高中数学第二章变化率与导数2.3计算导数学案含解析北师大版选修2_2

2016-2017学年高中数学第二章变化率与导数章末综合测评（含解析）北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章变化率与导数章末综合测评（含解析）北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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（二) 变化率与导数(时间120分钟,满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某质点沿直线运动的位移方程为f（x）＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )A.－4 B。

－5C.－6 D。

－7【解析】错误!＝错误!＝错误!＝－6。

【答案】C2。

设曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝（)A。

1 B.错误!C。

－错误!D。

－1【解析】y′＝2ax,于是切线斜率k＝f′(1）＝2a，由题意知2a＝2,∴a＝1.【答案】A3。

下列各式正确的是( )A。

（sin α)′＝cos α（α为常数）B.（cos x)′＝sin xC。

(sin x)′＝cos xD.(x－5）′＝－错误!x－6【解析】由导数公式知选项A中（sin α）′＝0；选项B中（cos x）′＝－sin x；选项D中(x－5)′＝－5x－6。

【答案】C4。

设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x,则a等于（)A。

0 B。

1 C。

2 D。

3【解析】令f(x）＝ax－ln（x＋1)，则f′（x）＝a－1x＋1。

1 5 上一点 A(2, ) ，用斜率定义求： x 2
（2）点 A 处的切线方程
（1）点 A 的切线的斜率
三 、达标训练： （学生自练 个别回答 教师点评）
' 1.如果函数 f ( x) 5 ，则 f (1) （
）
A. 5
B. 1
C. 0
D.不存在 ）
2.曲线 y 2 x 2 1在点（0，1）的切线斜率是（ A.-4 3.曲线 y B.0 C.2 D. 不存在 ）
1 2 1 x 在点 (1, ) 处切线的倾斜角为（ 2 2 5 A. B. 1 C. D. 4 4 4
4.求函数 f ( x) 3x 3 2 x 3 的导数。
四、课后作业：教材 A 组 6 1.求双曲线 y
1 1 过点 (2, ) 的切线方程。 x 2
2.3
计算导数
学习目标：能ห้องสมุดไป่ตู้用导数的定义求几个常用初等函数的导数。 一、自学、思考、练习 忆一忆： 1、函数在一点处导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的步骤。 二、我参与学习：教材 P81-84 （师生共同分析 学生书写 教师点评） 试一试： 1、你能推导下列函数的导数吗？ （1） f ( x) c （2） f ( x) x （3） f ( x) x2 （4） f ( x) （5） f ( x)
1 x
x
2、在同一坐标系中画出函数 y 2 x, y 3x, y 4 x 的图象，并根据导数定义求出它们的导数 （1）从图象看它们的导数分别表示什么； （2）这三个函数中，哪个增加的最快，哪个增加的最慢； （3）函数 y kx(k 0) 的导数是什么，它的增减快慢与什么有关。 3、已知曲线 y x

导数的乘法与除法法则一、教学目标：1、会运用两个函数的和、差、积、商的求导公式求含有积、商综合运算的函数的导数；2、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。

二、教学重点：两个函数的和、差、积、商的求导公式的应用教学难点：函数积、商导数公式三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式1、两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+2、若两个函数)(x f 和)(x g 的导数分别是)(x f '和)(x g '，我们有)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'='特别地，当k x g =)(时，有)(])([x f k x kf '='（二）、探究新课例1：求下列函数的导数：（1）)sin (ln 2x x x y +=； （2）2cos x x x y -=。

解：（1）解一：)sin (ln )sin (ln )(])sin (ln [222'+⋅++⋅'='+='x x x x x x x x x yx x x x x x x x x x x x x cos sin 2ln 2cos 1)sin (ln 222+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⋅=解二：)sin ()ln ()sin ln (])sin (ln [22222'⋅+'⋅='⋅+⋅='+='x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x xx x x cos sin 2ln 2cos sin 21ln 2222+++=⋅+⋅+⋅+⋅=。

高中数学第二章变化率与导数3计算导数教学案北师大版选修2_2对于函数y ＝－x2＋2.问题1：试求f′(1)，f′.提示：f′(1)＝li mΔx→0－＋Δ＋2－－1＋Δx＝li (－2－Δx)＝－2.f′＝li mΔx→0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋Δx 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋2Δx＝li (1－Δx)＝1.问题2：求f′(x0)的值．提示：f′(x0)＝li ＝li (－2x0－Δx)＝－2x0.问题3：利用f′(x0)可求f′(1)和f′吗？提示：可以．只要令x0＝1，x0＝－.问题4：若x0是一变量x ，则f′(x)还是常量吗？提示：因f′(x)＝－2x ，说明f′(x)不是常量，其值随自变量x 而改变．1．导函数若一个函数f(x)在区间(a ，b)上的每一点x 处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝li ，则f′(x)是关于x 的函数，称f ′(x)为f(x)的导函数，简称为导数．2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)数，是对一个区间而言的；f′(x0)表示的是函数f(x)在x ＝x0处的导数，它是一个确定的值，是函数f′(x)的一个函数值．2．对公式y ＝x α的理解：(1)y ＝x α中，x 为自变量，α为常数；(2)它的导数等于指数α与自变量的(α－1)次幂的乘积，公式对α∈R 都成立．[例1] [思路点拨] 先用导函数的定义求f′(x)，再将x ＝3代入即可得f′(3)．[精解详析] f′(x)＝li m Δx→0＋Δ＋＋Δ－＋Δx＝li mΔx→02Δx·x＋Δ＋5ΔxΔx＝li (2x ＋Δx ＋5)＝2x ＋5. ∴f ′(3)＝2×3＋5＝11.[一点通] 利用定义求函数y ＝f(x)的导函数的一般步骤： (1)确定函数y ＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数；。

§2.5 简单复合函数的求导法则1.了解复合函数的概念.(难点)2.掌握复合函数的求导法则.(重点)3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 复合函数的概念阅读教材P 49倒数第2行以上部分，完成下列问题. 一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )＝ax ＋b ，给定x 的一个值，就得到了u 的值，)x (φ＝u 和)u (f ＝y 我们称这个函数为函数，的函数x 可以表示成y 这样，的值y 进而确定了.为中间变量u 中其，))x (φ(f ＝y 记作，复合函数的下列函数不是复合函数的是( ) A.y ＝－x 3－1x ＋1 B.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 C.y ＝1ln xD.y ＝(2x ＋3)4 【解析】A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A. 【答案】A 教材整理2 复合函数的求导法则 阅读教材P 49最后两行至P 50部分，完成下列问题. 复合函数y ＝f (φ(x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝φ(x )的导数间的关系为y x ′＝.的导数的乘积x 对u 的导数与u 对y 的导数是x 对y 即.′x u ′·u y(ln 2x )′等于( )A.12xB.1xC.1xln 2D.ln 2x【解析】(ln 2x)′＝12x (2x)′＝1x.【答案】B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.【精彩点拨】分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系.【自主解答】(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的.(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的.(3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的.判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次运算而得到的函数.[再练一题]1.指出下列函数由哪些函数复合而成.。

