大学视角下的中学数学(复数) (1)

高考数学应试技巧之复数数学作为高考的必考科目之一，对于许多学生来说是一个极大的挑战。

尤其是在复数的应用中，许多学生常常感到棘手。

复数是高考数学中的一个重要知识点，也是一个需要深入理解和掌握的知识点。

本文将介绍几个复数的应试技巧，并提供一些例题帮助读者更好地掌握复数的应用。

一、基本定义复数是指形如 a+bi 的数，其中 a 和 b 分别为实数，i 表示虚数单位，它满足 i²=-1。

实数和虚数是复数中的两个部分，实数 a 被称为复数的实部，虚数 b 被称为复数的虚部。

二、极坐标表示法复数在极坐标表示法中的表示方式是：z=r(cosθ+isinθ)，其中 r 表示复数的模，θ 表示复数的幅角。

在使用极坐标表示法求解问题时，可以利用三角函数的相关知识进行计算。

例题：已知复数 z=1+2i，求其极坐标形式。

解：复数的模为r=√(1²+2²)=√5，复数的幅角为cosθ=1/√5，sinθ=2/√5，因此θ=arctan(2/1)。

所以，复数 z 的极坐标表示形式为z=√5(cosθ+isinθ)=√5(cos(arctan(2))+isin(arctan(2)))。

三、共轭复数共轭复数是指保持实部不变但虚部变号的复数，可以表示为z*=a-bi。

共轭复数的一个重要性质是，任何实数的平方都是非负的，因此，复数与其共轭复数的乘积的实部是一个非负实数。

例题：已知 z=1+2i，求其共轭复数 z*。

解：由定义可知，z*=1-2i。

四、四则运算（1）加减法复数的加减法与实数的加减法类似，只是加减的对象从实数变成了复数。

需要注意的是，复数的实部与虚部分别相加减。

例题：已知 z1=1+2i，z2=3-4i，求 z1+z2 和 z1-z2。

解：z1+z2=(1+2i)+(3-4i)=4-2iz1-z2=(1+2i)-(3-4i)=-2+6i（2）乘法复数的乘法需要特别注意的是，(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²，其中 i²=-1。

中学数学认识复数与复数运算复数是数学中一种重要的概念，学习和掌握复数及其运算对于中学数学的学习至关重要。

在本文中，我们将介绍和探讨中学数学中关于复数的认识与复数运算。

一、认识复数复数是由实数和虚数构成的数，它可以表示为 a + bi 的形式，其中a和b都是实数，i表示虚数单位。

实数部分a代表复数的实部，虚数部分b乘以虚数单位i代表了复数的虚部。

例如，5 + 3i就是一个复数，其中实部是5，虚部是3。

复数域相当于实数域的扩充，它能够解决一些实数下无解的问题，比如求方程x^2 = -1的解。

这时，利用复数单位i，我们可以得到x的两个解±i。

二、复数运算1. 复数的加法和减法复数的加法和减法运算与实数的加法和减法运算类似，将实部和虚部分别相加或相减即可。

例如，(2 + 3i) + (5 - 2i) = 7 + i 和 (2 + 3i) - (5 -2i) = -3 + 5i。

2. 复数的乘法复数的乘法是根据分配律和虚数单位i的平方等于-1来定义的。

例如，(2 + 3i) * (5 - 2i) = 10 + 15i - 4i - 6 = 4 + 11i。

3. 复数的除法复数的除法可以通过乘以倒数的方式进行计算。

例如，(5 + 2i) ÷ (2 + 3i)可以转化为(5 + 2i) * (2 - 3i) ÷ (2 + 3i) * (2 - 3i)，然后按照乘法运算规则进行计算，最后化简得到结果。

三、复数的性质1. 共轭复数对于复数a + bi，它的共轭复数定义为a - bi。

两个共轭复数的实部相等，虚部互为相反数。

例如，对于复数3 + 2i，它的共轭复数是3 -2i。

2. 模和幅角复数a + bi的模定义为√(a^2 + b^2)，表示复数到原点的距离。

复数a + bi的幅角定义为与正实轴之间的夹角，可以使用反正切函数进行计算。

3. 欧拉公式欧拉公式是关于复数的一个重要公式，它将自然对数的底e、虚数单位i以及三角函数联系起来。

大一复变函数一知识点总结
1. 复数的基本概念
- 复数是由实数部分和虚数部分组成的数，可以表示为 a + bi 的形式。

其中，a 为实数部分，b 为虚数部分，i 为虚数单位。

- 实数可以看作虚数部分为 0 的复数，而虚数可以看作实数部分为 0 的复数。

2. 复数的运算
- 复数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

- 复数的加法和减法直接对实部和虚部进行相应运算。

- 复数的乘法按照分配律和虚数单位的平方等于 -1 进行计算。

- 复数的除法可以通过乘以共轭复数的方式进行。

3. 复数的模和幅角
- 复数的模是指复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算得出。

- 复数的幅角是指复数与正实轴之间的角度，可以通过反三角函数计算得出。

4. 欧拉公式
- 欧拉公式将复数的幅角和指数函数联系起来，表达式为：
e^(ix) = cos(x) + i sin(x)。

5. 复变函数的连续性和可微性
- 和实变函数类似，复变函数也具有连续性和可微性的概念。

- 连续性表示函数在定义域内的任意一点都存在极限，连续函数的定义域内每个点求极限都存在。

- 可微性表示函数在某一点处存在导数，可微函数一定是连续的。

以上是大一复变函数一的知识点总结，希望对你的学习有所帮助！。

中学数学认识复数在几何中的应用复数是数学中一个重要的概念，广泛应用于许多领域，包括几何。

在几何中，复数可以用来描述平面上的点、向量和图形的位置、形状和运动等。

在本文中，将介绍复数在几何中的应用，并探讨其相关性质和定理。

1. 复数表示平面上的点在复数表示中，复数可以看作是一个有序对(a, b)，其中a和b分别表示复数的实部和虚部。

在几何中，我们可以将复数看作是平面上的一个点P(x, y)，其中x表示点P在x轴上的坐标，y表示点P在y轴上的坐标。

通过复数的表示，我们可以方便地描述平面上的点，比如确定点的位置和计算两点之间的距离等。

2. 复数表示向量在几何中，向量是有大小和方向的量，可以表示为一个有向线段。

在复数中，我们可以将复数看作是一个向量，即复数的模表示向量的大小，复数的辐角表示向量的方向。

通过复数的表示，我们可以方便地描述向量的运动、旋转和平移等操作。

3. 复数表示图形位置和形状在几何中，我们经常需要描述和分析图形的位置和形状。

复数在这方面具有很大的优势。

例如，我们可以使用复数表示平面上的一个点，通过改变复数的值来改变点的位置；我们还可以使用复数表示平面上的一个矢量，通过乘以复数的模和辐角来实现平移和旋转操作。

这些操作可以帮助我们更好地理解和描述图形的位置和形状。

4. 复数在系统分析中的应用在系统分析中，我们经常需要描述和分析复杂的系统，例如电路、控制系统等。

复数在这方面具有很大的应用价值。

例如，我们可以使用复数表示电路中的电压和电流，通过复数的运算来分析电路的性质和行为；我们还可以使用复数表示控制系统中的信号和响应，通过复数的变换和运算来分析系统的稳定性和性能等。

