第十课时_1.4三角函数的图象与性质(2课时)
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三角函数的图象与性质教案一、教学目标1. 理解三角函数的定义和基本性质。
2. 学会绘制和分析三角函数的图象。
3. 掌握三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质。
4. 能够应用三角函数的性质解决问题。
二、教学内容1. 三角函数的定义和基本性质。
2. 三角函数的图象绘制方法。
3. 三角函数的周期性性质。
4. 三角函数的奇偶性性质。
5. 三角函数的单调性性质。
三、教学重点与难点1. 三角函数的定义和基本性质的理解。
2. 三角函数图象的绘制和分析。
3. 三角函数周期性、奇偶性、单调性的理解和应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学,展示三角函数的图象和性质。
2. 利用数学软件或图形计算器进行图象绘制和分析。
3. 引导学生通过观察、分析和归纳三角函数的性质。
4. 利用例题和练习题巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时:三角函数的定义和基本性质。
2. 第二课时:三角函数的图象绘制方法。
3. 第三课时:三角函数的周期性性质。
4. 第四课时:三角函数的奇偶性性质。
5. 第五课时:三角函数的单调性性质。
六、教学目标1. 理解正弦函数、余弦函数的周期性。
2. 学会应用周期性解决实际问题。
3. 掌握正弦函数、余弦函数的相位变换。
七、教学内容1. 正弦函数、余弦函数的周期性。
2. 周期性在实际问题中的应用。
3. 正弦函数、余弦函数的相位变换。
八、教学重点与难点1. 周期性的理解和应用。
2. 相位变换的理解和应用。
九、教学方法1. 通过实例讲解周期性在实际问题中的应用。
2. 利用数学软件或图形计算器进行相位变换的演示。
3. 引导学生通过观察、分析和归纳正弦函数、余弦函数的周期性和相位变换。
十、教学安排1. 第六课时:正弦函数、余弦函数的周期性。
2. 第七课时:周期性在实际问题中的应用。
3. 第八课时:正弦函数、余弦函数的相位变换。
十一、教学目标1. 理解正切函数的图象和性质。
2. 学会应用正切函数解决实际问题。
3. 掌握正切函数的周期性和奇偶性。
三角函数的图象与性质教学目标:1、掌握正、余弦函数的定义域和值域;2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念,会求它们的周期,会判断它们的奇偶性;3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点:正、余弦函数的性质教学难点:正、余弦函数的单调性知识要点:1、定义域:函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞,即实数集R2、值域:函数sin y x =,x R ∈及cos y x =,x R ∈的值域都是[]1,1-理解:(1)在单位圆中,正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的,所以sin 1x ≤,cos 1x ≤,即1sin 1x -≤≤,1cos 1-≤≤。
(2)函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时,y 取最大值1,当22x k ππ=-,()k Z ∈时,y 取最小值-1;函数cos y x =在2x k π=,()k Z ∈时,y 取最大值1,当2x k ππ=+,()k Z ∈时,y 取最小值-1。
正弦函数s i n y x =,x R ∈和余弦函数cos y x =,x R ∈是周期函数,2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期,最小正周期是2π。
4、奇偶性正弦函数sin y x =,x R ∈是奇函数,余弦函数cos y x =,x R ∈是偶函数。
理解:(1)由诱导公式()sin sin x x -=-,cos()cos x x -=可知以上结论成立;(2)反映在图象上,正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称。
5、单调性(1)由正弦曲线可以看出:当x 由2π-增大到2π时,曲线逐渐上升,sin x 由-1增大到1;当x 由2π增大到32π时,曲线逐渐下降,sin x 由1减至-1,由正弦函数的周期性知道:①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上,都从-1增大到1,是增函数; ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上,都从1减小到-1,是减函数。
