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第二十一章 重积分 1二重积分的概念一、平面图形的面积引例：若构成平面图形P 的点集是平面上的有界点集， 即存在矩形R ，使P ⊂R ，则称平面图形P 有界. 用某一平行于坐标轴的一组直线网T 分割P(如图)，这时直线网T 的网眼——小闭矩形△i 可分为三类： (1)△i 上的点都是P 的内点；(2)△i 上的点都是P 的外点，即△i ∩P=Ø； (3)△i 上含有P 的边界点.将所有属于直线网T 的第(1)类小矩形(图中阴影部分)的面积加起来， 记和数为s p (T)，则有s p (T)≤△R (矩形R 的面积)；将所有第(1)类与第(3)类小矩形(图中粗线所围部分)的面积加起来， 记作S p (T)，则有s p (T)≤S p (T). 由确界存在定理知，对于平面上所有直线网，数集{s p (T)}有上确界，数集{S p (T)}有下确界， 记Tp I sup ={s p (T)} ,Tp I inf ={S p (T)}. 显然有0≤p I ≤p I .p I 称为内面积，p I 称为外面积.定义1：若平面图形P 的内面积p I 等于它的外面积p I , 则称P 为可求面积，并称其共同值I p =p I =p I 为P 的面积.定理21.1：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给ε>0, 总存在直线网T ，使得S p (T)-s p (T)< ε.证：[必要性]设P 的面积为I p , 由面积的定义知, I p =p I =p I . ∀ε>0, 由p I 及p I 的定义知，分别存在直线网T 1与T 2，使得 s p (T 1)>I p -2ε, S p (T 2)<I p +2ε, 记T 为由T 1与T 2合并所成的直线网，则 s p (T 1)≤s p (T), S p (T 2)≥S p (T)，∴s p (T)>I p -2ε, S p (T)<I p +2ε, 从而S p (T)-s p (T)<ε. [充分性]设对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)-s p (T)<ε. 但s p (T)≤p I ≤p I ≤S p (T)，∴p I -p I ≤S p (T)-s p (T)<ε. 由ε的任意性知，p I =p I ，∴平面图形P 可求面积.推论：平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积p I =0，即对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)<ε，或 平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖.定理21.2：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为0.证：由定理21.1，P 可求面积的充要条件是：∀ε>0, ∃直线网T ， 使得S p (T)-s p (T)<ε. 即有S K (T)=S p (T)-s p (T)<ε， 由推论知，P 的边界K 的面积为0.定理21.3：若曲线K 为定义在[a,b]上的连续函数f(x)的图象，则曲线K 的面积为零.证：∵f(x)在闭区间[a,b]上连续，从而一致连续. ∴∀ε>0, ∃δ>0, 当把区间[a,b]分成n 个小区间[x i-1,x i ] (i=1,2,…,n, x 0=a,x n =b)并满足 max{△x i =x i -x i-1 |i=1,2,…,n }<δ时，可使f(x)在每个小区间[x i-1,x i ]上的振幅都有ωi <ab -ε.把曲线K 按自变量x=x 0,x 1,…,x n 分成n 个小段，则 每一个小段都能被以△x i 为宽, ωi 为高的小矩形所覆盖，又 这n 个小矩形面积的总和为i ni i x ∆∑=1ω<ab -ε∑=∆ni ix1<ε，由定理21.1的推论即得曲线K 的面积为零.推论1：参数方程x=φ(t), y=ψ(t), t ∈[α,β]所表示的光滑曲线K 的面积为零.证：由光滑曲线的定义，φ’(t),ψ’(t)在[α,β]上连续且不同时为0. 对任意t 0∈[α,β]，不妨设φ’(t 0)≠0，则存在t ’的某邻域U(t 0), 使得 x=φ(t)在此邻域上严格单调，从而存在反函数t=φ-1(x). 又 由有限覆盖定理，可把[α,β]分成有限段：α=t 0<t 1<…<t n =β， 在每一小区间段上，y=ψ(φ-1(x))或x=ψ(φ-1(y))，由定理21.3知， 每小段的曲线面积为0，∴整条曲线面积为零.推论2：由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的.注：并非平面中所有的点集都是可求面积的.如D={(x,y)|x,y ∈Q ∩[0,1]}. 易知0=D I ≤D I =1, 所以D 是不可求面积的.二、二重积分的定义及其存在性 引例：求曲顶柱体的体积(如图1).设f(x,y)为定义在可求面积的有界闭区域D 上的非负连续函数. 求以曲面z=f(x,y)为顶，以D 为底的柱体体积V.用一组平行于坐标轴的直线网T 把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). ∵f(x,y)在D 上连续，∴当每个σi 都很小时， f(x,y)在σi 上各点的函数值近似相等； 可在σi 上任取一点(ξi ,ηi )，用以f(ξi ,ηi )为高， σi 为底的小平顶柱体的体积f(ξi ,ηi )△σi 作为V i 的体积△V i ，即△V i ≈f(ξi ,ηi )△σi .把这些小平顶柱体的体积加起来， 就得到曲顶柱体体积V 的近似值： V=∑=∆n i i V 1≈i ni i i f σηξ∆∑=1),(.当直线网T 的网眼越来越细密，即分割T 的细度T =di ni ≤≤1max →0(di 为σi 的直径)时，i ni i i f σηξ∆∑=1),(→V.概念：设D 为xy 平面上可求面积的有界闭区域，f(x,y)为定义在D 上的函数. 用任意的曲线把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 以△σi 表示小区域△σi 的面积，这些小区域构成D 的一个分割T ， 以d i 表示小区域△σi 的直径，称T =di ni ≤≤1max 为分割T 的细度.在每个σi 上任取一点(ξi ,ηi )，作和式ini iif σηξ∆∑=1),(，称为函数f(x,y)在D 上属于分割T 的一个积分和.定义2：设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数. J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任何分割T ，当它的细度T <δ时，属于T 的所有积分和都有J f ini ii-∆∑=σηξ1),(<ε，则称f(x,y)在D 上可积，数J 称为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作：J=⎰⎰Dd y x f σ),(.注：1、函数f(x,y)在有界可求面积区域D 上可积的必要条件是f 在D 上有界.2、设函数f(x,y)在D 上有界，T 为D 的一个分割，把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 令M i =iy x σ∈),(sup f(x,y), m i =iy x σ∈),(inf f(x,y), i=1,2,…,n.作和式S(T)=i n i i M σ∆∑=1, s(T)=i ni i m σ∆∑=1. 它们分别称为函数f(x,y)关于分割T 的上和与下和.定理21.4：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：0lim →T S(T)=0lim →T s(T).定理21.5：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D 的某个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε.定理21.6：有界闭区域D 上的连续函数必可积.定理21.7：设f(x,y)在有界闭域D 上有界，且不连续点集E 是零面积集，则f(x,y)在D 上可积.证：对任意ε>0, 存在有限个矩形(不含边界)覆盖了E ，而 这些矩形面积之和小于ε. 记这些矩形的并集为K ，则 D\K 是有界闭域(也可能是有限多个不交的有界闭域的并集). 设K ∩D 的面积为△k ，则△k <ε. 由于f(x,y)在D\K 上连续， 由定理21.6和定理21.5，存在D\K 上的分割T 1={σ1, σ2,…, σn }, 使得S(T 1)-s(T 1)<ε. 令T={σ1, σ2,…, σn , K ∩D}，则T 是D 的一个分割，且 S(T)-s(T)=S(T 1)-s(T 1)+ωK △k <ε+ωε, 其中ωK 是f(x,y)在K ∩D 上的振幅，ω的是f(x,y)在D 上的振幅. 由定理21.5可知f(x,y)在D 上可积.三、二重积分的性质1、若f(x,y)在区域D 上可积，k 为常数，则kf(x,y)在D 上也可积，且⎰⎰Dd y x kf σ),(=k ⎰⎰Dd y x f σ),(.2、若f(x,y), g(x,y)在D 上都可积，则f(x,y)±g(x,y)在D 上也可积，且[]⎰⎰±Dd y x g d y x f σσ),(),(=⎰⎰Dd y x f σ),(±⎰⎰Dd y x g σ),(.3、若f(x,y)在D 1和D 2上都可积，且D 1与D 2无公共内点，则⎰⎰21),(D D d y x f σ=⎰⎰1),(D d y x f σ+⎰⎰2),(D d y x f σ.4、若f(x,y)与g(x,y)在D 上可积，且f(x,y)≤g(x,y), (x,y)∈D ，则⎰⎰Dd y x f σ),(≤⎰⎰Dd y x g σ),(.5、若f(x,y)在D 上可积，则函数|f(x,y)|在D 上也可积，且⎰⎰Dd y x f σ),(≤⎰⎰Dd y x f σ),(.6、若f(x,y)在D 上都可积，且m ≤f(x,y)≤M, (x,y)∈D ，则 mS D ≤⎰⎰Dd y x f σ),(≤MS D , 其中S D 是积分区域D 的面积.7、(中值定理)若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ， 使得⎰⎰Dd y x f σ),(=f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积.注：中值定理的几何意义：以D 为底，z=f(x,y) (f(x,y)≥0)为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于f(x,y)在区域D 中某点(ξ,η)的函数值f(ξ,η).习题1、把重积分⎰⎰Dxydxd σ作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=[0,1]×[0,1]，并用直线网x=n i, y=nj , (i,j=1,2,…,n-1)分割D 为许多小正方形，每个小正方形取其右顶点作为其节点.解：⎰⎰Dxydxd σ=2111lim n n j n i nj ni n ⋅⋅∑∑==∞→=21121lim n n j n nj n ⋅⋅+∑=∞→=224)1(lim n n n +∞→=41.2、证明：若函数f(x,y)在有界闭区域D 上可积，则f(x,y)在D 上有界. 证：若f 在D 上可积，但在D 上无界，则对D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, f 必在某个小区域σk 上无界. 当i ≠k 时，任取p i ∈σi ，令G=∑≠nki i i p f σ)(, I=⎰⎰Ddxdy y x f ),(.∵f 在σk 上无界，∴存在p k ∈σk ，使得|f(p k )|>kG I σ∆++1, 从而∑=ni iip f 1)(σ=∑≠∆+nki k k i i p f p f σσ)()(≥|f(p k )·△σk |-∑≠nki i i p f σ)(>|I|+1.又f 在D 上可积，∴存在δ>0，对任一D 的分割T={σ1, σ2,…, σn }, 当T <δ时，T 的任一积分和∑=nk k k p f 1)(σ都满足∑=-nk k k I p f 1)(σ<1,即∑=nk k k p f 1)(σ<|I|+1，矛盾！∴f 在D 上可积，则f 在D 上有界.3、证明二重积分中值定理：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Df =f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积.证：∵f 在有界闭区域D 上连续,∴f 在D 上有最大值M 和最小值m, 对D 中一切点有m ≤f ≤M ，∴mS D ≤⎰⎰Df ≤MS D , 即m ≤⎰⎰DDf S 1≤M.