[考研数学]第二章 矩阵及其运算

第二章 矩阵及其运算1．教学目的和要求：(1) 使学生了解矩阵的概念，掌握矩阵的基本运算. (2) 掌握可逆矩阵的求法(3) 熟练掌握矩阵的初等变换与秩的求法 2．教学重点： (1) 矩阵的基本运算. (2) 逆矩阵的求法(3) 矩阵的初等变换与初等矩阵3．教学难点：分块矩阵的运算，矩阵的初等变换与初等矩阵.4．本章结构： 通过实例引出矩阵的概念，并介绍矩阵的基本运算，包括逆矩阵的有关性质及求法，重点介绍矩阵的初等变换，并提出初等矩阵的概念，以及两者之间的联系。

最后介绍了矩阵的秩的定义及其求法。

5．教学内容：§2.1 矩阵一、线性变换与矩阵在许多问题中，我们会遇到一些变量用另外一些变量来线性表示。

设变量m y y y ,,,21 能用变量n x x x ,,,21 线性表示，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n mn m m m n n n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y 22112222121212121111 （1）其中ij a 为常数（m i ,,2,1 =；n j ,,2,1 =）。

这种从变量n x x x ,,,21 到变量my y y ,,,21 的变换称为线性变换。

线性变换（1）中的系数可以排成m 行n 列的数表：mnm m n n a a a a a a a a a212222111211而线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111的系数也可以排成这样的数表，这种数表就叫做矩阵。

定义1 由n m ⨯个数ij a （m i ,,2,1 =；n j ,,2,1 =）排成m 行n 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 （2）称为m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵。

第二章 矩阵及其运算一、矩阵的概念与几类特殊方阵（一）矩阵及相关概念1.矩阵阶方阵阶矩阵或是，则称若或矩阵，简记称为列的表格行排成的个数n n A n m a A n m a a a a a a a a a n m a n m n m ij mn m m n n ij =⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯,)( (21)2222111211 2.0矩阵00，则称为零矩阵，记作中所有元素而都是如果矩阵A3.同型矩阵是同型矩阵与则称中如果，矩阵B A t n s m b B a A t s ij n m ij ,,,)(,)(====⨯⨯4.矩阵相等即对应的元素都相等同型矩阵),,(j i b a B A ij ij ∀=⇔= 1. 方阵的行列式 阶行列式其元素可构造对于方阵n a A ij )(=B A B A a a a a a a a a a A nnn n n n ≠≠=得不到由,.............. (2122221)11211(二)几类特殊方阵1.单位矩阵 主对角线上的运算全是1，其余元素均为0的n 阶段方阵，称为n 阶单位矩阵，记为E E A A AE EA ===0;2.对称矩阵),(,j i a a A A n A ji ij T ∀==即阶矩阵，如是设3.反对称矩阵对称矩阵反不一定是对称矩阵，但反也是对称矩阵，则反是同阶的若，即阶矩阵，如是设)()(,,)(,0),(-,-AB A B A B A B A a j i a a A A n A ii ji ij T λ-+=∀==4.对角矩阵 、积仍然是对角矩阵同阶的对角矩阵的和差，对角矩阵记为阶矩阵，如是设Λ≠∀≡)(0j i a n A ij5.逆矩阵 1,-==AA AB A E BA AB B n n A 记为的逆矩阵唯一的逆矩阵，是是可逆矩阵，，则称使阶矩阵阶矩阵，如存在是设6.正交矩阵T T T A A A E A A AA n A ===-1,是正交矩阵，则称阶矩阵，如是设7.伴随矩阵*=A A A A A A A A A A A n A a A n a A nn n n n n ij ij ij 的伴随矩阵，记为，称为阶矩阵所构成的的代数余子式的各元素阶矩阵，则由行列式是设....................)(212221212111二、矩阵的运算（一）矩阵的线性运算1.矩阵的加法CB A B A b a cC n m n m b B a A ij ij ij ij ij =++==⨯⨯==的和称为矩阵矩阵矩阵，则是两个设,)()()(),(2.矩阵的数乘kAA k b a ka n m k n m a A ij ij ij ij 记为的数乘，与矩阵称为数矩阵是一个常数，则矩阵，是设)()()(+=⨯⨯=3.矩阵的乘法nb r A r B Ax B AB A E A A A A B AB BA AB B A BA AB ABC B A b a b a b a b a c c C s m s n b B a A nk kj ik nj in j i j i ij ij ij ij ≤+≠======≠==≠==+++==⨯⨯==∑=)()(,00,0;0,;00,0)2(,)1(,...)()(),(212211则齐次方程组有非零解的解，若程中的每一列都是其次方应联想到或不能堆出，不能退出时，才能运算可交换即与只有换律矩阵的乘法一般没有交的乘积，记为与称为其中矩阵矩阵，则是两个设 ，命题成立矩阵，秩序是若不能退出的列数，则，且若可逆，则，且矩阵若立：以下两种情况消去率成，对于矩阵乘以不具有消去律n A r n m A C B A AC AB B A A r AB B A AB A AB =⨯=≠======≠=)(,,0,)3(0)(000),0(0（二）关于逆矩阵的运算规律A A =--11))(1( 111))(2(--=A k kA 111))(3(---=AB AB 11)())(4(--=T T A A 11)5(--=A A n n A A )())(6(11--=(三)关于矩阵转置的运算规律 A A T T =))(1( T T kA kA =))(2( T T T A B AB =))(3(T T T B A B A +=+))(4(（四）关于伴随矩阵的运算规律E A AA A A ==**)1( )2()2(1≥=-*n A A n )2())(3(2≥=-**n A A A n*-*=A k kA n 1))(4( **=)())(5(T T A A1)(,0)(;1)(,1)(;)(,)()6(-=-====***n A r A r n A r A r n A r n A r111-1-,)()(,1)()7(-**-**===A A A A A A AA A 可逆，则若（五）关于分块矩阵的运算法则⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡4433221143214321)1(B A B A B A B A B B B B A A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡DW CY DZ CX BW AY BZ AX W Z Y X D C B A )2( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡T T T T T D BC AD C B A )3( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n C OO B C O O B )4( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--O BC O O C B O C O O B C O O B 111-1-1-1-)4(，三、矩阵可逆的充分必要条件.8,.70.6)(.5,.4)(.30.2.121的特征值全不为总有唯一解非齐次方程组只有零解齐次方程组向量线性无关行的列是初等矩阵其中，有阶方阵存在可逆，等价于阶方阵A b Ax b Ax A P P P P A nA r A EBA AB B n A n i s =∀=⋅⋅⋅==≠==四、矩阵的初等变换与初等矩阵（一）矩阵的初等变换及相关概念1.矩阵的初等变换下述三种对矩阵的行列实施的变换称为矩阵的初等行列变换（1） 对调矩阵的两行列（2） 用非零常数k 乘以某行列中所有元素（3） 把矩阵某行列所有元素的k 倍加至另一行列对应的元素上去（4） 求秩（行列变换可混用）；求逆矩阵（只用行或只用列）；求线性方程组的解（只用行变换）（5） 不要混淆矩阵的运算2.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵（1）具体如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵①零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方②各非零行坐起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大（2）如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为零，这个行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵对于任何矩阵A ，总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵（二）初等矩阵的概念单位鞠振宁经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵（三）初等矩阵的性质逆是同类型的初等矩阵初等矩阵均可逆，且其同样的行列初等变换做了一次与就是对矩阵，所得乘右左用初等矩阵.2)()(.1P A AP PA A P )()(100013-001100013001)1()(100021000110002000100101010000101010011-11-11-k E k E k E k E E E ij ij i i ij ij -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---主对角线以外；主对角线；副对角线五、矩阵的等价（一）矩阵等价的概念的秩是矩阵阶单位矩阵是的等价标准形，其中后者是则称若等价，记作与则称矩阵矩阵经有限次初等变换变成矩阵A r r E A E A B A B A B A r r,,000~.~,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （二）矩阵等价的充分必要条件价向量组等价必有矩阵等向量可以互相线性表示；向量组等价是指两个等价是两个不同的概念矩阵的等价与向量组的使得阶可逆矩阵，阶可逆矩阵矩阵，则存在时设，使和存在可逆矩阵秩是同型矩阵且有相同的，等价于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=000,.2.1~r E PAQ Q n P m n m A BPAQ Q P B A B A六、常考题型及其解题方法与技巧题型一、有关矩阵的概念及运算题型二、求方阵的幂n A数学归纳法思路，可用相似对角化来求个线性无关的特征向量有，当思路可用二项式定理展开则且，能分解成两个矩阵的和，若思路律就可很方便地求出个矩阵的乘积，用结合能分解为一列与一行两则，若思路,43)(,2,1)(1nn n nA n A CB A CB BC C B A A A A A r +==+== 题型三、求与已知矩阵可交换的矩阵题型四、有关初等变换的问题题型五、关于伴随矩阵的命题题型六、矩阵可逆的计算与证明⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=====----*-O BC O O C B O C O O B C O O B A E E A A E E A A AA EBA E AB B 111-1-1-1-1114)()();()(3121，，分块矩阵法思路，初等变换法思路，伴随矩阵法思路或使，定义法，找出思路 题型七、求解矩阵方程为阶梯形方程组列方程用高斯消元法化不可逆，则可设未知数，若方法可以先求出可逆，则若方法解题思路的列向量表出的每列可由有解等价于A AB A X A B A r A r A B B Ax 2,,1)()(.2.111--===。

