大学视角下的中学数学(导数)

导数在中学数学中的应用导数是高中数学选修课中的重要内容，在中学数学的许多问题上起到居高临下和以简驭繁的作用，是解决实际问题强有力的数学工具。

运用导数的思想方法和基本理论来解决中学数学中有关函数性质的讨论与应用。

本文主要通过例证来探讨导数在中学数学中的应用。

一、中学数学中导数的简介1、导数的意义。

导数的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛的应用开创了向近代数学过渡的新时期；为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。

在新课程的选修模块中，通过导数的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内容，感受导数在解决实际问题中的作用。

2、导数在中学教材的背景。

在学生初次接触导数的概念时，给学生一个形象的背景支持，使学生充分认识导数的几何意义和物理意义，对于学生正确理解导数的概念是非常重要的。

在中学阶段导数概念学习的起点是极限，即从数列→数列的极限→函数的极限→导数。

这种概念的建立具有严密的逻辑性和系统性，但也产生一些问题：高中生很难理解极限形式化的定义，继而影响对导数的本质理解。

因此，教科书没有介绍任何形式的极限定义及相关知识，而从变化率入手，用形象直观的“逼近”的方法定义导数，用“趋近于”、“无限逼近于”、“趋于”、“无限变小”等通俗易懂的词对极限过程的描述，这样进行处理有三个方面的好处：一是避免学生认知水平和知识学习间的矛盾；二是将更多的经历放于对导数本质的理解；三是学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解。

3、导数的基本内容。

在中学阶段导数的基本内容主要有：导数概念及几何意义；基本初等函数的求导法则和导数的四则运算；函数单调性与其导数的关系；函数在某点取极值的充要条件；生活中的优化问题。

