =时0≠AD.0≠A 时C B =5. 设A,B 为n 阶矩阵，λ为实数，下列命题不正确的是 （ ） A.111()AB B A ---= B.()T T T AB B A = C.AB BA = D.A A λλ=6.矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000100051003011是（ ） A ．行阶梯矩阵 B ．行最简形矩阵 C ．标准形矩阵 D ．上三角矩阵7.矩阵A 在（ ）时，其秩将被改变。

第二章 矩阵及其运算目标测试题一、填空题.05021311_____ .2 .________23 3 .1 为奇异矩阵时，矩阵当，则阶方阵，且为设⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--==-=λλA A A._____2A2101020101 3.1=-≥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n nAn A 为正整数，则，设4.._____ 311334221==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=t O AB B t A ，则阶非零矩阵且为，设._____*)(*5430220015. 1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-A A A A 的伴随矩阵，则为，设二、 选择题.)( )( )( )( .1.E BCA D E BAC C E CBA B E ACB A E ABC C B A n =====，，，），则必有（满足，，阶方阵设2. 设A B ，均为n 阶对称矩阵且B 可逆，则下列矩阵中为对称阵的是（ ）..(AB))( B)( A B AB)( A B - AB )( 2-1-1-1-1-1D AB C B A ，，+3.1ab c d -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝（ ）（ad b c ≠）.A ．d c ba -⎛⎫⎪-⎝⎭ B.db ca -⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C.1d b ca ad bc -⎛⎫ ⎪--⎝⎭ D.1d c ba ad bc -⎛⎫⎪--⎝⎭4. 已知A B ，均为n 阶矩阵，且A O AB O ≠=，，下列结论必然正确的是（ ）.()()()()()()()()22222222-.A B O B A B A B C A B A B A B D A B A B A B =+=++=-++=-　， ，，5. 矩阵00A C B ⎛⎫=⎪⎝⎭的伴随矩阵*C =（ ）. ()()()()******** .A A O B B O A B OB A OA B C D O B B O A A O B A O A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，， 三、计算题.43A ,31A 4 3. .A ,A .)31,21(1,,321 2. .41011103)(2 1. 1*TTT--====⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+=AA B A B A AB B A n求阶矩阵，是设求又方阵），，（已知，求矩阵，其中满足关系式，设矩阵αββα4.设12312,,,,αααββ均为4维列向量，行列式1231det(,,,),m αααβ=1223det(,,,)n ααβα=，求32112det(,,,)αααββ+.5.设AP P =Λ，1214P ⎛⎫⎛⎫=Λ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10，=02，求()()82A A A A ϕ=-. 四、证明题.0 1. 22为奇异矩阵，证明：，且，若B A B A E BE A+=+==.4 A 2.2可逆，并求其逆，证明：满足设方阵E A E A A -=+3. .0 ** ≠=A A A A A n A T ，证明：的伴随矩阵且为阶非零矩阵，为设。

第二部分 矩阵及其运算作业（一）选择题(15分)１．设A ，B 均为n 阶矩阵，且22()()A B A B A B +-=-，则必有（ ） (A) A B = (B) A E = (C) AB BA = (D) B E =２．设A ，B 均为n 阶矩阵，且AB O =，则A 和B （ ）(A)至多一个等于零 (B)都不等于零(C) 只有一个等于零 (D) 都等于零３．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，AB 仍为对称矩阵的充分必要条件是（） (A) A 可逆 (B)B 可逆 (C) 0AB ≠ (D) AB BA=４．设A 为n 阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，则A *＝（ ） (A) 1n A - (B) 2n A - (C) n A (D) A５．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列公式成立的是（ ）(A) ()T T T AB A B = (B) ()T T T A B A B +=+(C) 111()AB A B ---= (D) 111()A B A B ---+=+（二）填空题(15分)１．设A ，B 均为3阶矩阵，且1,32A B ==，则2T B A = 。

2．设矩阵1123A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，232B A A E =-+，则1B -＝ 。

３．设A 为４阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，若2A =-，则A *＝ 。

４．设A ，B 均为n 阶矩阵，2,3A B ==-，则12A B *-＝ 。

５．设101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2n ≥为整数，则12n n A A --＝ 。

（三）计算题(５０分)1． 设010111101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,112053B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,且X AX B =+，求矩阵X 。

２．设101110012A 骣÷ç÷ç÷ç÷=-ç÷ç÷ç÷÷ç桫，301110014B 骣÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫，X 为未知矩阵，且满足：AX B =， 求逆矩阵1A -；并解矩阵方程AX B =。