由介值性定理知，存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Df =f(ξ,η)S D .4、证明：若f(x,y)为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则⎰⎰Dd y x f σ),(>0.证：由题设知存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使f(p 0)>0，令δ=f(p 0)，由连续函数的局部保号性知：∃η>0使得对一切p ∈D 1(D 1=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>2δ. 又f(x,y)≥0且连续，∴⎰⎰Df =⎰⎰1D f +⎰⎰-1D D f ≥2δ·△D 1>0.5、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区域D ’⊂D 上有⎰⎰'D d y x f σ),(=0，则在D 上f(x,y)≡0.证：假设存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使得f(p 0)≠0, 不妨设f(p 0)>0. 由连续函数的保号性知，∃η>0使得对一切p ∈D ’(D ’=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>0，由第4题知⎰⎰'D f >0，矛盾！ ∴在D 上f(x,y)≡0.6、设D=[0,1]×[0,1]，证明： 函数f(x,y)=⎩⎨⎧内非有理点为皆为有理数即内有理点为D y x y x D y x ),(,0),(),(,1在D 上不可积.证： 设D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, 则每一个小区域σi 内必同时含有D 内有理点和非有理点，从而 M i =iy x σ∈),(sup f(x,y)=1, m i =iy x σ∈),(inf f(x,y)=0, i=1,2,…,n.∴S(T)=i n i i M σ∆∑=1=1, s(T)=i ni i m σ∆∑=1=0，由T 的任意性知：lim →T S(T)=1≠0=0lim →T s(T). ∴f 在D 上不可积.7、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，g(x,y)在D 上可积且不变号，则存在一点(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰Dd y x g σ),(.证：不妨设g(x,y)≥0, (x,y)∈D ，则⎰⎰Dd y x g σ),(≥0. 令M,m 分别为f 在D 上的最大、最小值，则 m ⎰⎰Dd y x g σ),(≤⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(≤M ⎰⎰Dd y x g σ),(.若⎰⎰Dd y x g σ),(=0, 则⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=0，任取(ξ,η)∈D ，得证！若⎰⎰Dd y x g σ),(>0, 则m ≤⎰⎰⎰⎰DDd y x g d y x g y x f σσ),(),(),(≤M. 由介值性定理知，存在一点(ξ,η)∈D ，使得f(ξ,η)=⎰⎰⎰⎰DDd y x g d y x g y x f σσ),(),(),( ，即⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰Dd y x g σ),(.8、应用中值定理估计积分：I=⎰⎰++Dyx d 22cos cos 100σ的值, 其中D={(x,y)||x|+|y|≤10}. 解：∵f(x,y)=yx 22cos cos 1001++ 在D={(x,y)||x|+|y|≤10}上连续，根据中值定理知：存在(ξ,η)∈D ，使得I=ηξ22cos cos 100++∆D, 从而102D ∆≤I ≤100D ∆, △D 为D 的面积，∴51100≤I ≤2.9、证明：若平面曲线x=φ(t), y=ψ(t), α≤t ≤β光滑 (即φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有连续导数且φ’2(t)+ψ’2(t)≠0)，则 此曲线的面积为0.证法1：该平面曲线L 的长度为l=dt t t ⎰'+'βαψϕ)()(22为有限值.对∀ε>0, 将L 分成n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡εl +1段：L 1,L 2,…,L n , 在每段L i 上取一点P i , 使P i 与其一端点的弧长为nl 2，以P i 为中心作边长为的ε正方形△i ， 则L i ⊂△i (i=1,2,…,n), 从而L ⊂n i 1= △i ，记△=ni 1= △i ，则△为一多边形.设△的面积W ，则W ≤n ε2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1εlε=(1+ε)ε，∴L 的面积W L ≤W ≤(1+ε)ε. 即此曲线的面积为0.证法2：在曲线上任取参数t 的点M ，∵φ’2(t)+ψ’2(t)≠0， 由隐函数存在定理知，存在σ=(t-δ,t+δ)使曲线上对应的一段可以表示成显式方程.应用有限覆盖定理，[α,β]被开区间集{σ}有限覆盖，得出有限个区间， 使曲线分成有限部分，每一部分可以表示成显式方程y=f(x)或x=g(y)， 其中f,g 为连续函数，由定理21.3知光滑曲线的面积为0.。
南京邮电大学-高数书上的习题答案(下册)南京邮电大学 《高等数学》(下册) 习题参考答案第七章 习题7.12.(1);)()(32⎰⎰⎰⎰+≥+DDd y x d y x σσ (2);)()(23⎰⎰⎰⎰+≥+DDd y x d y x σσ (3);1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ>xyzdv xyzdv (4);)()(2222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++≤++dv z y x dv z y x3. (1);02π≤≤I (2);10036ππ≤≤I(3);33323323ππ≤≤-I 习题7.2 1.(1) ;),(),(4420402⎰⎰⎰⎰-yy x dx y x f dy dy y x f dx 或 (2);),(),(2222220⎰⎰⎰⎰-----y r y r rx r r rdx y x f dy dyy x f dx 或(3) ;),(),(),(22121121121⎰⎰⎰⎰⎰⎰+yyxxdx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx 或(4)222222221411142411142414(,)(,)(,)(,)x x x x x x x x dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy------------+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰或.),(),(),(),(2222222241.11141144124421⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----------------+++y y y y y y y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy 2.(1) ;),(110⎰⎰xdy y x f dx (2) ;),(240⎰⎰xx dy y x f dx (3) ;),(21011⎰⎰--x dy y x f dx (4);),(212111⎰⎰+--y y dx y x f dy(5);),(1⎰⎰eey dx y x f dy(6).),(),(arcsin arcsin 10arcsin 201⎰⎰⎰⎰---+yyydx y x f dy dx y x f dy ππ3.(1);320 (2);23π-(3);556 (4);1--e e (5);49(6).12-π 4..3π 5..27 6..6179.(1);)sin ,cos (20⎰⎰bad f d ρρθρθρθπ(2);)sin ,cos (cos 2022⎰⎰-θππρρθρθρθd f d(3) .)sin ,cos (1)sin (cos 0210⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d10.(1);)sin ,cos ()sin ,cos (csc 024sec 040⎰⎰⎰⎰+θππθπρρθρθρθρρθρθρθd f d d f d (2);)(sec 2034⎰⎰θππρρρθd f d(3);)sin ,cos (1)sin (cos 201⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d(4) .)sin ,cos (sec tan sec 40⎰⎰θθθπρρθρθρθd f d 11.(1) ;434a π(2) ;12- (3) ;)1(4-e π (4).6432π12.(1) ;222π+(2);)2(8-ππ(3) ;144a (4)).(3233a b -π 13..42a π14.(1);6π (2) .32π15. (1);2ln 37 (2);21-e (3).21ab π16.(1)提示：作变换;⎩⎨⎧-=+=xy v yx u (2)提示：作变换.⎩⎨⎧+==yx v x u 习题7.3 1.(1) ;),,(111112222⎰⎰⎰+----y x x xdz z y x f dy dx (2);),,(22222221111⎰⎰⎰-+----x y x x x dz z y x f dy dx(3);),,(222111⎰⎰⎰+-y x x dz z y x f dy dx (4).),,(01010⎰⎰⎰-xy xdz z y x f dy dx2. (1);3641 (2));852(ln 21- (3);0 (4);422R h π(5).2π-4. (1) ;81 (2) ;127π (3).316π5. (1) ;54π (2);674a π (3)).(15455a A -π6.直角坐标系 ;),,(22222221111⎰⎰⎰--+----y x y x x x dz z y x f dy dx柱面坐标系 ;),sin ,cos (22120⎰⎰⎰-ρρπρθρθρρθdz z f d d 球面坐标系.sin )cos ,sin sin ,cos sin (2024020⎰⎰⎰dr r r r r f d d ϕϕθϕθϕϕθππ7.(1) ;332π(2) ;233a π (3);6π (4)).455(32-π8. .)(422t f t π 9..4R k π习题7.41..)612655(2a π-+ 2..2π 3..162R5.(1);34,0πb y x ==(2);0,)(222=+++=y b a a ab b x(3);)(8)(3,0,03344⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a A a A (4).43,0,0⎪⎭⎫ ⎝⎛6..796,572==y xI I7. (1) ;384a (2);157,0,02a z y x ===(3) .451126ρa8..])([2,02222h R a R a h G F F F z y x ++-+--===ρπ总习题71.(1) (C); (2) (A); (3) (B); (4) (D); (5) (B),(D).2. (1) ;32π(2) ;0 (3);2π (4);4μ(5) .344R π3.(1);94124R R ππ+ (2).π4. (1) ;3250π (2).328163a π-5..)]0(3[3hf h +π第八章 习题8.11.(1);),(,),(22⎰⎰==Ly Lxds y x x I ds y x y I μμ(2).),(),(,),(),(⎰⎰⎰⎰==LL L L dsy x ds y x y y dsy x ds y x x x μμμμ2. (1);212+n a π (2);)12655(121-+ (3);2)42(-+a e a π(4);)1(232--e (5) ;9 (6).152563a3.