人教版七年级数学上章末复习专题训练(九)角的计算

人教版七年级上册数学期末复习：有理数、整式、角度计算训练（一）．有理数混合运算1．计算：2．3．计算：（1）4+（﹣2）2×5﹣|﹣2.5÷5| （2）4．（1）计算：﹣12+（﹣2）3+|﹣3|÷（2）计算：﹣36×（）+（﹣3）25．计算：（1）﹣32﹣[﹣5+15×÷（﹣3）2]；（2）（﹣5）×2+20÷（﹣4）．（二）．整式化简与求值1．先化简，再求值：2（x2y﹣3xy﹣1）﹣3（x2y﹣2xy+3），其中x＝﹣1，y＝2．2．先化简，再求值：﹣（x2+3x）+2（4x+x2），其中x＝2．3．先化简，再求值：5x2﹣[8x2﹣3（x2﹣2x+1）﹣2（x2﹣1）]，其中x＝﹣．4．先化简，再求值：2（ab2+3a2b）﹣3（ab2﹣2a2b）﹣（2ab2﹣2a2b），其中a＝﹣1，b＝2．5．先化简，再求值．（1）﹣（x2+3x）+2（4x+x2），其中x＝﹣（2）5a2+3b2+2（a2﹣b2）﹣（5a2﹣3b2），其中a＝﹣1，b＝．（三）．角的求解1．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数．2．如图，∠AOB＝180°，∠BOC＝80°，OD平分∠AOC，∠DOE＝3∠COE，求∠BOE．3．如图，∠AOB＝35°，∠BOC＝90°，OD是∠AOC的平分线，求∠BOD的度数．4．如图，已知O为直线AB上一点，过点O向直线上方引三条射线QC、OD、OE，且OC平分∠AOD．∠2＝3∠1，∠BOD＝80°，求∠COE的度数．5．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1．①若∠AOC＝60°，求∠DOE的度数；②若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数（含α的式子表示）；（2）将图1中的∠DOC绕点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．。

人教版七年级上册数学期末复习：角的计算综合练习题汇编1．如图所示，∠AOB是平角，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线．（1）当∠BOC＝140°时，求∠AOM的度数；（2）当∠AOC＝30°，∠BOD＝60°时，求∠MON的度数；（3）当∠COD＝x度时，则∠MON＝度．（请直接写出答案）2．如图所示，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∠EOC＝65°，∠DOC＝25°，求∠AOB的度数．3．如图，已知射线OC在∠AOB内，OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC．（1）若∠AOC＝50°，∠BOC＝30°，求∠MON的度数．（2）探究∠MON与∠AOB的数量关系．4．如图，已知A、O、B三点在一条直线上，OC平分∠AOD，∠AOC+∠EOB＝90°．（1）求∠COE的度数；（2）判断∠DOE和∠EOB之间有怎样的关系，并说明理由．5．填空，完成下列说理过程．如图，点A、O、B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．（1）求∠DOE的度数；（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数．解：（1）如图，因为OD是∠AOC的平分线，所以∠COD＝∠AOC因为OE是∠BOC的平分线，所以∠COE＝所以∠DOE＝∠COD+ ＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB＝°（2）由（1）可知∠DOE＝90°因为∠COD＝65°所以＝∠COD＝65°则：∠AOE＝∠AOD+ ＝°6．如图，O为直线AB上一点，∠BOE＝80°，直线CD经过点O．。

人教版七年级数学上册期末与角相关的计算解答题专题练习-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知如图:5:3AOB BOC ∠∠=，OD 是BOC ∠的平分线，OE 是AOC ∠的平分线，且16BOE ∠=︒，求DOE ∠的度数．2．如图所示120AOB ∠=︒与13AOC BOC ∠=∠，OM 平分BOC ∠．求AOM ∠的度数．3．如图OC 是AOB ∠内一条射线，OE 平分AOC ∠，OF 平分BOC ∠，已知42EOF ∠=︒，求AOB ∠．4．如图所示OE ，OD 分别平分AOB ∠和BOC ∠，且90AOB ∠=︒；40BOC ∠=︒ 求EOD ∠的度数．5．如图:1:3DOE BOE ∠∠=，:1:3DOC COA ∠∠=若120AOB ∠=︒，求EOC ∠的大小．6．如图直线AB CD ，相交于点O ，OE 平分AOD ∠，9050FOC BOF ∠=︒∠=︒，求AOC EOA ∠∠，的度数．7．如图已知O 是直线CD 上一点，OA 平分BOC ∠，35AOC ∠=︒求BOD ∠的度数．8．如图在同一平面内有90AOB ∠=︒，60AOC ∠=︒ OD 平分BOC ∠，OE 平分AOC ∠． (1)请求出COD ∠的度数． (2)请求出DOE ∠的度数．9．如图已知120AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠内的一条射线，且:1:2AOC BOC ∠∠=． (1)求AOC ∠的度数；(2)过点O 作射线OD ，若12AOD AOB ∠=∠，求COD ∠的度数．10．如图OB 是AOC ∠的平分线，OD 是COE ∠的平分线． (1)若40AOB ∠=︒，30DOE ∠=︒求BOD ∠的度数；(2)若AOD ∠与BOD ∠互补，且15DOE ∠=︒，求AOC ∠的度数．11．如图直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分EOC ∠． (1)若78EOC ∠=︒，求BOD ∠的度数； (2)若:3:2EOC EOD ∠∠=，求BOD ∠的度数．12．如图已知90AOB ∠=︒．(1)在OB 的下方作BOD AOC ∠=∠，仅用直角三角板完成作图，并说明作图的依据； (2)在（1）的基础上，若160AOD ∠=︒，求BOC ∠的度数．13．如图OC 平分AOB ∠ 90COD ∠=︒．17．如图点O 是直线AB 上一点，OC 平分AOB ∠，在直线AB 的另一侧以O 为顶点作90DOE ∠=︒(1)若48AOE ∠=︒，求BOD ∠的度数．(2)猜想AOE ∠与COD ∠有什么数量关系？请说明理由．18．如图射线OM ，ON 分别是AOC ∠和BOC ∠的平分线，且90AOB ∠=︒． (1)求MON ∠的度数；(2)当OC 在AOB ∠内转动时，MON ∠的度数是否会发生变化？简单说明理由．19．如图点O 是直线AD 上一点，射线OC OE 、分别是AOB ∠、BOD ∠的平分线． (1)若3017AOC '∠=︒，求COD ∠的度数； (2)COB ∠与∠BOE 互为余角吗？请说明理由．20．如图90AOB DOC ∠=∠=︒，OE 平分AOD ∠，反向延长射线OE 至F ． (1)AOD ∠和BOC ∠______；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”）(2)OF 是BOC ∠的平分线吗？为什么？(3)反向延长射线OA 至G ，COG ∠与FOG ∠的度数比为2：5，求AOD ∠的度数．参考答案：1．40︒ 2．75︒ 3．84︒ 4．65EOD ∠=︒ 5．30︒6．40AOC ∠=︒ 70EOA =︒∠ 7．110︒ 8．(1)75︒ (2)45︒9．(1)40AOC ∠=︒(2)COD ∠的度数为：20︒或100︒10．(1)70︒ (2)100︒11．(1)39︒ (2)54︒12． (2)20︒13．(1)120AOD∠=︒；(2)1902AODα∠=+︒．14．(1)60︒；(2)90︒．15．(1)90︒(2)不会16．(1)100︒(2)140︒(3)2DOE AOC∠=∠17．(1)42︒(2)180AOE COD18．(1)45︒(2)不会发生变化19．(1)14943'︒(2)COB∠与∠BOE互为余角20．(1)互补(2)OF是BOC∠的平分线(3)112.5︒。

新人教版七年级数学上册专题训练：角的计算(含答案)专题训练角的计算类型1 利用角度的和、差关系要求求解的角与已知角之间有和、差关系，可以利用角度和、差来计算。

1.如图，已知 $\angle AOC=\angle BOD=75°$，$\angle BOC=30°$，求 $\angle AOD$ 的度数。

解：因为 $\angle AOC=75°$，$\angle BOC=30°$，所以$\angle AOB=\angle AOC-\angle BOC=75°-30°=45°$。

又因为$\angle BOD=75°$，所以 $\angle AOD=\angle AOB+\angle BOD=45°+75°=120°$。

2.将一副三角板的两个顶点重叠放在一起（两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°）。

1) 如图1所示，在此种情形下，当 $\angle DAC=4\angle BAD$ 时，求 $\angle CAE$ 的度数。

2) 如图2所示，在此种情形下，当 $\angle ACE=3\angle BCD$ 时，求 $\angle ACD$ 的度数。

解：(1) 因为 $\angle BAD+\angle DAC=90°$，$\angle DAC=4\angle BAD$，所以 $5\angle BAD=90°$，即 $\angle BAD=18°$。

所以 $\angle DAC=4\times18°=72°$。

因为 $\angle DAE=90°$，所以 $\angle CAE=\angle DAE-\angle DAC=18°$。

2) 因为 $\angle BCE=\angle DCE-\angle BCD=60°-\angle BCD$，$\angle ACE=3\angle BCD$，所以 $\angle ACB=\angle ACE+\angle BCE=3\angle BCD+60°-\angle BCD=90°$。

