2020年普通高中名校联考信息卷

2020届湖南省江西省高三普通高中名校联考信息卷（压轴卷一）英语试卷★祝考试顺利★本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试用时 120分钟。

考生注意：1. 本试卷共150分,考试时间120分钟。

2. 答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚。

3. 请将答案填在答题卡上。

第I卷第一部分听力（共两节,满分30分）第一节（共5小题;每小题1. 5分,满分7. 5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Where will the woman most probably go?A. To the fourth floor.B. To the third floor.C. To the second floor.2. How does the man look?A. Very tired.B. Very well.C. Very excited.3. Who has given up smoking?A. Jack.B. Frank.C. The woman.4. What does the man plan to do first?A. Tour in a city.B. See his brother.C. Go back home.5. What does the woman feel scared of?A. Attending an important party.。

2020届•普通高中名校联考信息卷（压轴卷一）（高考研究卷）英语本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试用时120分钟。

考生注意：1.本试卷共150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚。

3.请将答案填在答题卡上。

第I卷第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题;每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.Where will the woman most probably go?A.To the fourth floor.B.To the third floor.C.To the second floor.2.How does the man look?A.Very tired.B.Very well.C.Very excited.3.Who has given up smoking?A.Jack.B.Frank.C.The woman.4.What does the man plan to do first?A.Tour in a city.B.See his brother.C.Go back home.5.What does the woman feel scared of?A.Attending an important party.B.Hosting an important party.C.Missing an important party.第二节（共15小题;每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题,每小题5秒钟;听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

2020年全国统一考试名校联盟·模拟信息卷(二)语文试题(测试时间：150分钟卷面总分：150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、现代文阅读(36分)（一）论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1~3题。

从“粉丝”(英文fans音译)的词义上说，所谓对明星、对某事某物的极度喜爱早已有之：美男子潘安每逢出行，必然引得街上老妪掷果盈车，“全民偶像”苏东坡在宋代就遭遇“东坡肉”“东坡饼”“子瞻帽”的明星产品开发。

但是，我们今天说到粉丝文化的时候，其内涵约定俗成地包括粉丝与明星偶像之间频繁互动、粉丝与粉丝结成社群、粉丝有组织地应援“爱豆”、在其作品基础上开展同人创作等，从这些内涵来看，粉丝是当代大众文化特别是娱乐工业发展的产物。

没有大众文化的发展，粉丝文化的孕育就无从谈起。

2005年湖南卫视推出《超级女声》，数以百万计观众通过编辑手机短信为心仪歌手拉票助威，让粉丝文化醒目进入中国大众视野。

一晃十余年过去了，今日的《创造101》等娱乐节目偶像制造声势不减，见证着大众文化产业特别是综艺娱乐业规模越做越大，更见证着粉丝群体的显著增长和更替变化。

如今，专业粉丝社群和职业粉丝越来越多，粉丝对大众文化生产的介入性和能动性越来越强，与此同时，粉丝的商业潜能得到前所未有重视，粉丝文化与粉丝经济联系日益密切。

以至于有人说，这是一个有1000个铁杆粉丝就能养家糊口的时代。

无怪乎一些明星经纪公司明确把粉丝喜好放在突出位置，粉丝喜欢的风格就是公司培养明星的内容；高人气网络小说被影视剧制作方争相改编，看重的也是原作庞大的粉丝基础可以自动“导流”；不仅是文化产业，许多科技类企业等也围绕品牌打造粉丝社群、主动建构粉丝文化，将粉丝经济视为移动互联网时代的制胜法宝。

绝密★启用前2020届浙江省高三新高考名校联考信息卷（七）数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题1．已知集合{}|31,A x x n n Z ==+∈，{}|44B x x =-≤≤，则集合A B =I A ．{}4,1,1,4-- B ．{}1,4 C ．{}2,1,4- D ．{}4,1,2--答案：C已知集合{}|31,A x x n n Z ==+∈，{}|44B x x =-≤≤， 令4314n -≤+≤，解得513n -≤≤，因为n Z ∈，所以101n =-，，. 所以{}2,1,4A B ⋂=-. 故选C.2．已知抛物线26y x =上的一点到焦点的距离是到y 轴距离的2倍，则该点的横坐标为（ ） A ．12B ．32C ．2D ．23答案：B设该点横坐标为x ，利用抛物线的定义得到关于x 的方程，解方程即可求解. 解：设该点横坐标为x ，抛物线准线方程为32x =- 由抛物线的定义可得322x x +=，得32x =. 故选：B 点评：本题考查抛物线的定义；考查运算求解能力；属于基础题.3．已知随机变量ξ满足：(21)3,(21)4E D ξξ-=-=，则（ ） A ．5()2,()4E D ξξ== B ．5()1,()4E D ξξ==C ．3(),()12E D ξξ== D ．()2,()1E D ξξ==答案：D根据随机变量期望与方差的性质：2()(),()()E a b aE b D a b a D ξξξξ+=++=⨯， 列方程即可求解. 解：因为2(21)2()13,(21)2()4E E D D ξξξξ-=-=-=⨯=， 所以()2,()1E D ξξ==. 故选：D 点评：本题考查随机变量的期望与方差及其性质；考查运算求解能力；属于基础题. 4．下列各函数中，满足“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的充分不必要条件的是（ ） A ．()tan f x x = B ．()33x x f x -=- C ．3()f x x= D ．3()log ||f x x =答案：A利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合函数的单调性和充分不必要条件的定义进行逐项判断即可. 解：对于选项A ：因为()tan f x x =是奇函数，所以()()121200x x f x f x +=⇒+=，但是3044f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时3044ππ+≠，符合要求，所以A 正确； 对于选项B ：因为函数()33x xf x -=-，其定义域为R 关于原点对称，()()33x x f x f x --=-=-，所以函数()33x x f x -=-为奇函数，又因为3xy =为R 上的增函数，由简单复合函数的单调性知，函数()33x xf x -=-为R 的增函数，所以“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的充要条件，不符合题意； 对于选项C ：因为幂函数3()f x x =，其定义域为R 关于原点对称，()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以函数3()f x x =为定义在R 上的奇函数，由幂函数的图象及性质知，函数3()f x x =为R 上的增函数，所以“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的充要条件，不符合题意；对于选项D ，由题意可知，函数3()log ||f x x =的定义域为}{0x x ≠，其定义域关于原点对称，因为()()3log f x x f x -=-=，所以函数3()log ||f x x =为偶函数，不符合题意. 故选：A 点评：本题考查奇函数的性质、指数函数、幂函数及正切函数的性质、充分条件和必要条件；试题以函数的性质为载体，考查学生对充要关系的本质的理解；考查逻辑推理能力；熟练掌握基本初等函数的性质是求解本题的关键；属于中档题. 5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．67π B ．πC ．76π D ．2π答案：C由三视图还原几何体，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1，上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1，再由圆锥与球的体积公式求解. 解：解：由三视图还原几何体如图，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1， 上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1， 则该几何体的体积为2313471213836πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：C. 点评：本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题.6．若,x y 满足约束条件5,5,25,x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩„…„则25x y +=的整数解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D先画出可行域与目标直线，再确定满足条件的,x y 的取值范围，最后逐一讨论符合的整数解. 解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线25x y +=，直线52y x =-与可行域的边界交于,B D 两点，由25,25,x y x y +=⎧⎨-=⎩解得3,1,x y =⎧⎨=-⎩(3,1)D ∴-，又(0,5)B ，[0,3]x ∴∈，[1,5]y ∈-，且,x y Z ∈，当0x =时，5y =；当1x =时3y =；当2x =时，1y =；当3x =时，1y =-，∴整数解的个数为4.故选：D 点评：本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想和运算求解能力；正确求出满足条件的,x y 的取值范围是求解本题的关键；属于中档题.7．已知在ABC V 中，90,A AB AC ︒∠===，动点P 自点C 出发沿线段CB 运动，到达点B 时停止运动，动点Q 自点B 出发沿线段BC 运动，到达点C 时停止运动，且动点Q 的速度是动点P 的2倍，若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则当AP AQ ⋅u u u r u u u r取最大值时，||PQ =u u u r （ ）A ．2B ．1C ．23D ．12答案：B分解向量,AP AC CP AQ AB BQ =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，将求AP AQ ⋅u u u r u u u r转化为求二次函数的最值问题，以此确定,P Q 的位置，最后求得||PQ uuu r的值.解：90,0A AB AC ︒∠=∴⋅=u u u r u u u rQ ，依题意知8BC =，2||||CP BQ =u u u r u u u r ，()()AP AQ AC CP AB BQ AC AB AC BQ CP AB CP BQ ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2||cos45CP ︒=u u u r 22||cos 452||2(||3)18CP CP CP ︒+-=--+u u u r u u u r u u u r ，∴当||3CP =u u u r 时，AP AQ ⋅u u u r u u u r取得最大值，此时||6BQ =uuu r ，||3681PQ ∴=+-=u u u r .故选：B 点评：本题考查平面向量的加法的三角形法则和平面向量的数量积、二次函数最值的求解；考查运算求解能力、化归与转化能力；把平面向量数量积的最值问题转化为二次函数的最值问题是求解本题的关键；属于中档题.8．过正方体ABCD A B C D ''''-的顶点A 作平面α，使得棱,,AB CC A D '''在平面α上的投影的长度相等，则这样的平面α的个数为（ ） A ．6 B ．4C ．3D ．1答案：B利用直线平行的传递性，,,AB CC A D '''可以用同一顶点处的三条棱替代，如,,AB AA AD '，投影的长度相等等价于这些线段所在直线与平面α所成的角相等，因此以正方体为依托即可求解. 解：由直线平行的传递性知，,,AB CC A D '''可以用同一顶点处的三条棱替代，如,,AB AA AD '，投影的长度相等等价于这些线段所在直线与平面α所成的角相等， 因此以正方体为依托，如图，平面()AB D BC D '''，()ACD A BC '''，()A BDB CD '''，()AC D AB C '''均符合题意， 所以这样的平面有4个. 故选：B 点评：本题考查空间直线与平面的位置关系；考查化归与转化能力、空间想象能力、逻辑推理能力；利用直线平行的传递性和线面角的定义把投影相等转化为线面角相等是求解本题的关键；属于抽象型、难度大型试题.9．“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载了“方垛”的计算方法：“果子以垛，下方十四个，问计几何？术曰：下方加一，乘下方为平积.又加半为高，以乘下方为高积.如三而一.”意思是说，将果子以方垛的形式摆放（方垛即每层均为正方形，自下而上每层每边果子数依次递减1个，最上层为1个），最下层每边果子数为14个，问共有多少个果子？计算方法用算式表示为1114(141)1432⎛⎫⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭.利用“方垛”的计算方法，可计算最下层每边果子数为14个的“三角垛”（三角垛即每层均为正三角形，自下而上每层每边果子数依次递减1个，最上层为1个）共有果子数为（ ） A ．420个 B ．560个C ．680个D ．1015个答案：B由题意可得，最下层每边为()*n n N∈个果子的“方垛”总的果子数的计算式为。

