第二讲 递推公式求解

第二讲递推算法部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑第二讲递推算法一、引例：Fibonacci数列Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名数学家Fibonacci 于1202年提出的“兔子繁殖问题”(又称“Fibonacci问题”>。

b5E2RGbCAP问题：一个数列的第0项为0，第1项为1，以后每一项都是前两项的和，这个数列就是著名的裴波那契数列，求裴波那契数列的第N项。

p1EanqFDPw解答：•由问题,可写出递推方程算法：F[0] := 1。

F[1] := 2。

FOR i := 2 TO N DOF[I] := F[I – 1] + F[I – 2]。

总结：从这个问题可以看出，在计算裴波那契数列的每一项时，都可以由前两项推出。

这样，相邻两项之间的变化有一定的规律性，我们可以将这种规律归纳成如下简捷的递推关系式：Fn=g(Fn-1>，这就在数的序列中，建立起后项和前项之间的关系。

然后从初始条件<或是最终结果）入手，按递推关系式递推，直至求出最终结果<或初始值）。

很多问题就是这样逐步求解的。

DXDiTa9E3d对一个试卷，我们要是能找到后一项与前一项的关系并清楚其起始条件<或最终结果），问题就可以递推了，接下来便是让计算机一步步了。

让高速的计算机从事这种重复运算，真正起到“物尽其用”的效果。

RTCrpUDGiT二、递推概念：给定一个数的序列H0,H1,…,Hn,…若存在整数n0，使当n>n0时,可以用等号(或大于号、小于号>将Hn与其前面的某些项Hn(0<i<n>联系起来，这样的式子就叫做递推关系。

5PCzVD7HxA –如何建立递推关系–递推关系有何性质–如何求解递推关系递推的形式•顺推法和倒推法三、应用举例例1：昆虫繁殖科学家在热带森林中发现了一种特殊的昆虫，这种昆虫的繁殖能力很强。

