常见的几种三角函数求值题型

精品资料 欢迎下载同角三角函数的基本关系【知识梳理】同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：同一个角 α的正弦、余弦的平方和等于 221.即 sin α＋ cos α＝ 1.sin α(2) 商 数 关 系 ： 同 一 个 角 α 的 正 弦 、 余 弦 的 商 等 于 这 个 角 的 正 切 ， 即 cos α＝πtan_α其中 α≠ k π＋ 2 k ∈ Z .【常考题型】题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值12【例 1】(1)已知 sin α＝13，并且 α是第二象限角，求 cos α和 tan α.(2) 已知 cos α＝－ 4，求 sin α和 tan α.52 212 2 5 2 5 [ 解] (1)cos α＝ 1－ sin α＝ 1－ 13 ＝ 13 ，又 α是第二象限角， 所以 cos α<0，cos α＝－ 13 ，sin α 12＝－5.tan α＝ cos α(2)sin 2α＝ 1－ cos 2α＝ 1－ －4 2＝ 32，5 54因为 cos α＝－ 5<0 ，所以 α是第二或第三象限角，当 α是第二象限角时，3，tan α＝ sin α 3sin α＝－ 3，tansin α＝＝－ ；当 α是第三象限角时，55cos α 4α＝sin α 3＝cos α 4.【类题通法】已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1) 若已知 sin α＝ m ，可以先应用公式 cos α＝ ± 1－ sin 2α，求得 cos α的值， 再由公式tan αsin α＝求得 tan α的值．cos α(2) 若已知 cos α＝ m ，可以先应用公式 sin α＝ ± 2α，求得 sin α的值， 再由公式 tanα1－cossin α＝求得 tan α的值．cos α精品资料 欢迎下载sin α22α＝ 1，求＝ m? sin α＝ mcos α及 sin α＋ cos(3) 若已知 tan α＝ m ，可以应用公式 tan α＝ cos α1 ， sin α＝ ± m得 cos α＝ ± 的值．1＋ m 21＋ m 2【对点训练】已知 tan α＝ 4，且 α是第三象限角，求 sin α， cos α的值．3解： 由 tan α＝ sin α 4 ，得 sin α＝4＝ 3cos α，①cos α 3又 sin 2α＋cos 2α＝ 1，②由①②得16222α＝ 99 cos α＋ cosα＝1，即 cos 25.3 4 4又 α是第三象限角，故cos α＝－ 5，sin α＝ 3cos α＝－ 5.题型二、化切求值【例 2】已知 tan α＝ 3，求下列各式的值．(1)4sin α－cos α； 3sin α＋ 5cos α22(2) sin α－ 2sinα·cos α－ cos α22；4cos α－ 3sin α3 212(3) 4sin α＋ 2cos α.[ 解]4tan α－ 1 4× 3－1 11；(1) 原式＝ ＝ ＝3tan α＋ 5 3× 3＋5 14(2)tan 2α－ 2tan α－1 9－2×3－ 1 2原式＝ 2＝ 2 ＝－ ；234－ 3tan α4－3×33sin 2α＋1cos 2α 3tan 2α＋1424 2(3)原式＝sin 2α＋ cos 2α ＝tan 2 α＋ 13× 9＋14 2 29＝＝.9＋140【类题通法】化切求值的方法技巧精品资料欢迎下载(1) 已知 tan α＝ m，可以求asin α＋ bcos α asin2α＋bsin αcos α＋ ccos2α或的值，将分子分母同csin α＋ dcos α dsin2α＋ esin αcos α＋ fcos2α除以 cos α或 cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．(2) 对于 asin2α＋bsin αcos α＋ ccos2α的求值，可看成分母是1，利用 1＝ sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．【对点训练】已知 tan α＝ 2，求下列各式的值：2sin α－ 3cos α(1)；4sin α－ 9cos α(2)4sin 2α－ 3sin αcos α－5cos2α.2sin α－ 3cos α 2tan α－ 32× 2－3解： (1)＝＝＝－ 1.4sin α－ 9cos α 4tan α－ 94× 2－9(2)4sin 22α－ 3sinαcos α－5cosα2αcos α－24sinα－ 3sin5cosα＝22，sin α＋ cos α这时分子和分母均为关于sin α， cos α的二次齐次式．因为 cos2α≠ 0，所以分子和分母同除以cos2α，则 4sin2α－3sin αcos α－ 5cos2α＝4tan2α－ 3tan α－ 54× 4－3× 2－ 5＝＝ 1.tan2α＋ 14＋ 1题型三、化简三角函数式【例 3】化简 tan α1－1，其中α是第二象限角．