线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第一节矩阵及其运算一．选择题1．有矩阵A3 2，B23， C 3 3，下列运算正确的是[B]（ A） AC（ B） ABC（ C） AB－ BC（ D） AC+BC2．设C (1, 0 ,0 ,1)，A E C T C ， B E 2C T C ，则AB[ B ] 22（ A）E C T C（ B）E（C）E（ D）03．设 A 为任意 n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是[ B]（ A）A A T（B）A A T（ C）AA T（ D）A T A二、填空题：1642011651．282342112412124321141387 2．设A 2 1 2 1， B 2 1 2 1，则 2A 3B2525 123401012165 4317353．1232657014913121400126784．13413120561402三、计算题：111设 A111，4111123B124，求 3AB2A 及 A T B0511111231113AB 2 A 3 111124 2 1111110511110582223 0562222902222132221720 ;4292111123058由 A对称，A T A，则 A TB AB11112405 6 .111051290线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第二节逆矩阵一．选择题1．设A是 n 阶矩阵A的伴随矩阵，则[B]（ A）AA A 1（ B）An 1（ C）( A)n A（ D）( A )0 A2．设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则[C]（ A） A+B 是 n 阶可逆矩阵（ B）A+B 是 n 阶不可逆矩阵（ C）AB 是 n 阶可逆矩阵（ D）| A+B| = | A|+| B|3．设 A 是 n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是（ A）A A（B）A A（C）A n A（D）A [ C] n A4．设 A， B， C 是 n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有[ B]（ A） CBA = E（B）BCA = E（C）BAC = E（D）ACB = E5．设 n 阶矩阵 A，B， C，满足 ABAC = E，则[ A]（ A ） A T B T A T C T E （B ） A 2 B 2 A 2 C 2E（C ） BA 2CE （ D ） CA 2 B E二、填空题：1121A ，其中 B21．已知 ABB，则 A2 11122．设2 54 6，则 X =2 13 1 X21 0433．设 A ， B 均是 n 阶矩阵， A2 ， B3 ，则 2 A B14n64．设矩阵 A 满足 A 2A4E0 ，则 ( A E) 11 ( A 2E)2三、计算与证明题：1． 设方阵 A 满足 A 2A 2E 0 ，证明 A 及 A2E 都可逆，并求 A 1和 ( A 2E ) 1A 2A 2 E 0A( A E ) 2 E A(A2 E ) EA 可逆，且 A 1AE ;2A 2 A 2E 0A( A 2E) 3A 2E 0A( A 2E) 3( A 2E) 4E 0( A 3E )( A 2E) 4E ( A3E)( A 2E)E4A可逆，且 (A 2E)1A 3E41 2 12． 设 A3 4 2 ，求 A 的逆矩阵 A 1541解：设 A(a ij )3 ，则A 114 2 4,A 12( 1)1232 13, A 13( 1)133432,4 15154A21( 1)1221 2, A 22 ( 1)2211 6, A 23 ( 1)2312 14,41 5154A 31( 1) 13210, A 32 ( 1) 3211 1, A 33( 1) 3312 2,4232344 2 0 从而 A *1361 .32 142又由1 212c 11 00 2 1A3 4c 23 212254 1 c 3c1514 614 6A * 21 0则 A 113 31A27216 10 3 33． 设 A1 1 0 且满足 ABA2B ，求 B12 3AB A2B( A 2E) B A2 3 3 0 3 3 11 0 B 1 1 012 11 232 3 3 0 3 311 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 r 1r 22 3 3 03 3 12 11 2 31 2 1 1 2 31 1 0 1 1 0 1 1 01 1 0 r 22r 10 1 3 2 5 3 r 3 r 2 0 13 25 3 r 3 r 11 13 32 2 211 0 11 0110 1 10 r 3 ( 1) 0 1 3 2 5 3 r 23r 3 0 1 01 2 32 0 0 1 1 1 00 011 11 0 0 0 3 3 r 1 r2 0 1 01 2 30 0 111 00 3 3 则 B ( A 2E) 1 A1 2 31 1线性代数练习题第二章矩 阵系专业 班姓名学号第三节（一）矩阵的初等变换一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：1 1 3 4 3 r2 3r 1 1 134 3r 2 4 1 1 3 4 3 3 3 5 4 1 0 0 4 8 8 0 0 1 2 222 3 2 0 r 3 2r 1 00 366 r 33 0 0 1 2 233 4 2 1r43r 1 0 0 5 10 10r45 012 