三角函数的求值

第36课 三角函数的求值●考试目标 主词填空1.给角求值给角求值的要领是灵活选用有关公式，以便消去非特殊角的三角函数，从而化为特殊角的三角函数.2.给值求值给值求值的要领是找出已知式与欲求式之间的角，运算及函数的差异，一般可以适当变化已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.3.给值求角给值求角的要领是先求出该角的某一三角函数式的值，然后判断该角在对应区间的单调性，最后求角.●题型示例 点津归纳【例1】 求下列各式的值. (1)tan20°+4sin20°; (2)︒∙︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ;(3)4cos 235°－cos170°－tan160°·sin170°. 【解前点津】 (1)化切为弦，通分合并; (2)∵15°－8°=7°,故应“积化和式”; (3)降次，并化切为弦.【规范解答】 (1)tan20°+4sin20°＝︒︒+︒=︒︒∙︒+︒20cos 40sin 220sin 20cos 20cos 20sin 420sin ＝︒︒+︒=︒︒+︒=︒︒+︒+︒20cos 40sin 80sin 20cos 40sin 10cos 30sin 220cos 40sin )40sin 20(sin ＝320cos 20cos 60sin 2=︒︒︒.(2)原式=3215tan 8cos 15cos 28cos 15sin 27cos 23cos 7sin 23sin )7cos 23(cos 217cos )7sin 23(sin 217sin -=︒=︒︒︒︒=︒+︒︒+︒=︒-︒+︒︒-︒+︒. (3)原式=2(1+cos70°)+cos10°+tan20°·sin10°=2+2cos70°+︒︒︒+︒∙︒20cos 10sin 20sin 20cos 10cos=2+2cos70°+︒︒+︒∙︒+=︒︒-︒20cos 10cos 20cos 70cos 2220cos )1020cos(=2+3220cos 20cos 30cos 2220cos 10cos 15cos +=︒︒︒+=︒︒+︒.【解后归纳】 此类问题属于“给角求值”，先从不同的视角观察对象，一看名称，二看运算结构.两角和与差是否产生“特殊角”，或产生可消除的非特殊角，这是选用公式的“着眼点”.【例2】 (1)已知cos(α+β)=－31,cos2α=－135,α、β都是钝角，求sin(α－β)之值. (2)已知cos 20,2,322sin ,912πβπαπβαβα<<<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-且,求cos(α+β)的值.【解前点津】 所求函数中的角与已知函数中的角，其运算结构不同，所以要作角的变形，使形式统一，在(1)中，作α－β=2α－(α+β),在(2)中,作⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222.【规范解答】 (1)∵2π<α<π,2π<β<π,∴π<α+β<2π,π<2α<2π.∵cos(α+β)=－31<0,cos2α=－135-<0,∴α+β,2α都在⎪⎭⎫⎝⎛23,ππ内.于是:sin(α+β)=－3223112-=⎪⎭⎫⎝⎛--,∴sin(α－β)=sin ［2α－(α+β)］=sin2α·cos(α+β)－cos2α·sin(α+β)=3921012322135311312-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-. (2)∵2π<α<π,0<β<2π,∴4π<α－2β<π,－224πβαπ<-<,∴9549112sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα.cos 3532122=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα∴cos⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβαβαβαβαβα2sin 2sin 2cos 2cos 22cos 2=2757329543591=⨯+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-.∴cos(α+β)=2cos 2729239127572122-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+βα. 【解后归纳】 此类问题属于“给值求值”，从考察条件与结论式子的差异入手，确定变形目标，是变名还是变角，此题就是着眼于角度变形的问题.【例3】 已知:tan(α－β)=21,tan β=－71,且α、β∈(0,π),求2α－β之值. 【解前点津】 此类问题属于“给值求角”，因条件等式是“正切形式”，故应考虑计算tan(2α－β)的值.【规范解答】 tan α=tan ［(α－β)+β］=31tan )tan(1tan )tan(=∙--+-ββαββα.又α∈(0,π),∴α∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π,而tan β=－71<0,0<β<π,∴2π<β<π,∴－π<α－β<－2π,∴2α－β=α+(α－β)∈(－π,0),从而由tan(2α－β)=tan ［α+(α－β)］=1)tan(tan 1)tan(tan =-∙--+αβαβαα得2α－β=－43π.【解后归纳】 对(2α－β)的取值范围,估算要精确，范围过大，容易产生错误，只有对条件进行深入“挖掘”，才能准确推导角度的取值范围.【例4】 是否存在锐角α和β,使得:(1)α+(2β)=32π; (2)tan2α·tan β=2－3同时成立?若存在，求出α和β的值；若不存在，说明理由.【解前点津】 由(1)可作角度形:2α+β=3π,两边取正切，与(2)联立，则可求出tan2α+tan β之值，联系一元二次方程根与系数关系，可看结论是否成立.【规范解答】 由(1)得:2α+β=3π,∴tan 3tan 2tan 1tan 2tan2=∙-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+βαβαβα， 将(2)代入上式得:tan2α+tan β=3－3,∴tan2α,tan β是一元二次方程;x 2－(3－3)x +(2－3)=0的两根，解之:x 1=1,x 2=2－3, 若tan 2α=1,但0<2α<4π,故此时α值不存在.若tan 2α=2－3,则tan β=1,∵0<β<2α,∴β=4π代入(1)得:α=6π.故存在锐角α=6π,β=4π,使(1)(2)同时成立.【解后归纳】 此类问题，常从“假设”存在入手，解后还须检验.●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.若0<α<π,则αsin 10,lgsin α,sin 10α三个数之间的大小顺序是 ( ) A.sin 10α<αsin 10<lgsin α B.lgsin α<sin 10α<αsin 10C. αsin 10<lgsin α<sin 10αD.lgsin α<αsin 10<sin 10α2.若θ是锐角，且sin θ－cos θ=21,则sin 3θ+cos 3θ的值是 ( ) A.1675 B.167 C.811 D.873.设M =[][]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥πθθθπθθθ,0,21cos |,,0,21sin |N ,则M ∩N ( )A.MB.NC.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ4.函数f (x )=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx －3sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 6π的值域是 ( )A.［－5,5］B.[]37,37- C.［－1,37］ D.［－7,1］5.若f (tan x )=sin2x ,则f (－1)的值是 ( ) A.