复数在系统分析中起到了重要的作用。

总结起来，复数在几何中的应用十分广泛且重要。

通过使用复数，我们可以方便地描述和分析平面上的点、向量和图形的位置、形状和运动等。

复数在几何中的应用不仅方便了我们的工作，还能帮助我们更深入地理解和掌握几何的相关性质和定理。

高考数学复数知识点总结数学是一门让许多人头疼的学科，而高考数学更是让许多学生感到困惑。

在高考数学中，复数是一个重要的知识点，也是许多学生比较薄弱的内容之一。

本文将对高考数学中的复数知识点进行总结，希望能够帮助广大学生更好地掌握这一部分内容。

首先，我们来回顾一下复数的定义。

复数是由实部和虚部组成的数，一般写作a+bi的形式，其中a和b分别表示实部和虚部。

实部是一个实数，而虚部则是一个纯虚数，即没有实数部分。

复数间的加法和减法与笛卡尔坐标系中的向量相似，实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。

复数的乘法则遵循分配律，即(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。

而复数的除法则需要用到共轭复数，即(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。

接下来，我们来看一下复数的运算性质。

复数的加法和乘法封闭性是显而易见的，即两个复数之和（积）仍然是一个复数。

复数的减法和除法也满足封闭性。

此外，复数的乘法满足交换律，即(a+bi)(c+di) = (c+di)(a+bi)。

但是复数的加法和减法不满足交换律，即(a+bi) + (c+di) ≠ (c+di) + (a+bi)。

此外，复数的除法也不满足交换律，即(a+bi)/(c+di) ≠ (c+di)/(a+bi)。

在高考数学中，我们常常需要运用复数来解决实际问题。

特别是在解析几何中，复数可以帮助我们简化计算。

比如，在平面直角坐标系中，每个点可以用复数来表示。

复数的模表示了点到原点的距离，即|z| = √(x^2+y^2)。

而复数的幅角则表示了点与实轴正向之间的夹角，即arg(z) = arctan(y/x)。

利用复数的模和幅角，我们可以方便地进行平面向量的计算，包括向量的加减、数量积和向量积。

同时，复数在高考数学中也与多项式方程密切相关。

复数的定义可以用来解决多项式方程中出现的负根问题。

复数在高等数学中的应用复数是数学中非常重要的一种数，它包含了实部和虚部，代表了平面上的一个点。

在高等数学中，复数的应用非常广泛，可以用来求解微分方程、分析函数、分析波动等等。

在本文中，我们将会探讨复数在高等数学中的应用。

1. 复数的基本概念复数是由实数域上的数和一个虚数单位i所构成的数系，可以表示为a+bi，其中a,b都是实数。

a称为实部，b称为虚部。

虚数单位i具有如下性质：i²=-1，i³=i²i=-i，i⁴= i²i²=1。

在复平面中，实部为x轴，虚部为y轴，每个复数可以对应平面上的一个点，复数的加减乘除规则则是根据向量的加减乘除规则而得出的。

2. 复函数及其性质复函数是定义在复数域上的函数。

在高等数学中，复函数有很多特殊的性质，下面我们将一一探讨。

首先，我们看一下复函数的可导性。

由于复函数的自变量是复数，所以它可以进行复数微积分。

如果一个复函数在某一点处可导，则该点处的导数是一个复数。

和实变量类似，可导性等价于该函数在该点处存在一个复数的导数。

其次，我们探讨复函数的单解析性。

如果一个函数在某个开集内是单解析的，则该函数在该开集内是光滑的，可以用泰勒展开公式表示。

同时，如果一个函数在某个开集内是单解析的，则它在该开集内的曲线积分是互换顺序的。

最后，我们探讨复函数的调和性。

如果一个函数在某个开集内是调和的，则它满足拉普拉斯方程。

3. 复数的三角函数在高等数学中，我们还会经常用到复数的三角函数。

和实数的三角函数一样，复数的三角函数也有正弦、余弦、正切、余切等。

首先，我们来看一下复数的正弦和余弦。

由欧拉公式，我们可以将复数表示为eⁱθ=cosθ+isinθ。

因此，复数的正弦和余弦函数分别定义为sin(z)=(eⁱz-e⁻ⁱz)/2i，cos(z)=(eⁱz+e⁻ⁱz)/2。

接下来是复数的指数函数。

根据欧拉公式，eⁱθ=cosθ+isinθ，因此eⁱz=eⁱx(cosy+isiny)=eⁱxcosy+ieⁱxsiny。

大学数学复数与向量复数是数学中的一个重要概念，它不仅在高等数学、物理学、工程学等学科中广泛应用，而且在实际生活中也有着很大的用途。

复数既包括实数部分，也包括虚数部分，可以用于表示电路中的交流电、振动系统中的振幅和相位等。

与复数有着紧密联系的是向量，在几何学和物理学中也具有重要地位。

本文将重点讨论大学数学中的复数和向量，并探究它们在不同领域的应用。

一、复数的定义与性质复数是由一个实部和一个虚部组成的有序对，通常用 a+bi 的形式表示，其中 a 为实部，b 为虚部，i 为虚数单位。

对于复数 a+bi，我们可以进行加、减、乘、除等运算。

复数的加法和减法通过实部与虚部的相应运算而得出，而复数的乘法和除法则需要用到虚数单位 i 的性质，即定义 i^2=-1，从而化简运算。

此外，复数还具有共轭、模和幅角等概念，它们对于解析几何中的点的表示和复数运算有着重要的指导意义。

二、复数的应用领域复数在物理学和工程学中有着广泛的应用。

首先是交流电的分析，交流电通常可以表示为复数形式，从而简化了计算过程。

利用复数的性质，我们可以方便地求解电路中的电流和电压。

其次是振动系统的分析，复数在描述机械振动中的振幅和相位时十分有用，能够简化振动系统的运动方程，从而方便地求解振动过程。

此外，复数还被用于信号处理、图像处理等领域，在这些领域中，复数为我们处理信号和图像提供了强大的工具。

三、向量的定义与运算向量是一个具有大小和方向的量，常用箭头或加粗的小写字母表示，如 a、b。

向量可以通过多种方式来表示，例如使用分量、坐标或单位向量等。

向量的加法和减法可以通过平行四边形法则进行计算，即将两个向量的起点相连，然后用一条对角线连接它们的终点，该对角线所代表的向量即为所求的结果。

向量的乘法有数量积和向量积两种形式，数量积也叫点积，它是两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值；向量积又叫叉积，它的结果是一个向量，其大小等于两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的正弦值，并且其方向垂直于两个向量所在平面。

