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第九章 多元积分学及其应用第一节 三 重 积 分1定义 ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k k d v f z y x f 1,0),(lim dV ),,(ξηξ.2性质: 3计算:1)直角坐标: i) 先一后二; ii)先二后一. 2)柱坐标: z V d d d d θρρ= 3)球坐标:θϕϕd d d sin d 2r r V = 4)利奇偶性若积分域Ω关于xoy 坐标面对称,),,(z y x f 关于z 有奇偶性,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥Ω.),,(0.),,(d ),,(2d ),,(0是奇函数关于是偶函数关于z z y x f z z y x f Vz y x f V z y x f z D5)利用变量的对称性.题型一 计算三重积分例9.1计算⎰⎰⎰ΩV z d 2,其中Ω由)0(2,2222222>≤++≤++R Rz z y x R z y x 所确定.解 原式52222220248059d )(d )2(R z z R z z z Rz z RR Rπππ=-+-=⎰⎰. 例9.2计算V z d ⎰⎰⎰Ω,其中Ω由z z y x ≥++222和z z y x 2222≤++所确定.解法1 原式⎰⎰⎰==ϕϕπππϕϕϕθcos 2cos 22020.45dr sin cos d d r r解法2 设z z y x z z y x 2:,:22222221≤++Ω≤++Ω，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ-=21zdV zdV zdV .由于⎰⎰⎰Ω2zdV 与⎰⎰⎰Ω1zdV 的计算方法完全一样，以下仅以⎰⎰⎰Ω2zdV 说明其三种较简单的计算方法： 方法1 直角坐标下先二后一：⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=zD zdxdy dz zdV 220（其中2222:z z y x D z -≤+）ππ34)2(202=-=⎰dz z z z .方法2 由形心计算公式得⎰⎰⎰Ω⋅=2V z zdV （其中z 为2Ω的形心z 坐标）)(343412的体积为Ω⋅=⋅=V ππ方法3 利奇偶性.注意2Ω关于平面1=z 上下对称，则0)1(2=-⎰⎰⎰ΩdV z从而有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==+-=22234]1)1[(πdV z zdV . 例9.3计算,=I ⎰⎰⎰Ω+V y x d )(22其中Ω由曲线⎩⎨⎧==022x zy ，绕oz 轴旋转一周而成的曲面和平面2=z ，8=z 所围的立体. 解法1 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=823422082320202.336d d d d d d ρπππρρθρρθz z I解法2 .336d d d 2032082πρρθπ==⎰⎰⎰z z I例9.4 计算⎰⎰⎰Ω++V nz ly mx d )(2,.:2222a z y x ≤++Ω 解2222222()()mx ly nz dV m xl y n z dV ΩΩ++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （奇偶性）222222()3m l n x y z dV Ω++=++⎰⎰⎰ （变量对称性） 22252422204sin ()315a m l n a d d r dr m l n πππθϕϕ++==++⎰⎰⎰ 例9.5设)(t f 连续,=)(t F ⎰⎰⎰Ω++V y x f zd )]([222, 其中Ω由222t y x ≤+,h z ≤≤0所确定.求20)(lim ,d d tt F t F t →. 解 ρρρπρρρθπd hf h dz f z d d t F t h t )](31[2)]([)(230202020+=+=⎰⎰⎰⎰322()2()3h F t t htf t ππ'=+. 32320022()()3lim lim (0)23t t h t htf t F t h hf t t ππππ++→→+==+. 题型二 更换三重积分次序例9.6计算=I ⎰⎰⎰-y xz z zy x 021d )1(sin d d 解 先交换y 和z 的次序，则112200sin ()sin (1)(1)xxx zzx z z I dx dz dy dx dz z z -==--⎰⎰⎰⎰⎰.111200()sin 11sin (1cos1)(1)22z x z z dz dx zdz z -===--⎰⎰⎰ 第二节 对弧长的线积分（第一类线积分）计算方法 1．直接法：1)若⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x C ，βα≤≤t ，则t t y t x t y t x f s y x f Cd )()())(),((d ),(22⎰⎰'+'=βα.2) 若)(:x y y C = ，b x a ≤≤，则x x y x y x f s y x f baCd )(1))(,(d ),(2⎰⎰'+=3) 若)(:θρρ=C ，βθα≤≤，则θρρθρθρβαd )sin ,cos (d ),(22⎰⎰'+=f s y x f C2.利用奇偶性.1) 若积分曲线C 关于y 轴对称, 则.⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰≥.),(.),(,0,d ),(2d ),(0为奇函数关于当为偶函数关于当x y x f x y x f x C Cs y x f s y x f2)若积分曲线C 关于x 轴对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰≥.),(.),(,0,d ),(2d ),(0为奇函数关于当为偶函数关于当y y x f y y x f y C Cs y x f s y x f3．利用对称性若积分曲线关于直线x y =对称,则⎰Cs y x f d ),(=⎰Cs x y f d ),(特别的 ⎰⎰=CCds y f ds x f )()(题型 计算对弧长的线积分例9.7设L 是椭圆13422=+y x ，其周长为a ，则.d )432(22=++⎰s y x xy C解 =++⎰s y x xy C d )432(22s y x Cd )43(22⎰+ （奇偶性）a s y x C 12d )34(1222=+=⎰例9.8计算⎰++=Cs y x I d ])1([22,其中C 为).0(22>=+R Rx y x解: ⎰+++=Cs x I 1)d 2y y (22R xds R Cπ+=⎰ R R ππ+=23其中计算积分⎰Cxds 可以用直接法，以下介绍两种简单方法 方法1 ⎰Cxds ⎰⎰=+-=C Cds ds RR x ]2)2[( （奇偶性）22R π=方法2 ⎰Cxds l x ⋅= （形心公式）22R π=例9.9 计算⎰=Cs y I d ||,其中C 为双纽线).0)(()(222222>-=+a y x a y x解 双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x 的极坐标方程为.2cos 22θa r =⎰=402sin 4πθθd aI )221(42-=a 例9.10计算⎰=Cs x I d 2,其中C 为⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x 。
高等数学定积分及重积分的方法与技巧第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=∫∑=⋅=∞→1011lim a ani n x n n i dx =aa x a +=++11111. 例2 求极限 ∫+∞→121lim xx n n dx .解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是∫+≤1210x x n ∫≤1n x dx dx .而∫10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得∫+∞→1021lim xx n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba ∫()()∫=b ax g f dx x dx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().1011112102≤≤+=+∫∫n n nn dx x dx xx x x由于11102≤+≤nx，即211nx+有界，()∞→→+=∫n n dx x n01110，故∫+∞→1021lim x x n n dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R −型可作相应变换.如对积分()∫++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>−∫a dx x ax x a，由于()2222a x a x ax −−=−，可设t a a x sin =−.对积分dx e x ∫−−2ln 021，可设.sin t e x =−（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=∫d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]′，可求出22dc bdac A ++=，22dc adbc B +−=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+′++=∫.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ∫−1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ∫−1211arcsin 2tx x t ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==−∫∫.1632π=解法2 ()dx x x x∫−1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=∫u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）∫+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx xI ∫+=2032cos sin cos π；（2）.1cos 226dx e xx ∫−−+ππ解 （1）∫+=2031cos sin sin πxx xdx I)(sin cos cos 2023du u u uu x −+−=∫ππ=.sin cos cos 223∫=+πI dx xx x故dx xx xx I I ∫++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022−=+−∫ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e x x ∫−−+ππ()dxe xdu e uu x x u ∫∫−−+=−+−=2262261cos 1cos ππππ+++=∫∫−−2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x x.3252214365cos cos 21206226πππππ=×××===∫∫−xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n∫∫=2020cos sin ππ()()()()()()=⋅×−×−−=×−×−−=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。
高数大一下积分知识点总结在大一下学期的高等数学课程中，积分是一个重要的知识点。
积分作为微积分的一个重要分支，不仅具有理论上的意义，也有实际应用价值。
下面我将对大一下积分的知识点进行总结，以帮助同学们更好地学习和掌握这一内容。
1. 定积分定积分是积分的一种形式，表示函数在某一区间上的总和。
其定义如下：$$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$$其中，$f(x)$是被积函数，$a$和$b$为积分的下限与上限，$F(x)$为$f(x)$在区间$[a,b]$上的原函数。
2. 基本积分公式在求解定积分时，常常需要用到基本积分公式。
以下是一些常用的基本积分公式：- $\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，其中$n\neq-1$，$C$为常数。
- $\int e^xdx=e^x+C$- $\int \sin xdx=-\cos x+C$- $\int \cos xdx=\sin x+C$- $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$3. 积分法则积分法则是指求解积分时常用的一些规则和方法，包括线性性质、分部积分法、换元积分法等。
- 线性性质：$\int (af(x)+bg(x))dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx$，其中$a,b$为常数。
- 分部积分法：$\int u \cdot dv = uv - \int v \cdot du$，其中$u$和$v$是可微函数。
- 换元积分法：设$y=g(x)$为$x=f(u)$的反函数，若$f'(u)$与$g'(x)$都存在且连续，则有$\int f(u)g'(u)du=\int f(x)dx$。
4. 微元法与定积分的关系微元法是使用微积分中的微分思想求解积分的方法，通过将函数分割为无穷小的微元，将积分问题转化为求和问题。
定积分可以看作是微元法的一个特例，当区间上的微元无穷小时，定积分就可以表示为无穷和的极限形式。
大学高数第九章知识点总结本章的内容可以分为多元函数的导数、方向导数和全微分、隐函数与参数方程、复合函数的偏导数等四个部分。
下面我将对第九章的主要知识点进行总结和归纳。
一、多元函数的导数1、定义：假设函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)附近有定义，当自变量x和y分别以x=x0,y=y0为自变量时，关于z的增量Δz=f(x0+Δx, y0+Δy)-f(x0,y0)与增量Δx,Δy之间的比值分别为：(1) 当Δx≠0,Δy=0时，称为f对x的偏导数，记为fx(x0, y0)，即f对x的偏导数是指在y=y0时，f对x的导数。
fx(x0, y0)=lim(Δx→0){f(x0+Δx, y0)-f(x0,y0)}/Δx;(2) 当Δx=0,Δy≠0时，称为f对y的偏导数，记为fy(x0, y0)，即f对y的偏导数是指在x=x0时，f对y的导数。
fy(x0, y0)=lim(Δy→0){f(x0, y0+Δy)-f(x0,y0)}/Δy.2、几何意义：函数f(x,y)在点P(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)分别等于曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,f(x0,y0))处沿着x轴、y轴的方向导数。
3、求导法则：多元函数的导数具有以下性质：（1）线性性：若z=f(x,y)可导，则对任何常数α、β，函数αf(x,y)+βg(x,y)也可导，并且有（αf(x,y)+βg(x,y))' = αf'(x,y) + βg'(x,y)；（2）乘积法则：如果z=u(x,y) v(x,y)可导，则z' = u(x,y) v'(x,y) + u'(x,y) v(x,y)；（3）复合函数的求导法则：如果z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)都可导，则z' = f_u(x,y) u' +f_v(x,y) v'。
二、方向导数和全微分1、方向导数：函数z=f(x,y)在点P(x0, y0)处沿任一方向l=(α,β)的方向导数是函数f在这一方向上的变化率，其定义为：D_uf(x0,y0)=fa(x0, y0)α+fb(x0,y0)β;2、全微分：若z=f(x,y)在点P(x0, y0)可导，Δz=f(x0+Δx, y0+Δy)-f(x0,y0)近似等于其全微分：df(x0,y0)=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy.三、隐函数与参数方程1、隐函数存在定理：若z=f(x,y)在点(x0,y0)邻域内连续且fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在且至少有一个不为0，则z=f(x,y)=0在此点邻域内确定一个连续且具有连续导数的隐函数。