质心在扇形的对称轴上且与圆心的距离为ϕϕsina 处. 4..6πk6. (1) ;23a π-(2) ;2π- (3);1514- (4);3233ππa k -(5) ;13 (6) .21 7. (1) ;334 (2) ;11 (3) ;14 (4) .3328.;)(12z z mg - 9..23a π10. (1) ;2),(),(ds y x Q y x P L⎰+ (2);41),(2),(2ds xy x xQ y x P L⎰++(3).)],()1(),(2[2ds y x Q x y x P x x L⎰-+-11. .941),,(3),,(2),,(22ds yx z y x yR z y x xQ z y x P L⎰++++习题8.21. (1) ;8 (2) .3012. (1) ;12 (2) ;0 (3);24a π(4) ;42π (2).6742sin -3. (1) ;25 (2) ;236 (3) ;5 (4) .23-4. (1);2122122y xy x ++ (2);cos cos 22y x x y + (3).12124223y y ye e y x y x +-+习题8.3 1.⎰⎰∑+=.),,()(22dS z y x z y I x μ3. (1) ;313π (2) ;30149π (3).10111π4. (1);614 (2) ;427- (3) ;)(22h aa -π (4).215644a 5.).136(152+π6. (1);10527R π (2);23π (3);21 (4) .81 7.(1) ⎰⎰∑++;)5325253(dS R Q P (2) .4412222⎰⎰∑++++dS yx R yQ xP 8..8π习题8.41. (1) ;23 (2) ;5125a π (3);81π (4);525a π(5).4π2. (1) ;0 (2) ;)62(23a a - (3) .108π3. (1);222z y x ++ (2);)sin(2)sin(2xz xz xy x ye xy -- (3).2x 习题8.5 1. (1);32a π- (2));(2b a a +-π (3);20π-(4) .29- 2. (1);642k j i ++ (2);j i +(3) )]cos()sin(cos [2xz xyz x -i )sin(cos z y -j ]cos )cos([22y x xz z y -+k3. (1) ;0 (2).4-4. (1) ;2π (2) ;12π6. .0总习题8 1. (1) ;12a (2) ;4a π (3) ;4 (4);6π-(5);)(22223γβαπ++R (6);23R π (7) );(C(8) ).(B2.(1);2arctan222222ln )41(3ln 2+--+++ππ(2) ;18π (3) ;0 (4) ;2a π (5).162π3. (1) ;arctan2RH π (2);414h π- (3);2π4. .85. .21 6. .2 7..93,3,3,3max abc W c b a ====ςηξ8. .23 习题9. 1 1. (1)2(1)ln(1)=++n n u n n ; (2)11(1)-+=-n n n u n;(3)1(1)!-=-n n x u n ; (4)1sin (1)-=-n n nx u n.2. (1) 收敛; (2) 发散; (3) 收敛; (4) 发散.3. (1) 发散; (2) 发散; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 发散.4. 提示：利用数列收敛与其子列收敛之间的关系.5. 提示：21221++=+n n n ss u .习题9. 21. (1) 发散; (2) 收敛; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 收敛.2. (1) 发散; (2) 收敛; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 收敛；(7) 收敛; (8)<b a 时收敛，>b a 时发散，=b a不能确定.3. (1) 收敛; (2) 收敛; (3) 收敛; (4) 发散; (5) 收敛; (6) 收敛.4. (1) 绝对收敛; (2) 条件收敛; (3) 条件收敛; (4) 发散; (5) 条件收敛; (6) 条件收敛.6. 提示：11≤nn ab ab . 7. 211()2≤+n n u u n. 8. 提示：0≤-≤-nnn nc ab a . 9. 提示：≤⋅n nn na ba b .10. 当1<a 时绝对收敛，当1>a 时发散，1=a 时条件收敛，1=-a 时发散. 习题 9. 31. (1) 1,[1,1]=-R ; (2)111,[,]222=-R ; (3)1,[1,1]=-R ; (4) ,(,)=+∞-∞+∞R ; (5)3,[0,6)=R ; (6)1,[1,0)2=-R .2. (1) 11ln (11)21+-<<-x x x; (2)3424(11)(1)-<<-x x x ; (3)32(11)(1)-<<-x x ; (4)ln(1)(11)1---<<-xx x x.3.2()arctan ,[1,1];2=-s x x .4. (1) 4π; (2) 4; (3) ln 22π-; (4)2(1)ππ-+.习题9. 4 1.20cos (1),(,)(2)!∞==-∈-∞+∞∑nnn x x x n .2. (1)210,(,)(21)!+∞=∈-∞+∞+∑n n x x n ; (2)11ln 2(1),(2,2]∞-=+-∈-∑nn nn x x na ; (3)(ln ),(,)!∞=∈-∞+∞∑n nn a x x n ;(4)2121(1)21,(,)(2)!-∞=-+∈-∞+∞∑n n nn x x n ；(5)111(1),(1,1](1)+∞+=-+∈-+∑n n n x x x n n ; (6) 21211(1)211arctan 2,[,]2122-∞-=-+∈--∑n n n n x x n .3. (1)11011()(1),(3,1)23∞++=-+∈-∑n n n n x x ;(2)111(1)(1),(0,2]ln10∞-=--∈∑nn n x x n;(3) 0(1),(,)!∞=-∈-∞+∞∑n n ex x n ;(4) 2211113(1)[())],(,)2(2)!33ππ∞+=-++∈-∞+∞∑n n n n x x x n . 4.(1)1110(1)[1],(1,1)2+∞++=--+∈-∑n n n n x x ;(2)2101(1)(1)(2),(1,3)2∞+=-+-∈∑n n n n x x .5. 21212(2)!(),[1,1]2(21)(!)∞+=+∈-+∑n n n x x x n n ，()2220,2,(0)[(2)!],2 1.2(!)=⎧⎪=⎨=+⎪⎩n k n k f k n k k6.11(),(,)(1)!-∞==∈-∞+∞+∑n n nx f x x n . 7. (1)0.9848; (2)0.9461.习题9. 5 2. (1)11cos(43)cos(41)()[],(21),0,1,2,4341ππ∞=--=-≠+=±±--∑n n x n xf x x k k n n ;(2)121[1(1)]()(1)()(){cos sin },(21),0,1,4πππ-∞=-----+=++≠+=±∑n n n b a a b a b f x nx nx x k k n n2,±; (3) 21212(1)()4cos ,3π+∞=-=+-∞<<+∞∑n n f x nx x n ;(4)33211(1)()[(3cos sin )],(21),0,1,2,69ππππ-∞=--=+-≠+=±±+∑nn e e f x nx n nx x k k n .3. (1) 12124(1)()cos ,[,]41ππππ-∞=-=+∈--∑n n f x nx x n ;(2)221111(1)(1)1(1)(){cos []sin },211ππππππ--∞=+----+---=+++++∑n n nn e e n ne f x nx nx n n n(,)ππ∈-x . 4. 123121(1)6(){(31)[1(1)]}sin ,ππ-∞=-=++---∑n n n f x nx n nn(0,)π∈x .5.211(1)()cos ,[0,]4πππ∞=--=+∈∑nn f x nx x n . 6.121cos ()sin ,(0,)(,)ππ∞=-=∈⋃∑n nhf x nx x h h n ; 12sin ()cos ,[0,)(,)πππ∞==+∈⋃∑n hnhf x nx x h h n .习题9. 61. (1)221(1)12()cos ,(,)4ππ∞=--=+∈-∞+∞∑n n l l n xf x x l n ; (2)112()sin ,,0,1,2,2ππ∞==-≠=±±∑n E E n xf x x kT k n T; (3) 1221111(1)()cos 2,(,)12ππ+∞=-=+∈-∞+∞∑n n f x n x x n .2. (1) 2212(1)()sin sin sin ,[0,)(,]22221ππππ∞=-=+∈⋃-∑n x n n n x l lf x x l l l n ;2211211()cos(cos 1)cos ,[0,)(,]2221ππππππ∞=-=++-∈⋃-∑n xn n x l lf x n x l ll n;(2) 33141(1)()sin ,[0,1]ππ∞=--=∈∑nn f x n x x n ; 221121(1)()cos ,[0,1]6ππ∞=+-=-∈∑nn f x n x x n .3.2222015411()cos(21),[1,1],26(21)πππ∞∞===-+∈-=+∑∑n n f x n x x n n.4. (1)1sin ()12,(0,2)ππ∞==--∈∑n nxf x x n ;(2) 12(1)(1)1()sin ,(0,)πππ∞=---=∈∑n n f x nx x n; (3) 12sin 2(),(0,)2ππ∞=-=-∈∑n nxf x x n ; (4) 112(1)()1sin ,(1,1)ππ+∞=-=-+∈-∑n n f x n x x n.5. 112(1)51sin ,(3,5)ππ+∞=--=-+∈∑n n x n x x n.6. 0(1)51,(3,5)ππ+∞=-∞≠--=-+∈∑n in xn n i x e x n ;7.121()sin cos ,2,0,1,2,τπτπτπ∞==+≠±+=±±∑n E E n n tf t t kl k l n l l.总习题 91. (1) C ; (2) C ; (3) B ; (4) A ; (5) A .2. (1) 8; (2)1,01,0><≤≤p p p ; (3)2=R ;(4)2ln(1),[2,0)(0,2),[2,2),()210;⎧--∈-⋃⎪-=⎨⎪=⎩x x s x x x (5)14-. 3. (1) 收敛; (2) 发散; (3) 发散; (4) 发散; (5)1>a 时收敛, 01<≤a 时发散;(6)01<<a 时收敛, 1>a 时发散,1=a 且1>k 时收敛, 1=a 且01<≤k 时发散.4. (1) 绝对收敛; (2) 绝对收敛; (3) 条件收敛; (4) 条件收敛.5. 12>k 时收敛, 12≤k 时发散. 6. (1) 11[,)33-; (2) 11(,)-e e; (3) (2,0)-; (4)(1,1)-. 7. (1)111ln arctan (11)412++--<<-x x x x x ;(2)11(1)ln(1),(1,0)(0,1],()0,0,1,1;⎧-++∈-⋃⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩x x x s x x x(3)21(02)(2)-<<-x x x ; (4)2222(22)(2)+-<-x x x .8. (1)1ln 34; (2)2227. 9. (1) 881()(11)∞+=--<<∑nn n xxx ; (2)210(1)(11)421π∞+=-+-≤<+∑n n n x x n .10.3318sin(21)()(0);32(21)πππ∞=-=≤≤-∑n n x f x x n .习题10.11.(1) 1 ； （2）2 ； （3）1 ； （4）2，2.（1）不是； （2）不是； （3）不是； （4）是，4.（1）22(1)4y y '+= ； （2）2220x y xy y '''-+=，5.（1）222xy y+= ； （2）2xy xe =，6.20x yy '+= ， 习题10.2 1.（1）22(1)x y C-+= ； （2）222(1)(1)x y Cx ++=（3）sin cos y x C = ； （4）1010xy C-+=（5）()(1)y C x a ay =+- ； （6）2(1)y x x C+=2.（1）212ln(1)2ln(1)xy e e -=+-+； （2）arctan 4xy eπ-= ；（3）(1)1x y += ； （4）ln tan 2xy =，3.()ln 1f x x =+4.（1）cxy xe =； （2）3()x yy Ce =； （3）tan()y x x C +=+（4）2sin()y x Cx=5.（1）33x y Ce -=； （2）()xy x C e -=+； （3）(ln ln )y x x C =+ （4）2sin 1x C y x +=-； （5）12(1)yx y Ce =+； （6）()x x C y e +=6.