《5.2.1 三角函数的概念(第二课时)》教学设计1.掌握三角函数值的符号;2.掌握诱导公式一,初步体会三角函数的周期性.教学重点:函数值的符号、诱导公式一.教学难点:对诱导公式的发现与认识.PPT课件.资源引用:【知识点解析】三角函数值在各象限的符号、【知识点解析】对三角函数值符号的理解(一)创设情境引导语:前面学习了三角函数的定义,根据已有的学习函数的经验,你认为接下来应研究三角函数的哪些问题?预设的师生活动:先由学生发言.一般而言,学生会直接把问题指向“图象与性质”.教师可以在肯定学生想法的基础上,指出三角函数的特殊性:预设答案:因为单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角函数,而单位圆具有对称性,这种对称性反映到三角函数的取值规律上,就会呈现出比幂函数、指数函数和对数函数等更丰富的性质.例如,我们可以从定义出发,结合单位圆的性质直接得到一些三角函数的性质.设计意图:明确研究的问题和思考方向.一般地,学生不习惯于借助单位圆的性质研究三角函数的性质,所以需要教师的讲解和引导.(二)新知探究1.三角函数值的符号问题1:由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限,你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗?如何用集合语言表示这种规律?预设的师生活动:由学生独立完成.★资源名称:【知识点解析】三角函数值在各象限的符号★使用说明:本资源展现“三角函数值在各象限的符号”,辅助教师教学,加深学生对于知识的理解和掌握.适合于教师课堂进行展示.注:此图片为“知识卡片”缩略图,如需使用资源,请于资源库调用.预设答案:用集合语言表示的结果是:当α∈{β|2k π<β<2k π+π,k ∈Z }时,sin α>0;当α∈{β|2k π+π<β<2k π+2π,k ∈Z }时,sin α<0;当α∈{β|β=k π,k ∈Z }时,sin α=0.其他两个函数也有类似结果.设计意图:在直角坐标系中标出三角函数值的符号规律不难,可由学生独立完成.用集合语言表示,可以复习象限角、终边相同的角的集合表示等.例1 求证:角θ为第三象限角的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧sin θ<0,①tan θ>0.② 预设的师生活动:先引导学生明确问题的条件和结论,再由学生独立完成证明. 预设答案:先证充分性.因为①式sin θ<0成立,所以θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y 轴的负半轴重合;又因为②式tan θ>0成立,所以θ角的终边可能位于第一或第三象限.因为①②式都成立,所以θ角的终边只能位于第三象限.于是角θ为第三象限角. 再证必要性.因为角θ为第三象限角,由定义①②式都成立.设计意图:通过联系相关知识,培养学生的推理论证能力.★资源名称:【知识点解析】对三角函数值符号的理解★使用说明:本资源展现“对三角函数值符号的理解”,辅助教师教学,加深学生对于知识的理解和掌握.适合教师课堂展示.注:此图片为“知识卡片”缩略图,如需使用资源,请于资源库调用.2.诱导公式一问题2:联系三角函数的定义、象限角以及终边相同的角的表示,你有发现什么? 师生活动:学生在问题引导下自主探究,发现诱导公式一.追问:(1)观察诱导公式一,对三角函数的取值规律你有什么进一步的发现?它反映了圆的什么特性?(2)你认为诱导公式一有什么作用?预设答案:(1)诱导公式一体现了三角函数周期性取值的规律,这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映.(2)利用公式一可以把求任意角的三角函数值,转化为求0~2π角的三角函数值.同时,由公式一可以发现,只要讨论清楚三角函数在区间[0,2π]上的性质,那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了.设计意图:引导学生通过建立相关知识的联系发现诱导公式一及其体现的三角函数周期性取值的规律,这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映.在此过程中,可以培养学生用联系的观点看待问题,发展直观想象等素养.例2 确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:(1)cos 250°;(2)sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π; (3)tan (-672°); (4)tan 3π.解:(1)因为250°是第三象限角,所以cos 250°<0;(2)因为4π-是第四象限角,所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π<0; (3)因为tan (-672°)=tan (48°-2×360°)=tan 48°,而48°是第一象限角, 所以tan (-672°)>0;(4)因为tan 3π=tan (π+2π)=tan π,而π的终边在x 轴上,所以tan π=0.例3 求下列三角函数值:(1)sin 1 480°10′(精确到0.001);(2)cos4π9; (3)tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π11. 解:(1)sin 1480°10′=sin (40°10′+4×360°)=sin 40°10′≈0.645;(2)9πππcos cos(2π)cos 4442=+==;(3)11πππtan()tan(2π)tan 6663-=-==. 师生活动:以上都是教科书中的例题,难度不大,可以由学生独立完成,并作课堂展示.教师可以鼓励学生采用不同的变形方法得出答案.在用计算器验证时,提醒学生注意角度制的设置.(三)课堂练习教科书练习第1,2,3,4,5题.(四)布置作业教科书习题5.2第1,3,4,5,7,8,9,10题.(五)目标检测设计1.求下列三角函数的值:(1)cos (-23π6); (2)tan 25π6. 设计意图:考查诱导公式一,特殊角的三角函数值.2.角α的终边与单位圆的交点是Q ,点Q 的纵坐标是12,说出几个满足条件的角α. 设计意图:考查正弦函数的定义,诱导公式一.3.对于①sin θ>0,②sin θ<0,③cos θ>0,④cos θ<0,⑤tan θ>0与⑥tan θ<0,选择恰当的关系式序号填空:(1)角θ为第二象限角的充要条件是________;(2)角θ为第三象限角的充要条件是________.设计意图:考查三角函数值的符号规律.。