中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第9章课后习题详解第9章课后习题详解 重积分内容概要名称 主要内容二重积分定义 =⎰⎰Dd y x f σ),(∑=→∆ni ii i f 1),(lim σηξλ性质①=⎰⎰Dd y x kf σ),(⎰⎰Dd y x f k σ),(②[]=±⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(⎰⎰⎰⎰±DDd y x g d y x f σσ),(),(③=⎰⎰Dd y x f σ),(+⎰⎰1),(D d y x f σ⎰⎰2),(D d y x f σ21D D D +=④σσ=⎰⎰Dd ⑤⇒≤),(),(y x g y x f ⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ),(),(⑥⎰⎰⎰⎰≤DDd y x f d y x f σσ),(),(⑦σσσM d y x f m D≤≤⎰⎰),( ⑧σηξσ),(),(f d y x f D=⎰⎰ D ∈),(ηξ计算法利用直角坐标计算把D 写成X 型区域⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x baDdyy x f dx d y x f ϕϕσ把D 写成Y 型区域⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x d cDdxy x f dy d y x f ψψσ利用极坐标计算⎰⎰⎰⎰=)()(21)sin ,cos (),(θθβαθθθσr r Drdrr r f d d y x f三重积分利用直角坐标计算投影法(针刺法、先一后二法)⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω==),(),(21),,(),,(y x z y x z D dz z y x f d dv z y x f σ截面法(切片法、先二后一法)⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω==zD dcd z y x f dz dv z y x f σ),,(),,(利用柱面坐标计算 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dzrdrd z r r f dv z y x f θθθ),sin ,cos (),,(利用球面坐标计算 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=θϕϕϕθϕθϕd drd rr r r f dv z y x f sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(2应用 求立体的体积、求曲面的面积、求质量、重心、转动惯量等课后习题全解习题9-1★1.设有一平面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布着面密度为),(y x μμ=的电荷，且),(y x μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q .解：将D 任意分割成n 个小区域{}iσ∆，在第i 个小区域上任取一点),(iiηξ，由于),(y x μ在D上连续和i σ∆很小，所以用),(i i ηξμ作为i σ∆上各点函数值的近似值，则i σ∆上的电荷i i i i Q σηξμ∆≈∆),(从而该板上的全部电荷⎰⎰∑=∆==→Dni i i i d y x Q σμσηξμλ),(),(lim 1其中λ是各i σ∆中的最大直径。
第九章 重积分 复习要点§1 二重积分一、二重积分的概念及性质1. 了解二重积分的定义01(,)lim (,)n i ii i D f x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰2. 知道二重积分的几何意义当(,)0f x y ≥时, (,)D f x y d σ⎰⎰表示：以区域D 为底,以曲面),(y x f 为顶的曲顶柱体的体积3. 二重积分的主要性质(1) 线性性 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DD D d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([(2)可加性 若21D D D +=，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(D D D d y x f d y x f d y x f σσσ(3) σσ=⎰⎰Dd (σ为区域D 的面积.)二、掌握二重积分的计算基本思想：化为两次单积分来计算1. 二重积分在直角坐标系下的计算在直角坐标系下 dxdy y x f d y x f DD ⎰⎰⎰⎰=),(),(σ(1) 当积分区域D 为x 型区域，即D 为：b x a ≤≤，)()(21x y y x y ≤≤时，二重积分可化为先y 后x 的两次积分积分 21()()(,)(,)b y x a y x D f x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰(2) 当积分区域D 为y 型区域，即D 为：d y c ≤≤，)()(21y x x y x ≤≤时，二重积分可化为先x 后y 的两次积分积分21()()(,)(,)d x y c x y D f x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰ 2. 二重积分在极坐标系下的计算在极坐标系下 θρρθρθρσd d f d y x f DD ⎰⎰⎰⎰=)sin ,cos (),(其中θρcos =x ，θρsin =y几种常见的类型为：（1）若积分区域D 为圆域：222a y x ≤+时⎰⎰⎰⎰=aD d f d d y x f 0 2 0 )sin ,cos ( ),(ρρθρθρθσπ （2）若积分区域D 为圆域：ay y x ≤+22)0(>a 时⎰⎰⎰⎰=θρπρρθρθρθσsin 0 0 )sin ,cos ( ),(d f d d y x f D（3）若积分区域D 为圆域：ax y x ≤+22)0(>a 时⎰⎰⎰⎰-=θρππρρθρθρθσcos 0 2 2 )sin ,cos ( ),(d f d d y x f D要求：会利用直角坐标或极坐标计算二重积分,会改变二重积分的积分次序，会利用二重积分求立体的体积。
第9章 多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、xyz arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、222)0,0(),(sin lim y x yx y x +→ （0）2、x y x x y3)2,(),()1(lim+∞→ (6e )四、证明极限 242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在.证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21, 二者不相等，所以极限不存在五、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x yx xy y x f 在整个xoy 面上连续。
证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。
当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sin lim 22)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。
所以函数 在整个xoy 面上连续。
六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数1、设z=x yxe xy + ,验证 z xy +=∂∂+∂∂yzy x z x证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设yx y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)4、设yz x u =, 求x u ∂∂ ，yu ∂∂ ，z u ∂∂ 解：1-=∂∂y z x y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂ x x y z u y zln 1=∂∂5、设222z y x u ++=，证明 : u zu y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=0,00,1sin ),(222222y x y x yx x y x f )0,0(0),(lim 0f y x f y x ==→→ 连续； 21sinlim )0,0(x f x x →= 不存在， 000lim)0,0(0=--=→y f y y7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ）全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在 2、求下列函数的全微分：1）x y e z = )1(2dy x dx xy e dz x y+-=2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zyx u = 解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz y z y ln ln 121-+=-3、设)2cos(y x y z -=， 求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(yx zz y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--5、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin)(),(2222y x y x yx y x y x f 在（0，0）点处的连续性 、偏导数、 可微性解：)0,0(01sin )(lim 2222)0,0(),(f y x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。
第9章课后习题详解 重积分课后习题全解习题9-1★1.设有一平面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布着面密度为),(y x μμ=的电荷，且),(y x μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q .解：将D 任意分割成n 个小区域{}i σ∆，在第i 个小区域上任取一点),(i i ηξ，由于),(y x μ在D 上连续和i σ∆很小，所以用),(i i ηξμ作为i σ∆上各点函数值的近似值，则i σ∆上的电荷i i i i Q σηξμ∆≈∆),(从而该板上的全部电荷⎰⎰∑=∆==→Dni i i i d y x Q σμσηξμλ),(),(lim 1其中λ是各i σ∆中的最大直径。
★★2.利用二重积分定义证明：（1）σσ=⎰⎰Dd （σ为区域D 的面积）；（2）⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ),(),(（其中k 为常数）；（3）⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ，其中21D D D=, 21,D D 为两个无公共内点的闭区域。
证明：（1）这里，被积函数1),(≡y x f ，由二重积分的定义，对任意分割和取点法，=∙⎰⎰Dd σ1∑∑=→=→∆∙=∆n i i ni iiif 111lim ),(lim σσηξλλ∑=→∆=ni i 1lim σλσσλ==→0lim ，∴σσ=⎰⎰Dd ，其中λ是各iσ∆中的最大直径。
（2）=⎰⎰Dd y x kf σ),(∑∑=→=→∆=∆ni i i i ni iiif k kf 101),(lim ),(lim σηξσηξλλ∑=→∆=ni i i i f k 1),(lim σηξλ⎰⎰=Dd y x f k σ),(（3）将1D 任意分割成1n 个小区域{}1i σ∆，1λ是其各小区域的最大直径，将2D 任意分割成2n 个小区域{}2i σ∆，2λ有类似的意义。
高等数学第九章习题答案高等数学第九章习题答案高等数学是大学数学的一门重要课程，涵盖了广泛的数学知识和技巧。
第九章是高等数学中的一个重要章节，主要涉及到微分方程和级数。
本文将为大家提供高等数学第九章习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 求解微分方程dy/dx = 2xy。
首先，我们可以将该微分方程转化为变量分离的形式。
将dy/dx移项得到dy/y = 2xdx。
对两边同时积分，得到ln|y| = x^2 + C，其中C为常数。
再对等式两边取指数，得到|y| = e^(x^2 + C)。
由于指数函数的定义域为正数，所以我们可以去掉绝对值符号，得到y = ±e^(x^2 + C)。
因此，该微分方程的通解为y = Ce^(x^2)，其中C为任意常数。
2. 求解微分方程dy/dx = y^2 - 1。
同样地，我们将该微分方程转化为变量分离的形式。
将dy/dx移项得到dy/(y^2 - 1) = dx。
对两边同时积分，得到∫(1/(y^2 - 1))dy = ∫dx。
对左边的积分进行分解，得到∫(1/[(y+1)(y-1)])dy = ∫dx。
通过部分分式的方法，我们可以将左边的积分化简为∫[(1/2)/(y-1) - (1/2)/(y+1)]dy = ∫dx。
继续进行积分，得到(1/2)ln|y-1| - (1/2)ln|y+1| = x + C，其中C为常数。
再对等式两边取指数，得到|y-1|/|y+1| = e^(2x+2C)。
由于指数函数的定义域为正数，所以我们可以去掉绝对值符号，得到(y-1)/(y+1) = e^(2x+2C)。
进一步化简得到y =(1+e^(2x+2C))/(1-e^(2x+2C))。
因此，该微分方程的通解为y =(1+e^(2x+2C))/(1-e^(2x+2C))，其中C为任意常数。
3. 求解级数∑(n=1到∞) [(n+1)/n^2]。
首先，我们可以对级数进行变形，得到∑(n=1到∞) [(n+1)/n^2] = ∑(n=1到∞) [1/n - 1/n^2]。
第九章习题解答（2） 习题9.31、 求上半球面222y x a z含在柱面ax y x 22内部的曲面面积解：被积函数为222y x a z 22222)(y x a x z x 22222)(yx a y z y --= 所以 dxdy yx a a dS 222--=积分区域为：:D ax y x =+22，化成极坐标：设θcos r x =，θsin r y = dr rd dxdy θ=θπθπc o s 0,22a r ≤≤≤≤-⎰⎰-=-θππθcos 02222a ra ardr d S cos 0222222)(2a r a r a d d a ⎰---=22cos 022ππθθd r a a a)2(222)sin (222220-=⋅+-=--=⎰ππθθπa a a d a a a2、 求圆锥面22y x z +=被柱面x z 22=所截下的曲面面积解：被积函数为22y x z += 2222)(y x x z x += ， 2222)(yx y z y += 所以 dxdy dS 2=积分区域为：:D x y x 222=+，设θcos r x =，θsin r y = dr rd dxdy θ=θπθπc o s 20,22≤≤≤≤-r⎰⎰-=θππθcos 20222rdr d S ππθθππ222124cos 22222=⋅⋅==⎰-d3、 求抛物柱面221x z =含在由平面x y y x ===,0,1所围的柱体内的面积 解：被积函数为221x z = 22)(x z x = ， 0)(2=y z所以 dxdy x dS 21+=积分区域为：:D x y y x ===,0,1，0=z 围成的闭区域=+=⎰⎰x xdy x dx S 021⎰+xdx x x 0213122)1(3121)1(1211232022-=+⋅=++=⎰x x d x x 。
