线段最短距离和最长距离

线外一点到直线的最短距离全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在几何学中，我们经常会遇到这样一个问题：给定一个点和一条直线，求点到直线的最短距离。

这个问题在很多实际应用中都是非常常见的，比如在工程设计中需要确定某个点到直线的距离，或者在航海中需要确定飞行器到航线的距离。

要计算点到直线的最短距离，我们首先需要了解直线的方程以及点到直线的垂直距离的定义。

一条直线可以用方程Ax+By+C=0来表示，其中A、B、C是常数。

假设我们有一个点(x_0,y_0)，我们想计算这个点到直线Ax+By+C=0的最短距离。

为了计算这个最短距离，我们可以利用点到直线的垂直距离公式。

点(x_0,y_0)到直线Ax+By+C=0的垂直距离可以表示为：d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}这个公式的推导过程可以通过向量的方法来进行，但是为了简化，我们这里不展开具体的推导细节。

这个公式给出了点到直线的最短距离，我们可以通过这个公式来解决这个问题。

举例来说，假设我们有点(2,3)和直线2x+3y-6=0，我们想计算点(2,3)到直线2x+3y-6=0的最短距离。

根据上面的公式，我们可以将点的坐标和直线的系数代入公式中计算出最短距离d。

d = \frac{|2*2+3*3-6|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{13}}通过上面的计算，我们可以得出点(2,3)到直线2x+3y-6=0的最短距离为\frac{1}{\sqrt{13}}。

这个计算过程可以很方便地通过计算机程序实现，从而解决大量点到直线距离计算的需求。

除了点到直线的最短距离，我们还可以考虑更一般的问题：线外一点到直线的最短距离。

这个问题稍微复杂一些，但是我们同样可以通过基本的几何知识和计算方法来解决。

我们可以通过直线的方程Ax+By+C=0计算直线的斜率k=-\frac{A}{B}。

然后，我们可以得到直线的法线方程y=kx+\frac{C}{B}，这个方程表示直线的法线的斜率为-\frac{1}{k}且经过点(x_0,y_0)。

两点之间线段最短的题设和结论在数学中，线段是一个有限长度的直线，由两个端点所确定。

线段是几何学中的基本概念，常常用于计算两点之间的距离。

当我们要计算两点之间的最短距离时，我们需要用到线段的概念。

本文将探讨如何计算两点之间线段的最短距离。

题设假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们要计算它们之间的最短距离。

结论两点之间线段最短的距离可以通过勾股定理来计算。

勾股定理是指：直角三角形中，直角边上的两个边长的平方和等于斜边上的边长的平方。

根据勾股定理，我们可以得出两点之间线段最短距离的公式： AB=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)其中，sqrt表示开平方，^表示乘方。

下面我们来详细解释一下这个公式。

首先，我们需要知道两个点之间的横坐标和纵坐标的差值分别是多少。

我们可以通过两个点的坐标来计算它们之间的距离。

假设点A 的坐标是(x1,y1)，点B的坐标是(x2,y2)，则它们的横坐标差值是(x2-x1)，纵坐标差值是(y2-y1)。

然后，我们需要将这两个差值的平方相加。

这是因为勾股定理中的平方和是指两个数的平方相加。

所以我们需要计算出(x2-x1)^2+(y2-y1)^2。

最后，我们需要将这个结果开平方。

这是因为勾股定理中的斜边是指两个直角边的平方和的平方根。

所以我们需要将(x2-x1)^2+(y2-y1)^2开平方，就可以得到两点之间的最短距离了。

例如，假设点A的坐标是(1,2)，点B的坐标是(4,5)，我们可以使用公式AB=sqrt((4-1)^2+(5-2)^2)来计算它们之间的最短距离。

我们可以将公式化简为AB=sqrt(9+9)，然后再将结果开平方，得到AB=3*sqrt(2)。

结论的应用两点之间线段最短距离的公式在数学中有着广泛的应用。

它可以用于计算两个点之间的距离，例如在地图上计算两个城市之间的距离。

它也可以用于计算物体的速度，例如计算一辆汽车从一个地方到另一个地方的速度。

八年级数学中的最短路径问题，通常涉及到几何图形中的点、线、面等元素，需要利用一些基本的几何知识和数学原理来求解。

以下是一些常见的最短路径题型及其解题方法：1.两点之间的最短距离：题型描述：在平面上给定两点A和B，求A到B的最短距离。

解题方法：直接连接A和B，线段AB的长度即为最短距离。

2.点到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一条直线l，求P到l的最短距离。

解题方法：作点P到直线l的垂线，垂足为Q，则PQ的长度即为最短距离。

3.直线到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定两条直线l1和l2，求l1到l2的最短距离。