二、导数在中学数学中的应用1、与曲线的切线有关问题。

处理与曲线的切线有关问题时，主要是理解导数的几何意义：f在某一点p的导数f”就是曲线y=f在x=x0处切线的斜率。

例1：已知曲线l:y=x2-2x-1，求过点p的曲线l的切线方程。

高等数学视角下中学数学教学研究r——以r人教版高中数学为例王红【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2018(000)007【总页数】2页(P19-20)【作者】王红【作者单位】辽宁省鞍山市第三中学【正文语种】中文一、中学数学教学存在的问题（一）中学数学与高等数学内容方面的不对称在新一轮的课程改革中，有些大学高等数学的课程内容在中学数学中有所涉及，大大增加了中学数学教材内容.然而，两者对相同内容的讲授要求及深度都不相同，比如函数与导数，虽然高中数学中有函数及其性质相关的内容，但难度与广度都达不到高等数学相应内容的教学要求，函数求导就是例子.这就使得中学与大学在数学教学方面的脱节，中学数学教育并没有给学生的大学教育带来明显的便利. （二）中学数学教学重技巧、轻基础受高考的硬性要求影响，广大数学教师关注的是怎样快速提高学生的成绩，反而弱化了基础性内容的讲授.在教学过程中，教师往往会将时间和精力放在讲解解题技巧和方法上.（三）中学数学的高难度削减了学生的学习兴趣为了适应高考的难度，高中数学教师往往会将关注的重点放在难度较高或在考纲中比重较大的知识点上，课程讲解会偏向这部分内容.这样的教学方法对于数学基础较好的学生来说没有什么压力，但基础一般或较差的学生就会感到比较吃力，这部分同学可能花了更多的时间，但最终的学习效果还是不理想，使得他们产生了畏难、疲惫等消极情绪，久而久之，这些同学的自信心就会一点一点被磨灭，对数学的兴趣越来越弱.二、高等数学视角下的中学数学教学策略（一）立足例题，渗透方法在高等数学教学思想的影响下，高中数学教学的一大要点就是提升解题方法的层次性，因此教师在讲解课本知识点时要利用好例题，在讲解例题时适当地融入高等数学的思想方法，拓宽学生的思路，引导学生多途径、多角度地解决问题.案例1 设a，b∈R，满足（a-1）3+2013（a-1）=-1，（b-1）3+2013（b-1）=1，求a+b的值.解：设f（x）=x3+1997x.因为f（x）为奇函数，所以f（a-1）=-1，f（b-1）=1.所以f（a-1）=-f（b-1）=f（1-b）.因为f（x）在R上单调增，所以a-1=1-b.所以a+b=2．分析：在讲解过程中，教师引导学生观察题干，提示学生除了直接计算还可以构造函数进行解决，最终将这个问题转化为方程的根与函数的零点问题，实现高等数学思想方法在初等数学问题中的应用.在解决完这道题之后，教师还可以进行扩展，借助数形结合的思想方法，向学生讲解高次方程根的个数与对应函数单调性之间的关系；除此之外，教师还可以引导学生利用高等数学中的微分方法、高等代数中的代数基本定理来进行证明.（二）依托教材，挖掘习题现阶段，高考命题人不再一味强调学生的计算能力，考查的重点转向了学生的数学思想方法，求“巧”.在这样的背景下，高等数学的思维有时候能大大简化学生的思维量与计算量，使得学生能够又快又准地解决问题.当然，这并不是要求教师“超纲”，而是在学生的知识储备、能力水平可接受的范围之内进行拓展.因此，高中数学教师需要充分利用教材，辅导学生解决对思维要求比较高的习题，纠正学生“数学靠计算”的错误认知，引导学生养成多层面、多角度、全方位认识问题、解决问题的能力，提升学生的数学素养.案例2 试证明：分析：在解决这一例题时，只需要进行代数运算.教师在此基础上可以进行知识点的延伸，结合函数的概念及性质组织教学活动.首先，教师可以引导学生绘制函数图像，借助图像解释题干中表达式的含义；与此同时，教师可以换个角度，引导学生进行逆向思维：如果函数（fx）对于其定义域内任意那么函数（fx）的图像具有怎样的特征？）时函数的图像又是什么样子的？从知识点角度来剖析，教师的目的就是要引导学生探究函数的凹凸性.在具体教学过程中，教师要注意不能过于生硬，不需要强调“函数凹凸性”这一准确概念，而是引导学生自行总结.（三）结合现实，优化教材高中数学教学并不是对数学知识的简单呈现，需要充分考虑具体的教学现状与教学规律.从教师的层面来说，一切教学行为都要基于课程标准，在此基础上可以结合学生的学习情况及个人经验来对教材中的数学知识进行调整与优化，适当地融入高等数学的思想方法，使得学生的高观点学习思维更为系统.比如，导数（微分）原本是高等数学中数学分析的知识内容，现在多数版本的教材都将其列入中学数学的教学要求中，与传统的中学数学知识点相比，显然导数具备较强的抽象性.尽管如此，教师要引导学生准确地看待这一新增内容，借鉴导数内容的演变来开展数学教学活动，赋予其活力，挖掘生活中的导数模型.三、数学方法例证在求函数的极值、增减性等问题时，除了常规的图像法，高中数学教师还可以适当地引申，向学生介绍导数的相关概念，让学有余力的学生尝试采用这种“非常规”解法来处理函数问题；在几何问题中，向量能将图形中的数量关系定量表示，进而将几何问题转化为代数问题.（一）微分（求导）案例3 描述出二次函数y=20x2+40x+20的对应性质.在常规的函数性质教学过程中，绘制函数图像是重要的内容.在完成这一教学内容的基础上，教师可以向学生介绍导数的概念，引导学生掌握简单函数的求导方法，进而解决函数的单调性、极值等问题.在案例3中，常规的解法如表1所示.除此之外，老师可以在向学生介绍导数相关知识的基础上进行如下求解：y′=40x+40=0.解得x=-1.所以x=-1为对称轴.当x=-1时，ymin=0.表1图像特征函数性质200 150 100 50 0-6 -4 -2 0 2 4 y=20x2+40x+20开口方向向上ymin=0 最值顶点坐标（-1，0）曲线趋势在对称轴左侧图像从左到右下降；在对称轴右侧图像从左到右上升.当x≤-1时，y随x增大而减小；当x＞-1时，y随x增大而增大.增减性当x≤-1时，y′≤0，所以函数在（-∞，-1）上单调减；当x＞-1时，y′＞0，所以函数在（-1，+∞）上单调增.（二）向量向量的思想方法在几何内容中应用得比较多，需要从题干信息中的相关几何条件出发，准确地选取基本向量，寻找数量关系，列出向量关系式，随后通过向量运算得出新的向量关系式，最终解决几何问题.案例4 证明已知三点A、B、C共线.思路1：存在唯一实数μ（μ≠0），满足A—→B=μA—→C⇒A—→B=μA—→C⇒A、B、C共线.思路2：O为直线AB外一点，存在实数λ、μ且λ+μ=1，满足O—→C=λO—→A+μO—→B⇒C在直线AB上⇒A、B、C共线.思路3：O为直线AB外一点，存在实数λ、μ、γ、（不全为0）且λ+μ+γ=0，满足λO—→A+μO—→B+γO—→C=0⇒C在直线AB上⇒A、B、C共线.参考文献：1.周瑞琼.试谈初等数学和高等数学的“矛盾”现象及其本质联系［J］.柳州师专学报，1995（6）.2.陈志云.微积分在初等数学中的应用［J］.高等函授学报（自然科学版），2008（2）.3.任勇.介绍高等数学内容开阔学生知识视野［J］.数学通报，1995（3）.4.张秀蓉.高等数学视角下的中学数学教学研究［D］.福州：福建师范大学研究生院，2014.F。