－sin2 B.－1 C.21D.1 6.已知cos α=21-,sin β=－23,α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2⎪⎭⎫⎝⎛∈ππβ2,23,则sin(α+β)的值为 ( ) A.23 B.－1 C.－23 D.－217.已知tan A ·tan B =1,则sin A ·sin B 的最大值是 ( )A.－43B.41C.21D.18.式子(1+tan21°)·(1+tan22°)·(1+tan23°)·(1+tan24°)的值是 ( ) A.2 B.4 C.8 D.169.在①cos40°+3·sin40°=2cos20°,②1+2cos20°=4cos20°cos40°,③︒+︒40cos 140sin =c o t 70°,④︒+︒-40tan 140tan 1=tan20°这四个式子中，成立的个数是 ( )A.1B.2C.3D.4 10.已知等腰三角形顶角的正弦为2524,则底角的余弦是 ( ) A.54 B.－53 C. 54或53 D.－54或－53 二、思维激活11.已知tan35°=a (a ≠0),则︒-︒20sin 120cos = .12.︒︒-︒70sin )20sin 80sin 2(= .13.︒+︒50cos 350sin 1的值为 .14.x =sin50°+cos50°,y =sin70°+cos70°,则x ,y 间的大小关系是 . 三、能力提高 15.已知tan x =2,tan y =31,求tan ［2(x +y )］的值. 16.设－6π≤x ≤4π,求y =l og 2(1+sin x )+l og 2(1－sin x )的最大值与最小值.17.已知1+cos α－sin β+sin αsin β=0,1－cos α－cos β+sin αcos β=0,求sin α的值.18.已知:tan α=1,sin(2α+β)=3sin β,求tan(α+β)的值.第7课 三角函数的求值习题解答1.B 取α=2π则αsin 10=10,sin 10α=1,lgsin α=0.故选B.2.A 由条件:1－2sin θcos θ=⇒41sin θcos θ=83.故sin 3θ+cos 3θ=(sin θ+cos θ)［sin 2θ－sin θ·cos θ+cos2θ］=(sin θ+cos θ)·85831=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(sin θ+cos θ)=⎪⎭⎫⎝⎛+θcos 22185.又∵θ为锐角.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-83cos sin 21cos sin θθθθ中消去sinθ167541722185417cos 83cos cos 21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+=-=⇒=∙⎪⎭⎫⎝⎛+故原式θθθ. 3.D 化简得:M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ65,6.N =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,3，故M ∩N =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ65,3.4.B f (x )=4⎪⎭⎫ ⎝⎛∙-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin cos 6cos sin 36sin cos 6cos sin ππππx x x x=7sin x ·23－cos x ·21,又∵2221237⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=37)(3737≤≤-x f 故. 5.B 令tan x =－1,则sin2x =1)1(1)1(2tan 1tan 222-=-+-=+x x. 6.A ∵cos α=21,∴sin α=23,∵sin β=－23,β∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ2,23, ∴cos β=21故sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β=2323212123=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯. 7.C ∵tan A ·tan B =1,∴sin A ·sin B =cos A ·cos B ⇒cos(A +B )=0, ∴A +B =2k π+2π(k ∈Z ),于是:sin A ·sin =－21［cos(A +B )－cos(A －B )］=21cos(A －B )≤21. 8.B ∵tan(24°+21°)=︒︒-︒+︒24tan 21tan 124tan 21tan ,∴tan21°+tan24°+tan21°tan24°=1⇒(tan21°+1)·(1+ tan24°)=2,同理可得(1+tan22°)·(1+tan23°)=2,故原式=4. 9.C 逐一检验知，不成立.10.C 设底角为α,顶角为(π－2α),∵sin(π－2α)=sin2α=2524, ∴2sin αcos α=25242512cos 1cos 2=-∙⇒αα解之.cos α=53或54. 11.a135tan 170cos 170sin 20sin 120cos =︒=︒-︒=︒-︒.12.原式=［(sin80°－sin20°)+sin80°］÷sin10°=︒︒+︒︒70sin 80sin 30sin 50cos 2=320cos 20cos 370sin 20cos 60sin 270sin )40sin 80(sin =︒︒=︒︒∙︒=︒︒+︒. 13.原式=︒︒+∙︒=︒︒+︒100sin )50cos 212350(sin 4100sin 21)50cos 50sin 3( =480sin )3050sin(4100sin )30sin 50cos 30cos 50(sin 4=︒︒+︒=︒︒∙︒+︒︒.14.∵x >0,y >0,且x 2－y 2=(sin50°+cos50°)2－(sin20°+cos20°)2 =2(sin50°cos50°－sin20°cos20°)=sin(50°×2)－sin(20°×2) =sin80°－sin40°>0,∴x >y .15.∵tan2x =4391132)tan 1(tan 22tan ,34414tan 1tan 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-y y y x x , ∴tan[2(x +y )]=24724169121244334334143342tan 2tan 12tan 2tan -=-=+⨯-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛∙⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∙-+y x y x .16.y =log 2(1－sin2x )=2log 2|cos x |=2log 2cos x ,∵－6π≤x ≤4π,∴22≤cos x ≤1,∴－1≤y ≤0即最小值是－1,最大值是0. 17.由条件得:sin α－1≠0且sin β=ααsin 1cos 1-+,1s i n 1c o s 1s i n 1c o s 1s i n 1c o s 1c o s 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=ααααααβ故.化简得:3sin 2α－2sin α－3=0,解之:sin α=)101(31-. 18.∵sin ［(α+β)+α］=3sin ［(α+β)－α］,∴sin(α+β)·cos α+cos(α+β)·sin α =3sin(α+β)cos α－3cos(α+β)·sin α4cos(α+β)·sin α =2sin(α+β)·cos α, ∴tan(α+β)=2tan α=2.。