解题方法：如果l1和l2平行，则它们之间的距离即为最短距离；如果l1和l2不平行，则作l1到l2的垂线，垂足所在的线段即为最短4.点到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一个圆O，求P到圆O的最短距离。

解题方法：如果点P在圆O内，则最短距离为P到圆心的距离减去圆的半径；如果点P在圆O外，则最短距离为P到圆心的距离；如果点P在圆O上，则最短距离为0。

5.圆到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定两个圆O1和O2，求O1到O2的最短距离。

解题方法：如果两圆外离，则它们之间的最短距离为两圆的半径之和；如果两圆外切，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差；如果两圆相交或内切，则它们之间的最短距离为0；如果两圆内含，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差减去两圆半径之和的绝对值。

6.多边形内的最短路径：题型描述：在一个多边形内给定两个点A和B，求A到B的最短解题方法：通常需要将多边形划分为多个三角形，然后利用三角形内的最短路径（即连接两点的线段）来求解。

7.立体几何中的最短路径：题型描述：在立体图形中给定两点A和B，求A到B的最短路径。

解题方法：通常需要将立体图形展开为平面图形，然后利用平面几何中的最短路径原理来求解。

在解决最短路径问题时，需要注意以下几点：准确理解题目要求，确定需要求的是哪两点之间的最短距离。

初一数学《比较线段的长短》知识点精讲知识点总结1、线段的性质：两点之间，线段最短。

2、两点之间的距离：两点之间线段的长度叫做两点之间的距离。

3、比较线段长短的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法4、线段的中点：在线段上，到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点。

5、尺规作图：用没有刻度的直尺和圆规作图6、用尺规作线段：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一条线段等于已知线段的二倍；（3）作一条线段等于已知线段的和或差。

其方法是相同的，都是先画一条射线，然后用圆规在射线上截取即可，注意保留作图痕迹，画完图形后写出总结“某某线段即为所求作的线段”。

尺规作图的定义：仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图．要点诠释：（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．2.线段的中点：如下图，若点B在线段AC上，且把线段AC分成相等的两条线段AB与BC，这时点B叫做线段AC的中点．3. 用尺规作线段或比较线段（1）作一条线段等于已知线段：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．要点诠释：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.（2）线段的比较：叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：要点诠释：线段的比较方法除了叠合比较法外，还可以用度量比较法．如图所示，在一条笔直公路a的两侧，分别有A、B两个村庄，现要在公路a上建一个汽车站C，使汽车站到A、B两村的距离之和最小，问汽车站C的位置应如何确定?【答案与解析】解：如图，连接AB与直线a交于点C，这个点C的位置就是符合条件的汽车站的位置．【总结升华】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质联系起来，这里线段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，线段是图形，线段长度是数值．举一反三：【变式】(1)如图1所示，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化?(2)如图2，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?与修一座直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?说出上述问题中的道理．【答案】解：(1)河道的长度变小了．(2)由于“两点之间，线段最短”，这样做增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏湖面风光，起到“休闲”的作用．思维导图教学设计一、教材分析：1、教材的地位和作用本节课是教材第五章《平面图形及其位置关系》的第二节，是平面图形的重要的基础知识。

一．解答题（共18小题）1．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢试用所学数学知识来说明这个问题．情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：你赞同以上哪种做法你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么考点：线段的性质：两点之间线段最短。

专题：作图题；方案型。

分析：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间线段最短；连接AB，使AB两点同在一条直线上，与河流的交点既是最佳位置．解答：解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短；情景二：（需画出图形，并标明P点位置）理由：两点之间的所有连线中，线段最短．赞同情景二中运用知识的做法．点评：此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．2．如图所示，设l=AB+AD+CD，m=BE+CE，n=BC．试比较m，n，l的大小，并说明理由．考点：线段的性质：两点之间线段最短。

分析：此题为数学知识的应用，由图中B到C三条路径，用两点间线段最短定理来解题．解答：解：由题B到C距离，根据两点之间线段最短有：AB+AD+CD＞BE+EC＞BC，即1＞m＞n．点评：此题考查两点之间线段最短．3．如图所示，A，B是两个村庄，若要在河边L上修建一个水泵站往两村输水，问水泵站应修在河边的什么位置，才能使铺设的管道最短，并说明理由．考点：线段的性质：两点之间线段最短。

专题：应用题。

分析：根据两点之间，线段最短，要使铺设的管道最短，关键是所铺设的管道在一条直线上即可．解答：解：如下图，过点A，B作线段AB，与直线L的交点P为所求水泵站的点，因为两点之间，线段最短．点评：本题考查两点之间线段最短的应用．4．如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说明理由．考点：线段的性质：两点之间线段最短。

