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习题8-11. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)Dm x y d μσ=⎰⎰.2. 试比较下列二重积分的大小：(1) 2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成；(2)ln()Dx y d σ+⎰⎰与2ln()Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域.解：(1)在D 内，()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.(2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰习题8-21. 画出积分区域，并计算下列二重积分：(1) ()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤；(2) (32)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域；(3) 22()D xy x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域；(4) 2Dx y d σ⎰⎰,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0；(5) ln Dx y d σ⎰⎰,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；(6)22Dx d σy ⎰⎰其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 111111()()20.Dx y d dx x y dy xdx σ---+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ (2) 222200(32)(32)[3(2)(2)]x Dx y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰223202220[224]4.330x x dx x x x =-++=-++=⎰(3) 32222222002193()()()248yy Dy x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰43219113.96860y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.Dx yd σ=⎰⎰(5) 44201041ln ln (ln ln )2(1)2110e De e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-⎰⎰⎰⎰⎰.(6) 122224111311122222119()()124642x x Dx x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为二次积分（两种次序）其中积分区域D 分别如下：(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域；(3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1y x=所围成的闭区域；(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解：(1) 1221201(,)(,)(,).xx y ydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 2441004(,)(,).y x y dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(3) 12222111112(,)(,)(,).xyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 21111(,)(,).xdx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰3. 交换下列二次积分的积分次序：(1) 10(,)ydy f x y dx ⎰⎰； （2）2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(3) ln 10(,)e xdx f x y dy ⎰⎰； (4) 123301(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.解：(1) 111(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.(2) 222402(,)(,).y x ydy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰(3) ln 11(,)(,)y e xeedx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(4) 123323012(,)(,)(,)yyxxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.解：11100037(623)(62).22V dx x y dy x dx =--=--=⎰⎰⎰5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6－z 截得的立体体积.解：3111222000(1)34(6)[6(1)(1)).312x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=⎰⎰⎰习题8-31. 画出积分区域，把二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是：(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)； (2) x 2+y 2≤2x ；(3) 1≤x 2+y 2≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1. 