4、 求下列图形的形心 （1）、:D 1,0,2===x y x y ，围成的闭区域解：将密度看成1；⎰⎰⎰⎰=xDdy dx dxdy 201032221==⎰dx x 522210232010===⎰⎰⎰⎰⎰dx x dy xdx xdxdy xD2112010===⎰⎰⎰⎰⎰dx x ydy dx ydxdy xD于是得形心坐标为：53322522~==x 82332221~==y 形心为)82353( （2）、:D θρco s 1+=，围成的闭区域 解：将密度看成1；πθ23=⎰⎰Ddr rd （前面求出的结果） dr r d rdrd r xdxdy D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰+'==θπθθθθcos 10220cos cos⎰+=πθθθ203)cos 1(cos 31d +⎰πθθ20cos 31d +⎰πθθ202cos d +⎰πθθ203cos d ⎰πθθ204cos 31d +=0++⎰πθθ20)2cos 1(21d +0⎰++πθθθ20242cos 2cos 2131d=π1215242122πππ=++65231215~==ππx 由图形关于x 轴的对称性得0~=y 形心为)065(（3）、:D 0,12222≥=+x by a x ，围成的闭区域解：面积ab 2π=⎰⎰⎰⎰---=2222110a xb a x b a Dxdy dx xdxdy ⎰-=adx ax x b 0221232)1(32)2(22123222ba a x ab =--= ππ34232~2a ab ba x == 由图形关于x 轴的对称性得0~=y 形心为)034(πa5、 圆盘)0(222>≤+a ax y x 内各点处的密度=),(y x μ22y x +，求此圆盘的质心解：=M =⎰⎰Ddxdy y x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x 22⎰⎰-θππθcos 20222a dr r d3203332316cos 316a d a ⋅==⎰πθθ3932a ==y M =⎰⎰Ddxdy y x x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x x 22⎰⎰-θππθθcos 20322cos a dr r d15641588cos 1641442254a a d a =⋅==⎰-ππθθ 56~a M M x y ==，由对称性得0~=y 所求质心为)056(a6、 设有一个等腰直角三角形薄片，各点处的密度等于该点到直角顶点距离的平方，求此圆薄片质心 解：设等腰直角三角形的顶点为),0(),0,(),0,0(a a 则22),(y x y x +=μ=M =⎰⎰D dxdy y x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x )(22⎰⎰-+xa a dy y x dx 0220)( ⎰-+-=a dx x a x a x 032])(31)([⎰-+-=a dx x a x a ax 03322]31312[ 62132444a a a =-= =y M =⎰⎰Ddxdy y x x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy xy x)(23⎰⎰-+xa a dy xy x dx 0230)(⎰-+-=adx x a x x a x 033])(31)([⎰-+-=a dx x x a x a ax 043223]34312[ 5555515115463121a a a a a =-+-= 由对称性得=x M =⎰⎰Ddxdy y x y ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y y x)(32⎰⎰-+ya a dx y y x dy 032)(155a = 52~a M M x y ==，52~a M M x x == 所求质心为)5252(aa 7、 设有顶角为α2，半径为R 的扇形薄片，各点处的密度等于该点到扇形顶点距离的平方，求此薄片质心 解：设扇形顶点为)0,0(关于x 轴对称 则22),(y x y x +=μ=M =⎰⎰Ddxdy y x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x)(22⎰⎰-Rdr r d 03ααθ24R α==y M =⎰⎰Ddxdy y x x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x x )(22⎰⎰-Rdr r d 04cos θθαα5sin 2αR =5sin 4~αR M M x y == 由对称性得0~=y ，所求质心为)05sin 4(αR8、 设均匀薄片（面密度为常数)ρ，战局的区域如下，求指定的转动惯量（1）、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=1),(2222b y a x y x D 求y I ，l I ，其中是过原点切倾斜角为α的直线解：ab M ρπ=y I ρμ==⎰⎰Ddxdy y x x ),(2ρ=⎰⎰Ddxdy x 2⎰⎰123203cos dr r d b a θθπ ===⎰4cos 43202ba d abρθθρπ42Ma由题设可知薄片上任意点到直线l 的距离为αα2tan 1tan +-=y x dl I ==⎰⎰Ddxdy y x d ),(2μ⎰⎰++Ddxdy xy y x )tan 2tan (tan12222αααρ⎰⎰+=Ddxdyx 222tan 1tan ααρ⎰⎰++Ddxdy y 22tan 1αρ⎰⎰+-Dxydxdy ααρ2tan 1tan 24tan 1tan 222Ma ⋅+=ααρdr r d ab ⎰⎰++1322023sin tan 1ϑθαρπdr r d b a θθθαρπ⎰⎰+-1320222sin cos tan 14tan 1tan 222Ma ⋅+=αα2tan 123παρ⋅++ab 4tan 1tan 222Ma ⋅+=αα4tan 1122Mb ⋅++ααα2222tan 1tan 4++⋅=a b M （2）、{}b y a x y x D ≤≤≤≤=0,0),(求y I ，l I ，其中是过原点与点),(b a 的对角线ab M ρ=y I ρμ==⎰⎰Ddxdy y x x ),(2ρ=⎰⎰Ddxdy x 2⎰⎰bady dx x 023323Ma ba ==ρx I ρμ==⎰⎰Ddxdy y x y ),(2ρ=⎰⎰Ddxdy y2⎰⎰bady y dx 0232Mb =由题设可知薄片上任意点到直线l 的距离为22ba ay bx d +-=l I ==⎰⎰Ddxdy y x d ),(2μ⎰⎰-++Ddxdy abxy y a x b b a )2(222222ρ=⎰⎰+Ddxdy x ba b 2222ρ⎰⎰++Ddxdy y ba a 2222ρ⎰⎰+-Dxydxdy ba ab222ρ22223b a b Ma +=22223b a a Mb ++22222b a b a M +-)(62222b a b Ma += 习题9.41、 化三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x F ),,(为三次积分（只须先,z 次对,y 后对x 一种次序）（1）、由三个坐标面与平面06236=-++z y x 围成解：23230yx z --≤≤，,220x y -≤≤10≤≤x ⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰---=yx x dz z y x f dy dx 32302201),,(（2）、由旋转抛物面22y x z +=与平面1=z 围成解：122≤≤+z y x ，,1122x y x -≤≤--11≤≤-x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰+-+---=111112222),,(y x x x dz z y x f dy dx（3）、由圆锥面22y x z +=与上半球面222y x z --=围成解：22222y x z y x --≤≤+，,2222x y x -≤≤--22≤≤-x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰--+-+---=22222222222),,(y x y x x x dz z y x f dy dx（4）、由双曲抛物面xy z =与平面0,1==+z y x 围成 解：xy z ≤≤0，,10x y -≤≤10≤≤x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰-=xyxdz z y x f dy dx 01010),,(2、 设有一物体，点据空间闭区域{}10,10,10),,(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x 密度函数为z y x z y x ++=),,(μ，求该物体的质量解：=++=⎰⎰⎰Ωdv z y x M )(=⎰⎰⎰Ωxdv ++⎰⎰⎰Ωydv =⎰⎰⎰Ωzdv =⎰⎰⎰Ωzdv 32331011==⎰⎰⎰zdz dy dx 3、 计算三重积分 （1）、⎰Ωx y d v⎭⎬⎫⎩⎨⎧=++====Ω132,0,0,0),,(z y x z y x z y x ⎰⎰⎰Ωxydv ⎰⎰⎰---=)21(30)1(2010yx x xydz dy dx ⎰⎰---=)1(202210)2333(x dy xy y x xy dx ⎰⎰---=)1(202210)2333(x dy xy y x xy dx⎰-----=103222])22(21)22(33)22(23[dx x x x x x x ⎰-----=103222])22(21)22(33)22(23[dx x x x x x x 101512215105]12303010[10432=-+-=-+-=⎰dx x x x x （2）、⎰⎰⎰Ωzdv y x 22 {}x z z x y x y x z y x ==-====Ω.0,,,1),,( ⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰-=xxx zdz y x dy dx 02210⎰⎰-=x x dy y x dx 24102124131107==⎰dx x （3）、⎰Ωx y z d v{}0,1,,),,(=====Ωz x x y xy z z y x⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰=xyxxyzdz dy dx 01264181107==⎰dx x （4）、⎰Ωdv z 2 {}0,1),,(22=--==Ωz y x z z y x⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰------=22221021111y x x x dz z dy dx ⎰⎰--=x dy y x dx 0232210)1(311525132)1(311023220ππθπ=⋅=-=⎰⎰rdr r d （5）、⎰Ωdv z 2 {}z x y z z y x 2),,(222≤++=Ω解；积分区域是1)1(222=-++z y x ，22221111y x z y x --+≤≤---2211x y x -≤≤--111≤≤-x这样计算很繁琐，改为下面的方法（是很高的技巧） 任意取一点,z 则截口面积为)2(2z z dxdy -=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDdxdy dz z dv z2022dz z z )2(243⎰-=π58)542(2054ππ=-=z z4、 利用柱坐标计算 （1）⎰⎰⎰Ωzdv 其中Ω是由上半球面222y x z --=与旋转抛物面22y x z +=围成的闭区域解：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎪⎩⎪⎨⎧+=--=22222y x z y x z 为⎩⎨⎧==+0122z y x 就是{}1),(22≤+=y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，222r z r -≤≤ 10,20≤≤≤≤r πθ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰-=222120r rzdz rdr d πθ⎰⎰--=104220]2[21dr r r r d πθ 127)61411(]2[21105320ππθπ=--=--=⎰⎰dr r r r d （2）⎰⎰⎰Ω+dv y x z22 其中Ω是由旋转抛物面22y x z +=与平面1=z 围成的闭区域解：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎩⎨⎧+==221yx z z 为⎩⎨⎧==+0122z y x 就是{}1),(22≤+=y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，12≤≤z r 10,20≤≤≤≤r πθ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰=112202rzdz dr r d πθ⎰⎰-=104220]1[21dr r r d πθ 214)7131(][21106220ππθπ=-=-=⎰⎰dr r r d5、设密度为常量μ的均匀物体占据由223y x z --=与0,1,1=±=±=z y x 围成的闭区域，求（1）、物体的质量 （2）、物体的重心 （3）、物体对于z 轴的转动惯量解：先确定该区域在xoy 面的投影区域 就是{}11,11),(≤≤-≤≤-=y x y x D （1）、=M ⎰Ωdv μ ⎰⎰⎰----=22301111y x dz dy dx μ⎰⎰--=-12211)3(2dy y x dx μμμμ328)3138(4)38(4102=-=-=⎰dx x（2）、由对称性得0~,0~==y x=z M =⎰⎰⎰Ωzdv μ⎰⎰⎰----22301111y x zdz dy dx μ⎰⎰--=-122211)3(dy y x dx μμμ45506)316536(2142=+-=⎰dx x x ==MM z z ~210253，所以物体的重心是)210253,0,0( （3）=z I ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22μ⎰⎰⎰----+=2230112211)(y x dz dy y x dx μ⎰⎰--+=122221)3)((4dy y x y x dx μ⎰⎰---+=14422221)233(4dy y x y x y x dx μM dx x x 1056245248)519754(4)3754(41042==-+=-+=⎰μμμ6、设密度为常量1的均匀物体占据由上半球面222y x z --=与圆锥面22y x z +=围成的闭区域，求（1）、物体的质量 （2）、物体的重心 （3）、物体对于z 轴的转动惯量解：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎪⎩⎪⎨⎧+=--=22222y x z y x z 为⎩⎨⎧==+0122z y x 就是{}1),(22≤+=y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，22r z r -≤≤ 10,20≤≤≤≤r πθ，于是（1）、=M ⎰⎰⎰Ωdv ⎰⎰⎰-=22120r rdz rdr d πθ⎰⎰--=1220]2[dr r r r d πθ=--=⎰⎰102220]2[dr r r r d πθ)12(34)12(3220-=-=⎰πθπd （2）、由对称性得0~,0~==y x =z M ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰-=22120r rzdz rdr d πθ⎰⎰--=102220]2[21dr r r r d πθ=-=⎰⎰10320][dr r r d πθ24120πθπ==⎰d==MM z z ~)12(83+，所以物体的重心是))12(83,0,0(+（3）、=z I ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22 ⎰⎰⎰-=221320r rdz dr r d πθ⎰⎰--=12320]2[dr r r r d πθ=--=⎰⎰1042320]2[dr r r r d πθ)51(2-A π =A dt t t dr r r)(cos sin 242223123⎰⎰=-πdt t t )sin (sin 245203-=⎰π1528)15832(24=-= 所以=z I )328(152)511528(2-=-=ππ （B ）的习题 1、⎰⎰⎰Ω+dv z x y )cos( ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==+====Ω0.2,,0,2),,(z z x x y y x z y x ππ ⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰-+=xxdz z x y dy dx 202)cos(ππ=⎰⎰-xdy x y dx 020)sin 1(π⎰-=20)sin 1(21πdx x x 202]cos [sin 2116ππx x x --=21162-=π2、⎰⎰⎰Ωzdv {}z z y x z y xz y x 2,1),,(222222=++=++=Ω皆7：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎩⎨⎧=++=++z z y x z y x 21222222为⎪⎩⎪⎨⎧==+04322z y x 就是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=43),(22y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，22111r z r -≤≤-- 230,20≤≤≤≤r πθ，于是 ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰---=221112320r r zdz rdr d πθ=⎰⎰--230220)112(21dr