亲爱的同学，“又是一年芳草绿，依旧十里杏花红”。

当春风又绿万水千山的时候，我们胜利地完成了数学世界的又一次阶段性巡游。

今天，让我们满怀信心地面对这张试卷，细心地阅读、认真地思考，大胆地写下自己的理解，盘点之前所学的收获。

请同学们认真、规范答题！老师期待与你一起分享你的学习成果！人教版七年级数学上册期末压轴题突破训练角的相关计算1．已知：OC是∠AOB内部一条射线，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图①所示，若A，O，B三点共线，则∠MON的度数是，此时图中共有对互余的角．（2）如图②所示，若∠AOB＝110，求∠MON的度数．（3）直接写出∠MON与∠AOB之间的数量关系．2．已知，如图1，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．（1）如图1，若MOC＝28°，求∠BON的度数；（2）若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，若∠BON＝100°，则∠MOC 的度数为；（3）若将三角形MON绕点O旋转到如图3所示的位置，试写出∠BON和∠MOC之间的数量关系，并说明理由．3．（1）如图2，将直角三角形纸板绕O点顺时针旋转，∠DOE＝90°，当OD恰好平分∠AOC时，指出∠COE与∠BOE之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，作OM平分∠AOE，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；（3）当直角三角形纸板旋转到如图3位置，∠DOE＝90°，若∠COE＝2∠AOD﹣30°，那么∠COD﹣2∠BOE的值是多少？4．点O在直线PQ上，过点O作射线OC，使∠POC＝130°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图①所示，将直角三角板AOB的一边OA与射线OP重合，则∠BOC＝°．（2）将图①中的直角三角板AOB绕点O旋转一定角度得到如图②所示的位置，若OA 平分∠POC，求∠BOQ的度数．（3）将图①中的直角三角板AOB绕点O旋转一周，存在某一时刻恰有OB⊥OC，求出所有满足条件的∠AOQ的度数．5．已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝100°．（1）如图1，求∠AOC的度数；（2）如图2，过点O作射线OD，使∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OM，求∠MOD 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，请画出图形，并求∠COP的度数．6．如图，OC，OB，OD是∠EOA内三条射线，OB平分∠DOA，OC平分∠EOA．（1）已知∠EOD＝80°，∠AOB＝20°，求∠BOC的度数．（2）设∠EOD＝α，用含α的代数式表示∠BOC．（3）若∠EOD与∠BOC互余，求∠BOC的度数．7．如图1，将一副三角板的直角顶点C叠放在一起．观察分析：（1）若∠DCE＝35°，则∠ACB＝；若∠ACB＝150°，则∠DCE＝；猜想探究：（2）请你猜想∠ACB与∠DCE有何关系，并说明理由；拓展应用：（3）如图2，若将两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，请你猜想∠DAB 与∠CAE有何关系，请说明理由；（4）如图3，如果把任意两个锐角∠AOB、∠COD的顶点O重合在一起，已知∠AOB ＝α，∠COD＝β（α、β都是锐角），请你直接写出∠AOD与∠BOC的关系．8．已知：如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．（1）求出∠AOB及其补角的度数；（2）求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由；（3）若∠BOC＝α，∠AOC＝β，则∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．9．已知直线AB与CD相交于点O，且∠AOD＝90°，现将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，把该直角三角尺OEF绕着点O旋转，作射线OH平分∠AOE．（1）如图1所示，当∠DOE＝20°时，∠FOH的度数是．（2）若将直角三角尺OEF绕点O旋转至图2的位置，试判断∠FOH和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．（3）若再作射线OG平分∠BOF，试求∠GOH的度数．10．已知：如图，OB、OC分别为定角（大小不会发生改变）∠AOD内部的两条动射线，（1）当OB、OC运动到如图1的位置时，∠AOC+∠BOD＝100°，∠AOB+∠COD＝40°，求∠AOD的度数．（2）在（1）的条件下（图2），射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，求∠MON的度数．（3）在（1）的条件下（图3），OE、OF是∠AOD外部的两条射线，∠EOB＝∠COF＝90°，OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，求∠POQ的度数．11．以直线AB上点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将直角△DOE的直角顶点放在点O处．（1）若直角△DOE的边OD在射线OB上（图1），求∠COE的度数；（2）将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE所在射线平分∠AOC（图2），说明OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动到某个位置时，恰好使得∠COD：∠AOE ＝1：2，求∠BOE的度数．12．已知：如图1，OB、OC分别为锐角∠AOD内部的两条动射线，当OB、OC运动到如图的位置时，∠AOC+∠BOD＝100°，∠AOB+∠COD＝40°，（1）求∠BOC的度数；（2）如图2，射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，求∠MON的度数．（3）如图3，若OE、OF是∠AOD外部的两条射线，且∠EOB＝∠COF＝90°，OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，当∠BOC绕着点O旋转时，∠POQ的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由．参考答案1．解：（1）∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠AOM＝∠COM，∠CON＝∠BON，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝＝＝＝90°；∴∠AOM+∠BON＝90°，∴图中互余的角有：∠AOM与∠BON，∠AOM与∠CON，∠COM与∠CON，∠COM 与∠BON共4对，故答案为：90°；4；（2）∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝＝＝＝＝55°；（3）∠MON＝．2．解：（1）如图1，∵∠MOC＝28°，∠MON＝90°，∴∠NOC＝90°﹣28°＝62°，又∵OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠NOC＝62°，∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣62°×2＝56°；（2）∵∠BON＝100°，∴∠AON＝80°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON＝10°，∠AOC＝40°，∴∠MOC＝∠AOM+∠AOC＝50°．故答案为：50°；（3）∠MOC和∠BON之间的数量关系不发生变化，如图2，∵OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠NOC，∵∠MON＝90°，∴∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC，∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC，即：∠BON＝2∠MOC．3．解：（1）∠COE＝∠BOE，理由如下：∵∠DOE＝90°，∴∠DOC+∠COE＝90°，∴∠AOD+∠BOE＝90°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠DOC，∴∠COE＝∠BOE；（2）∵OM平分∠AOE，ON平分∠BOD，∴∠BOM＝180°﹣∠AOE，∠BON＝∠BOD，∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝180°﹣（∠AOE+∠BOD）＝180°﹣×270°＝45°；（3）在旋转的过程中，那么∠COD﹣2∠BOE的值发生不变化，．∵在（1）的条件下，若∠COE＝2∠AOD﹣30°，∴90°+∠COD＝2∠AOD﹣30°∴∠COD＝2∠AOD﹣120°＝2（180°﹣∠BOD）﹣120°＝240°﹣2∠BOD，∵∠BOE＝90°﹣∠BOD，∴∠COD﹣2∠BOE＝（240°﹣2∠BOD）﹣2（90°﹣∠BOD）＝60°，∴∠COD﹣2∠BOE的值不变为60°．4．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠POC＝130°，∴∠BOC＝∠POC﹣∠AOB＝130°﹣90°＝40°，故答案为：40；（2）∵OA平分∠POC，∴∠POA＝∠POC＝65°，∴∠POB＝∠POA+∠AOB＝65°+90°＝155°，∴∠BOQ＝180°﹣∠POB＝25°；（3）当OB在OC的右边时，如图，则∠AOQ＝180°﹣∠POC＝50°，当OB在OC的左边时，如图，则∠AOQ＝∠POC＝130°．5．解：（1）∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣100°＝80°；（2）由（1）得∠AOC＝80°，∵∠COD＝90°，∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝10°，∵OM是∠AOC的平分线，∴∠AOM＝∠AOC＝×80°＝40°，∴∠MOD＝∠AOM+∠AOD＝40°+10°＝50°；（3）由（2）得∠AOM＝40°，∵∠BOP与∠AOM互余，∴∠BOP+∠AOM＝90°，∴∠BOP＝90°﹣∠AOM＝90°﹣40°＝50°，①当射线OP在∠BOC内部时（如图1），∠COP＝∠BOC﹣∠BOP＝100°﹣50°＝50°；②当射线OP在∠BOC外部时（如图2），∠COP＝∠BOC+∠BOP＝100°+50°＝150°．综上所述，∠COP的度数为50°或150°．6．解：（1）∵OB平分∠DOA，OC平分∠EOA．∴∠AOB＝∠BOD＝∠AOD，∠EOC＝∠AOC＝∠EOA，∵∠EOD＝80°，∠AOB＝20°，∴∠EOA＝80°+20°×2＝120°，∴，∠EOC＝∠AOC＝∠EOA＝60°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝60°﹣20°＝40°．（2）∵∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝∠DOE﹣∠COD﹣∠BOD＝∠DOE﹣∠BOC，∴2∠BOC＝∠DOE，∴∠BOC＝∠DOE＝α，（3）∵∠EOD与∠BOC互余，∴∠EOD+∠BOC＝90°，∵∠BOC＝∠DOE，∴∠BOC＝×90°＝30°．7．解：（1）（1）若∠DCE＝35°，∵∠ACD＝90°，∠DCE＝35°，∴∠ACE＝90°﹣35°＝55°，∵∠BCE＝90°，∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝55°+90°＝145°；若∠ACB＝150°，∵∠BCE＝90°，∴∠ACE＝150°﹣90°＝60°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCE＝90°﹣60°＝30°，故答案为：145°，30°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°，理由：∵∠ACE+∠ECD＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，∴∠ACE+∠ECD+∠ECD+∠DCB＝180°，∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，∴∠ACB+∠ECD＝180°；（3）∠DAB+∠EAC＝120°，理由：∵∠DAE+∠EAC＝60°，∠EAC+∠CAB＝60°，∴∠DAE+∠EAC+∠EAC+∠CAB＝120°，∵∠DAE+∠EAC+∠CAB＝∠DAB，∴∠DAB+∠EAC＝120°；（4）∠AOD+∠BOC＝α+β，理由是：∵∠AOD＝∠DOC+∠COA＝β+∠COA，∴∠AOD+∠BOC＝β+∠COA+∠BOC，＝β+∠AOB，＝α+β．8．解：（1）∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝70°+50°＝120°，其补角为180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°，（2）∠DOE与∠AOB互补，理由如下：∵∠DOC＝∠BOC＝×70°＝35°，∠COE＝∠AOC＝×50°＝25°．∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝35°+25°＝60°．∴∠DOE+∠AOB＝60°+70°+50°＝180°，∴∠DOE与∠AOB互补．（3）∠DOE与∠AOB不一定互补，理由如下：∵∠DOC＝∠BOC＝α，∠COE＝∠AOC＝β，∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝α+β＝（α+β），∴∠DOE+∠AOB＝（α+β）+（α+β）＝（α+β），∵α+β的度数不确定∴∠DOE与∠AOB不一定互补．9．解：（1）因为∠AOD＝90°，∠DOE＝20°所以∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110°因为OH平分∠AOE所以∠HOE＝AOE＝55°所以∠FOH＝90°﹣∠HOE＝35°；故答案为35°；（2）∠BOE＝2∠FOH，理由如下：设∠AOH＝x，因为OH平分∠AOE所以∠HOE＝∠AOH＝x所以∠FOH＝90°﹣∠HOE＝90°﹣x∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2x所以∠BOE＝2∠FOH；（3）如图3，当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内因为OH平分∠AOE所以∠HOE＝∠AOH＝AOE因为OG平分∠BOF∠FOG＝∠GOB＝BOF所以∠GOH＝∠GOF﹣∠FOH＝BOF﹣（∠AOH﹣∠AOF）＝（180°﹣∠AOF）﹣AOE+∠AOF＝90°﹣AOF﹣（90°+∠AOF）+∠AOF ＝90°﹣AOF﹣45°﹣AOF+∠AOF＝45°；所以∠GOH的度数为45°；如图4，当OE落在其他位置时因为OH平分∠AOE所以∠HOE＝∠AOH＝AOE因为OG平分∠BOF∠FOG＝∠GOB＝BOF所以∠GOH＝∠GOF+∠FOH＝BOF+∠AOH+∠AOF＝（180°﹣∠AOF）+AOE+∠AOF＝90°﹣AOF+（90°﹣∠AOF）+∠AOF＝90°﹣AOF+45°﹣AOF+∠AOF＝135°；所以∠GOH的度数为135°；综上所述：∠GOH的度数为45°或135°．10．解：（1）当OB、OC运动到如图1的位置时，∵∠AOC+∠BOD＝100°，∴∠AOC+∠COD+∠BOC＝100°∠AOD+∠BOC＝100°①∵∠AOB+∠COD＝40°，∴∠AOD﹣∠BOC＝40°②①+②得2∠AOD＝140°∴∠AOD＝70°．∴∠BOC＝30°答：∠AOD的度数为70°．（2）在（1）的条件下（图2），∵射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，∴∠CON＝COD，∠BOM＝AOB∴∠MON＝∠CON+∠BOM+∠BOC＝（∠AOB+∠COD）+∠BOC＝×40°+30°＝50°．答：∠MON的度数为50°．（3）在（1）的条件下（图3），OE、OF是∠AOD外部的两条射线，∠EOB＝∠COF＝90°，∵OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，∴∠POD＝EOD∠AOQ＝AOF∴∠POQ＝∠AOD+∠POD+∠AOQ＝70°+（∠EOD+∠AOF）＝70°+（∠EOB﹣∠BOD+∠COF﹣∠AOC）＝70°+[（90°+90°﹣（∠BOD+∠AOC）]＝70°+90°﹣100°＝110°．答：∠POQ的度数为110°．11．解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，又∵∠COB＝60°，∴∠COE＝30°；（2）∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOE＝∠COA，∵∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，∴∠COD＝∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝2x°，∵∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，∴3x＝30或2x+90﹣x＝120，∴x＝10或30，∴∠AOE＝20°或60°，∴∠BOE＝160°或120°．12．解：（1）∵∠AOC+∠BOD＝100°，∴∠AOB+∠BOC+∠BOC+∠COD＝100°，又∵∠AOB+∠COD＝40°，∴2∠BOC＝100°﹣40°＝60°，∴∠BOC＝30°，答：∠BOC的度数为30°；（2）∵OM是∠AOB的平分线，∴∠AOM＝∠BOM＝∠AOB，又∵ON是∠COD的平分线，本文使用Word编辑，排版工整，可根据需要自行修改、打印，使用方便。