2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义学 习 目 标核 心 素 养1．理解导数的概念及导数的几何意义．(重、难点)2．会求导数及理解导数的实际意义．(重点) 3.掌握利用导数求切线方程的方法．(难点)1．通过导数几何意义的学习，培养了学生直观想象的核心素养. 2．通过求函数的导数的学习，提升了学生数学运算的核心素养. 3.通过导数实际意义的学习，培养了学生数学抽象的核心素养.1．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim x 1→x 0f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义．1．设函数y ＝f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1) D ．以上都不对A [由f (x )在x ＝1处的导数的定义知，应选A.]2．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在A [由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数．]3．抛物线y ＝x 2＋4在点(－2,8)处的切线方程为__________． 4x ＋y ＝0 [因为y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ，所以k ＝－4，故所求切线方程为4x ＋y ＝0.]求函数在某点处的导数【例1】 (1)若lim Δx →000Δx＝k ，则lim Δx →0f (x 0＋2 Δx )－f (x 0)Δx等于( )A ．2kB ．kC ．12k D ．以上都不是(2)函数y ＝x 在x ＝1处的导数是________． (3)求函数f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 思路探究：根据导数的概念求解． (1)A (2)12 [(1)lim Δx →0 f (x 0＋2 Δx )－f (x 0)Δx＝2lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx＝2lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx＝2k .(2)∵Δy ＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 当Δx 趋于0时，Δy Δx ＝11＋Δx ＋1趋于12，∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.](3)[解] ∵f (x )＝2x 2＋4x ， ∴Δy ＝f (3＋Δx )－f (3)＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx . ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16. 当Δx 趋于0时，ΔyΔx＝16，∴f ′(3)＝16.1．本题(2)中用到了分子有理化的技巧，主要目的是使整个式子的趋近值容易求出．切忌算到1＋Δx －1Δx时，就下结论：当Δx 趋于0时，分子分母的值都趋于0，所以整个式子的值不确定．2．计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤 (1)计算Δy ；(2)计算Δy Δx ；(3)计算lim Δx →0ΔyΔx .1．若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．3 3C [∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3－x 30＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2， ∴f ′(x 0)＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20， 由f ′(x 0)＝3，得3x 20＝3，∴x 0＝±1．]求曲线在某点处切线的方程【例2】 已知曲线C ：f (x )＝3x 3＋3.(1)求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？思路探究：(1)先求切点坐标，再求f ′(2)，最后利用导数的几何意义写出切线方程． (2)将切线方程与曲线C 的方程联立求解． [解] (1)将x ＝2代入曲线C 的方程得f (2)＝4， ∴切点P (2,4)．f ′(2)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝lim Δx →0[4＋2Δx ＋13(Δx )2]＝4.∴k ＝f ′(2)＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －4，y ＝13x 3＋43，可得(x －2)(x 2＋2x －8)＝0，解得x 1＝2，x 2＝－4.从而求得公共点为P (2,4)或M (－4，－20)，即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－4，－20)．1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； (2)写出切线方程，即y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．特别注意：若在点(x 0，y 0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y 轴，所以直线的切线方程为x ＝x 0.2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．2．求曲线f (x )＝x 2＋1在点A (1,2)处的切线方程．[解] 在曲线f (x )＝x 2＋1上的点A (1,2)的附近取一点B ，设B 点的横坐标为1＋Δx ，则点B 的纵坐标为(1＋Δx )2＋1，所以函数的增量Δy ＝(1＋Δx )2＋1－2＝(Δx )2＋2Δx ，所以切线AB 的斜率k AB ＝ΔyΔx ＝Δx ＋2，∴lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(Δx ＋2)＝2，这表明曲线f (x )＝x 2＋1在点A (1,2)处的切线斜率k ＝2． ∴所求切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.求曲线过某点的切线方程1．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？[提示] 区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数． 联系：函数f (x )在x 0处的导数就是导函数f ′(x )在x ＝x 0时的函数值． 2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？[提示] 不一定．切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．3．曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程与过某点(x 0，y 0)的曲线的切线方程有何不同？ [提示] 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线，点(x 0，f (x 0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x 0)，利用点斜式写出切线即可；而求过某点(x 0，y 0)的曲线f (x )的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．【例3】 已知曲线f (x )＝1x.(1)求曲线过点A (1,0)的切线方程； (2)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．思路探究：(1)点A 不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A (1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．(2)设出切点坐标，由该点斜率为－13，求出切点，进而求出切线方程．[解] (1)lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝－1x 2.设过点A (1,0)的切线的切点为P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，1x，则f ′(x 0)＝－1x 20，即该切线的斜率为k ＝－1x 20.因为点A (1,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，1x在切线上， 所以1x 0－0x 0－1＝－1x 20，解得x 0＝12.故切线的斜率k ＝－4.故曲线过点A (1,0)的切线方程为y ＝－4(x －1)， 即4x ＋y －4＝0.(2)设斜率为－13的切线的切点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ， 由(1)知，k ＝f ′(a )＝－1a 2＝－13，得a ＝± 3.所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，33或⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－33. 故满足斜率为－13的曲线的切线方程为y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)， 即x ＋3y －23＝0或x ＋3y ＋23＝0.1．求曲线过已知点的切线方程的步骤2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．3．求曲线y ＝f (x )＝x 2＋1过点P (1,0)的切线方程．[解] 设切点为Q (a ，a 2＋1)，f (a ＋Δx )－f (a )Δx ＝(a ＋Δx )2＋1－(a 2＋1)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx趋于0时，(2a ＋Δx )趋于2a ，所以所求切线的斜率为2a .因此，(a 2＋1)－0a －1＝2a ，解得a ＝1±2，所求的切线方程为y ＝(2＋22)x －(2＋22)或y ＝(2－22)x －(2－22)．1．导数与函数图象的关系在x ＝x 0附近各切线的斜率反映切线的升降变化情况，导数f ′(x 0)反映函数在x ＝x 0附近的增减情况，而在x ＝x 0处的切线斜率k ＝f ′(x 0)，所以反映在图形上它们的变化情况是一致的，如图．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表：曲线f (x )在x ＝x 0附近切线的斜率k 切线的倾斜角f ′(x 0)>0上升k >0锐角f ′(x 0)<0 下降 k <0 钝角f ′(x 0)＝k ＝0零角(切线与x 轴平行)2．求曲线在某点的切线方程(1)若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)的切线的斜率存在，则斜率k ＝f ′(x 0)，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(2)若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)的切线的斜率不存在，则切线方程为x ＝x 0，此时f ′(x 0)也不存在．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在一点处的导数f ′(x 0)是一个常数．( )(2)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值． (3)函数f (x )＝0没有导数．( ) (4)直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．如图，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f ′(4)＝( )A ．12 B ．3 C ．4D ．5A [由于k l ＝5－34－0＝12，∴f ′(4)＝12]3.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝f (x )在A ，B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“＜”“＝”或“＞”)．＞ [f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图像在点A ，B 处的切线斜率，由图像可得f ′(a )＞f ′(b )．]4．已知直线y ＝4x ＋a 和曲线y ＝x 3－2x 2＋3相切，求切点坐标及a 的值． [解] 设直线l 与曲线相切于点P (x 0，y 0)，则lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x .由导数的几何意义，得k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)． 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ， ∴a ＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， ∴a ＝－5.因此切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)， a 的值为12127或－5.。

陕西省石泉县高中数学第二章变化率与导数2.3 计算导数教案北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省石泉县高中数学第二章变化率与导数2.3 计算导数教案北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3 计算导数一、 复习：1、导数的定义；2、导数的几何意义;3、求函数的导数的步骤。

二、探究新课自学课本38—40页，,得出以下定义：（一）.导函数的定义.)()()()()(''''0y x f x f x x f x x f x x x f 或的导函数，记作为的一个函数，我们称它便是化时，变当是一个确定的数，那么到处求导数的过程可以看在从求函数= x x f x x f y x f x ∆-∆+==→∆)()(lim )(0''即注 意:.)(1'量的比值的极限，不是变变量该变量该点的函数该变量与自是一个定值，是函数在数）函数在某一点处的导（x f .2而言的一区间内任一点）函数的导数：是指某（x例1、 求x x x f y -==23)(的导函数)(x f '，并利用导函数)(x f '求)1(f '，)2(-'f ，)0(f '。

