第五届陈省身杯全国高中奥数试题

第九届陈省身杯全国高中数学奥林匹克1．已知锐角△ABC 的外接圆为⊙O ，边BC 、CA 、AB 上的高的垂足分别为D 、E 、F ，直线EF 与⊙O 的 AB 、AC 分别交于点G 、H ，直线DF 与BG 、BH 分别交于点K 、L ，直线DE 与CG 、CH 分别交于点M 、N ．证明：K 、L 、M 、N 四点共圆，且该圆的直径为2222()b c a +-，其中，BC =a ，CA =b ，AB =c ．证明 如图1，因为B 、C 、E 、F 四点共圆，所以，AFE ACB ∠=∠．图1°°2GB HA AFE 注意到，+∠=， °°°22AB AG GB ACB +∠==． 从而， HA AG =，即AG AH =．因为C 、A 、F 、D 四点共圆，所以，=BFD ACB AFE BFG ∠=∠∠=∠．从而，直线GH 与直线DK 关于直线AB 对称．由 °°AG AH =, 知GBA ABH ∠=∠．从而，直线BK 与直线BH 关于直线AB 对称．因此，点K 、H 关于直线AB 对称，即AK =AH ．类似地：点L 、G 关于直线AB 对称，即AL =AG ；G 、N 关于直线AC 对称，即AG =AN ；M 、H 关于直线AC 对称，即AM =AH ．综上，AL =AN =AG =AH =AK =AM ．因此，K 、L 、M 、N 四点共圆，且圆心为A ，半径为AG ，记该圆为⊙A ． 设⊙O 的半径为R ，⊙O 的直径AQ 与GH 交于点P ．如图2．图2则∠AGQ=90°，且AP ⊥GH ．由射影定理得2AG AQ AP =⋅．注意到，sin =cos sin AP AF AFE AC CAB ACB .=⋅∠⋅∠⋅∠2222222cos sin =22AQ AP R AC CAB ACBb c a b c a AB AC bc 故.⋅=⋅∠⋅∠+-+-=⋅⋅ 因此，2222b c a AG +-=，⊙A 的直径为2222()b c a +-．。

六年级历届陈省身杯重要知识点数论专题高频考点一、05～10陈省身杯数论模块重要知识点约、倍、质、合、整除位值原则余数(中国剩余，同余)个位率常用方法1．翻译？！2．分解3．位值4．题型特点—方法(同余、奇偶性…)【例1】(2010年陈省身杯第4题)三个相邻的自然数的乘积是3360，这三个自然数分别是________、________和________。

5=⨯⨯⨯=⨯⨯，所以三个自然数为14、15、16。

33602357141516【例2】(2008年13题)用5、6、7、8四个数字(每个数字恰好用一次)可组成24个不同的四位数，其中有________个数能被11整除。

5＋8＝6＋7，当奇数位是5、8时：2×2＝4（种）。

当奇数位是6、7时：2×2＝4（种）。

共有8（种）。

【例3】(2009年12题)A、B、C、D都是小于100的合数，并且A、B、C、D两两互质，则A＋B＋C＋D的最大值为_______。

由于此题求和的最大值，所以我们要使每个数尽量大，且保证其两两互质，故分别取99，95，94，91，和为379。

【例4】(2011年4题)一个数是质数，+10 +14 都是质数，求这个数是几？这个数为3。

【例5】(2011年6题)A是大于0的最小自然数，B是质数中唯一的偶数，C是最小的奇质数，C和D的和是70，问：A+B×C×D×（B+C）=_______。

A=1，B=2，C=3，D=67；A+B×C×D×（B+C）=2011【例6】(2011年14题)有一个三位数，各个数位都不为0，且不相同，把这三个数交换位置，形成5个不同的三位数，其平均数为这三位数，求这三个数最大数多少？设此三位数为abc ，则形成的5个三位数在加上原数就是原数的6倍 则有：222()6a b c abc ++=，37()abc a b c =++；三位数各不相同，最大629符合要求。