期末复习角的计算专题（解析版）第一部分 教学案类型一 方程思想1．（2012秋•高淳区期末）已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，求∠α．思路引领：根据互为补角的和等于180°，然后根据题意列出关于α、β的二元一次方程组，求解即可．解：根据题意得{α+β=180°①α−12β=30°②， ①﹣②得，32β＝150°，解得β＝100°，把β＝100°代入①得，α+100°＝80°，解得α＝80°．总结提升：本题考查了互为补角的和等于180°的性质，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．2．（2021秋•潜江期末）如图，已知∠BOC ＝2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD ＝20°，求∠AOB 的度数．思路引领：此题可以设∠AOC ＝x ，进一步根据角之间的关系用未知数表示其它角，再根据已知的角列方程即可进行计算．解：设∠AOC ＝x ，则∠BOC ＝2x ．∴∠AOB ＝3x ．又OD 平分∠AOB ，∴∠AOD ＝1.5x ．∴∠COD ＝∠AOD ﹣∠AOC ＝1.5x ﹣x ＝20°．∴x ＝40°∴∠AOB ＝120°．总结提升：本题考查了角平分线的定义及角的计算，设出适当的未知数，运用方程求出角的度数是解决此类问题的一般方法．3．如图，A 、O 、B 三点在一条直线上，∠AOC ＝2∠COD ，OE 平分∠BOD ，∠COE ＝77°，求∠COD的度数．思路引领：设∠COD＝x，则∠AOC＝2x，根据∠COE＝77°，表示出∠DOE的度数，然后根据∠AOB＝180°，列方程，求出x的值即可．解：设∠COD＝x，则∠AOC＝2x，∵∠COE＝77°，OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE＝77°﹣x，∴2x+x+2（77°﹣x）＝180°，解得：x＝26°．即∠COD＝26°．总结提升：本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互补两角之和为180°．4．如图，已知∠AOB内有两条射线OC，OD，∠AOD＝2∠BOD，∠AOC=13∠COB，∠COD＝70°．求∠AOC的度数．思路引领：设∠BOD＝x°，则∠AOD＝2x°，∠AOC＝（2x﹣70）°，∠COB＝（x+70）°，根据∠AOC=13∠COB，即可列方程求得∠BOD的度数，进而求得∠AOC的度数．解：设∠BOD＝x°，则∠AOD＝2x°，∠AOC＝（2x﹣70）°，∠COB＝（x+70）°，∵∠AOC=13∠COB，∴2x﹣70=13（x+70），解得：x＝56，则∠AOC＝2×56°﹣70°＝42°．总结提升：本题考查了角度的计算，理解图中角度之间的关系，转化为方程问题是关键．5．（2019秋•东西湖区期末）如图，∠AOC与∠BOC互余，OD平分∠BOC，∠EOC＝4∠AOE．（1）若∠AOD＝70°，求∠AOE的度数；（2）若∠DOE＝63°，求∠EOC的度数．思路引领：（1）根据互余得到∠AOB ，再根据角平分线的定义表示出∠BOC ，可求∠AOC ，再根据∠EOC ＝4∠AOE ，且∠EOC +∠AOE ＝∠AOC 列方程求解即可；（2）设∠COD ＝∠BOD ＝x °，则∠EOC ＝63°﹣x °，∠AOE =63°−x°4，由∠AOE +∠EOC +∠COB ＝90°列方程求出x 的值，再求解即可．解：（1）∵∠AOC 与∠BOC 互余，∴∠AOC +∠BOC ＝90°，∴∠AOB ＝90°，又∵∠AOD ＝70°，∴∠BOD ＝20°，∵OD 平分∠BOC ，∴∠BOC ＝2∠BOD ＝40°，∴∠AOC ＝50°，又∵∠EOC ＝4∠AOE ，且∠EOC +∠AOE ＝∠AOC ，∴4∠AOE +∠AOE ＝50°，∴∠AOE ＝10°；（2）设∠COD ＝∠BOD ＝x °，则∠EOC ＝63°﹣x °，∠AOE =63°−x°4， 由∠AOE +∠EOC +∠COB ＝90°可得63°−x°4−63°﹣x °+2x °＝90°，解得x ＝15，∴∠EOC ＝63°﹣x °＝63°﹣15°＝48°．总结提升：本题考查了余角和补角，角平分线的定义，准确识图是解题的关键． 类型二 分类讨论思想6．已知∠AOB ＝70°，∠COB ＝40°，则∠AOC 的度数是 ．思路引领：分OC 在∠AOB 内和OC 在∠AOB 外两种情况考虑，依此画出图形，根据角与角之间结合∠AOB 、∠BOC 的度数，即可求出∠AOC 的度数．解：当OC 在∠AOB 内时，如图1所示．∵∠AOB ＝70°，∠BOC ＝40°，∴∠AOC ＝∠AOB ﹣∠BOC ＝30°；当OC在∠AOB外时，如图2所示．∵∠AOB＝70°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°．故答案为：30°或110°．总结提升：本题考查了角的计算，分OC在∠AOB内和OC在∠AOB外两种情况考虑是解题的关键．7．如图，∠AOB＝120°，∠AOC＝70°，过点O作射线OD，使∠BOD＝3∠BOC．求∠AOD的度数．思路引领：分两种情况，表示出∠AOD，即可求解．解：（1）∵∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC，∴∠BOC＝120°﹣70°＝50°，∵∠BOD＝3∠BOC，∴∠BOD＝150°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝30°；（2）∵∠AOD＝360°﹣∠BOD﹣∠AOB，∴∠AOD＝360°﹣120°﹣150°＝90°．答：∠AOD的度数是30°或90°．总结提升：本题考查角的计算，关键是要分两种情况，准确表示出有关的角．类型三单角平分线8．（2022秋•萧山区期末）已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝50°，设∠BOE＝n．（1）若射线OE在∠BOC的内部（如图1），①若n＝43°，求∠COD的度数；②当∠AOD＝3∠COE时，求∠COD的度数．（2）若射线OE恰为图中某一个角（小于180°）的角平分线，试求n的值．思路引领：（1）①先求出∠BOC，再求出∠COE，即可求出得出∠COD的大小；②根据题意可知2∠COE+50°＝120°据此即可求出∠COE的大小，进而求出∠COD的大小；（2）OE平分∠BOC时，需要分类讨论，并根据角平分线的定义解答即可．解：（1）①∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，由n＝43°，可得∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝17°，∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝50°﹣17°＝33°；②∵∠AOD＝3∠COE，∠AOD+∠COD＝120°，∠DOE＝50°，∴3∠COE+50°﹣∠COE＝120解得∠COE＝35°，∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝50°﹣35°＝15°；（2）当OE平分∠BOC时，如图所示：∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，∴∠BOE=12∠BOC=30°．即n＝30°；当OE平分∠AOC时，如图所示：∠BOE＝2∠BOC＝120°，即n＝120°；当OE平分∠BOD时，如图所示：∠BOE＝∠DOE＝50°，即n＝50°；当OE平分∠COD时，∠BOE＝∠EOC+∠BOC＝50°+60°＝110°，即n＝110°；OE平分∠AOD是不成立．所以n＝30°、50°、110°或120°．总结提升：本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．9．（2021秋•未央区校级期末）如图，已知∠AOB＝150°，OC为∠AOB内部的一条射线，∠BOC＝60°．若OE平分∠AOB，OD为∠BOC内部的一条射线，∠COD=12∠BOD，求∠DOE的度数．思路引领：根据∠EOD＝∠EOB﹣∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可．解：∵∠AOB＝150°，OE平分∠AOB，∴∠EOB=12∠AOB＝75°，∵∠BOC＝60°，∠COD=12∠BOD，∴∠BOD＝40°，∠COD＝20°，∴∠EOD＝∠EOB﹣∠DOB＝75°﹣40°＝35°．总结提升：本题考查角的计算，熟练掌握角平分线的定义，灵活应用角的和差关系是解题的关键．10．（1）如图1，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC 内，∠COE＝2∠BOE，∠DOE＝70°，求∠COE的度数．（2）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．①请你数一数，图中有个小于平角的角；②求出∠BOD的度数；③请通过计算说明OE是否平分∠BOC．思路引领：（1）先设∠BOE＝x，根据∠BOE=12∠EOC，得出∠COE＝2x，再根据角平分线的定义，得出∠AOD＝∠DOB＝70°﹣x，最后根据∠AOD+∠DOE+∠EOC＝180°，列出方程70°﹣x+70°+2x＝180°，求得x的值即可；（2）①根据图形即可得出小于平角的角；②根据∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，得出∠AOD＝25°，最后根据∠BOD＝180°﹣∠AOD进行计算即可；③先根据∠AOC＝50°，得出∠BOC＝180°﹣50°＝130°，再根据∠DOE＝90°，求得∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，进而得出∠BOE=12∠BOC，即可得出结论．解：（1）如图1，设∠BOE＝x，∵∠BOE=12∠EOC，∴∠COE＝2x，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠DOB＝70°﹣x，∵∠AOD+∠DOE+∠EOC＝180°，∴70°﹣x+70°+2x＝180°，解得x＝40°，∴∠EOC＝80°；（2）①由图可得，图中有9个小于平角的角，故答案为：9；②如图2，∵∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∴∠AOD＝25°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣25°＝155°；③如图2，∵∠AOC＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，∵∠DOE＝90°，∴∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，∴∠BOE=12∠BOC，∴OE平分∠BOC．总结提升：本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．11．（2018秋•兴业县期末）如图，已知OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠BOE=1 3∠EOC，∠AOC＝170°．（1）若知∠AOB＝70°，求∠EOC的度数；（2）若知∠DOE＝70°，求∠EOC的度数．思路引领：（1）可以设∠BOE为x°，根据条件列方程解决，求出∠BOE，进而求出∠EOC的度数；（2）设∠BOE＝a，则∠ECO＝3a，根据条件列方程解决，求出∠BOE．解：∵∠AOC＝170°，∠AOB＝70°，∴∠BOC＝100°，设∠BOE＝x，则∠ECO＝3x，∴∠BOC＝∠BOE+∠EOC＝x+3x＝100°，∴x＝25°，∴∠EOC＝75°；（2）设∠BOE＝a，则∠ECO＝3a，∵∠DOE＝70°，OD平分∠AOB，∴∠AOD﹣∠BOD＝70°﹣a，∴∠AOC＝2∠AOD+∠BOE+∠EOC＝2（70°﹣a）+a+3a＝170°，∴a＝15°，∴∠EOC＝3a＝45°．总结提升：考查了根据角平分线的性质和已知条件列方程求解，难度适中，方程思想是解决问题的基本思考方法．类型四双角平分线12．（2019秋•岳阳楼区校级期末）如图1，已知∠AOB的内部有一条射线OC，OM、ON 分别平分∠AOC和∠BOC．（1）若∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，求∠MON的度数．（2）若去掉（1）中的条件∠BOC＝40°，只保留∠AOB＝120°，求∠MON的度数．