（二）。

基本初等函数的求导公式：课本41页表2-5例2、求下列函数导数。

(1）5-=x y （2）x y 4=（3）x x x y = （4）x y 3log =三、课堂检测:1.课本40页练习1、2;2。

一、选择题1．若直线y =kx +b (k 1>)是曲线y =lnx +2-e 的切线，也是y =1x e -的切线，则bk=（ ） A ．-1B ．-2C ．-eD ．-122．已知函数()2f x x bx =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ）A ．20192020B ．20182019C ．20172018D ．201820173．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ） A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 4．已知()sin cosf x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ）A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+5．设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是（ ）. A ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2[0,),23πππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( )A B C D ．7．设函数2()sin f x x ππ=-在(0,)+∞上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点0(,0)x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则||PQ 的最小值为（ ）A B C D ．108．曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-C ．21y x =-+D ．21y x =+9．若存在过点()0,0O 的直线l 与曲线()3232f x x x x =-+和2y x a =+都相切，则a 的值是( ) A ．1B ．164-C ．1或164-D ．1或16410．已知直线:l y m =，若l 与直线23y x =+和曲线ln(2)y x =分别交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为A ．1B ．2C D 11．设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ） A ．-4B ．14-C ．14D ．412．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ） A ．3B ．13C ．2D ．12二、填空题13．若函数()()ln 2f x x =+的图象在点()00,P x y 处的切线l 与函数()xg x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数为______.14．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______.15．已知函数32()1(0,0)32x b f x x ax a b =-++>>，则函数'()()ln f x g x a x a =+在点(,())b g b 处切线的斜率的最小值是________．16．曲线12x y x e =++在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______． 17．抛物线2yx 上的点到直线20x y --=的最短距离为________________．18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()322f x x x =-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______________.19．已知直线2y x c =+与曲线()2e 1xf x x x =+++相切,则实数c 的值是_________.20．关于x 的方程2xx a e +=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______________.三、解答题21．已知函数()1ln1xf x x+=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 22．设函数f （x ）=++b ，g （x ）=kx ，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x ﹣y+e ﹣3=0（e 为自然对数的底数） （Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若x ＞0时，f （x ）＞g （x ），求k 的取值范围． 23．求证：曲线3y x x =-在x =1处的切线方程与直线112y x =-+垂直. 24．求下列函数的导函数. （1）()521y x =+ （2）1log 32ay x =+ 25．已知函数3()f x x x=-． （1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 26．已知曲线2:2C y x x =-+. （1）求曲线C 在点()1,2处的切线方程， （2）求过点()2,3且与曲线C 相切的直线的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】直线()1y kx b k =+>与ln 2y x e =+-的切点为()11,ln 2x e x +-，与1x y e -=的切点为()212,x x e -，分别求出切线方程，由切线相同列出关于1x ，2x 的方程组，解出方程即可得出切线方程进而得结果. 【详解】直线()1y kx b k =+>与ln 2y x e =+-的切点为()11,ln 2x e x +-， 与1x y e -=的切点为()212,x x e-，由ln 2y x e =+-的导数为1y x'=，1x y e -=的导数为1x y e -'=， 可得2111x k e x -==， ∴切线分别为()1111ln 2y x e x x x --+=-和()22112x x y e e x x ---=-， 即111ln 1y x x e x =++-和()221121x x y e x e x --=+- 由于两切线相同，∴()221111211ln 11x x e x x e e x --⎧=>⎪⎨⎪+-=-⎩，解得1212x e x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则切线为y ex e =-，∴k e =，b e =-，则1bk=-， 故选：A. 【点睛】本题主要考查求切线方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题.2．A解析：A 【分析】利用导数的几何意义，可求出直线l 的斜率，进而由l 与直线320x y -+=平行，可求出b ，从而可得到()1111f n n n =-+，进而求出2019S 即可.【详解】由题意，()2f x x b '=-，则()12f b '=-，所以直线l 的斜率为2b -， 又直线320x y -+=的斜率为3，所以23b -=，解得1b =-.则()2f x x x =+，故()211111f n n n n n ==-++， 所以201911111111201911223342019202020202020S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查平行直线的性质，考查利于裂项相消求和法求数列的前n 项和，属于中档题.3．A解析：A 【分析】求导得到()()'1xf x m x e =+⋅，由已知得()1f e =，()1f e '=，解得答案.【详解】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m e n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.4．A解析：A 【分析】根据归纳推理进行求解即可． 【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-，1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+， []'23()()cos sin f x f x x x ==--， []'34()()sin cos f x f x x x ==-，照此规律，可知：[]'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A. 【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．5．B解析：B 【解析】 【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围． 【详解】解：2333y x '=-，tan 3α∴-，2[0,),23ππαπ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题．6．B解析：B 【分析】先求函数()2f x x =的图象在1x =处的切线，再根据该切线也是函数()e xg x a=图象的切线，设出切点即可求解. 【详解】由()2f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=，又(1)1f =，所以函数()2f x x =的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-. 设21y x =-与函数()ex g x a=的图象相切于点00(,)x y ,由e()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x a g x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪ 解得32031,e =222x a ==. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.7．D解析：D 【分析】由导数的几何意义可得：曲线()y f x =在点(1,0)处的切线l 的方程为2(1)y x =-， 由导数的应用可得：当Q 的坐标为3(1,)2时，点Q 到切线l 的距离为||PQ 的最小值，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 解:令2sin 0x ππ-=，(0)x >．则x k ππ=，即x k =，(*)k N ∈，则x 的最小值为1，即0x =1，又'()2cos f x x π=-，所以'(1)2f =， 又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,0)处的切线l 的方程为2(1)y x =-， 由23ln 2y x x =-，则'13y x x =-，令132x x -=，解得1x =，此时32y =，即当Q 的坐标为3(1,)2时，点Q 到直线l 的距离为||PQ 的最小值，由点到直线的距离公式可得：min ||PQ=故选D. 【点睛】本题考查了利用导数求切线方程及点到直线的距离公式，重点考查了运算能力，属中档题.8．A解析：A 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，得到结果. 【详解】 由11x y x +=-可得221(1)2'(1)(1)x x y x x --+==---，所以0'|2x y ==-， 所以曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为：21y x =--， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线的方程，属于简单题目.9．D解析：D 【解析】 【分析】点()0,0O 在()3232f x x x x =-+上，分点()0,0O 是曲线()f x 上的切点，和点()0,0O 不是曲线()f x 上的切点进行讨论，分别对两条曲线求导，利用切点处的导数即为切线的斜率，列方程，可解出答案. 【详解】解：点()0,0O 在()3232f x x x x =-+上，且()2'362f x x x =-+①点()0,0O 是曲线()f x 上的切点则()k '02f ==，切线l 的方程为：2y x =设直线l 在2y x a =+上的切点为()200,P x x a +因为'2y x =，所以0k 22x ==，所以01x =，所以()1,1P a +, 又点P 在直线2l y x =：上，所以12a +=，即1a =②点()0,0O 不是曲线()f x 上的切点，设曲线()f x 上的切点为()320000,32Q x x x x -+（00x ≠）则()322000000032k '362x x x f x x x x -+==-+=，解得032x =，1k 4=-所以33,28Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，切线l 的方程为：14y x =-设直线l 在2y x a =+上的切点为()200,P x x a +因为'2y x =，所以01k 24x ==-，所以018x =-，所以11,864P a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 又点P 在直线14l y x =-：上，所以1116448a ⎛⎫+=-⨯- ⎪⎝⎭，即164a =所以1a =或164故选：D. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，求解与切线方程有关的问题一定要先确定切点，题中没给切点的要先设切点坐标，然后根据切点处的导数即为切线的斜率列式求解.10．B解析：B 【分析】利用导数求出与直线23y x =+平行的曲线的切线的切点，利用点到直线的距离可得. 【详解】1y x '=,令12x =可得12x =，所以切点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 根据题意可知1,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0m =，所以3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时2AB =.故选B. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义.已知切线的斜率，结合导数可得切点.11．D解析：D 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值． 【详解】解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=，∴2'|4x y ==-， 又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，∴4a -=-，即4a =． 故选D ． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．12．A解析：A 【分析】设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3y x '=，从而得到切线的斜率03k x =，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【详解】设切点为00(,2)x kx -，∵3y x '=，∴0003,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①② 由①得03kx =， 代入②得013ln 1x +=， 则01x =，3k =， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.二、填空题13．【分析】求得函数的导数可得切线的斜率和方程由两直线重合的条件解方程可得即可得到所求的个数【详解】解：函数的导数为可得点处的切线斜率为切线方程为函数的导数为设与相切的切点为可得切线斜率为切线方程为由题解析：2【分析】求得函数()f x ，()g x 的导数，可得切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，解方程可得0x ，即可得到所求P 的个数． 【详解】解：函数()(2)f x ln x =+的导数为1()2f x x '=+， 可得点0(P x ，0)y 处的切线斜率为012x +， 切线方程为00001(2)22x y x ln x x x =++-++， 函数()x g x e =的导数为()x g x e '=，设l 与()g x 相切的切点为(,)m n ， 可得切线斜率为m e ，切线方程为m m m y e x e me =+-， 由题意可得012m e x =+，000(2)2m m x ln x e me x +-=-+， 可得0000011(2)022x x ln x x x ++-+=++，解得01x =-或2e -． 则满足条件的P 的个数为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，以及化简运算能力，属于中档题．14．【分析】求导利用求出根据导数几何意义可求斜率利用点斜式写出切线方程即可【详解】∵∴解得即则∴曲线在点处的切线方程为即【点睛】本题主要考查了导数的几何意义切线方程属于中档题 解析：10x y --=【分析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222xxxf x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.15．2【解析】【分析】根据已知条件得到的导函数根据限制性条件和基本不等式进行解答【详解】因为所以又因为所以（b ）所以斜率的最小值是2故答案是：2【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值根据导数的 解析：2【解析】【分析】 根据已知条件得到()()f x g x alnx a '=+的导函数，根据限制性条件0a >，0b >和基本不等式进行解答．【详解】 因为()()f x g x alnx a '=+， 所以2()a x b g x x a-'=+． 又因为0a >，0b >， 所以g '（b ）22a b b a a b a b b -=+=+， 所以斜率的最小值是2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．16．【解析】【分析】先根据导数几何意义求切线斜率得切线方程再求三角形面积【详解】因为所以与与两坐标轴交点为因此围成的三角形面积为【点睛】本题考查导数几何意义以及直线方程考查基本分析与运算能力属基础题 解析：32【解析】【分析】先根据导数几何意义求切线斜率，得切线方程，再求三角形面积.【详解】因为12x y e '=+，所以03,320)3313(y k x y x e =-=-∴=++=，与与两坐标轴交点为(1,0),(0,3)-，因此围成的三角形面积为1313.22⨯⨯= 【点睛】本题考查导数几何意义以及直线方程，考查基本分析与运算能力，属基础题. 17．【分析】当抛物线上点的切线与直线平行时这个点到直线的距离最短求出切点坐标利用点到直线的距离公式求出切点到直线的距离即最短距离【详解】由得令则所以抛物线上的点到直线的距离最短最短为故填【点睛】本题考查【分析】当抛物线上点的切线与直线20x y --=平行时，这个点到直线20x y --=的距离最短.求出切点坐标，利用点到直线的距离公式求出切点到直线的距离，即最短距离【详解】由2y x =，得2y x '=．令1y '=，则12x =， 所以抛物线2y x =上的点11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线20x y --=的距离最短，最短为8=．故填8． 【点睛】本题考查了导数的几何意义的应用，考查了点到直线的距离公式，解答本题的关键是理解曲线上的点到直线的最短距离，与这条直线和其平行且与曲线的相切的直线间的距离的关系.18．【分析】先求出当时的解析式然后再求出切线方程【详解】函数是定义在上的奇函数当时当时则当时即切线方程为即故答案为【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程本题较为 解析：740x y --=【分析】先求出当0x >时的解析式，然后再求出切线方程【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数∴当0x <时，()322f x x x =-当0x >时，0x -<，()()()323222f x x x x x -=---=-- 则当0x >时，()322f x x x =+ ()1123f =+=()234f x x x '=+，()17f '=即切线方程为()371y x -=-，即740x y --=故答案为740x y --=【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式，再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程，本题较为基础，只要掌握解题方法即可19．2【解析】设切点坐标为∵∴又∵直线与曲线相切∴解得∴将切点代入到直线可得故答案为2点睛：本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率属于基础题；在处理该类问题中需注意切点的 解析：2【解析】设切点坐标为()00,x y ，∵()21x f x e x x =+++，∴()21xf x e x ='++，又∵直线2y x c =+与曲线相切，∴()000212x f x e x =++='，解得00x =，∴02y =，将切点代入到直线可得2c =，故答案为2.点睛：本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，属于基础题；在处理该类问题中需注意切点的重要性，主要利用：1、切点处的导数即为斜率；2、切点坐标满足曲线方程；3、切点坐标满足切线方程.20．【解析】由题意则临界情况为与相切的情况则所以切点坐标为则此时所以只要图象向左移动都会产生3个交点所以即点睛：解的个数问题我们采用图象法辅助解题画出图象我们可以知道在处有一个交点则在处必须有两个交点所 解析：(1ln 2,)-+∞【解析】由题意，则临界情况为()2y x a =+与x y e =相切的情况，'2x y e ==，则ln 2x =，所以切点坐标为()ln 2,2，则此时1ln 2a =-， 所以只要2y x a =+图象向左移动，都会产生3个交点，所以1ln 2a >-，即()1ln2,-+∞。