211 34 3 11 023 r 3 r 2 0 0 1 2 2 00 1 2 2 r 4r 2 00 0 0 0 r 1 3r20 0 0 0二、把下列矩阵化为标准形：2 3 1 3 7 1 2 0 2 4 r 2 2r 1 1 2 0 2 4 1 2 0 2 4 23 1 3 7 0 1 1 1 132 83 0 r 1 r232 83 0 r 33r18 8 9 12 13 74 313 74 3 r 4 r 1 05 767122 4 122 4 r3 8r 2 0 1 1 1 1 01 1 1 1 r 45r 2 00 0 1 4 r 3 r40 2 1 20 212 00 0 14r 3 r 4 1 20 0 4120 040 1 1 0 31r 3 01 0 0 2r 2 r 4 r 20 0 2 0 20 0 2 0 2 r 1 2r 420 00 140 141 0 0 0 0 r 21 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 0 0 20 1 0 0 2 0 1 0 0 0r 12r20 2 0 2 1r 3 0 0 1 0 1c52c 2c34c40 1 0 00 00 14 20 0 0 140 0 0 1 0三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵3 2 0 1 0 2 2 1A2 3 211 213 2 0 1 1 0 0 0 1 2 3 2 0 0 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 0 1 0 01 2 3 2 0 0 1 r 1 r 32 0 1 1 0 0 0 03 012 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 11 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 02 2 1 0 1 0 0 01 2 1 0 0 0 1 r 33r14 95 1 0 3 0 r 2 r44 95 1 0 3 0 01210 00 12210 10 01 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 r 3 4r 2 0 12 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 1 r 42r 2 0 01 1 1 0 3 4 r 42r30 01 1 1 0 3 40 0210 10 2 0 00 12 1 6 10123 0 42 11 20120 0 1 1 2 2 r 12r4012 0 2 16 11 r 1 3r 3 0 1 00 01 0 1 r2 r 4 0 0 1 0 1 1 36 r 2 2r 3 0 0 1 0 1 1 36 r 3 r 40 00 1 2 1 6100 12 16101 0 0 0 1 1 24 r 1 2r 2 0 10 0 0 1 0 1 0 01 0 1 1 360 00 12 1 6101 12 4 A10 1 0 1 1 1 3 62 1 6 101 1 1 1 0 1 四、已知0 2 2 X 1 1 0 ，求 X110 1 41 1 1 1 0 11 1 1 10 11 1 1 1 0 1 0 22 1 1 0 r3 r 1 0 2 2 11 0 r 3r 2 0 2 2 1 1 0uuuuuruuuuur11 01 40 2 1 1 1 30 03 0 231 1 0 12 21 111 0 13r 22r3 0 20 1r 310 2 2 1 1 0 123r r30 012 1 uuuuuuur20 1 0 1331 1 01221 01 5 33 26r 210 1 0111 r 1 r2 0 1 0 111226uuuuur26uuuuur220 0 1 010 0 1 013 31 5 32 6故 X1 1 12 62 13线性代数练习题第二章矩 阵系专业班姓名学号第三节（二）矩 阵 的 秩一．选择题1．设 A ， B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB = 0，则 A 和 B 的秩[ D]（ A ）必有一个等于零 （ B ）都等于 n（C ）一个小于 n ，一个等于 n（ D ）都不等于 n2．设 mn 矩阵 A 的秩为 s ，则[ C]（ A ） A 的所有 s（ B ）A 的所有 s阶子式不为零－ 1 阶子式不为零（ C ）A 的所有 s +1 阶子式为零（D ）对 A 施行初等行变换变成E s0 0112133．欲使矩阵2s126的秩为2，则s，t满足[ C ] 455t12（ A）s = 3 或t = 4（B）s= 2 或t = 4（ C）s = 3 且t = 4（D）s = 2 且t = 44．设A是m n 矩阵，B是 n m 矩阵，则（ A）当m n 时，必有行列式| AB |0（ B）当（ C）当n m 时，必有行列式| AB |0（ D）当[ B ] m n 时，必有行列式| AB |0n m 时，必有行列式| AB |0a11a12a13a21a22a230105．设Aa21a22a23， Ba11a12a13， P1100，a31a32a33a31a11a32a12a33a13001100P2010，则必有 B[ C ] 101（ A）AP1P2（B）AP2P1（ C）P1P2A（ D）P2P1A二．填空题：31021．设A1 1 2 1 ，则 R( A)213441212．已知A 23a2应满足a=-1 或 3 1a的秩为 2，则 a22a21三、计算题：218371．设A230753258，求 R( A) 。