第二章 矩阵及其运算矩阵是数学中重要的概念，许多实际问题作数学描述时，都需要用到矩阵，同时矩阵是代数学的一个重要研究对象，它不仅在数学这门学科中有着重要的应用而且还广泛地渗透于其他的学科领域中.第一节 矩阵的基本运算一 矩阵的概念在初等数学中，已经有了二阶矩阵的概念，本节将二阶矩阵推广到m m N ∈()行n n N ∈()列的情形.定义1 由m n ⨯个数ij a （i m = 1,2,,；j n = 1,2,,）排成的m 行n 列数表，成为一个m n ⨯矩阵，记作n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111212122212A , (1)其中ij a 称为矩阵A 的第i 行第j 列的元素.一般情况下用大写字母A ，B ，C ， 表示矩阵，有时为了表明矩阵的行数m 和列数n ，也可以写成m n ×A 或ij m n a ⨯()A =.下面举几个例子说明矩阵的应用.例1（系数矩阵）n 个变量n x x x 12,,,与m 个变量m y y y 12,,,之间的关系式n n n nmm m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 11111221221122221122.........................., (2)表示一个从变量n x x x 12,,,到变量m y y y 12,,,的线性变换，其中ij a （i m = 1,2,,；j n = 1,2,,）构成的矩阵A =ij m n a ⨯()称为系数矩阵.线性方程组n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 11112211211222221122 (3)也有系数矩阵ij m n a ⨯()A =.例2（价格矩阵）四种食品（记为F F F F 1234,,,）在三家商店（记为S S S 123,,）中的单位价格（以某一货币单位计）可以用以下矩阵给出：F F F F S S S ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1234123177112115913191881519.这里行表示商店，列表示食品，例如a =2313表示食品F 3在商店S 2的价格为13，a =3419表示食品F 4在商店S 3的价格为19.例3（赢得矩阵）一个称为对策论或竞赛论的数学分支，是研究社会现象的一种特定的数学方法. 我国古代“齐王赛马”的故事，就是一个对策问题，故事说战国时代齐王与其大将田忌赛马双方约定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛，这样共赛马三次，每次比赛的败者付给胜者一百金. 已知在同一等级马的比赛中，齐王之马可以稳操胜券，但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王中、下等级的马. 问田忌应采取怎样的策略才能获胜.齐王与田忌在排列赛马出场顺序时，各可采取如表2-1所示的6种策略之一：表2-1：赛马策略策略1 策略2 策略3 策略4 策略5 策略6 上、中、下中、上、下下、中、上上、下、中中、下、上下、上、中将6种策略按表2-1的编号，可写出齐王的赢得矩阵：田忌策略 ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭31111-1131-1111131111113111111311111-13P 齐王策略, 其中p =-321，表示齐王采用策略3，田忌采用策略2，则比赛结束时齐王净输一百金. 由矩阵P 可知，当齐王采用策略1，2，3，4，5，6，时，田忌须采用策略6，4，2，3，1，5才能获胜.例4（航线矩阵）四个城市的单向航线如图2-1所示，若令ij i j a i j ⎧⎪=⎨⎪⎩10市到市有一航向市到市航向未通, 1423↔↓←则图2-1可用矩阵表示为： 图2-1⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0111100001001010.二 矩阵的基本运算定义2（同型矩阵）两矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵. 定义3（矩阵相等）如果矩阵A 与B 是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即ij ij a b =（i m = 1,2,,；j n = 1,2,,）, 那么称矩阵A 与B 相等，记作A =B .定义4（数乘矩阵）数λ与矩阵ij m n a ⨯()A =的乘积记为λA 或λA ，简称数乘矩阵，规定λA =λA =ij m na λ⨯=()n n m m mn a a a aa a a a a λλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111212122212.特别地，当λ=-1时，λA =(-1)A 称为矩阵A 的负矩阵，简记为 -A . 定义5（矩阵加法）两个同型矩阵ij m n a ⨯()A =，ij m n b ⨯=()B 的和，记为A +B .，规定A +B ij ij m na b ⨯=+=()1111121n 21222n m1m2mn n n m m mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪+++ ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭1212122212. 特别地，(-)A +B 称为A 与B 的差，又记为 -A B .为了引入矩阵乘法定义，先看下面例5.例5 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵A =111213142122232431323334a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 其中ij a 为工厂向第(1,2,3)i i =店发送的第(1,2,3,4)j j =种产品的数量. 这四种产品的单价及单位重量也可列成矩阵B =1112212231324142b b b b b b b b ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 其中：1j b 为第j 种产品的单价，2j b 为第j 种产品的单位重量，1,2,3,4j =. 现在希望作出一张汇总表，它能指明工厂向各个商店发出的商品的总价格与总重量.解 所需的汇总表可归结为下列矩阵总价格 总重量商店1商店2 商店3 例如c 11表示工厂向商店1发出的商品的总价格为c a b a b a b a b =⨯+⨯+⨯+⨯111111122113311441，c 12表示工厂向商店1发出的商品的总重量为c a b a b a b a b =⨯+⨯+⨯+⨯121112122213321442，类似地，可计算其余的ij c ，从而求得C .定义6（矩阵的乘法）设ij m s a ⨯()A =是一个m s ⨯矩阵，ij s n b ⨯()B =是一个s n ⨯矩阵，规定A 与B 的乘积是一个m n ⨯矩阵C =ij m n c ⨯()，其中c sij i j i j is sj i k k jk a b a b a b ab ==+++=∑ 11221（i m = 1,2,,；j n = 1,2,,） 并把此乘积记作AB =C .例6 求矩阵2424==1236⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭----A ,B的乘积AB 与BA .解 由矩阵乘法定义得c c c c c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭111221223132C,AB =24241236⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭----=1632816⎛⎫ ⎪⎝⎭--,BA =24243612⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭----=0000⎛⎫ ⎪⎝⎭.注意：由例6可知AB ≠BA .，而例5中的AB 有意义.，BA 却没有意义. 可见在矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，矩阵的乘法一般不满足交换律. 若AB =BA ，则称A 与B 是可交换的.定义7（矩阵的转置）把矩阵A 的行换成同序数的列得到一个新的矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作TA .例如矩阵A =⎛⎫ ⎪-⎝⎭120311的转置矩阵为T A =⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭132101. 矩阵的运算性质：（1）加法 A +B =B +A ；()A +B +C =()A +B +C . （2）数乘 ))λμλμ((A =A ；)λμλμ++(A =A A ；()=λλλA +B A +B .（3）乘法 ()AB C =()A BC ；()=()()λλλAB A B =A B ；(+)=A B C AB+AC ；(+)=+B C A BA CA .（4）转置 T T =()A A ；T T T +()A +B =A B ；TT λλ=()A A ；T ()AB =T T B A .其中λμ,为实数.这里仅证T()AB =TTB A .证明 设ij m s a ⨯()A =，ij s n b ⨯()B =，记AB =C =ij m n c ⨯()，T T ij n m d ⨯==()B A D . 于是由矩阵乘法定义得sji jk kik c ab ==∑1，而T B 的第i 行为i i si b b b 12(,,,)，TA 的第j 列为T j j js a a a 12(,,,)，因此ssij ki jkjk kik k d b aab ====∑∑11，即ij ji d c =（i n = 1,2,,；j m = 1,2,,），也就是T =D C ，从而T()AB =T T B A .例7 已知 A =⎛⎫ ⎪-⎝⎭120311，1=⎛⎫-⎪⎪ ⎪⎝⎭71423201B , 求矩阵T ()AB . 解法一 因为AB =⎛⎫ ⎪-⎝⎭1203111⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭71423201=⎛⎫ ⎪-⎝⎭91151195,所以T ()AB =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭91111955. 解法二T ()AB =T T B A =1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭42720131⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭132101=⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭91111955.