线段的长短比较-重难点题型【例1】（2021•鼓楼区校级模拟）如图，C是线段AB的中点，D是CB上一点，下列说法中错误的是（）A．CD＝AC﹣BD B．CD=12BC C．CD=12AB﹣BD D．CD＝AD﹣BC【变式1-1】（2021秋•荔湾区期末）延长线段AB到C，使BC=12AB，反向延长AC到D，使AD=12AC，若AB＝8cm，则CD＝cm．【变式1-2】（2021春•长兴县月考）如图，在线段AB上有C、D两点，CD长度为1cm，AB长为整数，则以A，B，C，D为端点的所有线段长度和不可能为（）A．16cm B．21cm C．22cm D．31cm【变式1-3】（2021秋•天津期末）如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM＝6cm．求CM和AD的长．【题型2 线段中点的有关计算】【例2】（2021春•松北区期末）如图，点G是AB的中点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，则下列式子不成立的是（）A．MN＝GB B．CN=12(AG−GC)C．GN=12(BG+GC)D．MN=12(AC+GC)【变式2-1】（2021秋•邵阳县期末）如图，点C 、D 是线段AB 上任意两点，点M 是AC 的中点，点N 是DB 的中点，若AB ＝a ，MN ＝b ，则线段CD 的长是（ ）A ．2b ﹣aB ．2（a ﹣b ）C ．a ﹣bD ．12（a +b ）【变式2-2】（2021秋•奉化区校级期末）两根木条，一根长10cm ，另一根长12cm ，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（ ） A ．1cmB ．11cmC ．1cm 或11cmD ．2cm 或11cm【变式2-3】（2021秋•江岸区校级月考）如图，点M 在线段AN 的延长线上，且线段MN ＝20，第一次操作：分别取线段AM 和AN 的中点M 1，N 1；第二次操作：分别取线段AM 1和AN 1的中点M 2，N 2；第三次操作：分别取线段AM 2和AN 2的中点M 3，N 3；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M 1N 1+M 2N 2+…+M 10N 10＝（ ）A ．20（12+122+123+⋯+1210） B ．20+1029 C ．20−10210 D ．20+10210 【题型3 线段n 等分点的有关计算】【例3】（2021春•东平县期末）如图，已知AB 和CD 的公共部分BD =13AB =14CD ，线段AB ，CD 的中点E ，F 之间的距离是10cm ，则AB 的长是 ．【变式3-1】（2021春•奉贤区期末）如图，已知BD ＝16cm ，BD =25AB ，点C 是线段BD 的中点，那么AC ＝ cm ．【变式3-2】（2021秋•宝鸡期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝12cm，M、N两点分别从P、B出发以1cm/s、3cm/s的速度同时向左运动（M在线段AP上，N在线段BP上），运动时间为ts．（1）若M、N运动1s时，且PN＝3AM，求AP的长；（2）若M、N运动到任一时刻时，总有PN＝3AM，AP的长度是否变化？若不变，请求出AP的长；若变化，请说明理由；（3）在（2）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ＝PQ+BQ，求PQ的长．【变式3-3】（2021秋•甘井子区期末）已知，点D是射线AB上的点，线段AB＝4a，BD ＝nAB（0＜n＜1），点C是线段AD的中点．（1）如图1，若点D在线段AB上，当a＝1，n=12时，求线段CD的长；（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，当n=12时，求线段CD的长；（用含a的式子表示）（3）若点D在射线AB上，请直接写出线段CD的长．（用含a和n的式子表示）【题型4 线段的数量关系】【例4】（2021秋•江门期末）如图，点B 在线段AC 上，D 是AC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则BD ＝（ ）A ．12b −12a B ．12a −12bC ．b −12aD ．a −12b【变式4-1】（2021秋•沙湾区期末）如图，已知A ，B ，C ，D 是同一直线上的四点，看图填空：AC ＝ +BC ，BD ＝AD ﹣ ，AC ＜ ．【变式4-2】（2021春•莱阳市期末）线段AB 的长为2cm ，延长AB 到点C ，使AC ＝3AB ，再延长BA 到点D ，使BD ＝2BC ，则线段CD 的长为 cm ．【变式4-3】（2021秋•成都期末）已知点C 在线段AB 上，AC ＝2BC ，点D ，E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧．若AB ＝15，DE ＝6，线段DE 在线段AB 上移动． ①如图1，当E 为BC 中点时，求AD 的长；②点F （异于A ，B ，C 点）在线段AB 上，AF ＝3AD ，CF ＝3，求AD 的长；【题型5 两点之间线段最短】【例5】（2021春•莱州市期末）如图，A ，C 两村相距6km ，B ，D 两村相距5km ．现要建一个自来水厂，使得该厂到四个村的距离之和最小．下列说法正确的是（ ）A ．自来水厂应建在AC 的中点B ．自来水厂应建在BD 的延长线上C ．自来水厂到四个村的距离之和最小为11kmD ．自来水厂到四个村的距离之和可能小于11km【变式5-1】（2021秋•丛台区校级期末）下列生活，生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（）A．