（1）x a e ab e y x+-=； （2）1cos xy xπ--=； （3）21y x x =- （4）sin 2sin 1xy e x -=+-7.（1）535(5)2y xCx +=； （2）822931(1)y x C x =-+-； （3）22212x yCe x x =---； （4）3243(12ln )xyx x C-=-+8.（1）21xy e=-； （2）2xy e =-9.（1）是，323x xy y C +-=； （2）是，cos cos y x x y C+=（3）是，2(1)e Cθρ+=10.（1）4242x xy y C+-=； （2）arctan()x x C y=+ （3221arctan xx y Cy++=； （4）2x y C y x=+11.约3.4秒， 13.（1）2321234ln 2x y x C x C x C x C =++++；（2）12()xy C x eC -=-+；（3）1211y C x C=-+； （4）221124(1)()C y C x C -=- 习题10.31.(1) 相关； （2）无关； （3）无关； （4）相关，2.212()x y C C x e =+，3.（1）212xy C x C e -=+ ； （2）212(21)xy C eC x =++5.2212()(1)1y C xx C x =-+-+，6.（1）2211210(21)!!(2)!!(1(1))((1))(2)!!(21)!!kk k k k k k k y C x C x k k +∞+∞+==-=+-+-+∑∑；（2）211(21)!!kk x y k +∞==+-∑，7.（1）2312xxy C eC e -=+； （2）412xy C C e =+（2）(12)(12)12xxy C eC e =+； （4）21233(cossin )22x y e C x C x -=+(5)当0a <时，12ax axy C e C e --=+；当0a =时，12y C C x =+；当0a >时，12y C ax C ax=-+-；(6）当1λ>时，22(1)(1)12x xy C eC e λλλλ-+----=+；当1λ=时，12x xy C e C xe λλ--=+；当1λ<时，2212(11)xy eC x C x λλλ-=-+-；（7）1234cos sin xx y C eC e C x C x-=+++；21xλ- （8）123cos sin y C x C x C =++； （9）1234()cos ()sin y C C x x C C x x=+++；（10）y =21234()()xxC C x eC C x e -+++；（11）2123()axy eC C x C x =++； （12）1234()cos sin x y C C x e C x C x=+++；8.（1）342xxy ee=+； （2）2(2)xy x e -=+； （3）2(42)x y x e -=-；（4）(cos3sin3)xy ex x -=+； （5）1cos sin 2x t t t =+ 9.1cos3sin 33y x x =- ， 10.（1）3122xx y C eC e =++； （2）2121()(1)4x y C C x e x =+++；（3）3212123xy CC e x x x =+---； （4）121cos sin cos 2y C x C x x x =+-；（5）61275cos sin 7474xx y C eC e x x =+++；（6）21233231()sin 2cos 226262xy eC x C x x -=+-++，11.（1）()cos ()sin xy Ae B Cx x D Ex x=++++； （2）4[()cos2()sin 2]xy xeB Cx x D Ex x =+++； （3）2[()(cos2sin 2)]xy e x B Cx D x E x =+++； （4）32[()(cos2sin 2)]xy ex Ax Bx C D x E x =++++；（5）[()cos ()sin ]y x B Cx x D Ex x =+++； （6）2xy A =，12.（1）21122xx y e e x -=---； （2）11cos3cos 248y x x =+； （3）(sin )xy ex x -=-； （4）2sin xy xex=，13.（1）121(ln )y C x C x=+； （2）12ln y C C x ax=++；（3）212(ln )ln y x C x C x x=++； （4）2123(ln )y x C x C C x -=++，14.g x a t a= ； 15.约1.9秒 ，总习题10 1.（3）23222(ln )33x x x C y=-++； （4）2212x y C y-= ；（5）1()C xy x c x C C x -=--； （6）11y x=- ， 2.()1f x x =- 3.()cos sin x x x ϕ=+4.nx Cy = 或ny Cx = 5.22x y Cx+= ，6.（1）21213()164x x y C C x e e -=+++； （2）12cos3cos sin sin 416x xy C x C x x =+--；(3)1211cos 2210x x y C e C e x -=+-+；（4）12cos(3)sin(3)sin(ln )2xy C x C x x =++ ，7.()x ϕ=22121(1)22xx x xC eC e x e ++-，8.1sin 2xx y ee x-=-- 9. 约2.8秒.习题11. 11. (1) 32322Re ,Im ,,arctan 2()13131313313π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z ;(2)3131101Re ,Im ,,arctan 2()22223π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z ; ;(3)7752926Re ,Im 13,13,arctan 2()227ππ=-=-=-+==-+∈z z z i z Argz k k Z ; (4)Re 1,Im 3,13,10,arctan32()π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z .2. 1,11==x y .3. (1)2cos sin 22πππ=+=ii i e ; (2) 1cos sin πππ-=+=ii e ;(3) 6sincoscos()sin()3366πππππ--=-+-=ii i e;(4)422(cos sin )2144πππ---=+-+i i i e i .6. (1)8-i; (2)16316-i; (3)75666121242,2,2πππ-ii i eee;3131,22±i i i . 7. 1.9. (1) 以1为中心，半径为2的圆周； (2)直线3=-x ；(4) 中心在2-i ，半径为1的圆周及其外部区域；(4)不包含实轴的上半平面.10. (1) 直线=y x ；(2)双曲线1=xy ；(3)双曲线1=xy 在第一象限中的一支；(4)抛物线21=+y x .习题11. 21. (1)123,22,8=-=-+=w i w i w i ； (2)0arg π<<w .2. (1)圆周2211()24-+=u v ； (2) 圆周2214+=u v；(3)直线=-v u ； (4) 直线12=u . 3. (1)不存在； (2)0； (3)不存在. 4. (1)处处连续； (2)除=±z i 外处处连续. 习题11. 32. (1) 在直线12=y 上可导，在复平面上处处不解析；(2) 230=x y 上可导，在复平面上处处不解析；(3) 在0=z 点可导，在复平面上处处不解析；(4) 在复平面上处处可导、处处解析. 3. (1) 除=±z i外在复平面上处处解析,222()(1)'=-+z f z z ;(2) 当0≠c 时除=-d z c外在复平面上处处解析, 2()()-'=+ad bc f z cz d ．4.3,1,==-=l n m3()=f z iz ,2()3'=f z iz .习题11. 41. (1) -ei ; 42(1)2e i +; (3)1ch ; (4)sin12cos12ch i sh +.2. (1) 1ln 2(2),24i k k Z ππ++∈; (2)4ln5arctan (21),3i k i k Zπ-++∈; (3)2,k ek Zπ-∈; (4)1(2)4ln 2ln 2(cossin ),22k ei k Z π-+∈.3. (1)k π; (2)2k ππ+; (3) (21)k iπ+; (4)4k ππ-, 这里0,1,2,k =±±. 4. (1) k i π; (2)212k i π+; (3) 1(2)2k iπ+, 这里0,1,2,k =±±.5. ln z 与Lnz 在除原点与负实轴外处处解析，且1()()Lnz lnz z ''==. 6. Lnzw ze αα==对每个单值分支在除原点与负实轴外处处解析，且1()z z ααα-'=.总习题 111. (1) 333333Re ,Im ,2,,222422z z z argz z i π=-====--;(2)充分，必要； (3)C ； (4)2,3,2a b c ==-=；(4) sin 1i ish =, 22()k ii e k Z ππ+-=∈, 1ln(1)ln 224i i π-=-. 2. (1)2(13i ; (2)2222cossin,0,1,2,344k k i k ππππ-+-++=.3. (1)2(22)i±; (2)2468tan ,0,,,,45555i i eααππππα-=.6. ()f z 处处不可导、处处不解析. 8. (1) ln 2(2),3i k k Z ππ++∈; (2) 2e -. 习题12. 12. (1)31(3)3i +；(2)31(3)3i +；(3)31(3)3i +. 3. (1)1566i -+；(2) 1566i -+. 4. (1)i ； (2) 2i .5. (1)4i π； (2) 8iπ. 6. (1)0； (2) 0.习题12. 21. (1) 0； (2) 0； (3) 0； (4) 0.2. 相等；不能利用闭路变形原理.3. 0.4. (1) 0； (2) π.5. i π.6. (1) 0； (2) 1(2)2sh i ππ-； (3) sin1cos1-； (4)2211(tan1tan 11)122th ith -+++.习题12. 32. (1)22e i π；(2)i a π；(3) e π；(4)0；(5) 0；(6) 0；(7)；(8) 12iπ.3. (1) 0；(2) 0,当1α>时；i ie απ-,当1α<时.4. 当α与α-都不在C 的内部时，积分值为0；当α与α-中有一个在C 的内部时，积分值为i π；当α与α-都在C 的内部时，积分值为2i π.习题12. 4 4.2222,()(1)v x xy y C f z i z iC=+-+=++(C 为实数).5. (1)2(1)i z --；(2)2(1)i z iC-+ (C 为实数)；(3)21iz +；(4)ln z C +. 6. 当1p =±时，v 为调和函数；当1p =时,()()z f z e C C R =+∈；当1p =-时,()()z f z e C C R -=-+∈.总习题 121. (1)D ； (2)D ； (3)C ； (4)D ；(5)B .2. (1)0； (2)π； (3)i π； (4)2i π；(5)12i π；(6)64i π.3. (1)0； (2)2i π； (3)ei π-； (4)(2)e i π-. 5.2iπ. 9.12()u C ax by C =++.习题13. 14. (1) 收敛，极限为1-；(2) 收敛，极限为0；；(3) 收敛，极限为0；(4)发散.5. (1) 发散；(2) 发散； (3)绝对收敛； (4)条件收敛.6. (1)2； 2； (3)1； (4)1.习题13. 2 1. (1) i ； (2) 11(1)n n n z ∞-=+∑.2. (1)30(1),1nnn z R ∞=-=∑； (2)11,1n n nzR ∞-==∑； (3)40(1),(2)!nnn z R n ∞=-=∞∑；(4)212121(1),(2)!n nnn z R n -∞=+-=∞∑；(5)210,(21)!n n z R n +∞==∞+∑；(6)20,!nn z R n ∞==∞∑.3. (1)11(1)(1),22n n nn z R -∞=--=∑； (2)211011(1)()(2),323nn n n n z R ∞++=---=∑；(3)10310[(1)],(13)n nn n z i R i ∞+=-+-∑； (4)11(1)(1),1n n n z R n -∞=--=∑.习题13. 