2sin α[ 解]因为α是第二象限角，所以sin α>0， cos α<0.故 tan α12－ 1＝ tan α1－ sin2α2sinαsin α2sin α cos α＝ tan αcos α2＝·sinαsin αcos α＝sinα－ cos α·cos α sin α精品资料欢迎下载＝－ 1.【类题通法】三角函数式化简技巧(1) 化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2) 对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3) 对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋ cos 2α＝ 1，以降低函数次数，达到化简的目的．【对点训练】化简： (1)sin θ－ cos θ；tan θ－1(2)sin 2θ－ sin 4θ， θ是第二象限角．sin θ－ cos θ sin θ－ cos θ sin θ－ cos θ解： (1)tan θ－1 ＝sin θ＝＝ cos θ.－ 1sin θ－ cos θcos θcos θ(2) 由于 θ为第二象限角，所以sin θ>0， cos θ<0，24222 2故 sin θ－ sin θ＝sin θ1－ sin θ＝ sin θcos θ＝ |sin θcos θ|＝－ sin θcos θ.题型四、证明简单的三角恒等式【例 4】求证： tan αsin α ＝ tan α＋ sin αtan α－ sin α tan αsin α .[ 证明 ] 法一： ∵右边＝ tan 2α－ sin 2α tan 2α－ tan 2 αcos 2α＝ ＝tan α－ sin αtan αsin α tan α－ sin αtan αsin α 2222tan α1－ cos αtan αsin α ＝ tan αsin α ＝左边，＝ tan α－ sin αtan αsin α tan α－ sin αtan αsin α tan α－ sin α∴原等式成立．法二： ∵左边＝tan αsin α ＝ sin α ，tan α－ tan αcos α 1－ cos α精品资料 欢迎下载tan α＋ tan αcos α 1＋ cos α 1－ cos 2α2 α右边＝tan αsin α ＝ sin α ＝ ＝ sin＝ sin α ，sin α1－ cos α sin α1－ cos α 1－ cos α∴左边＝右边，原等式成立．【类题通法】简单的三角恒等式的证明思路(1) 从一边开始，证明它等于另一边； (2) 证明左、右两边等于同一个式子；(3) 逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．【对点训练】证明：1＋ 2sin θcos θ 1＋ tan θ＝1－ tan θcos 2θ－ sin 2θ22θcos θsin θ＋ cos θ＋ 2sin 证明： ∵左边＝cos θ＋ sin θ cos θ－ sin θsin θ＋ cos θ2＝cos θ＋ sin θ cos θ－ sin θcos θ＋ sin θ＝ cos θ＋sin θ cos θ1＋ tan θ ＝ ＝cos θ－ sin θ cos θ－ sin θ 1－ tan θcos θ＝右边，∴原等式成立．【练习反馈】π3，则 cos α等于 ()1．已知 α∈ ， π， sin α＝254 B ．－ 4A. 5513C ．－ 7D. 5 解析：选Bπ3∵α∈ 2， π且 sin α＝5，23 24.∴cos α＝－1－ sin α＝－1－5＝－5精品资料欢迎下载2．若 α为第三象限角，则cos α ＋1－ sin 2αA ． 3B ．－ 3C ．1D ．－ 1解析： 选 B ∵α为第三象限角，∴原式＝2sin α2 的值为()cos α ＋ 2sin α＝－ 3.－ c os α － sin α13．已知 cos α－ sin α＝－ 2，则 sin αcos α的值为 ________．解析：由已知得 (cos α－ sin α)2＝ sin 2α＋ cos 2α－2sin αcos α＝ 1－ 2sin αcos α＝14，解得 sin αcos3 α＝8.答案：382sin α－ cos α的值为 ________．4．若 tan α＝ 2，则 sin α＋ 2cos α2sin α－ cos α解析： 原式＝cos α 2tan α－ 12×2－1＝＝＝3sin α＋ 2cos α tan α＋ 2 2＋ 24.cos α答案：341－2sin 130 cos ° 130 °5．化简： 2.sin 130 ＋° 1－ sin 130 °sin 2130 °－ 2sin 130 cos ° 130 ＋°cos 2130 °解： 原式＝sin 130 ＋° cos 2130 °|sin 130 －°cos 130 |° ＝sin 130 ＋°|cos 130 | °sin 130 －°cos 130 ° ＝ ＝1.sin 130 －°cos 130 °。