（3）若将∠AOB内部的射线OC旋转到∠AOB的外部，如图2，∠AOB＝120°，求∠MON的度数，并请用一句话或一个式子概括你发现的∠MON与∠AOB的数量关系．思路引领：（1）先利用角平分线的性质得到∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，再利用∠MON＝∠COM+∠CON计算；（2）根据角平分线的性质解答即可；（3）先利用角平分线的性质得到∠CON=12∠AOC，∠COM=12∠BOC，再利用∠MON＝∠COM﹣∠CON计算，即可解答．解：（1）∵∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣40°＝80°，∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC=12×80°=40°，∠NOC=12∠BOC=12×40°=20°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+20°＝60°；（2）如图1，∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝120°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=12×120°=60°；（3）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，所以∠MON＝∠COM﹣∠CON=12∠AOC−12∠BOC=12（∠AOC﹣∠BOC）=12∠AOB=12×120°＝60°，∠MON=12∠AOB．总结提升：此题考查了角的计算，以及角平分线，解决本题的关键是利用角的和与差．13．（2017秋•梁子湖区期末）如图，已知OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠AOD＝110°，∠BOE＝100°，求∠AOE的度数．思路引领：设∠EOD＝∠DOC＝x°，求出∠AOB＝∠COB＝100°﹣2x°，根据∠AOD ＝110°得出方程，求出x的值，即可求出答案．解：∵OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∴设∠EOD＝∠DOC＝x°，∠AOB＝∠COB，∵∠AOD＝110°，∠BOE＝100°，∴∠AOB＝∠BOC＝100°﹣2x°，∴∠COD+∠COB+∠AOB＝110°，∴x+100﹣2x+100﹣2x＝110，解得x＝30，即∠EOD＝∠DOC＝30°，∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110°+30°＝140°．总结提升：本题考查了角平分线性质和角的有关计算的应用，关键是能根据题意得出方程．14．（2020秋•和平区期末）如图：∠AOB：∠BOC：∠COD＝2：3：4，射线OM、ON，分别平分∠AOB与∠COD，又∠MON＝84°，则∠AOB为（）A．28°B．30°C．32°D．38°思路引领：首先设出未知数，然后利用角的和差关系和角平分线的定义列出方程，即可求出∠AOB的度数．解：设∠AOB＝2x°，则∠BOC＝3x°，∠COD＝4x°，∵射线OM、ON分别平分∠AOB与∠COD，∴∠BOM=12∠AOB＝x°，∠CON=12∠COD＝2x°，又∵∠MON＝84°，∴x+3x+2x＝84，x＝14，∴∠AOB＝14°×2＝28°．故选：A．总结提升：本题主要考查了角平分线的定义和角的计算，解题时要能根据图形找出等量关系列出方程，求出角的度数．类型五整体思想15．如图，∠AOC与∠BOC互补，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，试说明∠COE与∠COF具有怎样的数量关系．思路引领：根据角平分线的性质，可得∠FOC=12∠AOC，∠COE=12∠COB，根据角的和差，可得答案．解：∠COF与∠COE互余，理由如下：由OF平分∠AOC，OE平分∠BOC，得∠FOC=12∠AOC，∠COE=12∠COB．由角的和差，得∠COF+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=12×180°＝90°，故∠COF与∠COE互余．总结提升：本题考查了余角和补角，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°．16．（2019秋•天峨县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE＝90°，OM平分∠AOD，ON平分∠DOE．（1）若∠MOE＝27°，求∠AOC的度数；（2）当∠BOD＝x°（0＜x＜90）时，求∠MON的度数．思路引领：（1）根据余角性质得到∠MOE＝27°，∠AOM＝90°﹣27°＝63°，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）根据对顶角的性质得到∠AOC＝∠BOD＝x°，求得∠AOD＝180°﹣x°，∠DOE ＝90°﹣x°，根据角平分线的定义即可得到结论．解：（1）∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝90°，∴∠MOE＝27°，∴∠AOM＝90°﹣27°＝63°，∵OM平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠AOM＝126°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝54°；（2）∵∠BOD＝x°，∴∠AOC＝∠BOD＝x°，∴∠AOD＝180°﹣x°，∵∠AOE＝∠BOE＝90°，∴∠DOE＝90°﹣x°，∵ON平分∠DOE，OM平分∠AOD，∴∠DOM=12∠AOD＝90°−12x°，∠DON=12∠DOE＝45°−12x°，∴∠MON＝∠DOM﹣∠DON＝45°．总结提升：此题主要考查了角平分线的性质以及垂线定义和邻补角的定义，正确表示出∠AOD的度数是解题关键．17．如图，已知∠AOB内部有顺次的四条射线：OE、OC、OD、OF、OE平分∠AOC，OF 平分∠DOB（1）若∠AOB＝160°，∠COD＝40°，求∠EOF的度数；（2）若∠AOB＝α，∠COD＝β，求∠EOF的度数（3）从（1）、（2）的结果，你能看出什么规律吗？思路引领：（1）（2）通过角的和差关系角平分线的性质，得到∠EOF与已知角∠AOB、∠AOC的关系，代入求值；（3）根据（1）（2）的结论，得出规律．解：（1）∵∠EOF＝∠EOC+∠DOC+∠FOD=12∠AOC+∠COD+12∠BOD=12∠AOB+12∠COD∵∠AOB＝160°，∠DOC＝40°∴∠EOF＝80°+20°＝100°．（2），∵∠EOF＝∠EOC+∠DOC+∠FOD=12∠AOC+∠COD+12∠BOD=12∠AOB+12∠COD∵∠AOB＝α，∠COD＝β，∴∠EOF=12α+12β=12(α+β)．（3）若∠AOB内部有顺次的四条射线：OE、OC、OD、OF，OE平分∠AOC，OF平分∠DOB，那么∠EOF=12(∠AOB+∠COD)．总结提升：本题考查了角平分线的性质及角的和差关系．通过和差关系角平分线的性质得到∠EOF=12(∠AOB+∠COD)是解决本题的关键．类型六射线的转动19．（2021秋•盱眙县期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=12∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC=12∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．【解决问题】（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，∠AOB的度数为，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为；（用含n的代数式表示）（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？思路引领：（1）根据“友好线”定义即可作出判断；（2）根据“友好线”定义即可求解；（3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可．解：（1）∵OB 是∠BOC 的平分线， ∴∠BOD ＝∠COD ， ∵∠COA =12∠BOC ， ∴∠BOD =12∠AOD ，∴射线OD 是射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”． 故答案为：是．（2）∵射线OM 是射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”，∠AOB 的度数为n ， ∴∠BOM =13∠AOB =13n ， ∵ON 平分∠AOB ， ∴∠BON =12∠AOB =12n ，∴∠MON ＝∠BON ﹣∠BOM =12n −13n =16n ． 故答案为：16n ．（3）设运动时间为x （x ≤36）秒时，射线OA 、OB 、OC 中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”．当射线OB 是射线OA 在∠AOC 内的一条“友好线”时，则∠AOB =12∠COB ， 所以3x =12（180﹣5x ﹣3x ）， 解得x =907（符合题意）， 即运动时间为907秒时，射线OB 是射线OA 的“友好线”．当射线OB 是射线OC 在∠AOC 内的一条“友好线”时，则∠COB =12∠AOB ， 所以180﹣5x ﹣3x =12×3x ， 解得x =36019（符合题意）， 即运动时间为36019秒时，射线OB 是射线OC 的“友好线”．当射线OC 是射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”时，则∠COB =12∠AOC ， 所以3x +5x ﹣180=12（180﹣5x ）， 解得x =1807（符合题意）， 即运动时间为1807秒时，射线OC 是射线OB 的“友好线”．当射线OC 是射线OA 在∠AOB 内的一条“友好线”时，则∠AOC =12∠COB ，所以180﹣5x =12（5x +3x ﹣180）， 解得x ＝30（符合题意），即运动时间为30秒时，射线OC 是射线OA 的“友好线”． 综上所述，当运动时间为907或36019或1807或30秒时，符合题意要求．总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想．20．已知，OC 是∠AOB 内部的一条射线，且∠AOC =13∠AOB ．（1）如图1所示，若∠AOB ＝120°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠AOC ，求∠MON 的度数；（2）如图2所示，∠AOB ＝x °，射线OP 、射线OQ 分别从OC 、OB 出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O 顺时针旋转，OP 和OQ 分别只在∠AOC 和∠BOC 内部旋转；①当运动t 秒时，请分别写出∠AOP 和∠COQ 的度数（用x 、t 表示）；∠AOP 和∠COQ 的数量关系如何？②若∠AOB ＝150°，当t 为何值时，OP ⊥OQ ？（3）如图3所示，∠AOB 是直角，从O 点出发引射线OD ，且∠AOD ﹣∠BOD ＝∠COD ，请直接写出∠COD 与∠AOB 的度数之比．思路引领：（1）先根据已知得：∠AOC ＝40°，再由角平分线的定义和角的和差可得结论；（2）①直接根据速度和时间表示：∠COP ＝t ×1＝t °，∠BOQ ＝t ×2＝2t °，最后由角的和与差表示结论，从而由结论可得∠AOP 和∠COQ 的数量关系；②由图可知：当∠COQ +∠COP ＝90°时，OP ⊥OQ ，根据∠COQ +∠COP ＝90°列等式可得结论；（3）先计算∠AOC 的度数，由已知等式可得：∠AOC ＝∠BOD ，所以得∠COD ＝30°，可得最后的比的关系．