6.1反比例函数
一、教学内容
背景分析:函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出来的数学概念,是研究现实世界变化规律的重要内容和数学模型,学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等内容,对函数已有了初步的认识,在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验,为后继学习二次函数等产生积极的影响。
二、教学目的:
(1)从现实情境和学生已有的知识经验出发,讨论两个变量之间的相互关系,加深对函数概念的理解。
(2)经历抽象反比例函数概念的进程,领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念。
(3)体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程。培养学生的观察能力,及数学地发现问题,解决问题的能力。
三、重点、难点、关键
(1)重点:理解和领会反比例函数的概念;
(2)难点:领悟反比例函数的概念;
(3)关键:从现实情境和所学的知识入手,探索两个变量之间的相依关系。
四、教学方法:小组合作、探究式
五、教学过程
(一)创设情境,引入新课
1、把一张100元换成50元的人民币,可换几张?换成10元的人民币可换几张?依次换成5元,2元,1元的人民币,各可换几张?换得的张数y 与面值x之间有怎样的关系呢?请同学们填表:
提问:学生你会用含有x的代数式表示y吗?并提出问题:当换成的元数x变化时,换成的张数y会怎样变化呢?变量y是x的函数吗?为什么?这就是我们今天要学习的反比例函数。我们再看课本的例子:
(二)互动探究,学习新课
我们知道,电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式U =IR ,当U =220V 时,(1)你能用含有R 的代数式表示I 吗?;(2)利用你写出的关系式完成下表:
学生填表完成,提出当R 越来越大时,I 是怎样变化的?当R 越来越小呢?(3)变量I 是R 的函数吗?为什么?
我们通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果。在电压一定时,当R 变大时,电流I 变小,灯光就变暗,相反,当R 变小时,电流I 变大,灯光变亮。
引导学生看课本例子,京沪高速铁路全长约为1318km ,列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京,列车行完成全程所需的时间t (h )与行驶的平均速度v (km/h)之间有怎样的关系?变量t 是v 的函数吗?为什么?
(三)学生分组交流讨论
提示学生:数学来源于生活,请同学在生活中找出类似的例子。分组交流讨论,并完成资料的讨论部分。
我们再看例子: 两个变量x 和y 的乘积等于-6,用函数关系式表示出来是
x
y 6
-=,思考:变量x 和y 之间的关系是什么?
提出问题:①变量之间的关系具有什么特点?引导学生得出:两个变量的乘积等于非零常数.②如何给反比例函数下定义?
教师总结并和学生一起探索出反比例函数的概念: 一般地,如果两个变量x ,y 之间的关系可以表示成:x
k
y =(k 为常数,k ≠0)的形式,那么称y 是x 的反比例函数。
强调在理解概念时要注意:①常数k ≠0;②自变量x 不能为零(因为分母为0时,该式没意义);③当x
k y =
写成1
-=kx y 时注意x 的指数为—1。④由定义不难看出,k 可以从两个变量相对应的任意一对对应值的积来求得,只要k 确定了,这个函数就确定了。
六、课堂练习:
I 、学生完成课本的做一做1-3题:即
1、一个矩形的面积为202
cm ,相邻的两条边长分别为x cm 和 y cm,那么变量y 是变量x 的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
2、某村有耕地346.2公顷,人口数量n 逐年发生变化,那么该村人均占有耕地面积m (公顷/人)是全村人口数n 的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
3、y 是x 的反比例函数,下表给出了x 与y 的一些值:
(1)写出这个反比例函数的表达式;(2)根据表达式完成上表。 教师巡视个别辅导,学生完毕教师给予评估肯定。
II 巩固练习:限时完成课本“随堂练习”1-2题。教师并给予指导。
七、总结、提高。(结合板书小结)
今天通过生活中的例子,探索学习了反比例函数的概念,我们要掌握反比例函数是针
对两种变化量,并且这两个变化的量可以写成x
k
y =
(k 为常数,k ≠0)同时要注意几点::①常数k ≠0;②自变量x 不能为零(因为分母为0时,该式没意义);③当x
k
y =可写为
1-=kx y 时注意x 的指数为—1。④由定义不难看出,k 可以从两个变量相对应的任意一对
对应值的积来求得,只要k 确定了,这个函数就确定了。
八、布置作业:(见资料 ) 九、板书设计:
;
反比例函数的图像和性质(第一课时) 2014.12.4 核心目标:学会用描点法作反比例函数的图象,理解反比例函数的图像的性质 预习部分(课前小测): 1. 下列函数中哪些是反比例函数? ①②③④ ⑤⑥⑦⑧ 2、反比例函数关系式是。k的取值范围是;的取值范围是;函数y的取值范围。 3、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是,称为 如图:当k>0时, 当k < 0时, y随x的增大而y随x的增大而 4、还记得作函数图象的三个步骤是、、。(注意:列表时自变量取值易于计算,易于描点。) 5、预习课本第4—6页内容,要求能有所理解。
二、探究部分: 1、请画出函数和图象。 2、小结: 1)、图象的形状:图像分别都是由两支曲线组成,因此称反比例函数的图象为。 2)、图象的位置: 函数的两支曲线分别位于第象限内.函数的两支曲线分别位于第象限内。
3)反比例函数的图象在哪两个象限,由确定。 当时,两支双曲线分别位于一、三象限内; 当时,两支双曲线分别位于二、四象限内。 4)图象的增减性: 当时, y随的x增大而; 当时, y随的x增大而。 三、尝试练习 (A组)课本第6页练习1、2题(各人完成后小组成员间交换答案,对有疑问的地方进行讨论)。 四、反馈练习: 1、基础训练:(A组) 1)、函数的图象在第________象限,在每一象限内,y 随x 的增大而_________. 2)、函数的图象在第________象限,在每一象限内,y 随x 的增大而_________. 3)、函数,当x>0时,图象在第____象限,y随x 的增大而_________. 4)、反比例函数的图象大致是()