r r d πθ245]21)1(32[2302232ππ=---=r r习题9.51、 计算下列对弧长曲线积分（1）、ds y x nl⎰+)(22，其中l 为圆周222a y x =+解：设t a y t a x sin ,cos ==，adt ds =ds y xn l⎰+)(22⎰++==ππ2012122n n a dt a（2）、⎰l yds x sin 其中l 是连接点)0,0(，),3(ππ的直线段解：l 的方程为x y 31=π30≤≤x dx dx ds 310911=+=⎰lyds x sin dx xx ⎰=π303sin 310dt t t ⎰=π0sin 103π103= （3）、⎰l y ds 其中l 是连接点x y 42=上点)0,0(，)2,1(的一段弧解：l 的方程为x y 42= 10≤≤x dx xds 11+= ⎰lyds )122(34)1(34121231-=+=+=⎰x dx x （4）、⎰+l ds y x )( 其中l 是连接点)0,1(，)1,0(的直线段解：l 的方程为x y -=1 ， 10≤≤x ， dx ds 2=⎰+lds y x )(dx ⎰=122=（5）、ds x l⎰，其中l 为x y =与2x y =所围区域的边界解：l 的方程为x y = ， 10≤≤x dx ds 2=l 的方程为2x y = ， 10≤≤x dx x ds 241+=ds x l ⎰dx x x dx x ⎰⎰++=1210412)12655(121)41(32812210232-+=+⋅+x （5）、ds x l⎰，其中l 为x y =与2x y =所围区域的边界解：l 的方程为x y = ， 10≤≤x dx ds 2=l 的方程为2x y = ， 10≤≤x dx x ds 241+=ds x l ⎰dx x x dx x ⎰⎰++=1210412)12655(121)41(32812210232-+=+⋅+x （6）、ds y l⎰，其中l 为圆周122=+y x解：设t y t x sin ,cos ==，dtds =ds y l⎰⎰=πsin tdt ⎰-ππ2sin tdt πππ20cos cos x x +-=422=+= （7）、ds el y x ⎰+22，其中l 为圆周0,,422===+y x y y x 在第一象限的区域的边界解：在直线0=y 上 20≤≤x dx ds =ds ely x ⎰+122122-==⎰e dx e x在弧422=+y x 上设t y t x sin 2,cos 2==，dt ds 2=40π≤≤tds el y x ⎰+222222402ππ⋅==⎰e dt e在直线x y =上 20≤≤x dx ds 2=ds el y x ⎰+32212220222-===⎰e edx exxds ely x ⎰+22+-=)1(2e +⋅22πe )1(2-e )22(2+=πe 2-（8）、⎰l x y ds 其中l 是2,4,0,0====y x y x 围成的矩形的边界解：4321l l l l l +++=1l 的方程为0=y =⎰1l x y d s 001=⎰dx l ，4l 的方程为0=x=⎰4l xyds 004=⎰dy l2l 的方程为4=x=⎰2l x y d s 842==⎰y d y， 3l 的方程为2=y=⎰3l x y d s1624=⎰xdx24=⎰lxyds（9）、⎰l ds y 2其中l 是摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的一拱解：dt t a t a ds 2222sin )cos 1(+-=dt ta 2sin 22= ⎰l ds y 232022282sin 2)cos 1(a dt t a t a =-=⎰π=⎰π2052sin dt t ⎰π053sin 16udu a1525615832sin 32332053aa udu a =⋅==⎰π（10）、⎰+lds y x 22 其中l 是上半圆周x y x 222=+与x 轴围域的边界解：21l l l +=，1l ：x y x 222=+化为1)1(22=+-y x 设t y t x sin ,cos 1==-，dt ds =⎰+122l ds y x =++=⎰π22sin )cos 1(dt t t =⎰π2cos dt t4cos 420=⎰πudu2l ：0=y ，dx ds =⎰+222l ds y x 22==⎰xdx62422=+=+⎰lds y x2、 求半径为,R 中心角为α2的扇形圆弧的质心（密度均匀)1=μ解：选择与书上168页图9-34一样的坐标系，于是根据对x 轴的对称性得0~=y 设1=μ，t R y t R x sin ,.cos ==Rdt ds =R M α2=⎰=lyds M x 1~==⎰-ααtdt R M cos 12==⎰α2cos 2tdt R Mαααsin sin 22R M R ==所求质心为)0sin (ααR3、 计算下列关于坐标的曲线积分 （1）、⎰+ldx y x )(22，L 是抛物线2x y =上)0,0(O 到)4,2(A 一段弧解：⎰+l dx y x )(221556]53[)(20532042-=+=+=⎰x x dx x x（2）、⎰l y dx ，L 是 2,4,0,0====y x y x 矩形的边界按照逆时针方向 解：A O ：0=y ，4:=x B A0=dx ，2:=y C A ，0:=x O C0=dx ，⎰lydx ⎰⎰⋅+=ABOAy dx 00⎰⎰⋅++COBCy dx 028204-==⎰dx（3）、⎰+l x d y y dx ，L 是 20,sin ,cos π≤≤==t t R y t R x 一段针方向的弧解：⎰+l xdy ydx dt x x dt t tR R t R t R )(]cos cos )sin (sin [242⎰++-=π02sin 22cos 202202===⎰ππtR dt t R（4）、⎰+-++lyx dyx y dx y x 22)()(，L 是圆周 222a y x =+沿逆时针方向解：t a y t a x sin ,cos ==，⎰+-++l y x dy x y dx y x 22)()(⎰-+-+=π2022]cos )sin (cos )sin )(sin [(cos a dt t t t t t t a ππ2120-=-=⎰dt（5）、⎰++l x dy dx y x )(，L 是折线 x y --=11从)0,0(到)0,2(一段解：⎩⎨⎧>-≤=121x x x xy ，弧dx dy x y A O ==,: ，dx dy x y B A -=-=,2:⎰++lxydy dx y x )(⎰⎰+=OAAB383732311)22()2(212102=+-++=+-++=⎰⎰dx x x dx x x （6）、⎰---l dy y a dx y a )()2(，L 是 )cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=摆线的一拱，从)0,0(到)0,2(a π解：⎰---ldy y a dx y a )()2(dt t a t a a ⎰---=π20)cos 1()]cos 1(2[dt t a t a a ⎰---π20sin )]cos 1([dt t t t a ⎰+=π2022)cos sin (sin220222sin 2cos 1(a dt tt a ππ=+-=⎰4、计算⎰-++l dy x y dx y x )()(，其中L 分别是（1）、x y =2上点)1,1(到)2,4( （2）、点)1,1(到)2,4(的直线段解：（1）、在x y =2上点)1,1(到)2,4(，dx xdy 21=⎰-++ldy x y dx y x )()(dx x x xx x )](21[41-++=⎰3342153723)2121(41=++=++=⎰dx x x （2）、点)1,1(到)2,4(的直线段，3231+=x y ，dx dy 31=⎰-++ldy x y dx y x )()(dx x x x x )]3231(313231[41-++++=⎰ 11398215910)98910(41=⋅+⋅=+=⎰dx x 5、计算⎰+++l dy y x dx y x )2()2(，其中L 分别是（1）、2x y =上点)0,0(到)1,1(的一段弧 （2）、3x y =点)0,0(到)1,1(的一段弧 （3）、点)0,0(到点)0,1(再到点)1,1(的折线 解：（1）、2x y =上点)0,0(到)1,1(，xdx dy 2=⎰+++ldy y x dx y x )2()2(dx x x x xx ])2(22[122⎰+++=3111)432(132=++=++=⎰dx x x x（2）、3x y =点)0,0(到)1,1(的一段弧，dx x dy 23=⎰+++ldy y x dx y x )2()2(dx x xx ])642[153⎰++=3111=++=（3）、点)0,0(到点)0,1(再到点)1,1(的折线⎰+++ldy y x dx y x )2()2(+=⎰dx x 102⎰+1)21(dy y 3=6、一力场由沿x 轴正向的常力→F 构成，求将一个质量为m 的质点沿222R y x =+按逆时针方向移动过第一象限那段弧所做的功 解：→F →=i F dx F W l⎰=F R tdt R F -=-=⎰2sin π节9.6习题处理1、计算下列关于坐标的曲线积分，并验证格林公式的正确性（1）dy y x dx y x l )()(22--+⎰，L 是椭圆12222=+by a x 沿逆时针方向解：设t b dy t b y t a dx t a x cos ,sin ,sin ,cos ==-==dy y x dx y xl)()(22--+⎰⎰⎰⎰-+-=πππ2023202320sin cos cos sin tdt t atdt t bdt abab π2-=用格林公式y x y x P +=2),( 2),(y x y x Q +-=1),(-=y x Q x 1),(=y x P ydy y x dx y x l)()(22--+⎰ab dxdy Dπ22-=-=⎰⎰ （2）、dy y x dx y x l )()(222+-+⎰)0,0()1,0()0,1()0,0(:→→→L 直线段围成的闭路解：0),0,1()0,0(:1=→y L ； x y L -=→1),1,0()0,1:2；0),0,0()1,0(:3=→x Ldy y x dx y x l)()(222+-+⎰1])1([012012210-=--+-=⎰⎰⎰dy y dx x x xdx 用格林公式2)(),(y x y x P += 22),(y x y x Q --=x y x Q x 2),(-= )(2),(y x y x P y +=dy y x dx y x l)()(222+-+⎰=+-=⎰⎰Ddxdy y x )2(2⎰⎰-+-xdy y x dx 1010)2(21)2321(210-=-+-=⎰dx x x2、求星形线t a y t a x 33sin ,cos ==所围的面积解：dt t t a ydx xdy A l ⎰⎰=-=π20222sin cos 232183)4cos 1(1632202a dt t t a ππ=-=⎰3、用格林公式计算（1）、dy y x dx y x l)653()42(-+++-⎰)0,0()2,3()0,3()0,0(:→→→L 直线段围成的三角形边界解：653),(-+=y x y x Q 42),(+-=y x y x P3),(=y x Q x y y x P y -=),(dy y x dx y x l)653()42(-+++-⎰12212344=⨯⨯⨯==⎰⎰Ddxdy ⎰⎰-+-x dy y x dx 1010)2(2（2）、dy y y x dx xe xy l x)cos ()32(2-++⎰1:2222=+by a x L 逆时针方向解：x xe xy y x P 32),(+= y y x y x Q c o s ),(2-=x y x Q x 2),(= x y x P y 2),(=dy y x dx y x l)653()42(-+++-⎰00==⎰⎰Ddxdy（3）、⎰+++l y ydy e x dx xey )1()(22224:x x y l -=由)0,4()0,0(→的弧解：先补足成闭路1-+=l OA Ly xe y y x P 2),(+= 1),(22+=y e x y x Qy x xe y x Q 22),(= y y xe y x P 221),(+=⎰+++L y y dy e x dx xe y )1()(222ππ2)2(212-=-=-=⎰⎰Ddxdy 于是⎰+++ly ydy e x dx xey )1()(222-+++=⎰dy e x dx xe y y OA y )1()(22(2⎰+++Ly ydy e x dx xey )1()(222ππ2824+=+=⎰xdx（4）、⎰---l dy y y x dx y )sin ()cos 1(x y l s i n:=上由)0,()0,0(π→的弧解：先补足成闭路1-+=l OA Ly y x P cos 1),(-= )s i n (),(y y x y x Q --=y y y x Q x sin ),(+-= y y x P y s i n ),(=⎰-+---1)sin ()cos 1(l OA dy y y x dx y ⎰⎰⎰⎰-=-=xDydy dxydxdy sin 0π4)12((cos 41sin 21002πππ-=-=-=⎰⎰x xdx于是⎰---ldy y y x dx y )sin ()cos 1(----=⎰dy y y x dx y OA )sin ()cos 1((⎰-+---1)sin ()cos 1(l OA dy y y x dx y4400πππ=+=⎰dx（5）、⎰+--l dy y x dx y x )sin ()(2222:x x y l -=上由)1,1()0,0(→的弧解：先补足成闭路1-++=l AB OA Ly x y x P -=2),( )s i n ),(2y x y x Q --=-=),(y x Q x 1),(-=y x P y⎰-+++--1)sin ()(22lAB OA dy y x x dx y x 0=于是⎰+--l dy y x dx y x )sin ()(22+--=⎰dy y x dx y x OA)sin ()(22dy y x dx y x AB)sin ()(22--=⎰+=⎰102dx x ⎰--12)sin 1(dy y⎰---=10)2cos 1(21131dy y 672sin 41-= （6）、⎰+++l xxdy e x dx ye )()1( 1:2222=+by a x L 上由)0,()0,(a a →-的上半椭圆解：先补足成闭路1),(-++-=l a a Lx ye y x P +=1),( x e x y x Q +=),(x x e y x Q +=1),( x y e y x P =),(ab dxdy dy e x dx ye Dl a a x x π21)()1(1),(==+++⎰⎰⎰-++- 于是⎰+++lxx dy e x dx ye )()1(ab dy e x dx ye a a x x π21)()1(),(-+++=⎰+- ab dx a a π21-=⎰-ab a π212-= 4、 证明下列曲线积分在xoy 面内与路径无关，并计算积分值 （1）、⎰-++)3,2()1,1()()(dy y x dx y xy x y x P +=),( y x y x Q -=),( 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数1),(=y x Q x 1),(=y x P y 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内与路径无关⎰-++)3,2()1,1()()(dy y x dx y x ⎰+=21)1(dx x ⎰-+31)2(dy y=--+-+=)19(214)14(21125 （2）、⎰-++-)1,2()0,1(324)4()32(dy xy x dx y xy32),(4+-=y xy y x P 324),(xy x y x Q -= 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数342),(y x y x Q x -= 342),(y x y x P y -= 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内与路径无关⎰-++-)1,2()0,1(324)4()32(dy xy x dx y xy ⎰+=21)22(dx x ⎰-+13)164(dy y544)14(2=-+-+=25（3）、⎰-++),()0,0()c o s ()s i n (ππdy y xe dx x e y yx e y x P y sin ),(+= y xe y x Q y cos ),(-= 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数y x e y x Q =),( yy e y x P =),( 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内与路径无关⎰-++),()0,0()cos ()sin (ππdy y xe dx x e yy⎰+=π0)sin 1(dx x ⎰-+ππ0)cos (dy y e y=--++=0)1(2πππe 252+=ππe 5、验证下列dy y x Q dx y x P ),(),(+在整个xoy 面内是某一个函数),(y x u 的全微分，并且求这样的函数),(y x u（1）、dy y x dx y x )2()2(+++解答：y x y x P 2),(+= y x y x Q +=2),( 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数2),(=y x Q x 2),(=y x P y 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使dy y x dx y x y x du )2()2(),(+++=⎰+++=),()0,0()2()2(),(y x dy y x dx y x y x u ⎰=x xdx 0⎰++ydy y x 0)2(2221221y xy x ++=（2）、dy y xe dx e x y y )2()2(-++解答：y e x y x P +=2),( y xe y x Q y 2),(-= 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数y x e y x Q =),( y y e y x P =),( 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使=),(y x du dy y xe dx e x y y )2()2(-++⎰-++=),()0,0()2()2(),(y x yydy y xe dx e x y x u ⎰+=x dx x 0)12(⎰-+yy dy y xe 0)2(=-+-+=x xe y x x y 22y xe y x +-22（3）、y d y x y d x x 3c o s 2c o s 33s i n 2s i n2-解答：y x y x P 3sin 2sin 2),(= y x y x Q 3c o s 2c o s 3),(-= 都是初等函数，因此在xoy面内有连续的偏导数y x y x Q x 3c o s 2s i n 6),(= y x y x P y 3c o s 2s i n 6),(= 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使=),(y x du dy y x Q dx y x P ),(),(+⎰-=),()0,0(3cos 2cos 33sin 2sin 2),(y x ydy x ydx x y x uy x ydy x y 3sin 2cos 3cos 2cos 30-=-=⎰（4）、dy ye y x y x dx xy y x y)122()3(223322++++解答：32283),(xy y x y x P += yye y x y x y x Q ++=223122),( 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数22246),(xy y x y x Q x += =),(y x P y 22246xy y x + 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使=),(y x du dy y x Q dx y x P ),(),(+⎰++++=),()0,0(223322)122()83(),(y x y dy ye y x y x dx xy y x y x u31 ⎰++=yy dy ye y x y x y x u 0223)122(),(y y e ye y x y x -++=322346、设→→→-++=j xy i y x F )12()(2试证：在在xoy 面内，→F 作的功与路径无关 证明：⎰-++=l dy xy dx y x W )12()(22),(y x y x P += 12),(-=xy y x Q 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数 y y x Q x 2),(= y y x P y 2),(= 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内积分与路径无关，所以在在xoy 面内， →F 作的功与路径无关。
习题9.11.二元函数()y x f ,在有界闭区域D 可积的充分与必要条件是什么？它的几何意义和物理意义是什么？【答】几何意义表曲顶柱体的体积的代数和；物理意义表平面薄片的质量. 2.设()(){}11|,22≤+-=y x y x D ，则二重积分⎰⎰=Ddxdy π.【解】根据二重积分的性质，⎰⎰Ddxdy 等于积分区域D 的面积.而此处积分区域D 是半径为1的圆域，因此其面积为π. 3.求⎰⎰Ddxdy 4，其中(){}1|,≤+=y x y x D .【解】⎰⎰Ddxdy 4()()824442=⨯===⎰⎰D S dxdy D.4.如果闭区域D 被分成区域1D 、2D 且()5,1⎰⎰=D dxdy y x f ，()1,2⎰⎰=D dxdy y x f ，求()⎰⎰Ddxdy y x f ,.【解】根据二重积分的性质()⎰⎰Ddxdy y x f ,()⎰⎰+=1,D dxdy y x f ()615,2=+=⎰⎰D dxdy y x f .5.设()⎰⎰+=13221D d y x I σ， (){}22,11|,1≤≤-≤≤-=y x y x D ；()⎰⎰+=23222D d y x I σ，其中(){}20,10|,2≤≤≤≤=y x y x D .试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之 间的关系.【解】因为积分区域2D 关于x 轴及y 轴均对称，且被积函数()()322,y x y x f +=为偶函数，故根据二重积分的对称性知214I I =. 6.估计下列积分的值. （1）⎰⎰+=Dy xd e I σ22，其中(){}41|,22≤+≤=y x y x D ；【解】积分区域D 的面积πσ3=.显然被积函数()32,y x e y x f +=在积分区域D 内有最小值e e m ==1及最大值4e M =，因此由估值定理知 433e I e ππ≤≤.（2）⎰⎰=Dyd x I σ22sin sin ，其中(){}ππ≤≤≤≤=y x y x D 0,0|,.【解】积分区域D 的面积2πσ=.显然被积函数()x x y x f 22sin sin ,=在积分区域D 内有最小值()00,0==f m 及最大值12,2=⎪⎭⎫⎝⎛=ππf M ，因此由估值定理知20π≤≤I .7.设函数()y x f ,在点()b a ,的某个邻域内连续，D 表示以点()b a ,为圆心且完全含在上述邻域内的圆域（半径为R ）.求极限 ()⎰⎰→DR d y x f R σπ,1lim20.【解】积分区域D 的面积2R πσ=.由积分中值定理知 ()⎰⎰Dd y x f σ,()()ηξπσηξ,.,2f R f ==.显然当0→R 时，()()b a ,,→ηξ，所以 ()⎰⎰→DR d y x f R σπ,1lim20()()b a f f R ,,lim 0==→ηξ.8.设区域(){}1|,22≤+=y x y x D ，()y x f ,为区域D 上的连续函数，且 ()()dxdy y x f y x y x f D⎰⎰---=,11,22π. ① 求()y x f ,.【解】记 ()dxdy y x f a D⎰⎰=,. ②则①成为()πay x y x f ---=221,. ③由③得()⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=DDDdxdy adxdy y x dxdy y x f π221,. ④其中，根据几何意义及性质可知32134211322ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=--⎰⎰dxdy y x D.π=⎰⎰Ddxdy .所以由④式得到 3.32ππππ=⇒-=a a a . 将3π=a 代入③即得到()311,22---=y x y x f .习题9.21.在化二重积分时，选择坐标系的原则是什么？【解】选择坐标系的原则主要是根据积分区域的形状，具体地讲，积分区域的边界曲线是用直角坐标方程表示方便还是用极坐标方程表示简洁.当然，被积函数的特征也要考虑，如形如()22y xf+的积分就首选极坐标系来计算.2.先画出积分区域，再计算二重积分.（1）()⎰⎰+Dd y x σ22，其中D 是矩形区域：1,1≤≤y x ；【解】记(){}10,10|,1≤≤≤≤=y x y x D .由对称性知()⎰⎰+Dd y xσ22()⎰⎰+=1224D d y x σ()dy y x dx ⎰⎰+=101224⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=101032|314dx y y x 3831314314101032|=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰x x dx x .（2）()⎰⎰++Dd y y x x σ3233，其中D 是矩形区域：10,10≤≤≤≤y x ；【解】()⎰⎰+Dd y xσ22()dy y y x x dx ⎰⎰++=10103233⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10104223|4123dx y y x y x1412141412310103423|=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰x x x dx x x .（3）()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的区域；【解】()⎰⎰+Dd y x σ23()dy y x dx x⎰⎰-+=202023()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-20202|3dx y xy x()()[]()3204324222232020232022|=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=-+-=⎰⎰x x x dx x x dx x x x .（4）()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π，()ππ,的三角形区域；【解】()⎰⎰+Dd y x x σcos ()dy y x x dx x ⎰⎰+=π00cos ()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=π00|sin dx y x x x()⎰⎰⎰-=-=πππ0sin 2sin sin 2sin xdx x xdx x dx x x x()()⎰⎰+-=ππ00cos 2cos 21x xd x xd 【分部】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰ππππ0000cos cos 22cos 212cos 21||xdx x x x xd x xπππππππ2321sin 2sin 2121||00-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=x x .（5）⎰⎰Dxy dxdy ye ，其中D 是由曲线2,2,1===y x xy 所围成的区域； 【解】⎰⎰Dxydxdy ye dy ye dx x xy⎰⎰=22121()x d e yd x x xy ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221211x d dy e ye x x xy x xy ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2212121|1x d e x x e e x x xy x⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=221212|1121 x d e x e x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22122212x d e x x⎰=221212x d e xx ⎰-221221其中=⎰x d e x x 221221⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰x d e x 12212【分部】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰2212221211|x x e d x e x ++-=e e 2214x d e xx ⎰221212.所以⎰⎰Dxydxdy ye -=⎰x d e x x 221212e e dx e x e e x22112221422214-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎰. （6）()⎰⎰+Ddxdy y x sin ，其中D 是矩形区域：ππ20,0≤≤≤≤y x .【解】以直线π=+y x 及π2=+y x 将区域D 分成三个子区域：321D D D D ⋃⋃=.其中，⎩⎨⎧≤≤-≤≤,0,0:1ππx x y D ， ⎩⎨⎧≤≤-≤≤-,0,2:2πππx x y x D ，⎩⎨⎧≤≤≤≤-,0,22:3πππx y x D ()dy y x dx I x⎰⎰-+=ππ0sin ()dy y x dx x x ⎰⎰--+-+πππ02sin ()dy y x dx x⎰⎰-++πππ022sin其中()dy y x dx x⎰⎰-+ππ0sin ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-ππ00|cos ()()πππ=+=+=⎰|0sin cos 1x x dx x ；()dy y x dx xx⎰⎰--+-πππ02sin ()dx y x xx ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--πππ02|cosππ220==⎰dx ；()dy y x dx x ⎰⎰-+πππ022sin ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-πππ022|cos ()()πππ=-=-=⎰|0sin cos 1x x dx x .所以 .42ππππ=++=I3.化二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,为二次积分，且二次积分的两个变量的积分次序不同，其中积分区域D 为：（1）由直线x y =及抛物线x y 42=所围成的区域；【解】联立⎩⎨⎧==,4,2x y x y 解得⎩⎨⎧==,0,0y x 或⎩⎨⎧==.4,4y x 所以直线x y =及抛物线x y 42=的交点为()0,0及()4,4.（i ）若视区域D 为-X 型区域，则⎩⎨⎧≤≤≤≤.40,2:x x y x D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰=402,xxdy y x f dx .（ii ）若视区域D 为-Y 型区域，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.40,41:2y y x y D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰=40412,y y dx y x f dy .（2）半圆形区域222r y x ≤+，0≥y .（i ）若视区域D 为-X 型区域，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤.,0:22r x r x r y D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰--=rrx r dy y x f dx 320,.（ii ）若视区域D 为-Y 型区域，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤--.0,:3222r y y r x y r D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰---=ry r y r dx y x f dy 03222,.4．交换下列积分次序 （1）()⎰⎰--21222,x x xdy y x f dx ；【解】D 是由圆周曲线()1122=+-y x ，2=+y x 【两曲线交于点()1,1】所围成的区域.故()⎰⎰--21222,x x xdy y x f dx ().,11122⎰⎰-+-=y ydy y x f dy（2）()⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0,；【解】积分区域D 由曲线x y ln =，及x 轴和直线e x =所围成. 若改变积分次序，即将区域D 视为-Y 型区域，则⎩⎨⎧≤≤≤≤,10:1y ex e D y ，所以()⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0,().,10⎰⎰=eey dx y x f dy（3）()⎰⎰102,x xdy y x f dx ；【解】积分区域D 由抛物线x y 42=及两直线x y =和直线1=x 所围成.