1.3.2 三角函数的图象与性质(2)教学目标:1.了解由变换得出余弦函数图象的方法,掌握“五点法”作余弦曲线;2.结合余弦函数的图象性质得出余弦函数的性质,并应用性质解决一些简单问题;教学重点:“五点法”做余弦函数简图,余弦函数的性质及其应用. 教学难点:应用余弦函数的性质解决有关三角函数问题.教学方法:学生探究、教师引导.教学过程:一、问题呈现自学教材P 28~29内容思考下列问题:问题1 如何由正弦函数的图象经过变换得到余弦函数的图象? 问题2 正余弦函数图象有什么区别联系?二、学生活动全班分成若干组,每组6人.学生分组讨论研究,总结交流成果.一方面分组合作探究,展示动手结果,上黑板板演,同时回答同学们提出的问题.问题3 回顾正弦函数的图象的对称性得出余弦函数图象的对称轴和对称中心.问题4 作余弦函数的简图是否也可以用“五点法”?与做正弦函数图象的“五点法”有什么不同?三、建构数学1.余弦函数的图象. 由于)2sin()](2sin[)cos(cos ππ+=--=-==x x x x y ,所以余弦函数x y cos =,R x ∈与函数)2sin(π+=x y ,R x ∈是同一个函数;这样,余弦函数的图象可由正弦曲线向左平移2π个单位得到,即:2.例题. 例1 利用“五点法”画出下列函数的简图:(1)R x x y ∈=,cos 2; (2)R x x y ∈+=,1cos .例2 求出函数3cos x y =的最大值及取得最大值时自变量x 的集合. 例3 求函数)34cos(x y -=π的单调增区间. 四、要点归纳与方法小结1.“五点法”作图的一般步骤;2.余弦函数的图象与性质;3.思想方法:“以已知探求未知”、类比. sin y x =,x R ∈ π π-2π- cos y x =,x R ∈ 2π 32π 2π- 32π- 向左平移 2π个单位。
必修(第一册)(共计72 课时)第一章集合与常用逻辑用语(10课时)1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3 集合的基本运算阅读与思考集合中元素的个数1.4 充分条件与必要条件阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件1.5 全称量词与存在量词第二章一元二次函数、方程和不等式(8课时)2.1 等式性质与不等式性质2.2 基本不等式2.3 二次函数与一元二次方程,不等式第三章函数的概念与性质(12课时)3.1 函数的概念及其表示阅读与思考函数概念的发展历程3.2 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象3.3 幂函数探究与发现探究函数的图象与性质3.4 函数的应用(一)文献阅读与数学写作* 函数的形成与发展第四章指数函数与对数函数(16课时)4.1 指数4.2 指数函数阅读与思考放射性物质的衰减信息技术应用探究指数函数的性质4.3 对数阅读与思考对数的发明4.4 对数函数探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系4.5 函数的应用(二)阅读与思考中外历史上的方程求解文献阅读与数学写作* 对数概念的形成与发展数学建模(3课时)建立函数模型解决实际问题第五章三角函数(23课时)5.1 任意角和弧度制5.2 三角函数的概念阅读与思考三角学与天文学5.3 诱导公式5.4 三角函数的图象与性质探究与发现函数及函数的周期探究与发现利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质5.5 三角恒等变换信息技术应用利用信息技术制作三角函数表5.6 函数5.7 三角函数的应用阅读与思考振幅、周期、频率、相位必修(第二册)(共计69 课时)第六章平面向量及其应用(18课时)6.1 平面向量的概念6.2 平面向量的运算阅读与思考向量及向量符号的由来6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.4 平面向量的应用阅读与思考海伦和秦九韶数学探究(2课时)用向量法研究三角形的性质第七章复数(8课时)7.1 复数的概念7.2 复数的四则运算阅读与思考代数基本定理7.3*复数的三角表示探究与发现的次方根第八章立体几何初步(19课时)8.1 基本立体图形8.2 立体图形的直观图阅读与思考画法几何与蒙日8.3 简单几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、锥体的体积8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.5 空间直线、平面的平行8.6 