第十七章 反比例函数 17.1.1反比例函数的意义 一、教学目标 1.使学生理解并掌握反比例函数的概念 2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求函数解析式 3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想 二、重、难点 1.重点:理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式 2.难点:理解反比例函数的概念 3.难点的突破方法: (1)在引入反比例函数的概念时,可适当复习一下第11章的正比例函数、一次函数等相关知识,这样以旧带新,相互对比,能加深对反比例函数概念的理解 (2)注意引导学生对反比例函数概念的理解,看形式x k y =,等号左边是函数y ,等号右边是一个分式,自变量x 在分母上,且x 的指数是1,分子是不为0的常数k ;看自变量x 的取值范围,由于x 在分母上,故取x ≠0的一切实数;看函数y 的取值范围,因为k ≠0,且x ≠0,所以函数值y 也不可能为0。讲解时可对照正比例函数y =kx (k ≠0),比较二者解析式的相同点和不同点。 (3)x k y =(k ≠0)还可以写成1-=kx y (k ≠0)或xy =k (k ≠0)的形式 三、例题的意图分析 教材第46页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的,目的是让学生从实际问题出发,探索其中的数量关系和变化规律,通过观察、讨论、归纳,最后得出反比例函数的概念,体会函数的模型思想。 教材第47页的例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题,此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解,掌握求函数解析式的方法;二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想,特别是函数与自变量之间的单值对应关系。 补充例1、例2都是常见的题型,能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例3是一道综合题,此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式,有一定难度,但能提高学生分析、解决问题的能力。 四、课堂引入 1.回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的? 2.体育课上,老师测试了百米赛跑,那么,时间与平均速度的关系是怎样的? 五、例习题分析 例1.见教材P47 分析:因为y 是x 的反比例函数,所以先设x k y = ,再把x =2和y =6代入上式求出常数k ,即利用了待定系数法确定函数解析式。 例1.(补充)下列等式中,哪些是反比例函数 (1)3x y = (2)x y 2-= (3)xy =21 (4)25+=x y (5)x y 23-=
26.1.1《反比例函数的概念》教学设计 教学目标 知识与技能:1.从现实情境出发、讨论两个变量之间的关系,加深对函数概念的理解; 2.通过与正比例函数概念的类比,使学生理解并掌握反比例函数的概念。 过程与方法:经历两个变量之间相互关系的讨论,及实际问题中探索数量关系的过程,体会函数的建模思想。 情感、态度与价值观:经历抽象反比例概念的过程,提高学习数学的兴趣; 教学重点:理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式. 教学难点:理解反比例函数的概念. 教学过程:(情境引入)压岁钱问题:爸爸100元,妈妈100元,爷爷100元,奶奶100元……如果有x 个人,每人都给我100元,我共有y 元, 则y =100x ,正比例函数一般形式:y =kx (其中k≠0) 压岁钱100元,拿去用太大,把100元换成……面值小一点的,另一种人民币即y x =100 一、(新课讲授)下列问题中,变量间具有函数关系吗?如果有,请直接写出解析式. (1)京沪线铁路全程为1463km ,某次列车的平均速度v (单位:km/h )随此次列车的全程运行时间t (单位:h )的变化而变化.你能写出关于t 的解析式吗? (2)某住宅小区要种植一块面积为1000m 2的矩形草坪,草坪的长y (单位:m )随宽x (单位:m )的变化而变化. (3)已知北京市的总面积为1.68×104km 2,人均占有面积S (单位:km 2/人)随全市总 人口n (单位:人)的变化而变化. 1463v t =, 1000y x = ,41.6810S n ?= 二、归纳概念:一般地,形如k y x =(k 为常数,且k ≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x 是自变量,y 是函数.强调1、自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.2、变形xy =k 或y =kx -1(k 为常数,且k ≠0) 三、例题解析 例1.当m 取什么值时,函数y =(m +1)x m2-2 解: 解得 m m ?-=-?+≠?22110m m =±??≠-?11. m ∴=1
9.1 反比例函数 【教学目标】 知识与能力:(1)理解反比例函数的概念,能判断两个变量之间的关系是否是函数关系,进而识别反比例函数; (2)能根据已知条件确定反比例函数的表达式; 过程与方法:经历从实际问题中概括出反比例函数模型的过程,体会反比例函数来源于实际问题。 情感、态度与价值观:(1)经历反比例函数的形成过程,使学生体会到函数是描 述变量间对应关系的重要数学模型。 (2)通过学习反比例函数,培养学生合作交流和探索的能 力。 【教学重难点】 重点:根据已知条件确定反比例函数的表达式. 难点:理解反比例函数的意义. 【教学过程】 一、创设情境,引入新课 同学们,你们还记得在小学里学过的,两个变量满足什么条件时成反比例关系吗?你能写出下列例子中的等式吗? 1.当路程s 一定时,时间t 与速度v的关系 2.当矩形面积S一定时,长a与宽b的关系 3.当三角形面积S 一定时,三角形的底边y 与高x的关系 学生通过回忆已学知识回答:如果两个量x和y满足xy=k(k为常数, k ≠0)那么x、y就成反比例关系. 现在我们来看生活中的例子。 活动一汽车从南京出发开往上海(全程约300km),全程所用的时间t(h)随着速度v(km/h)的变化而变化。 (1)你能用含v的代数式表示t吗?