第二节 特殊矩阵矩阵的元素可以是实数，也可以是复数，元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵.一 零矩阵定义1元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作0.零矩阵的性质：+=+=00A A A ； =0-A A ；==0000A ,A . 注意：（1）不同型的零矩阵是不相同的. （2）若有两个矩阵A 与B 满足=0AB ，不能得出=0A 或=0B 的结论；若≠0A 而()=0-A X Y ，也不能得出=X Y 的结论.二 特殊形状的矩阵 （一）行矩阵定义2只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量，即=(n a a a 12)a .为了避免元素间的混淆，行矩阵也记为=(n a a a 12,,,)a .（二）列矩阵定义3只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量，即b =m b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12. 列矩阵也常记为 b =T (m b b b 12,,,).例1 对于线性方程组n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 11112211211222221122..........................， 若记i j m na ⨯()A =，n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 12x ，m b b b ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭ 12b ，n n m m m mn a a a b a a a b b a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121121222212B ， 其中A 是系数矩阵，x 称为未知数向量，b 称为常数项向量，B 称为増广矩阵，利用矩阵的乘法，方程组可记为=Ax b .例2 线性变换n n n nmm m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 11111221221122221122..........................， 利用矩阵的乘法，可记为=y Ax . 其中(ij m n a ⨯)A =， n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 12x ， m y y y ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12y .例3 设平面上的点x y ''(,)到x y (,)的坐标变换公式为x a x a y y a x a y ''⎧=+⎪⎨''=+⎪⎩11122122, (1)而点x y ''''(,)到x y ''(,)的坐标变换公式为x b x b y y b x b y '''''⎧=+⎪⎨'''''=+⎪⎩11122122, (2)求x y ''''(,)到x y (,)的坐标变换公式.解（1）式可写作a a x x y y a a ⎛⎫'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122122， （2）式可写作b b x x y y b b ⎛⎫'''⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122122， 则a a x x y y a a ⎛⎫'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122122=a a b b x y a a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112111221222122=a a b b x y a a b b ⎛⎫⎛⎫''⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112111221222122 =a b a b a b a b x y a b a b a b a b ⎛⎫++''⎛⎫⎪ ⎪ ⎪''++⎝⎭⎝⎭11111221111212222111222121122222. 故x y ''''(,)到x y (,)的坐标变换公式是x a b a b x a b a b y y a b a b x a b a b y ''''⎧=+++⎪⎨''''=+++⎪⎩11111221111212222111222121122222()()()(). （三）单元素矩阵定义4只含一个元素的矩阵称为单元素矩阵，记为a ()，也常记为a .例4 =(n nn i i i i i i n b b a a a a b a b b ==⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 121211,,,)()A .（四）n n N ∈()阶方阵定义5行数与列数都等于n 的矩阵称为n 阶矩阵或n 阶方阵，记作n A . 设A 是n 阶方阵，称k A 是n 阶方阵A 的幂，规定：1=A A ，2=A 1A 1A ， ，11k+k =A A A .由于矩阵乘法满足结合律，所以方阵的幂满足以下运算律： k l k+l =A A A ， k l kl =()A A ， 其中,k l 为正整数.注意：一般说来kkk≠()AB A B ，只有当A 与B 可交换时，才有kkk=()AB A B . 同样也只有当A 与B 可交换时，公式 +=++222()2A B A AB B 和(+)(A B A )-B2=A 2-B 等，才成立.例5 证明nn n n n ϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos sin cos sin sin cos sin cos .证明 用数学归纳法.当n =1时，等式显然成立，设当n k =时，等式成立，即cos sin cos sin sin cos sin cos kk k k k ϕϕϕϕϕϕϕϕ--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭,那么当n k =+1时，有1cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)k k k k k k k k k k k k k k k k k k ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+-⎛⎫ ⎪⎝⎭--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭---⎛⎫= ⎪+-+⎝⎭+-+=++.ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭于是等式得证.例6 设A =122001001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，求2A .解 2A =122001001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭122001001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭122001001⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭=A 一般说来，一个n 阶方阵A ，若2A =A ，则称A 为幂等矩阵，如例6的矩阵A 便是一个幂等矩阵.例7 设A =1213142324340000000000a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭,求4A . 解 2A =1213142324340000000000a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭121314232434000000000a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭12231224133423340000000000000a a a a a a a a +⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 4A =2A 2A =12231224133423340000000000000a a a a a a a a +⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1223122413342334000000000000a a a a a a a a +⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭=0000000000000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=0. 一般说来，一个n 阶方阵A ，若存在一个正整数p 使得 pA =0，则称A 为幂零矩阵. 如例7的矩阵A 便是一个幂零矩阵.三 几个常用的方阵 （一） 对角矩阵 定义6形如12000000n λλλ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭的方阵称为对角矩阵，简称对角阵，其中i λ（i =1，2，….，n ）是实数，对角阵用符号记作Λ=n diag λλλ 12(,,,).例如线性变换111222........n n ny x y x y x λλλ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩对应n 阶对角阵n Λ=n diag λλλ 12(,,,).在对角阵n Λ中，当12n λλλλ==== ，即n Λ=n diag λλλ 12(,,,)时，称n Λ为纯量阵.在纯量阵n Λ=diag λλλ (,,,)中，当λ=1时，称n Λ为单位阵，记为n E 或E . 纯量阵n Λ=diag λλλ (,,,)可表示为n λE 或λE .例如线性变换1122........n ny x y x y x =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩叫做恒等变换，它对应的变换矩阵是n 阶单位阵n E . 单位阵的运算性质：（1）m m n m n m n n m n ⨯⨯⨯⨯=E A =A ,A E A ； （2）n n n n n =E A =A E A ； （3）p n n =E E （p 是正整数）.由性质（3）可得：()ppp p pn n diag λλλλλ== (),,,E E .由单位阵的性质可知，单位阵在矩阵乘法中的作用类似于数1.（二）上三角形矩阵与下三角形矩阵定义7 一个n 阶方阵，在对角线以下（上）的元素都是零时，称为上（下）三角形矩阵，它的形式是：11121222n n nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0 .