2024年全国中学生第五届英才杯竞赛数学试卷一.单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝2∠ADC＝90°，若BD＝5，则四边形ABCD的面积最大值为（ ）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，AC＝2AB＝4，∠BAC＝60°，绕点C将BC逆时针旋转120°得到DC，连接AD、BD，则的值为（ ）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，，∠ACB＝45°，D为直线AC右侧一动点，经过C、D两点的圆分别与AC、BC相交于点E、G，且CE＝3，劣弧CD和劣弧EG的长度相等，BD与劣弧EG交于点F，则EF的最小值是（ ）A．1B．C．D．24．定义：在△ABC中，如果最大边长的平方与其余两边长的平方和相差一个数值m，则称m为△ABC 的“勾股缩量”．如图，已知正方形ABCD和一点Q（点Q在对角线BD的左侧），在钝角△BQD中，若BD始终是最长边，且△BQD的“勾股缩量”m＝DQ•BQ，则代数式的最小值为（ ）A．B．C．D．5．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝4，∠BAC＝135°，BE平分∠ABC，CE⊥BE于点E，D是AC中点，ED交BC于点F，过△ABC的外心G作GH⊥ED，K是HG的中点，则KD的长为（ ）A．B．C．D．6．若m、n∈R+，m（m﹣1）（m+1）+n（n2+1）＝0，当（1﹣m2）n﹣2取得最小值时，代数式m+n的值为（ ）A．B．C．D．7．的最小值为（ ）A．B．C．D．8．已知函数和，设2f（x）和g（x）的图象共有n个交点，并将这n个交点分别记为N1（x1，y1），N2（x2，y2）…N n（x n，y n）（其中n是正整数），则下列说法正确的是（ ）A．g（x）极大值和极小值的和为0B．设g（x）的切线方程为y＝ax+b，则C．当x的值趋近于常数A（|A|的值足够大）时，2f（x）的值会无限趋近于常数2D．是不成立的二.不定项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）（多选）9．如图，考虑二次函数内接正多边形，可以被内接的正多边形有（ ）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形（多选）10．对于函数，下列说法正确的有（ ）A．此函数的图象是一个对称图形B．当时，f（x）取得最大值C．设f（x）的切线方程为y＝kx+b，则当x＝1时，k＝|2b|D．函数g（x）＝|f（x）﹣2|的单调性在区间[﹣10，10]内会改变7次（多选）11．已知函数f（x）＝x2﹣2x，将f（x）的零点从左到右记为A、B、C，极值点为D和E．则在下列结论中，正确的有（ ）A．f（x）和g（x）＝x4﹣4x的交点共有四个，且当∀x∈R时，f（x）和g（x）不相切B．过C作f（x）的切线，则此切线也是△DEC外接圆的切线C．将△ADC沿直线DE翻折得到△A′DC′，记△ADC，△A′DC的外心分别为G和H，GH交AE、DC′、DE于P、Q、R，则D．f（x）和有三个交点，且S围成的封闭图形＞2三.填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数l：y＝2x+3交于点A、B（A在B的左侧），C（15，7）是平面内一点，M是G上一点，且保证M点始终在l的下方（包含A、B），过点M作MN⊥x轴于点N，D是MN上一点，过D作DE⊥y轴于点E，连接AE（AD），CD（EC），且A、C总是连接在其同侧的点．当MN最大时，CD+ED+AE或AD+ED+CE的最大值为 ．13．已知曲线．在平面直角坐标系xOy中，给定点A（0，3）和B（2，0），曲线过点A、B．若在F的图象上有一点P，使得S ABP＝4，则所有满足题意的P点的横坐标之和为 ．14．已知平面直角坐标系中C：f（x）＝x2﹣2x﹣2和G：g（x）＝，绕原点O，将C顺时针旋转30°得到C′，将G逆时针旋转60°得到G′．设C′和G′的图象共有n个交点，且将这n个交点的纵坐标分别记作y1，y2，…，y n．若y i（i∈N+且1≤i≤n）的值可以表示为F（t）＝，且t∈R，则t的值为 ．四.解答题（本大题共5个小题，共77分）15．在平面直角坐标系中，已知椭圆．（1）若C经过点A（2，0）和B（0，1），求C的解析式．（2）设F2是C的右焦点，过F2作倾斜角分别为30°和60°的直线l1和l2，分别与C交于A、B、C、D，试求这四个点所构成凸四边形的面积．16．