大学数学与中学数学的关系及其对中学数学教学的作用

高等数学对中学数学教学的指导作用摘要：随着新课程改革的不断进步，中学数学中所涉及的高等数学的知识在高考中所占的比重越来越大，所以，作为一名中学教师，必须认真学习高等数学，用更高的数学知识武装自己，才能更加深刻地理解中学数学教材．这也是提高中学数学教学质量、实施素质教育的条件之一．指导学生学习高等数学与中学数学之间的内在联系，并将高等数学的思想方法渗透到中学数学中去是有重要的现实意义的．本文主论述的高等数学中的方法有微积分法、极限思想方法、概率与统计方法，并以大量详实的中学数学的范例为依据，尤其是近几年来的高考试题，充分说明了高等数学在解决中学数学的相关问题上具有的指导作用．关键词：高等数学；中学数学；数学思想；数学方法A Guide of Advanced Mathematics to High SchoolMathematics T eachingAbstract:With the reform of new course, the knowledge of advanced mathematics in high school mathematics covers larger and larger percentage in College Entrance Examination, so, being a mathematics teacher in high school, we must learn advanced mathematics hard in order to equip ourselves with more advanced knowledge in mathematics and understand high school mathematical books. This is also one of the conditions to improve the teaching quality of high school mathematics and imply the Quality Education. It is of great significance to guide the students to learn the internal relation between advanced mathematics and high school mathematics, and to permeate the high school mathematics with the thought of advanced mathematics. This paper mainly discusses the following methods in advanced mathematics: calculus method, extreme limit though method, probabilistic method, mathematics modeling method, with lots of detailed examples in high school mathematics teaching, which are mainly examples from College Entrance Examination in recent years, those examples prove that advanced mathematics are a good guide in solving related problems of high school mathematics.Key words:advanced mathematics; high school; mathematical thought; mathematical method目录1、引言 (1)2、中学数学与高等数学的关系 (1)2．1 中学数学与高等数学的概念界定 (1)2．1．1 中学数学 (1)2．1．2 高等数学 (1)2．2 中学数学与高等数学的关系 (1)2．3 数学思想在中学数学教育中的地位与作用 (2)3、高等数学方法在中学数学中的应用 (2)3．1微积分方法的应用 (2)3．1．1 求函数的极值、最值 (2)3．1．2 求函数的单调区间 (3)3．1．3 求曲边图形的面积 (4)3．1．4 利用微积分证明代数式 (5)3．2 极限思想方法的应用 (5)3．2．1 利用极限解决数列问题 (5)3．2．2 双曲线的渐近线 (6)3．2．3 利用重要极限证明不等式 (7)3．3 概率论的应用 (7)3．3．1 概率的应用 (7)3．3．2统计的应用 (8)4、结束语 (8)参考文献 (10)谢辞 (11)1 引言随着中学教材的改革和创新，中学数学的内容也在不断变化和发展，与原有中学数学教材相比，新教材在编写思想和内容选择等发面，有了很大的进步．新编高中教材更新了内容，删减了传统初等数学中部分较难的内容，新增了向量、简易逻辑、概率统计、极限和微积分初步等知识；与此同时，随着全国中学生数学竞赛和国际数学奥林匹克（IMO）竞赛水平的不断提高，高等数学的思想和方法越来越普遍和深入地应用于中学数学中．提高学生的综合素质，数学思想方法是教学的核心，实施素质教育必须加强数学思想方法的教学，对数学思想方法的研究，特别是对高等数学思想方法在中学数学教学中作用的研究就显得尤为重要和迫切]2[．2 中学数学与高等数学的关系2．1 中学数学与高等数学的概念界定2．1．1 中学数学中学时代所学的数学基本上是17世纪中叶以前的数学，它主要研究常量的运算和固定不变图形的性质．中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：表层知识和深层知识．表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法[3]．2．1．2 高等数学高等数学是以变量及变量之间的依赖关系—函数作为研究对象的，主要是由极限论、微分学、积分学、级数理论、解析几何、微分方程等六部分组成的一个有机统一体．其中极限论是基础；微分、积分是核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质；级数理论是研究解析函数的主要手段；解析几何为微积分的研究提供了解析工具，为揭示函数的性质提供了直观模型；微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分有机的联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系．2．2 中学数学与高等数学的关系中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是高等数学的基础，是高等数学中许多概念和理论的原型和特例所在．因此，从高等数学观点来看中学数学，首先就要把高等数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来．这样，就不仅能够加深对高等数学的理解，而且能使我们准确把握中学数学的本质和关键．总之，要力求将高等数学思想方法全面渗入中学数学，寻找高等数学与中学数学的结合点[4]．这样有利于提高教学质量和教学水平，拓展学生的解题思路，提高解题能力．2．3 数学思想在中学数学教育中的地位与作用数学思想是在数学的发展史中形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例）以及数学方法的本质性的认识，来源于数学的基础知识和基本方法，它在中学数学教学内容的组织上起着核心的总领作用，是教材体系的灵魂．数学思想和数学方法密不可分，数学思想是其相应数学方法的精神和理论基础，而数学方法则是实施数学思想的技术手段和表现形式[5]．在中学数学教学中加强数学思想方法教学可以带来以下几点收益，首先，可以有效地帮助学生形成正确的数学观念和优秀的数学精神，是在中学数学教学中落实素质教育的有效途径；其次，可以提高中学的教学质量和教学水平；最后，有利于培养学生的创新能力和数学应用能力．3 高等数学方法在中学数学中的应用中学时代数学中常用的高等数学方法有极限法、求导法、微分法、积分法、行列式法、向量法、概率法等，下面以中学中常见的问题为例来说明高等数学方法在中学数学中的应用．3．1 微积分方法的应用微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，它是建立在实数、函数和极限的基础上的，微积分是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一[6]． 3．1．1 求函数的极值、最值利用导数求函数的极大（小）值，求函数在连续区间[]b a ,上的最大（小）值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，从而使问题变得简单化．例1 已知32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±时取得极值，且(1)1f =-．（Ⅰ）试求常数a ，b ，c 的值；（Ⅱ）试判断1x =±是函数的极小值还是极大值，并说明理由．解 （Ⅰ）由题得，2()32f x ax bx c '=++，因为1x =±是函数()f x 的极值点，所以1x =±是方程()0f x '=的两根，即2320ax b c ++=的两根． (1)0f '=，320a b c ++=， （1）(1)0f '-=，320a b c -+=， （2）又(1)1f =-，所以 1a b c ++=-， （3） 由（1）（2）（3）解得，12a =，0b =，32c =-． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，313()22f x x x =-，所以2333()(1)(1)222f x x x x '=-=+-． 当1x <-或1x >时，()0f x '>；当11x -<<时，()0f x '<．所以，函数()f x 在()1,-∞-和()+∞,1上是增函数；在()1,1-上是减函数．即，当1x =-时，函数取得极大值(1)1f -=；当1x =时，函数取得极小值(1)1f =-． 注1 利用导数这一工具，我们就很容易的解决了一元三次函数的极值问题．例2 （2005年陕西卷）用长为90cm ,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转090角，再焊接而成（如图）．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解 设容器高为x cm ，容器的体积为()V x 3cm ,则32()(902)(482)42764320V x x x x x x x =--=-+ (024)x <<，求()V x 的导数，得2()12552432012(10)(36)V x x x x x '=-+=--，令()0V x '=，解得，110x =，236x =（舍去）．当010x <<时，()0V x '>，那么()V x 为增函数；当1024x <<时，()0V x '<，那么()V x 为减函数．因此，在定义域()24,0内，函数()V x 只有当x =10时取得最大值，其最大值为3(10)10(9020)(4820)19600()V cm =⨯-⨯-=．