复数在中学数学解题中的应用举例
发表时间：2014-09-18T09:35:08.890Z 来源：《中学课程辅导．教学研究》2014年第9期(上)供稿作者：林炎生
[导读] 根据基本公式、复数及其运算的几何意义或者其他已知的定理、公式等作出结论。

林炎生
摘要：复数的应用非常广泛，在开展数学课外活动中，有机地结合教材，适当讲授一些复数在各类问题中的应用是很必要的，不仅有利于沟通中学各部分知识间联系，开拓解题思路，激发学生的学习兴趣和学习积极性，而且往往能使问题化繁为简转难为易。

本文举例说明了复数在中学数学解题中的应用，以期能给学生带来帮助。

关键词：复数；中学数学；解题；应用
一、复数与几何
复数的各种运算均有特定几何意义，如果利用复数的性质去解某些“平几”“解几”题，能使我们兼得直角坐标系及极坐标系方便： 1.复数用向量表示，则复数加法、减法，可按照向量加法、减法平行四边形法则进行，表示线段
中点复数为，，两点间距离d=。

2.复数的三角式的Z(cos)表示把Z所对应的向量OZ按逆时针旋转角，其模不变的向量。

从以上的例子看，用复数证明几何问题的步骤是：
(1)选择适当的坐标系
(2)根据已知条件，假定某些点或者有向线段所表示的复数
(3)根据假设推出与结论有关的点或者有向线段所表示的复数
(4)根据基本公式、复数及其运算的几何意义或者其他已知的定理、公式等作出结论。

运用复数来解决求轨迹问题的一般步骤是：选择适当坐标系；根据已知条件，设已知点或者线段所对应的复数，并且把它们看成常数，如果动点表示复数Z，就把Z看成变数；找出含有Z的等式，从这个等式判定轨迹的形状。

课时：2课时教学目标：1. 理解复数的概念，掌握复数的表示方法。

2. 掌握复数的运算规则，包括加法、减法、乘法、除法。

3. 理解复数的几何意义，能够将复数与复平面上的点对应起来。

4. 培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和数形结合能力。

教学重点：1. 复数的概念及其表示方法。

2. 复数的运算规则。

3. 复数在复平面上的几何意义。

教学难点：1. 复数的运算规则的理解和掌握。

2. 复数在复平面上的几何意义的理解。

教学准备：1. 多媒体课件。

2. 练习题。

教学过程：第一课时一、导入1. 回顾实数的概念和运算规则。

2. 引入复数的概念，提出问题：什么是复数？为什么需要复数？二、新课讲授1. 复数的概念：复数是实数a和虚数bi（其中i^2 = -1）的和，表示为a + bi。

2. 复数的表示方法：用有序实数对(a, b)表示，也可以用a + bi表示。

3. 复数的几何意义：在复平面上，实数轴上的点对应复数的实部，虚数轴上的点对应复数的虚部。

复数a + bi对应复平面上点(a, b)。

三、巩固练习1. 完成以下练习题，巩固复数的概念和表示方法。

- 将以下复数写成有序实数对的形式：1) 3 + 4i2) -2 - 5i- 将以下有序实数对写成复数的形式：1) (2, 3)2) (-1, -4)四、小结1. 总结本节课所学的复数概念和表示方法。

2. 提醒学生注意复数在复平面上的几何意义。

第二课时一、复习1. 复数的概念和表示方法。

2. 复数在复平面上的几何意义。

二、新课讲授1. 复数的运算规则：- 加法：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i- 减法：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i- 乘法：(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- 除法：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c^2 + d^2)2. 复数的模：复数a + bi的模定义为|a + bi| = √(a^2 + b^2)。

高考数学复数知识点总结近年来，高考数学的难度一直不容小觑。

其中，复数知识点作为高考数学中的一项重要内容，经常出现在试卷中。

复数的引入为解决一元二次方程的根的问题提供了新的解决思路，并且在实际应用中也有广泛的运用。

本文将对高考数学中的复数知识点进行总结和归纳，以期帮助同学们加深对复数的理解和掌握。

一、复数的定义和表示方法复数的引入是为了求解无理根而产生的一种数。

它是由实数和虚数构成的，虚数以“i” 表示。

复数一般表示为 a+bi 的形式，其中 a 为实数部分，bi 为虚数部分。

例如，2+3i 就是一个典型的复数。

需要注意的是，虚数部分的“i” 在运算过程中有特殊的运算规则，即“i^2=-1”。

二、共轭复数共轭复数是指复数 a+bi 中，将虚数部分取相反数而得到的复数a-bi。

共轭复数的一个重要性质是：两个复数的乘积的虚数部分等于两个复数的虚数部分相乘的相反数，即 (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2。