[情景引入]一天语文课中，核老师的语文老师想让每位同学都可以体验到回答问题的快乐，可是班级中的同学总是因为社恐而不敢举手发言，迫不得已只能让老师去随机点名，然后进行排火车．班中的同学座位正好是形成7×7的正方形方格，老师开始思考从哪个位置开始回答．我们规定从初始位置出发，（所有位置都是在方格内进行转化）每次进行跳棋前进，为了增加更多不确定性因素，老师决定每下一次的位置可以通过隔着一个跳（如跳棋）或者跳日字型（象棋中的马）可以到达，每跳一次我们称之为一步．[抽象问题]（1）我们先简化一下座位，不妨先假设出一个5×5的方格，请求出对角线上的两个方格最少需要几步就可以到达对方位置．（2）现在我们慢慢扩大一下范围，若存在一个9×9的方格．（i）求证：任意一个方格到其中心位置至多需要3步．（ii）求证：当步数为n时（n∈[1，3]），所有满足通过n步可以到达中心位置的方格所组成的图形皆是中心对称图形．[一般化问题]试求：任意一点到达中心点的最少步数．17．英才小组决定对形如f（x）＝x+（m＞0）的函数进行探究，并邀请你参加活动．（1）当x＞0时，若f（x）＝x+的值域为[8，+∞），求k的值．（2）请直接写出函数f（x）＝x n+（n∈N+）的单调性（不必证明）．（3）求函数f（x）＝（x2+x﹣1）n+（x﹣2+x）n在区间[]上的最小值．（可能会用到的公式：（a+b）n＝b i，其中n∈N+）18．[提出]数学老师为英才班命制了一份试题，请你帮忙协作．[入手]如图一，△ABC，△CDE都是等腰直角三角形，D在线段AB上（不与端点重合）．连接AE，AE交CD于点G，交BC于点F，连接BE、EG，且AB＝4．（1）当四边形CEBG为菱形时，求AD的长．[扩展]（2）如图二，在射线DF上截取FI＝GB＝GH，作以I为圆心，IH为半径的圆K．作CQ与K相切于点Q，连接QE，求QE的最小值．[拔高]（3）如图三，作GH⊥GC交AE的延长线于点H，当FH最小时，将线段CG绕点C顺时针旋转一定的角度α得到CO，P是OD的中点，将AP沿AE翻折得到AS，连接SH交AB于点T，当SH最大时，请直接写出S△TBH的值．19．函数总是可以带给我们不一样的惊喜．[材料]①设函数f（x）在点x0的某一去心邻域内有定义，对于任意给定的正数ɛ（不论它多么小），总存在任意给定的正数δ，使得适合不等式0＜|x﹣x0|＜δ的一切x所对应的函数值f（x）都满足|f（x）﹣A|＜ɛ，则常数A就称为函数f（x）当x→x 0时的极限，简要记作f（x）＝A．②设函数y＝f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）时，则函数y取得增量Δy＝f（x0+Δx）﹣f（x0）；如果在Δx→0时的极限存在，则称函数y＝f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y＝f（x）在点x0处的导数，简要记作f′（x0）．③给定数集X⊂D，若存在正数N使得|f（x）|≤N对任意x∈X都成立，那么称f（x）在X上是有界的．④设函数f（x）在[a，b]上是有界的，现在在[a，b]中任意插入若干个分点，满足a＝x0＜x1＜…＜x n＝b，把[a，b]分成n个小区间[x0，x1]，[x1，x2]…[x n﹣1，x n]．各个小区间的长度依次为Δx1＝x1﹣x0，Δx2＝x2﹣x1…Δx n＝x n﹣x n﹣1，在每个小区间[x i﹣1，x i]上任取一点ξi（x i﹣1≤ξi≤x i），作函数值f（ξi）与每个小区间长度Δx i的乘积f（ξi）Δx i（i＝1，2…n），并作出和．将Δx1，Δx2…Δx n中最大的那个记为λ，如果不论对[a，b]怎样分法，也不论在小区间[x i﹣1，x i]上点ξi怎样取法，只要当λ→0时，总趋于极限I，这时我们称极限I为f（x）在区间[a，b]上的定积分，记作，即f（x）dx＝I＝f（ξi）Δx i．[实际应用]（下列题目的答案均用题目中所提到的参数或函数表示）（1）根据上述材料，设（其中v（x）≠0），试求f′（x）．（2）已知某封闭曲线C的方程为，根据上述材料，求出当A＝0.25π时（其中2π＝360°）所对应点处曲线C的切线方程．（A为参数）（3）英才中学在近日研制出一根密度为ρ0，长度为l0，质量均匀的直棒L1（此直棒的横截面积忽略不计），取L的中点R并作一条直线L2⊥L1，L2过点R．在直线L2上有一个质点P，其质量为m0，且|PR|＝s．请根据上述材料和自己的理解，求L对P的引力．（参考公式：质量分别为m1和m2且相距r的两质点之间的引力大小可以表示为，其中G是引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向．）。