三角函数式的求值【知识点精讲】三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形三角函数式的求值的类型一般可分为:(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。

仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角（2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。

找出已知角与所求角之间的某种关系求解（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。

（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。

将已知式或所求式进行化简，再求之三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次注意点：灵活角的变形和公式的变形重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论【例题选讲】一、“给角求值”例1、计算)310(tan 40sin 00-的值。

练习1:tan20°+4sin20°练习2、（1）化简;︒--︒︒︒-20sin 1160sin 20cos 20sin 212；（2）求值： .练习3：求()00001tan21tan24tan21tan24++⋅ ()()()()()000021tan11tan21tan431tan44+⋅+++练习4、不查表求sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°的值二、“给值求值”：例2、已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值练习:)6sin(,212tan παα+=求已知 例3、已知sin(-4πx)=135，0<x<4π，求)4cos(2cos x x +π的值。

[点评]：分析:角之间的关系：2)4()4(πππ=++-x x 及)4(222x x -=-ππ ，利用余角间的三角函数的关系便可求之。

︒︒+︒+︒50tan 10tan 350tan 10tan常用凑角：)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=, )4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α，2()()βαβαβ=+--，)4(24α-π-π=α+π，特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化。

概述初中数学三角函数值的计算方法1三角函数求值的计算方法1.1利用三角函数的定义1.2 三角函数具有六种基本函数：正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y1.3 一些特殊的三角函数值：Sin=1/2; sin=;sin=Cos=;cos=;cos=1/2tan=;tan=1;tan=1.4 三角函数的基本展开公式：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos (A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos (A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2 三角函数求最值最近几年，高考三角函数的题型由原来的恒等式证明改为求值，常见题型有三种：给出一个比较简单的三角函数式的值，求一个比较复杂的三角函数式的值；考察三角变换问题；三角形中的求值问题。

解上述三种类型题应注重四点：要严格讨论角的范围；选择的公式与解题方向必须吻合；要熟悉变换方向；要掌握变换技巧。

三角函数的最值有以下几种求法：利用二次函数求最值，利用三角函数的有界性求最值，换元法求最值。

3 如何学好三角函数数学教学一般可分为概念教学、命题（主要有定理、公式、法则、性质）教学、例题教学、习题教学、总结与复习等五类。

相应地，数学学法指导的实施亦需分别落实到这五类教学之中。

这里仅就例题教学中如何实施数学学法指导谈几点认识。

3.1根据学习目标和任务精选例题例题的作用是多方面的，最基本的莫过于理解知识、应用知识、巩固知识，莫过于训练数学技能、培养数学能力、发展数学观念。

三角函数求值公式
哎呀，说起三角函数求值公式，这可真是让我这个小学生脑袋都大了一圈！
三角函数，就像是数学世界里的神秘小精灵，它们的求值公式更是像一道道难以破解的密码。

你想想，正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan），它们就像是三个调皮的小伙伴，总是在各种数学问题里蹦跶，让我们去寻找它们的价值。