这个性质在复数的乘法运算中经常用到，可以简化计算过程。

三、复数的运算复数的运算分为加法、减法、乘法和除法四种基本运算。

加法和减法的运算规则和实数的运算一致，即实部和虚部分别相加或相减。

乘法的运算规则为：将实部进行相乘，并将虚部进行相乘，最后将两部分相加得到结果的实部，将实部与虚部进行相乘，然后将两者相加得到结果的虚部。

例如，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

复数的除法运算比较繁琐，需要通过共轭复数的概念进行变形。

四、复数的指数形式复数可以用指数的形式表示，即 a+bi 可以写成r(cosθ+isinθ) 的形式，其中 r 为复数的模，θ 为复数的辐角。

模表示复数到原点的距离，辐角表示复数与实轴的夹角。

在指数形式下，复数的乘法运算可以转化为模的相乘和辐角的相加，从而简化了计算过程。

指数形式在三角函数和复数的相关运算中有广泛应用。

五、复数的解析几何复数在解析几何中有重要的应用。

中学数学掌握复数在几何中的应用数学中的复数是由实数和虚数部分构成的。

虚数单位i满足i^2 = -1。

在几何中，复数可以用来表示平面上的点或向量。

掌握复数在几何中的应用，可以帮助我们解决一些几何问题，比如求解直角三角形的斜边长度，计算向量的模和方向等。

本文将介绍一些应用复数的几何问题，并解答如何通过复数进行求解。

1. 平面上的点表示在平面直角坐标系中，复数a+bi表示平面上的一个点P(x, y)，其中a为实部，b为虚部，x为横坐标，y为纵坐标。

横坐标x对应实部a，纵坐标y对应虚部b。

通过复数的表示，我们可以在平面上表示和操作点，例如计算两点之间的距离。

2. 向量表示复数也可以表示平面上的向量。

向量的起点是坐标原点，终点是复数的对应点P(x, y)。

例如，复数a+bi可以表示向量OP，其中O是坐标原点，P是复数对应的点。

通过复数的运算，我们可以进行向量的相加、相减、数乘等操作。

3. 向量的模和方向利用复数的绝对值可以求解向量的模。

根据勾股定理，向量OP的模可以表示为：|OP| = √(x^2 + y^2)同时，通过复数的辐角可以求解向量的方向。

辐角θ可以通过如下公式计算：θ = arctan(y/x)4. 复数的运算在几何中，我们经常需要对复数进行运算。

复数的加法、减法、乘法和除法等操作可以帮助我们解决一些几何问题。

- 复数的加法和减法：复数的加法和减法与向量的相加和相减类似。

例如，复数a+bi和复数c+di的和可以表示为(a+c) + (b+d)i，差可以表示为(a-c) + (b-d)i。

- 复数的乘法：复数的乘法可以通过展开运算来进行计算。

例如，复数a+bi和复数c+di的乘积可以表示为(ac - bd) + (ad + bc)i。

- 复数的除法：复数的除法可以通过有理化来进行计算。

例如，复数a+bi除以复数c+di可以表示为[(ac + bd)/(c^2 + d^2)] + [(bc - ad)/(c^2 + d^2)]i。

【标题】复数性质及其在数学上的应用【作者】齐耀秋【关键词】数学复数应用【指导老师】王进【专业】数学与应用数学【正文】１引言复数是中学数学知识的重要交汇点，它的代数、几何、三角等多种表示形式以及特有的性质和运算法则，决定了它与代数、几何、三角的紧密联系。

代数与几何是中学数学的两大重要内容，在代数中复数及其相关性质是重要的学习内容，探讨怎样巧用复数性质解决数学问题十分有意义。

通过对一些具体例子的论证，说明利用复数及其相关性质解决某些数学问题往往能起到避繁就简、化难为易的作用。

本课题从复数在代数中的应用、复数在几何中的应用、复数在三角中的应用三个方面展开讨论。

2复数概念及性质2.1复数概念形如的数叫做复数。

复数的表示形式有：代数形式；三角形式；指数形式。

几何形式：用向量表示复数；用点表示复数。

向量的长度称为复数的模，记为：，即。

向量与轴正半轴间的角即为复数的辐角，即为：。

复数与互为共轭复数。

2.2复数性质设,于是有：；纯虚数或零；。

；；。

；。

；。

棣莫弗公式：。

3复数性质在数学中的应用3.1利用复数性质解决代数问题3.1.1用复数性质求极值例１设，求函数的最小值分析：由于直接利用二次函数或根式的性质都不能求解，配方，联想复数的模可设复数，从而利用复数模性质将本题解决。

设，因为而，所以因此函数的最小值为５。

由此例可见，巧设复数，利用复数的模能使问题得以快速解决。

例２设复数满足：，它们在复平面内分别对应于不同的点A点B，O为坐标原点，若，求使得△AOB有最大面积时的a的值，并求出最大面积．解：由于，所以，首先应结合题目条件，考虑与的关系．首先，，所以，，解这个关于的方程，得：．所以，，因此，所以，等号成立当且仅当，即时取得．此时，△AOB取得最大面积，为。

本课题通过复数的几何表示法及复数模的性质，平均值不等式求解三角面积的最大值显得尤为简单。

3.1.2用复数性质证明不等式例３设a、b、x、y都是实数，求证：分析：按常规无理不等式证明，此题是很难解决的。

大学视角下的中学数学
中学数学，作为一种基础学科，它的重要性可见一斑，大学视角下的中学数学也得到了越来越多的重视。

首先，在数学学习中，中学数学是至关重要的。

数学在不同学历学习当中，都是重中之重。

尤其是大学数学进一步加深了对中学数学所学知识的延伸与加强，同时，扩充了许多理论知识以及运用数学实际解决现实中问题的能力，大学视角下的中学数学能够提供学生建立合理判断和演绎推理能力。

其次，借助中学数学，可以让学生来提高解决问题的能力。

中学数学中的解题步骤，通常是一个思维的“逻辑过程”，从问题的抽象到细致的推理，大学中的数学解题也是类似的，学生可以从中学数学中学习解决若干复杂的矩阵问题，从而推出有效的结论。

最后，中学数学中的实践能力也是十分重要的，当学生能够从学习中实施算法来解决问题，内化解题技巧，并针对问题进行多次思考，从而提高自身的实际解决能力，也会更有助于攻读大学数学。

总之，从大学视角出发，中学数学十分重要，它是大学数学的基础，因此学习中学数学时，一定要认真，深入研究，努力积累，才能开创自身的发展道路，未来的科技发展的基础也将更加扎实。