每对成虫过x个月产y对卵，每对卵要过两个月长成成虫。

第二课时数列的递推公式课标要求素养要求1.理解数列的递推公式是数列的表示方法的一种形式.2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法. 通过由数列的递推公式归纳或者推导数列的通项公式，提升学生的数学运算素养和逻辑推理素养.新知探究历史上有一个有名的关于兔子的问题：假设有一对兔子(一雄一雌)，长两个月它们就算长大成年了.然后每个月都会生出1对兔子，生下来的兔子也都是长两个月就算成年，然后每个月也都会生出1对兔子.这里假设兔子不会死，且每次都是只生1对兔子.第一个月，只有1对兔子；第二个月，小兔子还没长成年，还是只有1对兔子；第三个月，兔子长成年了，同时生了1对小兔子，因此有两对兔子；第四个月，成年兔子又生了1对兔子，加上自己及上月生的小兔子，共有3对兔子；第五个月，成年兔子又生了1对兔子，第三月生的小兔子现在已经长成年了且生了1对小兔子，加上本身两只成年兔子及上月生的小兔子，共5对兔子；问题1过了一年之后，会有多少对兔子？提示 我们可以把这些兔子的数量以对为单位列出数字就能得到一组数字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.所以，过了一年之后，总共会有233对兔子.问题2 兔子的对数所组成的数列为1，1，2，3，5，8，13，…这个数列的第n 项a n ，第n ＋1项a n ＋1，第n ＋2项a n ＋2有何关系？ 提示 a n ＋a n ＋1＝a n ＋2.1.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 2.数列的前n 项和(1)数列{a n }的前n 项和：把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .(2)数列的前n 项和公式：如果数列{a n }的前n 项和S n 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n 项和公式. 3.a n 与S n 的关系式 a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.拓展深化[微判断]1.数列{a n }中，若a n ＋1＝2a n ，n ∈N *，则a 2＝2a 1.(√)2.利用a n ＋1＝2a n ，n ∈N *可以确定数列{a n }.(×) 提示 只有给出a 1的值，才可以确定数列{a n }.3.设数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝S n －S n －1.(×) 提示 a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[微训练]1.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则数列的第5项a 5＝________，由此归纳出{a n }的一个通项公式为________，可以求得a 8＝________.解析 ∵a 1＝3，∴a 2＝2a 1＋1＝7，a 3＝2a 2＋1＝15，a 4＝2a 3＋1＝31，a 5＝2a 4＋1＝63，∴a 5＝63.可以看出a n ＝2n ＋1－1，∴a 8＝29－1＝511. 答案 63 a n ＝2n ＋1－1 5112.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －3，则a n ＝________.解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－[2(n －1)－3]＝2，又a 1＝S 1＝2×1－3＝－1，故a n ＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，2，n ≥2.答案 ⎩⎨⎧－1，n ＝1，2，n ≥2.[微思考]1.利用数列的递推公式确定一个数列，必须给出哪些条件？ 提示 (1)“基础”，即第1项(或前几项)； (2)递推关系，即递推公式.2.数列的递推公式与其通项公式有何异同？ 提示相同点不同点通项公式均可确定一个数列，求出数列中的任意一项给出n 的值，可求出数列中的第n 项a n 递推公式由前一项(或前几项)，通过一次(或多次)运算，可求出第n 项a n题型一 由数列的递推公式求数列的项【例1】 若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，n ∈N *，求a 2 021.解 a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝1－31＋3＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝1－121＋12＝13， a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋131－13＝2＝a 1， ∴{a n }是周期为4的数列， ∴a 2 021＝a 4×505＋1＝a 1＝2.规律方法 递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律.【训练1】 (多选题)已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝－1a n ＋1，能使a n ＝3的n可以为( ) A.22 B.24 C.26D.28解析 由a 1＝3，a n ＋1＝－1a n ＋1，得a 2＝－14，a 3＝－43，a 4＝3.所以数列{a n }是周期为3的数列，故a 22＝a 28＝3. 答案 AD题型二 由递推公式求数列的通项【例2】 (1)对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N *)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，n ∈N *，求通项a n ；(2)若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2，n ∈N *)，求通项a n .解 (1)当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)当n ≥2时，a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝1×12×23×…×n －1n ＝1n . a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ，n ∈N *.规律方法 形如a n ＋1－a n ＝f (n )的递推公式，可以利用a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N *)求通项公式；形如a n ＋1a n ＝f (n )的递推公式，可以利用a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)求通项公式.以上方法分别叫累加法和累乘法. 【训练2】 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.解析 法一 (累乘法)：把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ＞0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ，∴a n a 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n .法二 (迭代法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n ＋1＝nn ＋1a n，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1. 又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .法三 (构造特殊数列法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ，∴数列{na n }是常数列， ∴na n ＝1·a 1＝1，∴a n ＝1n . 答案 1n题型三 由S n 与a n 的关系求a n【例3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式. 解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知 S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1，n ∈N *)， 当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）2＋12（n －1）＝2n －12， ①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12，n ∈N *.【迁移1】 把例3中数列{a n }的前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求数列{a n }的通项公式.解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋12n ＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）2＋12（n －1）＋1＝2n －12.①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12＋1＝52不符合①式. ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52，n ＝1，2n －12，n ≥2，n ∈N *.【迁移2】 把例3中数列{a n }的前n 项和改为S n ＝2n －1，求数列{a n }的通项公式.解 ∵S n ＝2n －1，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝1符合上式，∴a n ＝2n －1.规律方法 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求得a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示.【训练3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋n ＋3，求数列{a n }的通项公式. 解 ∵S n ＝2n 2＋n ＋3，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋1＋3＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n ＋3－[2(n －1)2＋(n －1)＋3]＝4n －1. 当n ＝1时，a 1不符合上式， ∴a n ＝⎩⎨⎧6，n ＝1，4n －1，n ≥2.一、素养落地1.通过学习由数列的递推公式求数列的项或通项公式，提升逻辑推理素养和数学运算素养.2.由数列的递推公式求数列的通项公式的方法有：(1)归纳法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)迭代法.3.