解：(1) 20(,)(cos ,sin ).aDf x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 2cos 202(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθπσθθθ-=⎰⎰⎰⎰(3) 221(,)(cos ,sin ).D f x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(4)12cos sin 0(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθθσθθθ+=⎰⎰⎰⎰2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1)22220()aa y dy x y dx -+⎰⎰；(2)21220;xxdx x y dx +⎰⎰解：(1)224422320()248aa y aa a dy x y dx d r dr πππθ-+==⋅=⎰⎰⎰⎰. (2) 22sin 3122244cos 600001sin 3cos x x dx x y dx d r dr d πθπθθθθθ+==⎰⎰⎰⎰⎰244466400011cos 111(cos )[(cos )(cos )]33cos cos cos d d d πππθθθθθθθ-=-=--⎰⎰⎰ 532(21)1cos cos 4().3530πθθ--+=--+= 3. 在极坐标系下计算下列二重积分：(1)22x y De d σ+⎰⎰,其中D 是圆形闭区域: x 2+y 2≤1；(2) 22ln(1)Dxy d σ++⎰⎰,其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3)arctanDyd σx⎰⎰，其中D 是由圆周x 2+y 2=1,x 2+y 2=4及直线y =0,y =x 所围成的在第一象限内的闭区域；(4)222DR x y d σ--其中D 由圆周x 2+y 2=Rx (R >0)所围成.解：(1) 22222100112(1).20xy r r De d d e rdr e e πσθππ+==⋅=-⎰⎰⎰⎰(2)23112222221ln(1)ln(1)[ln(1)]221Dr r xy d d r rdr r dr rππσθ++=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 212(1)[ln 22](2ln 21)441r r r dr rππ+-=-=-+⎰. (3) 222244010133arctan arctan(tan ).32264Dy d d rdr d rdr x ππππσθθθθ=⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)222DR x y d σ--3cos 2222222022cos 12()230R R d R r rdr R r d ππθππθθθ--=-=--⎰⎰⎰3333221(sin )33R R R d πππθθ-=--=⎰.4. 求由曲面z =x 2+y 2与22z x y =+所围成的立体体积.解：两条曲线的交线为x 2+y 2=1，因此，所围成的立体体积为：21222220[()]().6DV x y x y d d r r rdr ππσθ=++=-=⎰⎰⎰⎰习题8-41. 计算反常二重积分()x y De dx dy -+⎰⎰，其中D ：x ≥0,y ≥x .2. 计算反常二重积分222()Ddx dyx y +⎰⎰，其中D ：x 2+y 2≥1. 解：1.22201()2a aaax yx x aaa xe dx edy eedx e e ---------=-=-+-⎰⎰⎰所以2()211lim ().22a x y a a a De edxdy e e --+--→+∞-=-+-=⎰⎰2. 由232011112()22R d dr r R πθπ=-⎰⎰，得222211lim 2().2()2R Ddxdy x y R ππ→+∞=-=+⎰⎰复习题8（A ）1. 将二重积分d d (,)Df x y x y ⎰⎰化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D 是：(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成. 解：(1) 12211221(,)(,).dx f x y dy dy f x y dx ----=⎰⎰⎰⎰(2) 2424004(,)(,).xyy xdx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰2. 交换下列两次积分的次序： (1)d d 10(,)yyy f x y x ⎰⎰;(2)d d 2220(,)a ax x x f x y y -⎰⎰;(3)d d +d d 12201(,)(,)xxx f x y y x f x y y -⎰⎰⎰⎰．解：(1) 211d (,)d d (,)d y x yxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰.(2) 222222200d (,)d d (,)d aax x aa a y a a y x f x y y y f x y x -+---=⎰⎰⎰⎰.(3)1221201d (,)d +d (,)d d (,)d xxy yx f x y y x f x y y y f x y x --=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3. 计算下列二重积分：(1) e d x y Dσ+⎰⎰， D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;(2) d d 2D xy x y ⎰⎰,D 由直线y =1,x =2及y =x 围成；(3) d d (1)Dx x y -⎰⎰,D 由y =x 和y =x３围成；(4) d d 22()Dx y x y +⎰⎰，D :︱x ︱+︱y ︱≤1; (5) d 1sin Dy σy ⎰⎰，D 由22y x π=与y =x 围成； (6)d (4)Dx y σ--⎰⎰，D 是圆域x 2＋y 2≤R 2；解: (1) 1111111211111e d ()()()1x y x y x x x x Ddx e dy e e dx e e e e σ+++-+----==-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰.(2)5322224211121129d d ()()2253151xDx x xy x y dx x ydy x x dx ==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰.(3) 3112430011117(1)d d (1)()325460x x Dx x y dx x dy x x x x dx -=-=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰⎰.(4)1122220()d d 4()xDx y x y dx x y dy -+=+⎰⎰⎰⎰33241201412124(2)4()33323330x x x x x x dx x =--+=--+=⎰. (5) 222200sin 12sin d (sin sin )y y Dy y dy dx y y y dy y y πππσπ==-⎰⎰⎰⎰⎰222222sin (cos )1(cos sin )10ydy yd y y y y ππππππ=+=+-=-⎰⎰. (6)322200(4)d (4cos sin )[2(cos sin )]3RDR x y d r r rdr R d ππσθθθθθθ--=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰3222[2(sin cos )]430R R R πθθθπ=--=.4. 已知反常二重积分e d 2y Dx σ-⎰⎰收敛，求其值．其中D 是由曲线y =4x 2与y =9x 2在第一象限所围成的区域．解：设2249(0)a D y x y x y a a ===>是由曲线、和在第一象限所围成.则22222200015555ed ()236144144144aaa a y y y y a D x dy dx ye dy e d y e σ-----==⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰. 所以225e d lime d 144ay ya DD x x σσ--→+∞==⎰⎰⎰⎰. 5. 计算e d 2x x +∞--∞⎰．解：由第四节例2以及2y =e x -是偶函数，可知2e d x x +∞--∞=⎰.6. 求由曲面z =0及z =4-x 2-y 2所围空间立体的体积．解：曲面z =0和z =4-x 2-y 2的交线为x 2+y 2 =4.因此，所围空间立体的体积为：222220016(4)d d (4)2(8)84D x y x y d r rdr πθππ--=-=-=⎰⎰⎰⎰.7. 已知曲线y =ln x 及过此曲线上点(e ，1）的切线ey x 1=．(1) 求由曲线y =ln x ，直线ey x 1=和y =0所围成的平面图形D 的面积；(2) 求以平面图形D 为底，以曲面z =e y 为顶的曲顶柱体的体积．解：(1) 1ln (ln )12221e e e ee S xdx x x x =-=--=-⎰.(2) 221120013()()2220y y e yyyy y ye e V dy e dx e ye dy ye e ==-=-+=-⎰⎰⎰.（B ）1. 交换积分次序：(1) 311(,)xxdx f x y dy -⎰⎰； （2）0112(,)y dy f x y dx --⎰⎰；(3) 224(,)x x f x y dy -⎰；(4) 110(,)dx f x y dy ⎰.解：(1) 3111(,)(,)x xydx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰.(2) 01101221(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy ---=⎰⎰⎰⎰.(3) 2242402(,)(,)(,)x x f x y dy dy f x y dx dy f x y dx -=+⎰⎰⎰.(4) 211121(,)(,)(,)y dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx =+⎰⎰⎰⎰.2. 计算积分2122x xxdx dy x y +⎰⎰.解：222sin sin 144cos cos 2220000cos cos xxx r dx dy d rdr d dr x y r πθπθθθθθθθ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 40sin ln 24(ln cos )cos 2d ππθθθθ==-=⎰. 3. 计算积分112201yy dy dx x y ++⎰⎰.解：111114cos 4cos cos 2222000sin sin [sin ]111yy r dy dx d rdr d dr dr x y r r ππθθθθθθθθ==-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 44001ln 21(tan sin arctan )arctan (cos )cos 2cos d d ππθθθθθθ=-⋅=+⎰⎰令cos t θ=,则原式211ln 21ln 21ln 211(arctan ln(12222dt dt t t t t t =+=+=+++ln 213ln 213ln ln 22242224ππ=+--=-. 4. 设函数f (x )在区间0,1⎡⎤⎣⎦上连续，且1()f x dx A =⎰，求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰. 解：设1'()()()(1)(0)F x f x f x dx F F A ==-=⎰，则.11111()()()[(1)()](1)()()(())xdx f x f y dy f x F F x dx F f x dx F x d F x =-=-⎰⎰⎰⎰⎰21()111(1)(1)[(1)(0)][(1)(0)](1)(1)(0)22220F x F A F A F F F F F A AF AF =-=--+=--21[(1)(0)]22A A F F =-=. 5. 计算2Dx y d σ⎰⎰，其中D 是由直线y =0,y =1及双曲线x 2－y 2=1所围成的闭区域.解：11222022(13Dx yd dy ydx y y σ==+⎰⎰⎰⎰35122222011122(1)(1)(1)1)335150y d y y =++=⋅+=⎰. 6. 计算222y xdx e dy ⎰⎰.解：2222222240000211(1)220y y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e e ====-⎰⎰⎰⎰⎰.7. 证明211()()d ()()d 1b x bn n a a adx x y f y y b y f y y n ---=--⎰⎰⎰，其中n 为大于1的正整数. 证：22()()d ()()b x b bn n aaaydx x y f y y dy x y f y dx ---=-⎰⎰⎰⎰11()()1bn b yax y f y dy n -=--⎰11()()d 1bn ab y f y y n -=--⎰。