大学视角下的中学数学(泰勒展开)李尚志例1(2018理科数学全国卷III第21题)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)−2x.(1)若a=0,证明:当−1<x<0时,f(x)<0;当x>0时, f(x)>0.(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a的值.大学视角用泰勒展开式ln(1+x)=x−x22+x33−x44+···得f(x)=(2+x+ax2)(x−x22+x33−x44+···)−2x=(a+16)x3+(−a2−16)x4+ (1)如果三次项系数a+16=0,在0附近足够小的区间(−d,d)内,三次以上各项和绝对值比三次项小,f(x)的正负号与三次项(a+16)x3相同,f(x)与f(−x)异号,总有一个大于0,f(0)=0不是极大值.要使f(0)极大,必须三次项系数a+16=0,a=−16.此时f(x)=−112x4+···的最低次非零项是四次项−112x4.在0附近足够小的区间内,f(x)的正负号与四次项−112x4相同,当x=0时都小于0,f(0)确实是极大值.一般地,设f(x)=f(c)+a m(x−c)m+a m+1(x−c)m+1+···是无穷级数且a m=0是常数项之外最低次非零项的系数.则当x→c时f(x)−f(c)=(x−c)m[a m+a m+1(x−c)+···]方括号内的λ(x)=a m+a m+1(x−c)+···→a m,在c附近足够小的区间(c−d,c+d)内,|x−c|足够小,λ(x)足够接近a m,正负号与a m相同. f(x)−f(c)与m次项a m(x−c)m正负号相同.当m 是奇数,x −c <0与x −c >0时f (x )−f (c )的正负号相反,一正一负,f (c )既不是极大值也不是极小值.当m 是偶数,只要x −c =0都有(x −c )m >0.当a m <0时都有f (x )−f (c )<0,f (c )是极大值.当a m >0时都有f (x )−f (c )>0,f (c )是极小值.中学生只要背熟了泰勒展开式ln(1+x )=x −x 22+x 33−···+(−1)n −1x n n+···.就不难在草稿上完成以上解答,知道此题的正确答案.他不能将这个解答写在高考试卷上,但既然知道了f (x )展开式中的三次以下的项都等于0,就知道f (x )在x =0的一阶与二阶导数f ′(0)=f ′′(0)=0都等于0.也知道应该根据三阶导数f (3)(0)=0得到a =−16,并且根据0附近的三阶导数f (3)(x )<0来论证f (0)确实是极大值.他已经胸有成竹,只需按照既定路线一步一步算导数达到预定目标.别的考生也在一步一步算导数,却茫然不知前面的道路会遇到什么障碍,算出一阶和二阶导数都等于0就可能不知所措了.中学解法首先,f (x )=0.(1)a =0,h (x )=f ′(x )=ln(1+x )+2+x 1+x −2=ln(1+x )+11+x −1.h (0)=0,h ′(x )=11+x −1(1+x )2=x (1+x )2.当x >0,h ′(t )>0对区间(0,x ]内所有t 成立.h (t )在区间[0,x ]由h (0)=0递增到h (x )=f ′(x )>0.区间(0,x )内所有f ′(t )>0.f (t )在区间[0,x ]内由f (0)递增到f (x )>0.这证明了f (x )>0对所有x >0成立.当−1<x <0,h ′(t )<0对区间[−1,0)内所有t 成立.h (t )由h (x )单调递减到h (0)=0,可知h (x )=f ′(x )>0.这说明f ′(t )>0对区间[−1,0)内所有t 成立,f (t )在区间内单调递增到f (0)=0,可知f (x )<0对所有−1≤x <0成立.(2)f (x )在定义域(−1,+∞)有任意阶导数.f (0)是极大值,就是说0附近某区间(−d,d )内其它值f (x )<f (0)(x =0).当x<0到0,f(x)由<f(0)到f(0)递增,f′(x)>0,令x→0得f′(0)≥0.x=0到x>0,f(0)到f(x)<f(0)递减,f′(x)<0,令x→0得f′(0)≤0.迫使f′(0)=0,这是f(0)是极大值的必要条件. f′(x)由正递减到0再递减到负,f′′(x)都是负.如下表:x−↗0↗+f(x)<f(0)↗f(0)↘<f(0)f′(x)+↘0↘−f′′(x)−f′′(0)−f′(0)=0,且f′′(x)<0对0附近某区间内x=0都成立,这是f(0)为极大值的充分必要条件.计算得f′(x)=(1+2ax)ln(1+x)+2+x+ax21+x−2=(1+2ax)ln(1+x)+ax2−x1+x.f′(0)=0.f′′(x)=2a ln(1+x)+1+2ax1+x+2ax−11+x−ax2−x(1+x)2=2a ln(1+x)+(4a+1)x+ax2(1+x)2.f′′(0)=0.f(0)是极大值⇔在x=0左右附近有g(x)=f′′(x)<0=g(0),这又要求g(0)是极大值,必须g′(0)=0.g′(x)=2a1+x+4a+1+2ax(1+x)2−2(4a+1)x+2ax2(1+x)3.⇒g′(0)=2a1+4a+11+1=6a+1=0⇒a=−16.g′(x)=−13(1+x)2+13(1−x)(1+x)−23x+13x2(1+x)3=−x(4−x)(1+x)3=−xλ(x),λ(x)=4−x(1+x)3.区间(−1,4)内λ(x)>0,g′(x)=−xλ(x)的正负号与x相反,在区间(−1,0)内g′(x)>0,区间(0,4)内g′(x)<0.g(x)在区间(−1,4)递增到g(0)=0再递减,当x=0都有f′′(x)=g(x)<0,这与f′(x)=0一起保证了f(0)在(−1,4)内是最大值,也是极大值.第(2)小题解法2当x→0,2+x+ax2→2>0.0附近足够小区间(−d,d)内,2+x+ax2足够接近2,也有2+x+a2>0.f(x)在区间(−d,d)内的正负号与q(x)=f(x)2+x+ax2=ln(1+x)−2x2+x+ax2相同.f(0)是极大值⇔q(0)是极大值⇔0附近某区间(−h,0)内q′(x)=11+x−2(2+x+ax2)−2x(1+2ax)(2+x+ax2)2=11+x−4−2ax2(2+x+ax2)2=(2+x+ax2)2−(1+x)(4−2ax2)(2+x+ax2)2=(6a+1)x2+4ax3+a2x4(2+x+ax2)2>0且在(0,h)内q′(x)<0.⇒6a+1=0,a=−1 6 .此时q′(x)=−23x3+136x4(2+x−16x2)2符合要求,h(0)与f(0)都是极大值.答案:a=−1 6 .点评解法2的优点是:先用除法将与ln(1+x)相乘的2+x+ax2剥离,只求一阶导数就把对数函数消去,化成分式.容易判定q′(x)在x=0附近取值的正负号,不需要高阶导数,也不需要再求极限.