导数定义及其在中学数学中的应用毕业论文一、导数的定义导数是微积分中最基本的概念之一，它是指函数在某一点处的变化率。

更具体地说，设函数y=f(x)，x0为区间I内的一点，当x在x0处取近似于x0的值时对应的函数值之差Δy=f(x0+Δx)-f(x0)与x0处的自变量增量Δx之比，即Δy/Δx的极限为：lim Δx→0 Ε0Δy/Δx=dy/dx=f'(x0)如果这个极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，其导数为f'(x0)。

其中f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数，也可以用dy/dx、 y' 或者 df/dx 表示。

二、导数在中学数学中的应用1. 切线与法线导数的最重要的应用之一是用于求函数在某一点处的切线与法线，这也是导数最基本的应用之一。

在求解中，我们首先求出函数在该点处的导数，然后求出该点处的坐标，进而求解出函数在该点处的切线和法线。

例如，对函数y=x^2，求该函数在点(x0, y0)处的切线和法线，其中x0表示点的横坐标，y0表示点的纵坐标。

解法：首先求出函数y=x^2在点(x0, y0)处的导数：f'(x0)=2x0然后代入点(x0, y0)得：y-y0=f'(x0)(x-x0)化简后得：y-y0=2x0(x-x0)这个公式就是函数y=x^2在点(x0, y0)处的切线的方程式。

同样的，可以通过求解出函数在该点处的导数，进而求解出函数在该点处的法线的方程式。

理论上说，导数是极限，但在实际的计算中，我们一般采用微小的增量等量的方法来近似于导数，而这个近似值就可以被用于实际计算中。

2. 最值的求解另一个导数在中学数学中常见的应用就是求解函数的最大值和最小值。

具体来说，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，且函数在区间内的某点x0处的导数f'(x0)=0或不存在，则f(x)在点x0处取得了最大值或最小值。