①②B．①③C．②④D．③④【变式5-2】（2021秋•兴义市期末）如图，一只蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处，有多条爬行线路，其中沿AC爬行一定是最短路线，其依据的数学道理是．【变式5-3】（2021秋•渠县期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？【题型6 两点间的距离】【例6】（2021秋•罗湖区校级期末）如果在数轴上的A、B两点所表示的有理数分别是x，y，且|x|＝3，|y|＝1，则A，B两点间的距离是（）A．4B．2C．4或2D．以上都不对【变式6-1】（2021秋•奉化区校级期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，点C在线段AB上，且BC＝4厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过多少时间线段PQ的长为5厘米．【变式6-2】（2021秋•秦淮区期末）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC=12AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC=12AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．（1）MP＝cm；（2）若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度．【变式6-3】（2021秋•姜堰区期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为ts．（1）当t＝1时，求MN的长；（2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？（3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．【题型7 简单的线段的长短比较】【例7】（2021秋•攀枝花校级期中）从A地到B地有两条路，第一条从A地直接到B地，第二条从A地经过C，D到B地，两条路相比，第一条的长度第二条的长度（填“＜”“＞”“＝”）【变式7-1】（2021秋•双流区期末）体育课上，小明在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（）A．M B．N C．P D．Q【变式7-2】（2021秋•南海区期末）我们知道，比较两条线段的长短有两种方法：一种是度量法，是用刻度尺量出它们的长度，再进行比较；另一种方法是叠合法，就是把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起加以比较．（1）已知线段AB，C是线段AB上一点（如图①）．请你应用叠合法，用尺规作图的方法，比较线段AC与BC的长短，并简单说明理由（要求保留作图痕迹）；（2）如图②，小明用刻度尺量得AC＝4cm，BC＝3cm，若D是AC的中点，E是BC的中点，求DE的长．【变式7-3】（2021秋•宁波期末）已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足a ＜b＜c、abc＜0和a+b+c＝0．那么线段AB与BC的大小关系是（）A．AB＞BC B．AB＝BC C．AB＜BC D．不确定的【题型8 与线段的长短比较有关的应用】【例8】（2021秋•南沙区期末）如图，某工厂有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工15人、20人、45人，且这三个区在一条大道上（A、B、C三点共线），已知AB＝1500m，BC＝1000m，为了方便职工上下班，该工厂打算从以下四处中选一处设置接送车停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．A住宅区B．B住宅区C．C住宅区D．B、C住宅区中间D处【变式8-1】（2021秋•海淀区校级期中）如图，在公路MN两侧分别有A1，A2…A7，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（）①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A．①B．②C．①③D．②③【变式8-2】一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k＝1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼米处．【变式8-3】（2021•烟台）先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形．如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离．如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，A2处最合适，因为如果P不放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到P的这一段，这是多出来的，因此P放在A2处最佳选择．不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．问题：（1）有n台机床时，P应设在何处？（2）根据（1）的结论，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣617|的最小值．。