3 2. (1)1(1)nn z ∞=---∑,201(1)(2)nn n z ∞+=--∑；(2)1(2)nn n z∞=-+∑,2(1)(1)nnn z ∞=---∑;(3) 23432121211()524816z z z z z z z++-------；(4)11200()(2),(2)()n nn n n n z i i i z i -∞∞++==+-+∑∑； (5)2111()(1),01n n n n n z i z i i -∞-+=--<-<∑；30(1)(1),1()nnn n n i z i z i ∞+=+-<-<+∞-∑； (6) 234111112!3!4!z zz z ---++.习题13. 41. (1)0z =,一级极点；z i =±,二级极点； (2)1z =-,一级极点；1z =,二级极点；(3)0z =,可去奇点； (4)0z =,三级极点；2(1,2,)k z k i k π==±±,一级极点；(5)z i =±,二级极点；(21)(1,2,)kzk i k =+=±,一级极点；(6)0z =,二级极点；,(1,2,)k i k k ππ±±=均为一级极点. 2. (1)z a =,m n+级极点；(2)z a=,当m n >时为m n -级极点，当m n <时为n m -级 极点，当m n =时为可去奇点； (3)z a=为极点，级数为m 、n 中较大者；当m n =时z a =为极点, 级数小于或等于m , 也可能是可去奇点.7. (1)1Re [(),0]2s f z =-，3Re [(),2]2s f z =；(2)4Re [(),0]3s f z =-；(3)1Re [(),0]6s f z =-；(4)Re [(),0]0s f z =，1Re [(),](1),1,2,ks f z k k k ππ=-=±±.8. (1) 0；(2) 24e iπ；(3)2iπ-；(4)2iπ.总习题 131. (1)D ； (2)C ； (3)A ； (4)D ；(5)B .2. (1)0； (2)1,1R z i =-≤；(3)31a -=-；(4)Re [()(),0](0)s f z g z f =；(5)一级极点, 4sin 1Re [,0]6z z s z-=. 3. (1)1e ； (2)1； (3)2； (4)2；2； 24. (1)1111,()ln arctan 412z R s z z z z +==+--； (2) 231,()(4)z R s z z -==-.5. (1)101(1),33n n n z R ∞+=-+=∑； (2)11(1),1n n n z R ∞-=+=∑；(3)210(1)(),(21)!nn n z R n π∞+=---=+∞+∑； (4)21(1),121n n n z R n ∞+=-=+∑.6. (1) 在014z <-<内，11(1)54nn n z z ∞+=-=--∑； 在41z <-<+∞内，10145(1)nn n z z ∞+==--∑；(2) 在12z <<内，1221001()2(1)2nn n n n n z f z z ∞∞+++===--∑∑；在025z <-<内，11101(2)(2)()(1)(2)25n n n nn n i i f z i z z ++∞+=+--=+---∑；(3) 2101(1)sin (1),011(21)!nn n z z z n ∞--=-=--<-<+∞-+∑；(4)1(1),011!z n n e z e z z n -∞=-=-<-<+∞-∑.8. (1)0z =为一级极点，z i =±为二级极点； (2)0z =为三级极点；(3)0z =为可去奇点，1z =为三级极点； (4)1z =为本性奇点，2()kzk i k Z π=∈为一级极点． 9. (1)1Re [,](1)(),cos 22k z s k k k Zz ππππ++=-+∈；(2)42313Re [,]8(1)z s i i z +=-+,42313Re [,]8(1)z s i i z +-=+； (3)1Re [cos,1]01s z=-；(4) 1Re [,0]0s zshz =,11(1)Re [,],1,2,k s k i i k zshz k ππ--==±±.10. m -.11. (1)2i π-； (2)当3m ≥且为奇数时，原式12(1)(2)!n i n π-=-；当3m <或为偶数时，原式0=；(3)12i -； (4)26i π-. 12.. (1)2π； 2(1)a a +.。
习题8-11. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)Dm x y d μσ=⎰⎰.2. 试比较下列二重积分的大小：(1) 2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成；(2)ln()Dx y d σ+⎰⎰与2ln()Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域.解：(1)在D 内，()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.(2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而,2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰ 习题8-21. 画出积分区域，并计算下列二重积分：(1) ()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤；(2) (32)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域；(3) 22()Dxy x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域；(4) 2D xy d σ⎰⎰,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0；(5) ln Dx y d σ⎰⎰,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；(6)22Dx d σy ⎰⎰其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 111111()()20.Dx y d dx x y dy xdx σ---+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ (2) 222200(32)(32)[3(2)(2)]x Dx y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰223202220[224]4.330x x dx x x x =-++=-++=⎰(3) 32222222002193()()()248yy Dy x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰43219113.96860y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.Dx yd σ=⎰⎰(5) 44201041ln ln (ln ln )2(1)2110e De e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-⎰⎰⎰⎰⎰.(6) 122224111311122222119()()124642x x Dx x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为二次积分（两种次序）其中积分区域D 分别如下：(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域；(3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1y x=所围成的闭区域；(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解：(1) 1221201(,)(,)(,).xx y ydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 2441004(,)(,).y x y dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(3) 12222111112(,)(,)(,).xyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 21111(,)(,).xdx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰3. 交换下列二次积分的积分次序：(1) 10(,)ydy f x y dx ⎰⎰； （2）2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(3) ln 10(,)e xdx f x y dy ⎰⎰； (4) 123301(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.解：(1) 111(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.(2) 222402(,)(,).y x ydy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰(3) ln 11(,)(,)y e xeedx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(4) 123323012(,)(,)(,)yyxxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.解：11100037(623)(62).22V dx x y dy x dx =--=--=⎰⎰⎰5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6－z 截得的立体体积.解：3111222000(1)34(6)[6(1)(1)).312x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=⎰⎰⎰习题8-31. 画出积分区域，把二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是：(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)； (2) x 2+y 2≤2x ；(3) 1≤x 2+y 2≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1. 解：(1) 20(,)(cos ,sin ).aDf x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 2cos 202(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθπσθθθ-=⎰⎰⎰⎰(3) 221(,)(cos ,sin ).D f x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(4)12cos sin 0(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθθσθθθ+=⎰⎰⎰⎰2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1)220)ady x y dx +⎰；(2)21;xxdx ⎰⎰解：(1)4422320)248aaa a dy x y dx d r dr πππθ+==⋅=⎰⎰⎰.(2) 2sin 31244cos 600001sin 3cos x x dx d r dr d πθπθθθθθ==⎰⎰⎰⎰⎰244466400011c o s 111(c o s )[(c o s )(c o s )]33cos cos cos d d d πππθθθθθθθ-=-=--⎰⎰⎰531cos cos 4()3530πθθ--=--+= 3. 在极坐标系下计算下列二重积分：(1)22x y De d σ+⎰⎰,其中D 是圆形闭区域: x 2+y 2≤1；(2) 22ln(1)Dxy d σ++⎰⎰,其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3)arctanDyd σx⎰⎰，其中D 是由圆周x 2+y 2=1,x 2+y 2=4及直线y =0,y =x 所围成的在第一象限内的闭区域；(4)Dσ其中D 由圆周x 2+y 2=Rx (R >0)所围成.