数学高中奥赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)的图像经过点(1, 0)和(-1,0)，则下列哪个选项是正确的？A. \( a + b + c = 0 \)B. \( a - b + c = 0 \)C. \( a + b - c = 0 \)D. \( a - b - c = 0 \)答案：B2. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的前三项分别为1, 4, 7，那么第10项\( a_{10} \)是多少？A. 26B. 28C. 30D. 32答案：A3. 一个圆的半径是5，圆心到直线\( y = 2x \)的距离是3，那么圆的方程是什么？A. \( (x-2)^2 + (y-3)^2 = 25 \)B. \( (x+2)^2 + (y+3)^2 = 25 \)C. \( (x-3)^2 + (y-2)^2 = 25 \)D. \( (x-3)^2 + (y+2)^2 = 25 \)答案：A4. 若\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)在第一象限，求\( \cos \theta \)的值。

A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 计算\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值是______。

答案：\( \frac{1}{3} \)2. 已知\( \log_2 8 = 3 \)，那么\( \log_2 32 \)的值是______。

答案：53. 一个等腰三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的长度是______。

答案：44. 一个数的平方根是2和-2，那么这个数是______。

答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知函数\( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)，求\( f(x) \)的导数。

第五届数学奥林匹克国家集训队选拔试题解答李成章【期刊名称】《中等数学》【年(卷),期】1990(0)6【摘要】一、设朋友最多的人有k个朋友,显然,k≥m.若k>m,设A有k个朋友B₁,B₂,…,B_k.并记S={B₁,B₂,…,B_k}.设B_i1,B_i2B_i2,…,B_i_m-1是从S中任取的m-1个元素,则A,B_i1, …,B_i_m-1这m个人有一个公共朋友,记为C_i.因C_i是A的朋友,故C_i∈S.若且{A,【总页数】4页(P35-38)【作者】李成章【作者单位】南开大学数学系 300071【正文语种】中文【中图分类】G633.6【相关文献】1.第7届数学奥林匹克国家集训队选拔试题解答 [J],2.第三届(1988年)数学奥林匹克国家集训队选拔试题解答 [J],3.第二届(1987年)数学奥林匹克国家集训队选拔试题解答 [J],4.第一届(1986年)数学奥林匹克国家集训队选拔试题解答 [J],5.第4届(1989)数学奥林匹克国家集训队选拔试题解答 [J],因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

全国高中数学奥林匹克竞赛试题一、设集合A为所有满足条件“能被3整除且末位数字为7”的正整数的集合，集合B为所有满足条件“能被7整除且末位数字为3”的正整数的集合。

则集合A和B的交集：A. 只含有一个元素B. 含有有限个元素C. 含有无限多个元素D. 为空集（答案）C二、在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a + 2b = 3c，且sin A : sinB : sinC = 3 : 4 : 5，则cos C的值为：A. 1/5B. -1/5C. 3/5D. -3/5（答案）B三、已知函数f(x) = ax3 + bx2 + cx + d的图像经过点(0,1)，且在x=1处取得极值，在x=-1处取得最值。