第五章 二重积分【基础练习题44】1. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小 （1）2d Dx y 与 3d Dx y ，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线1x y 所围成； （2）2d Dx y 与 3d Dx y ，其中积分区域D 是由圆周 22212x y 所围成； （3）ln d Dx y 与 2ln d Dx y，其中积分区域D 是三角形闭区域，三个顶点分别为 1,0,1,1,2,0； （4）ln d Dx y 与 2ln d Dx y，其中 ,35,01.D x y x y2.设1D I,222cos()d DI x y ,2223cos()d DI x y, 其中22(,)1D x y x y ，则 （ ）（A ）123I I I . （B ）321I I I . （C ）312I I I .（D ）213I I I .【基础练习题44解析】1.【解析】（1）在积分区域D 上，01x y ，故有32()()x y x y . 故32d d DDx y x y . （2）由于积分区域D 位于半平面(,)1x y x y 内，故在D 上有23()()x y x y . 从而23d d DDx y x y . （3）由于积分区域D 位于条形区域(,)12x y x y 内，故知区域D 上的点满足0ln()1x y ，从而有2[ln()]ln()x y x y . 因此高等数学切片课后习题23高数切片讲义第3章课后习题与答案2ln d ln d DDx y x y. （4）由于积分区域D 位于半平面(,)e x y x y 内，故在D 上有ln()1x y ，从而2[ln()]ln()x y x y. 因此 2ln d ln d DDx y x y. 2.【答案】A.【解析】当221x y 时，有222220()1x y x y又cos x 在 0,1上为减函数，故有22222cos()cos x y x y且等号仅在部分点成立，由二重积分的比较性质知，321.I I I【基础练习题45】1. 画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）D ，其中D 是由两条抛物线y 2y x 所围成的闭区域；（2）2d Dxy，其中D 是由圆周224x y 及y 轴所围成的右半闭区域； （3）e d x y D，其中(,) 1D x y x y ； （4）22()d D xy x ，其中D 是由直线2,y y x 及2y x 所围成的闭区域.2. 改换下列二次积分的积分次序： （1）10d (,)d yy f x y x；（2）2220d (,)d yy y f x y x；（3）10d (,)d y f x y x ； （4）212d (,)d x x f x y y ；（5）11d (,)d xx f x y y；（6）sin 0sin2d (,)d xxx f x y y.【基础练习题45解析】1.【解析】（1）D 可用不等式表示为2x y 01x （如图1）.于是，237111424000226d d ()d .3355Dx x x y x y x x x x（2）D 可用不等式表示为0x 22y （如图2）.故，22222222164d d d (4)d .215Dxy y y x x y y y图1 图2 （3）如图3，12D D D ，其中12(,)11,10,(,) 11,01.D x y x y x x D x y x y x x因此，12e d e d e d x y x y x yDD D 0111111e d e d e d e d x x x y x y x x x y x y1211211(ee )d (e e )d x x x x1e e . （4）:,022yD x y y （如图4），故 2222202()d d ()d yy Dx y x y x y x x32222d 32yy x x y x y232019313d 2486y y y.图3 图4 2.【解析】（1）所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y ，其中 (,)0,01D x y x y y .D 可改写为 (,)1,01x y x y x （如图5），于是 原式110d (,)d xx f x y y.（2）所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y ，其中 2(,)2 ,D x y yx y02y .又D可表示为(,)42x x y y x（如图6），因此原式42d (,)d x x f x y y.图5 图6 （3）所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y ，其中(,)1D x y x y.又D可表示为(,)011x y y x （如图7）， 因此原式11d (,)d x f x y y.（4）所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y，其中(,)2D x y x y12x . 又D可表示为(,)211x y y x y （如图8），故原式1102d (,)d yy f x y x.图7 图8 （5）111101d (,)d d (,)d d (,)d .xyxx f x y y x f x y y y f x y x【注】原二次积分11d (,)d xx f x y y中对y 的积分上限小于下限，不符合累次积分转化规则，需要线添加负号互换上下限. （6）如图9，将积分区域D 表示为12D D ，其中12(,)arcsin arcsin ,01,(,)2arcsin ,10.D x y y x y y D x y y x y于是，原式1arcsin 00arcsin 12arcsin d (,)d d (,)d yyyy f x y x y f x y x.图9【基础练习题46】1. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： （1）222d )d ax x y y； （2）0d a x y；（3）211222d ()d x xx x y y； （4）220d )d ay x y x .2. 选用适当的坐标计算下列各题： （1）22d Dx y，其中D 是由直线2,x y x 及曲线1xy 所围成的闭区域； （2）D，其中D 是由圆周221x y 及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域； （3）22()d Dx y ，其中D 是由直线,,,3 (0)y x y x a y a y a a 所围成的闭区域.3. 作适当变换，计算下列二重积分： （1）22sin d d Dx y x y x y ，其中D 是平行四边形闭区域，它的四个顶点是π,0,2π,π,π,2π,0,π；（2）22d d Dx y x y ，其中D 是由两条双曲线1xy 和2xy 与两条直线y x 和4y x 所围成的在第一象限内的闭区域.【基础练习题46解析】1.