点到线段最短距离公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在几何学中，我们经常会遇到点到线段的最短距离问题。

这种问题在实际生活中也是非常常见的，比如我们在行驶时需要保持与前车的安全距离，或者在设计建筑物时需要计算两个设施之间的最短距离等等。

解决这类问题需要运用数学知识，特别是点到线段最短距离公式。

要计算点到线段的最短距离，我们首先需要了解什么是点、线段以及它们之间的关系。

点是空间中的一个位置，没有大小和形状；而线段是由两个端点确定的有限长度的线段。

点和线段之间的最短距离就是从点到线段上的某个点的距离，这个距离是垂直于线段的距离。

根据数学知识，我们可以得出点到线段最短距离的公式如下：设点P(x0, y0)到线段AB的端点A(x1, y1)和B(x2, y2)的距离公式为d，其计算步骤如下：1.计算线段AB的长度：AB=sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)3.如果d=0，则点P在线段AB上，距离为0；否则，计算点P到线段AB的最短距离：d = |(x2-x1)*(y1-y0)-(x1-x0)*(y2-y1)| / sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)4.点P到线段AB的最短距离即为d。

这个公式的推导过程可以通过几何方法或者向量方法来解释，但无论是哪种方法，最终的结果都是一样的。

这个公式在实际中的应用非常广泛，比如在计算机图形学中，就需要大量地使用到点到线段的最短距离公式来进行计算。

除了点到线段的最短距离公式，我们还可以推广到点到直线的最短距离问题。

点到直线的最短距离的计算方法与点到线段的方法很类似，只是直线是无限延伸的，所以我们只需要计算垂直于直线的距离即可。

点到线段的最短距离公式是一种非常重要的数学工具，在解决实际问题中有着广泛的应用。

通过掌握这个公式，我们可以更加准确地计算出点到线段的最短距离，从而更好地解决实际问题。

希望通过这篇文章的介绍，能够帮助大家更好地了解点到线段最短距离的计算方法，提高数学应用能力。

三维空间两直线线段最短距离线段计算算法三维空间中，线段是由两个端点确定的有限长度线段。

求解两个线段之间的最短距离是一个常见的问题，可以通过计算几何的方法来解决。

下面将介绍求解两条线段最短距离的算法。

算法思路：1.首先，我们需要确定两个线段的端点坐标。

2.利用端点坐标计算线段的向量表示。

3.计算两个线段向量之间的夹角。

4.如果夹角为零，即两个线段平行重合，那么最短距离为零。

如果夹角为180°，即两个线段共线但方向相反，那么最短距离为两线段之间的距离。

5.如果夹角为90°，即两个线段垂直交叉，那么最短距离为两线段端点距离的最小值。

6.对于其他夹角情况，我们需要在计算两线段端点距离的同时，计算两线段的垂直向量，并计算两线段之间的投影距离。

7.最终，两个线段的最短距离即为投影距离的最小值。

算法具体步骤：1.输入两个线段的端点坐标：A1,A2,B1,B22. 利用端点坐标计算线段的向量表示：vectorA = A2 - A1, vectorB = B2 - B13. 计算两个向量的模长：lengthA = ，vectorA，, lengthB = ，vectorB。

4. 判断两个向量是否共线：若vectorA与vectorB共线，则计算线段A和线段B之间的距离dist = ，A1 - B15. 若向量A与向量B不共线，则计算两个向量的夹角cosTheta = dot(vectorA, vectorB) / (lengthA * lengthB)，其中dot表示点积运算。

6. 根据夹角cosTheta的值进行分类讨论：- 若cosTheta = 0，即夹角为90°，线段A和线段B垂直交叉。

计算两个线段的端点距离dist = ，A1 - B1- 若cosTheta = 1，即夹角为0°，线段A和线段B平行重合。

最短距离为零。

- 若cosTheta = -1，即夹角为180°，线段A和线段B平行但方向相反。

一、概述线段是几何中的基本概念之一，而两点之间的线段最短，也是初中数学中常见的知识点。

在初中阶段学习数学的过程中，学生需要掌握关于线段的相关知识，包括线段的定义、性质、构造、计算等内容。

其中，两点之间线段最短的理论和应用也是数学学习中的重要内容之一。

本文将对两点之间线段最短的相关知识进行系统的介绍和总结，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

二、线段的基本概念1. 线段的定义线段是指两个点之间的所有点的集合，用AB表示，其中A和B分别为线段的端点，线段的顺序是从A到B。

2. 线段的长度线段的长度是指线段所包含的所有点的集合的长度，通常用|AB|表示，表示线段AB的长度。

3. 线段的性质线段是具有一定长度的，它有起点和终点，有确定的长短，可以测量。

三、两点之间线段最短的概念1. 最短线段的定义在数学中，两点之间线段最短是指在同一平面上，两点之间的线段长度最短的线段。

即使平面上的其他路径连接这两点也是最短路径，这就是两点之间线段最短的概念。

2. 两点之间线段最短的证明我们假设两点A、B之间有一条折线段ACB连接，那么通过三角形两边之和大于第三边的原理，可以证明直线段AB的长度必然小于或等于折线段ACB的长度。

3. 两点之间线段最短的应用两点之间线段最短的概念在数学和实际生活中都有重要的应用，比如在地图制作和路径规划中，需要寻找最短的路径。

在物体移动的最短路径问题中也有涉及。

四、两点之间线段最短的计算1. 直线距离假设两点A(x1, y1)、B(x2, y2)，其中A、B分别表示两个不同的点的坐标，通过直线距离公式计算两点之间的距离d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)，即可得到两点之间的线段最短距离。

2. 弧线距离假设两点A(x1, y1)、B(x2, y2)，在坐标轴上两点之间最短的弧线长度为AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)，也是两点之间线段最短距离。

初中数学“最短距离”问题分类及解题策略绵阳市游仙区新桥中学数学教研组何道华最短距离问题贯穿于初中几何学习的整个过程，由初一上册的“两点之间的距离”，初一下册的“点到直线的距离”、“平移”等基本问题开始，到初二上册的轴对称，初二下册的直角三角形的有关计算，再到初三上册的旋转等，都涉及到研究距离最短的问题。