因此，我们可以通过求出函数的导数，并找到导数等于0的点或导数不存在的点，就可以求解出函数的极大值和极小值。

泰勒展开式及其在命题中的应用本讲主要研究以泰勒展开式为背景的导数命题模式. 泰勒展开式应该是高中导数命题中最常用的高等背景，以其为背景的一阶导数（切线）放缩，二阶放缩等活跃于高考试题和各地模考试题中. 本节，我们将通过一些典型例题来展示其中的泰勒身影，探析其中常见的命题手法.一．基本命题原理1. 泰勒展开式（泰勒级数）：Taylor 多项式：20000000()()()()()()()1!2!!n n n f x f x f x T f x x x x x x x n '''=+-+-++- Taylor 公式：0()()(())n n f x T x o x x =+- 2. 泰勒公式00x =时的麦克劳林公式：21()2!!nx n x x e x o x n =+++++ 352112sin (1)()3!5!(21)!m m m x x x x x o x m --=-+++-+- 24221cos 1(1)()2!4!(2)!m m m x x x x o x m +=-+++-+ 231ln(1)(1)()23n n n x x x x x o x n -+=-+++-+ 2(1)(1)(1)(1)1()2!!n n n x x x x o x n ααααααα---++=+++++ 211()1n n x x x o x x =+++++-3. 几个重要的不等式由泰勒公式，我们可以得到几个重要的不等式： 3.1 0,1≥+≥x x e x； 3.2 0,1212≥++≥x x x e x； 3.3 0,21)1ln(2≥-≥+x x x x . 3.4 3sin 6x x x x -≤≤，0x ≥3.5.2241cos 12224x x x x -≤≤-+，0x ≥ 二．命题手法展示1.不等式放缩与恒成立例1.（2013新课标Ⅱ）已知函数 （1）设是的极值点，求,并讨论的单调性；（2）当时，证明．命题手法分析：第二问考察泰勒一阶展开式：x x x e xln 11≥->+≥，所以可得： 0)2ln(>+-x e x ，这就是第二问的命题背景.例2.（2021八省新高考适应考试）已知函数x x e x f x cos sin )(--=，x x e x g xcos sin )(++=.（1）略；（2）若ax x g +≥2)(，求a . 命题手法分析：由泰勒展开：21()2!!nx n x x e x o x n =+++++ 352112sin (1)()3!5!(21)!m m m x x x x x o x m --=-+++-+- 24221cos 1(1)()2!4!(2)!m mm x x x x o x m +=-+++-+ 将上述三个式子相加，甩掉二次以上的项，就可以得到不等关系：x x x e x g x 22cos sin )(+≥++=因此，此题的背景就出来了，结果就是2=a .下面我们尝试对对数的泰勒展开式进行变形处理：231ln(1)(1)()23nn n x x x x x o x n -+=-+++-+()()ln xf x e x m =-+0x =()f x m ()f x 2m ≤()0f x >将x -代入上式，可得：)1,0(),3(211ln 3∈+>-+x x x x x ，这就是下面这道高考试题的命题背景. 例3.已知函数()3213x f x e x ax =---，R a ∈， （1）当0a =时，证明：当0x ≥时，()0f x ≥；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．解析：（2）()0f x ≥即32130x e x ax ---≥,尝试泰勒展开，有232(3)(3)131302!3!x x x x ax +++---≥,化简得232927026x x ax +-≥,所以92a ≤. 例 4.已知函数mx e x f x -=)(，其中e 为自然对数的底数，m 为正整数．若函数)(x f 在0x x =处取得极值，且)451(0，∈x ． （1）求)(x f 的极值；（2）若>0x 时，不等式()()>f x f x ax --恒成立，求实数a 的取值范围．（参考数据： 2.72e ≈） 解析：（2）问题转化为0x >时,g()(6a)0x x x e e x -=--+>恒成立因为x y e =在0x =处的泰勒展并式为231,26x x x x y e -++++=在0x =处的泰勒展开式为23126x x x -+-+,故有 323x x x e e x --≈+,根据题意32(6)3x x a x +>+,得4a ≤-,故实数a 的范围是(,4].-∞- 例5.（2015北京）已知函数()1ln1x f x x +=-． （1）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（2）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （3）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 由上述结论易得结论，此处不再赘述.2.泰勒展开处理极值问题下面我们再用泰勒公式来分析2018年全国三卷的命题背景，这道题目当年是全国卷中最难的一道导数题目，现在用泰勒公式来加以分析.例6.（2018全国卷Ⅲ）已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．