解：(1) 22222100112(1).20xy r r De d d e rdr e e πσθππ+==⋅=-⎰⎰⎰⎰(2)23112222221ln(1)ln(1)[ln(1)]221Dr r xy d d r rdr r dr rππσθ++=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 212(1)[ln 22](2ln 21)441r r r dr rππ+-=-=-+⎰. (3) 222244010133arctan arctan(tan ).32264Dy d d rdr d rdr x ππππσθθθθ=⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)Dσ3cos 22222022cos 12()230R R d R r d ππθππθθθ--==--⎰⎰⎰ 3333221(s i n )33R R R d πππθθ-=--=⎰. 4. 求由曲面z =x 2+y 2与z =所围成的立体体积.解：两条曲线的交线为x 2+y 2=1，因此，所围成的立体体积为：212220()]().6DV x y d d r r rdr ππσθ=+=-=⎰⎰⎰⎰习题8-41. 计算反常二重积分()x y De dx dy -+⎰⎰，其中D ：x ≥0,y ≥x .2. 计算反常二重积分222()Ddx dyx y +⎰⎰，其中D ：x 2+y 2≥1. 解：1. 222001()2a aaax yxx aaa x e dx e dy e edx e e ---------=-=-+-⎰⎰⎰ 所以2()211lim ().22ax y a a a De e dxdy e e --+--→+∞-=-+-=⎰⎰2. 由232011112()22R d dr r R πθπ=-⎰⎰，得222211lim 2().2()2R Ddxdy x y R ππ→+∞=-=+⎰⎰ 复习题8（A ）1. 将二重积分d d (,)Df x y x y ⎰⎰化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D 是：(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成. 解：(1) 12211221(,)(,).dx f x y dy dy f x y dx ----=⎰⎰⎰⎰(2) 244004(,)(,).yy xdx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰2. 交换下列两次积分的次序：(1)d d 1(,)yy f x y x ⎰;(2)d d 20(,)ax x y y ⎰;(3)d d +d d 12201(,)(,)xxx f x y y x f x y y -⎰⎰⎰⎰．解：(1)211d (,)d d (,)d x yxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰.(2) 200d (,)d d (,)d aaa a x f x y y y f x y x =⎰⎰⎰.(3)1221201d (,)d +d (,)d d (,)d xxy yx f x y y x f x y y y f x y x --=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3. 计算下列二重积分：(1) e d x y Dσ+⎰⎰， D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;(2) d d 2D xy x y ⎰⎰,D 由直线y =1,x =2及y =x 围成；(3) d d (1)Dx x y -⎰⎰,D 由y =x 和y =x ３围成；(4) d d 22()Dxy x y +⎰⎰，D :︱x ︱+︱y ︱≤1;(5) d 1sin Dy σy ⎰⎰，D 由22yx π=与y =x 围成； (6)d (4)Dx y σ--⎰⎰，D 是圆域x 2＋y 2≤R 2；解: (1) 1111111211111e d ()()()1x y x y x x x x Ddx e dy e e dx e e e e σ+++-+----==-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰.(2)5322224211121129d d ()()2253151xDx x xy x y dx x ydy x x dx ==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰.(3) 3112430011117(1)d d (1)()325460x x Dx x y dx x dy x x x x dx -=-=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰⎰.(4)1122220()d d 4()xDx y x y dx x y dy -+=+⎰⎰⎰⎰33241201412124(2)4()33323330x x x x x x dx x =--+=--+=⎰.(5) 222200sin 12sin d (sin sin )y y Dy y dy dx y y y dy y y πππσπ==-⎰⎰⎰⎰⎰222222sin (cos )1(cos sin )10ydy yd y y y y ππππππ=+=+-=-⎰⎰. (6)3222(4)d (4cos sin )[2(cos sin )]3RDR x y d r r rdr R d ππσθθθθθθ--=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰ 3222[2(sin cos )]430R R R πθθθπ=--=.4. 已知反常二重积分e d 2y Dx σ-⎰⎰收敛，求其值．其中D 是由曲线y =4x 2与y =9x 2在第一象限所围成的区域．解：设2249(0)a D y x y x y a a ===>是由曲线、和在第一象限所围成.则22222200015555ed ()236144144144aaa a y y y y a D x dy dx ye dy e d y e σ-----==⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰. 所以225e d lime d 144ay ya DD x x σσ--→+∞==⎰⎰⎰⎰. 5. 计算e d 2x x +∞--∞⎰．解：由第四节例2以及2y =e x -是偶函数，可知2e d x x +∞--∞=⎰.6. 求由曲面z =0及z =4-x 2-y 2所围空间立体的体积．解：曲面z =0和z =4-x 2-y 2的交线为x 2+y 2 =4.因此，所围空间立体的体积为：222220016(4)d d (4)2(8)84D x y x y d r rdr πθππ--=-=-=⎰⎰⎰⎰.7. 已知曲线y =ln x 及过此曲线上点(e ，1）的切线ey x 1=．(1) 求由曲线y =ln x ，直线ey x 1=和y =0所围成的平面图形D 的面积；(2) 求以平面图形D 为底，以曲面z =e y 为顶的曲顶柱体的体积．解：(1) 1ln (ln )12221e e e ee S xdx x x x =-=--=-⎰.(2) 221120013()()2220y y e yyyy y ye e V dy e dx e ye dy ye e ==-=-+=-⎰⎰⎰.（B ）1. 交换积分次序：(1) 311(,)xxdx f x y dy -⎰⎰； （2）0112(,)y dy f x y dx --⎰⎰；(3) 224(,)x x f x y dy -⎰；(4) 110(,)dx f x y dy ⎰.解：(1) 3111(,)(,)xxydx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰.(2) 01101221(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy ---=⎰⎰⎰⎰.(3) 2242402(,)(,)(,)x x f x y dy dy f x y dx dy f x y dx -=+⎰⎰⎰.(4) 21112001(,)(,)(,)y dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx =+⎰⎰⎰⎰.2. 计算积分2122xxxdx dy x y +⎰⎰.解：222sin sin 144cos cos 22200000cos cos xxx r dx dy d rdr d dr x y rπθπθθθθθθθ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 40sin ln 24(ln cos )cos 2d ππθθθθ==-=⎰. 3. 计算积分112201yy dy dx x y ++⎰⎰.解：111114cos 4cos cos 22220000sin sin [sin ]111yy r dy dx d rdr d dr dr x y r r ππθθθθθθθθ==-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 44001ln 21(tan sin arctan )arctan (cos )cos 2cos d d ππθθθθθθ=-⋅=+⎰⎰令cos t θ=,则原式211ln 21ln 21ln 211(arctan ln(12222dt dt t t t t t =+=+=+++ln 213ln 213ln ln 22242224ππ=+--=-. 4. 设函数f (x )在区间0,1⎡⎤⎣⎦上连续，且1()f x dx A =⎰，求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰. 解：设1'()()()(1)(0)F x f x f x dx F F A ==-=⎰，则.11111()()()[(1)()](1)()()(())xdx f x f y dy f x F F x dx F f x dx F x d F x =-=-⎰⎰⎰⎰⎰21()111(1)(1)[(1)(0)][(1)(0)](1)(1)(0)22220F x F A F A F F F F F A AF AF =-=--+=--21[(1)(0)]22A A F F =-=. 5. 计算2Dx yd σ⎰⎰，其中D 是由直线y =0,y =1及双曲线x 2－y 2=1所围成的闭区域.解：11222022(13Dx yd dy ydx y y σ==+⎰⎰⎰⎰35122222011122(1)(1)(1)1)335150y d y y =++=⋅+=⎰. 6. 计算222y xdx e dy ⎰⎰.解：2222222240000211(1)220y y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e e ====-⎰⎰⎰⎰⎰.7. 证明211()()d ()()d 1b x bn n a a adx x y f y y b y f y y n ---=--⎰⎰⎰，其中n 为大于1的正整数. 证：22()()d ()()b x b bn n aaaydx x y f y y dy x y f y dx ---=-⎰⎰⎰⎰11()()1bn b yax y f y dy n -=--⎰11()()d 1bn ab y f y y n -=--⎰。
高等数学教材二重积分答案在进行高等数学学习的过程中，二重积分是一个非常重要的概念。
掌握了二重积分的求解方法以及相应的答案，对于我们理解和应用高等数学知识有着至关重要的作用。
本文将回答一些关于二重积分的题目，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 求解二重积分∬(x^2+y^2)dxdy，其中积分区域为x^2+y^2≤1。
首先要确定积分区域，由于条件限制为x^2+y^2≤1，因此积分区域为单位圆。
接下来我们可以将此二重积分转换成极坐标下的积分形式。
当x和y用极坐标表示时，x=rcosθ，y=rsinθ，其中r为极径，θ为极角，那么根据雅可比行列式的性质，dx dy=r dr dθ。
现在我们将原来的二重积分改写成极坐标下的形式：∬(r^2) r dr dθ。
由于积分区域为单位圆，所以对于极径r，积分范围为0到1；对于极角θ，积分范围为0到2π。
将上述积分范围代入原式，得到二重积分的答案为：∫[0,2π]∫[0,1](r^3) dr dθ。
2. 求解二重积分∬(2xy-3x^2)dydx，其中积分区域为0≤x≤1，0≤y≤2。
根据题目给定的积分区域，可以直接进行二重积分的计算。
首先计算内层的y方向的积分，即对2xy-3x^2关于y进行积分，得到xy^2-3x^2y。
然后再对x进行积分，积分范围是0到1。
将上一步得到的结果乘以x的积分范围并进行积分，即∫[0,1] (xy^2-3x^2y)dx。
计算这一步的结果，得到(1/4)y^2-(3/4)y。
最后，将y的积分范围0到2代入上一步得到的结果进行积分，即∫[0,2] [(1/4)y^2-(3/4)y]dy。
将这一步的计算结果代入，得到最终的答案为(-11/2)。
通过以上两个例子的解答，我们可以看到在求解二重积分时，首先需要确定积分区域，然后根据积分区域的不同，选择合适的计算方法。