空间直线、平面的垂直阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法文献阅读与数学写作*几何学的发展第九章统计(13课时)9.1 随机抽样阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应信息技术应用统计软件的应用9.2 用样本估计总体阅读与思考统计学在军事中的应用——二战时德国坦克总量的估计问题阅读与思考大数据9.3 案例统计公司员工的肥胖情况调查分析第十章概率(9课时)10.1 随机事件与概率10.2 事件的相互独立性10.3 频率与概率阅读与思考孟德尔遗传规律选择性必修(第一册)(共计43 课时)第一章空间向量与立体几何(15课时)1.1 空间向量及其运算1.2 空间向量基本定理1.3 空间向量及其运算的坐标表示阅读与思考向量概念的推广与应用1.4 空间向量的应用第二章直线和圆的方程(16课时)2.1 直线的倾斜角与斜率2.2 直线的方程探究与发现方向向量与直线的参数方程2.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何2.4 圆的方程阅读与思考坐标法与数学机械化2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系第三章圆锥曲线的方程(12课时)3.1 椭圆信息技术应用用信息技术探究点的轨迹:椭圆3.2 双曲线探究与发现为什么是双曲线的渐近线3.3 抛物线探究与发现为什么二次函数的图象是抛物线阅读与思考圆锥曲线的关学性质及其应用文献阅读与数学写作* 解析几何的形成与发展选择性必修(第二册)(共计30 课时)第四章数列(14课时)4.1 数列的概念阅读与思考斐波那契数列4.2 等差数列4.3 等比数列阅读与思考中国古代数学家求数列和的方法4.4*数学归纳法第五章一元函数的导数及其应用(16课时)5.1 导数的概念及其意义5.2 导数的运算探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解5.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质文献阅读与数学写作* 微积分的创立与发展选择性必修(第三册)(共计35 课时)第六章计数原理(11课时)6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少6.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质6.3 二项式定理数学探究(2课时)杨辉三角的性质与应用第七章随机变量及其分布(10课时)7.1 条件概率与全概率公式阅读与思考贝叶斯公式与人工智能7.2 离散型随机变量及其分布列7.3 离散型随机变量的数字特征7.4 二项分布与超几何分布探究与发现二项分布的性质7.5 正态分布信息技术应用概率分布图及概率计算第八章成对数据的统计分析(9课时)8.1 成对数据的统计相关性8.2 一元线性回归模型及其应用阅读与思考回归与相关8.3 列联表与独立性检验数学建模(3课时)建立统计模型进行预测。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时 正、余弦函数的性质1.掌握y =sin x ,y =cos x 的性质:周期性、奇偶性,了解其图象的对称性. 2.掌握y =sin x ,y =cos x 的单调性,会结合它们的图象说出单调区间,并能根据单调性比较大小.3.掌握y =sin x ,y =cos x 的最大值、最小值,会求简单三角函数的值域或最值,并能指出取得最大(小)值时自变量x 的值的集合.1.正弦函数的图象与性质正弦函数的图象与性质如下表所示:____当x =____________时,y 取最大值1正弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标为(k π,0)(k ∈Z ),即正弦曲线与x 轴的所有交点;正弦曲线也是轴对称图形,其所有的对称轴方程是x =k π+π2(k ∈Z ),所有对称轴垂直于x 轴,且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值.【做一做1】 已知函数y =sin x ,x ∈R ,则下列说法不正确的是( ) A .定义域是RB .最大值与最小值的和等于0C .在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2上是减函数 D .最小正周期是2π2.余弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质如下表所示:__当x =________时,y 取最大值1余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π+π2,0(k ∈Z ),即余弦曲线与x 轴的所有交点;余弦曲线也是轴对称图形,其所有的对称轴方程是x =k π(k ∈Z ),所有对称轴垂直于x 轴,且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值.【做一做2】 已知函数y =cos x ,x ∈R ,则下列说法错误的是( ) A .值域为[-1,1]B .是奇函数C .在定义域上不是单调函数D .