命题手法分析：由泰勒展开式可得[1]： x x x x x ax x x ax x x f 2)432)(2()1ln()2()(43222-⋅⋅⋅+-+-++=+++= ⋅⋅⋅+--++=43)612()61(x a x a ① 可以看到，在0=x 附近，)(x f 的函数值变化主要依赖于展开式中3次项，于是可以得到近似估计：)()61()(33x o x a x f ++=，这样的话，欲使得)(x f 在0=x 处取得极大值，就必须使得61-=a ，否则，由)()61()(43x o x a x f ++=可知，0=x 不是函数的极大值点. 此时，将61-=a 代入①中可得： )(121)(44x o x x f +-= 显然，0=x 是函数的极大值点，于是此题的结果就出来了.注：此做法如果清楚命题背景，那就应该明白前两次导函数在0x =处为零，即三阶以上的导数才能求得参数.例7.已知是函数的极大值点，则的取值范围是A ．]0(，-∞B ．]1(，-∞C ．[0)+∞，D ．[1)+∞，解析：知()(tan )f x x ax x =-在零处的泰勒展开为352(),315x x f x x ax x ⎡⎤⎛⎫≈-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦即4622()(1)315x x f x a x ≈---,因为0x =是()f x 的一个极大值点,所以二次项系数必须小于零，即10a -<,tan x 在0x =处（带有佩亚诺余项）的泰勒展开式为()35512tan 315x x x x o x =+++,一般应用前两项即可.当1a =时，也满足最低偶次项即413x -系数小于零，所以 1.a ≤故答案为 1.a ≤故选B . 例8.已知函数x x ax x f sin 2)1(ln 2)(2-++=，0>a ．（1）若1≥a ，证明：当)20(π，∈x 时，0)(>x f ； （2）若0=x 是)(x f 的极大值点，求正实数a 的取值范围． 0x =()(tan )f x x ax x =-a ()解析：(1)由题意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,易证21sin ,ln(1)2x x x x x <+>-,详细证明请看切线章节, 所以2222ln(1)222sin x x x x x x x ++>+-=>,故()0f x >原式得证;(2)由泰勒展开式得()()2343571111ln(1),sin 23660x x x x o x x x x x o x +≈-++≈-++,当0x →时, 有5522332321()22(1)333030x x f x ax x x x x x a x x ≈+-+-+-=-+-,故10a -<,即1a <,故0 1.a << 3.比较大小例9.（2022全国甲卷）已知41sin 4,41cos ,3231===c b a ，试比较c b a ,,三个数的大小. 解析：根据题意，构造函数xx x h x x g x x f sin )(,cos )(,21)(2==-=.则可以看到： )41(),41(),41(h c g b f a ===，由于25.0较小，所以对上述三个函数在0=x 处进行四阶泰勒展开：21)(2x x f -=；)(421)(442x o x x x g ++-=！！，)(!5!31)(442x o x x x h ++-=. 显然，在25.0=x 时，)41()41()41(h c g b f a =<=<=，故c b a <<.（公众号：凌点数学）三. 习题演练练习1.（2017清华领军计划）已知函数ax e e x f x x -+=2)(，且0≥∀x ，2)(≥x f 恒成立. 则a 的取值范围为_______.解析：由于令2)()(-=x f x g ，0)0(=g ，故对)(x g 进行二阶泰勒展开可得：)(21)(242122222x o x x e x o x x e x x+++=+++= 故)(25)3(2)(222x o x x a ax e e x g x x ++-=--+=，在0=x 的右临域0),,0[>δδ内，函数)(x g 的性态由其一次项决定，若3>a ，那么在0),,0[>δδ内0)(<x g ，与题干矛盾，故3≤a . （公众号：凌点数学）练习2.（2021山东模拟）已知函数2)(2x x e x f x--=.（1）证明：0≥x 时，1)(≥x f ；（2）设)cos 1(21)()(2x a x x f x g -+--=，若对任意实数x ，都有0)(≥x xg ，求a 的值. 解析：（2）记)()(x xg x F =，注意到0=x 时，0)0(=F . 由于0)(≥x F 恒成立，故0=x即为函数)(x F 的极小值点（最小值点）.下面我们将xe 与x cos 进行泰勒展开： )(621332x o x x x e x++++=，)(21cos 22x o x x +-=， 代入)(x g 的表达式，于是可得：)(62)1()cos 1(13322x o x x a x a x x e x ++-=-+---，故)()(x xg x F =在0=x 处的泰勒展开：)(62)1()(443x o x x a x F ++-=. 可以看到，若1≠a ，则存在实数δ使得)(x F 在0=x 的邻域),(δδ-满足0)()(<-δδF F ，这与0=x 为函数)(x F 的极小值点（最小值点）矛盾，故得到1=a .练习3．已知函数()sin e ln(1)x x a f x x =+++．（1）当2a =-时，求函数()f x 在(]1,0-上的最小值；（2）若()1f x ≥恒成立，求实数a 的值．（公众号：凌点数学）参考文献：李尚志.大学视角下的中学数学（泰勒展开）.[J].数学通报.2019.08.。