比如说，正弦函数的求值公式，sin A = 对边/ 斜边。

这就好像是我们分糖果，对边是我拿到的糖果数量，斜边是总的糖果数量，那我拿到的糖果占总糖果的比例不就是正弦值嘛！
还有余弦函数，cos A = 邻边/ 斜边。

这就好比是我和小伙伴们排队，邻边就是我旁边小伙伴的人数，斜边是整排的人数，那旁边小伙伴占整排人数的比例不就是余弦值嘛！
正切函数tan A = 对边/ 邻边，这又好像是我和朋友比赛跑步，对边是我跑的距离，邻边是朋友跑的距离，那我跑的距离和朋友跑的距离的比值不就是正切值嘛！
老师在课堂上讲这些的时候，我就拼命地想啊想，这到底是咋回事呢？我同桌小明也一脸懵，还悄悄跟我说：“这也太难懂啦！”我心里也直嘀咕：“可不是嘛，这咋比玩游戏还难！”
后来老师又举了好多例子，带着我们做了好多练习题，慢慢地，好像有点开窍了。

我发现，只要认真去琢磨，这些公式也不是那么可怕。

就像爬山一样，一开始觉得山好高好难爬，但是一步一步地往上走，总能看到更美的风景。

现在想想，三角函数求值公式虽然复杂，但只要我们用心去理解，多练习，也能把它们拿下！这不就跟我们做任何事情一样嘛，只要有决心，有耐心，就没有办不成的事儿！所以呀，别害怕这些公式，勇敢地去挑战它们，说不定会发现其中的乐趣呢！。

三角函数求值的几种方法三角函数是数学中重要的一部分，它与圆的关系密切。

三角函数的求值是在给定一个角度时，计算其正弦、余弦、正切等函数值的过程。

本文将介绍三角函数求值的几种常见方法。

一、定义法三角函数的定义法是最基本的方法，它直接使用三角函数的定义公式进行计算。

例如，正弦函数的定义为sin(x) = b/c，其中b和c分别为角x所对应直角三角形的对边和斜边的长度。

通过观察角度对应的三角形特点，可以求出函数值。

二、图表法三角函数图表法是通过查阅三角函数表格，根据给定的角度，在表格中查找对应的函数值。

例如，可以查阅三角函数表格得到30°的正弦函数值为0.5三、计算器法计算器法是利用现代科技设备来进行三角函数求值的方法。

几乎所有的计算器都内置了三角函数求值功能，只需输入角度值，即可得到相应的函数值。

四、迭代法迭代法是一种数值计算方法，通过连续迭代计算来逼近精确解。

使用迭代法计算三角函数值时，可以使用泰勒级数展开式或欧拉公式来逼近函数值。

例如，sin(x)可以展开为无穷级数：sin(x) = x - x^3/3! +x^5/5! - x^7/7! + ...，通过截取有限项和进行计算，可以得到近似的函数值。

五、差值法差值法是一种数值逼近方法，通过已知点的函数值来估计其它点的函数值。

三角函数的差值法是利用已知的函数值，通过插值公式逼近所求函数值。

例如，当已知sin(30°) = 0.5，sin(45°) = 0.7071时，可以使用线性插值的方法来估计sin(40°)的值。

六、三角恒等式法三角函数有很多恒等式，可以用于简化三角函数的计算。

例如，利用和差角公式sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，可以将复杂角度的三角函数值转化为已知角度的三角函数值来计算。

