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高等数学第十章重积分1. 引言在高等数学中，积分是一个重要的概念。
在之前的学习中，我们学习了定积分和不定积分的概念和性质。
在本章中，我们将进一步学习一种扩展的积分形式，即重积分。
2. 重积分的引入和定义重积分是一种将函数在二维或更高维空间内的区域上进行积分的方法。
它的引入主要是为了解决在二维平面上对非矩形区域进行积分的问题。
在计算重积分之前，我们首先需要定义积分区域。
对于二维平面上的区域，我们可以使用极坐标或直角坐标来描述。
对于更高维的区域，我们则需要使用其他的坐标系。
一般来说，重积分可以分为两类：累次积分和二重积分。
累次积分是指先对一个变量进行积分，然后再对另一个变量进行积分。
而二重积分则是指在一个积分符号下同时对两个变量进行积分。
对于二重积分，我们可以使用迭代积分和换元积分的方法来计算。
迭代积分是将一个二重积分转化为两个累次积分的过程，而换元积分是利用变量替换的方法来简化计算。
3. 重积分的性质重积分具有一些和定积分相似的性质。
例如，重积分具有线性性质和保号性质。
线性性质指的是对于两个函数的重积分，其和函数的重积分等于两个函数分别取重积分后再相加。
保号性质指的是如果函数在积分区域上恒大于等于0，则函数的重积分也大于等于0。
此外，重积分还具有可加性和可积性。
可加性指的是如果一个积分区域可以被分割为多个不相交的子区域，则重积分可以拆分成多个子区域的重积分之和。
可积性指的是如果一个函数在有界闭区域上连续或只有有限个间断点，那么该函数的重积分存在。
4. 重积分的应用重积分在物理学、经济学和几何学等领域中有着广泛的应用。
在物理学中，我们可以使用重积分来计算物体的质心、面积、体积等性质。
在经济学中，我们可以使用重积分来计算市场需求曲线和供给曲线之间的面积，从而得到市场的总需求量和总供给量。
在几何学中，重积分可以用来计算平面和空间中的曲线长度、曲面面积和体积。
例如，我们可以使用重积分来计算球体的体积和球冠的体积。
重积分【教学目标与要求】1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。
2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。
3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。
4.会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。
【教学重点】1.二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2.三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。
3.二、三重积分的几何应用及物理应用。
【教学难点】1.利用极坐标计算二重积分；2.利用球坐标计算三重积分；3.物理应用中的引力问题。
【教学课时分配】 (10学时)第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3第4 次课§4 第5次课习题课【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社§10. 1 二重积分的概念与性质【回顾】定积分设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0 及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.(1)分割：用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把区间[a , b ]分成n个小区间 [x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ], 记∆x i =x i -x i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ). (2)代替：任取ξ i[x i -1, x i ] 以[x i -1, x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n )（3）作和：曲边梯形面积A 的近似值为 ∑=∆≈ni iix f A 1)(ξ.(4)取极限：记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为 ∑=→∆=ni iix f A 1)(lim ξλ.则§10. 1 二重积分的概念与性质一、引例1曲顶柱体的体积V设有一立体, 它的底面是xOy 面上的闭区域D , 其侧面为母线平行于z 轴的柱面, 其顶是曲面z =f (x , y )非负连续. 称为曲顶柱体.若立体的顶是平行于xoy 面的平面。
第十章 重积分§10. 1 二重积分的概念与性质教学目的：理解二重积分，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。
教学重点：二重积分的定义。
教学难点：二重积分的定义的理解。
教学内容：一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积设有一立体, 它的底是xoy 面上的闭区域D 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面(,)z f x y =, 这里(,)0f x y ≥且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积.首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域 12,,,.n δδδ∆∆∆分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个i δ∆中任取一点(,)i i ξη, 以(,)i i f ξη为高而底为i δ∆的平顶柱体的体积为 (,)i i i f ξηδ∆ (1,2,,)i n =.这个平顶柱体体积之和 1(,)ni i i i V f ξησ=≈∆∑可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 01lim (,)ni i i i V f λξησ→==∆∑.其中λ是个小区域的直径中的最大值. 2. 平面薄片的质量.设有一平面薄片占有xoy 面上的闭区域D , 它在点(,)x y 处的面密度为(,)x y ρ, 这里(,)0x y ρ>且在D 上连续. 现在要计算该薄片的质量M .用一组曲线网把D 分成n 个小区域 12,,,.n δδδ∆∆∆把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量: (,)i i i ρξηδ∆各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值: 1(,)ni i i i M ρξησ=≈∆∑将分割加细, 取极限, 得到平面薄片的质量01lim (,)n i i i i M λρξησ→==∆∑，其中λ是个小区域的直径中的最大值.3.二重积分定义定义：设(,)f x y 是平面有界闭区域D 上有界函数，将闭域D 任意分成n 个小闭区域 12,,,n σσσ∆∆∆其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积．在每一个i σ∆上任取一点(,)i i ξη，作乘积(,)(1,2,,)i i i f i n ξησ⋅∆=，并作和1(,)ni i i i f ξησ=⋅∆∑，如果当各小区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在（与i σ∆分法及(,)i i ξη的取法均无关），则称此极限值为函数(,)f x y 在闭区域D 上的二重积分，记作(,)Df x y d σ⎰⎰，即01(,)lim (,)niiii Df x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰其中(,)f x y 叫被积函数, (,)f x y d δ叫被积表达式, d δ叫面积元素 ,D 积分区域。