一、选择题1．已知函数()2f x x bx =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ）A ．20192020B ．20182019C ．20172018D ．201820172．已知直线2y x b =+与函数2,0()ln ,0x x f x x a x ⎧-≤=⎨+>⎩的图象相切，且有两个不同的切点，则实数a 的值为（ ）． A ．ln 2 B ．2 C ．2ln 2- D ．2ln 2+3．曲线()2(1)ln ,y f x x a x a R ==--∈，在点()()1,1Pf 处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-4．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ）A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+5．已知221111x xf x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则曲线()y f x =在点)f 处的切线的斜率为（ ）A ．19-B ．29-C ．19D ．296．设P 为曲线2:2C y x x =+上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则点P 横坐标的取值范围为( ) A．1,⎫++∞⎪⎣⎭B．1,⎫-+∞⎪⎣⎭C．1⎤-+⎥⎣⎦ D．1⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦7．设点P是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是（ ）. A ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2[0,),23πππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知函数()f x 在0x x =处可导,若()()00021x f x x f x limx∆→+∆-=∆,则()0'f x = （ ）A ．2B ．1C ．12D ．09．曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为 A ．21y x =-+ B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-10．对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l 与圆C ：(x-1)2+y 2＝16的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切C ．相离D ．以上均有可能11．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．[0，π)C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[0，4π]∪[2π，34π]12．已知,a b ∈R ，直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4πx =-处相切，设()2x g x e bx a =++，若在区间[1，2]上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立．则实数m（ ）A ．有最大值1e +B ．有最大值eC ．有最小值eD ．有最小值e -二、填空题13．已知函数()2sin cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象与直线(0)y ax a =>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，3x ，则()123123tan x x x x x x +-=+-________． 14．已知221111x xf x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则曲线()y f x =在点)f处的切线的斜率为___________．15．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x >时，()3ln f x x x=-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为______.16．若曲线()4f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为______．17．函数()2xf x e x =-的图象在点()()0,0f 处的切线为_____．18．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________．19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()322f x x x =-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______________.20．已知在R 上可导， ()()()3311F x f x f x =-+-，则()1F '=__________．三、解答题21．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．22．已知a R ∈，函数()()(x x f x e ax xe =-.（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 1，求a 的值；（2）设()x g x xe =()1g x >对x ∈R 恒成立； （3）若1(0,)a e∈，证明：()2f x a >对x ∈R 恒成立.23．已知二次函数2()f x ax bx =+的图象过点()4,0n -，且()()*02,f n n N '=∈.（1）求()f x 的解析式；设数列{}n a 满足()2nn a f n =-⋅'，求数列{}n a 的前n 项和.24．求下列函数的导数： （1）()(1sin )(14)f x x x =+-； （2）()21x xf x x =-+. 25．已知函数()()21ln 2f x x a x a R =-∈. （Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由. 26．已知函数()x f x xe =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1x =处的切线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【分析】利用导数的几何意义，可求出直线l 的斜率，进而由l 与直线320x y -+=平行，可求出b ，从而可得到()1111f n n n =-+，进而求出2019S 即可.【详解】由题意，()2f x x b '=-，则()12f b '=-，所以直线l 的斜率为2b -， 又直线320x y -+=的斜率为3，所以23b -=，解得1b =-.则()2f x x x =+，故()211111f n n n n n ==-++， 所以201911111111201911223342019202020202020S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查平行直线的性质，考查利于裂项相消求和法求数列的前n 项和，属于中档题.2．D解析：D 【分析】先由题意得出直线与分段函数的两部分图象均相切，再利用方程根的判别式及导数的几何意义求解． 【详解】由題意，知直线2y x b =+与函数()f x 在(,0]-∞，(0,)+∞上的图象均相切， 由直线2y x b =+与2y x =-的图象相切得，联立方程组22y x y x b⎧=-⎨=+⎩，整理得220x x b ++=，由440b ∆=-=，解得1b =，此时切点为(1,1)A --，直线方程为21y x =+，设直线21y x =+与ln y x a =+的图象切于点()00,B x y ， 由函数ln y x a =+，则1y x '=，所以012x =，所以012x =， 所以点B 的坐标为1,ln 22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为点B 在直线21y x =+上，所以1ln 2212a -=⨯+，解得2ln 2a =+． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了分段函数与导数的几何意义，考查考生的逻辑思维能力，分析问题、解决问题的能力，运算求解能力．3．B解析：B 【分析】由导数的几何意义得出切线的斜率为k a =-，结合垂直关系，即可得出a 的值. 【详解】()2(1)af x x x'=--，则在点()()1,1P f 处的切线的斜率为k a =-由切线与直线210x y ++=垂直，可得2a -=，则2a =-故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据归纳推理进行求解即可． 【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-，1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+， []'23()()cos sin f x f x x x ==--， []'34()()sin cos f x f x x x ==-，照此规律，可知：[]'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A. 【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．5．B解析：B 【分析】先用换元法，求得22()1xf x x=+，再求导，进而求得曲线()y f x =在点)f 处的切线的斜率. 【详解】 令11xt x-=+，则1,1tx t-=+ 所以.2221121()1111t t t f t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭所以22()1xf x x =+ 所以()()22221()1x f x x -'=+，∴29f '=-.故选：B 【点睛】本题主要考查求函数解析式和导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据倾斜角范围可求得切线斜率的范围，根据导数的几何意义可利用导函数构造不等式求得所求横坐标的取值范围. 【详解】设切线的倾斜角为θ，则,32ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴切线斜率)k ∈+∞ 22y x '=+22x ∴+≥2122x ≥=-即P点横坐标的取值范围为1,⎫-+∞⎪⎣⎭故选：B 【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系、导数的几何意义的应用；关键是能够根据直线斜率与倾斜角的关系确定切线斜率的取值范围.7．B解析：B 【解析】 【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围． 【详解】解：2333y x '=-，tan 3α∴-，2[0,),23ππαπ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题．8．C解析：C 【分析】 根据条件得到()()0002122x f x x f x lim x∆→+∆-=∆，计算得到答案. 【详解】()()()()00000221122x x f x x f x f x x f x limlimxx ∆→∆→+∆-+∆-=∴=∆∆ 即()()()000021'22x f x x f x f x lim x∆→+∆-==∆ 故选C 【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.9．A解析：A 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程. 【详解】2xy x =-的导数为22'(2)y x =--，可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-， 所以曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--， 即21y x =-+， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.10．A解析：A 【解析】【分析】求出曲线y ＝e x （x 2+ax +1﹣2a ）在点P （0，1﹣2a ）处的切线l 恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x ﹣1）2+y 2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论． 【详解】∵y=e x （x 2+ax+1-2a ），∴y′=e x （x 2+ax+2x+1-a ），x=0时，y′=1-a ， ∴曲线y=e x （x 2+ax+1-2a ）在点P （0，1-2a ）处的切线y-1+2a=（1-a ）x ， 恒过定点（-2，-1），代入：（x-1）2+y 2=16，可得9+1-16＜0，即定点在圆内， ∴切线l 与圆C ：（x-1）2+y 2=16的位置关系是相交． 故选：A ． 【点睛】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．A解析：A 【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则，3tan cos 1tan 1[0,][,)44k x ππαααπ==∴-≤≤∴∈⋃，故选A.12．A解析：A 【分析】求f （x ）导数，利用导数的几何意义可得a 和b 的值，求g （x ）的导数和单调性，可得函数g(x)的最值，然后解不等式min 2max )2)m gx m g x ≤⎧⎨-≥⎩（（即可得m 的最值．【详解】∵sin ()tan cos x f x x x ==，∴222cos sin (sin )1()cos cos x x x f x x x-⋅-='=， ∴()24a f π'=-=，又点(,1)4π--在直线πy ax b 2=++上， ∴-1=2 ⋅()4π-+b+π2，∴b ＝﹣1， ∴g （x ）＝e x ﹣x 2+2，g'（x ）＝e x ﹣2x ，g''（x ）＝e x ﹣2， 当x ∈[1，2]时，g''（x ）≥g''（1）＝e ﹣2＞0， ∴g'（x ）在[1，2]上单调递增，∴g'（x ）≥g （1）＝e ﹣2＞0，∴g （x ）在[1，2]上单调递增，min 22max )(1)12)(2)2m gx g e m g x g e ≤==+⎧⎨-≥==-⎩（（ 解得m e ≤-或e≤m≤e+1，∴m 的最大值为e+1，无最小值， 故选A. 【点睛】本题考查导数的运用，考查利用导数求切线的斜率和单调区间，最值，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．二、填空题13．1【分析】化简与直线恰有三个公共点其中为一公共点根据对称性所求式子化为且直线与相切切点的坐标根据导数几何意义可求出的关系式即可求解【详解】均为奇函数所以为一公共点另两个公共点关于原点对称所以为直线与解析：1 【分析】化简()sin 2f x x =-，与直线(0)y ax a =>恰有三个公共点，其中0x =为一公共点，根据对称性133,0x x x =->，所求式子化为33tan 22x x ，且13,x x 直线(0)y ax a =>与()f x 相切切点的坐标，根据导数几何意义，可求出3x 的关系式，即可求解. 【详解】()2sin cos 2cos sin sin 222f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-⋅-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(),f x y ax =均为奇函数，所以0x =为一公共点，另两个公共点关于原点对称，133,0x x x =->，所以13,x x 为直线(0)y ax a =>与()f x 相切切点的横坐标，3333sin 2()2cos 2,()2cos 2x f x x f x x a x -''=-=-==， 333332cos2sin 2,tan 22x x x x x ∴==，()12331233tan tan 212x x x x x x x x +-==+-.故答案为:1.【点睛】本题考查函数图象的交点、函数的性质、导数的几何意义，函数的对称性是解题的关键，属于中档题.14．【分析】利用官员发先求得函数的解析式再求得导函数即可求得在点处的切线的斜率【详解】已知令则所以则∵求得导函数可得∴由导数几何意义可知在点处的切线的斜率为故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解 解析：29-【分析】利用官员发先求得函数()f x的解析式，再求得导函数，即可求得在点)f处的切线的斜率. 【详解】已知221111x x f x x--⎛⎫= ⎪++⎝⎭， 令11xt x-=+，则11t x t -=+，所以()22211211111t t t f t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 则()221xf x x =+∵求得导函数可得()()222221x f x x -'=+，∴29f '=-.由导数几何意义可知在点)f处的切线的斜率为29-， 故答案为：29- 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，由导数几何意义求得切线斜率，属于中档题.15．【分析】利用奇函数的定义求出函数在上的解析式然后利用导数可求出的值即为所求结果【详解】当时由于函数为奇函数当时则此时因此曲线在点处的切线斜率为故答案为【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率同时也考查了 解析：4【分析】利用奇函数的定义求出函数()y f x =在(),0-∞上的解析式，然后利用导数可求出()1f '-的值，即为所求结果.【详解】当0x >时，()3ln f x x x=-，由于函数()y f x =为奇函数， 当0x <时，0x ->，则()()()()()33ln ln f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 此时，()()()2231311f x x x x x '=-⋅-=--，()11341f '∴-=-=-. 因此，曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为4. 故答案为4. 【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率，同时也考查了利用奇偶性求函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】设求出的导数可得切线的斜率由两直线平行的条件：斜率相等解的方程可得进而得到切点的坐标【详解】的导数为设可得曲线在点处的切线斜率为由切线平行于直线可得解得即有【点睛】本题考查导数的运用：求切线 解析：()1,0【分析】设(,)P m n ，求出()f x 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解m 的方程可得m ，进而得到切点P 的坐标． 【详解】4()f x x x =-的导数为3()41f x x '=-，设(,)P m n ，可得曲线在点P 处的切线斜率为341k m =-， 由切线平行于直线30x y -=，可得3413m -=， 解得1m =，4110n m m =-=-=． 即有(1,0)P 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于基础题．17．【解析】【分析】求出原函数的导函数得到f′（0）为切线斜率再求得f(0)即可求解切线方程【详解】f （x ）＝ex ﹣x2f′（x ）＝ex ﹣2x ∴k ＝f′（0）＝1又切点坐标为（01）∴函数f （x ）＝ex 解析：10x y -+=【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到f ′（0）为切线斜率，再求得f(0)，即可求解切线方程． 【详解】f （x ）＝e x ﹣x 2，f ′（x ）＝e x ﹣2x ， ∴k ＝f ′（0）＝1， 又切点坐标为（0，1），∴函数f （x ）＝e x ﹣x 2图象在点（0，f （0））处的切线方程是y ﹣1＝x ﹣0， 即x- y +1=0． 故答案为x- y +1=0． 【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，在曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．18．0【解析】【分析】通过求导数得y ＝x2＋3x 在点（－1－2）处的切线再直线与曲线相切于点求导可得解方程组即可得解【详解】由得∴当时则曲线在点处的切线方程为即设直线与曲线相切于点由得∴解之得∴答案：0解析：0 【解析】 【分析】通过求导数得y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线1y x =-，再直线1y x =-与曲线ln y ax x =+相切于点()00,x y ，求导可得000000111a x y x y ax lnx⎧+=⎪⎪⎪=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，解方程组即可得解.【详解】由23y x x =+得'23y x =+， ∴当1x =-时，'1y =，则曲线23y x x =+在点()1,2--处的切线方程为21y x +=+，即1y x =-， 设直线1y x =-与曲线ln y ax x =+相切于点()00,x y ， 由ln y ax x =+得1'(0)y a x x=+>， ∴000000111a x y x y ax lnx⎧+=⎪⎪⎪=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，解之得01x =，00y =，0a =. ∴0a =. 答案：0.【点睛】本题考查导数几何意义的应用，解答此类问题的关键是求出切点坐标．若切点已知，则直接求导即可得切线的斜率，若切点未知，在解题时首先要设出切点，然后根据切点在曲线上及导数的几何意义得到关于切点坐标的方程，求出切点坐标后可得切线方程．19．【分析】先求出当时的解析式然后再求出切线方程【详解】函数是定义在上的奇函数当时当时则当时即切线方程为即故答案为【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程本题较为 解析：740x y --=【分析】先求出当0x >时的解析式，然后再求出切线方程 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数∴当0x <时，()322f x x x =-当0x >时，0x -<，()()()323222f x x x x x -=---=--则当0x >时，()322f x x x =+()1123f =+=()234f x x x '=+，()17f '=即切线方程为()371y x -=-， 即740x y --= 故答案为740x y --= 【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式，再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程，本题较为基础，只要掌握解题方法即可20．0【解析】由题知则故本题应填解析：0 【解析】由题知()()()2323'3'13'1F x x f x x f x =---，则()()()'13'03'00F f f =-=．故本题应填0．三、解答题21．（1）[－1，＋∞)；（2）(－∞，2∪(1,3)∪[2∞). 【解析】试题分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k 与﹣1k的取值范围，从而可求出k 的取值范围，然后解不等式可求出曲线C 的切点的横坐标取值范围. (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1， 即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，111k k≥-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2∪(1,3)∪[2∞) 22．（1）0a =（2）见解析（3）见解析 【解析】试题分析:(1)根据导数的几何意义得到())'0111a =-+=；（2）对()x g x xe =0即可；（3）将函数分解为()()()f x g x h x =，分别求两个函数的最小值，乘起来大于2a 即可． （1）∵()()(xxf x e axxe=-+，∴()()('x x f x e a xe =-()()1x x e ax x e +-+，∴())'0111f a =-+=，∴0a =.（2）证明：()()1xg x x e +'=，令()0g x '=得1x =-，令()'0g x >得1x >-，()g x 递增；令()'0g x <，得1x <-，()g x 递减. ∴()()min 11g x g e =-=-+∵ 2.7e ≈，∴11e->，∴()1g x >. （3）证明：()xh x e ax =-，令()'0h x =得ln x a =，令()'0h x >，得ln x a >，()h x 递增；令()'0h x <，得ln x a <，()h x 递减. ∴()()()min ln ln 1ln h x h a a a a a a ==-=-.∵10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ln 1a <-，∴1ln 2a ->，∴()min 2h x a >，∴()20h x a >>. 又()1g x >，∴()()2g x h x a >，即()2f x a >.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 23．(1) ()()2*122f x x nx n N =+∈ (2) ()1122n n S n +=-+ 【解析】试题分析：（1）由()()40,'02f n f n -==列出关于,a b 的方程组,，即可解得,a b 的值，从而可求出()f x 的解析式；（2）由（1）知()f n n '-=，所以可得2nn a n =⋅，利用错位相减法结合等比数列求和公式，即可求数列{}n a 的前n 项和. 试题（1）由()2f x ax b ='+，∴22,1640.b n n a nb =⎧⎨-=⎩解之得1,22a b n ==，即()()2*122f x x nx n N =+∈. （2）()22nnn a f n n =-⋅=⋅'设123222322n n S n =+⋅+⋅++⋅所以()2312222122n n n S n n +=+⋅++-⋅+⋅两式相减123122222n n n S n +-=++++-⋅11222n n n ++=--⋅∴()1122n n S n +=-+【 方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式.24．（1）'()4cos 4sin 4cos f x x x x x ==-+--；（2）21'()2ln 2(1)x f x x =-+. 【分析】(1)利用积的导数和和差的导数法则求导.(2)利用商的导数和积的导数的法则求导. 【详解】(1)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x. (2)f(x)=1x x +-2x =1-11x +-2x ,则f'(x)=21(1)x +-2xln 2. 【点睛】本题主要考查对函数求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 25．(1) 2 ， 2ln2-.（2）当[)0,a e ∈时，方程无解；当0a <或a e =时，方程有唯一解；当(),a e ∈+∞时，方程()0f x =有两解. 【解析】试题分析: （Ⅰ）求出导函数，利用()f x 在处的切线方程为y x b =+,列出方程组求解,a b ;（Ⅱ）通过0?,?0a a =< ,判断方程的解0a >出函数的导数判断函数的单调性，求出极小值，分析出当a ∈[)0?,? e 时，方程无解；当0a <或a e =时，方程有唯一解；当a e>时，方程有两解. 试题（Ⅰ）因为()()0af x x x x=->'，又()f x 在2x =处得切线方程为y x b =+， 所以()()22ln22,2212af a b f =-=+=-='，解得2,2ln2a b ==-. （Ⅱ）当0a =时，()f x 在定义域()0,+∞内恒大于0，此时方程无解. 当0a <时，()()0af x x x x=->'在区间()0,+∞内恒成立， 所以()f x 为定义域为增函数，因为()111110,1022a a f fe e ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭， 所以方程有唯一解.当0a >时，()2x af x x='-.当(x ∈时，()0f x '<， ()f x 在区间(内为减函数，当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间)x ∈+∞内为增函数，所以当x =()11ln 2fa a =-.当()0,a e ∈时，()11ln 02f a a =->，无方程解；当a e =时，()11ln =02fa a =-，方程有唯一解.当(),a e ∈+∞时，()11ln 02f a a =-<，因为()1102f =>1>，所以方程()0f x =在区间(内有唯一解， 当1x >时，设()()1ln ,10g x x x g x x'=-=->，所以()g x 在区间()1,+∞内为增函数， 又()11g =，所以ln 0x x ->，即ln 0x <，故()2211ln 22f x x a x x ax =->-.因为21a >>，所以()()22122202f a a a >-=.所以方程()0f x =在区间)+∞内有唯一解，所以方程()0f x =在区间()0,+∞内有两解，综上所述，当[)0,a e ∈时，方程无解. 26．（1）()x x f x e xe '=+；（2）.【分析】（1）因为()x f x xe =，则()()''()x xxx f x x e x e exe =+=+'（2）因为(1)2k f e '==，过点（1，e ）,那么可知切线方程为2(1)y e e x -=- 【详解】（1）()()''()x x xx f x x e x e exe =+=+'.（2）(1)2k f e '==， 当1x =时，y e =，因此，这个函数的图象在点1x =处的切线方程是2(1)y e e x -=-， 即.本试题主要是考查了函数的导数的求解以及导数的几何意义的运用.。