总结：本文介绍了三角函数求值的几种常见方法，包括定义法、图表法、计算器法、迭代法、差值法和三角恒等式法。

ʏ摆扬虎三角函数求值的常用方法有:巧用三角函数的定义,弦切互化,和积转换, 1 的变换,巧用三角公式,以及利用三角函数的图像等㊂下面举例分析,供同学们学习与参考㊂方法一:巧用三角函数的定义例1 已知角α的终边经过点(3,-4),则s i n α+1c o s α=㊂因为角α的终边经过点(3,-4),所以r =5㊂由三角函数的定义得s i n α=-45,c o s α=35,所以s i n α+1c o s α=-45+53=1315㊂评注:已知角α终边上一点P (x ,y ),且P (x ,y )不是单位圆上的点,可先求r =x 2+y 2,再求s i n α=y r ,c o s α=x r的值㊂方法二:巧用弦切互化例2 若s i n θ+2c o s θs i n θ-c o s θ=2,则s i n θ㊃c os θ=㊂由s i n θ+2c o s θs i n θ-c o s θ=2,整理可得t a n θ=4,所以s i n θc o s θ=s i n θc o s θs i n 2θ+c o s 2θ=t a n θ1+t a n 2θ=417㊂评注:解答本题的关键是利用公式t a n α=s i n αc o s α进行弦切互化㊂方法三:巧用和积转换例3 如果s i n x +c o s x =15,且0<x <π,那么ta n x 的值是㊂由已知等式两边平方得s i n x c o s x =-1225㊂因为0<x <π,所以s i n x >0,c o s x <0㊂结合s i n 2x +c o s 2x =1解得s i n x =45,c o s x =-35,所以t a n x =-43㊂评注:解答本题的关键是利用(s i n x ʃc o s x )2=1ʃ2s i n x c o s x 和s i n 2x +c o s 2x =1的关系进行变形和转化㊂方法四:巧用 1 的变换例4 化简s i n 2α+c o s 4α+s i n 2αc o s 2α的结果是㊂原式=s i n 2α+c o s 2α(c o s 2α+s i n 2α)=s i n 2α+c o s 2α=1㊂评注:解题时要灵活应用 1的变换,常见的 1 的变换有1=s i n 2θ+c o s 2θ=c o s 2θ㊃(1+t a n 2θ)=t a nπ4等㊂方法五:巧用诱导公式例5c o s (-585ʎ)s i n 495ʎ+s i n (-570)ʎ的值等于;s i n 585ʎc o s 1290ʎ+c o s (-30ʎ)s i n 210ʎ+t a n 135ʎ的值等于㊂结合诱导公式求值㊂原式=c o s (360ʎ+225ʎ)s i n (360ʎ+135ʎ)-s i n (360ʎ+210ʎ)=c o s (180ʎ+45ʎ)s i n (180ʎ-45ʎ)-s i n (180ʎ+30ʎ)=-c o s 45ʎs i n 45ʎ-(-s i n 30ʎ)=-2222+12=2-2㊂原式=s i n585ʎc o s1290ʎ+c o s30ʎ㊃s i n 210ʎ+t a n 135ʎ=s i n (360ʎ+225ʎ)c o s (3ˑ360ʎ+210ʎ)+c o s 30ʎs i n210ʎ+t a n (180ʎ-45ʎ)=s i n225ʎc o s 210ʎ+c o s 30ʎs i n210ʎ-t a n 45ʎ=s i n (180ʎ+45ʎ)c o s (180ʎ+30ʎ)+c o s 30ʎs i n (180ʎ+30ʎ)-t a n45ʎ=s i n45ʎ㊃c o s 30ʎ-c o s 30ʎs i n 30ʎ-t a n 45ʎ=22ˑ32-32ˑ12-1=6-3-44㊂评注:利用诱导公式求任意角的三角函数值的四个步骤: 负化正 ,即用三角公式转31知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.化; 大化小 ,即用三角公式将角化为0ʎ到360ʎ间的角; 小化锐 ,即用三角公式将大于90ʎ的角转化为锐角; 锐求值 ,即得到锐角三角函数后求值㊂方法六:巧用和差公式例6 若s i n 2α=55,s i n (β-α)=1010,且αɪπ4,π,βɪπ,3π2,则α+β的值是㊂因为αɪπ4,π,所以2αɪπ2,2π ㊂因为si n2α=55>0,所以2αɪπ2,π ,所以αɪπ4,π2 ,且c o s2α=-255㊂又因为s i n (β-α)=1010,βɪπ,3π2,所以β-αɪπ2,5π4,c o s (β-α)=-31010㊂故c o s (α+β)=c o s [(β-α)+2α]=c o s (β-α)c o s2α-s i n (β-α)s i n2α=-31010ˑ-255-1010ˑ55=22㊂又α+βɪ5π4,2π,所以α+β=7π4㊂评注:三角函数常见的角变换有:α=(α-β)+β,α=α+β2+α-β2,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β)等㊂方法七:巧用倍角公式例7 已知函数f (x )=s i n2x -c o s 2x -23s i n x c o s x (x ɪR ),则f 2π3的值为㊂因为f (x )=s i n 2x -c o s 2x-23s i n x c o s x =-c o s 2x -3s i n 2x =-2s i n 2x +π6 ,所以f 2π3=-2s i n4π3+π6=-2s i n 3π2=2㊂评注:三角函数的角变换的常见公式有:1ʃs i n2α=s i n 2α+c o s 2αʃ2s i n αc o s α=(s i n αʃc o s α)2,1+c o s2α=2c o s 2α,1-c o s 2α=2s i n 2α,c o s 2α=1+c o s 2α2,s i n 2α=1-c o s 2α2等㊂方法八:巧用三角函数的图像例8 图1是函数f (x )=A s i n (ωx +φ)A >0,ω>0,|φ|<π2的图像的一部分,对任意的x 1,x 2ɪ[a ,b ],且x 1ʂx 2,若f (x 1)=f (x 2),都有f (x1+x 2)=1,则φ的值为( )㊂图1A .π12B .π6C .π4D .π3由图得A =2㊂由题意知x 1,x 2关于函数f (x )图像的对称轴对称,直线x =x 1+x 22是函数f (x )图像的一条对称轴,且fx 1+x 22=2,所以2s i n ω㊃x 1+x 22+φ =2,所以ωx 1+x22 +φ=π2+2k π(k ɪZ )㊂因为f (x 1+x 2)=1,所以2s i n [ω(x 1+x 2)+φ]=1,所以ω(x 1+x 2)+φ=π6+2k π(k ɪZ )或ω(x 1+x 2)+φ=5π6+2k π(k ɪZ )㊂令k =0,据上消去ω(x 1+x 2),可得φ=π6或φ=5π6㊂又因为|φ|<π2,所以φ=π6㊂应选B ㊂评注:解答本题的关键是熟练掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质㊂作者单位:甘肃省临夏州积石山县积石中学(责任编辑 郭正华)41 知识结构与拓展 高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