注2 从这道高考试题，我们可以看出，帐篷的体积函数是一个一元三次函数，如果用除导数之外的其他方法，就会非常困难．应用导数这一工具，则显得非常容易．3．1．2 求函数的单调区间在高中阶段，运用单调性的定义、以及复合函数单调区间的求解方法，可以解决一些比较简单的基本函数的单调性．但是对于一元三次（或更高次）函数的单调区间，用定义就显得力不从心，甚至不能求解．相反，用导数这一工具，却显得得心应手．例3 （2006年陕西卷）设函数32()31f x kx x =-+ (0)k ≥．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 的极小值大于0，求k 的取值范围．解 （Ⅰ）当0k =时，2()31f x x =-+，所以，()f x 的单调增区间为(]0,∞-；单调减区间为[)+∞,0；当0k >时， 22()363()f x kx x kx x k'=-=-． 令()0f x '=，解得，0x =或2x k=． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 的单调增区间为(]0,∞-，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2k ；单调减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡k2,0． （Ⅱ）当0k =时，函数()f x 不存在极小值；当0k >时，依题意222812()10f k k k=-+>，即24k >． 由条件0k >，所以k 的取值范围为()+∞,2．注3 导数在求形如32()f x ax bx cx d =+++的函数的单调性时，比一般方法要优越很多．由此可见，导数进入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入了新的生机和活力，通过前面的论述我们知道了导数不但在解决函数的极值、最值、单调区间方面有重要作用，有时候甚至比普通的代数几何方法还要方便、快捷．3．1．3 求曲边图形的面积在初中，面积计算只限于规则图形或可分割成规则图形；但在高中我们可能会遇到计算曲边图形的面积，这就需要采用化曲为直的思想．积分知识在高中教材的出现，使得求曲边图形的面积成为可能．例4 （2000年高考题）求如图示阴影部分的面积．解 这是一道经典的由定积分求面积的问题．根据图中所给的两点，求得,抛物线方程为23y x =-，直线方程为2y x =；最后，我们利用积分可得面积为12332(3)23S x x dx -⎡⎤=--=⎣⎦⎰． 3．1．4 利用微积分证明代数式例5 （1983省市、自治区联合数学竞赛）求证：arcsin arccos 2x x π+=,其中[]1,1x ∈-． 证明 当1x =-或1x =时，等式显然成立．设 ()arcsin arccos f x x x =+ []1,1x ∈-，则()0f x '==,所以，()f x C =，取0x =得，(0)2f π=，则2C π=，故arcsin arccos 2x x π+=．注4 利用微积分证明代数式（包括不等式与等式）可使问题简单化,解题思路更加清晰；微积分理论是高等数学的基础，同样也是研究高等数学与中学数学关系时不可缺少的部分，它除了对中学数学教学有重要的指导作用外，还能在中学数学的许多问题上起到以简驭繁的作用．3．2 极限思想方法的应用3．2．1 利用极限解决数列问题例6 （1997年高考题）已知数{}n a ，{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为p ，q ，其中p q >，且1p ≠，1q ≠，设n n n c a b =+，n S 为数列{}n C 的前n 项和，求1lim -∞→n n n S S ． 解 ()()111111--+--=q q b p p a S n n n ，()()()()()()()()111111*********--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S ， 下面分两种情况讨论求值：(Ⅰ) 当1p >时，由已知得，0p q >>，故10<<pq ． ∴ ∞→-∞→=n n n n S S lim lim 1()()()()()()()()11111111111111--+----+----n n n n q p b p q a q p b p q a ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-----∞→1111111111111111111lim n n n n n n n n n nn p p q p b p q a p p p q p b p q a p ()()()()()()01011010111111⨯-+--⨯-+--⋅=p b q a p b q a p ()()p q a q a p =--⋅=1111． (Ⅱ) 当1p <时，由已知得1o q p <<<．∴ 1lim -∞→n n n S S =∞→n lim ()()()()()()()()11111111111111--+----+----n n n n q p b p q a q p b p q a ()()()()()()()()1011011011011111-⨯-+---⨯-+--=p b q a p b q a ()()()()111111111=--------=p b q a p b q a ． 注5 本题考查了数列的基础知识，恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法．我们发现如果能够灵活运用极限思想求解，往往可以避开一些抽象复杂的运算，降低解题难度，还可以优化解题思路，收到事半功倍的效果．3．2．2 双曲线的渐近线例7 求双曲线22194x y -=的渐近线方程． 解 双曲线方程可化为：y =渐近线的斜率， ()23lim lim 3x x f x a x x →∞→∞===±， 在y 轴上的截距， []2lim ()lim )03x x b f x ax x →∞→∞⎡⎤=-=±=⎢⎥⎣⎦， 故所求的渐近线方程为23y x =±． 3．2．3 利用重要极限证明不等式 重要极限0sin lim 1x x x→= 例8 设12()sin sin 2...sin n f x a x a x a nx =+++，并且|()||sin |f x x ≤，12,,...,n a a a 为常数，求证：12|2...|1n a a na +++≤．证明 因为|()||sin |f x x ≤，所以()sin ||||f x x x x≤，即 12sin sin 2sin sin |...|||n x x nx x a a a x x x x+++≤， 上述两边令0x →，根据重要极限0sin lim 1x x x →=，得，12|2...|1n a a na +++≤． 3．3 概率论的应用概率论是数理统计的理论基础，它研究的对象是随机事件的数量的规律性，众所周知，在生命世界里，随机现象比比皆是，许多随机因素干扰着生命活动，所以，我们常常要通过随机试验来观测随机事件，这就必然会用到概率统计的数学方法．概率是一个要通过多次试验或观测才能得到的指标：()p A v n ≈，其基本性质为0()1p A ≤≤[9]．3．3．1 概率的应用不等式的证明始终是高中学生学习的一大难点，当然，随着高中知识的深入，我们也学会了越来越多的方法，下面让我们来研究一下，概率在不等式证明中的作用．例9 若01a <<，01b <<，试证：01a b ab ≤+-≤．证明 令A ，B 是两个相互独立的事件，且使()p A a =，()p B b =，由 ()()()()()()()()p A B p A p B p AB p A p B p A p B a b ab =+-=+-=+- ；再由概率的性质知：0()1p A B ≤≤ ，从而01a b ab ≤+-≤．概率在实际生活中应用也很大，下面再举例来说明一下．例10 （2006年山东卷）袋中装着标有1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出来的可能性都相等．用δ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）随机变量δ的概率分布和数学期望；（Ⅲ）计分介于20分到40分之间的概率．解 （Ⅰ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则311152223102()3C C C C p A C ==． （Ⅱ）由题意δ有可能的取值为：2，3，4，5，211222223101(2)30C C C C p C δ+===，211242423102(3)15C C C C p C δ+===， 211262623103(4)10C C C C p C δ+===，211282823108(5)15C C C C p C δ+===. 所以随即变量δ的概率分布为：因此，δ的数学期望为：2345301510153E δ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）“一次取球所得分介于20分到40分之间”的事件记为C ,则 ()p C =("3"p δ=或"4")δ=2313("3")("4")151030p p δδ==+==+=． 3．3．2 统计的应用 数理统计形成于19世纪末，并在本世纪发展成为了目前最常用的数理统计方法，特别在假设检验、回归分析、实验设计、抽样技术等方面的发展尤为突出，运用这种方法使精确度和可靠性都有了提高．在高中课本中，我们也初步接触了统计在这些方面的应用．4 结束语中学数学是数学世界的基石，是进入数学世界的必经之路，是数学教育工作者精心为全体中学生设计的多层台阶，如何在中学生力所能及的范围内，尽量扩大他们的视野是我们每位数学教育工作者必须关心的事情．因此，为解决这一问题，本文紧扣高等数学与初等数学之间的联系，主要以高等数学中的几种方法（微积分法、极限思想方法、概率与统计方法）为依据，详细地论述并列举了这些方法在中学数学中的应用．从而启发中学数学教师巧妙地将高等数学的思想和方法渗透到中学数学教学中去，使得高等数学和初等数学有机地结合起来，充分利用高等数学的思想和方法去指导中学数学教学．参考文献[1] 连春兴．高等数学对中学数学教学作用初探[J]．北京教育学院学报，2000，14(3):68-71．[2] 王淑玲．浅谈高等数学对中学数学的指导作用[J]．南平师专学报，2002，21(2):46-48．[3] 张奠宇．现代数学与中学数学[M]．上海:上海教育出版社，1990．[4] 吕世虎，徐兆亮．从高等数学看中学数学[M]．北京:科学出版社，1995．[5] 蔡上鹤．数学思想和数学方法[J]．中学数学报，1997，(09):25-27．[6] 冯凤萍．谈微积分中的数学思想及其教学[J]．边疆经济文化报，2004，(10):33-36．[7] 刘鹏远，樊春红．导数应用点滴[J]．中学数学报，2006，(05):45-48．[8] 卢小青，曾文艺．利用高等数学证明不等式[J]．唐山师范学院学报，2003，25(2):61-63．[9] 魏宗舒．概率论与数理统计教程[M]．北京:高等教育出版社，1983．。