虽然解决此类问题的依据很简单，主要是线段最短、垂线段最短以及三角形中的三边大小关系等原理，但图形千变万化，经常与三角形、四边形、圆及抛物线等问题综合考察，涉及的知识背景多，动点、动线的位置不确定，往往需要作平移、对称、旋转等辅助线才能发现线段之间的联系，找到最短距离的位置后，通常还需要进行准确的计算。

通过这类问题的解决，能培养学生动手操作、逻辑思考、严密计算等能力，是各类考试的热点同时也是难点问题。

一、最短距离的基本原理1、两点间的距离是指连接两点的的长度。

在连接两点的所有线中，最短。

简称。

2、点到直线的距离是指点到直线的的长度。

在连接直线外一点与直线上一点的所有线段中，最短。

简称。

3、两平行线间的距离是指平行线中一条直线上的任意一点到另一直线的的长度。

4、三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边。

由任意三点连接的三条线段中，另两边之差≤第三边≤另两边之和。

二、题型及解题策略题型解题策略项目举例解题策略问题解法依据一条线段同一平面内有关联线段Rt△ABC中，点D在斜边AB上移动，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，点G是EF的中点。

作出CG最短时的图形。

连接CD，则CDEFCG2121==，当CD┴AB时，CG最短。

垂线段最短利用相等线段转化。

无关联线段正方形的顶点A、B分别在x、y的正半轴上，AB=a，作出OC最长时的图形。

找AB的中点E，连接OE、CE，当三点O、E、C共线时，OC最长。

三角形的一边小于另两边之和挖掘图中的固定点及长度不变的线段，与所求线段构造△。

空间距离求一只蚂蚁从点A沿正方体表面爬到点G的最短距离。

运用两点之间,线段最短解题在数学中，线段最短是一个常见的问题，也是一个重要的几何学概念。

在解决这类问题时，我们通常使用两点之间的距离公式来计算线段的最短距离。

本文将讲解线段最短问题的一般解法，并提供一些实际问题的例子。

首先，我们需要明确线段最短问题的定义。

给定平面上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们的目标是找到通过这两个点的最短路径。

这个路径可以是直线，也可以是曲线，但我们的目标是找到最短路径。

解决线段最短问题的一般步骤如下：1. 计算两点之间的距离：使用两点之间的距离公式可以计算出点A和点B之间的直线距离。

这个公式可以表示为d = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)。

这个公式是基于勾股定理的，可以帮助我们计算两点之间的直线距离。

2. 寻找最短路径：在确定了两点之间的距离后，我们需要找到连接这两个点的最短路径。

通常情况下，最短路径是一条直线，但在一些特殊情况下，可能存在其他形状的最短路径。

例如，当两点位于一个圆的直径上时，最短路径将是连接这两个点的弧。

3. 应用最短路径解决实际问题：线段最短问题的应用非常广泛。

在现实生活中，我们可以将两点视为起点和终点，然后计算出两点之间的最短路径，以便规划行程或找到最佳路径。

例如，在城市规划中，我们可以使用线段最短问题来确定两个地点之间的最短路径，以避免交通拥堵或减少行驶距离。

接下来，我们来看几个实际问题的例子，以帮助我们更好地理解线段最短问题的应用。

例子1：旅行规划假设你要从城市A出发，到达城市B。

你可以在地图上找到这两个城市的坐标，并使用两点之间的距离公式计算出它们之间的直线距离。

然后，你可以使用这个距离来规划你的旅行路线，以确保你选择了最短路径。

例子2：电线走向规划在建筑设计中，电线的走向规划非常重要。

假设你需要在一座大楼中将电线从起点传输到终点。

你可以使用线段最短问题来确定电线的最短路径，以减少电线的长度和材料的使用量。

由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。

举例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。

，P是⊙O上一点，求AP简析：E是定点，F'是动点，要确定F'点的运动路径。

先确定线段A'B'的运动轨迹是，内圆半径为AB边上的高，F'是A'B'上任意一点，因此F到圆环的最短和最长路径。

E到圆环的最短距离为=EC+CF=3+6=9，其差为简析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段在OA、OB的内侧。

所以本题的关键是动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径折得P1、P2，△PMN的周长转化为点P1、P2之间的路径，从而转化为求小值为线段P1P2＝OP＝6。

例5.如图，在锐角△ABC中，ABN分别是AD和AB上的动点，则简析：本题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹AD的同侧，同样把点N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN'，转化为求点B到直线AC的最短路径，即BN'⊥AC 时，最小值为2√2。

【平移变换类】典型问题：“造桥选址”。

例6.如图，m、n是小河两岸，河宽20米，A、B是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使A、B之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）？简析：桥长为定值，可以想像把河岸m向下平移与n重合，同时把点A向下平移河宽，此时转化成n上的一点到A、B的路径之和最短，即转化为定点A'到定点B的最短路径。