高中数学：三角函数求值的方法
1. 角的拼凑
适当地变化角的表达式，可以给三角函数求值带来便利。

如单角α可以看成角α＋β与角β的差，也可以
看成角α－β与角β的和，既可以看成是的二倍，也可以看成是2α的一半。

角的分拆与配凑也是变角的常用策略。

如2α＝（α＋β）＋（α－β），α－β＝2α－（α＋β）等。

当条件所给角都是非特殊角时，要仔细观察非特殊角与特殊角之间的联系，可通过三角公式转化为特殊角，并且消除非特殊角的三角函数值而得解。

例1. 已知，
，求cos（α＋β）的值。

分析：所求余弦中的角与已知正、余弦中的角，其运算结构不同，所以要做角的拆拼，注意到。

解：因为，
所以，
于是
所以
从而
例2. 求的值。

分析：此题给出的是非特殊角，要设法把非特殊角化为特殊角，相互低消、约分求出值。

解：
2. 化弦（切）法
当已知的式子中切、割、弦混合时，从函数名称的角度去考虑，切割化弦是三角函数求值的常用方法。

例3. 求的值。

解：原式
3. 公式变形
对三角公式不仅要正用，还要注意逆用和变用，要熟悉公式的变形，只有这样才能全面掌握公式。

如
可变化为
特别地，若，有
可变形为；
例4. 化简
解：原式
例5. 化简
解：利用结论：若，得
原式
例6. 计算
解：原式
▍ ▍ ▍。

三角函数求值及求角的方法(高考必考)必背公式（一）、和角与差角公式：（1）、sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；（2）、cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= （3）tan (α±β)=tanα±tanβ1∓tanα∙tanβ（二）二倍角公式sin 22sin cos ααα=；22cos2cos sin ααα=-.＝22cos1α- ＝212sin α- 22tan tan 21tan ααα=- （三）、诱导公式:（有分母且分母为2的，变函数名，符号看象限） 公式一：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cosα 公式二：sin(－α)＝−sinα，cos(－α)＝cosα 公式三：sin(π＋α)＝−sinα，cos(π＋α)＝−cosα 公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝−cosα. 公式五：sin⁡(π2−α)＝cosα，cos⁡(π2−α)＝sin α.公式六：sin (π2+α)=cosα，cos⁡(π2+α)＝-sin α.sin (3π2+α)=−cosα，cos⁡(3π2+α)＝sin α.公式同样适用正切：tan(π＋α)＝tanα，tan(π-α)＝−tanα一、三角函数定义求：设点(),A x y 为角α终边上任意一点：sin yrα=，cos x r α=，tan y x α=（r =）1．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－5122、(2017.全国1，15)已知α∈(0，π2)，tanα=2，则cos (α−π4)=___________3、 (2011·江西，14，易)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴． 若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．二、平方关系：1cos sin 22=+αα.2、 商数关系：αααcos sin tan = 例题：已知，计算： （1）； （2）三、角度关系1、已知θ是第一象限角，且536cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ，则θsin =2、（2018.全国2，15）已知tan(α−5π4)=15,则tan α=_________3tan =αααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-2)cos (sin αα+3、已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________.4.设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π3)的值为()A. 1225B. 2425C. −2425D. −1225四、凑角1、设都是锐角，且55cos =α，()54cos -=+βα，则=βcos （ ） A 、2552 B 、552 C 、2552和552 D 、255和552、已知⁡tan (α+β)=25，tanβ=13，则⁡⁡tan (α+π4)的值为___________五、倍角公式求值1、(2013·课标Ⅱ，6，易)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12 D.232、(2017.全国三，4)已知sinα−cosα=43，则sin2α=___________六、求角：5、已知α，β都是锐角，若sinα=√55，sin β=√1010,⁡⁡⁡则α+β等于=（⁡⁡⁡⁡⁡）A.π4B.3π4C.π4或3π4D.−π4或−3π46、(2012·全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边， c ＝3a sin C －c cos A . 则A 等于 ___________练习：1．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝( ) A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±12132．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6 B.－π3 C.π6 D ．π33、已知sin2α=13，则cos 2(α−π4)=A.-13B. 13C. 23D. −234.若cos(π8−α)=16，则cos(3π4+2α)的值为( ) A.1718B. −1718C.1819D. −18195.已知cos(23π−2θ)=−79，则sin(π6+θ)的值等于( ) A. 13B. ±13C. −19D. 197.(2016·全国2)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .则C 等于_________8、(2014·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .则cos A 的值为__________。

三⾓函数给⾓求值前⾔三⾓函数中的给⾓求值类问题，⼤多给定的是分式形式，或者可以化为分式形式的，⽐如含有弦和切，当切化弦后就变成了分式；并且这类题⽬往往需要将⾮特殊⾓拆分，然后最后⼀步约掉含有⾮特殊⾓的代数式，就得到了最终的值。