大学数学与中学数学的关系及其对中学数学教学的作用【摘要】大学数学专业的主要任务是培养合格的中学数学教师,然而在大学数学的教学活动中,常常有学生向教师提出:“大学数学在中学数学教学中用不上”,甚至有的中学教师也持此种看法。

这不仅影响了大学数学专业学生学习大学数学的主动性也挫伤了一些在职教师教授、进修大学数学的积极性。

让此看法漫延,无疑将影响我国的数学教育工作。

我们认为,持此类看法的大学学生和在职教师,恰恰是对数学的理解比较肤浅,对大学数学课对中学数学教学工作的指导作用认识不够所造成的;另一方面也使我们大学教师认识到,应当努力改革大学数学课的教学工作,提高学生对大学数学课对中学数学教学的指导工作的认识。

【关键词】大学数学中学数学联系指导作用.University mathematics relationship with the middle school mathematics and its effect on middle school mathematicsteaching【Abstract】The main task of mathematics in normal universities is to cultivate qualified middle school mathematics teachers, in college mathematics teaching activity, however, often have a student asked the teacher: \"not in the middle school mathematics teaching in higher mathematics\", and even some middle school teachers also hold this view. This not only affects the initiative of student learning of mathematics in normal universities of higher mathematics professor also dampened some in-service teachers, study the enthusiasm of higher mathematics. Let this view, will undoubtedly affect our country's mathematics education work. We believe that with the view of college students and teachers, it is the understanding of mathematics is superficial and math in middle school mathematics teaching in the normal universities work caused by the guidance to know enough; On the other hand also to make our college teachers realize that should strive to reform college mathematics teaching, improve students' math in middle school mathematics teaching in the normal universities guidance work【Key words】University mathematics middle school mathematics guiding function connection.目录1. 引言 (5)2 初等数学与高等数学的联系 (5)2.1初等数学是高等数学的基础，二者有本质的联系 (6)2.2 知识方面的联系 (8)2.3 思想方面的联系 (8)3 大学数学教学与中学数学教学的主要差异 (9)3.1内容上的差异 (9)3.2教师教学方法上的差异 (9)3.3学生学习方法上的差异 (9)4 高师数学课对中学数学教学的指导作用 (10)4.1从初等数学与高等数学的联系看高等数学对中学数学教学的指导作用 (10)4.2从教师素质看高等数学对中学数学教学的指导作用 (10)4.3从数学教育教学的研究看高等数学对中学数学教学的指导作用 (11)4.4从中学数学的教学过程看高等数学对中学数学教学的指导作用 (12)5 数学分析课程对中学数学教学的指导作用 (12)5.1 数学分析为中学数学中的一些问题和方法提供了理论依据 (12)5.2数学分析的学习有助于记忆公式，证明等式，研究变量关 (13)5.3 用高观点分析和处理中学数学中的一些问题 (13)5.4用数学分析的理论和思想指导，编拟中学数学练习题 (13)6 总结 (13)参考文献 (14)1 引言近几年来大学师范院校数学系的不少大学生对学习大学数学存在不少看法如“现在学的大学数学好像与中学数学没有多大联系”,“学习大学数学对今后当中学数学教师作用不大”,有的甚至提出“大学数学在中学教学里根本用不上”等等.这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的那样“新的大学生一入学就发现他面对的问题好像和中学里学过的东西一点也没有联系似的，但是毕业以后当了老师，他们又突然发现要他们按老师的教法来教传统的中学数学，却由于缺乏指导，他们很难辨明当前数学内容和所受大学数学训练之间的联系，于是很快坠入相沿成习的教学方法，而他们所受的大学训练至多成为一种愉快的回忆，却对他们对教学毫无影响.”然而现在在新的数学教材中已经出现了一些基础的高等数学知识，这可以说是数学发展的一种必然趋势，所以现在的中学数学教师必须掌握大学数学的基础知识以适应数学发展和教材改革.所以大学数学知识在开阔视野、指导数学解题、指导数学教学、对初等数学问题加以诠释等方面的作用就尤为突出了.2 中学数学与大学数学的联系一般说来,数学史家把数学的发展分成四个阶段(萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期)或五个时期(再加上“当代时期”).无论何种方法都把第二发展时期叫做“初等数学时期”这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”,而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”,这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯(Engles)的经典分法所谓初等数学就是指常量数学,高等数学就是指变量数学,并把笛卡尔(RDescartes)1637年发明的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志,而教育意义下的初等数学和高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的即视普通初等、中等教育(即中、小学教育)阶段的数学主要内容为初等数学,视高等教育阶段的数学主要内容为高等数学.当然由于社会和教育的思想、方法、手段尤其是教育内容都在不断发展“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象两者没有严格的概念区别.事实上,数学科学是一个不可分割的整体,它的生命力在于各部分之间的有机联系,只从学科表面上看难以看清两者之间的内在联系,这就需要深入研究初等数学,理清其中最基本的思想和方法,努力寻求初等数学和高等数学的结合点.2.1 初等数学是高等数学的基础，二者有本质的联系将高等数学的理论应用于初等数学,使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作是一个值得研究的课题.俗话说，站得高才能看得远.因此笔者认为,作为中学教师除掌握中学数学各种类型题的已熟知的初等方法外,还应善于用高等数学方法解决中学数学问题,特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁而用高等数学方法则易于解决的中学数学问题,从而拓广解题思路和技巧,提高教师专业水平,促进中学数学教学.下面略举几例说明.例1.证明:当0,,>c b a 时，有不等式abc c b a 3333≥++.证明 :设333()3,(0,),f x x b c bcx x =++-∈+∞bc x x f 33)(2-=' 令 0)(='x f ，即0332=-bc x ， 解得驻点bc x =，且),0(bc x ∈∀，有),(;0)(+∞∈∀<'bc x x f ，有0)(>'x f ，知函数)(x f 在点bc x =取极小值，其极小值为 bc bc c b bc bc f 3)()(333-++=332c bc bc b ++-=.0)(33≥-=c b由于)(x f 在),0(∞上连续，且只有一个极小点，因此这个极小点就是最小点，则),0(+∞∈∀x ，有 0)(3)(233333≥-≥-++=c b bcx c b x x f .令a x =，于是，,03333≥-++abc c b a即 .3333abc c b a ≥++例2.已知数列.,12,1}{11n n n n n a a a a a 求数列通项满足-+==+解：设 12)()1(,1)1(),,1[,)(-+=+=+∞∈=x x x f x f f x a x f 且.（1）显然 当时，有)(N n x ∈=1212)()1(1-+=-+=++n n n n a a n f n f 或. 当212)1()11(1=-+=+=f f x 时，有.对（1）式两边关于x 求导，得2ln 2)()1(x x f x f +'=+'.从而 2ln 2)1()(1-+-'='n n f n f 21211(2)2ln 22ln 2(1)2ln 22ln 22ln 22(21)(1)ln 221(1)2ln 22ln 2,n n n n n n f n f f f -----'=-++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'=++⋅⋅⋅++-'=+-'=+-故2ln 22ln 2)1()(-+'='x f x f 的原函数为 ⎰⎰⎰⎰-+'='=dx dx dx f dx x f x f x 2ln 22ln 2)1()()(.（2） 将）式，得方程组代入（22)2(,1)1(==f f2ln 21(1),4ln 222(1)f c f c'-=+⎧⎨'-=+⎩解此方程组，得0,12ln 2)1(=-='c f 并将其代入（2），且令n x =，有()(2ln 21)22ln 22,n n f n n n n =-+-⋅=- 即 01.121n n n n C C C n ++⋅⋅⋅++ 高等数学的许多方法和技巧都能直接应用于中学数学解题,它常能起到以简驭繁并能使问题得以深化和拓广的作用.以上只是给出两个实例说明高等数学能指导中学数学解决初等代数和初等几何且收到了很好的效果.在教学过程中结合具体内容不失时机地介绍给学生对于丰富学生的解题方法特别是作为教师在将来的数学教学中用它来预测答案确定初等解法的路线构造习题检验结果都有重要的作用。