2020年浙江省新高考名校联考信息卷（五）一、单选题(★★) 1. 若集合，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知复数满足，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 函数的图象可能是（）A．B．C．D．(★★★) 4. 已知数列是首项大于零的等比数列，则“ ”是“ ”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 5. 已知椭圆的左焦点为，分别为椭圆的右顶点和下顶点，若成等差数列，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 若实数满足不等式组则的最大值是（）A．15B．C．D．33(★★★) 7. 已知均为正数，离散型随机变量的分布列如下所示：则当取得最小值时， （）A ．B ．C ．D ．1(★★★) 8. 设数列满足 ， （其中 为自然对数的底数），数列的前 项和为，则（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 9. 如图，在四面体中，已知 平面，与平面所成的角为，是上一动点，设直线与平面所成的角为 ，则（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 10. 已知关于 的方程 在上有实数根，且，则 的最大值为（）A ．B ．0C ．D ．1二、双空题(★★) 11. 已知函数则______，的最大值是_____.(★★★) 12. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_______，表面积是_______.(★★★) 13. 已知（其中为正整数），若是中的唯一最大值，则的值为_____，的值为_____.(★★★) 14. 在中，内角所对的边分别为，若，边上的中点为，则______，______.三、填空题(★★★) 15. 在平面直角坐标系中，已知点是双曲线上的一点，分别为双曲线的左、右焦点，，且，则双曲线的离心率为_________.(★★★) 16. 由数字0，1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的四位数，则能被15整除且0不在个位的四位数共有________个.(★★★) 17. 已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为_____.四、解答题(★★★) 18. 已知函数的部分图象如图所示，其中点的坐标为.（1）求函数的最小正周期；（2）若，求的值.(★★★) 19. 如图，已知四边形 ABCD是正方形，AE⊥平面 ABCD，PD∥ AE， PD＝ AD＝2 EA＝2， G， F， H分别为 BE， BP， PC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面 GHF；（2）求直线 GH与平面 PBC所成的角θ的正弦值．(★★★) 20. 已知数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，且，，数列的前项和为，求满足的所有正整数的值.(★★★★) 21. 如图，为抛物线上的两个不同的点，且线段的中点在直线上，当点的纵坐标为1时，点的横坐标为.（1）求抛物线的标准方程；（2）若点在轴两侧，抛物线的准线与轴交于点，直线的斜率分别为，求的取值范围.(★★★★) 22. 已知函数.（1）当时，求证：；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.。