如下图：思路是把动线AM平移至A'M，A'N+BN即转化为求定点A'与定点B之间的最路径。

本题的关键是定长线段MN把动线段分隔，此时须通过平移把动线段A'N、BN变为连续路径，也可以把点B向上平移20米与点A连接。

平面上两条线段之间的最短距离对于平面上的两条线段，我们经常需要计算它们之间的最短距离，这在几何学和计算机图形学中非常常见。

本文将介绍一种有效的方法来计算平面上两条线段之间的最短距离，并探讨一些相关的应用和实例。

首先，我们需要明确两条线段之间最短距离的定义。

在平面几何中，最短距离指的是连接两个几何体上离得最近的点之间的距离。

对于两条线段而言，最短距离是指这两条线段上距离最短的两个点之间的距离。

为了计算两条线段之间的最短距离，我们可以使用距离函数和参数化表示法。

距离函数是一个用来计算点之间距离的函数，而参数化表示法则是将线段表示为参数方程。

通过将线段表示为参数方程，我们可以轻松地计算线段上的任意点的坐标。

在计算最短距离时，我们可以使用参数化表示法将每条线段表示为一个参数t的函数。

然后，我们将这两个函数相减，得到一个新的函数，表示两条线段之间的距离。

通过对这个函数求解最小值，我们可以找到两条线段之间的最短距离所对应的参数值。

通过计算得到最短距离所对应的参数值后，我们可以代入原始的参数化表示法，求解出最短距离所对应的点的坐标。

这两个点就是两条线段之间距离最短的两个点。

除了计算最短距离外，我们还可以利用最短距离来解决其他一些相关的问题。

例如，我们可以通过计算最短距离来确定两条线段是否相交。

如果最短距离为零，则表示两条线段相交；如果最短距离大于零，则表示两条线段不相交。

此外，最短距离还可以应用于路径规划和碰撞检测等领域。

在路径规划中，最短距离可用于找到行进路径中的障碍物。

而在碰撞检测中，最短距离可用于判断物体是否发生碰撞。

综上所述，平面上两条线段之间的最短距离是一个重要的几何计算问题。

通过使用距离函数和参数化表示法，我们可以高效地计算出最短距离，并且可以应用于各种相关的问题中。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择最适合的方法来计算两条线段之间的最短距离，以达到更好的效果。

两条线段的最长距离算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：两条线段的最长距离算法是指在给定的平面上，找出两条任意两条线段之间的最长距离。

这个问题在计算机图形学和几何学中经常出现，并且有很多种解法。

在本文中，我们将介绍一种常用的算法，并分析其原理和实现方法。

我们假设有两条线段AB和CD，我们需要求出这两条线段之间的最长距离。

这里线段AB可以表示为向量OA和向量OB的差，即：AB = OB - OA；线段CD可以表示为向量OD和向量OC的差，即：CD = OC - OD。

那么两条线段之间的最长距离即为两条线段所在直线之间的最长距离。

接下来，我们可以求出两条直线AB和CD之间的最长距离。

假设直线AB的方程为ax + by + c = 0，直线CD的方程为cx + dy + e = 0。

根据两条直线之间的距离公式，我们可以得到两条直线之间的最长距离为：d = |ace - bde| / √(a^2 + b^2)a、b、c、d、e分别代表直线AB和CD的系数。

至此，我们已经求得了两条线段之间的最长距离。

在实际应用中，我们往往需要考虑更多的情况，比如线段的交点、线段的延长线等。

我们还需要对上述算法进行进一步的优化和扩展。

下面将介绍一种更为通用的解决方案。

我们可以将线段AB和CD扩展至无穷远，得到直线AB和CD。

接着，我们需要计算直线AB和CD的交点P。

如果交点P在线段AB和CD之间，则交点P为两条线段的最长距离；如果交点P不在线段AB 和CD之间，则需要分别计算点A、B、C、D到直线CD和AB的距离，取其中最大值作为最长距离。

具体来说，我们可以利用向量叉积的性质来计算点到直线的距离。

假设有向量PQ和直线AB，我们可以通过下面的公式来计算点P到直线AB的距离：d = |(PQ × AB)| / |AB|总结一下，通过求解两条直线之间的最长距离，并结合点与直线之间的距离，我们可以找出两条线段之间的最长距离。

初中奥数点与线段的近距远距题目全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在初中奥数中，点与线段的近距离和远距离问题通常涉及到点到线段的距离计算、点到线段的垂直距离计算等内容。