高中数学和大学数学有什么联系？高中数学与大学数学的紧密联系：基础与延展高中数学是大学数学学习的坚实基础，两者之间有着密不可分的联系。

从基础知识到思维，高中数学为大学数学的学习奠定了重要的基石，也为未来更深层次的数学学习提供了宝贵的经验。

一、知识基础的承接与向外延伸高中数学主要内容覆盖代数、立体几何、三角函数、解析几何等基础知识。

这些知识在大学数学中得到了更深入的探讨和应用。

代数：高中代数的函数、方程、不等式等概念在大学微积分、线性代数中得到了进一步的推广和应用。

例如，函数的概念发展到多元函数，方程的解法发展到微分方程，不等式的应用扩展到最优化问题。

平面几何：高中数学几何的平面几何、立体几何为大学微积分中的曲面、体积计算提供了基础，线性代数中的向量空间、矩阵理论也建立在这些基础之上。

三角函数：高中三角函数为大学微积分中的周期函数、傅里叶级数奠定了基础。

解析几何：高中解析几何为大学微积分中的曲线方程、向量微积分提供了重要的工具和方法。

二、思维的衔接与提升高中数学的学习不仅传授知识，更重要的是培养学生的数学思维能力。

这种思维能力在大学数学学习中十分有利。

抽象思维：高中数学的学习要求学生将抽象的概念转化为具体的图形和公式，培养和训练抽象思维能力。

大学数学中的概念更加抽象，例如向量空间、拓扑空间等，抽象思维能力是理解这些概念的关键。

逻辑推理：高中数学的推理和证明练习了学生的逻辑思维能力。

大学数学的证明更加严谨、复杂，学生必须具备更加强大的逻辑推理能力。

问题解决能力：高中数学的解题过程特别强调步骤清晰、逻辑严密，重视培养学生解决问题的能力。

大学数学的解决问题更加复杂，学生必须具备更强的分析问题、解决问题的能力。

三、学习方法的延续与再改进高中数学学习方法为大学数学学习提供了宝贵的经验。

预习和复习：预习可以帮助学生提前了解知识点，为课堂学习做好准备。

复习巩固所学知识，克服遗忘，加深理解。

课堂笔记：课堂笔记可以记录重点内容，方便课后复习。

高等数学对中学数学教学的指导作用摘要：随着新课程改革的不断进步，中学数学中所涉及的高等数学的知识在高考中所占的比重越来越大，所以，作为一名中学教师，必须认真学习高等数学，用更高的数学知识武装自己，才能更加深刻地理解中学数学教材．这也是提高中学数学教学质量、实施素质教育的条件之一．指导学生学习高等数学与中学数学之间的内在联系，并将高等数学的思想方法渗透到中学数学中去是有重要的现实意义的．本文主论述的高等数学中的方法有微积分法、极限思想方法、概率与统计方法，并以大量详实的中学数学的范例为依据，尤其是近几年来的高考试题，充分说明了高等数学在解决中学数学的相关问题上具有的指导作用．关键词：高等数学；中学数学；数学思想；数学方法A Guide of Advanced Mathematics to High SchoolMathematics TeachingAbstract:With the reform of new course, the knowledge of advanced mathematics in high school mathematics covers larger and larger percentage in College Entrance Examination, so, being a mathematics teacher in high school, we must learn advanced mathematics hard in order to equip ourselves with more advanced knowledge in mathematics and understand high school mathematical books. This is also one of the conditions to improve the teaching quality of high school mathematics and imply the Quality Education. It is of great significance to guide the students to learn the internal relation between advanced mathematics and high school mathematics, and to permeate the high school mathematics with the thought of advanced mathematics. This paper mainly discusses the following methods in advanced mathematics: calculus method, extreme limit though method, probabilistic method, mathematics modeling method, with lots of detailed examples in high school mathematics teaching, which are mainly examples from College Entrance Examination in recent years, those examples prove that advanced mathematics are a good guide in solving related problems of high school mathematics.Key words:advanced mathematics; high school; mathematical thought; mathematical method目录1、引言 (1)2、中学数学与高等数学的关系 (1)2．1 中学数学与高等数学的概念界定 (1)2．1．1 中学数学 (1)2．1．2 高等数学 (1)2．2 中学数学与高等数学的关系 (1)2．3 数学思想在中学数学教育中的地位与作用 (2)3、高等数学方法在中学数学中的应用 (2)3．1微积分方法的应用 (2)3．1．1 求函数的极值、最值 (2)3．1．2 求函数的单调区间 (3)3．1．3 求曲边图形的面积 (4)3．1．4 利用微积分证明代数式 (5)3．2 极限思想方法的应用 (5)3．2．1 利用极限解决数列问题 (5)3．2．2 双曲线的渐近线 (6)3．2．3 利用重要极限证明不等式 (7)3．3 概率论的应用 (7)3．3．1 概率的应用 (7)3．3．2统计的应用 (8)4、结束语 (8)参考文献 (10)谢辞 (11)1 引言随着中学教材的改革和创新，中学数学的内容也在不断变化和发展，与原有中学数学教材相比，新教材在编写思想和内容选择等发面，有了很大的进步．新编高中教材更新了内容，删减了传统初等数学中部分较难的内容，新增了向量、简易逻辑、概率统计、极限和微积分初步等知识；与此同时，随着全国中学生数学竞赛和国际数学奥林匹克（IMO）竞赛水平的不断提高，高等数学的思想和方法越来越普遍和深入地应用于中学数学中．提高学生的综合素质，数学思想方法是教学的核心，实施素质教育必须加强数学思想方法的教学，对数学思想方法的研究，特别是对高等数学思想方法在中学数学教学中作用的研究就显得尤为重要和迫切]2[．2 中学数学与高等数学的关系2．1 中学数学与高等数学的概念界定2．1．1 中学数学中学时代所学的数学基本上是17世纪中叶以前的数学，它主要研究常量的运算和固定不变图形的性质．中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：表层知识和深层知识．表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法[3]．2．1．2 高等数学高等数学是以变量及变量之间的依赖关系—函数作为研究对象的，主要是由极限论、微分学、积分学、级数理论、解析几何、微分方程等六部分组成的一个有机统一体．