(2)利用(1)的关系式完成下表: 随着速度的变化,全程所用时间发生怎样的变化? (3)时间t是速度v的函数吗? (4)时间t是速度v的一次函数吗?是正比例函数吗? 引导学生回忆函数、一次函数、正比例函数有关的概念,引出新知:反比例函数. 二、引导学生探索反比例函数的概念和表达式 活动二用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系: 1.一个面积是64002 m的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化,则a与b的关系式为_____. 2.京沪线铁路全程为1463 km,某列车平均速度为v(km/h),全程运行时间为t(h),则v与t的关系式为_____ 3.已知三角形的面积是8,它的底边长y与底边上的高x之间的关系式为_____ 4.实数m与n的积是—200,m与n的关系式为_____ 【讨论、交流】 1. 函数关系式 6400 a b =、 1463 v t =、 16 y x =、 200 m n =-具有什么共同特征? 2它们与正比例函数关系式有什么不同? 3.你能仿照y=kx的形式表示一下上面函数的一般形式吗? 结论:反比例函数的定义: 一般的,形如 (k为常数,k ≠0)的函数称为反比例函数.其中x是自变量,y是x的函数,k是比例系数。 注:(1)有时反比例函数也写成y=1 kx-或k=xy的形式. (2)反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
5.1 反比例函数 教学目标: 1、能说出反比例函数的概念。 2、利用反比例函数的概念,会列反比例函数式,并进行简单的应用。 3、体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段。 教学重点:建立与领悟反比例函数的概念。 教学难点:领悟反比例函数的概念。 学法:自主探究、合作交流等。 教学过程: 一、导课:大声读课本148页章前图有关内容及学习目标,通过观看,可以知道反比例函数是描述现实问题中变量之间关系的重要数学模型,有一些关键词:变量之间的关系,表达式,性质,数形结合,解决问题,通过本章学习即可知道。 二、知识回顾 1. 函数:一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个值, 相应的就确定了一个值,那么我们称是的函数.其中x是自变量, y是因变量。 2、一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶,那么行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(小时)之间的函数关系式是__________。此时s是t的________________函数. 3、一次函数的一般形式:(为常数,≠0) 三、出示本节学习目标 四、自主探究,合作交流 1、用2分钟阅读149页内容,用5分钟小组交流(课本引例1 课本引例2 定义) 2、反比例函数定义 一般地如果两个变量x、y之间关系可以表示成的形式(k为常数,且k ),那么是的反比例函数. 思考:(1)反比例函数中自变量x可以取些值? (2)反比例函数还可以表示成什么形式? 五、学生展示,教师点拨 1、通过多媒体展示学案前两个问题 2、问题3:形如 k x y=(k为常数,0 k≠)的函数被称为反比例函数,其中,x是自变量,y是函 数.从解析式 k x y=中可以看出,x是分母,当0 x=时,分式 k x 无意义,所以x不能为0.因此,反 比例函数中,自变量的取值范围是不等于0的一切实数. k x y=也可以写成 A、B、D (A.xy k = B. 1 y kx- = C.y kx = D.1 y k x =?)的形式。 六、检测交流 1、完成P144做一做 2、合作交流: (1)、如何判断一个函数是不是反比例函数。(2)、如何确定反比例函数表达式?
第二十六章反比例函数 26.1.1 反比例函数的意义 教学设计 执教者:于孙潮时间:2015年12月1日 教学目标 1、从现实情境和已有的知识经验出发,讨论两个变量之间的相依关系,加深对函数概念的理解。 2、使学生理解并掌握反比例函数的概念。 3、能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求函数解析式。 4、培养观察、推理、分析能力,认识反比例函数的应用价值; 教学重点:理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式。 教学难点:反比例函数解析式的确定。 教学方法:启发法、类比法。 教学过程: 一、创设情境,导入新课 问题: 现有一张100元的人民币,如果把它换成50元的人民币,可得几张?换成10元的人民币可得几张?依次换成5元,2元,1元的人民币,各可得几张? 请大家仔细观察这张表格,我们可以发现当面值由大变小的时候,张数会怎样变化?你知道什么没有变? 如果用含x的式子表示y怎么写?y是不是x的函数吗? 设计意图: 以一个简单的数字问题引入,目的是让学生在很快的时间里说出显而易见的答案,便于增强学生学好本课的自信心,使他们能愉快地进行新知的学习。二、联系生活,探究新知 在下列实际问题中,变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示? (1)一辆以60km/h匀速行驶的汽车,它行驶的距离S(单位:km)随时间t(单位:h)的变化而变化。 。 (2)一辆汽车的油箱中现有汽油50升,如果不再加油,平均每千米耗油量为0.1升,油箱中剩余的油量y(单位:升)随行驶里程 x(单位:千米)的变化而变化。 。