下面我们就来看几个与点与线段的近距离和远距离相关的典型题目。

1.在平面上给定一条线段AB和一点C，求点C到线段AB的最短距离。

这个题目是一个经典的点到线段最短距离问题。

我们可以采用以下方法来求解：我们可以将线段AB延长成无限长直线；然后，我们可以将点C到无限长直线AB的距离表示成点C到直线AB的垂直距离d 和点C到直线AB的垂足P之间的距离；我们可以利用点C与垂足P 之间的距离和直线AB长度的关系，求出点C到线段AB的最短距离。

通过以上两个例题的解题过程，我们可以看到，点与线段的近距离和远距离问题不仅考察了学生对几何知识的理解，还锻炼了学生的逻辑思维和数学解题能力。

初中生们在学习奥数时，应该多做这类题目，加深对几何知识的理解，提升解题技巧。

以上是关于【初中奥数点与线段的近距远距题目】的一篇文章，希望对您有所帮助。

如需继续了解相关内容，请随时联系我。

感谢阅读！第二篇示例：初中奥数是一种非常具有挑战性和启发性的数学学科，涉及到的知识点非常丰富。

其中点与线段的近距离和远距离问题更是考察学生的逻辑分析和数学推理能力。

以下是一些关于初中奥数点与线段的近距离和远距离题目。

1. 问题：在平面直角坐标系中，点A(2,3)、B(5,6)和C(1,7)构成了一个三角形。

请问，点C到线段AB的距离是多少？解析：我们可以利用两点间距离公式计算出线段AB的长度。

设AB的两点坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则AB的长度为√((x2-x1)² + (y2-y1)²)。

代入点A(2,3)和B(5,6)，得到AB的长度为√(3² + 3²) = √18。

接着，我们利用点到直线的距离公式计算点C到线段AB的距离。

线段到线段的距离公式线段到线段的距离公式是指计算两条线段之间的最短距离的数学公式。

在几何学中，线段是由两个点所确定的有限线段。

我们来看一下线段的定义。

线段是由两个不同的点A和B所确定的部分，记作AB。

线段的长度等于点A到点B之间的距离。

那么，线段到线段的距离又是什么呢？假设有两条线段AB和CD，我们想要计算这两条线段之间的最短距离。

这个距离可以通过以下步骤计算得出：1. 首先，我们需要找到线段AB和线段CD之间的垂直距离。

垂直距离是指从一条线段上的任意一点到另一条线段上的垂线的长度。

2. 然后，我们需要找到线段AB上离线段CD最近的点P，以及线段CD上离线段AB最近的点Q。

这两个点分别是线段AB和线段CD上的垂足。

3. 接下来，我们计算线段AB上的点P到点Q之间的距离。

这个距离就是线段AB和线段CD之间的最短距离。

现在，我们来详细介绍一下如何计算线段到线段的距离。

我们需要找到线段AB和线段CD之间的垂直距离。

为了简化计算，我们可以将线段AB和线段CD延长成直线。

然后，我们找到直线AB和直线CD之间的垂直距离，即两条直线之间的最短距离。

然后，我们找到线段AB上距离线段CD最近的点P，以及线段CD上距离线段AB最近的点Q。

这两个点分别是线段AB和线段CD上的垂足。

为了找到这两个点，我们可以使用向量的方法。

假设线段AB的起点是点A，终点是点B；线段CD的起点是点C，终点是点D。

我们可以计算向量AC和向量AB的内积，再除以向量AB 的模的平方。

这个结果乘以向量AB，就可以得到线段AB上离线段CD最近的点P。

同样地，我们可以计算向量CA和向量CD的内积，再除以向量CD的模的平方。

这个结果乘以向量CD的负数，就可以得到线段CD上离线段AB最近的点Q。

我们计算点P到点Q之间的距离。

这个距离就是线段AB和线段CD 之间的最短距离。

需要注意的是，在计算线段到线段的距离时，我们需要考虑线段的方向。

如果两条线段平行且不重叠，那么它们之间的最短距离为两条线段之间的垂直距离。

14-4 线段的最大值与最小值---利用对称求最小一、基本依据：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。

5、垂直线段最短例1，2008北京8．已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）例2，如图所示，在河岸L 的一侧有两个村庄A 、B ，现要在河岸L 上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A ，B 两村庄的距离之和最短？首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B 点关于L 的对称点B1, 在直线L 上任意定一点M ，连接B B1，BM ，B1M ，根据轴对称知识，我们可以求证BM ＝B1M ，所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。

在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点B 到河岸L 上任意点M 的距离等于对称B1到点M 的距离。

要使AM+ B1M 最小，必须使A 、M 、B1三点共线，也就是说，必须使点M ，与A B1连线和L 的交点N 重合， 所以，河岸上的N 点为到A 、B 的距离之和最小的点。

二、基本图形 一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：O P M O M ' M P A ． O M 'M P B ． OM ' M P C ． O M ' M P D ． mm Bm BmA 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.n mnnm An nnm二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：m nm nm nmmmm2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。