其中极限论是基础；微分、积分是核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质；级数理论是研究解析函数的主要手段；解析几何为微积分的研究提供了解析工具，为揭示函数的性质提供了直观模型；微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分有机的联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系．2．2 中学数学与高等数学的关系中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是高等数学的基础，是高等数学中许多概念和理论的原型和特例所在．因此，从高等数学观点来看中学数学，首先就要把高等数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来．这样，就不仅能够加深对高等数学的理解，而且能使我们准确把握中学数学的本质和关键．总之，要力求将高等数学思想方法全面渗入中学数学，寻找高等数学与中学数学的结合点[4]．这样有利于提高教学质量和教学水平，拓展学生的解题思路，提高解题能力．2．3 数学思想在中学数学教育中的地位与作用数学思想是在数学的发展史中形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例）以及数学方法的本质性的认识，来源于数学的基础知识和基本方法，它在中学数学教学内容的组织上起着核心的总领作用，是教材体系的灵魂．数学思想和数学方法密不可分，数学思想是其相应数学方法的精神和理论基础，而数学方法则是实施数学思想的技术手段和表现形式[5]．在中学数学教学中加强数学思想方法教学可以带来以下几点收益，首先，可以有效地帮助学生形成正确的数学观念和优秀的数学精神，是在中学数学教学中落实素质教育的有效途径；其次，可以提高中学的教学质量和教学水平；最后，有利于培养学生的创新能力和数学应用能力．3 高等数学方法在中学数学中的应用中学时代数学中常用的高等数学方法有极限法、求导法、微分法、积分法、行列式法、向量法、概率法等，下面以中学中常见的问题为例来说明高等数学方法在中学数学中的应用．3．1 微积分方法的应用微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，它是建立在实数、函数和极限的基础上的，微积分是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一[6]．3．1．1 求函数的极值、最值利用导数求函数的极大（小）值，求函数在连续区间[]b a ,上的最大（小）值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，从而使问题变得简单化．例1 已知32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±时取得极值，且(1)1f =-．（Ⅰ）试求常数a ，b ，c 的值；（Ⅱ）试判断1x =±是函数的极小值还是极大值，并说明理由．解 （Ⅰ）由题得，2()32f x ax bx c '=++，因为1x =±是函数()f x 的极值点，所以1x =±是方程()0f x '=的两根，即2320ax b c ++=的两根． (1)0f '=，320a b c ++=，（1） (1)0f '-=，320a b c -+=，（2）又(1)1f =-，所以 1a b c ++=-， （3） 由（1）（2）（3）解得，12a =，0b =，32c =-． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，313()22f x x x =-，所以2333()(1)(1)222f x x x x '=-=+-． 当1x <-或1x >时，()0f x '>；当11x -<<时，()0f x '<．所以，函数()f x 在()1,-∞-和()+∞,1上是增函数；在()1,1-上是减函数．即，当1x =-时，函数取得极大值(1)1f -=；当1x =时，函数取得极小值(1)1f =-． 注1 利用导数这一工具，我们就很容易的解决了一元三次函数的极值问题．例2 （2005年陕西卷）用长为90cm ,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转090角，再焊接而成（如图）．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解 设容器高为x cm ，容器的体积为()V x 3cm ,则32()(902)(482)42764320V x x x x x x x =--=-+ (024)x <<，求()V x 的导数，得2()12552432012(10)(36)V x x x x x '=-+=--，令()0V x '=，解得，110x =，236x =（舍去）．当010x <<时，()0V x '>，那么()V x 为增函数；当1024x <<时，()0V x '<，那么()V x 为减函数．因此，在定义域()24,0内，函数()V x 只有当x =10时取得最大值，其最大值为3(10)10(9020)(4820)19600()V cm =⨯-⨯-=．注2 从这道高考试题，我们可以看出，帐篷的体积函数是一个一元三次函数，如果用除导数之外的其他方法，就会非常困难．应用导数这一工具，则显得非常容易．3．1．2 求函数的单调区间在高中阶段，运用单调性的定义、以及复合函数单调区间的求解方法，可以解决一些比较简单的基本函数的单调性．但是对于一元三次（或更高次）函数的单调区间，用定义就显得力不从心，甚至不能求解．相反，用导数这一工具，却显得得心应手．例3 （2006年陕西卷）设函数32()31f x kx x =-+ (0)k ≥．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 的极小值大于0，求k 的取值范围．解 （Ⅰ）当0k =时，2()31f x x =-+，所以，()f x 的单调增区间为(]0,∞-；单调减区间为[)+∞,0；当0k >时， 22()363()f x kx x kx x k '=-=-．令()0f x '=，解得，0x =或2x k=． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 的单调增区间为(]0,∞-，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2k ；单调减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡k2,0． （Ⅱ）当0k =时，函数()f x 不存在极小值；当0k >时，依题意222812()10f k k k=-+>，即24k >． 由条件0k >，所以k 的取值范围为()+∞,2．注3 导数在求形如32()f x ax bx cx d =+++的函数的单调性时，比一般方法要优越很多．由此可见，导数进入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入了新的生机和活力，通过前面的论述我们知道了导数不但在解决函数的极值、最值、单调区间方面有重要作用，有时候甚至比普通的代数几何方法还要方便、快捷．3．1．3 求曲边图形的面积在初中，面积计算只限于规则图形或可分割成规则图形；但在高中我们可能会遇到计算曲边图形的面积，这就需要采用化曲为直的思想．积分知识在高中教材的出现，使得求曲边图形的面积成为可能．例4 （2000年高考题）求如图示阴影部分的面积．解 这是一道经典的由定积分求面积的问题．根据图中所给的两点，求得,抛物线方程为23y x =-，直线方程为2y x =；最后，我们利用积分可得面积为12332(3)23S x x dx -⎡⎤=--=⎣⎦⎰． 3．1．4 利用微积分证明代数式例5 （1983省市、自治区联合数学竞赛）求证：arcsin arccos 2x x π+=,其中[]1,1x ∈-． 证明 当1x =-或1x =时，等式显然成立．设 ()arcsin arccos f x x x =+ []1,1x ∈-，则 22()011f x x x '==--,所以，()f x C =，取0x =得，(0)2f π=，则2C π=，故arcsin arccos 2x x π+=．