2020年浙江省新高考名校联考信息卷（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|05},{2|}A x Z x B x x A =∈<=∈，则()AA B ⋂=A ．{2,4}B ．{0,2,4}C ．{1,3}D ．{1,2,3}2．已知:x p y a =在R 上单调递增，2:20q a a +≥，那么p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()2()1cos f x x x =+的大致图象是A ．B ．C ．D ．4．已知某圆过点3(2,)A -和点(4,5)B ，且AB 为该圆的直径，则该圆的标准方程为 A ．22(3)(1)17x y -+-= B ．22(3)(1)17x y +++= C ．22(3)(1)68x y -+-=D ．22(3)(1)68x y +++=5．浙江新高考的要求是“七选三”，即考生从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理和技术这七个科目中选三个．已知某大学某专业对选考科目的要求是物理和化学这两个科目至少选一个，若考生甲想就读该专业，则他的选考方法的种数为 A ．5B ．10C ．15D ．256．3450(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中3x 的系数是A ．351CB ．450C C ．451CD ．447C7．设,a b 是单位向量，且13a b ⋅=，向量c 满足2c a c b ⋅=⋅=，则||c =A B C D ．8．已知图中的网格是由边长为1的小正方形组成的，某几何体的三视图如图中的粗线所示，则该几何体的体积是A ．180B ．220C ．240D ．2609．已知四边形ABCD 为圆内接四边形，2,1,sin 2sin AD CD AB BDC CBD ===∠=∠，则四边形ABCD 的面积为A B C D ．410．已知三棱锥D ABC -，分别记二面角,,A BD C B DC A C DA B ------的平面角为,,αβγ，则 A ．(0,)αβγπ++∈ B ．(0,2)αβγπ++∈ C ．(,3)αβγππ++∈ D ．(,2)αβγππ++∈二、双空题11．已知i 是虚数单位，31iz i+=-，则||z =_________，z 的共轭复数z =________． 12．已知离散型随机变量ξ的分布列如下：则q =___________，()E ξ=___________．13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若119110110,119S S ==，则115a =_________，229S =________．14．若实数,x y 满足0,10,30,x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，目标函数(0)z x ky k =->的最小值为3-，则实数k 的值为_________，若方程20x y a ++=无解，则实数a 的取值范围为_________．三、填空题15．已知实数,,a b c 满足222870,660a a bc b c bc a --+=++-+=，则实数a 的取值范围是_________． 16．已知函数3227(),()318x f x g x x ax x ==-++，若对任意的111,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在211,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，则正整数a 的最小值为_________．17．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴交于点C ，过点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，若0BC BF ⋅=，则BA CF ⋅=________．四、解答题18．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求()f x 的最小正周期和()f x 的解析式； （2）若函数()f x 在区间,(0)44a a a ππ⎡⎤-+>⎢⎥⎣⎦上是减函数．求实数a 的取值范围．19．如图，在三棱锥A BCD -中，2AB BD AD AC ====，BCD 是以BD 为斜边的等腰直角三角形，P 为AB 的中点，E 为BD 的中点．（1）求证：AE ⊥平面BCD ；（2）求直线PD 与平面ACD 所成角的正弦值． 20．已知数列{}n a 满足()31121*2222222n n aa a aan n N -++++++=-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an n b a =⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ；（3）设()11*4(1)2na n n n c n N λ+-=+-⋅∈，问：是否存在非零整数λ，使数列{}n c 为递增数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，短轴的一个端点到右焦点的距离为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）设,A B 分别为椭圆E 的左、右顶点，如图，过点,A B 分别作直线AC 与BC ，设直线AC 交椭圆E 于另一点,P BC 交椭圆E 于另一点Q ，分别过A 和Q 作椭圆E 的两条切线，且两条切线交于点R ，分别过B 和P 作椭圆E 的两条切线，且两条切线交于点S ．证明：点C 在直线RS 上． 22．已知函数1()ln f x x x x=+． （1）求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线(0)y kx k k =->有且只有一个公共点()00,P x y ，求证：023x <<．（参考数据：ln 20.69,ln3 1.10,ln5 1.61≈≈≈）参考答案1．C 【分析】先由题意得到集合A ，再求集合B ，最后根据集合的交、补运算求解即可． 【详解】由题意，集合{|05}{0,1,2,3,4}A x Z x ∈≤==<，可得{2|}{0,2,4,6,8}B x x A =∈=，所以{0,2,4}AB =，所以(){1,3}A A B ⋂=．故选：C ． 【点睛】本题主要考查集合的交、补运算，其中解答中正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查考生的运算求解能力． 2．A 【分析】先求得命题,p q 为真命题时，求得实数a 的范围，再结合充分、必要条件的判定，即可求解． 【详解】由命题:x p y a =在R 上单调递增，可得1a >， 对于命题q ：由220a a +≥，解得0a ≥或2a ≤-， 因此p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及充分、必要条件的判断，考查考生的推理论证能力． 3．B 【分析】由函数()f x ，求得()()f x f x -=，得到函数()f x 是偶函数，再结合(0)0f >，即可求解． 【详解】由题意，函数()2()1cos f x x x =+的定义域为R ，且()22()[()1]cos()1cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=，即()()f x f x -=， 所以函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，故排除C ，D ， 又由(0)10=>f ，所以排除A ． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的识别等知识的综合应用，着重考查的数学核心素养是直观想象． 4．A 【分析】由点,A B 的坐标，求得圆心为(3,1)，再由||AB =程． 【详解】设AB 的中点为M ，则M 为该圆的圆心，因为点3(2,)A -，点(4,5)B ，所以AB 的中点(3,1)M ，即圆心为(3,1)，又该圆的直径||AB ==，所以该圆的标准方程为22(3)(1)17x y -+-=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，其中解答中熟记圆的标准方程是解答的关键，着重考查分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想． 5．D 【分析】根据题意可分以下三种情况：①考生甲选物理不选化学；②考生甲选化学不选物理；③考生甲同时选物理和化学，再结合分类加法计数原理，即可求解． 【详解】根据题意可分以下三种情况：①考生甲选物理不选化学，有25C 种选考方法； ②考生甲选化学不选物理，有25C 种选考方法；③考生甲同时选物理和化学，有15C 种选考方法．根据分类加法计数原理可知，考生甲的选考方法的种数为22155525C C C ++=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查排列组合、分类加法计数原理等知识，考查考生分析问题、解决问题的能力，体现了数学的应用性． 6．C 【分析】利用等比数列的求和公式，化简得5133450(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x+-+++++++=，再结合二项式定理，即可求解． 【详解】 由题意，可得3485133450(1)(1)1(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x xx⎡⎤++-+-+⎣⎦++++++==，所以3450(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中3x 的系数就是51(1)x +的展开式中4x 的系数，即为451C ．故选：C ． 【点睛】本题主要考查二项式定理，以及等比数列的前n 项和公式，考查考生分析问题、解决问题的能力、化归与转化能力、运算求解能力． 7．B 【分析】可设(,)c a b R λμλμ=+∈，然后根据条件求出,λμ的值，最后利用向量模的公式求解；也可以用坐标表示向量,,a b c ，利用平面向量数量积的坐标表示求解． 【详解】解法1、由题意可设(,)c a b R λμλμ=+∈，则112,233c a c b λμλμ⋅=+=⋅=+=，所以32λμ==，所以2233||||2622c a b a a b b =+=+⋅+=． 解法2、因为c a c b ⋅=⋅，所以,a b 在c 方向上的投影相等，从而c 在,a b 夹角的平分线上， 由13a b ⋅=，且,a b 为单位向量，可得,a b 的夹角θ的余弦值1cos 3θ=， 由2cos 2cos12θθ=-可得，cos2θ==， 即,ab 在c ，所以||c == 故选：B ． 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理、平面向量的数量积的应用，考查方程思想和化归与转化思想，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算． 8．C 【分析】先由三视图还原出几何体，再结合棱柱和棱锥的体积公式进行求解即可． 【详解】如图所示，该几何体是由一个有一条侧棱SC 垂直于底面ABCDE 的五棱锥S ABCDE -和一个五棱柱11111EABCD E A BC D -组成的组合体， 其中168243362ABCDE S =⨯-⨯⨯⨯=五边形， 故该几何体的体积为136********⨯⨯+⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查空间几何体的三视图、以及几何体的体积等知识，考查考生的运算求解能力与空间想象能力，考查的核心素养是数学运算、直观想象． 9．D 【分析】在BCD △中，根据正弦定理得到BC 的长，再分别在BCD △和ABD △中利用余弦定理表示出2BD ，并结合圆内接四边形的性质得到sin sin A C ==最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠，因为2,sin 2sin CD BDC CBD =∠=∠，所以4BC =，由余弦定理得2222cos 2016cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅⋅=-，在ABD △中，由余弦定理得2222cos 54cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅⋅=-， 所以2016cos 54cos C A -=-．因为四边形ABCD 为圆内接四边形，所以A C π+=，所以cos cos()cos A C C π=-=-，所以2016cos 54cos C C -=+，所以33cos ,cos 44C A ==-，所以sin sin A C ==ABCD 的面积11sin sin 22S AB AD A BC CD C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 10．C 【分析】将顶点D 无限压缩，使点D 无限趋近于平面ABC ，再将顶点D 无限拉伸，结合极限的思想，即可求解． 【详解】如图所示，将顶点D 无限压缩，使点D 无限趋近于平面ABC ，则αβγ++趋近于3π；将顶点D 无限拉伸，则αβγ++趋近于π， 结合极限的思想，可得(,3)αβγππ++∈． 故选：C ．【点睛】本题主要考查二面角概念、极限思想的应用，考查考生的空间想象能力，试题仅仅给出了一个三棱锥，但没有相关的数量关系和位置关系，极具探究性，解题时利用了极限思想，对直观想象的核心素养的要求较高．11 12i - 【分析】根据复数的运算法则，化简求得12z i =+，再结合复数的模的计算公式和共轭复数的概念，即可求解． 【详解】由题意，复数3(3)(1)24121(1)(1)2i i i iz i i i i ++++====+--+，所以||12z z i ==-．12i - 【点睛】本题主要考查共轭复数的概念、复数的运算，考查考生的运算求解能力．其中试题把复数的有关概念和有关计算作为考查的重点，体现了《课程标准》对复数这部分内容的要求，将对基础知识的考查和对数学运算的核心素养的考查有机结合． 12．12-1 【分析】由分布列的性质，列出不等式，求得12q =- 【详解】由分布列的性质，可得2201210111212q q q q ⎧⎪≤-<⎪≤<⎨⎪⎪+-+=⎩，解得10212q q ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，即1q =-所以2111()10(12)111222E q q ξ=-⨯+⨯-+⨯=-++-=-故答案为：12-，1 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列的性质、数学期望的求解等知识，考查考生的运算求解能力．13．1- 229- 【分析】根据题意和等差数列的性质，求得1151a =-，再利用等差数列的前n 项和公式，即可求解． 【详解】由题意知，等差数列{}n a 中，119110110,119S S ==， 则()1111191191101111121191159992a a S S a a a a +-=+++===-，可得1151a =-，所以()1229115229115229229222922922a a a S a ⨯+⨯====-．故答案为：1-，229- 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，考查考生的运算求解能力，试题以数列的基础知识为内容，考查考生提取相关信息的能力，培养数学运算、逻辑推理的核心素养．14．1 (,4)(1,)-∞-⋃-+∞ 【分析】作出不等式组01030x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩所以表示的平面区域如图中阴影部分，由目标函数(0)z x ky k =->在点(0,3)B 处取得最小值得到k ，方程20x y a ++=无解，即直线20x y a ++=与不等式组表示的平面区域没有交点，结合图象即可.【详解】由题意，作出不等式组01030x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩所以表示的平面区域如图中阴影部分，如图所示，由图可知目标函数(0)z x ky k =->在点(0,3)B 处取得最小值3-， 所以33k -=-，解得1k =，作出直线20x y +=，并平移该直线，当直线经过点(0,1)C 时，2x y +取得最小值1， 当直线经过点(1,2)A 时，2x y +取得最大值4，因为方程20x y a ++=无解，即直线20x y a ++=与不等式组表示的平面区域没有交点，所以4a或1a >-，即实数a 的取值范围是(,4)(1,)-∞-⋃-+∞． 故答案为：1，(,4)(1,)-∞-⋃-+∞【点睛】本题主要考查了线性规划问题应用，着重考查考生分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想和运算求解能力，其中解答中要求考生画出可行域对应的几何图形，用图形探索解决问题的思路，形成数形结合思想，体会几何直观的作用和意义． 15．