例2(2012全国理科数学卷)已知函数f(x)=a ln xx+1+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y−3=0.(I)求a,b的值.(II)当x>0且x=1时f(x)>ln xx−1+kx.求k的取值范围.解(I)过点(1,f(1))的切线方程x+2y−3=0即y=−12x+32.就是要求f(1)=−12+32=1,f′(1)=−12.对函数f(x)计算得f(1)=b=1,f′(1)=a2−b=−12⇒a=1.(II)题目要求当x>0且x=1时f(x)=ln xx+1+1x>g(x)=ln xx−1+kxd(x)=f(x)−g(x)=−2ln xx2−1+1−kx>0令h(x)=(x2−1)d(x)=−2ln x+(1−k)(x−1x).则h(1)=0.h′(x)=−2x+(1−k)(1+1x2)=(1−1x)2−k(1+1x2).h′(1)=−2k.当x>0,x=1,由x+1>0,d(x)>0得h(x)−h(1)x−1=h(x)x−1=(x+1)d(x)>0.当x→1时上式左边的极限为h′(1)=−2k≥0,必须k≤0.设k≤0,则h′(x)=(1−1x)2−k(1+1x2)≥0.当x=1,h′(x)>0.当x>1,h(1)=0单调递增到h(x)>0,d(x)=h(x)x2−1>0.当0<x<1,h(x)<0单调递增到h(1)=0,d(x)=h(x)x2−1>0.k的取值范围为(−∞,0].点评本题解法与例1解法2如出一辙:d(x)乘x2−1将−2ln x x2−1的分母剥离,一次求导就消掉了对数函数,容易讨论函数的正负.本题函数d(x)在x=1无意义,无法由d(1)的值和区间(0,+∞)上的导数d′(x)判定区间各点的d(x)值.乘x2−1之后得到的h(x)在所有各点(包括x=1)都有函数值和导数值.而且导数h′(x)不含对数函数.将h(x)在各点的值判断清楚了,d(x)在x=1的各点的值也都清楚了.借题发挥泰勒运筹,求导实施1.举一反二.具备了基础知识的考生都知道f(0)是极大值的一个必要条件是f′(0)=0.常规考试题一般都有f′′(0)<0来保证0附近左右两边的f′′(x)<0,f′(x)左正右负,从而保证f(0)是极大值.本题却故意让f′′(0)=0来增大难度,把只会用现成方法的考生刷下去,帮助能够灵活运用现成方法的考生脱颖而出.所谓“灵活运用现成方法”,当然不是让你用泰勒展开,也不是让你用洛必达法则,因为泰勒展开和洛必达法则都不是现成方法,而是新的知识和方法.我不能猜测出题人希望你用哪一种现成方法.我能想到的是:当f′′(0)=0,如果二阶导数g(x)=f′′(x)在x=0左右两边的取值g(x)<0都为负, g(0)又是极大值.将f(0)取极值的条件f′(0)=0用到g(x)身上得到g′(0)=0,当g′′(0)<0就得到g(0)=0是极大值,从而f(0)也是极大值.这是将现成方法用两次,可以叫做举一反二,还不是举一反三.2.利用导数算极限.可惜很多考生不会举一反三,也不会举一反二,能够依样画葫举一反一就不错了.他们分析出f(0)是极大值的条件应该是0左右两边的二阶导数f′′(x)都为负,与x之比µ(x)=f′′(x)x左正右负,当x→0时的极限µ(x)→µ=0.这个想法不错.问题在于怎么求极限µ?假如认识到当x→0µ(x)=f′′(x)x=f′′(x)−f′′(0)x−0→µ=f′′′(0)的极限就是函数f′′(x)在x=0的导数f′′′(0),就不必费尽心机去求极限,只要套公式求f′′(x)的导数就行了.假如你不懂三阶导数,或者怕使用了三阶导数被判为超纲而扣分.那很好办:将二阶导数f′′(x)改个名字记为g(x),忘掉它是二阶导数,再求导数就变成一阶导数g′(0),而没有三阶导数了.甚至如果你对二阶导数都感到害怕,可以将一阶导数f′(x)记为h(x),二阶导数f′′(x)=h′(x)就变成一阶导数了.不需要学习新知识,没有新困难.唯一的困难是心理障碍.就好比你学了数手指得出3+2=5,只记住答案5,遇到考题4+5还只靠背得的答案写4+5=5,而不会举一反二用与3+2同样的方法数手指得出4+5=9.又如,书上写了零向量平行于任何向量,没有写垂直于任何向量,你就认为零向量不垂直于任何向量.还把这个“心得”写成文章到处传播,或者在你主持的“培训班”宣讲.如果高考问零向量是否垂直于向量−→OA ,你就告状说考题超纲了,(就好比学了3+2却考4+5你就告状说超纲).而不知道作−−→OB ⊥−→OA ,通过书上讲过的知识0//−−→OB 得出0⊥−→OA .直接用书上的现成公式做考题,这叫应试教育.考题是书上没有的,但可以用书上的现成公式稍加变通举一反三或者举一反二做出来,这叫做素质教育,考的是核心素养.只要书上讲过求一阶导数,考任何阶的导数都不是超纲,因为你可以把它变成一次又一次求一阶导数做出来.3.洛必达隐身避超纲很多考生看不出当x →0时µ(x )=f ′′(x )x =2a ln(1+x )x +(4a +1)+ax (1+x )2→µ=0(2)的极限µ是导数,非得要硬算这个极限.就发现µ(x )后一部分的分式的极限可以将x =0代入,直接算出4a +1+0(1+0)2=4a +1.前一部分的ln(1+x )x 不能直接算出.很多中学老师教学生的方法就是用洛比达法则,分子分母求导来得出求这个极限:分子分母同时求导得到11+x ,再将x =0代入得到极限1.有些地区的评卷考官就来限制这种做法,说是中学教材没有讲,超纲了,不准用,用了就要扣分.中学老师愤愤不平:超纲是因为我们的老师和学生特别优秀,提前学了大学知识.应该鼓励而不应该打击.其实我很赞成中学老师这种观点:中学生提前学了大学知识,只要用得正确,就应该鼓励而不应该打击.问题在于:第一,你用得正确吗?第二,既然人家见了“洛必达”三个字就要扣分,你难道就没有办法回避这三个字,换汤不换药,用中学教材上讲过的方法将极限求出来?如果你真是“超纲”学会了大学微积分,这两个问题都迎刃而解.第一,大学怎样求这个极限?不是用洛必达法则,而是lim x→0ln(1+x)x=limx→0ln(1+x)1x=ln e=1用的是微分学两个基本极限之一:limx→0(1+x)1x=e.(3)大学为什么要算ln(1+x)x的极限?不是为了高考,而是为了推出求对数函数导数(ln x)′的公式:(ln x)′=limt→0ln(x+t)−ln xt=limt→0ln(1+tx)t=1xlimt→0ln(1+tx)tx让x>0固定不变,t→0,则λ=tx→0,上式最后的极限就变成ln(1+tx )t x =ln(1+λ)λ→1⇒(ln x)′=1x可见,极限limx→0ln(1+x)x=1是推出导数公式(ln x)′=1x的中间步骤.利用基本极限(3)得出这个极限,再用它得出导数公式.其实它本身就是对数函数f(x)=ln x在x=1的导数f′(1)的原始定义:lim x→0ln(1+x)x=limx→0ln(1+x)−ln1(1+x)−1=f′(1)以上的运算过程是利用ln x在x=1的导数1得出在x的导数1 x .洛必达法则是用导数公式求极限.