在[0,π]上是减函数答案:1.R [-1,1] 2k π+π2(k ∈Z ) 2k π-π2(k ∈Z ) 2π 奇 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π2,2k π+π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+π2,2k π+3π2【做一做1】 C2.R 2k π(k ∈Z ) 2k π+π(k ∈Z ) 2π 偶 [(2k -1)π,2k π] [2k π,(2k +1)π]【做一做2】 B正、余弦函数的性质与图象的关系剖析:(1)定义域是R ,反映在图象上是所有垂直于x 轴的直线与图象有且只有一个交点.(2)正、余弦函数的单调性,反映在图象上是曲线的上升与下降的情况.(3)正、余弦函数的周期性,反映在图象上是曲线有规律地重复出现.相邻两对称中心的间隔是半个周期,相邻两对称轴的间隔也是半个周期,相邻的对称中心与对称轴的间隔是四分之一个周期.(4)正、余弦函数的奇偶性,反映在图象上是曲线关于原点或y 轴对称,即sin(-x )=-sin x ,cos(-x )=cos x .(5)正、余弦函数的最大值和最小值,反映在图象上,就是曲线的最高点和最低点.题型一 判断三角函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性:(1)f (x )=sin x cos x ;(2)f (x )=1+sin x -cos 2x1+sin x.分析:先判断函数的定义域是否关于原点对称,再判断f (-x )与f (x )的关系,进而可确定函数的奇偶性.反思:1.判断函数奇偶性的依据是函数奇偶性的定义,定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提.另外还要注意诱导公式在判断f (x )与f (-x )之间关系时的应用.2.本例(2)中,易忽视f (x )的定义域,违背定义域优先的原则,而进行非等价变形,得f (x )=sin x (1+sin x )1+sin x=sin x ,从而导致结果错误.题型二 求三角函数的单调区间【例2】 求函数y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x +π4的单调递减区间. 反思:求函数y =A sin(ωx +φ)的单调区间时,利用整体思想,把ωx +φ看成一个整体,借助于正弦函数的单调区间来解决.题型三 求三角函数的值域(最值) 【例3】 求下列函数的值域: (1)y =3-2cos 2x ,x ∈R ;(2)y =cos 2x +2sin x -2,x ∈R .分析:(1)将2x 看成一个整体,利用余弦函数的值域求得;(2)把sin x 看成一个整体,利用换元法转化为求二次函数的值域.反思:求三角函数的值域的方法:①化为y =A sin(ωx +φ)+b 或y =A cos(ωx +φ)+b (A >0),则其值域为[-A +b ,A +b ].如本例(1)小题;②把sin x 或cos x 看成一个整体,利用换元法转化为求二次函数在闭区间上的值域,如本例(2)小题.题型四 比较三角函数值的大小 【例4】 比较下列各组数的大小: (1)sin 194°与cos 160°;(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8与sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8.分析:(1)先将异名三角函数化为同名三角函数,并且利用诱导公式化到同一单调区间上.(2)先比较sin 3π8与cos 3π8的大小,然后利用正弦函数单调性求解.反思:比较三角函数值大小的步骤:①异名函数化为同名函数;②利用诱导公式把角化到同一单调区间上;③利用函数的单调性比较大小.题型五 易错辨析易错点 忽视x 的系数是-1【例5】 求y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x 的单调递增区间.错解:令π3-x =t ,∵y =sin t 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z ), ∴2k π-π2≤π3-x ≤2k π+π2(k ∈Z ),解得-2k π-π6≤x ≤-2k π+56π,即2k π-π6≤x ≤2k π+5π6(k ∈Z ),即y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π6,2k π+5π6(k ∈Z ). 错因分析:在π3-x 中,x 的系数-1是负数,应整体代入正弦函数的单调递减区间,求原函数的单调递增区间.答案:【例1】 解:(1)定义域为R .f (-x )=sin(-x )cos(-x )=-sin x cos x =-f (x ),∴f (x )是奇函数.(2)要使函数有意义,自变量x 的取值应满足1+sin x ≠0, ∴sin x ≠-1.∴x ≠2k π+32π,k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ,且x ≠2k π+3π2,k ∈Z .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=1+sin π2-cos2π21+sinπ2=1,但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2无意义,∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数. 