高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总高考文科数学题型分类汇总：三角函数篇本文旨在汇总高考文科数学中的三角函数题型，包括定义法求三角函数值、诱导公式的使用、三角函数的定义域或值域、三角函数的单调区间、三角函数的周期性、三角函数的图象变换和三角函数的恒等变换。

题型一：定义法求三角函数值这类题目要求根据三角函数的定义，求出给定角度的正弦、余弦、正切等函数值。

这类题目的难点在于熟练掌握三角函数的定义，以及对角度的准确度量。

题型二：诱导公式的使用诱导公式是指通过对已知的三角函数进行代数变形，得到新的三角函数值的公式。

这类题目需要熟练掌握各种诱导公式，以及灵活应用。

题型三：三角函数的定义域或值域这类题目要求确定三角函数的定义域或值域。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数的定义域和值域的概念和计算方法。

题型四：三角函数的单调区间这类题目要求确定三角函数的单调区间，即函数在哪些区间上单调递增或单调递减。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数单调性的判定方法。

题型五：三角函数的周期性这类题目要求确定三角函数的周期。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数周期的计算方法。

题型六：三角函数的图象变换这类题目要求根据给定的变换规律，确定三角函数图象的变化。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对图象变换的计算方法。

题型七：三角函数的恒等变换这类题目要求根据已知的三角函数恒等式，进行变形和推导。

需要掌握各种三角函数的恒等式，以及灵活应用。

2）已知角α的终边经过一点P，则可利用点P在单位圆上的性质，结合三角函数的定义求解．在求解过程中，需注意对角终边位置进行讨论，避免忽略或重复计算．例2已知sinα=0.8，且α∈[0,π2]，则cosα=．答案】0.6解析】∵sinα=0.8，∴cosα=±√1-sin²α=±0.6XXXα∈[0,π2]，∴cosα>0，故cosα=0.6易错点】忘记对cosα的正负进行讨论思维点拨】在求解三角函数值时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．同时，需根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型二诱导公式的使用例3已知tanα=√3，且α∈(0,π2)，则sin2α=．答案】34解析】∵ta nα=√3，∴α=π/30<α<π/2，∴0<2α<πsin2α=sin(π-2α)=sinπcos2α-cosπsin2α=-sin2α2sin2α=0，∴sin2α=0sin2α=3/4易错点】忘记利用诱导公式将sin2α转化为sin(π-2α)思维点拨】在解决三角函数的复合问题时，可利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三角函数的形式，从而简化计算．同时，需注意根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型三三角函数的定义域或值域例4已知f(x)=2sinx+cosx，则f(x)的值域为．答案】[−√5,√5]解析】∵f(x)=2sinx+cosx=√5(sin(x+α)+sin(α-x))，其中tanα=-121≤sin(x+α)≤1，-1≤sin(α-x)≤15≤f(x)≤√5f(x)的值域为[−√5,√5]易错点】忘记利用三角函数的性质将f(x)转化为含有同一三角函数的形式思维点拨】在确定三角函数的定义域或值域时，可利用三角函数的性质将其转化为含有同一三角函数的形式，从而方便计算．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其定义域或值域．题型四三角函数的单调区间例5已知f(x)=sin2x，则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．