第九章(二) 重积分的应用重积分的应用十分广泛。
尤其是在几何和物理两方面。
几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。
物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。
在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。
通过这一章节的学习，我们认为应到达如下要求：1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。
2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。
3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。
一、知识网络图⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用 二、典型错误分析例1． 求如下平面区域D 的面积，其中D 由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成。
如图： y[错解]89)2(2212221=-===⎰⎰⎰⎰⎰dy y dx dy d S y Dσ[分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。
问题在于区域D ，假设先按x 积分，再按y 积分，则应注意到区域D 因此划分为两个部分，在这两个部分，x 、y 的积分限并不相同，因此此题假设先积x, 后积y ，则应分两部分分别积分，再相加。
[正确解] 2ln 2322112121-=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰yyDdx dy dx dy d S σ 例 2..设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线θγ2=上一段弧)20(πθ≤≤与直线2πθ=所围成，它的面密度为22),(y x y x +=ρ，求该薄片的质量。
[错解] 24023420320220πθθθσρπθπ====⎰⎰⎰⎰⎰d r dr r d d MD[分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。
注意到积分区域的边界有圆弧，而被积函数为22),(y x y x +=ρ，因此积分的计算采用极坐标系算，这一点也是正确的。
高等数学教案第十章重积分§10-1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念（一）引例1. 曲顶柱体的体积设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y=。
当(,)x y D∈时,(,)f x y在D上连续且(,)0f x y≥,以后称这种立体为曲顶柱体。
曲顶柱体的体积V可以这样来计算:(1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1σ∆，2σ∆，，nσ∆，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n个小曲顶柱体1∆Ω，2∆Ω，，n∆Ω。
（假设iσ∆所对应的小曲顶柱体为i∆Ω,这里iσ∆既代表第i个小区域,又表示它的面积值, i∆Ω既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。
)图10-1-1从而1niiV==∆Ω∑ (将Ω化整为零)(2) 由于(,)f x y连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。
因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是∆Ω∆∆i i i i i i if≈∀∈()()()ξησξησ(以不变之高代替变高, 求i∆Ω的近似值)(3) 整个曲顶柱体的体积近似值为V fi i iin≈=∑()ξησ∆1(4) 为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。
为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。
所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。
设n个小区域直径中的最大者为λ, 则V fni i ii=→=∑lim(),λξησ01∆2.平面薄片的质量设有一平面薄片占有xoy面上的区域D, 它在(),x y处的面密度为(),x yρ,这里(),0x yρ≥,而且(),x yρ在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。
图10-1-2将D分成n个小区域1σ∆，2σ∆，，nσ∆，用iλ记iσ∆的直径,iσ∆既代表第i个小区域又代表它的面积。
当{}1maxii nλλ≤≤=很小时, 由于(),x yρ连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第i小块区域的近似质量可取为ρξησξησ(,)(,)i i i i i i∆∆∀∈于是∑=∆≈niiiiM1),(σηξρMi i iin=→=∑lim(,)λρξησ01∆两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。
因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。
（二）二重积分的定义1．定义：设(),f x y 是闭区域D 上的有界函数, 将区域D 分成个小区域∆∆∆σσσ12,,, n ,其中,i σ∆既表示第i 个小区域, 也表示它的面积, i λ表示它的直径。
λλ=≤≤max{}1i ni∀∈(,)ξησi i i ∆ 作乘积 (,)(1,2,)i i i f i n ξησ∆=作和式1(,)niiii f ξησ=∆∑若极限 ()01lim,niiii f λξησ→=∆∑ 存在,则称此极限值为函数(),f x y 在区域D 上的二重积分,记作(),Df x y d σ⎰⎰。
即(),Df x y d σ=⎰⎰()01lim ,ni i ii f λξησ→=∆∑其中: (),f x y 称之为被积函数,(),f x y d σ称之为被积表达式,d σ称之为面积元素,,x y 称之为积分变量,D 称之为积分区域,()1,ni i i i f ξησ=∆∑称之为积分和式。
2． 几个事实(1) 二重积分的存在定理若(),f x y 在闭区域D 上连续, 则(),f x y 在D 上的二重积分存在。
声明: 在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。
(2)(),Df x y d σ⎰⎰中的面积元素d σ象征着积分和式中的iσ∆。