(3)京沪线铁路全程为1463km,某次列车的平均速度v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变化而变化。 。 (4)某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪,草坪的长y(单位:m )随宽x(单位:m )的变化而变化。 。 (5)已知北京市的总面积为1.68×104平方千米,人均占有的土地面积S (单位:平方千米/人)随全市总人口n(单位:人)的变化而变化。 。 (6)正方形的面积S随边长x的变化而变化。 。 在上面所列出函数中哪些是我们学过的函数? 设计意图: 1、创设情景,符合学生的生活经验,有利于激发学生兴趣;有利于知识发生、发展和形成;有利于感受生活中处处有数学。 2、设置问题串,唤醒学生记忆,做好新旧知识的衔接。 3、简单感知变化与对应思想,引入新课。 剩下的函数有什么共同的特征?如果让你给它下一个定义,你怎么定义它? 的函数,我们称之为反比例函数。是自变量,是函数。k叫做。 思考问题: 函数y=k x (k≠0)中,自变量x的取值范围是什么? 注意:在实际问题中,自变量的取值还需考虑它的实际意义。 活学活用 下列关系式中的y是x的反比例函数吗?如果是,比例系数k是多少? (1)y=4 x ; (2)y=?1 2x ; (3)y =1- x (4)xy =1 ; (5)y=x 2 ; (6)y=x2 (7)y=x?1 ; (8)y=1 x ?1 思考:反比例函数的形式还有那些? 关系式xy + 4 = 0中,y是x的反比例函数吗? 若是,比例系数k等于多少? 若不是,请说明理由。
10 26.1.1 反比例函数的意义(2 课时) 一、教学目标 1.使学生理解并掌握反比例函数的概念 2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求解析式 3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数解析式,体会函数的模型思想 二、重点难点 重点:理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式难点:理解反比例函数的概念 三、教学过程 (一)、创设情境、导入新课 问题:电流I、电阻R、电压U 之间满足关系式U=IR ,当U =220V 时,1)你能用含有R的代数式表示I 吗? 2)利用写出的关系式完成下表: 当R 越来越大时,I 怎样变化?当R 越来越小呢? (3)变量I 是R 的函数吗?为什么? 概念:如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成y k(k为常数,k 0)的形x 式,那么y 是x 的反比例函数,反比例函数的自变量x 不能为零。 (二)、联系生活、丰富联想 1. 一个矩形的面积为20 cm2,相邻的两条边长分别为xcm 和ycm 。那么变量y 是变量x 的函数吗?为什么? 2. 某村有耕地346.2 公顷,人数数量n 逐年发生变化,那么该村人均占
2 有耕地面积 m (公顷/人)是全村人口数 n 的函数吗?为什么? 三)、举例应用 创新提高: 例 1 . (补充) 下列等式中,哪些是反比例函数 1) y 3x (2) y 2 (3) xy = 21 x (4)y 5 (5) y 1 3 x 2 x 例 2 . (补 充) 当 m 取什么值时,函数 y 2 (m 2)x 3 m2是反比例函数? (四)、随堂练习 1 .苹果每千克 x 元,花 10 元钱可买 y 千克的苹果,则 y 与 x 之间的函数关 系式 为 2.若函数 y (3 m )x 8m2是反比例函数,则 m 的取值是 (五)、小结:谈谈你的收获 (六)、布置作业 反比例函数概念形成的过程中,大家应充分利用已有的生活经验和背景知识, 注意挖掘问题中变量的相依关系及变化规律,逐步加深理解。 26.1.2 反比例函数的图象和性质( 1) 教学目标
1.1反比例函数(1) 教学目标: 1.从现实情境和已有知识经验出发,讨论两个变量之间的相依关系,加深对函数概念的理解。 2.经历抽象反比例函数概念的进程,领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念。 3.会求简单实际问题中反比例函数解析式. 教学知识点:反比例函数的概念 教学重点:理解和领会反比例函数的概念。 教学难点:例1涉及科学学科知识,学生理解有一定的困难. 教材分析:函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的数学概念,是研究现实世界变化规律的重要数学模型。在前面已学习过“变 化之间的关系”和“一次函数”等内容,对函数已经有了初步的认识, 在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念,为后续学习 产生积极的影响。本节课通过对具体情景的分析,概括出反比例函数 的概念。通过例题和举例可以丰富对函数的认识,理解反比例函数的 意义。 过程设计: 一、复习引入 1、什么叫一次函数?什么叫正比例函数?写出它们的一般式。它们有何关系? 2、正比例函数的图象与性质: 3.回顾小学所学反比例关系。 两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,如果两个数的积(不为零)一定,这两个数的关系叫做反比例关系.