【解析】（1）积分区域D 如图1所示. 在极坐标系中，(,)02cos ,02D a，于是，2cos 42cos 2220444420d d d 43134cos d 4.4224a a aa a原式（2）如图2，在极坐标系中，(,) 0sec ,04D a.图1 图2 于是，原式3sec 3440d d sec d 3a a340sec tan ln(sec tan )6a31)]6a . （3）积分区域D 如图3所示. 在极坐标系中，抛物线2y x 的方程是22sin cos ，即tan sec ；射线 (0)y x x 的方程是4，故 (,)0tan sec , 04D.图3于是tan sec44401d d tan sec d sec 1.原式（4）积分区域(,)0(,)0, 02D x y x y a a，故42420d d 248aa a原式.2.【解析】（1）D 如图4所示，根据D 的形状，选用直角坐标较宜，1(,) ,12D x y y x x x，故22223122119d d d ()d 4x x Dx x x y x x x y y.图4（2）根据积分区域D 的形状和被积函数的特点，选用极坐标为宜，(,)01,02D，故200d d d d D原式23111000d 221124011)2241201arcsin 22(2)8. （3）D 如图5所示. 选用直角坐标为宜. 又根据D 的边界曲线的情况，宜采用先对x 、后对y 的积分次序. 于是3332222224()d d ()d 2d 14.3a yaa y aaDa xy y x y x ay a y y a图53.【解析】（1）令,u x y v x y ，则,22u v v ux y. 在这变换下，D 的边界x y ，x y ，x y ，3x y 依次与u ，v ，u ，3v对应. 后者构成uOv 平面上D 对应的闭区域D 的边界，于是(,),3D u v u v （如图6）.图6又 11(,)12211(,)222x y J u v ， 因此2222223341()sin ()d d sin d d 21d sin d 21sin 2.23243D D x y x y x y u v u v u u v v u v v（2）令,yu xy v x，则x y . 在这变换下，D 的边界1xy ,y x ， 2,4xy y x 依次与1,1,2,4u v u v 对应，后者构成uOv 平面上与D对应的闭区域D 的边界. 于是(,),4D u v u v （如图7）.图7又(,)1111(,)42x y J u v v v v. 因此242222111117d d d d d d ln 2.223DD x y x y u u v u u v v v【基础练习题47】1.设222222322111d ,cos sin d ,e 1d ,xy x y x y x y M x y N x y P则必有（ ） （A ） M N P . （B ） N M P . （C ） M N P . （D ） N P M .2. 设区域D 为222x y R ，则22d d Dx x y a ．3. 设22(,)1D x y x y ，则2()d d Dx y x y . 4. 已知22,2D x y xy y ，计算二重积分32d d Dx y x y .5. 已知 ,,,1D x y y x y x x，计算二重积分esin d d xDy x y .6. 已知区域D 为圆224x y 在第一象限所围的部分，计算二重积分d d Dxx y x y .7. 求二重积分 22121e d d x y Dy x x y的值，其中D 是由直线,1y x y ，1x 围成的平面区域.8. 设区域22(,)1,0D x y x y x ，计算二重积分221d d 1Dxyx y x y . 【基础练习题47解析】1.【答案】（B ）.【解析】因为 3322333x y x x y xy y ，函数3223,3,3,x x y xy y 分别是关于,,,x y x y 的奇函数，又积分区域1x y 关于x 轴、y 轴对称，故31d 0.x y M x y又22cos sin x y 在积分区域221x y 上大于0，且不恒为0；22e1x y 在积分区域221x y 上小于0，由二重积分的比较性质知2222222211cos sin d 0,e1d 0.x y x y x y N x y P故 N M P ，（B ）正确.2.【答案】42π4R a .【解析】 【法1】直接利用极坐标计算2422322201d d cos d d 4RDx R x y r r a a a.【法2】由于积分区域D 关于y x 对称知222222222π222220044221d d d d d d 211d d d d 221π2π.244D DD R D x y x y x y x y x y a a a a x y x y r r r a a R R a a3.【答案】π4. 【解析】22()d d d d d d DDDx y x y x x y y x y ，因为积分区域D 关于x 轴对称，被积函数y 为关于y 的奇函数，故d d 0.Dy x y又积分区域D 关于y x 对称，故由轮换对称性知，222222π12001()d d d d d d d d 21πd d .24DDDDx y x y x x y y x y x y x y r r r4.【解析】因为积分区域D 关于y 轴对称，被积函数32x y 为关于x 的奇函数，故32d d 0.Dx y x y 5.【解析】因为积分区域D 关于x 轴对称，被积函数e sin xy 为关于y 的奇函数，故e sin d d 0.x Dy x y 6.【解析】因为积分区域D 关于y x 对称，故由轮换对称性知，21d d d d d d 2111ππd d 2.22242D DD D Dx y x y x y x y x y x y x y x y x y x y S7.【解析】如图，积分区域D 可拆分为12,D D ，其中1D 关于y 轴对称，2D 关于x 轴对称.又2121222211221e d d d d e d d ,x y x D D y D D D y x x y y x y xy x y 积分函数y 为关于y 的奇函数，关于x 的偶函数，而积分函数2212ex y xy 为关于,x y 的奇函数，由对称性知，12210210211e d d d d d d 22d .3y x y y D D y x x y y x y y y x y y8.【解析】因为22222211d d d d d d ,111D D Dxy xyx y x y x y x y x y x y 又积分区域D 关于x 轴对称，由对称性知，22d d 0,1Dxyx y x y 故 π12π202211220022221d d 11d 1πln22πln 1π.12211d d d d 11D Dr r xy x y x y x r y x y r r r。