与11212212n n nn a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中0表示矩阵对角线右上角与左下角的元素全为零. （三）对称矩阵定义8 设A 为一个n 阶方阵，如果满足T=AA ，即i j ji a a i j == (,1,2,，n ,)则称A 为对称矩阵，简称对称阵.对称阵的性质：（1） 它的元素以对角线为对称轴对应相等. （2） 若A ，B 是对称阵，λ为常数，则 （ⅰ）A ±B ，λA 为对称矩阵；（ⅱ）AB 是对称矩阵的充要条件为AB =BA . 对角阵Λ是对称阵，即TΛ=Λ，从而T=EE ，λλT =()E E .定义9 设A 是一个n 阶方阵，如果满足=T-A A ，即ij ji a a i j =-(,n = 1,2,,)，则称A 为反对称矩阵，简称反对称阵.反对称阵的性质： (1) 对角线元素均为零;(2) 设A 为奇数阶反对称阵，则=0A ; (3) 设A ，B 为反对称阵，λ为常数，则 （ⅰ）A ±B ，λA 为反对称矩阵；（ⅱ）AB 为反对称矩阵的充要条件为AB =-BA . (4) 设A 是任意阶方阵，则A T-A 必为反对称矩阵.四 行阶梯形矩阵与行最简形矩阵定义10 在矩阵的行下可画出一条阶梯线，线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数是非零行的行数，阶梯的竖线（每段竖线的长度为一行）右边的第一个元素为非零元，也就是非零行的首个非零元，则称该矩阵为行阶梯形矩阵. 例如11214011100001300000-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪⎝⎭是一个行阶梯形矩阵.定义11若行阶梯形矩阵的非零行的首个非零元素为1，且这些首个非零元素所在列的其他位置上的元素都是0，则称这样的行阶梯形矩阵为行最简形矩阵.例如10104011030001300000-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与100634010423001946⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 都是行最简形矩阵.五 共轭矩阵定义12当()ij =a A 为复矩阵时，用ij a 表示ij a 的共轭复数，记()ij =a A ，称A 为A 的共轭矩阵.共轭矩阵的运算性质（设A ，B 为复共轭矩阵，λ为复数，且运算都是可行的）：（1）+=+A B A B ； （2）λλ=A A ；（3）A =AB B .第三节 逆矩阵一 方阵的行列式定义1 由n 阶方阵A 的元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A 的行列式，记作A 或det A .注意：方阵与行列式是两个不同的概念，n 阶方阵是2n 个数按一定方式排成的数表，而n 阶行列式则是这些数（也就是数表）按一定的运算法则所确定的一个数. 方阵的行列式满足下列运算规律（设A,B 为n 阶方阵，λ为实数）：（1）T=A A （行列式的性质1）；（2）n λλ=A A ；（3）=AB A B . 下面仅证（3）.证明 设(),()ij ij a b ==A B .记2n 阶行列式1111111111nn nn n n nna a a a Db b b b =---OA O =E B，由第一章第二节的例12可知D =A B .在D 中以1j b 乘第1列，2j b 乘第2列，，nj b 乘第n 列都加到第(1,2,,)n j j n += 上有D =-0A CE ，其中：ij ij 1122=(),j i j i nj in c c b a b a b a =+++ C ，故=C AB ，再对D 的行作j n j r r +↔(1,2,,)j n = ，有(1)nD -=-0E A C，再由第一章第二节的例12，可知(1)(1)(1)n n n D =--=--==E C C C AB ，于是=AB A B . 证毕.由方阵行列式运算规律（3）可知，对于n 阶方阵A 、B ，一般说来≠AB BA ，但总有=AB A B .二 逆矩阵的概念定义2 设A 是n 阶方阵，若0≠A ，则A 称为非奇异矩阵. 若A =0，则A 称为奇异矩阵.例1 线性方程组n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 11112211211222221122..........................， (1)若其系数矩阵A =()ij a 是非奇异矩阵，则由克莱姆法则，方程组（1）有唯一解.例2 线性变换n nn nnn n nn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 11111221221122221122..........................，…………………（2） 若其系数矩阵A =()ij a 是非奇异矩阵，我们也可以用克拉默法则将（2）中的12,,,nx x x 解出，得n nn nnn n nn n x b y b y b y x b y b y b y x b y b y b y⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 11111221221122221122..........................，…………………（3） 称变换（3）为变换（2）的逆变换.若记（3）的系数矩阵为B =()ij b ，记1122,n n x y x yx y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y ，那么（2）式与（3）式可写成矩阵的形式=y Ax ，....................................（4） =x By ， (5)用（5）式代人（4）式，可得()=()=y A By AB y ，可见AB 为恒等变换所对应的矩阵，即有AB =E . 将（4）式代入（5）式得到 ()=()=x B Ax BA x ，即有BA =E ，于是AB =BA =E .由此引入逆矩阵的定义.定义3 对于n 阶方阵A ，如果存在一个n 阶方阵B ，使 AB =BA =E ，则称矩阵A 是可逆的，矩阵B 称为A 的逆矩阵，简称逆阵.A 的逆矩阵记作1-A ，若AB =BA =E ，则B =1-A .定理1 矩阵A 可逆的充分必要条件是0≠A . 证明 先证“A 可逆0⇒≠A ”.因为A 存在逆矩阵，所以1-=AA E ，故111--==AAA A =E ，即0≠A .再证“0≠⇒A A 可逆”.设1122,n n x y x yx y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y ，构造线性变换=y Ax ，由例2知：存在逆变换=x By ，这里A 与B 满足AB =BA =E ，这说明B 是A 的逆矩阵，故A 可逆.推论1 若0=A ，则A 不存在逆矩阵. 推论2 若AB =E （或BA =E ），则B =1-A . 证明 1==A B E ，故0≠A ，则1-A 存在，于是1111()()----=====B EB A A B A AB A E A .例3 设12n a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 为n 阶对角阵，且120na a a ≠ ，验证1-A 12111n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 证明 由120n a a a ≠ ，知0(1,2,,)i a i n ≠= ，故12n a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12111n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ， 即 1-=A A E .12111n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ =111⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，即 1-=A A E .故1-=A 12111n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.三 逆矩阵的性质定理2 若A 可逆，则A 的逆矩阵是唯一的.证明 设矩阵B 和C 都是A 的逆矩阵，则AB =BA =E ，AC =CA =E ，可得==()=()==B E B C A B C A B C E C ，故A 的逆矩阵是唯一的.逆矩阵的运算性质：（1）若A 可逆，则1-A 亦可逆，且11()--=A A .（2）若A 可逆，数0λ≠，则λA 可逆，且111()λλ--=A A .（3）若A 、B 为同阶矩阵且均可逆，则AB 亦可逆，且 111()---=AB B A .（4）若A 可逆，则TA 亦可逆，且T 11T ()()--=A A .下面只证明性质（3）与（4）. 证明 先证（3）11111()()()-----====AB B A A BB A AEA AA E ，由定理1的推论2可得111()---=AB B A .再证（4）T 1T 1T T ()()--===A A A A E E ，故 T 11T ()()--=A A .例4 设A 、B 为同阶矩阵且均可逆，且+E AB 也是可逆矩阵，求111()---+E A B .解 因为A 、B 均可逆，所以1-A 与1-B 存在，从而+E AB =1111()()----+==AA AB A A +B A A +B B B =111()---A A B +BB B =1111()()----A A B +E B =A E +A B B ，故1111111()()--------=A E +A B B=A A E +A B B BE +A B ， 从而1111111()(())()-------=+E +A B A E +AB B =B E AB A .四 逆矩阵的求法（利用伴随阵）定义4（伴随阵） 设A 是n 方阵，行列式A 的各元素的代数余子式i j A 所构成的如下矩阵112111222212n n *n nnn A A A A A A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A称为矩阵A 的伴随矩阵，简称为伴随阵.例5 求二阶矩阵a b =c d ⎛⎫⎪⎝⎭A 的伴随矩阵. 解 计算A 余子式：11M d =，12M c =，21M b =，22M a =，故1121112112221222*A A M M db A A M Mc a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A . 例6 求三阶方阵123221343=⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭A 的伴随矩阵.解 计算A 余子式：112M =，123M =，132M =，216M =-，226M =-，232M =-，314M =-，325M =-，332M =-，故112131122232132333264365222*M M M M M M MM M --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A .定理3 设*A 是A 的伴随阵，则==**AA A A A E .证明 设A =()i j n a ，记*AA =()i j n b ，*A A =()i j n c ，11220i j i j i j i n j n i j b a A a A a A i j ⎧=⎪=+++=⎨≠⎪⎩ 当时当时A ,1,2,,i j n =故*AA =⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭AAA E A . 1122i j i j i j ni n jc A a A a A a =+++ 1122j i j i n j ni a A a A a A =+++ 0i j i j ⎧=⎪=⎨≠⎪⎩当时当时A,1,2,,i j n = .从而=*A A A E ， 所以==**AA A A A E . 推论3 设A 是n 阶方阵，0≠A ，则11=*-A A A. 推论3是求逆矩阵的一种方法. 例如，例5的方阵A ，当0a bc d=≠A 时，A 的逆矩阵 11=*-A A A =11d b d b a b c a c a ad bc c d--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭. 例6的方阵A 的行列式20=≠A ，故A 存在逆矩阵，其逆矩阵为11=*-A A A =13226426411353653653123222222222111221343-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭-⎝⎭.定义5 若0≠A ，规定：0=A E ，1()k k--=A A ，其中k 为正整数.由定义5可知，若0≠A ，对于任意整数,λμ，有λμλμ+=A A A ，()λμλμ=A A .五 逆矩阵的应用(一) 利用逆矩阵求线性变换的逆变换在例2中，若已知线性变换=y Ax 且0≠A ，其逆变换=x By 中的系数矩阵B 就是系数矩阵A 的逆矩阵, 即1-B =A .(二) 利用逆矩阵求矩阵方程的解例7 设123221343=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，2153=⎛⎫ ⎪⎝⎭B ，132031=⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭C ，求矩阵X 使其满足=AXB C . 解 因为20=≠A ，10=≠B ,故1-A 与1-B 存在，有 1111----=A A X B B A C B，即 11--=X A CB ，其中1-A =13235322111-⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭，1-B =3152-⎛⎫ ⎪-⎝⎭，于是11--=X A CB =132********-⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭132031⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3152-⎛⎫ ⎪-⎝⎭=110202⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3152-⎛⎫ ⎪-⎝⎭21104104-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. （三）利用逆矩阵求方阵A 的正整数幂与方阵A 的多项式命题：若1=-P P A Λ，则1=n n -P P A Λ.用数学归纳法直接证得上述命题.例8 设1214=⎛⎫⎪⎝⎭P ，1002=⎛⎫ ⎪⎝⎭Λ，=P P A Λ,求nA . 解 由已知可得2=P , 1-P =421112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.由 10,02=⎛⎫⎪⎝⎭Λ得到2210101010,,02020202nn ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ΛΛ， 故1112221112104242124222111140211112221242222221.2221n n n n n n n n n nn n =++++++++--⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--= ⎪--⎝⎭A定义6 设01()m m x a a x a x ϕ=+++ 为x 的m 次多项式，A 为n 阶方阵，记01()m m a a a ϕ=+++ A E A A ，称()ϕA 为矩阵A 的m 次多项式.因为矩阵,k l A A 和E 都是可交换的，所以矩阵A 的两个多项式()ϕA 和()f A 总是可交换的，即总有()ϕA ()f A =()f A ()ϕA ， 从而A 的n 次多项式可以像数x 的多项式一样相乘或分解因式. 例如 2(+)(2)=2+--E A E AE A A ,323()=3+3---E A E A A A .例9 设方阵A 满足22=0--A A E ，证明A 及+2A E 都可逆，并求1-A 及1(+2)-A E .证明 先证明A 可逆，并计算出1-A .由 22=0--A A E 可得2=2-A A E ，即()=2-A A E E ，也就是1[()]2-A A E=E . 由定理1的推论2知：1-A 存在，且1-A =1()2-A E .再证明+2A E 可逆，并求出1(+2)-A E .由22=0--A A E ，得2=+2A A E ，所以有2=+2A A E ，即2=+2A A E .因为A 可逆，所以0≠A ，从而+20≠A E ，故+2A E 可逆.因为2=+2A A E ，所以有121122211(+2)()()()(2)4411(22)(3).44---===-=-+=+-+=-A E A A A E A A E A E A E E A即11(+2)(3).4-=-A E E A第四节 矩阵的初等变换及其应用矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求矩阵的秩、求逆矩阵、求解矩阵方程以及在矩阵理论的探究中都起着重要的作用.一 初等变换 （一） 初等行变换为了引进矩阵的初等行变换，先来分析用消元法解线性方程组的例子. 引例 用消元法解线性方程组123412341234123422(1)24(2)46224(3)36979.(4)x x x x x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪+-+=⎪⎨-+-=⎪⎪+-+=⎩……………………...（B ）解（B ）(1)(2)1(3)2↔⨯−−−−→123412341234123424(1)22(2)232(3)36979(4)x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+=⎪⎨-+-=⎪⎪+-+=⎩……………………..（1B ）(2)(3)(3)2(1)(4)3(1)--⨯-⨯−−−−→123423423423424(1)2220(2)5536(3)3343(4)x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+=⎪⎨-+-=-⎪⎪-+=-⎩……………………….（2B ） 1(2)2(3)5(2)(4)3(2)⨯+⨯-⨯−−−−→12342344424(1)0(2)26(3)3(4)x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+=⎪⎨=-⎪⎪=-⎩………………………..（3B ）(3)(4)(4)2(3)↔-⨯−−−−→1234234424(1)0(2)3(3)00(4)x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+=⎪⎨=-⎪⎪=⎩………………………..（4B ）(1)(2)(2)(3)--−−−→132344(1)3(2),3(3)00(4)x x x x x -=⎧⎪-=⎪⎨=-⎪⎪=⎩…………………………（5B ）于是解得13234433x x x x x =+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩.……………………………………….…（6B ）在上述消元的过程中，始终把方程组看作一个整体，即不是着眼于某个方程的变形而是着眼于整个方程组变成另一个方程组. 这里一共用到三种变换，即：①交换方程次序（()i()j ↔）；②以不等于0的数乘以某个方程（()k i ⨯）；③一个方程加上另一个方程的k 倍（以()()i k j +⨯替换()i ）.由于这三种变换都是可逆的，因此变换前的方程组与变换后的方程组是同解的，这三种变换都是方程组的同解变换，所以最后求得的解（6B ）是方程组（B ）的全部解.在上述变换过程中，实际上只需要对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算.因此若记方程组（B ）的增广矩阵为2111211214()4622436979⎛--⎫ ⎪-⎪== ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭B A b ， 那么上述对方程组的变换完全可以转化为对矩阵B 的变换.把方程组的上述变换过程移植到矩阵B 上，得到下列过程：B 12312r r r ↔⨯−−−→111214211122311236979⎛-⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭B 233141(1)(2)(3)r r r r r r +-+-⨯+-⨯−−−−→211214022200553603343⎛-⎫⎪- ⎪= ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭B23242125(3)r r r r r ⨯+⨯+-⨯−−−−→311214011100002600013⎛-⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭B 3443(2)r r r r ↔+-⨯−−−−→4112140111000013000⎛-⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B 1223(1)(1)r r r r +-⨯+-⨯−−−−→510104011030001300000⎛-⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B ， 其中(1,2,3,4)i r i =表示第i 行.矩阵4B 是行阶梯形，5B 是行最简形. 由5B 可得出方程组的解6B ，反之由方程组的解6B ，也可写出矩阵5B . 由此可猜想到一个矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的（行阶梯形矩阵中的非零行数也是唯一确定的）.定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：①互换两行（对调,i j 两行，记作i j r r ↔）；②以数0k ≠乘以某一行中的所有元素（k 乘以第i 行，记作i k r ⨯）；③把一行所有元素的k 倍加到另一行对应元素上去（第j 行的k 倍加到第i 行上，记作i j r k r +⨯）.显然，三种变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换；变换i j r r ↔的逆变换就是其本身；变换i k r ⨯的逆变换为1i r k⨯（或记作i r k ÷）；变换i j r k r +⨯的逆变换为()i j r k r +-⨯（或记作i j r k r -⨯）.定义2 如果矩阵A 经有限次初等行变换变成矩阵B ，就称矩阵A 与B 行等价，记作~rA B .矩阵之间的行等价关系具有下列性质： （1）反身性 ~rA A ；（2）对称性 若~r A B ，则~rB A ； （3）传递性 ~rA B ，~rB C , 则~rA C .