1变化的快慢与变化率平均变化率下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况：x (min) 0 10 20 30 40 50 60 y (℃)3938问题1：观察上表，每10分钟病人体温变化相同吗？ 提示：不相同．问题2：哪段时间体温变化较快？ 提示：从20 min 到30 min 变化快． 问题3：如何刻画体温变化的快慢？提示：用单位时间内的温度变化的大小，即体温的平均变化率．平均变化率(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.其中自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.瞬时变化率一质点的运动方程为s ＝10t 2，其中s 表示位移，t 表示时间． 问题1：求该质点从t 1＝1到t 2＝2的平均速度v 1. 提示：v 1＝10×4－10×12－1＝30.问题2：问题1中所求得的速度是t ＝1或t ＝2时的速度吗？提示：不是，是平均速度．问题3：求该质点从t1＝1到t1v2.提示：v2＝错误!＝21.问题4：v1，v2中哪一个值较接近t＝1时的瞬时速度？提示：v2，因为从t1＝1到t2＝1.1的时间差短．瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是ΔyΔx＝f x1－f x0x1－x0＝f x0＋Δx－f x0Δx.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．(1)函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．(2)平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度．求函数平均变化率[例1] 2(1)求函数f(x)在[2,2.01]上的平均变化率；(2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．[思路点拨] 先求Δx，Δy，再利用平均变化率的定义求解．[精解详析] (1)由f(x)＝2x2＋1，得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080 2，Δx＝2.01－2＝0.01，∴Δy Δx ＝0.080 20.01＝8.02. (2)∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1 ＝2Δx (2x 0＋Δx )， ∴Δy Δx ＝2Δx 2x 0＋Δx Δx＝4x 0＋2Δx . [一点通] 求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0. (3)求平均变化率Δy Δx＝f x 1－f x 0x 1－x 0.[注意] Δx ，Δy 的值可正，可负，但Δx ≠0，Δy 可为零，若函数f (x )为常值函数，则Δy ＝0.1．在曲线y ＝x 2＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx 为( )A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx －2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx解析：选C ∵x 1＝1，x 2＝1＋Δx ，即Δx ＝x 2－x 1，∴Δy ＝(x 22＋1)－(x 21＋1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 2Δx＝2＋Δx .2．已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在区间[1,2]和[3,5]上的平均变化率， 并比较在两个区间上变化的快慢．解：自变量x 从1变化到2时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx＝f2－f 12－1＝12.自变量x 从3变化到5时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f 5－f 35－3＝1415.由于12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在[1,2]的平均变化比在[3,5]的平均变化慢．运动物体的平均速度与瞬时速度[例2] 已知s (t )＝5t 2.(1)求t 从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t 从3秒到3.01秒的平均速度； (3)求t ＝3秒时的瞬时速度．[精解详析] (1)当3≤t ≤3.1时，Δt ＝0.1， Δs ＝s (3.1)－s (3) ＝5×(3.1)2－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)， ∴ΔsΔt＝,0.1)＝30.5(m/s)． (2)当3≤t ≤3.01时，Δt ＝0.01， Δs ＝s (3.01)－s (3)， ＝5×(3.01)2－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)， ∴ΔsΔt＝,0.01)＝30.05(m/s)． (3)在t ＝3附近取一个小时间段Δt ， 即3≤t ≤3＋Δt (Δt >0)，∴Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝5×(3＋Δt )2－5×32＝5·Δt ·(6＋Δt )， ∴Δs Δt ＝5Δt 6＋Δt Δt＝30＋5Δt . 当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于30.∴在t ＝3时的瞬时速度为30 m/s.[一点通] 在某一时间段内的平均速度与时间段Δt 有关，随Δt 变化而变化；但求某一时刻的瞬时速度时，Δt 是趋于0，而不是Δt ＝0，此处Δt 是时间间隔，可任意小，但绝不能认为是0.3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A ．0.41 B ．3解析：选DΔsΔt＝错误!＝4.1. 4．一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，求a . 解：∵s ＝at 2＋1，∴s (2＋Δt )＝a (2＋Δt )2＋1＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1.于是Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1－(4a ＋1)＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2.∴Δs Δt ＝4a ·Δt ＋a ·Δt 2Δt＝4a ＋a ·Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于4a .依据题意有4a ＝12，∴a ＝3.(1)瞬时变化率的绝对值度量函数在某点处变化的快慢．(2)当瞬时变化率大于0时，说明函数值在增加；当瞬时变化率小于0时，说明函数值在减小；其绝对值大小才能说明变化的快慢．(3)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．1．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) C ．2 D ．0解析：选AΔy Δx＝f 1.1－f 11.1－1＝,0.1)＝2.1.2．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么Δt 趋于0时，ΔsΔt为( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度B ．在t 时刻物体的瞬时速度C ．当时间为Δt 时物体的速度D ．在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度 解析：选BΔsΔt中Δt 趋于0时得到的数值是物体在t 时刻的瞬时速度． 3．一辆汽车在起步的前10秒内，按s ＝3t 2＋1做直线运动，则在2≤t ≤3这段时间内的平均速度是( )A ．4B ．13C ．15D ．28解析：选C Δs ＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15. ∴Δs Δt ＝153－2＝15. 4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1C.12D.14解析：选C 因为Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，所以Δs Δt ＝12＋18Δt ，当Δt无限趋近于0时，12＋18Δt 无限趋近于12，因此t ＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为12，故选C.5．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为________．解析：当自变量从－2变化到－2＋Δx 时，函数的平均变化率为ΔyΔx＝－2＋Δx2－2－2＋Δx ＋1－4＋4＋1Δx＝Δx －6.答案：Δx －66．质点的运动方程是s (t )＝1t2，则质点在t ＝2时的速度为________．解析：因为Δs Δt ＝s2＋Δt －s 2Δt＝12＋Δt2－14Δt＝－4＋Δt 42＋Δt2，当Δt →0时，Δs Δt →－14，所以质点在t ＝2时的速度为－14.答案：－147．已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx .解：f (x )＝2x 2＋3x －5， ∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2×x 21＋3×x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx . (1)当x 1＝4，Δx ＝1时，Δy ＝2＋(4×4＋3)×1＝21， ∴Δy Δx ＝211＝21. (2)当x 1＝4，Δx ＝0.1时，Δy 2＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92， ∴ΔyΔx＝,0.1)＝19.2. 8．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， t ≥3，29＋3t －32， 0≤t ＜3.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt＝29＋3×0＋Δt －32－29－3×0－32Δt＝3Δt －18，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－18，∴物体在t ＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－3×1－32Δt ＝3Δt －12，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12 m/s.。