4、问题提出: 问题1: 北京到杭州铁路线长1662km 。一列火车从北京开往杭州,记火车全 ,请填写下表。 能用一个数学解析式表示吗? 问题2:测量质量都是100g 的金、铜、铁、锌、铝五种 金属块的体积V(cm3),获得数据如表。表中ρ(g/cm3)表示 1、菱形的面积为5cm2,它的一条对角线长y (cm )关于另一条对角线长x (cm )的关系式是 。 2、小明同学用50元钱买学习用品,单价y (元)与数量x (件)之间的关系式是 上述函数表达式都具有什么特点? 二、传授新课 (一)概念:如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成)0(≠=k k x k y 为常数,的形式,那么y 是x 的反比例函数,反比例函数的自变量x 不能为零。 学生探究反比例函数变量的相依关系,领会其概念。 (二)做一做 1.一个矩形的面积为202cm ,相邻的两条边长分别为xcm 和ycm 。那么变量y 是变量x 的函数吗?为什么? 学生先独立思考,再进行全班交流。 2. 某村有耕地346.2公顷,人数数量n 逐年发生变化,那么该村人均占有耕地面积m (公顷/人)是全村人口数n 的函数吗?为什么? 学生先独立思考,再同桌交流,而后大组发言。 (2)根据函数表达式完成上表。 x y 1662=V 100 = ρ
第二十六章 反比例函数 26.1.1反比例函数的意义(1课时) 一、教学目标 1.使学生理解并掌握反比例函数的概念 2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求解析式 3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数解析式,体会函数的模型思想 二、重点难点 重点:理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式 难点:理解反比例函数的概念 三、教学过程 (一)、创设情境、导入新课 问题:电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式U=IR ,当U =220V 时, (1)你能用含有R 的代数式表示I 吗? (2)利用写出的关系式完成下表: 当R 越来越大时,I 怎样变化?当R 越来越小呢? (3)变量I 是R 的函数吗?为什么? 概念:如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成)0(≠=k k x k y 为常数,的形式,那么y 是x 的反比例函数,反比例函数的自变量x 不能为零。 (二)、联系生活、丰富联想
1.一个矩形的面积为202cm ,相邻的两条边长分别为x cm 和y cm 。那么变量y 是变量x 的函数吗?为什么? 2.某村有耕地346.2公顷,人数数量n 逐年发生变化,那么该村人均占有耕地面积m (公顷/人)是全村人口数n 的函数吗?为什么? (三)、举例应用、创新提高: 例1.(补充)下列等式中,哪些是反比例函数? (1)3 x y = (2)x y 2- = (3)xy =21 (4)2 5+=x y (5)31+=x y 例2.(补充)当m 取什么值时,函数2 3)2(m x m y --=是反比例函数? (四)、随堂练习 1.苹果每千克x 元,花10元钱可买y 千克的苹果,则y 与x 之间的函数关 系式为 2.若函数2 8)3(m x m y -+=是反比例函数,则m 的取值是 (五)、小结:谈谈你的收获 (六)、布置作业 (七)、板书设计 四、教学反思: 反比例函数概念形成的过程中,大家应充分利用已有的生活经验和背景
课题: 反比例函数的图象和性质1 武汉市琴断口中学 施兴娥 教学目标 【知识技能】 1、会用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质; 2、通过画图,理解反比例函数图象是有“间断”的两只曲线,掌握其图象的位置、增减性、对称性与解析式的内在联系,利用相关性质解决有关问题. 【数学思考与问题解决】 1、经历画图,观察、猜想、思考等数学活动,能根据图象数形结合的分析、探究反比例函数的性质,培养学生观察、探究、归纳以及动手的能力。 2、感悟“数形结合”“变化与对应”“无限逼近”等数学思想,并能运用类比、从特殊到一般等研究方法探究反比例函数的性质 【学习重难点】 教学重点:画反比例函数图象和理解反比例函数的性质。 教学难点:探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题. 【情感态度】 在探究活动中,体验数学活动中的探索性和创造性,感受数学美,体会事物有规律地运动变化的观点,培养严谨的科学态度和勇于探索的精神。 教学设计 【凭风起航】: 1、情景导入 2、正比例函数的解析式:( )。 3、正比例函数的图象是( )。 正比例函数的性质: 当k>0,图象经过原点和( )象限,y 随x 的增大而( )。 当k<0,图象经过原点和( )象限,y 随x 的增大而( ) 画函数图象的步骤是: 微课正比例函数的画法 4、给反比例函数“画像” 5试一试:你能画出反比例函数x 6y =与x 6 -y =的图象吗? y ... ... Y= x 6 ... ... Y=x 6- ... ...
6、y= x 12,y=x k (k>0)的大致图象。 几何画板演示函数图象(k>0)和(k<0)的情况。 7、研究反比例函数图象的性质。 【乘风破浪】 1、(1)当k>0时,反比例函数的图象位于第 象限,在 内y 随x 值的增大而 ; (2)当k<0时,反比例函数的图象位于第 象限,在 内y 随x 值的增大而 。 2、反比例函数的图象是否具有对称性? 【激流勇进】 1.函数 y= x 5 - 的图象在第___________象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而 __________ . 2.函数 y=x m 2 -的图象在二、四象限,则m 的取值范围是 _______. 例1.已知反比例函数y = (m +1)x m 5 _2 的图象在二、四象限内,求m 的值。 1 .若反比例函数 y= x k 的图象经过点(2,1),则该反比例函数的图象在第( ) 象限。 【扬帆远航】 1.下列图象中,是反比例函数的图象的是 ( ) 2.一次函数y=kx+b (K>0)与反比例函数 x k y (K>0) 的图象交点的个数为( ) (A ) 0个(B )1个(C )2个(D )无数个 3、若y=x 2 图象上有两点P 1(1,y 1)和P 2(2,y 2),试比较y 1和y 2的大小