[1,9] 【分析】由题设条件，化简得287bc a a =-+，2266b c bc a ++=-，再利用2()4b c bc +≥，得到不等式21090a a -+≤，即可求解． 【详解】由题意，实数,,a b c 满足2870a a bc --+=，可得287bc a a =-+， 由22660b c bc a ++-+=，可得2266b c bc a ++=-，所以22222()668721b c b c bc bc a a a a a +=+++=-+-+=-+，又由2()4b c bc +≥，得()2221487a a a a -+≥-+，即21090a a -+≤，解得19a ≤≤． 故答案为：[1,9]． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，其中解答合理利用基本不等式，得到实数a 的不等式是解答的关键，着重考查转化与化归能力、以及运算、求解能力． 16．2 【分析】分别求出函数(),()f x g x 在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域，然后将问题转化为两个函数在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域之间的关系，列出不等式组，即可求解． 【详解】由题意，函数22()1x f x x =+，则()()()222222212222()11x x xx f x xx+-⋅-+'==++，当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0f x '>，所以()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 又由551414(),()22f f -=-=，所以()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为44,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 又因为37()38g x x ax =-+，则2()333(g x x a x x '=-=， 因为正整数a ，即1a ≥，所以11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0g x '<， ()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 又由113731137331,28282282842a a a a g g ⎛⎫⎛⎫=-+=--=-++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为3331,242a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，若对任意的111,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在211,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =成立， 则34125334425aa ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得65a ≥，又因为*a N ∈，所以a 的最小值为2．故答案为：2. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值中的综合应用，着重考查了转化与化归思想，分析问题和解答问题的能力，以及运算能力，属于中档试题． 17．22p 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，由0BC BF ⋅=，得到且点()22,B x y 是以CF 为直径的圆与抛物线的交点，联立方程组，求得2x p=，设直线AB 的方程为2p x my =+，联立方程求得1x p =，再利用向量的数量积的运算公式，即可求求解． 【详解】如图所示，设()()1122,,,A x y B x y ，由0BC BF ⋅=，可得120x x >>， 且点()22,B x y 是以CF 为直径的圆与抛物线22y px =的交点，联立方程组2222222242p x y y px⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得2x p =，设直线AB 的方程为2px my =+， 联立方程组222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得()2221204p x m px -++=，可得2124p x x =，所以1x p =，则()()2121212,(,0)2BA CF x x y y p p x x p ⋅=--⋅=-=．故答案为：22p ．【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和几何性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积等知识，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查化归与转化思想，试题在重视对抛物线的几何性质的考查的基础上，引导考生善于抓住解析几何问题的本质，有利于培养考生数学运算、直观想象的核心素养． 18．（1）T π=,2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）0,6π⎛⎤⎥⎝⎦【分析】（1）根据图象得到2,A T π==，即可得()f x 的最小正周期，然后根据()f x 的图象过点7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭及||2ϕπ<，得到3πϕ=，即得()f x 的解析式； （2）先根据正弦函数的单调性求得函数()f x 的一个单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再分析得到7,,441212a a ππππ⎡⎤⎡⎤-+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，最后解不等式组即可得到实数a 的取值范围． 【详解】（1）设函数()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期为T ，由图象可得2A =，374126T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，解得T π=， 所以22Tπω==． 又由数()f x 的图象过点7,212π⎛⎫-⎪⎝⎭，所以72sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，即7sin(2)112πϕ⨯+=-，所以722,122k k Z ππϕπ⨯+=-+∈， 解得52,3k k Z πϕπ=-+∈， 因为||2ϕπ<，所以3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数． 因为,444a a πππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，所以7,,441212a a ππππ⎡⎤⎡⎤-+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 故7412412a a ππππ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得6a π≤，可得06a π<≤，所以实数a 的取值范围为0,6π⎛⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质、三角函数的最小正周期知识的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查考生的识图能力、运算求解能力．19．（1）证明见解析（2【分析】（1）先在ABD △中运用等边三角形的性质得AE BD ⊥，再在AEC 中利用勾股定理的逆定理得AE EC ⊥，最后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）以,,EC ED EA 所在的直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面ACD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解． 【详解】（1）由题意，ABD ∆是边长为2的等边三角形，因为E 为BD 的中点，所以AE BD ⊥，且AE =如图（1）所示，连接CE ，因为BCD ∆是斜边长为2的等腰直角三角形，所以112CE BD ==．在AEC ∆中，2,1,AC EC AE ===222AC AE EC =+，所以AE EC ⊥， 又因为BD EC E ⋂=，BD ⊂平面,BCD EC ⊂平面BCD ，所以AE ⊥平面BCD ．（2）由（1）可知AE ⊥平面BCD ，且CE BD ⊥，分别以,,EC ED EA 所在的直线为,,x y z 轴建立如图（2）所示的空间直角坐标系，则(1,0,0),(0,1,0)A C D ，10,2P ⎛- ⎝⎭，可得(0,1,3),(1,1,0)AD CD =-=-，30,,22DP ⎛=- ⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n AD n CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即00y y x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，取1x y ==，则33z，所以31,1,3n ⎛= ⎝⎭为平面ACD 的一个法向量， 设PD 与平面ACD 所成的角为θ，则7sin 7||||n DP n DP θ⋅==⋅，故直线PD 与平面ACD 所成角的正弦值为7．【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．（1）()*n a n n N =∈（2）1(1)22n n T n +=-⋅+（3）存在，1λ=- 【分析】（1）根据题干中的等式即可求解数列{}n a 的通项公式；（2）先根据数列{}n a 的通项公式求出n b ，再根据n b 的特点利用错位相减法求和即可； （3）先求出n c ，再分n 为奇数和n 为偶数两种情况求解即可． 【详解】（1）由题意，数列{}n a 满足()31121*2222222n n aa a aan n N -++++++=-∈……①，所以当2n ≥时，11222222n a a a n -++⋯+=-…… ②， 由①-②，可得22n a n =，可得(2)n a n n =≥， 当1n =时，122a =，所以11a =，也满足上式，所以()*n a n n N =∈．（2）由（1）知，2nn b n =⋅，则231122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，23121222(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减得，()231121222222212n n n n n T n n ++--=++++-⋅=-⋅-，所以1(1)22n n T n +=-⋅+．（3）由（1）知，114(1)2nn n n c λ-+=+-⋅，要使数列{}n c 为递增数列，则()*1n n c c n N +>∈恒成立，即1211144(1)2(1)20n n n n n n n n c c λλ++-++-=-+-⋅--⋅>恒成立，整理得11343(1)20n n n λ-+⋅--⋅>恒成立，所以11(1)2n n λ---<恒成立． 当n 为奇数时，12n λ-<恒成立，所以1λ<； 当n 为偶数时，12n λ->-恒成立，所以2λ>-． 综上可得21λ-<<，又因为λ为非零整数，所以1λ=-，即存在1λ=-，使数列{}n c 为递增数列． 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等．21．（1）2214x y +=（2）证明见解析 【分析】（1）根据题意列出关于,,a b c 的方程组，解方程组即可得,,a b c 的值，即可求得椭圆的标准方程；（2）先设出过点P 的切线方程，再将此直线方程和椭圆方程联立，利用直线与椭圆只有一个交点得点P 的坐标，设出点C 的坐标，结合点S 的坐标可得直线CS 的斜率，同理得直线CR 的斜率，进而可得点C 在直线RS 上．【详解】（1）由椭圆2222:1x y E a b +=的离心率为22．可得2222c e a a b c ⎧==⎪==+⎪⎪⎩，解得2,1,a b c ===所以椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）设过点P 的切线为11y k x m =+，由112244y k x m x y =+⎧⎨+=⎩，整理得()2221111148440k x k m x m +++-=， 由0∆=，可得222111164()4(14)(44)0k m k m -+-=，化简得221141m k -=，所以切点P 的横坐标为111112211144414k m k m k k m m -=-=-+，所以11141,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由题意知()112,2S k m +，设()00,C x y ，则直线CS 的斜率()011022CS y k m k x -+=-．因为,,C P A 三点共线，所以CA AP k k =，即()01101111142222y m k x m k m ==+--+，得01101222y m k x =-+， 又因为221141m k -=，所以01111012222y m k m k x +==-+， 所以()000110002000222224CS y y y k m x x y k x x x --++===---， 同理可得，00204CR x y k x =-， 所以,,R C S 三点共线，从而点C 在直线RS 上．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．22．（1）单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）对函数()f x 求导，即可得函数()f x 的单调区间；（2）构造函数1()ln F x x x kx k x=+-+，将问题转化为函数()F x 有且只有一个零点0x ，利用导数研究函数的单调性，得到关于0x 的等式，最后构造函数，利用函数的单调性求0x 的取值范围，从而得证．【详解】（1）由题意，函数1()ln f x x x x =+，则21()ln 1f x x x '=+-， 设()21ln 1g x x x =+-，则()312g x x x '=+， 当0x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增， 因为()01f '=，所以当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞．（2）设函数1()ln F x x x kx k x=+-+， 由曲线()y f x =与直线(0)y kx k k =->有且只有一个公共点()00,P x y ，等价于函数()F x 有且只有一个零点0x ， 又由21()ln 1F x x k x '=+--， 设()21ln 1h x x k x =+--，则()312h x x x '=+， 当0x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，即()F x '在(0,)+∞上单调递增，因为()21(1)0,10k k F k F e e''=-<=->，所以存在()11,k x e ∈，使()10F x '=， 所以当10x x <<时，()0,()F x F x '<单调递减，当1x x >时，()0,()F x F x '>单调递增，而()111111111(1)10,ln 0k k k k k k k F F e e e ke k e k e e +++++++=>=+-+=++>，所以要使函数()F x 有且只有一个零点0x ，则10x x =，所以()()0000F x F x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即00000201ln 01ln 10x x kx k x x k x ⎧+-+=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩，消元得0020021ln 10x x x x -+-+=． 令221()ln 1G x x x x x =-+-+，则()2233(1)2122()1x x G x x x x x'---=--+=， 当1x >时，()0G x '<，所以函数()G x 单调递减， 又由113(2)ln 20,(3)ln 3049G G =->=-<，所以存在0(2,3)x ∈，使得()00G x =， 即若曲线()y f x =与直线(0)y kx k k =->有且只有一个公共点()00,P x y ，则023x <<．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