解：（1）如图1，∵OC 平分∠AOB ， ∴∠AOM =12∠AOB =12×120°＝60°，∵∠AOC =13∠AOB =13×120°＝40°， ∵ON 平分∠AOC ，∴∠AON =12∠AOC ＝20°，∴∠MON ＝∠AOM ﹣∠AON ＝60°﹣20°＝40°；（2）①∵∠AOC =13∠AOB =13x°， 由题意得：∠COP ＝t ×1＝t °， ∠BOQ ＝t ×2＝2t °，∴∠AOP ＝∠AOC ﹣∠COP ＝（13x −t ）°，∠COQ ＝∠BOC ﹣∠BOQ ＝（23x −2t ）°，∴∠COQ ＝2∠AOP ，②当∠COQ +∠COP ＝90°时，OP ⊥OQ ， 即（23x ﹣2t ）+t ＝90，把x ＝150代入得：23×150﹣2t +t ＝90，t ＝10，∴当t ＝10秒时，OP ⊥OQ ；（3）如图3，∵∠AOB ＝90°，∠AOC =13∠AOB ， ∴∠AOC ＝30°，∵∠AOD ﹣∠BOD ＝∠COD ， ∴∠AOC +∠COD ﹣∠BOD ＝∠COD ， ∴∠AOC ＝∠BOD ＝30°，∴∠COD ＝90°﹣30°﹣30°＝30°， ∴∠COD ：∠AOB ＝30°：90°＝1：3．总结提升：本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义、垂直的定义以及角的和差倍分，注意利用数形结合的思想． 一．选择题1．（2019秋•青山区期末）如图，∠AOB ＝α，∠BOC ＝β，OM ，ON 分别平分∠AOB ，∠COB ，OH 平分∠AOC ，下列结论：①∠MON ＝∠HOC ；②2∠MOH ＝∠AOH ﹣∠BOH ；③2∠MON ＝∠AOC +∠BOH ；④2∠NOH ＝∠COH +∠BOH ．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个思路引领：本题考查了角度的计算问题，根据角平分线和角的和差进行计算便可得出结论．解：①∵OM ，ON 分别平分∠AOB ，∠COB ， ∴∠BOM =12∠AOB ，∠BON =12∠BOC ，∴∠MON ＝∠BOM +∠BON =12（∠AOB +∠BOC ）=12(α+β)， ∵OH 平分∠AOC ，∴∠HOC =12∠AOC =12（∠AOB +∠BOC ）=12(α+β)， ∴∠MON ＝∠HOC ， 故①正确；②∵2∠MOH ＝2（∠AOH ﹣∠AOM ）＝2（12∠AOC −12∠AOB ）＝∠AOC ﹣∠AOB ＝α+β﹣α＝β，∠AOH ﹣∠BOH =12∠AOC ﹣（∠COH ﹣∠BOC ）=12∠AOC −12∠AOC +∠BOC ＝∠BOC ＝β，∴2∠MOH ＝∠AOH ﹣∠BOH ， 故②正确；③∵2∠MON ＝2（∠BOM +∠BON ）＝2×12（∠AOB +∠BOC ）＝α+β，∠AOC +∠BOH ＝（∠AOB +∠AOC ）+（∠COH ﹣∠BOC ）＝α+β+12α+12β−β=32α+12β， ∴2∠MON ≠∠AOC +∠BOH ， 故③错误；④∵2∠NOH ＝2（∠COH ﹣∠CON ）＝2（12α+12β−12β）＝α，∠COH +∠BOH ＝∠COH +∠COH ﹣∠BOC ＝2∠COH ﹣∠BOC =2×(12α+12β)−β=α，∴2∠NOH ＝∠COH +∠BOH ， 故④正确；∴正确的答案有3个．故选：C ．总结提升：本题始终运用角的和差与角的平分线进行角度的切换是解决本题的一个技巧，本题关系复杂，计算时要细心，不能弄错角与角的关系． 二．填空题2．（2021秋•江岸区期末）如图，射线OB 、OC 为锐角∠AOD 的三等分线，若图中所有锐角度数之和为200°，则∠AOD 的度数为 ．思路引领：设∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD 的度数为x ，由∠AOB +∠BOC +∠COD +∠AOC +∠AOD +∠BOD ＝200°求出x ，进而求解． 解：∵OB 、OC 为锐角∠AOD 的三等分线， ∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD 的度数为x ，∴∠AOB +∠BOC +∠COD +∠AOC +∠AOD +∠BOD ＝x +x +x +2x +3x +2x ＝10x ＝200°， ∴x ＝20°，∴∠AOD ＝∠AOB +∠BOC +∠COD ＝3x ＝60°， 故答案为：60°．总结提升：本题考查角的计算，解题关键是根据图象列出所有锐角和为200°． 三．解答题（共16小题）3．（2010秋•南长区期末）一个角的补角比这个角的三倍多10度，求这个角的余角． 思路引领：利用题中“一个角的补角＝这个角的三倍+10度”作为相等关系列方程求解即可．解：设这个角为x 度，根据题意得： 180°﹣x ＝3x +10°， x ＝42.5°，所以这个角的余角为90°﹣42.5°＝47.5°．总结提升：主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度．解此题的关键是能准确的找出角之间的数量关系，从而计算出结果．4．（2019秋•宜州区期末）已知一个角的余角比这个角的补角的12小12°，如果设这个角为x 度，请求出这个角的余角和补角的度数．思路引领：互补即两角的和为180°，互余的两角和为90°，设这个角为∠A，则这个角余角为90°﹣∠A，这个角的补角为180°﹣∠A，然后列方程求解即可．解：根据题意得：90﹣x=12（180﹣x）﹣12，解得：x＝24，90﹣x＝90﹣24＝66°，180﹣x＝180﹣24＝156°，答：这个角的余角为66°，补角为156°．总结提升：本题主要考查的是余角和补角的定义，根据题意列出关于x的方程是解题的关键．5．（2021春•奎文区期中）下面是小明参加七年级数学期中考试解的一道题．题目：在同一平面内，若∠AOB＝70°，∠BOC＝20°，求∠AOC的度数．解：根据题意可画出图形．因为∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°﹣20°＝50°，所以∠AOC＝50°．若你是老师，你会给小明判满分吗？若会，请说明理由；若不会，请你指出小明的错误，并给出正确的解答．思路引领：分OC在∠AOB的外部和OC在∠AOB的内部两种情况，画出图形，用角的和差即可得答案．解：不会给小明判满分，小明解答不全面，还有另一种情况，正确解答如下：当OC在∠AOB的外部时，如图1，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°+20°＝90°；当OC在∠AOB的内部时，如图2，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°﹣20°＝50°，综上所述，∠AOC的度数为90°或50°．总结提升：本题考查了角的计算、分类讨论等知识；根据题意得出OC在∠AOB的外部和OC在∠AOB的内部两种情况是解题的关键．6．（2020秋•苏州期末）补全下面的解题过程：如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，OD是∠AOB的平分线，∠AOC＝2∠BOC，且∠BOC＝40°，求∠COD的度数．解：∵∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝80°．∴∠AOB＝∠AOC+∠＝120°．∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=12∠＝60°．∴∠COD＝∠﹣∠AOD＝20°．思路引领：根据题目的已知条件先求出∠AOC，进而求出∠AOB，再根据角平分线的定义求出∠AOD即可解答．解：∵∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝80°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=12∠AOB＝60°，∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝20°，故答案为：80，BOC，120，AOB，60，AOC．总结提升：本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形去分析是解题的关键．7．（2021秋•石景山区期末）如图，已知∠AOB＝120°，OP平分∠AOB．反向延长射线OA至C．（1）依题意画出图形，直接写出∠BOC的度数是°．（2）完成下列证明过程：证明：如图，∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP=12∠．（角平分线的定义）∵∠AOB＝120°，∴∠AOP＝°．∵∠BOC＝°．∴∠AOP＝∠BOC．（）思路引领：（1）补全图形，利用平角的定义即可求得∠BOC＝60°；（2）由角平分线的定义可得∠AOP=12∠AOB＝60°，从而可求得∠AOP＝∠BOC．（1）解：如图，∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOB＝60°，故答案为：60；（2）证明：∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP=12∠AOB（角平分线的定义）．∵∠AOB＝120°，∴∠AOP＝60°．∵∠BOC＝60°．∴∠AOP＝∠BOC（等量代换）．故答案为：AOB；角平分线的定义；60；60；等量代换．总结提升：本题主要考查角的计算，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．8．（2022秋•长丰县期末）如图，已知∠AOD＝90°，∠BOE＝90°，OC平分∠BOD，∠COD＝30°，求∠AOE的度数．思路引领：根据角平分线的定义可得∠BOD＝2∠COD＝2×30°＝60°，再根据角的和差关系可得∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝30°，进而得出∠AOE的度数．解：∵OC平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠COD＝2×30°＝60°，∵∠BOE＝90°，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝30°，∵∠AOD＝90°，∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝120°．总结提升：此题综合考查角平分线及角的和差关系，注意数形结合，便于解决问题．9．（2018秋•开州区期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC＝38°，求∠COD的度数．思路引领：由角平分线的定义，角的和差计算得∠COD的度数为19°．解：如图所示：∵∠BOC＝2∠AOC，∠AOC＝38°，∴∠BOC＝2×38°＝76°∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC∴∠AOB＝76°+38°＝114°∵OD平分∠AOB∴∠AOD=12∠AOB=12×114°＝57°，又∵∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，∴∠COD＝57°﹣38°＝19°．总结提升：本题综合考查了角平分线的定义，角的和差等相关知识点，重点掌握角的计算．10．（2021秋•滨江区期末）如图，OC⊥AB于点O，∠COD=14∠BOD，OE平分∠BOD．（1）求∠COE和∠AOE的度数．（2）过点O作射线OF，若OF⊥OE，求∠BOF的度数．思路引领：（1）由垂线的定义结合∠COD=14∠BOD可求解∩BOD＝120°，再根据角平分线的定义可求解∠BOE的度数，进而可求解∠COE，∠AOE的度数；（2）可分两种情况：当OF在直线AB上方时，当OF在直线AB下方时，分解计算可求解．解：（1）∵OC⊥AB，∴∠BOC＝∠AOC＝90°，∵∠COD=14∠BOD，∴∠COD=13∠BOC＝30°，∴∠BOD＝120°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE＝60°，∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°，∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣60°＝120°；（2）如图，当OF在直线AB上方时，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∵∠BOE＝60°，∴∠BOF＝∠BOE+∠EOF＝60°+90°＝150°；当OF在直线AB下方时，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∵∠BOE＝60°，∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°，故∠BOF的度数为150°或30°．总结提升：本题主要考查垂线，角平分线的定义，角的计算，分类讨论是解题的关键．11．将分别含有30°和45°的三角板如图放置，且30°和45°角的顶点重合在一起，OM 平分∠AOC，ON平分∠DOC．