答案】[0,π/4]∪[3π/4,π]解析】∵f'(x)=2cos2x=2(2cos²x-1)=4cos²x-2f'(x)>0的充要条件为cosx12f(x)在[0,π/4]∪[3π/4,π]上单调递增易错点】忘记将f'(x)化简为含有同一三角函数的形式，或对于三角函数的单调性判断不熟练思维点拨】在求解三角函数的单调区间时，需先求出其导数，并将其化简为含有同一三角函数的形式．然后，利用三角函数的单调性进行判断，得出函数的单调区间．题型五三角函数的周期性例6已知f(x)=sin(2x+π)，则f(x)的周期为．答案】π解析】∵sin(2x+π)=sin2xcosπ+cos2xsinπ=-sin2xf(x)的周期为π易错点】忘记利用三角函数的周期性质思维点拨】在求解三角函数的周期时，需利用三角函数的周期性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其周期．题型六三角函数的图象变换例7已知f(x)=sinx，g(x)=sin(x-π4)，则g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移了．答案】π4解析】∵g(x)=sin(x-π4)=sinxcosπ4-cosxsinπ4g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移π4易错点】忘记利用三角函数的图象变换公式，或对于三角函数的图象不熟悉思维点拨】在求解三角函数的图象变换时，需利用三角函数的图象变换公式，即y=f(x±a)的图象相对于y=f(x)的图象向左（右）平移a个单位．同时，需对于各种三角函数的图象有一定的了解，以便准确判断图象的变化情况．题型七三角函数的恒等变换例8已知cosα=12，且α∈(0,π2)，则sin2α的值为．答案】34解析】∵cosα=12，∴sinα=√3/2sin2α=2sinαcosα=√3/2×1/2=3/4易错点】忘记利用三角函数的恒等变换公式思维点拨】在求解三角函数的恒等变换时，需熟练掌握三角函数的基本恒等式和常用恒等式，从而简化计算．同时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．已知角α的终边所在的直线方程，可以通过设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义来解决相关问题。

三角函数最值问题的几种常见类型三角函数是重要的数学运算工具,三角函数最值问题是三角函数基础知识的综合应用,近几年的高考题中经常出现,这部分内容是一个难点。

三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。

因此,三角函数的最值问题的求解,不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形,还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识。

这类问题往往概念性较强,具有一定的综合性和灵活性。

学生在解题时,常常出现解题思路不清楚,难以抓住最值问题的本质,不能给予恰如其分的分析。

因此有必要让学生对求三角函数的最值求解的方法有个总体的认识,以培养学生的数学解题能力和思维能力。

下面介绍几种典型的三角函数最值问题的类型。

?И?1 y=asin x +b(或y=a cos x+b)型的函数这种类型的函数的特点是含有正弦或者余弦函数,并且是一次式。

解这类的三角函数的最大值、最小值问解这类三角函数的最值问题时首先要让学生知道最值都是在给定的区间上取得的,因而要特别注意题设中所给出的区间或是挖掘题中的隐含条件。

例1:求y=sin6x+cos6x的最值。

解:y=(sin2x+cos2x) ( sin4x-sin2x cos2x+cos4x)=(sin2x+cos2x)2-3sin2x cos2x=1-34 sin22x=1-3 8 (1-cos4x)=58+38cos4x∴当x= Kπ2(k ∈z)时,有ymax=1当x= Kπ2+π4(k ∈z)时,有ymin= 14点评:求三角函数的最值时,常常通过恒等变换,而恒等变换,一般要综合运用同角三角函数间的关系、和角、半角、半角的三角函数及和差化积、积化和差公式。