线性代数第⼆章矩阵试题及答案第⼆章矩阵⼀、知识点复习1、矩阵的定义由m?n个数排列成的⼀个m⾏n列的表格，两边界以圆括号或⽅括号，就成为⼀个m?n型矩阵。

例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8 是⼀个4?5矩阵.⼀个矩阵中的数称为它的元素,位于第i⾏第j列的数称为(i,j)位元素。

元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。

两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的⾏数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。

2、n阶矩阵与⼏个特殊矩阵⾏数和列数相等的矩阵称为⽅阵，⾏列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。

n阶矩阵的从左上⾓到右下⾓的对⾓线称为主对⾓线。

下⾯列出⼏类常⽤的n阶矩阵,它们都是考试⼤纲中要求掌握的.对⾓矩阵: 对⾓线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对⾓线上的的元素都为1的对⾓矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对⾓线上的的元素都等于⼀个常数c的对⾓矩阵,它就是c E.上三⾓矩阵: 对⾓线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三⾓矩阵: 对⾓线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵: 满⾜A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满⾜A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对⾓线上的元素⼀定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。

（1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2A=1阶梯形矩阵:⼀个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满⾜:①如果它有零⾏，则都出现在下⾯。

②如果它有⾮零⾏，则每个⾮零⾏的第⼀个⾮0元素所在的列号⾃上⽽下严格单调递增。

把阶梯形矩阵的每个⾮零⾏的第⼀个⾮0元素所在的位置称为台⾓。

每个矩阵都可以⽤初等⾏变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运⽤的基本运算，必须⼗分熟练。

矩阵计算练习题矩阵计算是线性代数中的重要概念，它能够帮助我们解决各种实际问题。

在这篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对矩阵计算的理解和应用。

一、矩阵加法和减法1. 已知矩阵A = [[2, 1], [4, 3]]，B = [[-1, 2], [5, 0]]，求A + B和A - B的结果。

解：矩阵的加法和减法都是对应元素相加或相减。

根据定义，我们可以得到以下结果：A +B = [[2 + (-1), 1 + 2], [4 + 5, 3 + 0]] = [[1, 3], [9, 3]]A -B = [[2 - (-1), 1 - 2], [4 - 5, 3 - 0]] = [[3, -1], [-1, 3]]二、矩阵乘法2. 已知矩阵C = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，D = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]，求C × D的结果。

解：矩阵的乘法是按照一定规则进行计算的。

具体计算步骤如下：C ×D = [[(1 × 7) + (2 × 9) + (3 × 11), (1 × 8) + (2 × 10) + (3 × 12)], [(4 × 7) + (5 × 9) + (6 × 11), (4 × 8) + (5 × 10) + (6 × 12)]]= [[58, 64], [139, 154]]三、转置矩阵3. 已知矩阵E = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]，求E的转置矩阵。

解：转置矩阵就是将原矩阵的行列互换得到的新矩阵。

对于矩阵E，其转置矩阵记为E^T，计算方法如下：E^T = [[1, 4, 7], [2, 5, 8], [3, 6, 9]]四、矩阵的乘方4. 已知矩阵F = [[1, 2], [3, 4]]，求F的平方F^2。

练习卷二（A卷）班级姓名学号学院专业※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※密封线内不准答题※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※第二章矩阵及其运算一、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）1．2．．3．已知方阵、满足，则成立的充要条件是AB+BA=0．4．设，则，．二、单项选择题（本大题共2个小题，每小题5分，共10分）5．设A、B为n阶方阵，则下列选项正确的是（B）．(A) ； (B) 若，则；(C) ； (D) 若AB=O，则A=O或B=O．6．设A、B为n阶方阵，则必有（A）．(A) ； (B) ；(C) ； (D) ．三、求下列矩阵的逆矩阵（本大题共1个小题，共15分）7．．解法1：利用伴随矩阵求解。

因为|A|=5，解法2：利用初等变换求解（第三章）.四、解答下列各题（本大题共3个小题，每小题15分，共45分）8．设矩阵，，且，求．解：由于|A|=6≠0，所以9．设方阵A满足，证明及都可逆，并求及．．证明：由于两边同时取行列式，得所以A可逆。

由于10．已知，求，其中．解：五、证明题（本大题共1个小题，共15分）11．若（为整数），证明：．证明：若，则故：E-A可逆，且（选作题）已知，且，求．阅卷感言：通过对这次测验的阅卷有如下感触：1，很多同学的计算不过关。