学习必备 欢迎下载 21.4.2 反比例函数 第二课时 反比例函数的图象和性质 教学目标 1、利用描点法画反比例函数图像。 2、理解反比例函数的性质,以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况。 3、通过观察反比例函数的图象,分析、探究反比例函数的性质,培养学生的探究、归纳及概括的能力。 4、在自主探究反比例函数性质的过程中,让学生初步感知反比例函数图象的对称性。 教学重点 结合图象分析总结出反比例函数的性质。 教学难点 理解反比例函数性质,并能灵活应用。 教学方法 问题引导式 探究合作式 类比联想 数形结合等 二、创设情境 引入课题 活动1 问题: 你们还记得一次函数(正比例函数)图象与性质吗? 设计意图 为学习反比例函数的图象奠定基础。学生思考、交流,回答问题。 2015——2016学年度(上)九年级数学公开课教案 版本:沪科版 授课人:康苏 班级:九(5)班 时间:2016年9月7日 第三节
然后就这名同学的连线加以评价、总结: (1)一般地,反比例函数的图像由两条曲线组成,叫做双曲线; (2)这两条曲线不相交; (3)这两条曲线无限延伸,无限靠近x轴和y轴,但永不会与x轴和y轴相交。关于(3)可问学生:为什么图像与x和y轴不相交? 通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆,又可培养学生思维的灵活性和深刻性。 再让学生观察黑板上的图,提问: (1)当0 k时,双曲线的两分支位于一、三象限,y随x的增大而减少; >
(2)当0<k 时,双曲线的两分支位于二、四象限,y 随x 的增大而增大。 3、反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同? 通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来,便于记忆和应用。 注:1、若点(0x ,0y )在反比例函数x y =的图象上,则点(0x -,0y -)也在此图象上, 故反比例函数的图象关于原点对称,反比例函数是中心对称图形,对称中心是坐标原点(0,0)。 2、图象关于直线 对称,即若(a ,b )在双曲线的一支上,则(,)和( , ) 在双曲线的另一支上.故反比例函数的图象是轴对称图形,对称轴分别是直线x y =和x y -=。 3、反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但 永远不与坐标轴相交。
(此文档为word 格式,下载后您可任意编辑修改!) 教学内容:1.1反比例函数 教学目标: 1. 理解反比例函数的概念,能判断两个变量之间的关系是否是函数关系,进而识别其中的反比例函数. 2. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式. 3. 能判断一个给定函数是否为反比例函数.通过探索现实生活中数量间的反比例关系,体 会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型;进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点. 教学重点:反比例函数的概念 教学难点:例1涉及较多的《科学》学科的知识,学生理解问题时有一定的难度。 教学方法:类比 启发 教学辅助:多媒体 投影片 教学过程: 一、 创设情景 探究问题 汽车从南京出发开往上海(全程约300km ),全程所用时间t ()求这个函数的解析式和n 的值。 (3)y 与x+1成反比例,当x =2时,y =-1,求函数解析式和自变量x 的取值范围。 (4) 已知y 与x-2成反比例,并且当x =3时,y =2.求x =1.5时y 的值. (5)如果是的反比例函数,是的反比例函数,那么是的( ) A .反比例函数 B .正比例函数 C .一次函数 D .反比例或正比例函数 三、练习:P21 1——4 四、小结 五、布置作业:另见练习卷 板书设计: 例1 例2 例2 解: 解: 解 练习 练习 随着速度的变化,全程所用时间发生怎样的变化? 情境1: 当路程一定时,速度与时间成什么关系?(s =vt ) 当一个长方形面积一定时,长与宽成什么关系? [备注] 这个情境是学生熟悉的例子,当中的关系式学生都列得出来,鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流,最终让学生讨论出:当两个量的积是一个定值时,这两个量成反比例关系,如xy =m (m 为一个定值),则x 与y 成反比例。 这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫。 情境2:
6.1反比例函数 一、教学内容 背景分析:函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出来的数学概念,是研究现实世界变化规律的重要内容和数学模型,学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等内容,对函数已有了初步的认识,在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验,为后继学习二次函数等产生积极的影响。 二、教学目的: (1)从现实情境和学生已有的知识经验出发,讨论两个变量之间的相互关系,加深对函数概念的理解。 (2)经历抽象反比例函数概念的进程,领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念。 (3)体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程。培养学生的观察能力,及数学地发现问题,解决问题的能力。 三、重点、难点、关键 (1)重点:理解和领会反比例函数的概念; (2)难点:领悟反比例函数的概念; (3)关键:从现实情境和所学的知识入手,探索两个变量之间的相依关系。 四、教学方法:小组合作、探究式 五、教学过程 (一)创设情境,引入新课 1、把一张100元换成50元的人民币,可换几张?换成10元的人民币可换几张?依次换成5元,2元,1元的人民币,各可换几张?换得的张数y 与面值x之间有怎样的关系呢?请同学们填表: 提问:学生你会用含有x的代数式表示y吗?并提出问题:当换成的元数x变化时,换成的张数y会怎样变化呢?变量y是x的函数吗?为什么?这就是我们今天要学习的反比例函数。我们再看课本的例子: (二)互动探究,学习新课
我们知道,电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式U =IR ,当U =220V 时,(1)你能用含有R 的代数式表示I 吗?;(2)利用你写出的关系式完成下表: 学生填表完成,提出当R 越来越大时,I 是怎样变化的?当R 越来越小呢?(3)变量I 是R 的函数吗?为什么? 我们通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果。在电压一定时,当R 变大时,电流I 变小,灯光就变暗,相反,当R 变小时,电流I 变大,灯光变亮。 引导学生看课本例子,京沪高速铁路全长约为1318km ,列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京,列车行完成全程所需的时间t (h )与行驶的平均速度v (km/h)之间有怎样的关系?变量t 是v 的函数吗?为什么? (三)学生分组交流讨论 提示学生:数学来源于生活,请同学在生活中找出类似的例子。分组交流讨论,并完成资料的讨论部分。 我们再看例子: 两个变量x 和y 的乘积等于-6,用函数关系式表示出来是 x y 6 -=,思考:变量x 和y 之间的关系是什么? 提出问题:①变量之间的关系具有什么特点?引导学生得出:两个变量的乘积等于非零常数.②如何给反比例函数下定义? 教师总结并和学生一起探索出反比例函数的概念: 一般地,如果两个变量x ,y 之间的关系可以表示成:x k y =(k 为常数,k ≠0)的形式,那么称y 是x 的反比例函数。 强调在理解概念时要注意:①常数k ≠0;②自变量x 不能为零(因为分母为0时,该式没意义);③当x k y = 写成1 -=kx y 时注意x 的指数为—1。④由定义不难看出,k 可以从两个变量相对应的任意一对对应值的积来求得,只要k 确定了,这个函数就确定了。