2 y=asinx+bcosx型的函数这种类型的函数的特点是含有正余弦函数,并且是一次式。

解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。

三角函数最值问题求解三角函数最值问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形，还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识．这类问题往往概念性较强，具有一定的综合性和灵活性，下面结合例子给出几种求最值的方法，供大家学习时参考。

1、利用三角函数的单调性求最值例1：求函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(-⋅-= ⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈2,0πx 的最值 解:x x x x x x x x f 2sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos )(2222-=--+=45424,20ππππ≤+≤∴≤≤x x ,由余弦函数的单调性及图像知： 当442ππ=+x ， 即0=x 时 ，)42cos(π+x 取最大值22； 当ππ=+42x ，即83π=x 时，)42cos(π+x 取最小值-1； 故2)(,1)(min max -==x f x f方法评析：本题虽然含有的三角函数的项的次数不尽相同，但最终能通过变形变为形如θθcos sin b a +的形式，再用辅助角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 化为标准形式结合三角函数的单调性加以解决，这是一种最常见的求最值的方法。

2、利用三角函数的有界性或数形结合求最值例2：求1cos 2sin --=x x y 的最小值 解：(方法一)由1cos 2sin --=x x y 得：y x y x -=-2cos sin ，y x y -=-+∴2)sin(12ϕ 即212)sin(y yx +-=-ϕ，故11212≤+-≤-y y ，解之得43≥y ， 故y 的最小值为43 方法评析：通过变形，借助三角函数的有界性求函数最值是一种很常见的方法，一般在分式型且对自变量无特殊限制条件下使用。

(方法二)设),(),sin ,(cos 21M x x P ,则1cos 2sin --=x x y 表示单位圆上的动点P 与平面内定点M 连线的斜率，当斜率存在时，设过P 、M 两点的直线方程为)1(2-=-x k y ，由距离公式得1122=+-k k ，解之得43=k ，结合图形可知函数的最小值为43。

三角函数求值的几种方法三角函数是数学中重要的一部分，它与圆的关系密切。

三角函数的求值是在给定一个角度时，计算其正弦、余弦、正切等函数值的过程。

本文将介绍三角函数求值的几种常见方法。

一、定义法三角函数的定义法是最基本的方法，它直接使用三角函数的定义公式进行计算。

例如，正弦函数的定义为sin(x) = b/c，其中b和c分别为角x所对应直角三角形的对边和斜边的长度。

通过观察角度对应的三角形特点，可以求出函数值。

二、图表法三角函数图表法是通过查阅三角函数表格，根据给定的角度，在表格中查找对应的函数值。

例如，可以查阅三角函数表格得到30°的正弦函数值为0.5三、计算器法计算器法是利用现代科技设备来进行三角函数求值的方法。

几乎所有的计算器都内置了三角函数求值功能，只需输入角度值，即可得到相应的函数值。

四、迭代法迭代法是一种数值计算方法，通过连续迭代计算来逼近精确解。

使用迭代法计算三角函数值时，可以使用泰勒级数展开式或欧拉公式来逼近函数值。

例如，sin(x)可以展开为无穷级数：sin(x) = x - x^3/3! +x^5/5! - x^7/7! + ...，通过截取有限项和进行计算，可以得到近似的函数值。

五、差值法差值法是一种数值逼近方法，通过已知点的函数值来估计其它点的函数值。

三角函数的差值法是利用已知的函数值，通过插值公式逼近所求函数值。

例如，当已知sin(30°) = 0.5，sin(45°) = 0.7071时，可以使用线性插值的方法来估计sin(40°)的值。

六、三角恒等式法三角函数有很多恒等式，可以用于简化三角函数的计算。

例如，利用和差角公式sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，可以将复杂角度的三角函数值转化为已知角度的三角函数值来计算。

总结：本文介绍了三角函数求值的几种常见方法，包括定义法、图表法、计算器法、迭代法、差值法和三角恒等式法。

研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解.一、用三角函数定义求值例1.已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)且cos α＝36x ，求sin α＋tan α的值．例2.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ＝()。