浙江新高考名校联考信息卷（一）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：若事件,A B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=台体的体积公式()112213V S S S S h =+ 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|213,{|4}x A x B y y x =+>==-，则A B =（ ）A. (1,0]-B. (0,1)C. (1,2]D. [0,2]【答案】C 【解析】 【分析】先解指数不等式得到集合A ，再根据函数的值域求得集合B ，最后根据集合的交运算求解即可．【详解】解：由{}|213(1,),{|[0,2]x A x B y y =+>=+∞===，则(1,2]A B ⋂=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查指数不等式的解法、函数的值域、集合的交运算，考查考生的运算求解能力．2.已知抛物线216y x =在第四象限内的一点M 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的15，则点M 的坐标为（ ） A. (1,4)B. (1,4)-C. (1,4)±D.(2,-【答案】B 【解析】【详解】解：设(,)M x y ，则根据题意及抛物线的定义，得1(4)5x x =+，解得1x =， 代入抛物线方程得，4y =±． 又点M 在第四象限， 所以4y =-， 故(1,4)M -， 故选：B ．【点睛】本题主要考查拋物线的定义，考查的数学核心素养是数学运算．3.已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2i z ai +=+，且z 在复平面内所对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,2)-∞ B. [2,2)-C. (2,2]-D. (2,2)-【答案】D 【解析】【分析】先利用复数的四则运算将复数z 化为(,)a bi a b R +∈的形式，再根据复数的几何意义，建立关于a 的不等式组，解不等式组即可求得实数a 的取值范围． 【详解】解：由(1)2i z ai +=+， 得2(2)(1)(2)(2)1(1)(1)2ai ai i a a iz i i i ++-++-===++-． 因为z 在复平面内所对应的点在第四象限，所以20,20,a a +>⎧⎨-<⎩得22a -<<， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的几何意义及四则运算，考查考生的运算求解能力． 4.已知向量(1,2)a =-，(1,)b m =，则“12m <”是,a b 为钝角的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为(1,2)a =-，(1,)b m =，所以12a b m ⋅=-+，则cos ,5a b a b a b⋅==⋅若12m <，则cos ,05a b a b a b ⋅==<⋅， 但当2m =-时， ,a b 反向，夹角为180；所以由12m <不能推出,a b 为钝角； 反之，若,a b 为钝角，则cos ,0a b <且2m ≠-，即12m <且2m ≠-，能推出12m <；因此，“12m <”是,a b 为钝角的必要不充分条件.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型. 5.已知函数()log |1|a f x x =+，其中0a >且1a ≠，若(1)0f <，则（ ） A. ()(2)f a f a >-B. ()(2)f a f a <-C. ()(2)f a f a =-D.(),(2)f a f a -的大小关系不确定【答案】B 【解析】 【分析】先根据()f x 得到函数()f x 的定义域及其图象的对称性，再根据(1)0f <判断a 的取值范围，得到()f x 的单调性，并据此判断(),(2)f a f a -的大小关系． 【详解】解：因为()log |1|a f x x =+，所以()f x 的定义域为{|1}x x ≠-，且()f x 的图象关于直线1x =-对称． 因为(1)log 20a f =<， 所以01a <<，所以()f x 在(,1)-∞-上单调递增， 在(1,)-+∞上单调递减．易知10,(2)()a f a f a -<-<-=-， 由()f x 在(1,)-+∞上单调递减， 知()()(2)f a f a f a <-=-， 故选：B ．【点睛】本题主要考查含绝对值的对数函数的图象和性质等，考查考生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想．6.已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将其图象向右平移3π个单位长度后关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（ ）A. ()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. ()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C. ()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 7()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数图象的平移得到平移后函数图象对应的解析式，再根据其图象关于y 轴对称及||2ϕπ<得到ϕ的值，进而可得函数()y f x =可能的解析式． 【详解】解：由题意知22πωπ==． 将()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移3π个单位长度后得到sin 23y x πϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象， 因为其图像关于y 轴对称， 所以2,32k k Z ππϕπ-=+∈． 又||2ϕπ<， 所以6π=ϕ．即()sin(2)6f x x π=+，由诱导公式知()sin 2cos 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B ．【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移、三角函数图象的对称性等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养．7.设整数,x y 满足约束条件10,1,220,x y x y x y -+≥⎧⎪+>⎨⎪--<⎩则目标函数222()2z x y x y =++++的最大值为（ ） A. 2B. 4C. 25D. 41【答案】C 【解析】 【分析】根据约束条件画出可行域，再确定目标函数的几何意义，最后数形结合求出目标函数的最值. 【详解】解：不等式组表示的可行域为如图所示的ABC 的内部及线段AC （不含端点）上的整数点．目标函数22222()2(1)(1)z x y x y x y =++++=+++， 其几何意义为可行域内的点与点(1,1)--距离的平方，由数形结合知，22222()2(1)(1)z x y x y x y =++++=+++在点（2,3）处取得最大值，且最大值为25， 故选：C ．【点睛】本题主要考查线性规划，考查考生的数形结合能力与运算求解能力．8.甲、乙、丙、丁、戊5个文艺节目在,,A B C 三家电视台播放，要求每个文艺节目只能独家播放，每家电视台至少播放其中的一个，则不同的播放方案的种数为（ ） A. 150 B. 210C. 240D. 280【答案】A 【解析】 【分析】先根据巳知条件将5个节目分成3组，再计算出每组分到三家电视台的排列数，最后利用分步乘法计数原理计算出正确答案．【详解】解：第一步：分组，将5个节目在三家电视台独家播放，每家电视台至少播放一个节目的分组方案有1,1,3和2,2,1这两种，当分组1,1,3时，共有1135432210C C C A =种分组方法， 当分组为2,2,1时，共有2215312215C C C A =种分组方法， 所以总的分组情况共有101525+=（种）．第二步；排列，将分好的组分配到三家电视台每一个组有33A 种分法．故不同的播放方案共有3325150A ⨯=（种），故选：A ．【点睛】本题主要考查排列数、组合数及两个计数原理的应用，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力．9.定义函数f （x ）3481221222x x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，，＞，则函数g （x ）＝xf （x ）﹣6在区间[1，2n]（n ∈N *）内的所有零点的和为（ ） A. n B. 2nC.34（2n ﹣1） D.32（2n ﹣1） 【答案】D 【解析】 【分析】先画出()y f x =在12x ≤≤的图像，再利用1()22x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭得其它定义域图像，再作出函数6y x=的图象，结合图象可得两图象的交点在函数()y f x =的极大值的位置，即可求解 【详解】由()()60g x xf x =-=得6()f x x=，故函数的零点即为函数()y f x =和函数6y x =图象交点的横坐标．由1()22x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭可得，函数是以区间为一段，其图象为在水平方向上伸长为原来的2倍，同时在竖方向上缩短为原来的．从而先作出函数()y f x =在区间[1,2]上的图象， 再依次作出在1[2,4],[4,8],,2,2n n-⎡⎤⎣⎦上的图象（如图）．然后再作出函数6y x=的图象，结合图象可得两图象的交点在函数()y f x =的极大值的位置， 由此可得函数()g x 在区间()12,2n n-上的零点为1223224n n nn x -+==⋅，故所有零点之和为()()21232134122n n nS --=⋅=-． 故选D ．【点睛】本题考查了函数的零点的判断及分段函数的应用，归纳分析的思想，准确作图是关键，属于中档题10.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是线段,AB AD 的中点，现将AEF 沿EF 翻折至A EF '△的位置，使A '在平面ABCD 内的投影在EF 上，设直线A C '与平面BCD 所成的角为α，异面直线A F '与CE 所成的角为β，则α与β的大小关系是（ ）A. αβ>B. αβ=C. αβ<D. 不能确定【答案】C【分析】先过A '作A M EF '⊥于点M ，则A M '⊥平面ABCD ．连接CM ，则ACM '∠为直线A C '与平面BCD 所成的角，再连接CF ，延长,BA CF 交于点T ，过点F 作//FG CE 交BT 于点G ，则A FG '∠为异面直线A F '与CE 所成的角或其补角，然后求解即可. 【详解】解：由题意得平面A EF'⊥平面ABCD ， 过A '作A M EF '⊥于点M ，则A M '⊥平面ABCD ．连接CM ，则ACM '∠为直线A C '与平面BCD 所成的角，即ACM α'=∠．由题意可知1AE BE A E FD A F AF ''======， 则EFCE ==，所以22EM A M CM A C ''==== 所以cos CM A C α'==． 连接CF ，延长,BA CF 交于点T ，过点F 作//FG CE 交BT 于点G ， 则A FG '∠为异面直线A F '与CE 所成的角或其补角， 即A FG β'=∠或A FG πβ'-=∠． 因为FD AF =， 所以122FC TF GF CE ====． 连接,GM A G '，易知G 为ET 中点，M 为EF 中点，所以122GM TF ==，所以2A G '=， 所以57|1|cos cos cos A FG βα'+-=∠==<，所以，【点睛】本题主要考查平面图形的翻折、异面直线所成的角、线面角，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少四十，九两多十六，试问能算者，合与多少肉．”意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差40文钱，买九两多16文钱，求肉数和肉价．则该问题中，哑子的钱为_________文． 【答案】88 【解析】 【分析】先阅读题意，然后设肉的价格为x 文两，可得1640916x x -=+，再求解即可. 【详解】解：设肉的价格为x 文两， 则1640916x x -=+， 解得8x =，故哑子的钱为1684088⨯-=（文），故答案为：88．【点睛】本题以古代数学文化为背景设题，考查考生的运算求解能力．12.已知随机变量ξ的分布列如下表所示，当14x y+取最小值时，x =_________，()E ξ=_________．【答案】 (1).16(2). 136 【解析】【分析】 先根据离散型随机变量的分布列的性质求出,x y 的关系，再根据基本不等式取等号的条件得出,x y 的值，最后根据分布列求出数学期望()E ξ．【详解】解：由题意得，1(0,0)2x y x y +=>>， 所以141442()252(54)18y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2y x =，即11,63x y ==时取等号， 此时随机变量ξ的分布列为所以11113()1236236Eξ=⨯+⨯+⨯=，故答案为：16，136．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列的性质、数学期望及基本不等式的应用，考查考生的运算求解能力．13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________，表面积为_________．【答案】 (1). 6 (2). 1625+【解析】【分析】先根据几何体的三视图还原出该几何体的直观图，再利用体积与表面积的计算公式求解．计算体积时，可按照棱柱的体积公式直接计算，也可运用割补法进行求解．【详解】解：由三视图知，该几何体的直观图如图中几何体11BCC F ADD E-所示，是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，故其体积(12)2262V+⨯=⨯=，表面积22(12)222212212216252S+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯=+，故答案为：6，1625+．【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图及体积与表面积的计算、割补法的应用，考查考生的空间想象能力和运算求解能力．14.已知234560123456(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)n x a a x a x a x a x a x a x -=++++++++++++，则n =________，3a =_________．【答案】 (1). 6 (2). 160-【解析】【分析】先根据二项展开式的最高次幂确定n 的值，再利用二项展开式的通项求解3a 的值即可．【详解】解：等式左边x 的最高次幂为n x ，等式右边x 的最高次幂为6x ，故6n =．66(1)[(1)2)x x ⎤-=+-⎦，其通项66166C (1)(2)(2)C (1)r r r r r r r T x x --+=+-⋅=-+， 令6r 3-=，解得3r =，故3336(2)160a C =-⨯=-，故答案为：6，160-．【点睛】本题主要考查二项展开式，考查考生的逻辑推理与运算求解能力．15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若139,1a a ==，且m S ，()*122,3m m S S m ++∈N 成等差数列，则7a =_______，n S =_______．【答案】 (1). 181 (2). 33123n n --⨯ 【解析】【分析】由12,2,3m m m S S S ++成等差数列入手，根据n a 与n S 之间的关系得出数列{}n a 的递推关系式，再由已知得到{}n a 是首项为9，公比为13的等比数列，最后求出7,n a S 即可． 【详解】解：因为12,2,3m m m S S S ++成等差数列，所以1243m m m S S S ++=+，即()1213m m m m S S S S +++-=-，即123m m a a ++=，所以数列{}n a 从第2项开始是公比为13的等比数列， 由31a =得23a =．因为19a =， 所以2113=a a ， 所以{}n a 是首项为9，公比为13的等比数列， 故673191113139,13812313n n n n a S -⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=⨯=== ⎪⨯⎝⎭-， 故答案为：181，33123n n --⨯． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、等比数列的通项以及前n 项和公式，考查逻辑推理能力、运算求解能力．