（1）画出几何图形，并求出∠MON的大小；（2）若将30°角的三角板换成一个任意角的纸三角板，其他条件不变，则（1）中的结论是否变化？说明理由．思路引领：由图可得角之间的关系：∠COM=12∠AOC=12（∠BOC+∠A0B），∠CON=12∠COD=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD），∠MON=12∠COD−12∠AOC=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD）−12（∠BOC+∠A0B），由此解答即可．解：（1）根据题意可作图如下：根据图中所示：∠COM=12∠AOC=12（∠BOC+∠A0B）；∠CON=12∠COD=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD）；∠MON=12∠COD−12∠AOC，=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD）−12（∠BOC+∠A0B），=12（30°+∠A0B+45°）−12（30°+∠A0B），=12×75°−12×30°，＝22.5°；故答案为：∠MON＝22.5°．（2）将30°角三角板换成一个任意锐角的纸板，其他条件不变，（1）中的结论不变化．证明：由（1）可知∠MON=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD）−12（∠BOC+∠A0B）=12∠AOD=12×45°＝22.5°，故：将30°角三角板换成一个任意锐角的纸板，其他条件不变，（1）中的结论不变化．总结提升：本题考查了角的计算，此题很复杂，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，对同学们的作图、分析、计算能力有较高要求．在计算分析的过程中注意动手操作，在计算中消去共同的未知量．12．（2019秋•高新区期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝48°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）图中有个小于平角的角；（2）求出∠BOD的度数；（3）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．思路引领：（1）按起始边分别是：OA，OD，OC，OE终边向右旋转得到角的顺序，即可写出所有小于平角的角；（2）根据OD是∠AOC的度数，即可求得∠AOD的度数，利用∠AOD与∠BOD是临补角，即可求解；（3）分别求得∠COE与∠EOB的度数，即可判断．解：（1）小于平角的角有：∠AOD，∠AOC，∠AOE，∠DOC，∠DOE，∠DOB，∠COE，∠COB，∠EOB共有9个．故答案是：9；（2）∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD=12∠AOC=12×48°＝24°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣24°＝156°；（3）∵∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝90°﹣24°＝66°，∠BOE＝180°﹣∠AOD﹣∠DOE＝180°﹣24°﹣90°＝66°，∴∠COE＝∠BOE，∴OE平分∠BOC．总结提升：本题考查了角平分线的定义，以及互补、互余的计算，正确确定（1）中数角的个数的顺序是难点．13．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝60°，∠BOC＝20°，求∠AOD 的度数．思路引领：根据角平分线的定义得到∠MOB=12∠AOB，∠NOC=12∠COD，由于∠NOC+∠BOC+∠MOB＝∠MON，则∠NOC+∠MOB＝40°，然后利用∠AOD＝∠COD+∠BOC+∠MOB进行计算．解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∴∠MOB=12∠AOB，∠NOC=12∠COD，∵∠NOC+∠BOC+∠MOB＝∠MON，即∠NOC+20°+∠MOB＝60°，∴∠NOC+∠MOB＝40°，∴∠AOD＝∠COD+∠BOC+∠MOB＝2（∠NOC+∠MOB）+∠BOC＝2×40°+20°＝100°．总结提升：本题考查了角度的计算：学会计算角的和、差、倍、分．也考查了角平分线的定义．14．（2017秋•荔湾区期末）已知，∠AOD＝160°，OB、OM、ON是∠AOD内的射线（1）如图1，若OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，则∠MON ＝ 80 °（2）如图2，OC 是∠AOD 内的射线，若∠BOC ＝20°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，当射线OB 在∠AOC 内时，求∠MON 的大小；（3）如图2，在（2）的条件下，当∠AOB ＝2t °时，∠AOM ：∠DON ＝2：3，求t 的值． 思路引领：（1）根据角平分线的定义求出∠BOM 和∠BON ，然后根据∠MON ＝∠BOM +∠BON 代入数据进行计算即可得解；（2）设∠AOB ＝x ，表示出∠BOD ＝160°﹣x ，根据角平分线的定义表示出∠COM 和∠BON ，然后根据∠MON ＝∠COM +∠BON ﹣∠BOC 列式计算即可得解；（3）由∠AOB ＝2t °，∠BOC ＝20°，则∠AOM =12∠AOC ＝t °+10°，∠DON =12∠BOD ＝80°﹣t °，列式计算即可．解：（1）∵OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，∴∠BOM =12∠AOB ，∠BON =12∠BOD ，∴∠MON ＝∠BOM +∠BON =12（∠AOB +∠BOD ），∵∠AOD ＝∠AOB +∠BOD ＝160°，∴∠MON =12×160°＝80°；故答案为：80；（2）设∠AOB ＝x ，则∠BOD ＝160°﹣x ，∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，∴∠COM =12∠AOC =12（x +20°），∠BON =12∠BOD =12（160°﹣x ），∴∠MON ＝∠COM +∠BON ﹣∠BOC =12（x +20°）+12（160°﹣x ）﹣20°＝70°；（3）由∠AOB ＝2t °，∠BOC ＝20°，则∠AOC ＝2t °+20°，∠BOD ＝160°﹣2t °， ∴∠AOM =12∠AOC ＝t °+10°，∠DON =12∠BOD ＝80°﹣t °，∵∠AOM ：∠DON ＝2：3，∴t+1080−t =23， 解得：t ＝26．总结提升：本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用．15．（2017秋•兴隆台区期末）如图，OC、OD为∠AOB内部的两条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．（1）若∠AOB＝90°，∠MON＝70°，求∠COD的度数；（2）若∠AOB＝α，∠M0N＝β，求∠COD的度数（用含有α、β的式子表示）．思路引领：由OM平分∠AOC，ON平分∠BOD可知∠AOC＝2∠AOM，∠BOD＝2∠BON．（1）将∠AOB＝90°，∠MON＝70°代入可得∠AOM+∠BON＝20°，那么∠AOC+∠BOD＝40°，∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝50°；（2）将∠AOB＝α，∠MON＝β代入可得∠AOM+∠BON＝α﹣β，那么∠AOC+∠BOD＝2（α﹣β），∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝2β﹣α．解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOC＝2∠AOM，∠BOD＝2∠BON．（1）∵∠AOB＝90°，∠MON＝70°，∴∠AOM+∠BON＝∠AOB﹣∠MON＝20°，∴∠AOC+∠BOD＝2∠AOM+2∠＝2（∠AOM+∠BON）＝40°，∴∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝90°﹣40°＝50°；（2）∵∠AOB＝α，∠MON＝β，∴∠AOM+∠BON＝∠AOB﹣∠MON＝α﹣β，∴∠AOC+∠BOD＝2∠AOM+2∠BON＝2（∠AOM+∠BON）＝2（α﹣β）＝2α﹣2β，∴∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝α﹣（2α﹣2β）＝2β﹣α．总结提升：本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义及角的和差倍分，注意利用数形结合的思想．16．（2020秋•徐州期末）如图，AB与OC交于点O，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）若∠BOC＝60°，求∠AOE的度数；（2）∠COD与∠EOC存在怎样的数量关系？请说明理由．思路引领：（1）先求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义解答；（2）根据角平分线的定义表示出∠COD与∠EOC，然后整理即可得解．解：（1）∵∠BOC＝60°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=12∠AOC=12×120°＝60°；（2）∠COD+∠EOC＝90°．理由如下：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠COD=12∠BOC，∠EOC=12∠AOC，∴∠COD+∠EOC=12（∠BOC+∠AOC）=12×180°＝90°．总结提升：本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键．17．射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=12∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图（1），∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC=12∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD=12∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．（1）如图（2），∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝°，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是α6；（用含α的代数式表示）（2）如图（3），若∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针转动，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针转动，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②当t的值为多少时，射线OC，OD，OA中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？思路引领：（1）根据伴随线定义即可求解；（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．解：（1）如图（2），∠AOB ＝120°，射线OM 是射线OA 的伴随线，则∠AOM ＝40°，若∠AOB 的度数是α，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是∠AOB 的平分线，则∠NOC 的度数是α6． 故答案为：40，α6； （2）射线OD 与OA 重合时，t =1805=36，①当∠COD 的度数是20°时，有两种可能：若在相遇之前，则180﹣5t ﹣3t ＝20，∴t ＝20；若在相遇之后，则5t +3t ﹣180＝20，∴t ＝25；所以，综上所述，当t ＝20或25时，∠COD 的度数是20°．②相遇之前：（i ）如图1，OC 是OA 的伴随线时，则∠AOC =12∠COD ，即 3t =12（180﹣5t ﹣3t ），∴t =907；（ii ）如图2，。