A.－45 B.－35 C.35D.45【解析】取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55.点评:用定义法求三角函数值的两种情况:①已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；②已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解.二、用诱导公式求值例3.【2016高考四川文科】sin 750.【解析】由三角函数诱导公式1sin 750sin(72030)sin 302︒=︒+︒=︒=.例4.已知α∈),2(ππ，sin α＝55，则tan(π－α)＝________.【解析】因为α∈),2(ππ，sin α＝55，所以cos α＝－25 5.所以tan α＝sin αcos α＝－12.所以tan(π－α)＝－tan α＝12.点评:诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了。

诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取.三、用同角三角函数间的关系求值例5.【2016高考新课标Ⅲ文数】若tan 13θ=，则cos 2θ=（）A.45-B.1-C.15D.45【解析】2222222211()cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 51(3θθθθθθθ---====+++．例6.已知α为第二象限角,33cos sin =+αα,则=α2cos ()A.35-B.95-C.5 D.5【解析】法一:因为3cos sin =+αα,所以31)cos (sin 2=+αα,所以32cos sin 2-=αα,即322sin -=α.。

ʏ摆扬虎三角函数求值的常用方法有:巧用三角函数的定义,弦切互化,和积转换, 1 的变换,巧用三角公式,以及利用三角函数的图像等㊂下面举例分析,供同学们学习与参考㊂方法一:巧用三角函数的定义例1 已知角α的终边经过点(3,-4),则s i n α+1c o s α=㊂因为角α的终边经过点(3,-4),所以r =5㊂由三角函数的定义得s i n α=-45,c o s α=35,所以s i n α+1c o s α=-45+53=1315㊂评注:已知角α终边上一点P (x ,y ),且P (x ,y )不是单位圆上的点,可先求r =x 2+y 2,再求s i n α=y r ,c o s α=x r的值㊂方法二:巧用弦切互化例2 若s i n θ+2c o s θs i n θ-c o s θ=2,则s i n θ㊃c os θ=㊂由s i n θ+2c o s θs i n θ-c o s θ=2,整理可得t a n θ=4,所以s i n θc o s θ=s i n θc o s θs i n 2θ+c o s 2θ=t a n θ1+t a n 2θ=417㊂评注:解答本题的关键是利用公式t a n α=s i n αc o s α进行弦切互化㊂方法三:巧用和积转换例3 如果s i n x +c o s x =15,且0<x <π,那么ta n x 的值是㊂由已知等式两边平方得s i n x c o s x =-1225㊂因为0<x <π,所以s i n x >0,c o s x <0㊂结合s i n 2x +c o s 2x =1解得s i n x =45,c o s x =-35,所以t a n x =-43㊂评注:解答本题的关键是利用(s i n x ʃc o s x )2=1ʃ2s i n x c o s x 和s i n 2x +c o s 2x =1的关系进行变形和转化㊂方法四:巧用 1 的变换例4 化简s i n 2α+c o s 4α+s i n 2αc o s 2α的结果是㊂原式=s i n 2α+c o s 2α(c o s 2α+s i n 2α)=s i n 2α+c o s 2α=1㊂评注:解题时要灵活应用 1的变换,常见的 1 的变换有1=s i n 2θ+c o s 2θ=c o s 2θ㊃(1+t a n 2θ)=t a nπ4等㊂方法五:巧用诱导公式例5c o s (-585ʎ)s i n 495ʎ+s i n (-570)ʎ的值等于;s i n 585ʎc o s 1290ʎ+c o s (-30ʎ)s i n 210ʎ+t a n 135ʎ的值等于㊂结合诱导公式求值㊂原式=c o s (360ʎ+225ʎ)s i n (360ʎ+135ʎ)-s