图10-1-3由于二重积分的定义中对区域D 的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D ,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将d σ记作dxdy (并称dxdy 为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为(),Df x y dxdy ⎰⎰。
(3) 若(),0f x y ≥,二重积分表示以(),f x y 为曲顶,以D 为底的曲顶柱体的体积。
二、二重积分的性质二重积分与定积分有相类似的性质 1. 线性性[(,)(,)](,)(,)]αβσασβσ⋅+⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y g x y d f x y d g x y d DDD其中: ,αβ是常数。
2. 对区域的可加性若区域D 分为两个部分区域12,D D ,则f x y d f x y d f x y d DD D (,)(,)(,)σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰213. 若在D 上,(),1f x y ≡, σ为区域D 的面积,则σσσ==⎰⎰⎰⎰1d d DD几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
4. 若在D 上,()(),,f x y x y ϕ≤,则有不等式⎰⎰⎰⎰≤DDd y x d y x f σϕσ),(),(特别地,由于()()(),,,f x y f x y f x y -≤≤，有σσd y x f d y x f DD⎰⎰⎰⎰≤),(),(5. 估值不等式设M 与m 分别是(),f x y 在闭区域D 上最大值和最小值,σ是M 的面积,则⎰⎰⋅≤≤⋅DM d y x f m σσσ),(6. 二重积分的中值定理设函数(),f x y 在闭区域D 上连续, σ是D 的面积,则在D 上至少存在一点(),ξη,使得⎰⎰⋅=Df d y x f σηξσ),(),(7 、对称性（偶倍奇零）设函数(),f x y 在闭区域D 上连续, D 关于x 轴对称, D 位于 x 轴上方的部分为1D ,在D 上(1)(,)(,),f x y f x y -=则(,)d Df x y σ⎰⎰12(,)d D f x y σ=⎰⎰(2)(,)(,),f x y f x y -=-则(,)d 0Df x y σ=⎰⎰当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍有类似结果. 例1比较下列各对二重积分的大小 （1）2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中22:(2)(1)2D x y -+-≤。
（2）ln()Dx y d σ+⎰⎰与2[ln()]Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是三角形区域，三顶点分别为(1,0),(1,1),(2,0)。
例2 判断积分2222341d d x y x y x y +≤--⎰⎰的正负号.[负]例3 估计下列积分之值22d d I :10100cos cos Dx yD x y x y=+≤++⎰⎰[1.96 I 2]三、二重积分的几何意义1．若(,)0f x y >，(,)Df x y d σ⎰⎰ 表示曲顶柱体的体积2．若(,)0f x y <，(,)Df x y d σ⎰⎰ 表示曲顶柱体的体积的负值3．(,)Df x y d σ⎰⎰ 表示曲顶柱体的体积的代数和例4. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.[3163R ]小结： 二重积分的定义（和式的极限）；二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）；二重积分的性质。
作业：习题 10-1（P136）基础题：4(1) ;5(1)高等数学教案§10-2 二重积分的计算法利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。
一、 利用直角坐标计算二重积分１、x -型区域，y -型区域我们用几何观点来讨论二重积分(),Df x y d σ⎰⎰的计算问题。
讨论中,我们假定(),0f x y ≥； 假定积分区域D 可用不等式 a x b x y x ≤≤≤≤ϕϕ12()()表示,其中()()12,x xϕϕ在[],a b上连续。
图10-2-1 图10-2-2据二重积分的几何意义可知, (),Df x y dσ⎰⎰的值等于以D为底,以曲面(),z f x y=为顶的曲顶柱体的体积。
图10-2-3在区间[],a b上任意取定一个点0x,作平行于yoz面的平面0x x=,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间()()1020,x xϕϕ⎡⎤⎣⎦为底,曲线(),z f x y=为曲边的曲边梯形,其面积为()()()()201000,xxA x f x y dyϕϕ=⎰一般地,过区间[],a b上任一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为()()()()21,xxA x f x y dyϕϕ=⎰利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为V A xadx f x y dy dxbxxab==⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎰⎰⎰()(,)()()ϕϕ12从而有dxdyyxfdyxfbaxxD⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)(2)(1),(),(ϕϕσ(1)上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把x看作常数,),(yxf只看作y的函数,对),(yxf计算从)(1xϕ到)(2xϕ的定积分,然后把所得的结果( 它是x的函数 )再对x从a到b计算定积分。
这个先对y, 后对x的二次积分也常记作f x y d dx f x y dyD abxx(,)(,)()()σϕϕ⎰⎰⎰⎰=12在上述讨论中,假定了(),0f x y≥，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。
但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的),(yxf (在D上连续),公式(1)总是成立的。
类似地,如果积分区域D可以用下述不等式c yd y x y≤≤≤≤,()()φφ12表示,且函数φ1()y,φ2()y在[,]c d上连续, (),f x y在D上连续,则f x y d f x y dx dy dy f x y dxD yycdcdyy(,)(,)(,)()()()()σφφφφ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=1212(2)图10-2-4 图10-2-5显然,(2)式是先对x,后对y的二次积分。
2．二重积分化二次积分时应注意的问题（1）. 积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I 型(或II 型)区域, 用平行于y 轴(x 轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I 型(或II 型)区域的并集。
（2）. 积分限的确定二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。
这里,我们介绍配置二次积分限的方法 -- 几何法。