则a+b+c的值为：A. -1B. 0C. 1D. 2（答案）D四、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = -23，且S10 = S14，则S20的值为：A. -110B. -90C. -70D. -50（答案）C五、已知椭圆C的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a > b > 0)，其左焦点为F，过F作直线l 交椭圆C于A、B两点。

若|AF| = 3|FB|，且cos∠BFA = -5/13，则椭圆C的离心率为：A. √2/2B. √3/2C. 2√2/3D. √5/3（答案）A六、设函数f(x) = ex - ax - 1，若存在唯一的实数x0，使得f(x0) = 0，则实数a的取值范围为：A. a < 0B. 0 < a < 1C. a > 1D. a = 1（答案）C七、已知向量a = (1,2)，b = (2,m)，若a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是：A. m > -1 且 m ≠ 4B. m > 4C. m ≠ 4D. -1 < m < 4（答案）A八、设函数f(x) = ln(x + 1) - x2/2，若对所有的x ∈ [0, +∞)，都有f(x) ≤ ax + b ≤ x2/2 + ln(x + 1)成立，则a + b的最大值为：A. -1B. 0C. 1/2D. 1（答案）B。

高中奥数竞赛试题及答案1. 已知函数\( f(x) \)在区间\( [0, 1] \)上连续，且满足\( f(0)= 0 \)，\( f(1) = 1 \)，求证：存在至少一个\( x_0 \in (0, 1) \)，使得\( f(x_0) = x_0 \)。

答案：根据介值定理，由于\( f(x) \)在\( [0, 1] \)上连续，且\( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 1 \)，那么对于任意\( y \)在\( [0, 1] \)内，都存在\( x \)在\( [0, 1] \)内，使得\( f(x) = y \)。

特别地，取\( y = \frac{1}{2} \)，那么存在\( x_0 \)在\( (0, 1) \)内，使得\( f(x_0) = \frac{1}{2} \)。

由于\( f(x_0) \)可以取到\( [0, 1] \)内的所有值，因此必定存在\( x_0 \)使得\( f(x_0) =x_0 \)。

2. 计算不定积分\( \int \frac{1}{x^2 + 2x + 2} dx \)。

答案：首先，我们对分母进行因式分解，得到\( x^2 + 2x + 2 = (x+ 1)^2 + 1 \)。

然后，我们使用代换法，设\( u = x + 1 \)，则\( du = dx \)。

代入原积分，得到\( \int \frac{1}{(u^2 + 1)^2}du \)。

接下来，我们使用分部积分法，设\( v = \frac{1}{u^2 + 1} \)，\( dw = \frac{1}{(u^2 + 1)^2} du \)，则\( dv = -\frac{2u}{(u^2 + 1)^2} du \)，\( w = -\frac{1}{u^2 + 1} \)。

根据分部积分公式\( \int u dv = uv - \int v du \)，我们得到\( \int \frac{1}{(u^2 + 1)^2} du = -\frac{1}{u^2 + 1} + C \)。

六年级历届陈省身杯重要知识点—计算计算专题分类：一、分数混合运算、分数裂项与拆分、分数大小比较； 二、公式计算，定义新运算； 三、有理数与绝对值运算； 1、10%-15% 2、难度一般； 快速 准确【例 1】（2005年第6题）计算： 79793451385751685776751689385734517577691212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=÷÷⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯= 【例 2】（2010年第16题）计算：20102009201020092010200920102009 (20092008200820072008200721)111120102009 (200920082008200720072006211)11111120102009 (1200820092007200820062007)220102⨯⨯⨯⨯=++++⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⨯⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫=⨯⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭=⨯1009120094036080⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=【例 3】（2006年第16题）在□内填入11以内的自然数，使得等式成立。

60的约数小于有1、2、3、4、5、6、10，经试验取4、3、10可使等式成立111620154110346060++++==【例 4】（2009年第1题）11111111()()()()__________3451385751685776-÷-÷-⨯-=。

2010201020092010200920082010200943____2008200820072008200720062008200721⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯+++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯。

41111++60=□□□计算：111111_______2323⎛⎫⎛⎫+-÷-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。