二轮专题三、四知识回顾

专题3-4 三角函数、平面向量知识回顾一、真题探源之“高考姊妹题”对历年的高考试题进行再加工、改造，并赋予新意是高考命题的一个手段. 命题角度1 三角函数的定义【真题示例1】 (2014²全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )【解析】 如图所示，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，则P (cos x ，sin x )，M (cos x ，0)，作MM ′⊥OP ，M ′为垂足，则|MM ′||OM |＝sin x ，∴f （x ）cos x ＝sin x ， ∴f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ， 则当x ＝π4时，f (x )max ＝12； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，有f （x ）|cos x |＝sin(π－x )，f(x)＝－sin x cos x＝－12sin 2x，当x＝3π4时，f(x)max＝12.只有B选项的图象符合．【真题探源】(2010²全国卷文6)如图2­2，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )图2­2命题角度2 三角恒等变换及三角函数的性质【真题示例2】(2014²全国卷Ⅱ，文14)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为__________．【解析】∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin [φ＋(x＋φ)]－2sin φcos(x＋φ)＝sin φcos(x＋φ)＋cos φsin(x＋φ)－2sin φcos(x＋φ)＝cos φsin(x＋φ)－sin φcos(x＋φ)＝sin x∴f(x)的最大值为1.【真题探源】(2013²全国卷Ⅰ文16)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x取得最大值，则cos θ＝________．命题角度3 平面向量【真题示例3】(2015²全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．【解析】∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎨⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.【真题探源】 (2009²海南高考，文7)已知a ＝(－3，2)，b ＝(－1，0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17B ．17C ．－16D ．16二、真题探源系列之“教材母题”对教材中的题目的条件进行适当的变换或让书中题目的条件披上新装，是编制高考试题的常用方法．命题角度1 三角恒等变换【真题示例1】 (2015²全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．12【解析】 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.【真题探源】 求值：sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°.命题角度2 平面向量【真题示例2】 (2014²全国卷Ⅰ，文6)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝A.AD →B ．12AD →C ．12BC →D ．BC →【解析】 EB →＋FC →＝(EC →－BC →)＋(FB →＋BC →)＝EC →＋FB →＝12AB →＋12AC →＝12(AB →＋AC→＝AD →，选A.【真题探源】 已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则①EF →＝12c －12b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD→＋BE →＋CF →＝0中正确的等式的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 命题角度3 解三角形【真题示例3】 (2014²全国卷Ⅰ文16)如图2­3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________ m.图2­3【解析】 在直角三角形ABC 中，由条件可得AC ＝1002，在△MAC 中，由正弦定理可得AM sin 60°＝ACsin （180°－60°－75°）， 故AM ＝32AC ＝1003，在直角△MAN 中，MN ＝AM ²sin 60°＝150.【真题探源】 如图2­4，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD (精确到1 m)．图2­4【点评】 结合上述实例，我们不难发现，对三角函数的性质很多试题的产生都来自于历年高考真题；对三角函数的恒等变换及平面向量常常来自课本习题或习题的组合、加工和深化． 教材回访1.已知tan α＝3，计算： (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)sin αcos α；(3)(sin α＋cos α)2.【推荐理由】 该题较好的考查了同角三角函数的基本关系，以及切化弦的思想．2.已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x ) 的最小值以及取得最小值时x 的集合． 【推荐理由】 该题较好的考查了三角恒等变换及三角函数的图象及性质．3.如图2­6，A ，B 两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A ，B 两点间距离的方法．图2­6【推荐理由】 该题以实际问题的解决为背景，较全面的考查了学生对正余弦定理的掌握。

【题组演练】1．(2014²全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos |2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③【解析】 ①y ＝cos |2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2.【答案】 A2．(2015²安徽高考)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．【解】 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取得最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0. 3.已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的周期为π.(1)在给定的平面直角坐标系中作出该函数在x ∈[0，π]的图象；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12时，求f (x )的值域；(3)当x ∈[0，π]时，根据实数m 的不同取值，讨论函数g (x )＝f (x )－m 的零点个数．图2­1­5【解】 (1)f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.由T ＝π，得ω＝2，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.列表(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，512π，则2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，76π.结合(1)中f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，512π上的图象知f (x )∈[－1，2]．(3)函数g (x )＝f (x )－m 在x ∈[0，π]的零点个数，即函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈[0，π]与函数y ＝m 的交点个数．由(1)中图象知：①当m ＜－2或m ＞2时，函数g (x )无零点；②当m ＝±2时，函数g (x )仅有一个零点；③当－2＜m ＜3或3＜m ＜2时，函数g (x )有两个零点；④当m ＝3时，函数g (x )有三个零点．4.(2015²山东高考)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．【解】 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A＝32.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ， 即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.5．(2015²唐山模拟)已知△ABC 的周长为6，|BC →|，|CA →|，|AB →|成等比数列，求(1)△ABC 的面积S 的最大值； (2)BA →²BC →的取值范围．【解】 设|BC →|，|CA →|，|AB →|依次为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝6，b 2＝ac .在△ABC 中，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，故有0＜B ≤π3，又b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b 2，从而0＜b ≤2.(1)S ＝12ac sin B ＝12b 2sin B ≤12²22²sin π3＝3，当且仅当a ＝c ，且B＝π3即△ABC 为等边三角形时面积最大，即S max ＝ 3. (2)BA →²BC →＝ac cos B ＝a 2＋c 2－b 22＝（a ＋c ）2－2ac －b 22＝（6－b ）2－3b 22＝－(b ＋3)2＋27，∵0＜b ≤2，∴2≤BA →²BC →＜18.即BA →²BC →的取值范围是[2，18)．6．(2015²潍坊模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1，x ∈R ，(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →²AC →＝9，求S △ABC 及a 的值．【解】 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最小正周期为2π2＝π.由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )．故f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )．(2)f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，0＜A ＜π，π6＜2A ＋π6＜2π＋π6.于是2A ＋π6＝5π6，故A ＝π3.由b ，a ，c 成等差数列，得2a ＝b ＋c ，由AB →²AC →＝9，得bc cos A ＝9，12bc ＝9，bc ＝18.S △ABC ＝12bc sin A ＝12³18³32＝932. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc .于是a 2＝4a 2－54，a 2＝18，a＝3 2.11。