第十七章 《反比例函数》复习教案 一、 课标要求 1、结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式 2、会画反比例函数的图像,探索并掌握掌握反比例函数的性质 3、运用反比例函数解决某些实际问题 二、知识清单 1、一般的,如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成 (k 为常数,且k ≠0)的形式,那么称y 是x 的反比例函数。 表达式 k y x = (k ≠0) K 的正负 k>0 K<0 画出大致图像 性质 1、图像在 象限 2、在每个象限内,函数值y 随x 的 而 1、图像在 象限 2、在每个象限内,函数值y 随x 的 而 反比例函数的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形 、用待定系数法确定函数解析式的步骤:① ② ③ ④ 三、例题精讲 1、下列函数:2(1)y x = (2)2x y = (3)1y x =-+ 1(4)1y x =+ 3(5)2y x =-, 其中反比例函数有 (填序号) 2、若函数2 10 (3)k y k x -=-是反比例函数,则k 3、如果双曲线y= k x 经过点(-2,3),那么此双曲线也经过点( ) A .(-2,-3) B .(3,2) C .(3,-2) D .(-3,-2) 4、已知圆柱的侧面积是100πcm 2 ,若圆柱底面半径为r (cm 2 ),高线长为h (cm ),则h 关于r 的函数的图象大致是 ( )
5、已知反比例函数x m y 2 3-=,当______m 时,其图象的两个分支在第一、三象限内;当______m 时,其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大。 6、已知直线y=kx+b 经过一、二、四象限,则对于双曲线kb y x =其中的一个分支,y 随的x 的 而 7、一次函数1+-=kx y 与反比例函数x k y = 在同一坐标系中的图像大致是( ) 8、 在函数a x a y (12 --= 为常数)的图象上有三点),1(1y -,),41(2y -,),2 1 (3y ,则1y ,2y ,3y 的大小关系是 9、如图,已知一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,且与反比例函数)0(≠= m x m y 的图象在第一象限交于点C ,CD 垂直于x 轴,垂足为D .若OA =OB =OD =1. (1)求点A 、B 、D 的坐标; (2)一次函数和反比例函数的解析式. 10、为了预防“非典”,某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例,药物燃烧完后,y 与x 成反比例(如图所示),现测得药物8分钟燃毕, 此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克.请根据题中所提供的信息,解答下列问题: (1)药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为: _____________, 自变量x 的取值范围是:________________;药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为:___________________. (2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过多少分钟后,学生才能回到教室; (3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么? x(分钟) y(豪克) 8 6 O
苏科版八年级下册数学11-1 反比例函数-教案设计(2) 11.1 反比例函数 教学目标1.结合具体情境体会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念; 2.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式; 3.在探索过程中,引导学生体会反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型. 教学重 点 反比例函数的概念. 教学难点1.讨论两个变量之间的相互关系,从而让学生加深对函数概念的理解; 2.通过对反比例函数的简单应用,使学生初步形成数学的建模意识和在函数概念中的运动变化观点. 教学过程(教师)学生活动设计思路 开场白: 同学们,在小学里,我们已经知道如果两个量的乘积一定,那么这两个量成反比例.例如当路程s一定时,时间t 与速度v的关系.那成反比例的两个量之间的关系,怎样用函数表达式来表示呢? 回顾旧知,进入学习 状态. 从学生 熟悉的反比 例知识入 手,引发学 生的数学学 习兴趣.
引入: 南京与上海相距约300km,一辆汽车从南京出发,以速度v(km/h)开往上海,全程所用时间为t(h).写出t、v的关系式,并填写下表: v60 80 t 随着速度的变化,全程所用时间发生怎样的变化?时间t是速度v 的函数吗?为什么? 积极思考,回答问题, 填写表格. 让学生 重新回顾函 数的有关知 识,为引入 反比例函数 的概念做好 准备. 实践探索: 用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系. (1)计划修建一条长为500km的高速公路,完成该项目的天数y(天)随日完成量x(km)的变化而变化; (2)一家银行为某社会福利厂提供了20万元的无息贷款,该厂的平均年还款额y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化; (3)游泳池的容积 交流讨论,积极回答: 参考答案:(1)y= 500 x;(2)y= 20 x;(3)t = 5000 v;(4)m=- 200 n. 通过学 生相互讨论 使学生主动 参与到学习 活动中来, 培养学生小 组合作意 识.