在一些情况下，我们可以将二重积分转换成极坐标下的形式，从而简化计算过程。
南京邮电大学第二学期期末考试高等数学（下）复习重点一、期中考试前内容(20%左右)第6xx多元函数微分学及其应用1、会求空间曲面的切平面。
(曲面的法向量）2、会计算可微函数在一点沿某个方向的方向导数3、会用拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值、最值。
第9xx无穷级数1、掌握正项级数敛散性的比值、根值、比较判别法2、掌握任意项级数的绝对收敛、条件收敛的判别方法，掌握交错级数的莱布尼兹判别法。
3、掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法，理解Abel定理。
第10xx微分方程1、掌握二阶常系数线性齐次，非齐次方程的求解。
二、期中考试后内容(80%左右)第7xx积分(25%左右)1、会把二重积分化成直角坐标，极坐标下的二次积分,会交换积分次序,会适当选取坐标系来计算二重积分.2、会适当选取直角坐标（投影法、截面法）、柱面坐标、球面坐标来计算三重积分。
3、会利用二重积分、三重积分计算空间曲面的面积与空间立体的体积。
(注意对称性的应用)第8xx曲线积分与曲面积分(30%左右)1.两类曲线积分的直接计算。
2.掌握xx公式及其应用。
3、两类曲面积分的直接计算。
4、会用高斯公式和投影转换法计算曲面积分。
5、散度、旋度的计算。
（注意第一类曲线与曲面积分的对称性的应用)第11-13xx复变函数（25%左右）1、掌握复数的各种表示法及其基本运算：(1).四则运算、乘方、开方(2).几个初等函数的定义及其运算2、掌握复变函数利用C-R方程判别可导及解析性的方法.3、掌握复变函数沿闭曲线的积分4.洛朗级数5、会求孤立奇点及类型，并会求函数在孤立奇点的留数。
参考答案与提示第7章 重积分7.1 重积分的概念与性质1、214I I =2、⎰⎰⎰⎰+<+DDdxdy y x dxdy y x 2)][ln()ln()1((2)⎰⎰⎰Ω++dv z y x 2222)(≤⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(2223、(1) 364≤≤I (2) ππ10036≤≤I(3)33323323ππ≤≤-I 7.2 二重积分的计算法7.2.1 利用直角坐标计算二重积分1、(1) ⎰⎰x xdy y x f dx 240),(或⎰⎰y y dx y x f dy 4402),((2) ⎰⎰--x x dy y x f dx 1110),( 或 ⎰⎰⎰⎰-+-+y y dx y x f dy dx y x f dy 101101),(),((3)⎰⎰e e ydx y x f dy ),(10(4)⎰⎰+--)1(21)1(2111),(y y dx y x f dy2、(1) 2- (2) 49 (3) 213、274、347.2.2 利用极坐标计算二重积分1、(1)⎰⎰θπρρθρθρθsin 202)sin ,cos (R d f d(2)⎰⎰θθθπρρθρθρθcos 1cos sin 402)sin ,cos (d f d (3)⎰⎰R d d 0320ρρθπ(4)⎰⎰θπρρθcos 10240d d (5)⎰⎰RR d f d 0arctan 0)(tan ρρθθ2、(1) 62π (2) 3R π (3) )12ln 2(4-π3、)43(916-π7.3 三重积分的计算法7.3.1 直角坐标系下三重积分的计算法1、(1) ⎰⎰⎰-xy x dz z y x f dy dx 01010),,((2) ⎰⎰⎰++----1004422),,(22y x x xdz z y x f dy dx(3) ⎰⎰⎰-+----222221341412121),,(x y x x x dz z y x f dy dx2、(1)25(2) 0 (3) π72 7.3.2 柱面坐标系下三重积分的计算法1、(1)⎰⎰⎰RR dz z f d d ρπθρθρρρθ),sin ,cos (020(2)⎰⎰⎰-22433020),sin ,cos (ρρπθρθρρρθdz z f d d(3)⎰⎰⎰112),sin ,cos (dz z f d d θρθρρρθπ2、(1) π8 (2)127π (3) π336 3、π3327.3.3 球面坐标系下三重积分的计算法1、(1)⎰⎰⎰ϕππϕθθϕϕϕθcos 02020,sin sin ,cos sin (sin r r f d ddr r r 2)cos ϕ(2)⎰⎰⎰ϕππϕθθϕϕϕθcos 404020,sin sin ,cos sin (sin r r f d ddr r r 2)cos ϕ(3)⎰⎰⎰12020,sin sin ,cos sin (sin ϕθθϕϕϕθππr r f d ddr r r 2)cos ϕ2、(1) 8π (2) 554R π (3) π153968 (4)10π 7.4 重积分的应用1、22222221a c c b b a ++ 2、π2 3、)34,0(πb4、)45,0,0(R 5、7966、H R μπ4237.5 总 习 题1、(1) π32(2) 0 (3) 0(4)⎰⎰⎰⎰-------+y yy y dx y x f dy dx y x f dy 11101101),(),(222、(1) A (2) B (3) C3、(1) 2301ab (2) 21-e (3) e e 2183-(4) π80 (5) 482ππ- (6) 2494R R ππ+ (7))34(313-πR (8) ))0()((f a f -π 4、提示：⎰=x dt t f x F 0)()( 6、(1) π1531(2) 1652ln -(3) π3256 (4) 548059R π 7、)](3[223t hf h t +π8、)(422t f t π 9、R 32 10、提示：⎰=x dt t f x F 0)()(12、提示：交换积分次序 13、π2316a14、(1) )157,0,0(2a (2) 645112a μ第8章 曲线积分与曲面积分8.1 曲线积分8.1.1 对弧长的曲线积分1、(1)2 (2) π2、(1)2212155+- (2) 2)42(-+a e a π(3) π 3、)0,54(a 4、)382(222222ππk a k a a ++8.1.2 对坐标的曲线积分1、(1) 1556- (2) 13 (3) π2- (4) 32a π- (5) 14 3、⎰Γ-+-ds y x Q x y x P x x )],()1(),(2[28.2 格林公式及其应用1、(1) π18- (2) 4 (3) -2π (4) 42π (5) π2a2、(1) 5 (2) 3cos 42cos 9+3、C y x xy y x +-+-4532344、π283a8.3 曲面积分 8.3.1 对面积的曲面积分1、(1) 434R π (2) 2932(3) )(22h a a -π (4) R H arctan 2π 2、3221R π 3、πμ434a 8.3.2 对坐标的曲面积分 1、(1) π32- (2) 71052R π (3) π23 2、⎰⎰∑++dS R Q P )5325253( *3、218.4 高斯公式 通量与散度1、(1) 3V (2) 2212z xze y x +++ (3) yz x 62- 2、(1)π556a (2) 44h π- (3) 4π 3、108π8.5 斯托克斯公式 环流量与旋度1、(1) ，，)sin(cos )cos()sin(cos (2z y xz xy z x -- (2) (0,0,0) 2、(1) 23R π- (2) 9π (3) )(b a a +-π 3、2π8.6 总 习 题1、(1) a 12 (2) π6- (3))(342224γβαπ++R (4) 0 2、(1) D (2) A (3) D (4) C3、(1) 0 (2) 22a (3) ]22)2[(31230-+t (4) 18π(5) 34 (6) 234ab (7) 351 (8) π162 (9) 0 (10) 当R <1时0 当R >1时π (11) 322)22(a b a ππ-+ (12) π4- 4、21 5、122-+y x6、(1) )(422222c b a R R +++π (2) 415264a (3) 52029a π (4) 34π (5) 2π (6)不包围原点0，包围原点时4π7、 -24 8、π23a - 9、3,3,3c b a ===ςηξ 10、58±=y 11、0 12、(1) 8xy +2y , }3,21,4{22x z yz xz --- (2) 0, }2,2,2{222z xz y yz x xy ---第9章 无穷级数9.1 常数项级数的概念与性质1、(1) 收敛 , 2 (2) 发散2、(1) 发散 (2) 收敛3、(1) 收敛 (2) 发散 (3) 收敛 (4) 发散9.2 常数项级数的审敛法1、(1) 发散 (2) 收敛 (3) 收敛 (4) 收敛(5) 收敛 (6) 当0< a ≤1时发散 当a > 1时收敛 2、(1) 收敛 (2) 收敛 (3) 收敛3、(1) 收敛 (2) 发散 (3) 当b < a 时收敛 当b > a 时发散4、(1) 条件收敛 (2) 绝对收敛 (3) 绝对收敛 (4) 当0< p ≤1时条件收敛 当p > 1时绝对收敛 (5) 条件收敛9.3 幂级数1、(1) R = 1 (-1,1) (2) ),(+∞-∞ (3) 绝对收敛2、(1) ]21,21[- (2) )21,21(-(3) )21,23[-- 3、(1) )1,1(,)1(222-∈-x x x (2) )1,1(,11ln 41arctan 21-∈--++x x x x x9.4 将函数展开成幂级数1、(1) ∑+∞=-+=122)!2(2)2()1(1cos n nnn x x +∞<<∞-x (2) ∑+∞=--+=++2)1()1()1ln()1(n nnnn xx x x 11≤<-x2、n n n n n x x x )3(])92(21[51)1(3210112---=-+∑+∞=++ 51<<x3、∑+∞=---=+1112)1()1(1n n n nx x 11<<-x4、∑+∞=---=-+11212)1()21ln(n nn n x n x x 2121≤<-x5、∑∞+=++-++-=0212])!2()3(3)!12()3([)1(21sin n nn n n x n x x ππ+∞<<∞-x9.5 傅里叶级数1、⎰-πππdx x f )(1⎰-πππnxdx x f cos )(1⎰-πππnxdx x f sin )(1（ ,2,1=n ）2、∑+∞=---+-=12cos )]()1(1[{)(4)(n n nx n b a a b x f ππ π)12(},sin )()1(1+≠+--+k x nx nb a n3、nx n x n n sin 2)1(11∑∞=--=，),(ππ-∈x 4、正弦级数：h x x nx n nhx f n ≠≤<-=∑+∞=且ππ0,sin cos 1 2)(1余弦级数：h x x nx nnhhx f n ≠≤≤+=∑+∞=且πππ0,cos sin2)(19.6 一般周期函数的傅里叶级数1、]1,1[)12cos()12(1425)(122-∈---=∑∞=x x n n x f n ππ2、 正弦级数：)2,0[,2sin )1(411∈-=∑∞=+x xn n x n n ππ余弦级数：]2,0[,2cos ]1)1[(41122∈---=∑+∞=x xn n x n n ππ9.7 总 习 题1、(1) 8 (2) 2 (3) )1ln(x -- )11(<≤-x(4) 2e (5) π43- , π9232-2、(1) B (2) B (3) A (4 )C (5) B3、(1) 发散 (2) 收敛 (3) 当0< a <1时收敛，当a >1时发散，当a =1时，s > 1收敛，0< s ≤1发散4、(1) 绝对收敛 (2) 发散5、(1) )1ln(12222x x x +++ )1,1(-∈x (2) 3)1(2x x - )1,1(-∈x6、(1)2ln 4385- (2) )1sin 1(cos 21+7、(1) 53,)1()1(41)1(4ln )3ln(011≤<--+-+=+∑+∞=++x x n x n n n n(2) 31,)1)(2121()1(34103222<<----=++∑+∞=++x x x x n n n n n8、(1) sin 2)1(11∑+∞=+-=n n nx nx ),0(π∈x (2) ∑+∞=+-+=2)2sin 12cos 1(2n nx nnx n x ππ),0(π∈x 9、∑+∞=---=12)12cos()12(142n x n n x ππ ],0[π∈x ， 82π 10、提示：在x 0 = 0处展开成一阶泰勒级数第10章 常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.2 一阶微分方程10.2.1 一阶微分方程(一)1、（1）33x Cey -= （2）222)1)(1(Cx y x =++（3）C x x y =++)1(22、(1) Cx