注4 利用微积分证明代数式（包括不等式与等式）可使问题简单化,解题思路更加清晰；微积分理论是高等数学的基础，同样也是研究高等数学与中学数学关系时不可缺少的部分，它除了对中学数学教学有重要的指导作用外，还能在中学数学的许多问题上起到以简驭繁的作用．3．2 极限思想方法的应用3．2．1 利用极限解决数列问题例6 （1997年高考题）已知数{}n a ，{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为p ，q ，其中p q >，且1p ≠，1q ≠，设n n n c a b =+，n S 为数列{}n C 的前n 项和，求1lim -∞→n n n S S ． 解 ()()111111--+--=q q b p p a S n n n ，()()()()()()()()111111*********--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S ， 下面分两种情况讨论求值：(Ⅰ) 当1p >时，由已知得，0p q >>，故10<<pq ． ∴ ∞→-∞→=n n n n S S lim lim 1()()()()()()()()11111111111111--+----+----n n n n q p b p q a q p b p q a ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-----∞→1111111111111111111lim n n n n n n n n n nn p p q p b p q a p p p q p b p q a p ()()()()()()01011010111111⨯-+--⨯-+--⋅=p b q a p b q a p ()()p q a q a p =--⋅=1111． (Ⅱ) 当1p <时，由已知得1o q p <<<．∴ 1lim -∞→n n n S S =∞→n lim ()()()()()()()()11111111111111--+----+----n n n n q p b p q a q p b p q a ()()()()()()()()1011011011011111-⨯-+---⨯-+--=p b q a p b q a ()()()()111111111=--------=p b q a p b q a ． 注5 本题考查了数列的基础知识，恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法．我们发现如果能够灵活运用极限思想求解，往往可以避开一些抽象复杂的运算，降低解题难度，还可以优化解题思路，收到事半功倍的效果．3．2．2 双曲线的渐近线例7 求双曲线22194x y -=的渐近线方程． 解 双曲线方程可化为：y =渐近线的斜率， ()23lim lim 3x x f x a x x →∞→∞===±， 在y 轴上的截距， []2lim ()lim )03x x b f x ax x →∞→∞⎡⎤=-=±=⎢⎥⎣⎦， 故所求的渐近线方程为23y x =±． 3．2．3 利用重要极限证明不等式 重要极限0sin lim 1x x x→= 例8 设12()sin sin 2...sin n f x a x a x a nx =+++，并且|()||sin |f x x ≤，12,,...,n a a a 为常数，求证：12|2...|1n a a na +++≤．证明 因为|()||sin |f x x ≤，所以()sin ||||f x x x x≤，即 12sin sin 2sin sin |...|||n x x nx x a a a x x x x+++≤， 上述两边令0x →，根据重要极限0sin lim 1x x x →=，得，12|2...|1n a a na +++≤． 3．3 概率论的应用概率论是数理统计的理论基础，它研究的对象是随机事件的数量的规律性，众所周知，在生命世界里，随机现象比比皆是，许多随机因素干扰着生命活动，所以，我们常常要通过随机试验来观测随机事件，这就必然会用到概率统计的数学方法．概率是一个要通过多次试验或观测才能得到的指标：()p A v n ≈，其基本性质为0()1p A ≤≤[9]．3．3．1 概率的应用不等式的证明始终是高中学生学习的一大难点，当然，随着高中知识的深入，我们也学会了越来越多的方法，下面让我们来研究一下，概率在不等式证明中的作用．例9 若01a <<，01b <<，试证：01a b ab ≤+-≤．证明 令A ，B 是两个相互独立的事件，且使()p A a =，()p B b =，由()()()()()()()()p A B p A p B p AB p A p B p A p B a b ab =+-=+-=+-；再由概率的性质知：0()1p A B ≤≤，从而01a b ab ≤+-≤．概率在实际生活中应用也很大，下面再举例来说明一下．例10 （2006年山东卷）袋中装着标有1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出来的可能性都相等．用δ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）随机变量δ的概率分布和数学期望；（Ⅲ）计分介于20分到40分之间的概率．解 （Ⅰ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则311152223102()3C C C C p A C ==． （Ⅱ）由题意δ有可能的取值为：2，3，4，5，211222223101(2)30C C C C p C δ+===，211242423102(3)15C C C C p C δ+===， 211262623103(4)10C C C C p C δ+===，211282823108(5)15C C C C p C δ+===. 所以随即变量δ的概率分布为：因此，δ的数学期望为：2345301510153E δ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）“一次取球所得分介于20分到40分之间”的事件记为C ,则()p C =("3"p δ=或"4")δ=2313("3")("4")151030p p δδ==+==+=． 3．3．2 统计的应用 数理统计形成于19世纪末，并在本世纪发展成为了目前最常用的数理统计方法，特别在假设检验、回归分析、实验设计、抽样技术等方面的发展尤为突出，运用这种方法使精确度和可靠性都有了提高．在高中课本中，我们也初步接触了统计在这些方面的应用．4 结束语中学数学是数学世界的基石，是进入数学世界的必经之路，是数学教育工作者精心为全体中学生设计的多层台阶，如何在中学生力所能及的范围内，尽量扩大他们的视野是我们每位数学教育工作者必须关心的事情．因此，为解决这一问题，本文紧扣高等数学与初等数学之间的联系，主要以高等数学中的几种方法（微积分法、极限思想方法、概率与统计方法）为依据，详细地论述并列举了这些方法在中学数学中的应用．从而启发中学数学教师巧妙地将高等数学的思想和方法渗透到中学数学教学中去，使得高等数学和初等数学有机地结合起来，充分利用高等数学的思想和方法去指导中学数学教学．参考文献[1] 连春兴．高等数学对中学数学教学作用初探[J]．北京教育学院学报，2000，14(3):68-71．[2] 王淑玲．浅谈高等数学对中学数学的指导作用[J]．南平师专学报，2002，21(2):46-48．[3] 张奠宇．现代数学与中学数学[M]．上海:上海教育出版社，1990．[4] 吕世虎，徐兆亮．从高等数学看中学数学[M]．北京:科学出版社，1995．[5] 蔡上鹤．数学思想和数学方法[J]．中学数学报，1997，(09):25-27．[6] 冯凤萍．谈微积分中的数学思想及其教学[J]．边疆经济文化报，2004，(10):33-36．[7] 刘鹏远，樊春红．导数应用点滴[J]．中学数学报，2006，(05):45-48．[8] 卢小青，曾文艺．利用高等数学证明不等式[J]．唐山师范学院学报，2003，25(2):61-63．[9] 魏宗舒．概率论与数理统计教程[M]．北京:高等教育出版社，1983．。