但是导数公式本身也是极限,谁来求这个极限呢?用更基本的极限来这个极限,推出导数公式.以上就是用关于e的基本极限(3)来推出对数的导数公式.如果再用洛必达法则来求,就是循环论证.洛必达法则可以求别的极限,却不能求推出自己这个导数公式那个极限.就好比父母生了儿子,儿子可以生孙子,但是儿子不能生父母.如果中学生真是超纲达到了大学水平,就知道这个极限ln(1+x)x→1不应该用洛必达法则计算,而应该用基本极限计算.所以,按照大学的标准,这不是超纲,而是循环论证,是儿子生父母.高考考生不是大学生,不能按大学标准要求,而应该按中学要求.中学生应该怎样来求这个极限呢?中学教材没有讲e的基本极限,更没有讲洛必达法则,但是讲了导数公式,也讲了导数定义.就应该用导数定义和导数公式来求.高考中是否准许用洛必达法则,争吵了很多年,纠结的几乎都是这“两个”极限lim x →0ln(1+x )x=f ′(1)=lim x →1ln x x −1,f (x )=ln x 即使不按大学标准来讨论循环论证的问题,就按中学标准,只要你懂了什么叫导数,就应该看出这“两个极限”其实是同一回事,都是ln x 在x =1的导数的原始定义.将x =1代入导数公式(ln x )′=1x 立即得到.你偏偏就看不出来.非得把一知半解的三个字“洛必达”抬出来作为“圣旨”.人家不准你用这条圣旨,要扣你的分,你还自以为是烈士虽扣犹荣.改卷人居然还给你颁发了个荣誉证书叫做“超纲”.假如我来评卷,照样扣你的分,但不会颁发荣誉证书,而是颁发一条罪状“不懂导数定义,没有达到中学教学要求”.当然,中学教材确实没有强调导数定义,其实也不怪中学生.但是高考考了很多次,你怎么对付?不要用有“洛必达”三个字的圣旨,换一条“导数定义”就行了.其实,凡是可以用洛必达法则求极限的,通通都可以用导数定义来代替,洛必达三个字可以一律不用.例如,当x →0时f (x )→0,f (x )除以x 的商的极限lim x →0f (x )x =lim x →0f (x )−f (0)x −0=f ′(0)一般地,当x →c 两个函数f (x ),g (x )都趋于0,它们的比的极限lim x →c f (x )g (x )=lim x →c f (x )−f (c )x −c g (x )−g (c )x −c =f ′(c )g ′(c ),这就是用导数定义推出洛必达法则.为了避免超纲扣分,你不说它是洛必达法则,自己用导数定义重新推出来,不用洛必达之名,只用中学允许的知识,仍然将极限化成了导数.例如,当x →1时求极限ln x sin πx =ln x −ln 1x −1sin πx −sin π1x −1→(ln x )′(sin πx )′ x =1=1x πcos πx x =1=−1π虽然这样的题目难度超纲,但如果真的遇到了,以上解法只用了导数定义和导数公式,没有出现洛必达三个字,并没有超纲.4.无名英雄中学生不难了解和应用泰勒展开,借助它想出解法,算出答案.虽不能将它写进答卷,但可以让它作无名英雄,用求导来实施它的计划.I.什么是泰勒展开:如果函数f(x)在某点c附近可以展开成x−c的无穷级数f(x)=a0+a1(x−c)+···+a k(x−c)k+···(4′)就称为f(x)在c的泰勒展开.只要有了展开式(4’),取x=c得f(c)=a0.求导再取x=c得导数f′(c)=a1.求导k次再取x=c得k阶导数f(k)(c)=(k!)a k.反过来,算出函数值f(c)和各阶导数值f(k)(c),就得到展开式各项系数a0=f(c),a k=f(k)(c)k!.代入(4’)得到泰勒展开式.f(x)=f(c)+f′(c)(x−c)+···+f(n)(c)n!(x−c)n+ (4)例如,e x的导数(e x)′=e x等于自身,任意阶导数(e x)(k)=e x等于自身.在x=0的值和所有各阶导数都是1,代入(4’)就得到展开式e x=1+x+x22!+···+x nn!+ (5)要使泰勒展开式(4)右边的无穷级数真正等于左边的函数,还须将x的取值限制在一定范围内,才能够保证无穷级数的极限存在.例如,对数函数ln(1+x)的展开式要求−1<x≤1.指数函数e x的展开式则允许x取任意实数.不过,我们向中学生介绍的如下两项应用却不需要很大范围,只要求存在一个足够小的范围(−d,d)就行了.不但不需要担心极限是否存在,高次项都可以忽略掉,用起来很方便.II.两项用途(1)判定f(c)是否极值在c附近足够小范围内,f(x)−f(c)=a1(x−c)+···=a m(x−c)m+a m+1(x−c)m+1+···的正负号与最低次非零项a m(x−c)m=011的正负号相同,高次项忽略不计.当m为奇数,f(c)不是极值.当m 是偶数,a m<0时f(c)是极大值,a m>0时f(c)是极小值.例3(2019北京市海淀区高三一摸)已知函数f(x)=x ln(x+1)−ax2.当a<0时,求证:函数f(x)存在极小值.分析将ln(1+x)的展开式代入得f(x)=x(x−x22+···)−ax2=(1−a)x2−x32+···.当a<0时1−a>0,f(x)与(1−a)x2同号,x=0附近f(x)>0=f(0),f(0)是极小值.容易看出进一步的结论:当a<1时f(0)是极小值,a>1是极大值,a=1时f(0)不是极值.中学生不能在答卷上作泰勒展开.在草稿上用泰勒展开知道了f(0)是极小值.在答卷上就可以计算f′(0)=0,f′′(0)=1+1−2a>0来说明f(0)是极小值.以上例1,例3都是给定了c判定f(c)是否极值.如果不知道c要求极值点,需要先解方程f′(x)=0求出c满足必要条件f′(c)=0,再判定是否满足充分条件.例4(2017理科数学全国卷III第21题)函数f(x)=x−1−a ln x．(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)m为整数,且对于任意正整数n,(1+12)(1+122) (1)12n)<m.求m的最小值．分析(1)看出f(1)=0,可根据f(1)=0是最小值求a.用泰勒展开摸脉:令x=1+t得ln x=ln(1+t)=t−t22+···,f(x)=(1+t)−1−a[t−t22+···]=(1−a)t+at22−···要保证x=1附近始终f(x)≥0,必须1−a=0,a=1,此时f(x)=t22−···=(x−1)22−···f(1)=0是极小值,在x=1附近f(x)≥0.但ln(1+t)仅在12−1<t≤1范围内可以泰勒展开,无法判定t>1时的变化情况.还需通过ln x的导数判定它在定义域(0,+∞)内的变化情况.解法如下:解由f(1)=0知f(x)≥0当且仅当f′(x)=1−ax≥0(当x≥1),f′(x)≤0(当0<x≤1)⇔a=1(2)出题人提示你利用第(1)小题得到的不等式x−1−ln x≥0即ln x≤x−1即ln(1+t)≤t来解第(2)题.解P n=(1+12)(1+122)···(1+12n).