本来比较简单的一道题，因为算错了一个数，导致整个题目都算错，很不值。

所以计算能力差的同学要加强这方面训练，这个能力在你不懈的努力下是可以慢慢提高的。

不要从你小学的时候数学就经常算错向我念起，不要追溯到你的爸爸妈妈数学就不好…除了心理的因素以外，懒惰可能是你面临的最大障碍。

想提高只有多练，没别的招了。

2，在计算7,8两题时，有一部分同学将伴随矩阵的行与列的位置弄颠倒了，导致最后的结果错误。

这个我们在讲解相关习题的时候反复强调不要写错了，练习的习题得有十来道，结果还是有很多犯了这样的错误。

我严重怀疑这部分同学在我上第二章时来没来听讲呢？…3，在求伴随阵时每个元素是代数余子式，有的同学把正负号给遗忘了。

第二章矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由m⨯n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m⨯n型矩阵。

例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8 是一个4⨯5矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。

元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。

两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。

2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。

n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。

下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。

（1）A是正交矩阵⇔A T=A-1 （2）A是正交矩阵⇔2A=1阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足:①如果它有零行，则都出现在下面。

②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。

把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。

测验二（A 卷） 第二章 矩阵及其运算 一、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 1． =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−T 764012. 2． (=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛302642). 3．已知方阵A 、B 满足22A A B B ==，，则2()A B A B +=+成立的充要条件 是 . 4．设，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=3421A =*A ，=−1A . 二、单项选择题（本大题共2个小题，每小题5分，共10分） 5．设A 、B 为n 阶方阵，则下列选项正确的是（ ）. (A) ； (B) 若()k k AB A B =k A E =，则AB BA =； (C) ； (D) 若AB=O ，则A=O 或B=O . 22()(A B A B A B −=−+)6．设A 、B 为n 阶方阵，则必有（ ）. (A) BA AB =； (B) B A B A +=+； (C) 1A A −=； (D) B A B A ⋅=. 三、求下列矩阵的逆矩阵（本大题共1个小题，每小题15分，共15分） 7．. ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=412112013A 第二章 矩阵及其运算 第1页四、解答下列各题（本大题共3个小题，每小题15分，共45分）8．设矩阵，，且111211111A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠236b ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠Ax b =，求x .9．设方阵A 满足，证明22A A E −=A 及2A E +都可逆，并求1A −及1(2)A E −+. .第二章 矩阵及其运算 第2页10．已知，求，其中. ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100110111A )(A f E A A A f 32)(2+−= 五、证明题（本大题共1个小题，每小题15分，共15分） 11．若（为整数），证明：. O A k =k 121)(−−++++=−k A A A E A E " （选作题）已知122122A ⎛⎞−⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，且6A E =，求. 11A 总结：通过做本套测验试卷，哪些知识点你已经掌握？还有哪些知识点没有掌握？ 第二章 矩阵及其运算 第3页。

《线性代数》第二章练习题一、填空题1、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3121A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1223B ，则 3A+2B = ； AB = ；=T B 2、设矩阵==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-B A B A B A 1302133151，则，，。

3、设A 为三阶矩阵，且2=A ，则=--1*2A A4、设矩阵A 为3阶方阵，且|A |=5，则|A*|=______，|2A |=_____3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121043021A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=014322B ，则T AB = 4、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t A 11522111，且2)(=A r ，则=t5、若A=1233031206240000⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭则r(A)=_____ 6、设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211A ，I A A B 232+-=，则=-1B 7、设A 是方阵，已知O I A A =--222，则=+-1)(I A8、设矩阵A 满足O I A A =-+42，则=--1)(I A9、设A 是34⨯矩阵且2)(=A r ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301020201B ，则=)(AB r10、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=543022001A ，则=-*1)(A11、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300041003A ，则=--1)2(I A12、设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1100210000120025A ，则=-1A 13、已知A 为四阶方阵，且21=A ，则=-*-A A 2)3(1 14、设 ,4322=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A _________，n A =_________15、若=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*A A 则，654032001 ，1-A = 二、单项选择题1、若2A A =，则下列一定正确的是 ( )(A) A =O (B) A =I (C) A A =O =I 或 (D)以上可能均不成立2、设A,B 为n 阶矩阵，下列命题正确的是 （ ）（A ）2222)(B AB A B A ++=+； （B ）22))((B A B A B A -=-+；（C ）))((2I A I A I A -+=-； （D ）222)(B A AB =。