例1 设021302230=-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，把(,)A E 化成行最简形. 解(,)A E =021100302010230001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭3321232r r r r r ⨯+⨯↔−−−→302010021100094023-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭33229rr r ⨯+⨯−−−→302010021100001946-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭13232(1)r r r r +⨯+-⨯−−−−→30018912020846001946⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭12131()2r r ⨯-⨯−−−→100634010423001946⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 定理1 对于任何矩阵m n ⨯A ，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形和行最简形矩阵.利用数学归纳法可以证明定理1. （二）初等列变换与初等变换把定义1中的“行”变换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r ”换成“c ”）.如果矩阵A 经有限次初等列变换变成矩阵B ，就称矩阵A 与B 列等价，记作~cA B . 矩阵之间的列等价关系也具有反身性、对称性与传递性. 矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换.如果矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B ，那么称矩阵A 与B 等价，记作~A B .矩阵之间的等价关系也具有反身性、对称性与传递性.对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准形，例如344125123115433101041000011030100000013001000000000000c c c c c c c c c ↔+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=−−−−−−→= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B F , 矩阵F 称为矩阵B 的标准形，其特点是：F 的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0.对于m n ⨯矩阵A ，总可以经过有限次初等变换（初等行变换和初等列变换）把它化为标准形. 1001~=1000000000000r⎛⎫⎪⎪ ⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭000 EA F ， 此标准形由,,m n r 三个数完全确定，其中r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.所有与A 等价的矩阵组成一个集合，标准形F 是这个等价类中的最简形式.二 初等矩阵（一） 初等矩阵的概念定义3 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 单位矩阵的三种初等变换对应着三种初等矩阵： (1)对调两行或对调两列.把单位阵中的第,i j 两行对调（或第,i j 两列对调），得初等矩阵11011(,)11011i i j j i j ↑↑⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪← ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪← ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 第行第行第列第列E , 用m 阶初等矩阵(,)m i j E 左乘矩阵A =()i j m n a ⨯，得(,)m i j E A =11121121212n j j jn i i in m m mn a a a a a a i a a a j a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪← ⎪⎪ ⎪← ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭第行第行,其结果相当于对矩阵A 实行一次初等行变换：把A 的第i 行与第j 行对调（i j r r ↔）.类似地，以n 阶初等矩阵(,)n i j E 右乘矩阵A =()i j m n a ⨯，其结果相当于对矩阵A 施行一次初等列变换：把A 的第i 列与第j 列对调（i j c c ↔）.(2)以数0k ≠乘某行或某列.以数0k ≠乘单位阵的第i 行（或第j 列），得到初等矩阵(())i k E =1111k i ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪← ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭第行,可以验证：以(())m i k E 左乘矩阵A ，其结果相当于以数k 乘A 的第i 行（i k r ⨯）；以(())n i k E 右乘矩阵A ，其结果相当于以数k 乘A 的第i 列（i k c ⨯）.(3) 以数k 乘某行（列）加到另一行（列）上去.以k 乘E 的第j 行加到第i 行上或以k 乘E 的第i 列加到第j 列上，得到初等矩阵(())ij k E =1111k i i j ↑↑⎛⎫ ⎪⎪ ⎪← ⎪⎪⎪← ⎪⎪ ⎪⎝⎭第行第j 行第列第列,由此可以验证：以(())m ij k E 左乘矩阵A ，其结果相当于把A 的第j 行乘数k 加到第i 行（i j r k r +⨯）；以(())n ij k E 右乘矩阵A ，其结果相当于把A 的第i 列乘数k 加到第j 列上（j i c k c +⨯）.综上所述，可以得到下述定理2.定理2 设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.（二） 初等矩阵的性质由初等变换可逆可知初等矩阵可逆，且此初等变换的逆变换也就对应此初等矩阵的逆矩阵，因此有定理3.定理3 初等矩阵均可逆，且其逆矩阵也是初等矩阵，并且1(,)(,)i j i j -=E E ，11(())(())i k i k-=E E ，1(())(())ij k ij k -=-E E .定理4 方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l = A P P P .证明 先证充分性.设12l = A P P P ，因为初等矩阵可逆，故有限个可逆矩阵的乘积12l P P P 也可逆，从而A 可逆.再证必要性.设n 阶方阵A 可逆，且A 的标准形矩阵为F ，由于~A F ，知F 经有限次初等变换可化为A ，即存在初等矩阵121,,,,,,s s l + P P P P P , 使A =121s s l + P P P F P P ，因为A 可逆，12,,,l P P P 也可逆，故标准形F 可逆，即0≠F . 因为F 有下列形式 r n⎛⎫=⎪⎝⎭000E F ， 故F =E （读者考虑为什么?）,从而12l = A P P P . 证毕.由定理4的证明可知，可逆矩阵的标准形是单位阵，其实可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵，即有下面的推论1.推论1 方阵A 可逆的充分必要条件是~rA E .定理5 m n ⨯矩阵A 与B 等价的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使=PAQ B (此定理请读者证明之).三 利用初等行变换求矩阵的秩矩阵的秩是在后继章节中用于判断向量组线性相关性的重要指标，下面给出矩阵秩的概念.(一) 矩阵的秩定义4 在m n ⨯矩阵A 中，任取k 行与k 列（1k m ≤≤，1k n ≤≤），位于这些行列交叉处的2k 个元素，不改变它们在A 中所处的位置次序而得的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式.m n ⨯矩阵A 的k 阶子式共有k kmn C C ⋅个. 定义5 设在矩阵A 中有一个不等于0的r 阶子式D ，且所有1r +阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩，记作()R A .规定零矩阵的秩等于0.由定义5及行列式的性质可得：(1) 在A 中当所有1r +阶子式全为0时，所有高于1r +阶的子式也全为0，因此把r 阶非零子式称为最高阶非零子式，而A 的秩()R A 就是A 中不等于0 的子式的最高阶数. （2） 由于()R A 是A 的非零子式的最高阶数，因此，若矩阵A 中有某个s 阶子式不为0，则()R s ≥A ；若A 中所有t 阶子式全为0，则()<t R A .（3） 由于行列式与其转置行列式相等，因此TA 的子式与A 的子式对应相等，从而T ()=()R R A A .对于n 阶矩阵A ，由于A 的n 阶子式只有一个A ，若当0≠A 时，()=R n A ，当A =0时()<R n A . 可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，因此有定义6.定义6可逆矩阵又称为满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵.例2 求矩阵A 和B 的秩，其中123235471=⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，B =21032031250004300000--⎛⎫⎪-⎪⎪- ⎪⎝⎭.解 在A 中，容易看出一个2 阶子式12023≠，A 的3阶子式只有一个A ，A =0，故()=2R A .B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，即知B 的所有4阶子式全为零. 而以三个非零行的第一个非零元为对角元的3 阶行列式213032004--≠， 故()=3R B .从本例可知，对于一般矩阵，当行数与列数较高时，按定义求秩是很麻烦的. 然而对于行阶梯形矩阵，它的秩就等于非零行的行数，一看便知，因此，自然想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，但两个行等价矩阵的秩是否相等呢？下面定理6将回答这个问题.(二)利用初等变换求矩阵的秩定理6 若~rA B ，则()R A =()R B .证明 只需证明矩阵A 经过一次初等行变换成为矩阵B 时，能成立()R A ()R ≤B即可.事实上，此时由初等变换的逆变换亦为同类型的初等变换，就可推知亦成立()R ≤B ()R A ，于是有()R A =()R B .既然每一次初等行变换都不会改变矩阵的秩，则定理得证. 下面分别对三类初等行变换证明()R A ()R ≤B ，设()=R r A .对第1类初等行变换i j r r ↔. 此时A 必有一非零r 阶子式r M . 显然，在B 中可得一个相应的子式r N ，使r N 与r M 全同或只是对r M 作一行交换的结果，于是r N =0r M ±≠，即在B 中找到一个非零r 阶子式r N ，这说明()R r ≥B =()R A .