16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，直线l 过左焦点1F 且与双曲线的左支交于,A B 两点，且满足1123,||AF BF AB BF ==，则双曲线C 的离心率为________．【解析】【分析】 设1BF x =，先利用双曲线的定义建立起x 与a 的关系，再借助余弦定理建立起x 与c 的关系，最后利用离心率的计算公式求解． 【详解】解：令1BF x =， 则123,||4AF x AB BF x ===． 连接2AF ，由双曲线的定义可知，21432BF BF x x x a -=-==，2123AF AF a x -==， 所以2136AF x AF x =+=．因为1212AF F BF F π∠+∠=，所以1212cos cos 0AF F BF F ∠+∠=．由余弦定理可得22222212129436416cos ,cos 23222x c x x c x AF F BF F x c x c+-+-∠=∠=⨯⨯⨯⨯， 所以2222229436416023222x c x x c x x c x c+-+-+=⨯⨯⨯⨯， 得322c x =， 又32x a =， 所以双曲线C 的离心率2c e a ==， 故答案为：2．【点睛】本题主要考查圆锥曲线的离心率，考查考生的运算求解能力．17.已知在ABC 中，对任意的,||||t BA tBC AC ∈-R 恒成立，且10,:4:3,AB AC BC P ==为ABC 内切圆上的点，则PA PB ⋅的取值范围是________．【答案】[1645,1645]---+【解析】【分析】先由向量加法、减法的几何意义判断出ABC 的形状，再利用数量积的概念选择合适的计算方法，最后结合圆的有关知识计算出取值范围即可．【详解】解：因为对任意的,||||t R BA tBC AC ∈-≥恒成立，所以AC BC ⊥．又10,:4:3AB AC BC ==，所以8AC =，6BC =．设ABC 内切圆的半径为r ，圆心为M ， 则1()22BAC r AB BC AC S AC BC ++==⋅， 所以2r ．以C 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0),(0,8),(6,0),(2,2)C A B M ，设(,)P x y ，则2222(,8)(6,)68(3)(4)25PA PB x y x y x x y y x y ⋅=--⋅--=-+-=-+--， 22(3)(4)x y -+-的几何意义为内切圆M 上的动点(,)P x y 与点(3,4)N 的距离的平方， 连接PN ，所以222(3)(4)||x y PN -+-=．连接MN ，因为||2NM =>，2||2PN -≤≤+，所以29||9PN ≤-≤+所以[1616PA PB ⋅∈---+，故答案为：[1616---+．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量加法、减法的几何意义，考查考生的数形结合能力、运算求解能力及分析问题、解决问题的能力．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.如图，在梯形ABCD 中，1//,2,2,6,cos 3AB CD BCD BAD BD AB BCD ∠=∠==∠=-．（1）求AD 的长；（2）求梯形ABCD 的面积．【答案】（1）2AD =；（232. 【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式计算出BAD ∠的余弦值，再由余弦定理求出线段AD 的长；（2）根据图中角之同的关系求出sin CBD ∠，再由正弦定理求DC 的长，最后根据梯形ABCD 的面积为ABD △与CBD 的面积和求解．【详解】解：（1）因为12,cos 3BCD BAD BCD ∠=∠∠=-，所以2cos 2cos 1BCD BAD ∠=∠-， 即21cos 3BAD ∠=． 因为(0,)BCD π∠∈， 所以0,2BAD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos BAD ∠= 在ABD △中，由余弦定理得，2222cos BD AD AB AD AB BAD =+-⋅⋅∠，即2462AD AD =+-解得AD =．（2）由（1）可得222AD BD AB +=， 所以2ADB π∠=，所以sin ABD ∠=． 因//AB CD 且ABD ∠为锐角，所以BDC ABD ∠=∠，所以sin sin 33BDC ABD BDC ∠=∠=∠==．由1cos 3BCD ∠=-，得sin 3BCD ∠=． 所以1sin sin()sin cos cos sin 3CBD BCD BDC BCD BDC BCD BDC ⎛⎫∠=∠+∠=∠∠+∠∠+- ⎪⎝⎭．在BCD 中，由正弦定理得，sin sin DC BD CBD BCD=∠∠，所以sin 6sin BD CBD DC BCD ⋅∠==∠， 所以梯形ABCD 的面积1132sin 222ABD BCD S S S AD BD BD CD BDC =+=⨯⨯+⨯⨯⨯∠=． 【点睛】本题考查两角和的正弦公式，倍角公式，三角函数的诱导公式，正、余弦定理等知识，考查考生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．19.如图1，在梯形ABCD 中，//,90AB CD BCD ∠=︒，点E 在线段CD 上，且满足2223AB AD CD CE ====，将ADE 沿AE 翻折，使翻折后的二面角D AE B '--的余弦值为13-，如图2．（1）求证：AE BD '⊥；（2）求直线BC 与平面AED '所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（22 【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质证得线线垂直，再根据线面垂直的判定定理证得线面垂直，最后根据线面垂直的性质定理证得线线垂直；（2）先通过作辅助线找到所求的线面角及二面角D AE B '--的平面角，再通过解三角形求相关线段的长度，即可得线面角的正弦值，也可根据垂直关系建立空间直角坐标系进行求解．【详解】解：（1）在梯形ABCD 中，连接,BE BD ，记BD AE O =．由题意易得//,AB DE AB DE =，所以四边形ABED 是平行四边形，又AB AD =，所以四边形ABED 是菱形，所以BD AE ⊥，所以,BO AE D O AE '⊥⊥．又BO D O O '=∩，,BO D O '⊂平面BOD ， 所以AE ⊥平面BOD ，又BD '⊂平面BOD ， 所以AE BD '⊥．（2）因为AE ⊥平面,BOD AE '⊂平面AED '， 所以平面AED '⊥平面BOD ．过点B 作BH D O '⊥交D O '的延长线于点H ， 如图所示，因为平面AED '∩平面BOD OD ''=， 所以BH ⊥平面AED '．延长,AE BC 交于点P ，连接PH ，则BPH ∠为直线BC 与平面AED '所成的角． 由,BO AE D O AE '⊥⊥，得二面角D AE B '--的平面角为BOD '∠， 则1cos 3BOD '∠=-，所以1cos ,sin 33BOH BOH ∠=∠=． 由四边形ABED 是菱形， 且易得23BED BEC ππ∠=-∠=， 得BAE △为等边三角形，所以BO =，所以26sin BH BO BOH =⋅∠=． 在ABP △中，易知EC 为ABP △的中位线，3BC =，所以223BP BC ==，所以2623sin 323BH BPH BP ∠===， 即直线BC 与平面AED '所成角的正弦值为23．【点睛】本题主要考查线线垂直的证明，线面角正弦值的求解，考查考生的运算求解能力、空间想象能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想．20.已知数列{}n a 的前n 项和为12,1n S a a ==，且满足*1123,2,n n n S S S n n n -++=+≥∈N ．设11n n n b a a +--=，数列{}n b 的前n 项和为n T ．（1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）设n n n c a tb =-，若0n n c T +≥对任意的*n ∈N 恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）[1,)+∞.【解析】【分析】（1）利用已知等式以及n S 和n a 的关系得到递推关系式，再根据定义证明数列{}n b 是等比数列；（2）求出{}{},n n a b 的通项公式及n T ，进而求出n c ，最后根据0n n c T +≥恒成立求出实数t 的取值范围．【详解】解：（1）因为()*11232,n n n S S S n n n N-++=+≥∈，①所以21231n n n S S S n +++=++，②②-①得，21231n n n a a a +++=+． 所以()2111112n n n n a a a a +++--=--， 又11n n n b a a +--=， 即*11(2),2n n b b n n N +=≥∈． 在①中，令2n =得，()()112312232a a a a a a +++=++，又121a a ==，所以332a =． 所以121232111,12b a a b a a =--=-=--=-，即2112b b =． 所以()*112n n b b n N +=∈， 故数列{}n b 是以1-为首项，12为公比的等比数列． （2）由（1）可得，112n n b -=-， 所以111112,122n n n n n T a a +--=-+-=-， 所以2n ≥时，()()12112021111112222n n n n n a a a a a a n ---⎛⎫⎛⎫=-++-+=-++-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 当1n =时，11a =适合上式，所以()*2122n n a n n N -=-+∈． 所以1222n n t c n -+=-+， 所以111213224222n n n n n t t c T n n ---+++=-+-+=-+．令0n n c T +≥，得13402n t n -+-+≥，即13(4)2n t n -+≥-恒成立． 令1(4)2n n k n -=-，则12343,4,0k k k k ====．当4n >时，0n k <，所以34t +≥，解得1t ≥，故实数t 的取值范围为[1,)+∞．【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，考查考生的推理论证能力．21.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，短轴长为2，左、右顶点分别为,A B ．设点(2,)(0)M m m >，连接MA 交椭圆于点C ．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若||||OC CM =，求四边形OBMC 的面积．【答案】（1）2212x y +=；（2）43. 【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率、短轴长以及,,a b c 之间的关系列出方程组，解方程组得到,a b 的值，即得椭圆的标准方程；（2）先写出直线AM 的方程，并与椭圆的方程联立，得到点C 的坐标，连接OM ，取OM 的中点R ，根据||||OC CM =，可得CR OM ⊥，即可求得m 的值，进而可求四边形OBMC 的面积．【详解】解：（1）因为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，短轴长为2，所以222222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩所以1a b ==， 所以该椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）因为点)(0),(M m m A >，所以直线AM的方程为y x =，即(4y x =+．由221,2(4x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得()22224280m x x m +++-=．设(),C x y ''，则22284m m '-=+，所以x '=，所以244m y m '=+． 连接OM ，取OM 的中点R ，则22m R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，连接CR ，因为||||OC CM =，所以CR OM ⊥．又32OM CR m y k k '-===31=-， 即42280m m +-=，所以m =，所以四边形OBMC的面积114223ABM AOC S S S =-=⨯=． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆的位置关系、根与系数的关系、四边形面积的求解等，考查数形结合思想、运算求解能力．22.已知函数()(21)ln (2)f x x x a =-+-+，其中a 为实数．（1）求()()21f xg x x =+的单调区间； （2）若0a >，则当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，3|()22ln 2|2a f x a x x x +++≤-恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）()223,421e e ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先求出函数()g x 的解析式，再对其求导，利用导数与函数单调性的关系即可求解；（2）先通过分类讨论去掉绝对值，再将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，然后根据函数的单调性求出最值，则问题获解．【详解】解：（1）由题意得，()()2()ln 02121+==-->++f x a g x x x x x ， 所以222124421()(21)(21)a x ax g x x x x x '+-+-=-+=++． 所以0a ≤或24160a ∆=-≤时，()0g x '≤恒成立，即当2a ≤时，()0g x '≤恒成立，所以()gx 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间．当2a >时，令()0g x '>x << 令()0g x '<，得0x <<或x >，所以()g x 的单调递增区间为⎝⎭，单调递减区间为0,,44a a ⎛⎛⎫++∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 综上，当2a ≤时，()g x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间；当2a >时，()g x ）的单调递增区间为44a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为0,,44a a ⎛⎛⎫++∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，3|()22ln 2|2a f x a x x x+++≤-恒成立， 等价于当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，3|ln |2a x a x +-≤恒成立． 由21,e x ⎡⎤∈⎣⎦得ln [0,2]x ∈． 令2()|ln |,1,e a A x x a x x⎡⎤=+-∈⎣⎦． ①若2,()ln ,a a A x a x x≥=+- 21()0,()a A x A x x x'∴=--<在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减， 所以max ()(1)2A x A a ==，所以322a ≤， 则34a ≤，与2a ≥矛盾，故此时a 不存在． ②若02a <<，当1e a x ≤≤时，21()ln ,()0a a A x a x A x x x x'=+-=--<， ()A x 在1,a e ⎡⎤⎣⎦上单调递减， 所以max 3()(1)22A x A a ==≤，此时304a <≤，符合题意． 当2e e a x <≤时，221()ln ,()a a x a A x x a A x x x x x'-=+-=-+=．令()0A x '=得x a =．令()x B x e x =-，则()e 10xB x '=->在(0,2)上恒成立，所以()B x 在(0,2)上单调递增，所以当(0,2)x ∈时，(0)1x e x B ->=，所以e a a <． 所以()0,'>A x 则()ln =+-a A x x a x在(2,a e e ⎤⎦上单调递增， 所以()2max 2()2==+-a A x A e a e， 所以2322+-≤a a e ， 即()2221e a e ≥-． 又()()222113242121e e e =+<--， 所以()223421e a e ≤≤-． 综上，实数a 的取值范围为()223,421e e ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，绝对值不等式恒成立问题，考查考生的逻辑推理能力，运算求解能力，分析问题、解决问题的能力．。