微分中值定理与导数在中学数学中的应用微分中值定理与导数在中学数学中的应用微分中值定理和导数是中学数学中的重要内容，也是数学和物理等学科中不可或缺的基本工具。

本文将介绍微分中值定理和导数在中学数学中的应用。

微分中值定理微分中值定理是微积分中的一个基本定理，主要用于研究函数在一定区间内的变化情况。

微分中值定理有三种形式，分别是拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。

拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是指：若函数f(x)在区间[a,b]内连续，在(a,b)内可导，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(b)−f(a)b−a=f′(c)。

拉格朗日中值定理可用于解决函数极值、函数单调性等问题。

柯西中值定理柯西中值定理是指：若函数f(x)和g(x)在区间[a,b]内连续，在(a,b)内可导，且g′(x)≠0，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(c)g′(c)。

柯西中值定理可用于解决函数图像的相交问题、微商和导数的求法等问题。

罗尔中值定理罗尔中值定理是指：若函数f(x)在区间[a,b]内连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f′(c)=0。

罗尔中值定理可用于解决函数的零点问题、函数图像的最值问题等。

导数的应用导数是微积分的一个重要概念，它是描述函数变化率的工具。

导数具有计算简便、应用范围广泛等优点，被广泛应用于数学、物理等学科中。

导数的应用主要包括函数的极值、函数的单调性、函数的凹凸性、函数图像的研究等。

函数的极值函数的极值是指函数在某一点处取得的最值。

要求函数在该点求出导数，当导数为0或不存在时，该点即为函数的极值点。

函数的极值可用于解决优化问题、最值问题等实际应用问题。

函数的单调性函数的单调性是指函数在某一区间内的增减情况。

要求函数在该区间内求出导数，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函数单调递减。

函数的单调性可用于解决函数图像的特点问题、函数值域问题等。

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文导数在初等数学中的应用Application of Derivative inThe Elementary Mathematics姓名：胡磊学号：200907010052学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：陈冬香（教授）完成时间：2013年4月25号导数在初等数学中的应用胡磊【摘要】导数是高中数学所接触的一个概念，它广泛地应用于众多数学模块中，如在函数的研究中，导数能更直观的形象的反应函数的部分性质，还有在判断方程的根；不等式的证明、恒等式的证明、数列求和、解析几何中都有广泛的应用。