浅析大学数学对中学数学的解题指导作用大学数学与中学数学在很多方面都存在着密切的关系，大学数学的知识和解题方法对中学数学的学习和解题有着重要的指导作用。

下面就来浅析一下大学数学对中学数学解题的指导作用。

大学数学对中学数学解题的指导作用体现在知识的深度和广度上。

大学数学相比于中学数学，涉及的知识点更加深入和广泛，涵盖了更加丰富和复杂的内容。

通过学习大学数学，可以对中学数学中的一些基础知识有更加深刻和全面的理解，从而能够更好地应用这些知识来解决实际问题。

在中学数学中学习的函数概念，在大学数学中涉及到了更加深入和丰富的内容，比如多元函数、微积分、级数等，通过学习这些内容可以更好地理解和运用中学数学中的函数概念，进而更加熟练地解决相关的数学问题。

大学数学对中学数学解题的指导作用体现在解题方法和思维方式上。

大学数学要求学生具备更加严谨、逻辑和创新的思维方式，注重培养学生的逻辑推理能力和问题解决能力。

这些都对中学数学解题有着重要的指导作用。

在中学数学中，学生通常通过套公式或者机械化的方法来解决问题，而在大学数学中，学生需要运用更加丰富和灵活的数学知识来推导和解决问题，这些学习和习得的方法和思维方式能够有效地指导中学数学解题，使学生在解题过程中更加理性和方法更加多样化。

大学数学对中学数学解题的指导作用体现在知识的深度和广度、解题方法和思维方式、实际应用和跨学科的全面发展等方面，它为中学数学解题提供了更加丰富的内容和更加灵活的思路，使学生能够更好地应对各种数学问题。

中学生在学习中不妨多多借鉴大学数学的相关知识和解题方法，相信这会对中学数学的学习和解题有所帮助。

例谈高等数学与中学数学的联系高等数学与中学数学是一个相互衔接、相互联系的体系，它们之间的联系有以下几个方面：一、基础知识的延续高等数学是在中学数学基础上进行的深化和拓展，大量的数学基础知识来自中学数学。

例如，微积分的基础是函数的概念和极限的求解，而这些都是在中学数学中学习的；线性代数课程中的矩阵行列式、线性方程组、特征值等都是中学数学里矩阵的相关知识的拓展。

二、思维方式的转变高等数学需要运用更为深入的数学思维，这要求学生具备较为广泛的数学素养。

而这些素养是在中学数学学习中培养起来的，例如数学思维方法、解决问题的科学方法等。

对于高等数学学习而言，这种思维方法的转变尤为必要，在这个过程中，中学数学对学生有着不可或缺的作用。

三、方法技巧的运用高等数学中有许多需要掌握的技巧和方法，这些技巧和方法也在中学数学课程中被广泛讲解和运用，例如极值问题、本质上等式的问题等。

这些技巧和方法是帮助学生更好地理解更深入的数学知识的，同时能够帮助学生将更高难度的数学问题化为较为简单的问题来解决。

四、举一反三的思维方式在高等数学的学习过程中，一个重要的能力就是能够将一个问题解决的方法运用到另外一个问题上，这就需要学生具有举一反三的思维方式。

而这种思维方式不是突然形成的，而是在中学数学学习这个过程中慢慢培养的。

因此，学习中学数学有助于学生成为具备举一反三能力的综合性数学思维者。

五、探索和发现高等数学不仅仅是中学数学知识的补充和晋升，还需要学生具备科学的探索和发现能力。

这种能力的培养在中学的数学课程中得到体现，例如数学竞赛、奥数培训等都能够帮助学生探索和发现数学规律。

总体而言，高等数学与中学数学是密不可分的，它们之间存在着深厚的联系和互动，它们共同构成了一套完整的数学知识体系。

因此，中学数学的学习对于高等数学的学习具有重要作用，具备稳扎稳打、细节把控、坚实基础的中学数学学习过程是学生成功掌握高等数学的明确保障。

大学数学和中学数学的联系和区别
大学数学和中学数学的联系主要体现在以下几个方面：
一、数学概念
大学数学和中学数学都以数学概念为基础，比如极限、函数、集合、
微积分、线性代数等等的概念，都是贯穿中学和大学数学的基本要素。