2020届浙江省高三新高考名校联考信息卷（七）数学试题一、单选题1．已知集合{}|31,A x x n n Z ==+∈，{}|44B x x =-≤≤，则集合A B =A ．{}4,1,1,4--B ．{}1,4C ．{}2,1,4-D ．{}4,1,2--【答案】C【解析】已知集合{}|31,A x x n n Z ==+∈，{}|44B x x =-≤≤， 令4314n -≤+≤，解得513n -≤≤，因为n Z ∈，所以101n =-，，. 所以{}2,1,4A B ⋂=-. 故选C.2．已知抛物线26y x =上的一点到焦点的距离是到y 轴距离的2倍，则该点的横坐标为（ ） A ．12B ．32C ．2D ．23【答案】B【解析】设该点横坐标为x ，利用抛物线的定义得到关于x 的方程，解方程即可求解. 【详解】设该点横坐标为x ，抛物线准线方程为32x =- 由抛物线的定义可得322x x +=，得32x =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义；考查运算求解能力；属于基础题.3．已知随机变量ξ满足：(21)3,(21)4E D ξξ-=-=，则（ ） A ．5()2,()4E D ξξ==B ．5()1,()4E D ξξ==C ．3(),()12E D ξξ== D ．()2,()1E D ξξ==【答案】D【解析】根据随机变量期望与方差的性质：2()(),()()E a b aE b D a b a D ξξξξ+=++=⨯，列方程即可求解. 【详解】因为2(21)2()13,(21)2()4E E D D ξξξξ-=-=-=⨯=， 所以()2,()1E D ξξ==. 故选：D 【点睛】本题考查随机变量的期望与方差及其性质；考查运算求解能力；属于基础题.4．下列各函数中，满足“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的充分不必要条件的是（ ） A ．()tan f x x = B ．()33x x f x -=- C ．3()f x x =D ．3()log ||f x x =【答案】A【解析】利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合函数的单调性和充分不必要条件的定义进行逐项判断即可. 【详解】对于选项A ：因为()tan f x x =是奇函数，所以()()121200x x f x f x +=⇒+=，但是3044f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时3044ππ+≠，符合要求，所以A 正确； 对于选项B ：因为函数()33x xf x -=-，其定义域为R 关于原点对称，()()33x x f x f x --=-=-，所以函数()33x x f x -=-为奇函数，又因为3xy =为R 上的增函数，由简单复合函数的单调性知，函数()33x xf x -=-为R 的增函数，所以“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的充要条件，不符合题意； 对于选项C ：因为幂函数3()f x x =，其定义域为R 关于原点对称，()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以函数3()f x x =为定义在R 上的奇函数，由幂函数的图象及性质知，函数3()f x x =为R 上的增函数，所以“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的充要条件，不符合题意；对于选项D ，由题意可知，函数3()log ||f x x =的定义域为}{0x x ≠，其定义域关于原点对称，因为()()3log f x x f x -=-=，所以函数3()log ||f x x =为偶函数，不符合题意. 故选：A 【点睛】本题考查奇函数的性质、指数函数、幂函数及正切函数的性质、充分条件和必要条件；试题以函数的性质为载体，考查学生对充要关系的本质的理解；考查逻辑推理能力；熟练掌握基本初等函数的性质是求解本题的关键；属于中档题. 5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．67π B ．πC ．76π D ．2π【答案】C【解析】由三视图还原几何体，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1，上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1，再由圆锥与球的体积公式求解. 【详解】解：由三视图还原几何体如图，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1， 上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1， 则该几何体的体积为2313471213836πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题.6．若,x y 满足约束条件5,5,25,x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩则25x y +=的整数解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】先画出可行域与目标直线，再确定满足条件的,x y 的取值范围，最后逐一讨论符合的整数解. 【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线25x y +=，直线52y x =-与可行域的边界交于,B D 两点，由25,25,x y x y +=⎧⎨-=⎩解得3,1,x y =⎧⎨=-⎩(3,1)D ∴-，又(0,5)B ，[0,3]x ∴∈，[1,5]y ∈-，且,x y Z ∈， 当0x =时，5y =；当1x =时3y =；当2x =时，1y =；当3x =时，1y =-，∴整数解的个数为4.故选：D 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想和运算求解能力；正确求出满足条件的,x y 的取值范围是求解本题的关键；属于中档题.7．已知在ABC 中，90,42A AB AC ︒∠===P 自点C 出发沿线段CB 运动，到达点B 时停止运动，动点Q 自点B 出发沿线段BC 运动，到达点C 时停止运动，且动点Q 的速度是动点P 的2倍，若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则当AP AQ ⋅取最大值时，||PQ =（ ） A ．2 B ．1C ．23D ．12【答案】B【解析】分解向量,AP AC CP AQ AB BQ =+=+，将求AP AQ ⋅转化为求二次函数的最值问题，以此确定,P Q 的位置，最后求得||PQ 的值. 【详解】90,0A AB AC ︒∠=∴⋅=，依题意知8BC =，2||||CP BQ =，()()AP AQ AC CP AB BQ AC AB AC BQ CP AB CP BQ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅2||cos45CP ︒=22||cos 452||2(||3)18CP CP CP ︒+-=--+， ∴当||3CP =时，AP AQ ⋅取得最大值，此时||6BQ =，||3681PQ ∴=+-=.故选：B 【点睛】本题考查平面向量的加法的三角形法则和平面向量的数量积、二次函数最值的求解；考查运算求解能力、化归与转化能力；把平面向量数量积的最值问题转化为二次函数的最值问题是求解本题的关键；属于中档题.8．过正方体ABCD A B C D ''''-的顶点A 作平面α，使得棱,,AB CC A D '''在平面α上的投影的长度相等，则这样的平面α的个数为（ ） A ．6 B ．4C ．3D ．1【答案】B【解析】利用直线平行的传递性，,,AB CC A D '''可以用同一顶点处的三条棱替代，如,,AB AA AD '，投影的长度相等等价于这些线段所在直线与平面α所成的角相等，因此以正方体为依托即可求解. 【详解】由直线平行的传递性知，,,AB CC A D '''可以用同一顶点处的三条棱替代，如,,AB AA AD '，投影的长度相等等价于这些线段所在直线与平面α所成的角相等，因此以正方体为依托，如图，平面()AB D BC D '''，()ACD A BC '''，()A BDB CD '''，()AC D AB C '''均符合题意， 所以这样的平面有4个. 故选：B 【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系；考查化归与转化能力、空间想象能力、逻辑推理能力；利用直线平行的传递性和线面角的定义把投影相等转化为线面角相等是求解本题的关键；属于抽象型、难度大型试题.9．“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载了“方垛”的计算方法：“果子以垛，下方十四个，问计几何？术曰：下方加一，乘下方为平积.又加半为高，以乘下方为高积.如三而一.”意思是说，将果子以方垛的形式摆放（方垛即每层均为正方形，自下而上每层每边果子数依次递减1个，最上层为1个），最下层每边果子数为14个，问共有多少个果子？计算方法用算式表示为1114(141)1432⎛⎫⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭.利用“方垛”的计算方法，可计算最下层每边果子数为14个的“三角垛”（三角垛即每层均为正三角形，自下而上每层每边果子数依次递减1个，最上层为1个）共有果子数为（ ） A ．420个 B ．560个 C ．680个 D ．1015个【答案】B【解析】由题意可得，最下层每边为()*n n N ∈个果子的“方垛”总的果子数的计算式为2221112(1)32n n n n ⎛⎫+++=⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭，再由最下层每边为n 个果子的“三角操”自上而下的第()*,k k n k N∈层果子数为(1)2k k +，得n 层“三角操”总的果子数为(1)132n n ++++，最后用分组求和的方法即可求解. 【详解】由题意知，最下层每边为14个果子的“方垛”总的果子数的计算式为22211121414(141)1432⎛⎫+++=⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭，所以可得最下层每边为()*n n N∈个果子的“方垛”总的果子数的计算式为2221112(1)32n n n n ⎛⎫+++=⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭，最下层每边为n 个果子的“三角垛”自上而下的第()*,k k n k N∈层果子数为(1)2k k +，所以n 层“三角垛”总的果子数为(1)132n n ++++，因为 ()222(1)1113[1223(1)]1122222n n n n n n++++=⨯⨯+⨯+++=⨯++++++12=⨯()222111112(12)(1)(1)2322n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+++++++=⨯++++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()111112322n n n ⎡⎤⎛⎫=+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1(1)(2)6n n n =++， 所以取14n =，可得“三角垛”的果子总数为560个. 故选：B 【点睛】本题考查数学文化、分组求和及归纳推理、类比推理；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握数列求和的方法是求解本题的关键；属于中档题.10．已知函数(),()sin 2(),(),x x f x x x x x ππππππ->⎧⎪=-⎨⎪--<-⎩()1|g x =，则方程(())1f g x =的实数根的个数为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】先根据函数解析式作出函数()f x 的大致图象，然后换元，作出函数()g x 的大致图象，利用数形结合的思想进行求解即可. 【详解】作出函数()f x 的大致图象如图（1）所示，对于(())1f g x =，令()t g x =，则()1=f t ，则1t π=+或1t π=--或4t π=或34t π=-，作出函数()g x 的大致图象，如图（2）所示，若()1t g x π==+，则由图象知，直线1y π=+与函数()g x 的图象有两个交点；若4t π=，由图象知，直线4y π=与函数()g x 的图象有四个交点；显然直线3,14y y ππ=-=--与函数()g x 的图象没有交点， 综上可知，方程(())1f g x =的实数根的个数为246+=. 故选：B 【点睛】本题考查复合函数、函数的图象、方程的根的个数，考查数形结合思想和运算求解能力；熟练掌握分段函数的图象与性质和换元法的应用是求解本题的关键；属于抽象型、难度大型试题.二、双空题11．已知,a b ∈R ，复数z a i =-且11zbi i=++（i 为虚数单位），则ab =__________，z =_________．【答案】6ab =- 10z =【解析】∵复数z a i =-且11zbi i=++ ∴()(1)(1)(1)1122a i a i i a a ibi i -----+===++ ∴112{12a a b -=+-=∴3{2a b ==-∴6ab =-，z ==故答案为6-12．若()2*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中有常数项，则n 的最小值为______，当n 取最小值时，()2*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是______. 【答案】3 3【解析】利用二项式定理列出多项式()2*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项，根据已知条件，令x 的指数为0得到关于,n r 的方程，求得n 的最小值，再求得常数项即可. 【详解】由题意知，多项式()2*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为2()231r n r r r n rr n n T C x x C x ---+=⋅=，令230n r -=，则*3,2n r n N =∈， ∴当2r时，n 取得最小值3，则322631311,nr r r x x T C x x x -+⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令630r -=，得2r，所以展开式中的常数项为233C =.故答案分别为：3；3 【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式的通项公式和常数项；考查运算求解能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题. 13．已知,a b 为正实数，231122,()4()a b ab a b+-=，则ab =_____，log a b =_____. 【答案】1 1-【解析】利用基本不等式和夹逼法则即可求出a b +=，再由不等式中等号成立的条件得到1ab =，解方程求出,a b 的值即可求解. 【详解】 由1122a b+，得22a b ab +，又223()4()44()a b ab a b ab ab +=+-=+248()ab ⨯=①，即22a b ab +，结合22a b ab+，得a b +=，由不等式①中等号成立的条件得1ab =，联立得1,,ab a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，或1,1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以log 1a b =-.故答案分别为：1；1- 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查化归与转化能力、运算求解能力；灵活运用基本不等式是求解本题的关键；属于中档题.14．在ABC 中，45B ︒∠=，AD 是BAC ∠的平分线，交BC于D，AD ==，AC =_____，ABC 的面积为_____.2(34a + 【解析】由正弦定理求出BAD ∠的度数，根据题意判断出ACD 是等腰三角形，即可得到AC ，然后由正弦定理求得AB ，最后利用三角形的面积公式求面积即可. 【详解】在ABD △中，由正弦定理得，sin sin AD BD B BAD =∠∠所以1sin 2BAD ∠==，由题意易知，090BAD ︒︒<∠<，所以30,60BAD BAC ︒︒∠=∠=， 在ACD 中，180604575ACB ︒︒︒︒∠=--=，304575ADC ︒︒︒∠=+=，sin 75=sin(3045)sin 30cos 45cos30sin 45︒︒+︒=︒⨯︒+︒⨯︒=所以AC AD ==，在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB ACACB B=∠∠，所以sin sin 2AC aAB ACB B =⨯∠=∠， 所以ABC的面积为21(32224a a +⨯⨯=.；2(34a +【点睛】本题考查正弦定理、三角形的面积公式，考查学生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力；灵活运用正弦定理和三角形的面积公式是求解本题的关键；属于中档题.三、填空题15．已知函数3()(1)1x f x x e kx =--+，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+，则实数k 的取值范围是_______.【答案】,3e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【解析】化简不等式，得出函数()f x 的单调性，利用导数转化为不等式恒成立，进而分离参数求解对应函数的最值，即可得到参数的取值范围. 