若改变积分次序，即将区域D 视为-Y 型区域，则需要将D 分块： 21D D D ⋃=.其中⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,1041:21y yx y D ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,21141:22y x y D .所以 ()⎰⎰102,xxdy y x f dx()⎰⎰=10412,y y dx y x f dy ()⎰⎰+211412,y dx y x f dy .（4）()⎰⎰--0121,ydx y x f dy ()⎰⎰++1021,ydx y x f dy .【解】积分区域21D D D ⋃=.其中⎩⎨⎧≤≤-≤≤-,0121:1y x y D ，⎩⎨⎧≤≤≤≤+,1021:2y x y D 因此积分区域D 是由三直线1,1=-=+y x y x 及2=x 所围成的三角形区域.若改变积分次序，即将区域D 视为-X 型区域，则⎩⎨⎧≤≤-≤≤-21,11:x x y x D所以 ()⎰⎰--0121,y dx y x f dy ()⎰⎰++1021,ydx y x f dy ()⎰⎰--=2111,x x dy y x f dx .5.计算⎰⎰-10122xy dy e dx x .【解】积分区域D 是由直线x y =、1=y 及y 轴所围成的三角形区域. 改变积分次序得⎰⎰-10122x y dy e dx x ⎰⎰-=10022y y dx x dy e ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1003|312dy x e y y⎰-=103231dy e y y ()⎰--=102261y ed y 【分部】 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰--10210222|61y d e e y y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--|101261y e e 6131+-=e .6.求由平面0,0==y x 及1=+y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面z y x -=+622截得的立体的体积.【解】根据二重积分的几何意义知()⎰⎰--=Ddxdy y x V 226.其中积分区域D 是xoy 面内由直线1=+y x 及x 轴、y 轴所围成的平面区域.V ()dy y x dx x⎰⎰---=1010226⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-101032|316dx y y x y x()()()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=101023323175234131116dx x x x dx x x x x .617317253231|10234=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=x x x x . 7.利用极坐标计算下列各题. （1）⎰⎰+Dy xd e σ22，其中D 是圆形区域：422≤+y x ； 【解】⎰⎰+Dy xd e σ22⎰⎰+=1224D y xd e σ【极坐标】()121244202020|22-=⎪⎭⎫⎝⎛==⎰⎰e e rdr e d r r ππθπ.（2）()⎰⎰++Dd y x σ221ln ，其中D 是圆周122=+y x 及坐标轴在第一象限内所围成的区域；【解】()⎰⎰++Dd y x σ221ln 【极坐标】()=+=⎰⎰rdr r d 20121ln πθ【令t r =2】()dt t ⎰+=11ln 4π【分部】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰dt t t t t 101011ln 4|π()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=⎰dt t t 101112ln 4π []()12ln 241ln 42ln 4|10-=+--=πππt t .（3）σd x yD⎰⎰arctan ，其中D 是由圆周122=+y x ，422=+y x 及直线xy y ==,0在第一象限内所围成的区域；【解】rdr r r d dxdy x y I D.cos sin arctan arctan 4021⎰⎰⎰⎰==πθθθ==⎰⎰rdr d .421πθθ .64321.21.22124024021||πθθθππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰r dr r d（4）⎰⎰Dxdxdy ，(){}x y x y x D 22|,22≤+≤=；【解】⎰⎰Dxdxdy ⎰⎰=12D xdxdy 【极坐标】⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰⎰24cos 204020.cos .cos 2ππθπθθθθrdr r d rdr r d⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰⎰24cos 20340202|31cos .cos 2ππθπθθθθd r dr r d ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰24420340cos 3831sin 2||πππθθθd r θθππd ⎰+=244cos 3163424132331634ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=.【其中θθππd ⎰244cos θθππd 22422cos 1⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()θθθππd ⎰++=2422cos 2cos 2141⎰=2441ππθd ()⎰+2422cos 41ππθθd ＋⎰+2424cos 141ππθθd 413234sin 3214812sin 41441||2424-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯++⨯=πθπθπππππ】. 【注意：此题书中答案有误】.（5）⎰⎰-Ddxdy y x ，(){}0,0,1|,22≥≥≤+=y x y x y x D ；【解】以直线x y =将积分区域D 分块：21D D D ⋃=其中1D 由圆周()0,0122≥≥=+y x y x 及x 轴和直线x y =所围成； 其中2D 由圆周()0,0122≥≥=+y x y x 及y 轴和直线x y =所围成.⎰⎰-Ddxdy y x ()+-=⎰⎰1D dxdy y x ()⎰⎰-2D dxdy x y 【极坐标】()rdr r r d ⎰⎰-=14sin cos θθθπ()rdr r r d ⎰⎰-+124cos sin θθθππ()dr r d ⎰⎰-=1240sin cos πθθθ()dr r d ⎰⎰-+1224cos sin ππθθθ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=||1034031.cos sin r πθθ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+||1032431.sin cos r ππθθ ()()12311231-+-=()1232-=. （6）()⎰⎰+Ddxdy y x y 23，(){}0,4|,22≥≤+=y y x y x D .【解】()⎰⎰+Ddxdy y x y 23⎰⎰=Dydxdy ⎰⎰+Ddxdy y x 230+=⎰⎰Dydxdy【极坐标】rdr r d ⎰⎰=20.sin θθπdr r d ⎰⎰=220sin πθθ31631cos ||2030=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r πθ. 8.把()⎰⎰+=Ddxdy y xfI 22化为单重积分，其中(){}1|,22≤+=y x y x D .【解】()⎰⎰+=Ddxdy y xfI 22【极坐标】()⎰⎰=1204rdr r f d πθ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰1020.4rdr r f d πθ()⎰=102rdr r f π.9.把下列积分化为极坐标形式，并计算其积分值. （1）()⎰⎰-+ay a dx y xdy 002222；【解】()⎰⎰-+ay a dx y xdy 02222【极坐标】404228412|a r rdr r d aaππθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰. （2）()⎰⎰-+ax ax dy y xdx 2020222；【解】()⎰⎰-+ax ax dy y xdx 2020222【极坐标】==⎰⎰rdr r d a 20cos 202πθθ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛20cos 204|41πθθd r a . 44244432.!!4!!34cos 4a a d a ππθθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰.（3）⎰⎰+axdy y x dx 022；【解】⎰⎰+axdy y x dx 022【极坐标】==⎰⎰rdr r d a 40sec 0.πθθ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛40sec 03|31πθθd r a ⎰=4033sec 31πθθd a []|403tan sec ln tan .sec 61πθθθθ++=a()[]21ln 2613++=a【其中，()⎰⎰==θθθθtan sec sec 3d d I 【分部】()⎰-=θθθθsec tan tan .sec d⎰-=θθθθθd 2tan sec tan .sec ()⎰--=θθθθθd 1sec sec tan .sec 2 I d d -++=+-=⎰⎰θθθθθθθθθθtan sec ln tan .sec sec sec tan .sec 3所以，[]C I +++=θθθθtan sec ln tan .sec 21.】 （4）⎰⎰+1222xxdx y x dx .【解】⎰⎰+10222xxdx y x dx 【极坐标】==⎰⎰rdr r d a 40sec tan 0.πθθθ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛40tan sec 03|31πθθθd r a ⎰=40333tan sec 31πθθθd a ()()⎰-=40223sec 1sec sec 31πθθθd a()12452sec 31sec 5131|40353+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πθθa .10.设()x f 为连续函数，且()()⎰⎰+=Ddxdy y x f t F 22，其中(){}222|,t y x y x D ≤+=，求极限()tt F t '→0lim.【解】()()⎰⎰+=Ddxdy y x f t F 22【极坐标】()rdr r f d t⎰⎰=πθ202()r dr r f t⎰=022π.故 ()()22t tf t F π='. ① 所以()t t F t '→0lim【代入 ①】()()022lim 0f t t tf t ππ==→. 【注意：怀疑此题本身有问题，故对题目本身作了合理修正】11*.设()x f 在[]1,0上连续，并设()A dx x f =⎰10，求()()⎰⎰101xdy y f x f dx .【解】 记⎩⎨⎧≤≤≤≤,10,1:1x y x D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,10,0:2x x y D ，21D D D ⋃=.则 ()()()()dxdy y f x f dy y f x f dx I D x⎰⎰⎰⎰==1111. ①()()()()dxdy y f x f dy y f x f dx I D x⎰⎰⎰⎰==2102. ②又交换积分次序后()()==⎰⎰111x dy y f x f dx I ()()⎰⎰10y dx y f x f dy ()()⎰⎰=10xdy y f x f dx ，即21I I =.所以有 ()()()dxdy y f x f I I I D⎰⎰=+=2121211 ()()210102121A dy y f dx x f ==⎰⎰. 12*.设()x ϕ为[]1,0上的正值连续函数，证明：()()()()()b a dxdy x y x b y a D+=++⎰⎰21ϕϕϕϕ，其中b a ,为常数，(){}10,10|,≤≤≤≤=y x y x D . 【证明】因为积分区域D 关于直线x y =对称，则 ()()()=+=⎰⎰Ddxdy y x x I ϕϕϕ()()()⎰⎰+Ddxdy y x y ϕϕϕ. ① 故有()()()()212121==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰⎰DD dxdy dxdy y x y x I ϕϕϕϕ. ② 所以有()()()()=++⎰⎰D dxdy x y x b y a ϕϕϕϕ()()()b dxdy y x y a D++⎰⎰ϕϕϕ()()()⎰⎰+Ddxdy y x x ϕϕϕ ).(21b a bI aI +=+= 13*.设闭区间[]b a ,上()x f 连续且恒大于零，试利用二重积分证明不等式()()()21a b dx x f dx x f baba-≥⎰⎰. 【证法一】考虑到定积分与变量的记号无关.故有： ()()⎰⎰=b a bay f dy x f dx. ① 以及()().dy y f dx x f baba⎰⎰= ②所以有()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D b a b a dxdy y f x f x f dx dx x f ③其中，⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b y a b x a D 同时()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D b a b a dxdy x f y f x f dx dx x f ④ ③+④，得()()()()()()()()()().2.2⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D Db a b a dxdy y f x f x f y f dxdy y f x f x f y f x f dx dx x f ()222.Ddxdy b a ==-⎰⎰即： ()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 【证法二】：因为()0≥x f ，所以有20b a dx ⎡⎤⎢≥⎢⎣⎰，即 ()()()220.bbaadxf x dx b a f x λλ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰① ①式左边是λ的非负二次三项式，因此必有判别式()()()20b b a a dx b a f x dx f x ⎡⎤⎡⎤∆=--≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰. ② 故由②得到()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰14*.设()x f 在闭区间[]b a ,上连续.试利用二重积分证明不等式()()()dx x fa b dx x f ba ba ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡22.【证明】由于()2⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰dx x f b a ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰dx x f dx x f b a b a ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰dy y f dx x f ba b a . ① 令 ⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b y a b x a D 则 由①得到()()()dxdy y f x f dx x f Dba ⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2. ②又 ()()()()222y fx fy f x f +≤.