高中数学 第二章 变化率与导数 3 计算导数例题与探究 北师大版选修2-2高手支招4典例精析【例1】 求下列函数的导数.(1)y=5-4x 3；(2)y=lgx-21x . 思路分析：仔细观察和分析各函数表达式的结构特征，紧扣求导运算法则，联系基本函数的求导公式，对不具备直接求导条件的，可先进行适当的恒等变形.解：(1)y′=-12x 2； (2)y′=10ln 1x +32x. 【例2】质点运动方程是S=51t ，求质点在t=2时的速度. 解：∵S=51t ，∴S′=（51t）′=(t -5)′=-5t -6, ∴S′t=2=-5×2-6=645-. 答：质点在t=2时的速度是645-. 【例3】在曲线y=24x上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. 解：设切点P(x 0,y 0)，则y′=-8x -3，∴y′0x x ==-8x 0-3=tan135°=-1，解得x 0=2，代入曲线方程得y 0=1，∴所求点坐标为P （2，1）.【例4】(1)求曲线y=sinx 在点P(3π23)处切线的斜率k ； (2)物体运动方程为s=41t 4-3,求当t=5时物体运动的瞬时速率v. 思路分析：本题带有导数应用的味道,必须从导数的概念、几何意义入手.函数在某点处的导数为该函数曲线在该点处的切线的斜率；运动方程在某点处的导数为物体运动的瞬时速度. 解：(1)k=y′3|π=x =cosx 3|π=x =21； (2)v=s′|t=5=t 3|t=5=125. 【例5】求双曲线y=x1与抛物线y=x 交点处切线的夹角的正切值. 思路分析：先求出双曲线y=x 1与抛物线y=x 的交点，然后求出过交点的双曲线切线的斜率和抛物线切线的斜率，此时交点处两条切线的夹角就容易求了.解：联立方程组⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==,1,1,,1y x x y x y 解得故交点为（1，1）.双曲线y=x 1,y′=21x-,∴k 1=y′1=x =-1, 故双曲线y=x 1在交点（1，1）处的切线斜率为k 1=-1; 抛物线y=x ,y′=21x 21-,∴k 2=y′1=x x=1=21, 故抛物线y=x 在交点（1，1）处的切线斜率为k 2=21; 由夹角公式：tan θ=21)1(1211|1|2121∙-+--=++-k k k k =3.高手支招5思考发现1.对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的形式，以免求导过程中出现指数或系数的运算失误.运算的准确程度是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨、步骤完整的解题习惯，要形成不仅会做而且要做好的解题标准.2.在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考查函数在切点处的导数y′是否为零，当y′=0时，切线平行于x 轴，过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在.。