二、数学分析方法
大学数学和中学数学都包含数学分析方法，如逻辑分析、抽象思维、
归纳演绎，以及探究发现、模式识别等，在解决数学问题的过程中，
这些数学分析方法是融会贯通的。

三、数学实践运用
大学数学和中学数学在数学实践运用方面也有很多类似之处，如用坐
标图像分析函数特性，以及求解方程、求最值、绘制图像等，都是学
习数学的共同要点。

区别：
一、知识深度
大学数学比中学数学要更加深入，采用抽象、概括和逻辑综合等方法，构建出更加清晰完备的数学理论。

二、应用范围
大学数学比中学数学应用范围更广，其理论可以用于经济、物理、电
子计算机、化学等方面的科学实验和工程设计中，从而充分体现数学在现代科技发展中发挥的重要作用。

浅析大学数学对中学数学的解题指导作用1. 引言1.1 介绍大学数学和中学数学的区别中学数学和大学数学是数学教育中两个非常重要的阶段。

中学数学是学生在初中和高中阶段学习的数学课程，主要包括基础的代数、几何、函数等内容。

而大学数学则是大学阶段学习的数学课程，内容更加深入和抽象，包括微积分、线性代数、概率论等高阶数学知识。

大学数学和中学数学在内容上有很大的不同。

大学数学更加注重理论的推导和证明，涉及到更多的数学概念和定理；而中学数学更着重于基础知识的掌握和运用，主要通过题目练习来加深理解。

大学数学内容更加广泛和深入，需要学生具备更强的逻辑思维和抽象能力。

大学数学和中学数学在解题方法上也有所不同。

大学数学解题更加灵活和多样化，需要灵活运用不同的方法和定理来解决问题；而中学数学解题通常是按部就班地应用学过的知识点来解决问题。

大学数学对于解题方法的要求更高，需要学生具备更强的创造性和思辨能力。

大学数学和中学数学在内容和解题方法上存在明显的区别。

了解这些区别有助于学生更好地理解两者之间的联系，并更好地应对大学数学的学习挑战。

【字数不足，仍需继续添加内容】1.2 阐述大学数学对中学数学的指导作用中学数学和大学数学是两个不同层次的数学教育，其中学数学作为基础教育的一部分，主要注重基本概念和解题方法的学习，而大学数学则更加深入和复杂，注重理论推导和问题解决能力的培养。

尽管两者之间存在明显的区别，但大学数学对中学数学的指导作用却是不可忽视的。

大学数学对中学数学知识的延伸起到了重要的作用。

大学数学延伸了中学数学所学习的基础知识，例如微积分、线性代数等，帮助学生更加深入地理解数学的内在结构和原理，从而为他们更好地掌握中学数学打下坚实的基础。

大学数学对中学数学解题方法的启发也是至关重要的。

大学数学教学注重培养学生的问题解决能力和创新思维，这种思维方式对中学数学解题方法的应用有着积极的影响，帮助学生更好地理解和应用中学数学知识。

浅析大学数学对中学数学的解题指导作用陈巧陆欣雨宁咏梅彭欢许璐（江汉大学湖北·武汉430056）摘要大学数学知识面更广，难度更大，思维层次更高，它可以从不同角度、高观点下去分析许多中学数学知识，对很多中学数学的解题具有指导作用。

本文从高等数学、线性代数、解析几何等方面分别分析了它们对中学数学解题的指导作用。

关键词高等数学线性代数解析几何中学数学指导作用中图分类号：G633.3文献标识码：A0引言许多中学数学的知识，由于学生的可接受性原则和知识面所限，往往是以教育形态呈现，因此中学数学教材中的一些知识内容不可能严谨透彻，例如高中代数中的指数函数，然而要在中学阶段讲清这些问题往往是不大容易的，需要涉及极限理论。

然而，我们利用高等数学的知识则能将中学数学中不能或很难彻底解决的基本理论加以严格地证明，使之更加清晰明了，易于接受，且初等数学问题往往以高等数学问题为背景，许多初等数学问题有极强的高等数学知识背景，特别是数学竞赛中的一些命题更为突出，然而大多数中学生无法解决竞赛中的一些问题，基于大学知识，将大学数学作为解决某些初等问题的手段和方法，研究大学数学对初等数学解题的指导作用意义深刻。

其主要思想和方法有：转化与化归；函数与方程；分类的思想；换元的思想；数形结合的思想等。

下面从高等数学、线性代数、解析几何等方面分别分析说明它们对中学数学解题的一些指导作用。

1高等数学对中学数学解题的指导作用中学数学在求函数单调性及极值时往往是运用定义法和分段讨论法，这样做比较复杂繁琐，如果运用大学数学中的一阶、二阶导数则容易得多。

还有不等式是初等数学的重要内容之一,在初等和高等数学中应用极广。

不等式的证明方法很多,初等数学主要采用比较法、综合法、放缩法等方法进行证明，学生掌握起来较难，而用通过高等数学中构建函数，以导数为工具进行证明很容易得多等等。

下面举一例说明。

例1：(2016.全国卷Ⅲ）设函数，证明当时，。

证明：因为，求导得：，令，得；所以当，，即在上是单调递减函数；所以，即lnx-x+1<0,又当时, lnx>0，所以左边成立。

浅谈高等数学对中学数学的指导作用高等数学是高等教育的主要科目，它可以为中学数学起到引导指导作用。

首先，高等数学可以帮助中学生根据具体情况灵活运用中学数学中的公式、定理。

在高等数学中，理论体系更加完整，学生可以通过各种方式，从函数的基本定义、几何的极限理论，到复杂的实变函数、积分等，从而更好地熟悉并掌握中学数学中的所有知识点。

其次，高等数学能够激发学生的学习兴趣。

学习中，学生可以学习更多数据统
计处理和几何分析等复杂的高等数学知识，从而培养学习勤奋，开拓视野，巩固中学数学基础知识。

最后，高等数学也可以帮助中学生把学习到的内容和技术应用到实际生活当中。

学生不仅可以根据数理逻辑和用数分析来处理实际问题，还可以构建更复杂的数学模型来完成复杂的任务。

总之，高等数学为中学数学的学习指导作用是非常显著，可以有效地深化学生
的数学认知，增强学习的主动性，提高学习效率，实现数学服务社会的目标。