对第2类初等行变换i kr . 当A 的非零r 阶子式r M 含有第i 行元时，可找到B 的对应r 阶子式r N ，有r N =0r kM ≠，而在r M 并不包含A 的第i 行元时，可得B 的对应子式r N ，有r N 0r M =≠，总之，得()R r ≥B =()R A .对第3类初等行变换i j r kr +. 对A 的任一r 阶非零子式有四种可能：①同时含有A 的第i 行与第j 行的元；②含有第i 行但不含有第j 行的元；③含有第j 行但不含有第i 行的元； ④既不含有第i 行的元也不含有第j 行的元.如果A 取到①、③、④三种情况的非零子式r M ，则在B 中以同序号的行和列构成的r阶子式r N 有r N 0r M =≠.如果A 只有第②种情况的非零子式r M ，则可得到B 的对应的r 阶子式r N ，对r N 的第i 行运用行列式加法定理，有r N 00r r M k M =+⋅=≠， 于是()R r ≥B =()R A .综上所述，定理得证.推论2 （1）若~cA B ，则()R A =()R B ；（2）若~A B ，则()R A =()R B .例3 设32050323612015316414=⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪- ⎪--⎝⎭A , 求矩阵A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式.解 先求A 的秩，为此对A 作初等行变换变成行阶梯形矩阵32050323612015316414=⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪--⎝⎭A 14243141123r r r r r r r r ↔-⨯-⨯-⨯−−−→1641404311012971101612812--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭324234r r r r -⨯-⨯−−−→16414043110004800048--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭431r r -⨯−−−→16414043110004800000--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 因为行阶梯形矩阵有3个非零行，所以()=3R A .再求A 的一个最高阶非零子式. 因()=3R A ，知A 的最高阶非零子式为3阶. 由上述变换过程知325161326041~205004161000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 因为右边矩阵的秩为3，故左边矩阵的秩也是3，也就是左边矩阵必有3阶非零子式，而在左边的4个3阶子式中，找一个非零子式比较方便.计算左边矩阵的前三行构成的子式3253256113266011216025205205-==-=-≠，因此这个式子便是A 的一个最高阶非零子式.例4 设1221124802,2423336064==--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A b , 求矩阵A 及矩阵=()B A,b 的秩.解 对B 作初等行变换变成行阶梯形矩阵=()B A,b 12211248022423336064=⎛--⎫⎪-⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭213141223r r r r r r -⨯+⨯-⨯−−−→12211004200021500631⎛--⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭232421213r r r r r ⨯-⨯+⨯−−−→1221100210000050001⎛--⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭34315(1)r r r ⨯+-⨯−−−−→1221100210000010000⎛--⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 由此可知()=2R A ，()=3R B .从矩阵B 的行阶梯形可知，本例中的A 与b 对应的线性方程组=Ax b 是无解的, 这是因为行阶梯形矩阵的第3行表示矛盾方程0=1.例5 设1112312,536=λμ-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A已知()=2R A ，求λ与μ的值.解 1112312536=λμ-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A 213135r r r r -⨯-⨯−−−→111203440854λμ-⎛⎫ ⎪+-- ⎪ ⎪--⎝⎭321r r -⨯−−−→ 111203440510λλμ-⎛⎫ ⎪+-- ⎪ ⎪--⎝⎭. 因()=2R A ，故 5010λμ-=⎧⎨-=⎩ ， 即51λμ=⎧⎨=⎩. （三）矩阵秩的性质矩阵的秩有以下几个常用的性质： （1）0()min(,)m n R m n ⨯≤≤A ； （2）T ()=()R R A A ;（3）若~A B ，则()R A =()R B ； （4）若P ，Q 可逆，则()=()R R PAQ A ;（5）max{(),()}()()+()R R R R R ≤≤A B A,B A B ， 特别地，当=B b 为列向量，且≠0b 时，有()(,)()+1R R R ≤≤A A b A ；（6）()()+()R R R +≤A B A B ； （7）()min{(),()}R R R ≤AB A B ； （8）若=m n n l ⨯⨯0A B ，则()+()R R n ≤A B .例6 设A 为n 阶矩阵，证明(+)+()R R n -≥A E A E . 证明 因(+)+(-)2=A E E A E ，由性质6有(+)+()(2)=R R R n -≥A E E A E ，而 ()=()R R --E A A E ，故(+)+()R R n -≥A E A E .四 利用初等行变换求逆矩阵在本章第三节中曾给出求可逆矩阵A 的逆矩阵1-A 的一种方法，即先求出A 的伴随矩。

§1 矩阵及其运算一、矩阵的基本概念（必考）矩阵，是由m*n个数组成的一个m行n列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置.比如,或表示一个m*n 矩阵，下标ij 表示元素位于该矩阵的第行、第列.元素全为零的矩阵称为零矩阵. 特别地，一个m*1矩阵，也称为一个 m维列向量；而一个 1*n矩阵B=(b1,b2,…，bn)，也称为一个 n维行向量.当一个矩阵的行数m与烈数n 相等时，该矩阵称为一个 n阶方阵.若一个n阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即： .单位矩阵与实数中的‘1’的运算相近.如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵是一个阶下三角矩阵.例题：1.A既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则A必是对角矩阵2.两矩阵既可相加又可相乘的充要条件是两矩阵为同阶方阵.3.A=(l≠n)，则A的主对角线上个元素的和为 (设矩阵为2行3列的矩阵，找规律)二、矩阵的运算1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：.给定矩阵，我们定义其负矩阵为： .这样我们可以定义同型矩阵的减法为： .由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：(1)交换律：； (2)结合律：；(3)存在零元：;(4)存在负元：.2 、数与矩阵的乘法的运算律：（1)；（2)；（3)；（4) .3 、矩阵的乘法（必考）设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵的列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即,其中,并且(即左行乘右列)矩阵的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：(1）结合律：； (2）左分配律：；(3）右分配律：；(4）数与矩阵乘法的结合律：；(5）单位矩阵的存在性：.若为阶方阵，则对任意正整数，我们定义：，并规定：由于矩阵乘法满足结合律，我们有：， .注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：（必考重要）（1)矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便有意义，也未必有意义；倘使都有意义，二者也未必相等.正是由于这个原因，一般来讲,在实数中的某些运算不再适应，如,，反过来，这些公式成立的条件又恰是A、B 可逆.例：A,B,C 是同阶矩阵，A ≠0,若AB=BC,必有B=C,则A满足可逆（2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即未必能推出或者. 同理，A ≠0，B ≠0，而AB却肯能等于0.例题：（选择题5、6）（3)矩阵的乘法不满足消去律：如果并且，未必有 .4 、矩阵的转置：定义：设为矩阵，我们定义的转置为一个矩阵，并用表示的转置，即：.矩阵的转置运算满足下列运算律：（1)；（2)；（3)；（4) (重要).5、对称矩阵：n 阶方阵若满足条件：，则称为对称矩阵；若满足条件：，则称为反对称矩阵.若设，则为对称矩阵，当且仅当对任意的成立；为反对称矩阵，当且仅当对任意的成立.从而反对称矩阵对角线上的元素必为零.对称矩阵具有如下性质：（1)对于任意矩阵，为阶对称矩阵；而为阶对称矩阵；（2)两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；（3)如果两个同阶（反）对称矩阵可交换，即，则它们的乘积必为对称矩阵，即.运算性质：1） （2） （3）（4） （5）三、逆矩阵1.定义 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==．则A 称为可逆矩阵或非奇异矩阵．B 称为A 的逆矩阵，．由定义可得，A 与B 一定是同阶的，而且A 如果可逆，则A 的逆矩阵是唯一的．这是因为（反证法），如果1B 、2B 都是A 的逆矩阵，则有E A B AB ==11，E A B AB ==22，那么22212111)()(B EB B A B AB B E B B =====所以逆矩阵是唯一的．我们把矩阵A 的逆矩阵记作1-A ．逆矩阵有下列性质： （1）如果A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(．由可逆的定义，显然有A 与1-A 是互逆的． （2）如果A 、B 是两个同阶可逆矩阵，则)(AB 也可逆，且111)(---=A B AB ．（必考重点） 这是因为 E A A AEA ABB A A B AB =⋅===------111111)())((E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())((，所以111)(---=A B AB ．（必考重点）这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形. （3）可逆矩阵A 的转置矩阵T A 也是可逆矩阵，且T T A A )()(11--=．