专题6 角一、单选题1．（新人教版数学七年级上册第四章几何图形初步4.3.2《角的比较与运算》课时练习）如图所示，从点O出发的5条射线，可以组成的角的个数是（）．A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】D2．北京时间上午8：30时，时钟上时针和分针之间的夹角(小于平角)是（）A. 85°B. 75°C. 70°D. 60°【答案】B【解析】在钟面上，被12小时划分为12大格，每1大格对应的度数是30度，上午8:30的时候，时针指向8时和9时的中间位置，分针指向6时，两针之间刚好间隔2.5格，∴8:30时，时针和分针之间的夹角为：30° 2.5=75°.3．如图，下列说法错误的是（）A. OA的方向是北偏东40°B. OB的方向是北偏西75°C. OC的方向是西南方向D. OD的方向是南偏东40°【答案】A【解析】A选项中，由图可知“OA的方向是北偏东50°”，所以本选项说法错误；B选项中，由图可知：“OB的方向是北偏西75°”是正确的；C选项中，由图可知；“OC的方向是西南方向”是正确的；D选项中，由图可知：“OD的方向是南偏东40°”是正确的；故选A.4．下列说法正确的是（）A. A在B的南偏东30°的方向上，则B也在A的南偏东30°的方向上；B. A在B的南偏东30°的方向上，则B在A的南偏东60°的方向上；C. A在B的南偏东30°的方向上，则B在A的北偏西30°的方向上；D. A在B的南偏东30°的方向上，则B在A的北偏西60°的方向上【答案】C5．（北师大版数学七年级上册第四章基本平面图形4.3角同步测试题）一个角是70°18′，则这个角等于（）A. 70.18° B. 70.3° C. 70.018° D. 70.03°【答案】B【解析】70°18′=70°+18′ 60=70°+0.3°=70.3°.故选B.6．如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列结论错误的是()A. ∠AOB<∠AODB. ∠BOC<∠AOBC. ∠COD>∠AODD. ∠AOB>∠AOC【答案】C【解析】观察图形可知：A.∠AOB＜∠AOD正确；B.∠BOC＜∠AOB正确；C.∠COD＞∠AOD错误；D.∠AOB＞∠AOC正确.故选C.7．（新人教版数学七年级上册第四章几何图形初步4.3.2《角的比较与运算》课时练）下列语句中，正确的是（）．A. 比直角大的角钝角; B. 比平角小的角是钝角C. 钝角的平分线把钝角分为两个锐角;D. 钝角与锐角的差是锐角【答案】C8．（新人教版数学七年级上册第四章几何图形初步4.3.1《角》课时练习）已知α 、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四个同学的计算16（α +β）的结果依次为28°、48°、60°、88°，其中只有一个同学计算结果是正确的，则得到正确结果的同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四个同学的计算16（α +β）的结果依次为28°、48°、60°、88°，那么这四个同学计算α+β的结果依次为168°、288°、360°、528°，又因为两个钝角的和应大于180°且小于360°，所以只有乙同学的计算正确，故选B.9．（山东省东昌府区梁水镇中心中学2016-2017学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，如果∠AOC=∠BOD，则∠AOB与∠DOC的大小关系是（）A. ∠AOB>∠DOCB. ∠AOB<∠DOCC. ∠AOB=∠DOCD. 无法比较【答案】C【解析】∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC，∴∠AOB=∠DOC.故选C.10．如图，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式为( )。