利用a n 与S n 的关系求通项所应用公式为a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，注意其步骤有三：①求n ＝1时的项，即a 1；②求n ≥2时a n 的表达式；③验证a 1是否满足n ≥2时的表达式. 二、素养训练1.已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第三项是( ) A.1 B.12 C.34D.58解析 由题知a 2＝12×1＋12＝1，a 3＝12×1＋14＝34. 答案 C2.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A.a n ＝a n －1＋2(n ≥2) B.a n ＝2a n －1(n ≥2)C.a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解析 A ，B 中没有说明某一项，无法递推；D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意. 答案 C3.已知数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 对∀n ∈N *成立，且a 3＝12，则a 1＝________. 解析 ∵a 3＝2a 2＝12，∴a 2＝6，a 2＝2a 1＝6，∴a 1＝3. 答案 34.已知数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1，2，3，…)，则a 4＝________，猜想其通项公式是________.解析 ∵数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n (n ＝1，2，3，…)，∴a 2＝a 11＋a 1＝12，同理可得a 3＝13，a 4＝14.猜想其通项公式是a n ＝1n . 答案 14 a n ＝1n5.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，求a n . 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3(n －1)＝3，又a 1＝S 1＝3，所以a n ＝3.基础达标一、选择题1.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.23解析 由题知，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝12，a 4＝3，a 5＝23. 答案 D2.已知数列{a n }，a 2＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ，n ∈N *，则a 1＋a 3的值为( ) A.4 B.5 C.6D.8解析 由a 2＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ，n ∈N *，可得a 1＋a 2＝2，a 2＋a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝3，a 1＋a 3＝4. 答案 A3.已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *).若数列{a n }是常数列，则a ＝( )A.－2B.－1C.0D.(－1)n解析 ∵数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝a 2－2a ＋1.∵数列{a n }是常数列，∴a ＝a 2－2a ＋1，解得a ＝－2.故选A.答案 A4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18等于( ) A.36 B.35 C.34D.33解析 a 2＝S 2－S 1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，a 18＝S 18－S 17＝182－2×18－(172－2×17)＝33，a 2＋a 18＝34. 答案 C5.设S n 为数列{a n }的前n 项和.若2S n ＝3a n －3，则a 4＝( ) A.27 B.81 C.93D.243解析 根据2S n ＝3a n －3，可得2S n ＋1＝3a n ＋1－3，两式相减得2a n ＋1＝3a n ＋1－3a n ，即a n ＋1＝3a n .当n ＝1时，2S 1＝3a 1－3，解得a 1＝3，则a 4＝3a 3＝32a 2＝33a 1＝81. 答案 B 二、填空题6.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n ＋1－3，则14是{a n }的第________项.解析 a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5，a 3＝a 2＋3＝8，a 4＝a 3＋3＝11，a 5＝a 4＋3＝14. 答案 57.已知数列{a n }中，a 1a 2…a n ＝n 2(n ∈N *)，则a 9＝________. 解析 a 1a 2…a 8＝82，① a 1a 2…a 9＝92，② ②÷①得，a 9＝9282＝8164. 答案 81648.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *，2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项为________.解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1， ∴a n ≠0，∴a na n －1＝2>1，∴a n >a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝4a 8＝…＝29·a 1＝29×2＝210＝1 024. 答案 1 024 三、解答题9.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式. (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *)；(3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *).解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9. 猜想a n ＝(n －1)2(n ∈N *).(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52. 猜想a n ＝n ＋12(n ∈N *).(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14. 猜想a n ＝－1n (n ∈N *).10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求数列{a n }的通项公式. (1)S n ＝3n ＋2；(2)S n ＝n 2－n . 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2)－(3n －1＋2) ＝2·3n －1，故a n ＝⎩⎨⎧5，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－n )－[(n －1)2－(n －1)]＝2n －2，又a 1＝0满足a n ＝2n －2，故a n ＝2n －2.能力提升11.已知各项不为0的数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.解析 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，且各项均不为0， ∴1a n －1a n －1＝1. ∴当n ≥2时，1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1 ＝2＋1＋1＋1＋…＋1(n －1)个1 ＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1.∵a 1＝12也符合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *).答案1n ＋112.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，n ∈N *，求数列的通项公式a n .解 ∵a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，∴a 2－a 1＝11－12， a 3－a 2＝12－13， a 4－a 3＝13－14， …，a n －a n －1＝1n －1－1n (n ≥2)，将以上n －1个式子相加，得∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， 即a n －a 1＝1－1n (n ≥2，n ∈N *).∴a n ＝a 1＋1－1n ＝－1＋1－1n ＝－1n (n ≥2，n ∈N *)， 又当n ＝1时，a 1＝－1也符合上式. ∴a n ＝－1n ，n ∈N *.创新猜想13.(多选题)已知数列{x n }满足x 1＝a ，x 2＝b ，x n ＋1＝x n －x n －1(n ≥2)，则下列结论正确的是( ) A.x 2 020＝a B.x 2 022＝a －b C.x 11＝x 2 021D.x 1＋x 2＋…＋x 2 020＝2b －a解析 x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝x 2－x 1＝b －a ，x 4＝x 3－x 2＝－a ，x 5＝x 4－x 3＝－b ，x 6＝x 5－x 4＝a －b ， x 7＝x 6－x 5＝a ＝x 1，x 8＝x 7－x 6＝b ＝x 2， ∴{x n }是周期数列，周期为6， ∴x 2 020＝x 4＝－a ，A 不正确； x 2 022＝x 6＝a －b ，B 正确； x 2 021＝x 5＝x 11，C 正确；x 1＋x 2＋…＋x 2 020＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2b －a ，D 正确. 答案 BCD14.(多选题)已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数，若a 4＝4，则m 所有可能的取值为( ) A.4 B.5 C.21D.32解析 若a 3为奇数，则3a 3＋1＝4，a 3＝1，若a 2为奇数，则3a 2＋1＝1，a 2＝0(舍去)，若a 2为偶数，则a 22＝1，a 2＝2.若a 1为奇数，则3a 1＋1＝2，a 1＝13(舍去)， 若a 1为偶数，则a 12＝2，a 1＝4； 若a 3为偶数，则a 32＝4，a 3＝8；若a 2为奇数，则3a 2＋1＝8，a 2＝73(舍去). 若a 2为偶数，则a 22＝8，a 2＝16. 若a 1为奇数，则3a 1＋1＝16，a 1＝5. 若a 1为偶数，则a 12＝16，a 1＝32. 故m 所有可能的取值为4，5，32.答案ABD高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