2.2导数的几何意义★ 学习目标1．通过函数的图像直观理解导数的几何意义。

2．拓展曲线在一点的切线的概念的理解。

3．会求简单函数在某点的切线方程。

★ 学法指导经历建立导数概念、切线定义的形成过程，认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率，体会导数的思想及其内涵，完善对切线的认识和理解。

★ 知识点归纳1．函数()x f y =在0x 处的导数，是曲线()x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率，即k = ；2．函数()x f y =在点())(,00x f x 处的切线方程为： ； ★ 重难点剖析重点：理解导数的几何意义，掌握求曲线的切线的方法；难点：理解导数的几何意义；剖析：函数()x f y =在0x 处的导数的几何意义，就是曲线()x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率，即k =()0x f '，函数()x f y =在点())(,00x f x 处的切线方程为：))(()(000x x x f x f y -'=- 。

函数在某点的导数不存在时，切线有可能存在，此时切线垂直于x 轴。

★ 典例分析 例1 已知曲线331)(x x f y ==上一点)38,2(P ； 求（1）点P 处的切线的斜率；（2）点P 处的切线方程；分析：求点P 处的切线的斜率，也即求函数在2=x 处的导数值。

变式练习1求曲线x x x f y 32)(2-==在点)0,0(A 处的切线方程。

例2 在曲线2)(x x f y ==上过哪一点的切线（１）平行于直线54-=x y ；（２）垂直于直线0562=+-y x ；分析：过点),(00y x P 的切线的斜率为)(0x f k '=，利用斜率和导数的关系建立相应的关系式。

变式练习2直线)0(≠+=a a x y l ：和曲线C ：1)(23+-==x x x f y 相切．求切点的坐标及a 的值；★ 基础训练1．已知曲线3313-==x x f y )(上一点)25,1(-P ，则过点的切线的倾斜角为（ ） A ．ο30 B ．ο45 C ．ο135 D ．ο1652．已知曲线22x y =上一点)8,2(P ，则过点的切线的斜率为（ ）A ．4B ．16C ． 8D ． 23．曲线34x x y -=在点)3,1(--处的切线方程是：（ ）A ．47+=x yB ．27+=x yC ．2-=x yD ．4-=x y4．已知曲线3x y =上过点)8,2(P 的切线方程为01612=--ay x ，则实数a 的值（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．25．如果曲线103-+=x x y 的一条切线与直线34+=x y 平行，则曲线与切线相切的切点的坐标为（ ）A ．()8,1-B ．()8,1- 或()12,1--C ．()12,1--D ．()12,1- 或()8,1--6．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图像是（）A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线★ 能力提高1．已知点()1,0-M 、()1,0F ,过点M 的直线l 与曲线44313+-=x x y 在2=x 处的切线平行。