③故()()()dxdy y fx f dx x f Db a ][21222+≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰⎰b a b a b a b a dy y f dx dx x f dy 2221 ()()dx x f a b b a ⎰-=221()()dy y f a b b a ⎰-+221【定积分与变量记号无关()()dx x fa b ba⎰-=2.15*.设区域(){}0,1|,22≥≤+=x y x y x D ，求二重积分⎰⎰+++Ddxdy y x xy2211.【解】⎰⎰+++Ddxdy y x xy 2211⎰⎰++=D dxdy y x 2211⎰⎰+++D dxdy yx xy221 0112122+++=⎰⎰D dxdy y x 【极坐标】rdr r d ⎰⎰+=2102112πθ ()().2ln 21ln 21112|1022102πππ=+=++=⎰rr d r习题9.３1.利用定积分、二重积分和三重积分计算空间立体体积时，被积函数和积分区域各有什么不同？ 【解】略.2.将三重积分()dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω=,,化为三次积分，其中空间区域分别为：（1）由曲面22y x z +=，0=x ，0=y ，1=z 所围成且在第一卦限内的区域；【解】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤+Ω.10,10,1:222x x y z y x Ω向xoy 面上投影区域为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤.10,10:2x x y D xy ，所以()dz z y x f dy dx I y x x ⎰⎰⎰+-=1101222,,.（2）由双曲抛物面xy z =及平面01=-+y x ，1=z 所围成的区域；【解】⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤Ω.10,10,0:x x y xy z Ω向xoy 面上投影区域为⎩⎨⎧≤≤-≤≤.10,10:x x y D xy ，所以()dz z y x f dy dx I xyx⎰⎰⎰-=01010,,.（3）由曲面222y x z +=及22x z -=所围成的区域. 【解】联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,2,2222x z y x z 消去z ，得 Ω向xoy 面上的投影区域为 1:22≤+y x D xy . 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--≤≤---≤≤+Ω.11,11,22:22222x x y x x z y x所以()dz z y x f dy dx I x y x x x ⎰⎰⎰-+----=22222221111,,.3.利用直角坐标系计算下列三重积分.（1）dV z xy ⎰⎰⎰Ω32，其中Ω是由平面x y =，1=x ，0=z 及曲面xy z =所围区域.【解】Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,0:⎩⎨⎧≤≤≤≤x x y D 故dz z dy y xdx dV z xy xyx⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω03021032⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xxy dy z y xdx 004210|41⎰⎰=x dy y dx x 0610541⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10075|7141dx y x x 3641131281281|10131012=⨯==⎰x dx x . （2）()⎰⎰⎰Ω+++31z y x dV，其中Ω是由平面0=x ，0=y ，0=z 及1=++z y x 所围成的四面体；【解】Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,10:⎩⎨⎧≤≤-≤≤x x y D 故()dxdydz z y x ⎰⎰⎰Ω+++311=()dz z y x dy dx x y x ⎰⎰⎰---+++101010311()()z y x d z y x dy dx xyx ++++++=⎰⎰⎰---1111010103()⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=1010102|11.21xy x dy z y x dx ()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=10102411121xdy y x dx ⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=1010|411121dx y y x x⎰⎪⎭⎫⎝⎛+++-=101144321dx x x ().1652ln 21811ln 4321|102-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=x x x （3）()dxdydz z x y ⎰⎰⎰Ω+cos ，其中Ω是由抛物柱面x y =以及平面0=y ，0=z ，2π=+z x 所围成区域.【解】Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.20,0:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤πx x y D 故()dxdydz z x y ⎰⎰⎰Ω+cos =()dz z x ydy dx xx⎰⎰⎰-+2020cos ππ()⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-200|2sin ππxxdy z x y dx ()⎰⎰-=200sin 1πx ydy x dx ()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2002|21sin 1πdx y x x ()⎰-=20sin 121πdx x x⎰=2021πxdx 21161sin 21220-=-⎰ππxdx x .【其中2202201614121|πππ==⎰x xdx ；()⎰⎰=-2020cos 21sin 21ππx xd xdx x 【分部】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰2020cos cos 21|ππxdx x x 21sin 21|20-=-=πx .】4.利用柱面坐标计算三重积分.（1）()d V y x ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω是由曲面z y x 222=+及平面2=z 所围成的区域；【解】本题宜采用“切片法”计算()()dxdy y x dz dz dxdy y xzD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+Ω22222.3163242.||20320202422020πππθπ====⎰⎰⎰⎰z dz r rdr r d dz z z如采用柱面坐标系：()dz dxdy y x⎰⎰⎰Ω+22.3166.2142222.2|206420223222202πππθπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰r r dr r r dz r rdr d r （2）()d V y x ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω是由曲面()222254y x z +=及平面5=z 所围成的区域；【解】（柱面坐标法）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.4:22≤+y x D()V d y x⎰⎰⎰Ω+22dr z r dz r rdr d r r ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛==20205253525220|.2πθπ dr r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰255223πππ82452|2054=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r r .（3）dV xyz ⎰⎰⎰Ω，其中Ω是由球面1222=++z y x 及三个坐标面所围且在第一卦限内的区域.【解】（球面坐标法）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为V xyzd ⎰⎰⎰Ω⎰⎰⎰=2015320cos sin cos sin ππρρϕϕϕθθθd d d48161.sin 41.sin 21|||106204202=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ρϕθππ.5.利用球面坐标计算三重积分.（1）()d V z y x ⎰⎰⎰Ω++222，其中()(){}222223,|,,y x z z z y x z y x +≥≤++=Ω；【解】（球面坐标法）()d V z y x⎰⎰⎰Ω++222⎰⎰⎰=60cos 02220.sin πϕπρρρϕϕθd d dϕρϕππϕd ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6cos 05|51sin 2ϕϕϕππd ⎰=605sin cos 52()ϕϕππcos cos 52605d ⎰-=πϕππ96037cos 6152|606=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=.（2）dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是由抛物面22y x z +=之上，球面2222=++z y x 之内的部分围成；【解】（柱面坐标法）联立⎩⎨⎧+==++22222,2y x z z y x 消z ,得Ω在xoy 坐标面上投影区域.1:22≤+y x D 所以dz dxdy z⎰⎰⎰Ω2⎰⎰⎰-=1222022r rdz z rdr d πθ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-123|22312r r z r π()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10632232dr r r r π()⎰-=1032232dr r r π()πππππ121228151121232107--=-=-⎰dr r ()1323260-=π.【其中()⎰-1032232dr r r π【令t r sin 2=】⎰=404cos .sin 328ππtdt t ()()πππππ228151cos 51328cos cos 328|405404-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰t t td ； .121813232|108107πππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎰r dr r 】（3）dxdydz x ⎰⎰⎰Ω，其中()(){}0,0,0|,,2222≥≥>≤++=Ωy x a a z y x z y x .【解】（球面坐标法）⎰⎰⎰Ωxdxdydz ⎰⎰⎰=ππρρθϕρϕϕθ00220.cos sin sin ad d d ⎰⎰⎰=ππρρρϕϕθθ0222.sin cos ad d d404020841.2sin 4121.sin |||a a πρϕϕθππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=.6.采用三种坐标计算三重积分dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中()2222|,,{R z y x z y x ≤++=Ω()}2,0222Rz z y x R ≤++>.【解法一】（柱面坐标法）联立⎩⎨⎧=++=++,2,222222Rz z y x R z y x 消z ,得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为 .43:222R y x D ≤+dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2 dr z r dz z rdr d R R r R r R R r R r R R ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==------232303220|222222223.2πθπ()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=R dr rR R r R r 23032232232π（令t R r sin =）()[]⎰--=30333cos .cos cos sin 32ππtdt R t R R t R t R[]⎰-+-=30235cos sin cos 3cos 31cos 232ππtdt t t t t R⎰=3045sin cos 34ππtdt t R ⎰-305sin cos 32ππtdt t R⎰+3025sin cos 2ππtdt t R⎰-3035sin cos 2ππtdt t R|30555cos 34ππt R -=|30252cos 32ππt R +|30353cos 2ππt R -|30454cos 2ππt R + ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32311545R π⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4335R π⎪⎭⎫ ⎝⎛--87325R π⎪⎭⎫ ⎝⎛-+161525R π .480595R π=【解法二】（球面坐标法）球面坐标计算：这时首先要把积分区域Ω分成两个子区域： .21Ω⋃Ω=Ω 其中⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,0,30,20:1R ρπϕπθ ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,cos 20,232,20:2ϕρπϕππθR则dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2=dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω12dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω+22ρρϕρϕϕθππd d d R⎰⎰⎰=2030222.cos sinρρϕρϕϕθπππϕd d d R ⎰⎰⎰+2023cos 20222.cos sin⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰R d d 04302cos .sin 2ρρϕϕϕππ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰ϕππρρϕϕϕπcos 204232cos .sin 2R d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=||0530351cos 312R ρϕππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰2375cos .sin 32512ππϕϕϕπd R 551.247.2R π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+|2385cos 81564ππϕπR 5607R π=⎪⎭⎫ ⎝⎛+81.25615645R π5607R π=5160R π+.480595R π= 【解法三】（直角坐标系之“切片法”）将Ω分块为21Ω⋃Ω=Ω.其中()()⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤Ω11,,20z D y x R z ：，()22212:z Rz y x D z -≤+； ()()⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤Ω22,,2z D y x R z R：，()22222:z R y x D z -≤+. ()()()()[]dz z Rz z dz D S z dxdy dz z dz dxdy zR z D R R z220212022022211-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπ5205440151412|R z z R Rππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=；()()()()[]dz z R z dz D S z dxdy dz z dz dxdy z RR z D RR R R z222222222222-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπ 52532480475131|R z z R R R ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=. 