【例2】 解:由于函数y =2sin x 的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+π2,2k π+3π2(k ∈Z ). 令2k π+π2≤3x +π4≤2k π+3π2,得2k π3+π12≤x ≤2k π3+5π12(k ∈Z ). 故所求的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3+π12,2k π3+5π12(k ∈Z ). 【例3】 解:(1)∵-1≤cos 2x ≤1,∴-2≤-2cos 2x ≤2. ∴1≤3-2cos 2x ≤5,即1≤y ≤5.∴函数y =3-2cos 2x ,x ∈R 的值域为[1,5].(2)y =cos 2x +2sin x -2=-sin 2x +2sin x -1=-(sin x -1)2.∵-1≤sin x ≤1,∴函数y =cos 2x +2sin x -2,x ∈R 的值域为[-4,0]. 【例4】 解:(1)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°, cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°,∴sin 14°<sin 70°, 从而-sin 14°>-sin 70°,即sin 194°>cos 160°. (2)∵cos 3π8=sin π8,∴0<cos 3π8<sin 3π8<1.而y =sin x 在(0,1)内递增,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8<sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8. 【例5】 正解:∵y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x =-sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π3,∴要求原函数的单调递增区间,只需求y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π3的单调递减区间.令2k π+π2≤x -π3≤2k π+3π2(k ∈Z ),∴2k π+5π6≤x ≤2k π+116π(k ∈Z ).∴y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x 的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+5π6,2k π+116π(k ∈Z ).1.函数y =sin 2cos xx+是( )A .奇函数B .偶函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数也不是偶函数2.下列关系式中正确的是( ) A .sin 11°<cos 10°<sin 168°B .sin 168°<sin 11°<cos10°C .sin 11°<sin 168°<cos 10°D .sin 168°<cos 10°<sin11°3.函数y =sin 2x -cos x 的值域是__________. 4.函数y =3-2π32cos 33x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为____________,此时自变量x 的取值集合是__________.5.求函数y =π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间.答案:1.A 定义域为R ,f (-x )=sin()2cos()x x -+-=sin 2cos xx-+=-f (x ),则f (x )是奇函数.2.C ∵sin 168°=sin(180°-168°)=sin 12°,cos 10°=sin 80°, sin 11°<sin 12°<sin 80°, ∴sin 11°<sin 168°<cos 10°.3.51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦设cos x =t ,-1≤t ≤1,则y =1-cos 2x -cos x =-t 2-t +1=21524t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭. 由于-1≤t ≤1,则有-1≤y ≤54. 4.5 {x |x =3k π+π,k ∈Z } 当2πcos 33x ⎛⎫+⎪⎝⎭=-1时,y max =3-2×(-1)=5.此时x 的取值集合为{x |x =3k π+π,k ∈Z }. 5.解:y =π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=π2sin 4x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.令2k π+π2≤x -π4≤2k π+3π2 (k ∈Z ),得 2k π+3π4≤x ≤2k π+7π4(k ∈Z ).函数y =π2sin 4x ⎛⎫-⎪⎝⎭的递增区间为 3π7π2π,2π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ).。