则ln P n=ln(1+12)+ln(1+122)+···+ln(1+12n)<12+122+···+12n=1−12n+1<1P n<e=2.71828···<3.P3=32·54·98=13564>2.最小值m=3.不过,这个提示转弯太多,在考场上恐怕难于从x−1−ln x≥0联想到ln(1+t)≤t再联想到将第(2)小题的乘积P n两边取对数.如果你熟悉前面给出的指数函数泰勒展开式(5):e x=1+x+x22!+···+x nn!+···马上就看出当x>0时e x>1+x.更容易联想到P n<e12e122···e12n=e12+122+···+12n<e1=e<3.至于为什么e x>1+x,别说泰勒展开教的.一切归功于导数:由f(x)=e x−(1+x)的导数f′(x)=e x−1的正负证明f(0)=0是最小值,e x>1+x就对所有x=0成立.(2)求极限:当x→c时,求λ(x)=f(x)g(x)→λ的极限λ.如果g(c)=0,直接将x=c代入得极限λ=f(c) g(c).设g(c)=0,将f(x),g(x)在c泰勒展开,得f(x) g(x)=a0+a1(x−c)+···b0+b1(x−c)+···=a m(x−c)m+···b k(x−c)k+···=a k+···b k+···→a kb k13其中a m=0,b k=0分别是分子分母的最低次非零项系数,更低次项系数a i=0=b j(∀0≤i<m,0≤j<k)全为0.如果m≥k,(x−c)k是分子分母的公因子,同时约掉,再将x=c代入,得极限λ=a kb k如上.当k=1,λ=a1b1=f′(c)g′(c)就是洛必达法则.当k>1,洛必达法则需要不断求导,有可能计算繁琐.泰勒展开一次到位,干净利落.如果m<k,分子分母约掉公因子(x−c)m,再令x→c得f(x) g(x)=a m(x−c)m+···b k(x−c)k+···=a m+···b k(x−c)k−m+···→a m→∞此时极限λ不存在.中学生先掌握求极值和求极限这两个用途,是因为这两条只须关注函数在某点c附近的状况,可以忽略高次项,将函数直接化成单项式a m(x−c)m来处理,特别快捷.III.记住泰勒展开式先背熟本文前面反复用到的ln(1+x)=x−x22+x33−x44+x55− (6)如果展开式(6)背起来有困难,将它左右两边求导,得到等式11+x=1−x+x2−x3+x4− (7)先背ln(1+x)的导数11+x的展开式.再找展开式求导之后等于(7).怎么背(7)?它的右边就是等比数列和1+(−x)+(−x)2+···+(−x)n−1=1−(−x)n1−(−x)=1−(−x)n1+x当n→∞的极限.当|x|<1时,(−x)n→0,得到的就是(7).现在你应该明白为什么ln(1+x)的展开式(6)的k次项x kk的分母为什么也是k.这才能够让x k求导之后下来的k被分母的k约掉.至于正负号,只要从第一项x开始正负交替就行了.ln(1+x)的展14开式对不对?只要看它求导之后是否11+x 的展开式(7).就好比多项式f (x )因式分解正确的标准就是因式相乘等于f (x ).展开式(7)可以用来检验ln(1+x )的展开式是否正确.还可以对(7)求导(再乘−1)得到新的展开式1(1+x )2=1−2x +3x 2−...+(−1)n −1nx n −1+ (8)(7),(8)是幂函数(1+x )−1,(1+x )−2展开式.任意幂函数展开为(1+x )m =1+mx +···+m (m −1)···(m −k +1)k !x k +···(9)这就是中学数学熟悉的牛顿二项式定理,不需要再花时间背.只有一个新知识:牛顿二项式定理的指数m 不限于正整数,可以是任意实数.取m =−1,−2得到(7),(8).还可以取m =12,1n得到根式的展开式√1+x =(1+x )12=1+12x +12(12−1)2!x 2+12(12−1)(12−2)3!x 3+···=1+12x −18x 2+116x 3−···n √1+x =(1+x )1n =1+1n x −n −12n 2x 2+···例5.求x →0时f (x )=√1+ln(1+x 2)−1√1+x 3−3√1+x2的极限.解.f (x )=[1+12(x 2−···)]−1(1+12x 3+···)−(1+13x 2+···)=12x 2+···−13x 2+···→−32例6.求sin x,cos x 在x =0的泰勒展开式.解.记f (x )=sin x ,则f ′(x )=cos x .f ′′(x )=−sin x .f (2k )(x )=(−1)k sin x .f (2k +1)(x )=(−1)k cos x .f (2k )(0)=0,f (2k +1)(0)=(−1)k .代入f (x )=f (0)+f ′(0)x +···+f (n )(0)n !x n +···得sin x =x −x 33!+···+(−1)k x 2k +1(2k +1)!+···(10)求导得cos x =1−x 22!+···+(−1)k x 2k(2k )!+ (11)15在e x 的泰勒展开式中将x 换成ix ,得到e ix =1+ix +(ix )22!+(ix )33!+···+(ix )n n !+···=(1−x 22!+···)+i (x −x 33!+···)=cos x +i sin x (cos x +i sin x )n =(e ix )n =e inx =cos nx +i sin nxsin x,cos x 的展开式不用背.在e ix 的展开式中取实部得cos x ,取虚部得sin x .IV.计算e 和π我们会算加减乘除,却很难计算其它函数值,如指数,对数,三角函数等.用泰勒展开将它们展开成幂级数,变成加减乘除,都能算出来了.自然对数的底e 由基本极限e =lim x →0(1+x )1x=lim n →∞(1+1n )n 定义,却很难由基本极限算出来.比如取n =10000将1万个1.0001相乘,费了很多功夫,得到近似值 2.71815与准确值2.71828···相比,只有前四位数字正确.不过可以用牛顿二项式定理来算(1+1n )n =1+n ·1n +n (n −1)2!(1n )2+···+n (n −1)···(n −k +1)k !(1n )k+···=1+1+12!(1−1n )+···+1k !(1−1n )···(1−k −1n)+···令n →∞取极限得到e =1+1+12!+...+1k !+ (12)也可以直接在e x 的泰勒展开式(5)中取x =1得到(12).这是计算e 近似值最快捷的公式.你不妨自己试一试.不要分别算出各个阶乘k !的倒数再相加.而应该采用迭代的方法依次算出各个1k !:先16将1除以2得12!=0.5,再除以3得13!=0.166666···,再依次除以4,5,6,7,8得到14!,15!,16!,17!,18!.发现18!=0.0000248再除以9已经小于10−5.不再继续,相加得到的1+1+12!+···+18!≈2.71828的前6位数字都是正确的.比计算e更引起兴趣的是计算π.我从小学学了加减乘除形成的理念就是什么都可以自己算。