在部分数学模块中，导数的引入给许多常规问题的解决提供了新的方法，突出导数在解决问题的优越性；并且归纳总结导数在应用时应注意的部分问题。

【关键词】导数初等数学解题方法应用Application of Derivative in the Elementary MathematicsHu Lei【Abstract】Derivative is a concept which is studied in high school mathematics. It is widely used in numerous math modules such as the research of the Function, in which Derivative can reflect Function’s partial properties more directly and magically. What’s more, Derivative also apply to the judgment of the Function Root, the certification of the Inequity and Identity, the summation of Number Sequence and the Analytic Geometry. In some math modules, the introduction of the Derivative provides new ways for many conventional problems which highlights its superiority in problem-solving. In addition, the essay also sums up and summarizes some problems in the application of the Derivative.【Key words】Derivative Mathematic Problem solving method Application目录1 引言 (1)2 研究导数在函数中的应用 (1)2.1 导数在研究函数的单调性中的作用 (1)2.2 导数在求函数的极值中的作用 (3)2.3利用导数求函数的值域 (4)3 研究导数在判别方程根中的应用 (4)4 研究导数在不等式中的应用 (6)5 研究导数在恒等式的证明中的应用 (8)6 导数在数列方面的应用 (10)7 研究导数的几何应用 (11)8 导数解决实际生活中的问题 (12)8.1 成本问题 (12)8.2 制作容器 (13)9 导数在应用时注意的部分问题 (14)总结 (15)参考文献 (16)致谢 (16)1 引言导数的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，但是于导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线。

导数在中学数学中的应用分析摘要:导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引导导数的学习有利于学生更好地理解函数的性质，利用导数更容易求参数的值，；利用导数证明等式与不等式，利用导数求切线方程。

导数进入中学数学，丰富了中学数学知识和解法，给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法，给许多常规问题的解法提供了新视角。

关键词：导数、中学数学、应用大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。

在作切线时，他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E 就是我们现在所说的导数f'(A)。

导数与物理，几何，代数关系密切.在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度，加速度。

导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念.又称变化率.。

导数在中学数学中的应用十分广泛，利用导数可以作函数的图像、求函数的解析式、求函数的极值最值、求参数的值、证明等式和不等式、求切线的方程、求部分关于极限的问题。

总之导数在中学数学中的应用是十分广泛的。

16、17世纪，资本主义开始迅速的发展，精密的科学、航海学、弹道学的诞生，促进了力学的发展，工业技术的发展。

又要求当时的数学有了更高的要求，一开始都是用特殊的办法解决同一类型的问题，后来又了一般的方法，并逐步发展变化，最后牛顿和莱布尼茨建立了微积分。

导数的定义：函数()y f x =，如果自变量x 在x 有增量△x ，那么函数y 相应地有△y=()(),o of x x f x +∆-比值yx∆∆叫做函数y=f （x ）在x 到o x x +∆之间的平均变化率即y x ∆∆=00()()f x x f x x+∆-∆。

如果当0x ∆→时，y x ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作)(0'x f 或0'x x y =。