七年级上册数学角度的计算习题一、选择题1.如图，∠AOB是一直角，∠AOC=40°，OD平分∠BOC，则∠AOD等于（）A． 65°B． 50°C． 40°D． 25°2.在15°、65°、75°、135°的角中，能用一副三角尺画出来的有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个3.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB=（）A ． 90°B ． 120°C ． 160°D ． 180°4.一个钝角与一个锐角的差是（ ）A ． 锐角B ． 钝角C ． 直角D ． 不能确定 5.如图，∠AOB 是直角，∠COD 也是直角，若∠AOC ＝α，则∠BOD 等于 （ ）.A ．90°＋αB ．90°－αC ．180°＋αD ．180°－α6.如图，射线OB 、OC 将∠AOD 分成三部分，下列判断错误的是（ ）DABC OA．如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC=∠BODB．如果∠AOB＞∠COD，那么∠AOC＞∠BODC．如果∠AOB＜∠COD，那么∠AOC＜∠BODD．如果∠AOB=∠BOC，那么∠AOC=∠BOD二、填空题7.比较两角大小的方法有：（1）法；（2）法．三、解答题8.如图，将一副三角尺的两个直角顶点O重合在一起，在同一平面内旋转其中一个三角尺．（1）如图1，若∠BOC=70°，求∠AOD的度数．（2）如图2，若∠BOC=50°，求∠AOD的度数．（3）如图1，请猜想∠BOC与∠AOD的关系，并写出理由．9.下面是小马虎解的一道题题目：在同一平面上，若∠BOA=70°，∠BOC=15°，求∠AOC的度数．解：根据题意可画出图∵∠AOC=∠BOA-∠BOC=70°-15°=55°∴∠AOC=55°若你是老师，会判小马虎满分吗？若会，说明理由．若不会，给出你认为正确的解法．10.把一副三角尺如图所示拼在一起．（1）写出图中∠A、∠B、∠BCD、∠D、∠AED的度数；（2）用小于号“＜”将上述各角连接起来．11.如图所示，点O在直线AB上，并且∠AOC=∠BOC=90°，∠EOF=90°，试判断∠AOE 和∠COF，∠COE和∠BOF的大小关系．12.如图，已知∠AOC=∠BOD=75°，∠BOC=30°，求∠AOD．答案解析1.【答案】A【解析】∵∠AOB是一直角，∠AOC=40°，∴∠COB=50°，∵OD平分∠BOC，∴∠COD=25°，∵∠AOD=∠AOC+∠COD，∴∠AOD=65°．故选A．2.【答案】C【解析】15°=45°-30°，65°不能画出，75°=30°+45°，135°=45°+90°，所以能用一副三角尺画出来的有15°、75°，135°共3个，故选C．3.【答案】D【解析】设∠AOD=a，∠AOC=90°+a，∠BOD=90°-a，所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°-a=180°．故选D．4.【答案】D【解析】一个钝角与一个锐角的差可能是锐角、直角也可能是钝角．故选D．5.【答案】B6.【答案】D【解析】A、如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC=∠BOD，本选项正确；B、如果∠AOB＞∠COD，那么∠AOC＞∠BOD，本选项正确；C、如果∠AOB＜∠COD，那么∠AOC＜∠BOC，本选项正确；D、如果∠AOB=∠BOC，那么∠AOC=∠BOD，本选项错误．故选D．7.【答案】（1）度量；（2）叠合【解析】角的大小比较的两种方法：（1）度量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．（2）叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，另一边都不落在重合边的同侧，观察另一边的位置，据此判断即可．8.【答案】解：（1）∵∠BOC+∠BOD=90，∠BOC=70°，∴∠BOD=20°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=110°．（2）∵∠AOB=∠DOC=90°，又∵∠AOB+∠AOD+∠DOC+∠BOC=360°，∴∠BOC+∠AOD=180°∵∠BOC=50°，∴∠AOD=180-∠BOC=130°．（3）结论：∠BOC+∠AOD=180°．理由：∵∠AOB=90°，∠COD=90°，∴∠BOC+∠AOD=（90°-∠AOC）+（90°+∠AOC）=90°-∠AOC+90°+∠AOC=180°，∴∠BOC+∠AOD=180°．【解析】（1）∠BOC和∠BOD互余，故∠BOD=20°，故可知∠AOD的度数．（2）利用∠BOC与∠AOD互补求∠AOD度数．（3）根据角的互补，叠和部分恰好为∠AOD的补角，故∠BOC和∠AOD的和始终等于180度．9.【答案】解：不会，如图，当OC在∠AOB的内部时，∠AOC=∠BOA-∠BOC=55°，当OC在∠AOB的外部时，∠AOC=∠BOA+∠BOC=85°，故∠AOC的度数是55°或85°．【解析】在同一平面内，∠BOA与∠BOC可能存在两种情况，即当OC在∠AOB的内部或OC在∠AOB的外部．10.【答案】解：（1）∠A=30°，∠B=90°，∠BCD=150°，∠D=45°，∠AED=135°；（2）∠A＜∠D＜∠B＜∠AED＜∠BCD．【解析】（1）一副三角尺一个是等腰直角三角形，另一个是一个角为30°的直角三角形，看图写出各个角的度数，（2）按角的大小顺序连接．11.【答案】解：因为∠EOF=∠COF+∠COE=90°，∠AOC=∠AOE+∠COE=90°，即∠AOE和∠COF都与∠COE互余，根据同角的余角相等得：∠AOE=∠COF，同理可得出：∠COE=∠BOF．【解析】根据已知得出∠AOE和∠COF都与∠COE互余，进而得出∠AOE=∠COF，即可得出：∠COE=∠BOF．12.【答案】解：∵∠AOC=75°，∠BOC=30°，∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=75°-30°=45°，又∵∠BOD=75°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=45°+75°=120°．故答案为120°．【解析】根据∠AOC=∠BOD=75°，∠BOC=30°，利用角的和差关系先求出∠AOB的度数，再求∠AOD．。

前言：
该专题训练习题由多位一线国家特级教师针对当前最新的热点、考点、重点、难点、知识点，精心编辑而成。

以高质量的专题训练习题助力考生查漏补缺，在原有基础上更进一步。

（最新精品专题训练习题）
专题训练(九) 角的计算
类型1利用角度的和、差关系
找出待求的角与已知角的和、差关系，根据角度和、差来计算．
1．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD的度数．
解：因为∠AOC＝75°，∠BOC＝30°，
所以∠AO B＝∠AOC－∠BOC＝75°－30°＝45°.
又因为∠BOD＝75°，
所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝45°＋75°＝120°.
2．将一副三角板的两个顶点重叠放在一起．(两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°)
(1)如图1所示，在此种情形下，当∠DAC＝4∠BAD时，求∠CAE的度数；
(2)如图2所示，在此种情形下，当∠ACE＝3∠BCD时，求∠ACD的度数．
解：(1)因为∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＝4∠B AD，
所以5∠BAD＝90°，即∠BAD＝18°.
1。