【详解】由()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+，得()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦， 由函数单调性的定义可得函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 故22()(1)330xxxf x x e e kx xe kx'=-⋅+-=-在(0,)+∞上恒成立，即3x e k x 在(0,)+∞上恒成立，记()(0)3xe g x x x=>，则2233(1)()(3)3x x xe x e x e g x x x'⋅--==，当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，且()0>g x ；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 所以函数()g x 在(0,)+∞上的最小值为(1)3e g =， 故答案为：,3e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、最值，分离参数法求参数的取值范围；考查学生的逻辑推理能力、转化与化归能力及运算求解能力；将()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+进行转化，从而求得函数的单调性，通过构造函数法和分离参数法求参数的取值范围是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.16．现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.【答案】144【解析】依次计算每个区域的涂色方法种数，然后利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】第一步，对区域1进行涂色，有4种颜色可供选择，即有4种不同的涂色方法；第二步，对区域2进行涂色，区域2与区域1相邻，有3种颜色可供选择，即有3种不同的涂色方法；第三步，对区域3进行涂色，区域3与区域1、区域2相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；第四步，对于区域4进行涂色，区域4与区域2、区域3相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；第五步，对区域5进行涂色，若其颜色与区域4相同，则区域6有2种涂色方法，若其颜色与区域4不同，则区域6只有1种涂色方法，故区域5，6共有213+=种涂色方法，由分步乘法计数原理知，不同的涂色方案的种数为4322(21)144⨯⨯⨯⨯+=.故答案为：144【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用；考查学生的逻辑思维能力，分析问题、解决问题的能力；属于中档题、常考题型.17．过双曲线2221(0)xy aa-=>上一点M作直线l，与双曲线的两条渐近线分别交于,P Q，且M为线段PQ的中点，若POQ△（O为坐标原点）的面积为2，则双曲线的离心率为______.5【解析】由题意知，双曲线2221(0)xy aa-=>的两条渐近线方程为1y xa=±，设, P Q 的坐标为112211,,,P x x Q x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用中点坐标公式表示出中点M 的坐标，将点M 的坐标代入双曲线方程，再利用三角形的面积公式表示出POQ △的面积，求出a 的值，进而求出离心率. 【详解】由题意知，双曲线2221(0)x y a a-=>的两条渐近线方程为1y x a =±，设112211,,,P x x Q x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()12121,22x x M x x a +⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据点M 在双曲线2221x y a -=上，得()()22121222144x x x x a a+--=，得212x x a =，由双曲线的两条渐近线方程得1tan2POQ a∠= 222sin cos22sin =2sin cos 22sin cos22POQ POQ POQ POQ POQ POQ POQ ∠∠∠∠∠=∠∠+ 22212tan2tan 211POQPOQ a a∠==∠++ ，所以21222211121POQ a aS POQ x x a a a∆+=∠=⨯⨯⨯=+，而2POQS=，所以2a =，又1b =，所以c =e =【点睛】本题考查双曲线的标准方程、离心率、渐近线方程，考查直线与双曲线的位置关系、三角形的面积公式；考查运算求解能力和逻辑思维能力；根据M 是PQ 的中点，点M 的坐标满足双曲线方程，得到212x x a =是求解本题的关键；属于中档题.四、解答题18．已知向量(sin ,tan ),(cos ,),a x x b x R λλ==∈.（1）若1,0,(0,5a b x π⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，求实数λ的值；（2）当0λ=时，记函数()f x a b =⋅，求()0,62y f x f x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭的最小值和最大值.【答案】（1）43λ=（2）最小值-【解析】（1）利用向量的线性运算可得出三角函数的关系式，利用同角三角函数的基本关系可得实数λ的值；（2）首先根据数量积的坐标表示及倍角公式可得出1()sin 22f x x =，从而得1sin 2623f x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用三角恒等变换化简函数()6y f x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，最后结合x 的取值范围确定其最值即可.【详解】（1）因为(sin ,tan ),(cos ,)a x x b x λ==，且1,05a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1sin cos ,tan 5x x x λ+==-，由1sin cos 5x x +=得，21(sin cos )25x x +=，即112sin cos 25x x +=， 所以242sin cos 25x x =-，所以249(sin cos )12sin cos 25x x x x --==， 因为(0,)x π∈，所以sin 0,cos 0x x ><，所以sin cos 0x x ->，所以7sin cos 5x x -=，又1sin cos 5x x +=，所以43sin ,cos 55x x ==-，所以sin 4tan cos 3x x x ==-，所以4tan 3x λ=-=. （2）当0λ=时，1()sin cos sin 22f x a b x x x =⋅=⋅=，所以1sin 2623f x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11113()sin 2sin 2sin 2sin 2cos26223244y f x f x x x x x xππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3333sin 2cos 2sin 2cos cos 2sin sin 24426626x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，从而1sin 2126x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以当266x ππ-=-，即0x =时，函数()0,62y f x f x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭取得最小值34-；当226x ππ-=，即3x π=时，函数()0,62y f x f x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭取得最大值32. 【点睛】本题主要考查向量的线性运算及数量积、同角三角函数的基本关系和三角恒等变换、正弦型函数在给定区间上的最值；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域是解决这类问题的一般方法；属于中档题.19．在如图所示的不规则几何体中，已知四边形CFGD 是正方形，四边形ABCD 是平行四边形，平面CFGD ⊥平面ABCD ，//,24,120CF BE BC CD BE DCB ︒==∠=.（1）证明：AC AE ⊥；（2）求直线AE 与平面ACG 所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】（1）由面面垂直的性质定理得到线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直； （2）先建立适当的空间直角坐标系，再利用空间向量法求所求的线面角的正弦值，也可以用传统法，先找到所求角的余角，再求线面角的正切值. 【详解】 （1）证明：四边形CFGD 是正方形，CF CD ∴⊥，平面CFGD ⊥平面ABCD ，且平面CFGD ⋂平面ABCD CD =，CF ∴⊥平面ABCD ，//CF BE ，BE ∴⊥平面ABCD ，BE AC ∴⊥，又120DCB ︒∠=，60ABC ︒∴∠=，22BC CD AB ==.22222222cos 603,AC AB BC AB AC AB AB AB A A BC C C =+-⋅⋅︒=∴∴=⊥+，AB BE B ⋂=，AC ∴⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，AC AE ∴⊥.（2）解法一：建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -， 设4BC =，则(0,0,0),(0,23,0),(2,0,2)C A G , (2,23,1)E -，(2,0,1)AE =-，(2,23,2)AG =-，(0,23,0)CA =，设平面ACG 的法向量为(,,)n x y z =，0,0,n CA n AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩230,22320,y x y z ⎧=⎪∴⎨-+=⎪⎩0,y z x ∴==-， 不妨令1x =，则1z =-，∴平面ACG 的一个法向量为(1,0,1)n =-， 则3cos ,||||10AE n AE n AE n ⋅-〈〉==⋅，设直线AE 与平面ACG 所成的角为θ，则310sin 10θ=，因为02πθ≤≤，10cos ,tan 310θθ∴==，故直线AE 与平面ACG 所成角的正切值为3.解法二：取CG 的中点M ，连接FM ，四边形CFGD 是正方形，FM CG ∴⊥，//AB CD ，CD ⊂平面CDGF ，//AB ∴平面CDGF ， //BE CF ，CF ⊂平面CDGF ，//BE ∴平面CDGF ，AB BE B ⋂=，平面//ABE 平面CDGF ，由（1）知，AC ⊥平面ABE ，AC ∴⊥平面CDGF ，FM ⊂平面CDGF ，AC FM ∴⊥，又AC CG C ⋂=，FM ∴⊥平面ACG ，取AB 的中点N ，连接EN ，则//EN FM ， EN ∴⊥平面ACG ，AEN ∴∠即所求角的余角，令1BE =，在AEN 中，易知2125,1,2AE AN EN =+===，222310cos 210AE EN AN AEN AE EN +-∴∠==⋅， 设直线AE 与平面ACG 所成的角为θ，则310sin 10θ=， 10cos ,tan 310θθ∴==， 故直线AE 与平面ACG 所成角的正切值为3.【点睛】本题考查空间中的线面位置关系、直线与平面所成的角、面面垂直和线面垂直的判定与性质；考查转化与化归能力、逻辑推理能力和运算求解能力；熟练掌握线面角的求解方法是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.20．已知等比数列{}n a 的首项13a =，前n 项和为n S ，公比不为1，94S 是3S 和67S 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若23n n a S >，求所有满足条件的n 的值. 【答案】（1）113(1)2n n n a --=-（2）所有满足条件的n 的值为1，2，3 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，1q ≠，利用等比数列前n 项和公式和等差中项的性质求出公比q ，代入等比数列通项公式即可求解；（2）由（1）知，()22122211311112212112212nn n n n a q S q -⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭===-=- ⎪-⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，132n n a -=，利用作差法和放缩法进行求解即可. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为1q ≠， 所以()()()369111369111,,111a q a q a q S S S qqq---===---，因为94S 是3S 和67S 的等差中项，所以93687S S S =+， 即()()()93611111187111a q a q a q qqq---⨯=+⨯---，()()93681171qqq -=-+-，()()3331810q q q -+=，由于1q ≠且0q ≠，所以3311810,,82q q q +==-=-，又首项13a =，所以数列{}n a 的通项公式为111133(1)22n n n n a ---⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. （2）由（1）知，()22122211311112212112212nn n n n a q S q -⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭===-=-⎪-⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，132nn a -=， 所以221212191922132222n n n n n n n a S ---⨯-+⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭. 因为对任意的*21,20n n N -∈>，当1,2,3n =时，292210n n ⨯-+>， 所以当1,2,3n =时，23n n a S >； 当4n 时，2229221(101)221102212n n n n n n n⨯-+=-⨯-+=⨯-+-()2102210220n n n n <⨯-=-<，不合题意.综上可知，所有满足条件的n 的值为1，2，3. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式以及等差中项的概念；考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力；熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式是求解本题的关键；属于中档题.21．已知直线:3l x my =+经过椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点2F ，且交椭圆E 于,M N 两点椭圆E 的左焦点为1F，11||MN MF NF ++=（1）求椭圆E 的方程； （2）若直线24:33l x my m ⎛⎫=+>⎪⎝⎭，交曲线2234y x =于,A B 两点，且||OMNSAB λ=（O 为坐标原点），试求实数λ的取值范围.【答案】（1）221123x y +=（2）30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）根据直线l 与x 轴的交点坐标求得c 的值，由椭圆的定义求得a 的值，再求出2b ，即得椭圆E 的方程；（2）联立直线l 与椭圆E 的方程，根据根与系数的关系及三角形的面积公式求出OMN S △，再联立直线l 与曲线2234y x =的方程，根据根与系数的关系求出||AB ，最后结合题意求实数λ的取值范围. 【详解】 （1）直线:3l x my =+交x 轴于点(3,0)，∴椭圆E 的右焦点为2(3,0)F .由椭圆的定义可知1212114||a MF MF NF NF MN MF NF =+++=++=2221293a b a c ∴=∴=-=-=，∴椭圆E 的方程为221123x y+=. （2）设()()1122,,,M x y N x y ，将直线l 与椭圆E 的方程联立，得221,1233,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩化简并整理，得()224630m y my ++-=，易知>0∆，12122263,44m y y y y m m --∴+==++，2122124OMNS OF y y m ∆∴=⨯⨯-===+设()()3344,,,A x y B x y ，由题意得223,43,y x x my ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得()223418270m y my -++=，224,3403m m >∴->，易知>0∆，则3434221827,3434m y y y y m m -+==--，342||34 AB y ym∴=-==-，由||OMNS ABλ=，得()22234||24OMNS mAB mλ-===+，当243m>时，()222343830,24224mmmλ-⎛⎫==-∈ ⎪++⎝⎭，∴实数λ的取值范围为30,2⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程及其几何性质，直线与椭圆相交的弦长问题，一元二次方程根与系数的关系；考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力；熟练掌握椭圆的性质和直线与椭圆相交的弦长公式是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试题. 22．已知函数13()ln22f x x m xx=++-，()m R∈.(Ⅰ)当12m=时，求函数()f x在区间[]1,4上的最值；(Ⅱ)若1x，2x是函数()()g x xf x=的两个极值点，且12x x<，求证：121x x<.【答案】(Ⅰ) 最小值为5ln32-，最大值为52；(Ⅱ)证明见解析。