反比例函数 第一课时 反比例函数的意义 一、教学目标 1.使学生理解并掌握反比例函数的概念 2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求函数解析式 3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想 二、重、难点 1.重点:理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式 2.难点:理解反比例函数的概念 3.难点的突破方法: (1)在引入反比例函数的概念时,可适当复习一下第11章的正比例函数、一次函数等相关知识,这样以旧带新,相互对比,能加深对反比例函数概念的理解 (2)注意引导学生对反比例函数概念的理解,看形式x k y =,等号左边是函数y ,等号右边是一个分式,自变量x 在分母上,且x 的指数是1,分子是不为0的常数k ;看自变量x 的取值范围,由于x 在分母上,故取x ≠0的一切实数;看函数y 的取值范围,因为k ≠0,且x ≠0,所以函数值y 也不可能为0。讲解时可对照正比例函数y =kx (k ≠0),比较二者解析式的相同点和不同点。 (3)x k y =(k ≠0)还可以写成1-=kx y (k ≠0)或xy =k (k ≠0)的形式 三、例题的意图分析 教材第46页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的,目的是让学生从实际问题出发,探索其中的数量关系和变化规律,通过观察、讨论、归纳,最后得出反比例函数的概念,体会函数的模型思想。 教材第47页的例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题,此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解,掌握求函数解析式的方法;二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想,特别是函数与自变量之间的单值对应关系。 补充例1、例2都是常见的题型,能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例3是一道综合题,此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式,有一定难度,但能提高学生分析、解决问题的能力。 四、课堂引入 1.回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的? 2.体育课上,老师测试了百米赛跑,那么,时间与平均速度的关系是怎样的? 五、例习题分析 例1.见教材P47 分析:因为y 是x 的反比例函数,所以先设x k y = ,再把x =2和y =6代入上式求出常数k ,即利用了待定系数法确定函数解析式。 例1.(补充)下列等式中,哪些是反比例函数 (1)3x y = (2)x y 2-= (3)xy =21 (4)25+=x y (5)x y 23-= (6)31+=x y (7)y =x -4
17.2 实际问题与反比例函数(一) 【学习目标】(目标明确,行动才更有效!) 1.利用反比例函数求出问题中地值. 2.运用反比例函数地概念和性质解决实际问题.(学科内应用) [学习重点和难点] 1[重点]运用反比例函数地意义和性质解决实际问题. 2[难点]掌握从实际问题中建构反比例函数模型. 【课前热身】(方法得当,事半功倍!) 某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽地烂泥湿地,为了安全,迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务. (1)请你解释他们这样做地道理. (2)当人和木板对湿地地压力一定时,随着木板面积S(2 m)地变化,人和木板对地面地压强p(Pa)将如何变化? (3)如果人和木板对湿地地压力合计600N,那么 ①用含S地代数式表示p,p是S地反比例函数吗?为什么? ②当木板面积为0.22 m时,压强是多少? ③如果要求压强不超过6 000Pa,木板面积至少要多大? ④在直角坐标系中,作出相应地函数图象. ⑤请利用图像对(2)和(3)作出直观解释. 【自主探究】(Don′t be shy,just to try!) 如右图,某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升=1?立方分米)地圆锥形漏斗.(1)漏斗口地面积S与漏斗地深d有怎样地函数关系?(2)如果漏斗口地面积为100厘米2,则漏斗地深为多少? 【自主检测】(我自信,我参与!) 1.已知甲、乙两地相距s km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,?如果汽车每小时耗油量为aL,那么从甲地到乙地汽车地总耗油量y(L)与汽车地行驶速度v(km/h)地函数图象大致是() 2.面积为2地△ABC,一边长为x,这边上地高为y,则y与x?地变化规律用图象表示()
一、教学目标 1.会用描点法画反比例函数的图象 2.结合图象分析并掌握反比例函数的性质 3.体会函数的三种表示方法,领会数形结合的思想方法 二、重点、难点 1.重点:理解并掌握反比例函数的图象和性质 2.难点:正确画出图象,通过观察、分析,归纳出反比例函数的性质 3.难点的突破方法: 画反比例函数图象前,应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤,即:列表、描点、连线,其中列表取值很关键。反比例函数x k y =(k ≠0)自变量的取值范围是x ≠0,所以取值时应对称式地选取正数和负数各一半,并且互为相反数,通常取的数值越多,画出的图象越精确。连线时要告诉学生用平滑的曲线连接,不能用折线连接。教学时,老师要带着学生一起画,注意引导,及时纠错。 在探究反比例函数的性质时,可结合正比例函数y =kx (k ≠0)的图象和性质,来帮助学生观察、分析及归纳,通过对比,能使学生更好地理解和掌握所学的内容。这里要强调一下,反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k 的符号决定的;反之,双曲线的位置和函数性质也能推出k 的符号,注意让学生体会数形结合的思想方法。 三、例题的意图分析 教材第48页的例2是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程,一方面能进一步熟悉作函数图象的方法,提高基本技能;另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识,了解函数的变化规律,从而为探究函数的性质作准备。 补充例1的目的一是复习巩固反比例函数的定义,二是通过对反比例函数性质的简单应用,使学生进一步理解反比例函数的图象特征及性质。 补充例2是一道典型题,是关于反比例函数图象与矩形面积的问题,要让学生理解并掌握反比例函数解析式x k y =(k ≠0)中k 的几何意义。 四、课堂引入 提出问题: 1.一次函数y =kx +b (k 、b 是常数,k ≠0)的图象是什么?其性质有哪些?正比例函数y =kx (k ≠0)呢? 2.画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些?应注意什么? 3.反比例函数的图象是什么样呢? 五、例习题分析 例2.见教材P48,用描点法画图,注意强调: (1)列表取值时,x ≠0,因为x =0函数无意义,为了使描出的点具有代表性,可以“0”为中心,向两边对称式取值,即正、负数各一半,且互为相反数,这样也便于求y 值 (2)由于函数图象的特征还不清楚,所以要尽量多取一些数值,多描一些点,这样便于连线,使画出的图象更精确 (3)连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线 (4)由于x ≠0,k ≠0,所以y ≠0,函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交,只是无限靠近两坐标轴 例1.(补充)已知反比例函数32)1(--=m x m y 的图象在第二、四象限,求m 值,并