导数的概念说课稿导数的概念说课稿一、教材分析1.1编者意图《导数的概念》分成四个部分展开，即：“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”，编者意图在哪里呢？用前两部分作为背景，是为了引出导数的概念；介绍导数的几何意义，是为了加深对导数的理解.从而充分借助直观来引出导数的概念；用极限思想抽象出导数；用函数思想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数，教材的显著特点是从具体经验出发，向抽象和普遍发展，使探究知识的过程简单、经济、有效.1.2导数概念在教材的地位和作用“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.1.3教材的内容剖析知识主体结构的比较和知识的迁移类比如下表：通过比较发现：求切线的斜率和物体的瞬时速度，这两个具体问题的解决都依赖于求函数的极限，一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限，一个是“位置改变量与时间改变量之比”的极限，如果舍去问题的具体含义，都可以归结为一种相同形式的极限，即“平均变化率”的极限.因此以两个背景作为新知的生长点，不仅使新知引入变得自然，而且为新知建构提供了有效的类比方法.1.4重、难点剖析重点：导数的概念的形成过程.难点：对导数概念的理解.为什么这样确定呢？导数概念的形成分为三个的层次：f(x)在点x0可导→f(x)在开区间（，b）内可导→f(x)在开区间（，b）内的导函数→导数，这三个层次是一个递进的过程，而不是专指哪一个层次，也不是几个层次的简单相加，因此导数概念的形成过程是重点；教材中出现了两个“导数”，“两个可导”，初学者往往会有这样的困惑，“导数到底是个什么东西？一个函数是不是有两种导数呢？”，“导函数与导数是怎么统一的？”.事实上：（1）f(x)在点x0处的导数是这一点x0到x0+△x的变化率的`极限，是一个常数，区别于导函数.（2）f(x)的导数是对开区间内任意点x而言，是x到x+△x的变化率的极限,是f(x)在任意点的变化率，其中渗透了函数思想.（3）导函数就是导数！是特殊的函数：先定义f(x)在x0处可导、再定义f(x)在开区间（，b）内可导、最后定义f(x)在开区间的导函数.（4）y=f(x)在x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，表示为这也是求f′(x0)的一种方法.初学者最难理解导数的概念，是因为初学者最容易忽视或混淆概念形成过程中几个关键词的区别和联系，会出现较大的分歧和差别，要突破难点，关键是找到“f(x)在点x0可导”、“f(x)在开区间的导函数”和“导数”之间的联系，而要弄清这种联系的最好方法就是类比！用“速度与导数”进行类比.二、目的分析2.1学生的认知特点.在知识方面，对函数的极限已经熟悉，加上两个具体背景的学习，新知教学有很好的基础；在技能方面，高三学生，有很强的概括能力和抽象思维能力；在情感方面，求知的欲望强烈，喜欢探求真理，具有积极的情感态度.2.2教学目标的拟定.鉴于这些特点,并结合教学大纲的要求以及对教材的分析,拟定如下的教学目标:知识目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.③领悟函数思想和无限逼近的极限思想.能力目标：①培养学生归纳、抽象和概括的能力.②培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力.情感目标：通过导数概念的学习，使学生体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点.接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度.三、过程分析设计理念：遵循特殊到一般的认知规律，结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，通过演绎导数的形成,发展和应用过程，帮助学生主动建构概念.。

在高考中导数问题常见的分类讨论（一）热点透析由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用，所以自从导数进入高考后，立即得到普遍地重视，在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额，许多试题放在较后的位置，且有一定的难度..分类讨论是中学数学的一种解题思想，如何正确地对某一问题进行正确地分类讨论，这就要求大家平时就要有一种全局的观点，同时要有不遗不漏的观点。

只有这样在解题时才能做到有的放矢。

下面我想通过对导数类题的解答的分析，来揭示如何水道渠成顺理推舟进行分类讨论。

（二）知识回顾1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（三）疑难解释1．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．2．f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1． 若函数f (x )＝x ＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝2x 2＋2x －x 2－a (x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2.因为f (x )在x ＝1处取极值，所以1是f ′(x )＝0的根，将x ＝1代入得a ＝3.2． 函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(x )在区间(1，＋∞)上是增函数，则f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在(1，＋∞)上恒成立．∴a ≥－3.3. 如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断：①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中正确的判断是________．(填序号) 答案 ②③解析 ①∵f ′(x )在[－2，－1]上是小于等于0的， ∴f (x )在[－2，－1]上是减函数；②∵f ′(－1)＝0且在x ＝0两侧的导数值为左负右正， ∴x ＝－1是f (x )的极小值点； ③对， ④不对，由于f ′(3)≠0.4． 设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．－239D.33答案 C解析 g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0，解得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)． 当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：所以当x 5． (2011·辽宁)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，∵m ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}，即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞). 二、高频考点专题链接题型一. 需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。