所以dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2=dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω12dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω+225554805948047401R R R πππ=+=. 7.若柱面122=+y x 与平面0=z ，1=z 所围成的柱体内任一点()z y x ,,处的密度22y x z --=μ，试计算该柱体的质量.【解】()()⎪⎩⎪⎨⎧Ω∈-+Ω∈--=--=.,,,,,22212222y x z y x y x y x z y x z μ 其中()⎩⎨⎧∈≤≤+ΩD y x z y x ,,1221：；()⎩⎨⎧∈+≤≤ΩD y x y x z ,,0222：；1:22≤+y x D . 所以 =M ()dz dxdy y xz ⎰⎰⎰Ω--122()πππ316161222=+=-++⎰⎰⎰Ωdz dxdy z y x .【其中()dz dxdy y xz ⎰⎰⎰Ω--122【柱面坐标】()dr z r z r dz r z rdr d r r ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=10101221220|222.2πθπ()πππ6161222|10642153=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=⎰r r r dr r r r ；()dz dxdy z y x⎰⎰⎰Ω-+222【柱面坐标】()dr z z r r dz z r rdr d r r ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=110022220|2221.2πθππππ6161|10615=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰r dr r .】8.分别用定积分、二重积分和三重积分求由22y x z +=和22y x z +=所围成的立体Ω的体积.【解】联立⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,,2222y x z y x z 消z ,得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为 .1:22≤+y x D（一）定积分过z 轴上任意一点z 作Ω的截面，则该截面的面积为 ()()()[]1,0,222∈-=-=z z z z z z A πππ所以Ω的体积为()()πππ613121|103210210=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⎰⎰z z dz z z dz z A V .（二）二重积分 ()[]d xdy y x y xV D⎰⎰+-+=2222【极坐标】()ππθπ61432|10432012=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰⎰r r rdr r r d . （三）三重积分⎰⎰⎰Ω=dV V 【球面坐标】ρρϕϕθπϕϕππd d d ⎰⎰⎰=20sin cos 02242sin()ϕϕπϕϕϕπϕρϕπππππππϕϕcot cot 32sin cos 3231sin 2243245324sin cos 03|2d d d ⎰⎰⎰-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=πϕπππ61cot 4132|244=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=. 9.设()x f 在0=x 处可导，且()00=f ，求极限()d xdydz z y x f t t ⎰⎰⎰Ω→++22241lim，其中(){}2222|,,t z y x z y x ≤++=Ω.【解】()d xdydz z y x f tt ⎰⎰⎰Ω→++222401lim ()⎰⎰⎰=ππρρρϕϕθ00220.sin ad f d d()ρρρϕππd f a 200.cos 2|⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=()ρρρπd f a 20.4⎰=. ①所以()d xdydz z y x ft t ⎰⎰⎰Ω→++22241lim【由①】()4204lim t f tt ⎰→=ρρπ【洛必达法则】()32044lim t t t f t π→=()t t f t 0lim →=π()()00lim 0--=→t f t f t π()0f '=π. 习题9.４1.求由曲线()xy y x C =+222:所围平面图形D 的面积.【解】化曲线C 为极坐标表示：θθsin cos 2=r ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πππθ23,2,0.由对称性知()⎰⎰=12D d D S σ【极坐标】θθπθθπθθd r dr r d ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡==20cos sin 0220cos sin 0|2122()21sin 21sin sin cos sin |2022020====⎰⎰πππθθθθθθθd d d .2.求由曲面222y x z +=及2226y x z --=所围成的立体Ω的体积. 【解】联立⎪⎩⎪⎨⎧--=+=,26,22222y x z y x z 消去z ，得 Ω向xoy 面上的投影区域为 2:22≤+y x D xy .所以Ω的体积为 ()()[]d xdy y x y xV xyD ⎰⎰+---=2222226()d xdy y xxyD ⎰⎰--=22336()ππθπ6433236|2422022=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰⎰r rrdr r d . 3.求由曲面()xyz a z y x S 332223:=++所围立体的体积.【解】做球坐标变换：⎪⎩⎪⎨⎧===,cos ,sin sin ,cos sin ϕρθϕρθϕρz y x 则S 在球坐标下的方程为θθϕϕρsin cos cos sin 3233a =ρρϕϕθθθϕϕππd d d dV V a ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω==3231cos sin cos sin 3022020sin 44⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2020cos sin cos sin 303|32331sin 4ππθθϕϕϕρϕθd d a ⎰⎰=22033cos sin cos sin 4ππϕϕϕθθθd d a.21sin 41sin 21432042023||a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππϕθ4.证明：曲面2214:y x z S ++= ① 任一点处的切平面与曲面22:2y x z S +=所围立体图形Ω的体积为定值.【证明】任取曲面1S 上一点()0000,,z y x M .令 ()z y x z y x F -++=224,,.则1S 在点()0000,,z y x M 处的切平面的法向量为 ()()(){}{}1,2,2,,00000-='''=y x M F M F M F z y x .1S 在点()0000,,z y x M 处的切平面π的法平面为()()()02200000=---+-z z y y y x x x .即 ()0222:02020000=-+---+z y x z z y y x x π. ②又由于()10000,,S z y x M ∈，故402020-=-+z y x . ③ 将③式代入②式得0822:000=+--+z z y y x x π. ④ 联立⎩⎨⎧+==+--+,,082222000y x z z z y y x x 消去z ，得 ()()8020202020+-+=-+-z y x y y x x 【由③】4=，故Ω向xoy 面上的投影区域为()()4:2020≤-+-y y x x D xy . ⑤所以，Ω的体积为 ()()[]d xdy y x z y yx x V xyD ⎰⎰+-+-+=2200822()()()[]d xdy y y x x z y xxyD ⎰⎰----+-+=202002028【由③】()()[]d xdy y y x x xyD ⎰⎰----=2024令⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos 00θθr y y r x x 则()()r r r y r y xrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,所以()dr d r r V r D θθ⎰⎰-=24()ππθπ841224|20422022=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰⎰r r rdr r d .从而:2S 与π所围立体图形Ω的体积为定值π8.5.形状如22y x z +=，100≤≤z （单位：米）的“碗”，计划在其上刻上刻度使其成为一个容器.求对应于容积为１立方米的液体在该容器内的高度是多少？ 【解】设对应于容积为１立方米的液体在该容器内的高度是h （米）. 由题意知()()σπd y xh h D⎰⎰+-⨯=222.1. ①其中222:h y x D ≤+.()⎰⎰⎰⎰=+πθσ200222.h Drdr r d d y x20421412|h r h ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=. ②将②式代入①式得2221.1h h ππ-=，即 2211h π=，解之得π2=h （米）.6.求均匀密度的半椭圆平面薄片()01:2222≥≤+y by a x D 的质心.【解】设D 的质心坐标为()y x ,.由质心坐标公式得⎰⎰⎰⎰=DDxd d x σσ1； ①⎰⎰⎰⎰=DDyd d y σσ1②【其中令⎩⎨⎧==,sin ,cos θθbr y ar x 则()()abrbr b ar a y ry xrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,由对称性知0=⎰⎰σd x D；()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==πθθθθσθ0102.sin sin rdr r d ab drd J br d y r D D⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=πθθ01032|31sin d r ab2020232cos 31sin 31|ab ab d ab =-==⎰ππθθθ；又 ()ab D S d Dπσ2121==⎰⎰. 故⎰⎰⎰⎰==DDxd d x 01σσ；ππσσ34213212bab ab yd d y DD===⎰⎰⎰⎰. 所以，平面薄片()01:2222≥≤+y b y a x D 的质心为⎪⎭⎫⎝⎛π34,0b .7.社平面薄片所占的区域D 由抛物线2x y =及直线x y =所围成，它在点()y x ,处的面密度()y x y x 2,=ρ，求此薄片的质心.【解】设D 的质心坐标为()y x ,.由质心坐标公式得()()⎰⎰⎰⎰=DDd y x x d y x x σρσρ,,1σσ⎰⎰⎰⎰=DDyd x yd x 321； ① ()()⎰⎰⎰⎰=D D d y x y d y x y σρσρ,,1⎰⎰⎰⎰=DDd y x yd xσσ2221②ydy x dx yd x xx D⎰⎰⎰⎰=10222σ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=1022|221dx y x x x ()⎰-=106421dx x x 351715121|1075=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x ； ③ydy x dx yd x x x D⎰⎰⎰⎰=10332σ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=1023|221dx y x x x ()⎰-=107521dx x x 481816121|1086=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x ； ④ dy y x dx d y x xx D2102222⎰⎰⎰⎰=σ⎰⎪⎭⎫⎝⎛=1032|231dx y x x x ()⎰-=108531dx x x 541916131|1096=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x . ⑤故 4835351481==x ；5435351541==y .所以此薄片的质心为⎪⎭⎫⎝⎛5435,4835.8.平面薄片D 由ax y x ≥+22，222a y x ≤+确定，其上任一点处的面密度与离原点的距离成正比，求此薄片的质心.【解】由题意知，面密度()22,y x k y x +=ρ)0(>k .。
高等数学(同济五版)第九章重积分练习题册-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN84第九章 重 积 分第 一 节 作 业一、填空题：.)1(,)1,0(),0,1(),0,0(.4.),,(,.3.,4.2.1),,(),(),,(.122222212121⎰⎰⎰⎰=--=≤+=+<==DDd y x D y x D xoy de y x D y x g g g g y x g z y x g z σρρσ可知由二重积分的几何意义为顶点的三角形区域是以设为质量可用二重积分表示则此薄板的其面密度为连续函数面内占有有界闭区域设一薄板在的值等于则是设区域重积分可表示为所围成立体的体积用二与柱面且适合在全平面上连续曲面二、选择题（单选）：{}{}:,20,10:),(,)(,22,11:),(,)(132221322121则其中其中设≤≤≤≤=+=≤≤-≤≤-=+=⎰⎰⎰⎰y x y x D d y x I y x y x D d y x I D D σσ（A ）I 1=2I 2； （B ）I 1〈I 2； （C ）I 1=I 2； （D ）I 1=4I 2。
答：（ ） 三、估计下列积分的值：⎰⎰≤+++=Dy x D d y x I .4:,)94(2222为闭区域其中σ第 二 节 作 业一、填空题：851. 设⎰⎰=≤≤-≤≤Dyd x y x D ..11,10:2σ则86⎰⎰⎰⎰-+-+=≤+a yay Dy xdx y x f dy d e y x D 202022)(22222)(.3.,1:.2分是为极坐标系下的二次积化则设σ二、选择题（单选）：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+----=110221010221010221010221102222.3)(;3)(;3)(;3)(:,3.1x x yxy dy y x dx D dy y x dx C dy y x dx B dy y x dx A I dx y x dy I 等于则交换积分次序后设答：（ ）).(2)();()();(2)();()(:),0(,.22222222222a b a b a b a b Dy xe e D e e C e e B e e A I b a b y x a D d e I ----<<≤+≤=⎰⎰+ππππσ等于是则为其中设答：（ ） 三、试解下列各题：⎰⎰⎰⎰-≥-≤>==+==+DDdxdy y x f x y x y D y x f a a y a y a x y x y D dxdy y x .),(,1,1:),(.2.)0(3,,,,)(.12222化为二次积分试将上连续在设平行四边形区域所围成的由直线其中求87)0.(.5.1,11.4.),(),(.3222222221)3(21312>=+==+++--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-h h z y x z y x D dxdy yx y x dy y x f dx dy y x f dx I Dx x 所围成的立体的体积与计算曲面区域所围成的在第一象限的是由圆求的积分次序改变二次积分四、若f(x)在[a,b]上连续且恒为正，证明：.)()(1)(2⎰⎰-≥ba b aa b dx x f dx x f88第 三 节 作 业一、填空题：1. 半圆薄片x 2+y 2≤R 2, y ≥0, 面密度为1，它关于y 轴的转动惯量I= 。