注意⾼频变形：分式约分，和加减抵消；相关变形切化弦[整式变分式]，1的代换，分式通分约分，根式升幂；配⽅展开，提取公因式，公式的逆⽤，变⽤，常⽤的互余、互补代换：sin70^{\circ}=cos20^{\circ}，cos40^{\circ}=sin50^{\circ}；sin140^{\circ}=sin40^{\circ}，cos110^{\circ}=-sin70^{\circ}=-cos20^{\circ}；常见的⾓的拆分：47^{\circ}=17^{\circ}+30^{\circ}；8^{\circ}=15^{\circ}-7^{\circ}；1+sin\theta+cos\theta=(1+cos\theta)+sin\theta=2cos^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}1+sin\theta-cos\theta=(1-cos\theta)+sin\theta=2sin^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}常见的互余，倍⾓等(\cfrac{\pi}{4}+\theta)+(\cfrac{\pi}{4}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}；(\cfrac{\pi}{3}+\theta)+(\cfrac{\pi}{6}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}；2x\pm\cfrac{\pi}{2}=2(x\pm\cfrac{\pi}{4})；2\alpha\pm\cfrac{\pi}{3}=2(\alpha\pm\cfrac{\pi}{6})；常见的配⾓技巧：2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)；2\beta=(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)；3\alpha-\beta=2(\alpha-\beta)+(\alpha-\beta)；3\alpha+\beta=2(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)；\alpha=(\alpha+\beta)-\beta；\beta=\alpha-(\alpha-\beta)；\alpha=\cfrac{\alpha+\beta}{2}+\cfrac{\alpha-\beta}{2}；\beta=\cfrac{\alpha+\beta}{2}-\cfrac{\alpha-\beta}{2}；\alpha=(\alpha+\beta)-\beta；(\cfrac{\pi}{6}-\alpha)+(\cfrac{\pi}{3}+\alpha)=\cfrac{\pi}{2}；(\cfrac{\pi}{4}-\alpha)+(\cfrac{\pi}{4}+\alpha)=\cfrac{\pi}{2}；(\cfrac{\pi}{3}-\alpha)+(\cfrac{2\pi}{3}+\alpha)=\pi；(\cfrac{\pi}{4}-\alpha)+(\cfrac{3\pi}{4}+\alpha)=\pi；难点变形常涉及“切化弦”，“分式通分”，“辅助⾓公式”等⾼频变形；\tan\theta-\sqrt{3}=\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}-\cfrac{\sqrt{3}\cos\theta}{\cos\theta}=\cfrac{2(\sin\theta\cdot \cfrac{1}{2}-\cos\theta\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2})}{\ cos\theta}1+\sqrt{3}\tan\theta=\cfrac{\cos\theta}{\cos\theta}+\cfrac{\sqrt{3}\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{2(\cos\theta\cd ot \cfrac{1}{2}+\sin\theta\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2})}{\cos\theta}注：在具体题⽬中，⾓\theta可以是具体的值，⽐如\tan12^{\circ}-\sqrt{3}，或1+\sqrt{3}\tan21^{\circ}典例剖析№1求值：\cfrac{cos85^{\circ}+sin25^{\circ}cos30^{\circ}}{cos25^{\circ}}分析：这类题⽬往往需要将⾮特殊⾓拆分，然后约掉含有⾮特殊⾓的代数式，就得到了最终的值。

三角函数的化简求值一.主要公式:1．诱导公式：=-)sin(απ =-)c o s (απ =+)s i n (απ=+)cos(απ =-)s i n (α =-)cos(α=-)2sin(απ =-)2c o s (απ =+)2sin(απ =+)2c o s (απ2．和、差角公式： =+)sin(βα =-)s i n (βα ； =+)cos(βα =-)c o s (βα ； =+)tan(βα =-)t a n (βα ； 3．二倍角公式：=α2sin =α2c o s = = =α2tan ； 4．降幂公式： =2sin 2α=2c o s2α=2t a n2α；5．半角公式sin 2α= c o s 2α= t a n 2α= ；6．升幂公式：=+αcos 1 ，=-αcos 1 ；=+αsin 1 ，=-αsin 1 。

7．万能公式：=αsin =αcos =αtan ； 8．三角形ABC 中的相关公式：=+)sin(B A =+)cos(B A =+)t a n (B A =+2sinBA =+2cosB A =+2tan B A ； 9．常用公式结论：=+ααcot tan =ααcos sin =-α2sin 1 =+α2sin 1 =+βαtan tan =-βαt a n t a n ；sin 3α= cos3α= 1tan 1tan αα+=-10．辅助角公式：=+ααcos sin = =+ααcos 3sin ==+x b x a cos sin = 。

二、例题分析:例1已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值.例2.已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan的值.(（Ⅱ）求β. ( π3β=)例3．已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （I ）求sin x －cos x 的值；（Ⅱ）求xx x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值.例 4.是否存在锐角,αβ，使得①223παβ+=；②22tantan αβ=同时成立？若存在，求出,αβ；若不存在，说明理由。

三角函数求值【前言】三角函数是高中数学中的一个重要部分，也是大学数学中不可或缺的内容。

本文将介绍常见三角函数的概念、性质及求值方法，通过实例演示，详细阐述如何运用三角函数解决实际问题。

【一、三角函数的概念】1.1 三角函数的定义三角函数是指与三角形的角度有关的一类函数。

定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

1.2 正弦函数正弦函数是指以一个角度的度数为自变量，该角的正弦值为因变量，组成的一个函数。

用符号$sin$表示，其定义为：$$sin \theta = \frac{opposite}{hypotenuse}$$$\theta$为一个角，$opposite$为该角的对边长度，$hypotenuse$为该角的斜边长度。