第2章 变化率与导数思路探究：根据求导的步骤求解即可． [解] y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1Δx＝lim Δx →02x ·Δx ＋(Δx )2Δx [(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1]＝lim Δx →02x ＋Δx(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1.导数定义的理解函数f (x )在点x ＝x 0处的导数是f (x )在x 0点附近的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；当Δx 趋于0时的极限，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx，这是数学上的“逼近思想”． 对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx →0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形．1．设f (x )在x 处可导，则lim Δh →0f (x ＋h )－f (x －h )2h＝( )A ．2f ′(x )B ．12f ′(x ) C ．f ′(x ) D ．4f ′(x )C [lim Δh →0f (x ＋h )－f (x －h )2h＝lim Δh →0f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －h )2h＝12lim Δh →0 f (x ＋h )－f (x )h ＋12lim Δh →0 f (x )－f (x －h )h ＝f ′(x )．](1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 思路探究：(1)点(2，－6)在曲线上，利用y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；(2)点(0,0)不在曲线上要先设切点(x 0，f (x 0))再将(0,0)代入切线方程求切点即可求得． [解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32． (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2．∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标为(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ， 切点坐标为(－2，－26)．利用几何意义求切线时的关键利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，① 又y 1＝f (x 1)，②由①②求出x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．2．已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)的切线方程； (3)求满足斜率为－14的曲线的切线方程．[解] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)∵点P (1,1)在y ＝1x上，∴k ＝y ′|x ＝1＝－112＝－1．∴在点P (1,1)处的切线方程为：y －1＝－(x －1)． ∴切线方程为：x ＋y －2＝0.(2)∵点Q (1,0)不在曲线y ＝1x上，可设切点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0，∴在A 点处的切线方程为：y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)．∴切线方程为：y ＝－1x 20x ＋2x 0.又∵切线过点Q (1,0)，∴－1x 20＋2x 0＝0，∴2x 0－1＝0，∴x 0＝12.∴切线方程为y ＝－4x ＋4.。

§2.3 计算导数1.理解导数的概念.(重点)2.会用导数定义求简单函数的导数.3.记住基本初等函数的求导公式，并能用它们求简单函数的导数.(难点)[基础·初探]教材整理1 导函数的概念阅读教材P38～P40“练习”以上部分，完成下列问题.一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.若函数f(x)＝(x－1)2，那么f′(x)＝________.【提示】∵f(x)＝x2－2x＋1，∴ΔyΔx＝f（x＋Δx）－f（x）Δx＝2x＋Δx－2.故f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋Δx－2)＝2x－2.【答案】2x－2教材整理2 导数公式表阅读教材P41“习题2－3”以上部分，完成下列问题.函数导函数y＝c(c是常数)y′＝0y＝xα(α是实数)y′＝αxα－1y＝a x(a>0，a≠1)y′＝a x ln_a，特别地(e x)′＝e xy ＝log a x (a >0，a ≠1)y ′＝1x ln a，特别地(ln x )′＝1xy ＝sin x y ′＝cos_x y ＝cos x y ′＝－sin_x y ＝tan x y ′＝1cos 2x y ＝cot xy ′＝－1sin 2x给出下列命题： ①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′＝－2x3；③y ＝2x ，则y ′＝2xln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】 对于①，y ′＝0，故①错误；显然②③④正确，故选C. 【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]利用导数公式求函数的导数求下列函数的导数.(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝3x；(4)y ＝log 5x .【精彩点拨】 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式.【自主解答】 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(3x)′＝3xln 3. (4)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5.1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误.3.要特别注意“1x与ln x ”，“a x与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别.[再练一题]1.若f (x )＝x 3，g (x )＝log 3x, 则f ′(x )－g ′(x )＝__________. 【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝1x ln 3， ∴f ′(x )－g ′(x )＝3x 2－1x ln 3. 【答案】 3x 2－1x ln 3利用导数公式求函数在某点处的导数(1)求质点在t ＝π3时的速度；(2)求质点运动的加速度.【精彩点拨】 (1)先求s ′(t )，再求s ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. (2)加速度是速度v (t )对t 的导数，故先求v (t )，再求导.【自主解答】 (1)v (t )＝s ′(t )＝cos t ，∴v ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12. 即质点在t ＝π3时的速度为12.(2)∵v (t )＝cos t ，∴加速度a (t )＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t .1.速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数.2.求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.[再练一题] 2.(1)求函数f (x )＝13x在(1，1)处的导数；(2)求函数f (x )＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22处的导数.【解】 (1)∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ′＝(x -13)′＝－13x -43＝－133x4， ∴f ′(1)＝－1331＝－13.(2)∵f ′(x )＝－sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－sin π4＝－22. [探究共研型]导数公式的应用探究 已知函数f (x )＝tan x ，试求f (x )的图像在点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3处的切线方程.【提示】 f ′(x )＝1cos 2x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4，即所求切线的斜率为4，故切线方程为y －3＝4⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，即4x －y ＋3－4π3＝0.(2016·长沙高二检测)求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程.【精彩点拨】 求导数f ′（x 0）→计算f ′⎝⎛⎭⎪⎫π3→ 所求直线斜率k＝－1f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3→利用点斜式写出直线方程【自主解答】 因为f (x )＝cos x ，所以f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，12的切线斜率为 f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－sin π3＝－32， 所以所求直线的斜率为23 3，所求直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即y ＝23 3x －239π＋12.求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点.[再练一题]3.已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1，0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________.【解析】 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a ). 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ， 切线的斜率为k ＝f ′(t )＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )·(x －t ). ② 将点(1，0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )， 解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0或t ＝32代入①式，得k ＝－a 或k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数得a ＝278.【答案】278[构建·体系]1.已知f (x )＝x α(α∈Q ＋)，若f ′(1)＝14，则α等于( )A.13B.12C.18D.14【解析】 ∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1，∴f ′(1)＝α＝14.【答案】 D 2.给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3. 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.0【解析】 对于①，y ′＝0－（x 3）′x 6＝－3x 2x 6＝－3x4，正确； 对于②，y ′＝13x 13-1＝13x -23，不正确；对于③，f ′(x )＝3，故f ′(1)＝3，正确. 【答案】 B3.若f (x )＝10x，则f ′(1)＝________.【解析】 f ′(x )＝10xln 10，∴f ′(1)＝10ln 10. 【答案】 10ln 10 4.曲线f (x )＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为________.【解析】 f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34′＝－34x -74，∴f ′(1)＝－34＝k ，∴倾斜角的正切值为－34.【答案】 －345.若质点P 的运动方程是s (t )＝3t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求质点P 在t ＝8 s 时的瞬时速度.【解】 ∵s ′(t )＝(3t 2)′＝(t 23)′＝23t -13，∴s ′(8)＝23×8-13＝23×2－1＝13，∴质点P 在t ＝8 s 时的瞬时速度为13m/s.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是：
lim f( x 0 x ) f( x 0 ) lim f( x 0 x ) f( x 0 ) lim f.
x 0 ( x 0 x ) x 0 x 0 x
x 0 x
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative），
1，2x，3x2 你猜测 y = x n 导数是什么? y' =nxn-1
例2、求函数y = f(x) =3x2-x的导函数，并 利用导函数求f’ (1) ， f’ (-2) ，f’ (0) .
解析 因为
yf(x x )f(x ) 3 ( x )2 6 x x x
x
x
x
3x6x1 所以 ylim ylim (3 x 6 x 1 ) 6 x 1
(2)求平均变化率y f ( x0x) f ( x0 ) ;
x
x
(3)取极限，得导数f 5.求切线方程的步骤：
(
x0
)
lim
x0
y x
.
（1）求出函数在点x0处的变化率 f (x0)，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
yf(x0)f(x0)x (x0).
x x 0 x 0
例2、求函数y = f(x) =3x2-x的导函数，并 利用导函数求f’ (1) ， f’ (-2) ，f’ (0) .
分别将 x1,x2,x0带入f’ (x) ，可得
f’ (1) =6×1－1=5，
f’ (-2) =6×〔-2〕=-13 ，
f’ (0) =6×0－1=-1。
例1：已知函数 y = x (1)求y' (2)求函数 y = x在 x = 2 处的导数