xe y = (2) 333yx Ce y =10.2.2 一阶微分方程（二）1、(1) )(C x e y x +=- (2) )1(12+=yCe y x 2、(1) 21x x y -+= (2) 1sin 2sin -+=-x e y x 3、(1) 53525Cx x y +=- (2) C x x y 422)1()1(31-+-+=10.2.3 一阶微分方程（三）1、(1)C y xy x =-+2331 (2) C y x x y =+sin cos(3) C y y x =+22ln (4)C yxy x =+++arctan122 2、(1) 21)(C e x C y x+-=- (2) 21)cos(ln C C x y ++-= 3、(1) xy 11+= (2) 1)1(+-=x e y x 10.3 高阶线性微分方程10.3.1 高阶线性微分方程（一）1、2)(21x e x C C y += 2、1)1()1(221+-+-=x C x C y 3、(1) x x e C e C y 3231-+= (2) x e C C y 421+= (3) )(2221xxx e C e C e y -+=(4) )23sin 23cos(2121x C x C ey x +=- (5) x e x C C y λλ-+==)(,1212时当xxe C e C y )1(2)1(1222,1----+-+=>λλλλλ时当)1sin 1cos (,122212x C x C e y x λλλλ-+-=<-时当(6) x C x C C y sin cos 321++=(7) x x e x C C e x C C y 24321)()(-+++=10.3.2 高阶线性微分方程（二）1、(1) =*y x e dx x b ax Ce x sin )(cos )(++++ (2) =*y ]2sin )(2cos )[(4x d cx x b ax xe x +++ (3) =*y )2sin 2cos ()(2x d x c e b ax e x x x +++ (4)=*y )3sin 3cos ()(323x e x d e c bx ax xe x x ++++(5)=*y x d cx x b ax sin )(cos )(+++2、(1) )1(41)(221x e x C C y x +++= (2) )cos (sin 2121x x e C C y x +-+=- (3) x x e e x C C y 2221161)(-++=3、(1) x x y cos 813cos 241+= (2) )sin (x x e y x -=-4、(1) x x C x C y 212231++=(2))sin(ln 21)]ln 3sin()ln 3cos([21x x x C x C x y ++=10.4 总 习 题1、(1)e e y x +++=11ln 21 (2))sin(x yCe x = (3)2321y Cy x +=(4) xCx x x y +-=-ln 23 (5) C x y x +=arctan(6) C xy y x +=2(7) 212111ln 1C x C C C x y ++-=(8) 1)1(=-y x2、(1) 43161)(2221+++=-x x e e x C C y(2) x x C x C e y x 2cos 263)23sin 23cos (2121++=- 212sin 131+-x(3) (4) x xe y x sin 2=3、1ln )(+=x x f4、x e x f 2)(-=5、)(2x C x y -=6、]1,0[,156)(2∈++-==x x x x f y7、x x xe x x eC e C x 22221)21()(-++=ϕ 8、x xx x f cos 2sin 21)(+=9、 0)(2)(2='+''r f r r f r ，rr f 12)(-= 第11章 复变函数与解析函数11.1 复数及其运算1、(1)133 ， 132- ， i 132133+ ， 1313， 32arctan -(2) 3cos πn ， 3s i n πn ， 3sin 3cos ππn i n - ，1 ，3πn(3) i 1327-- (4))6sin()6cos(ππ-+-i ，i e 6π- (5) i 8- 2、(1) B (2) A (3) C (4 ) D3、)]43sin()43[cos(2ππ-+-i4、)12sin 12(cos 2261260πππi e w i -==- )127sin127(cos22612761πππi ew i +==)45sin 45(cos 2264562πππi ew i +==5、i 31+ 2- i 31-11.2 复数函数1、π<<w arg 02、4122=+v u3、21- 4、除i z ±=外处处连续11.3 解析函数1、(1) 1-n nz (2) 21z-(3) i z 232+ (4) i i ，，0- . 2、(1) D (2) B (3) A (4 ) C3、(1) 仅在21=y 上可导处处不解析 (2) 仅在x y 32±=上可导处处不解析4、3,1,3-==-=n m li z xy x i y x y z f 32323)3()3()(=-+-= i z z f 23)(='11.4 初等函数1、(1) )24(2ln ππk i ++ ⋅⋅⋅±=,1,0k ， 42ln πi+(2) )]2ln 4sin()2ln 4[cos(224-+-+ππππi e k)]2ln 4sin()2ln 4[cos(24-+-πππi e(3) )1(2241i e + (4）2sh 1cos 2ch 2sin i + 2、i k z )22(ππ+= ⋅⋅⋅±±=,2,1,0k11.5 总 习 题1、(1) 23-，23 ， i 2323-- ，223 ， 43π(2) )]65sin()65[cos(4ππ-+-i ， i e π654-(3) 3)12(2arctan 615π-+k ie ⋅⋅⋅=,1,0k (4) 8i -(5) 22y xx e + ， 22yx y+-(6) 0,0,1>>=y x xy (7))22(3ln ππ-+k i ⋅⋅⋅±=,1,0k (8))22(ππ+-k e⋅⋅⋅±=,1,0k2、1=x ，11=y3、k n 4= ⋅⋅⋅±=,1,0k4、i 322-5、i z )22(20-+= i z )22(21++-=6、e ， 3π-7、2 9、仅在0=+x y 上可导处处不解析10、1-=a 1=b 11、处处解析 )1()(z e z f z+='第12章 复变函数的积分12.1 复数函数积分的概念1、(1) i 3266+ (2) i 3266+ (3) i 3266+2、(1)i 6561+- (2)i 6561+-3、)1(32i +12.2 基本积分定理1、02、03、04、05、2sin 21π-6、 22)1(tan 21)(tan 211tan tan -+-i i 12.3 基本积分公式1、(1) i π2 (2)17164i ππ+ （3）aiπ （4）1-e π （5）0 （6）ei π （7）i i cos π- （8）12iπ2、(1) 0 (2) 当1>α时等于0 当1<α时等于i ie απ-12.4 解析函数与调和函数的关系1、C x y xy v ++-=222)2()2()(2222C x y xy i xy y x z f ++-+--=C z i ++=2)1(2、 21)(2222++++-=i y x y y x x z f z 121-= 3、C e z f p z +==)(1时 C e z f p z +=-=-)(1时12.5 总 习 题1、(1) i π2 (2) 0 (3) )21(ae a + (4) 0(5)i π2 (6) 1sin 2i π- (7)2112---ieie ππ (8)!52iπ-2、当α和-α都在C 的外部时为0，当α和-α都在C 的内部时为i π2，当α和-α一个在C 的外部一个在C 的内部时为i π3、2=k C x y xy v ++-=22422222)2()4()222()(z i x y xy i xy y x z f +=+-+--=4、2)211()222(2)(22222+-=-++++-=z i x y xy i xy y x z f第13章 复变函数的级数与留数定理13.1 复变函数项级数1、(1) C (2) D (3) A (4 ) D (5 ) B2、(1)1=R (2)22=R (3)1=R 13.2 泰勒级数1、(1) A (2) D2、(1)∑+∞=-03)1(n nnz1<z (2) ∑+∞=++-011n n n z 1<z3、(1) ∑+∞=++-01)1)(31n nn z 31<+z (2)∑+∞=++---0112)2)(3121()1(n nn n n z 32<-z 13.3 洛朗级数1、(1) B (2) B (3) B2、(1) ∑+∞-=+1)2(n nzn 10<<z(2) ∑+∞-=--2)1()1(n n nz 110<-<z(3)⋅⋅⋅++-+4321111z z z z +∞<<||1z (4) )842(21432⋅⋅⋅-+-zz z +∞<<||2z13.4 留数与留数定理1、(1) A (2) C (3) B (4 ) C (5 ) B (6) A (7) B (8) A (9) D (10) C2、(1) z = 0为一级极点 z = ±i 为二级极点 (2) z = 0为可去奇点(3) z = 0为三级极点 )2,1(,2⋅⋅⋅±±==k i k z k π为一级极点 3、(1) 21]0),([s Re -=z f 23]2),([s Re =z f (2) i i z f 83]),([s Re -= i i z f 83]),([s Re =-(3) ⋅⋅⋅±=+-=++1,0),2()1(]2),([s Re 1k k k z f k ππππ4、(1) i e 24π (2) i π213.5 总 习 题1、(1)1=R 1<-i z (2) m n -， 极 (3) 2 1 (4)121<<R (5) 4 2、(1)C (2) B (3) D (4) C (5 ) B (6 ) B3、∑+∞=++--01)()1()1(n nn n i z i 2<+i z 4、∑+∞=+--=--012)1(341321n n nn z z z +∞<<||3z 5、)2,1(,2,0⋅⋅⋅±±===k k z z k π为可去奇点)2,1,0(,)12(⋅⋅⋅±±=+=k k z k π为一级极点6、(1) i π4- (2) i 2π-高等数学(下)期中模拟试卷(一)一、1. D 2. C 3. C 4. D 5. C二、1. 212.⎰⎰⎰+33020)(ρπρρρθdz z f d d3. 6π4. {1,1,1}5. p > 0三、1. 当0 ≤ λ ≤ e 时绝对收敛，当λ > e 时发散 2. 条件收敛四、)12(32- 五、8π 六、2)133(32a -π 七、8八、428R π-九、 -4π 十、提示：⎰=-b a ydy a b 222 高等数学(下)期中模拟试卷(二)一、1. B 2. C 3. B 4. C 5. D 二、1. 2 2. 29-xy 3. -1 4. }2,2,2{222z xz y yz x xy --- 5. 7三、1. 绝对收敛 2. 条件收敛 四、π)212(ln - 五、π2六、74π七、611- 八、)32,0,0(R 九. -π十、提示：γβαθcos cos cos cos z y x n r r ++=⋅=→→高等数学(下)期末模拟试卷(一)一、1. A 2. B 3. B 4. C 5. B二、1. 4πR 32. -18π3. 83π4. 43π，21-+e e5. 2e 2三、2πi cos1 四、在直线21=x 上可导但处处不解析 五、∑+∞=+022n n n z+∞<<z 2 六、π5512a七、（1） R = 1 (-1,1) （2）)1,1(11ln 21-∈-+x xx八、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<≤-∑+∞=-ππx x nx n n n ,00,sin )1(211九、1. Cx x y +=2 2. 133++=x x y十、x x x e x f x 231)(23+-+=-高等数学(下)期末模拟试卷(二)一、1. A 2. D 3. A 4. D 5. C二、1. π 2. -3 3. )(C e x y x += 4. 052=+'+''y y y 5. -8i 2π-三、1.i π2 2. 0 四、仅在(0,0)点可导但处处不解析五、∑+∞=+--02)1(2)1(n n n nz +∞<-<12z 六、3π- 七、 [-1,1) )1,1[)1ln(-∈--x x ln2八、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<<<≤+∑+∞=h x x h h x nx nh n h n ,21,0,cos sin 21πππ九、x y arcsin = 十、x x x e x x e e x y ----+-=)63(78)(2。