2.1 周期性对于三角函数$sin$和$cos$，它们的周期为$2\pi$，即在一个周期内，函数值会重复出现。

即$sin(x+2\pi)=sinx$，$cos(x+2\pi)=cosx$。

2.2 奇偶性对于三角函数$tan$，它是奇函数，即$tan(-x)=-tanx$。

2.3 正负性在第一象限和第二象限，$sin$和$tan$的值为正，$cos$的值为正；在第三象限和第四象限，$sin$和$tan$的值为负，$cos$的值为负。

2.4 同角三角函数关系3.1 直接利用三角函数表在高中及一些大学课程中，计算常见角度的三角函数值时，可以直接查找三角函数表。

常见的角度包括$30\degree$、$45\degree$、$60\degree$等。

在计算$sin\frac{\pi}{6}$时，可以查表得到答案为$\frac{1}{2}$。

三角函数图像是高中课程中重点讲解的内容，在求解简单问题时，可以利用图像认识函数值的大小及变化规律。

利用三角函数的基本关系式，可以将一个三角函数的值转化为另一个三角函数的值，从而计算出所需的三角函数值。

在计算$cos\frac{2\pi}{3}$时，可以将其转化为$cos(\pi-\frac{2\pi}{3})$，然后利用余弦函数的差角公式计算得到$cos(\pi-\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}$。

三角函数求值怎么计算公式三角函数是数学中重要的一部分，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们可以用来描述角度和长度之间的关系，解决各种问题。

在实际应用中，我们经常需要用三角函数来求值，下面将介绍三角函数求值的计算公式。

1. 正弦函数的求值公式。

正弦函数的求值公式为，sin(θ) = 对边/斜边。

其中，θ为角度，对边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相对的边的长度，斜边指的是直角三角形的斜边长度。

举个例子，如果要求sin(30°)的值，可以先构造一个30°的直角三角形，然后根据公式sin(30°) = 对边/斜边，计算出对边和斜边的比值，从而求得sin(30°)的值。

2. 余弦函数的求值公式。

余弦函数的求值公式为，cos(θ) = 邻边/斜边。

其中，θ为角度，邻边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相邻的边的长度，斜边指的是直角三角形的斜边长度。

举个例子，如果要求cos(45°)的值，可以先构造一个45°的直角三角形，然后根据公式cos(45°) = 邻边/斜边，计算出邻边和斜边的比值，从而求得cos(45°)的值。

3. 正切函数的求值公式。

正切函数的求值公式为，tan(θ) = 对边/邻边。

其中，θ为角度，对边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相对的边的长度，邻边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相邻的边的长度。

举个例子，如果要求tan(60°)的值，可以先构造一个60°的直角三角形，然后根据公式tan(60°) = 对边/邻边，计算出对边和邻边的比值，从而求得tan(60°)的值。

除了以上三种常见的三角函数，还有其它一些三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数等，它们的求值公式也可以类似地通过构造直角三角形来求得。

在实际应用中，三角函数的求值可以帮助我们解决各种问题，比如在工程中用来计算力的方向和大小、在天文学中用来计算星体的位置和运动轨迹等。

三角函数式的求值角度1 给角求值[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280°＝6 .解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin50°＋sin10°·cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80° ＝(2sin50°＋2sin10°·12cos10°＋32sin10°cos10°)·2cos10° ＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6. 角度2 给值求值(2019·聊城模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝4－3310 . 解析：由题意可得，cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝－sin2θ＝－45， 即sin2θ＝45.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010＞0，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以0＜θ＜π4，2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝35， 由两角差的正弦公式，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin2θcos π3－cos2θsin π3＝45×12－35×32＝4－3310. 角度3 给值求角设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( C )A.3π4 B.5π4 C.7π4D.5π4或7π4解析：∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴α＋β＝7π4.【条件探究1】 本典例中，若α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝π4 .解析：∵α，β为锐角，∴cos α＝255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22. 又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4.【条件探究2】 本典例中，若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是7π4 . 解析：∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，∵sin2α＝55，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2且cos2α＝－255， 又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22， 又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，所以α＋β＝7π4.三角函数式求值的常见题型及求解策略1．给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．2．给值求值：给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来．3．给值求角：通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：①已知正切函数值，则选正切函数．②已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦较好．(1)(2019·新疆第二次适应性检测)cos10°(1＋3tan10°)cos50°的值是2__.解析：依题意得cos10°(1＋3tan10°)cos50°＝cos10°＋3sin10°cos50°＝2sin (10°＋30°)cos50°＝2sin40°sin40°＝2.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，17π12＜α＜7π4，则sin2α＋2sin 2α1－tan α的值为－2875 .解析：sin2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1－sin αcos α ＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝sin2α1＋tan α1－tan α＝sin2α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.由17π12＜α＜7π4得5π3＜α＋π4＜2π，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－45， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－43. cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝－210，sin α＝－7210，sin2α＝725.所以sin2α＋2sin 2α1－tan α＝725×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－2875.。