i n (360ʎ+210ʎ)=c o s (180ʎ+45ʎ)s i n (180ʎ-45ʎ)-s i n (180ʎ+30ʎ)=-c o s 45ʎs i n 45ʎ-(-s i n 30ʎ)=-2222+12=2-2㊂原式=s i n585ʎc o s1290ʎ+c o s30ʎ㊃s i n 210ʎ+t a n 135ʎ=s i n (360ʎ+225ʎ)c o s (3ˑ360ʎ+210ʎ)+c o s 30ʎs i n210ʎ+t a n (180ʎ-45ʎ)=s i n225ʎc o s 210ʎ+c o s 30ʎs i n210ʎ-t a n 45ʎ=s i n (180ʎ+45ʎ)c o s (180ʎ+30ʎ)+c o s 30ʎs i n (180ʎ+30ʎ)-t a n45ʎ=s i n45ʎ㊃c o s 30ʎ-c o s 30ʎs i n 30ʎ-t a n 45ʎ=22ˑ32-32ˑ12-1=6-3-44㊂评注:利用诱导公式求任意角的三角函数值的四个步骤: 负化正 ,即用三角公式转31知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.化; 大化小 ,即用三角公式将角化为0ʎ到360ʎ间的角; 小化锐 ,即用三角公式将大于90ʎ的角转化为锐角; 锐求值 ,即得到锐角三角函数后求值㊂方法六:巧用和差公式例6 若s i n 2α=55,s i n (β-α)=1010,且αɪπ4,π,βɪπ,3π2,则α+β的值是㊂因为αɪπ4,π,所以2αɪπ2,2π ㊂因为si n2α=55>0,所以2αɪπ2,π ,所以αɪπ4,π2 ,且c o s2α=-255㊂又因为s i n (β-α)=1010,βɪπ,3π2,所以β-αɪπ2,5π4,c o s (β-α)=-31010㊂故c o s (α+β)=c o s [(β-α)+2α]=c o s (β-α)c o s2α-s i n (β-α)s i n2α=-31010ˑ-255-1010ˑ55=22㊂又α+βɪ5π4,2π,所以α+β=7π4㊂评注:三角函数常见的角变换有:α=(α-β)+β,α=α+β2+α-β2,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β)等㊂方法七:巧用倍角公式例7 已知函数f (x )=s i n2x -c o s 2x -23s i n x c o s x (x ɪR ),则f 2π3的值为㊂因为f (x )=s i n 2x -c o s 2x-23s i n x c o s x =-c o s 2x -3s i n 2x =-2s i n 2x +π6 ,所以f 2π3=-2s i n4π3+π6=-2s i n 3π2=2㊂评注:三角函数的角变换的常见公式有:1ʃs i n2α=s i n 2α+c o s 2αʃ2s i n αc o s α=(s i n αʃc o s α)2,1+c o s2α=2c o s 2α,1-c o s 2α=2s i n 2α,c o s 2α=1+c o s 2α2,s i n 2α=1-c o s 2α2等㊂方法八:巧用三角函数的图像例8 图1是函数f (x )=A s i n (ωx +φ)A >0,ω>0,|φ|<π2的图像的一部分,对任意的x 1,x 2ɪ[a ,b ],且x 1ʂx 2,若f (x 1)=f (x 2),都有f (x1+x 2)=1,则φ的值为( )㊂图1A .π12B .π6C .π4D .π3由图得A =2㊂由题意知x 1,x 2关于函数f (x )图像的对称轴对称,直线x =x 1+x 22是函数f (x )图像的一条对称轴,且fx 1+x 22=2,所以2s i n ω㊃x 1+x 22+φ =2,所以ωx 1+x22 +φ=π2+2k π(k ɪZ )㊂因为f (x 1+x 2)=1,所以2s i n [ω(x 1+x 2)+φ]=1,所以ω(x 1+x 2)+φ=π6+2k π(k ɪZ )或ω(x 1+x 2)+φ=5π6+2k π(k ɪZ )㊂令k =0,据上消去ω(x 1+x 2),可得φ=π6或φ=5π6㊂又因为|φ|<π2,所以φ=π6㊂应选B ㊂评注:解答本题的关键是熟练掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质㊂作者单位:甘肃省临夏州积石山县积石中学(责任编辑 郭正华)41 知识结构与拓展 高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。