这是因为E E A A A A T T TT===--)()(11，E E AA A A T T T T ===--)()(11所以 T TA A )()(11--=．（4）如果A 是可逆矩阵，则有11--=A A ．这是因为E AA=-1，两边取行列式有 11=⋅-A A ，所以111--==A AA ． 矩阵可逆的条件（1）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是| A | ≠ 0（也即r （A ）= n ）；（2）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n 阶单位矩阵；（3）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值不为零；（5）对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B 使得AB = E （或BA = E ），则A 可逆，且A -1= B. 逆矩阵的有关结论及运算必考 ——求法方法1 定义法：设A 是数域P 上的一个n 阶方阵，如果存在P 上的n 阶方阵B ，使得AB = BA= E ，则称A 是可逆的，又称B 为A 的逆矩阵.当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 惟一确定，记为A -1.例1：设A 为n 阶矩阵，且满足22A - 3A + 5E = 0，求A -1.【解】22 2 -12A - 3A + 5E = 02A - 3A = - 5E23-A - A =E 552323A (- A - E) = - A - E = E555523A A = - A - E55∴∴∴∴可逆且方法 2 伴随矩阵法：A -1= 1|A|A*.定理n 阶矩阵A = a ij 为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且11211122221121n n nnnn A A A A A A A A A A A -⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭其中A ij 是|A|中元素a ij 的代数余子式.矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A*，于是有A -1=1|A|A*. 注 ①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A* = （A ji ）n ×n 元素的位置及符号.特别对于2阶方阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其伴随矩阵22122111*a a A a a -⎛⎫=⎪-⎝⎭,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知101A=210325⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭，求A -1.【解】 ∵| A | = 2 ≠ 0 ∴A 可逆.由已知得111213212223313233A = - 5, A = 10, A = 7A = 2, A = - 2, A = - 2A = - 1, A = 2, A = 1 ， A -1= 1|A| A* = 5115212211022511272171122⎛⎫-- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭方法3 初等变换法：注 ①对于阶数较高（n ≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.②也可以利用1E A E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换求得A 的逆矩阵. ③当矩阵A 可逆时，可利用求解求得A -1B 和CA -1.这一方法的优点是不需求出A 的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即求出了A -1B 或CA -1.例3：:用初等行变换求矩阵231A 013125⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.【解】()231100125001125001A E 01301001301001301012500123110000611212500112500101301001301001910211100166311341006631310122111001663⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭-- ⎪⎝⎭⎛--→---⎝⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭1113410066313A 010********1663-⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭故 方法4 用分块矩阵求逆矩阵：设A 、B 分别为P 、Q 阶可逆矩阵，则：1111111111111111A A 000B 0C O A A A CB A O A O BD B O B B DA B B O A O B B O AO ----------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例4：已知0052002112001100A ⎛⎫⎪ ⎪=⎪-⎪⎝⎭，求A -1.【解】 将A 分块如下：12005200211200110O A A A O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭其中 125212,2111A A -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求得 1*1*1122121212111,2511||||3A A A A A A ---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 从而11211120033110331200250O A A A O ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭方法5 恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩 阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变 形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.例8 已知，且，试求．解 由题设条件得3.伴随矩阵 如果n 阶矩阵A 的行列式0≠A ,则称A 是非奇异的(或非退化的).否则,称A 是奇异的(或退化的).（n 阶矩阵A 可逆的充要条件是:|A|≠0）设n n ij a A ⨯=)(,ij A 是A 中元素)21(n j i a ij ，，，， =的代数余子式.矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111*（顺序变化，重点）称为A 的伴随矩阵. 矩阵n n ij a A ⨯=)(为可逆矩阵的充分必要条件是A 为非奇异矩阵,并且当A 可逆时,有*11A AA =-，伴随矩阵 例1. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=313132121A 判断A 是否可逆,如果可逆,求1-A .解: 因为01313132121≠=---=A ,所以A 可逆.又.13221)1(11211)1(;11312)1(71321)1(;63311)1(53112)1(;11332)1(93312)1(;83113)1(333323321331322322221221311321121111=---==-==---=-=--=-=--=-=---==--==--==---=+++++++++A A A A A A A A A所以 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-1711691581*1A A A 四、分块矩阵一、分块矩阵的概念对于行数和列数较高的矩阵, 为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰. 具体做法是：将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵. 每个小矩阵称为A 的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.矩阵的分块有多种方式，可根据具体需要而定注：一个矩阵也可看作以n m ⨯个元素为1阶子块的分块矩阵. 二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与运算的子块也能运算，即，内外都能运算.1. 设矩阵A 与B 的行数相同、列数相同，采用相同的分块法, 若,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t st s t B B B B B A A A A A其中ij A 与ij B 的行数相同、列数相同, 则.11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+st st s s t t B A B A B A B A B A2.设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A Ak 为数, 则.1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t kA kA kA kA kA 3．设A 为l m ⨯矩阵, B 为n l ⨯矩阵, 分块成,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=tr t r st s t B B B B B A A A A A其中pt p p A A A ,,,21 的列数分别等于tq q q B B B ,,,21 的行数, 则,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sr s r C C C C AB 其中).,,2,1;,,2,1(1r q s p B A C t k kqpk pq ===∑=4. 分块矩阵的转置设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A A则.1111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T st T tT s T TA A A A A 5. 设A 为n 阶矩阵, 若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A O A O A A21, 其中),,2,1(s i A i =都是方阵, 则称A 为分块对角矩阵.分块对角矩阵具有以下性质：(1) 若 ),,2,1(0||s i A i =≠，则0||≠A ，且|;|||||||21s A A A A =(2) .112111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----s A O A O A A(3) 同结构的对角分块矩阵的和、差、积、商仍是对角分块矩阵. 且运算表现为对应子块的运算。