(整理)高中数列的递推关系推导
本文旨在介绍高中数学中数列的递推关系推导方法，以帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、数列的基本概念
数列是数学中的一个重要概念，指有限或无限多个数按照一定顺序排列而成的序列。

数列中的每个数称为该数列的项，第n项用an表示。

数列的公式分为通项公式和递推公式两种。

二、递推关系的含义
递推关系是指通过前一项的值来求解后一项的值的公式，也称为递推式或递推公式。

在高中数学中，递推关系通常指数列的递推公式。

三、递推关系推导方法
1. 常数递推关系：若数列每项与前面一项的差都相等，则称该数列为等差数列。

对于等差数列，其递推公式常用形式为an=an-1+d，其中d为公差。

推导时只需求出相邻两项之间的差值，即可得出递推公式。

2. 变数递推关系：若数列每项与前面若干项有关，则称该数列为变数数列。

对于变数数列，其递推公式一般不具有固定形式，需要根据具体情况进行推导。

推导方法可以是列出前几个项的表格，观察数列中的规律，然后进行归纳总结，得出递推公式。

四、递推关系的应用
数列的递推关系在数学中有很广泛的应用，主要用于解决各种计数和排列组合问题。

比如，在组合数学中，递推关系被广泛应用于计算二项式系数、斯特林数、欧拉数等。

总之，递推关系是数学中一个重要的概念，掌握递推关系的推导方法能够帮助学生更好地理解数列的性质和规律，同时也为日后的数学学习打下了坚实的基础。

第二讲递推公式求解
递推公式是求解递归问题的一种方法，它可以用简单的表达式描述系
统的行为，以确定或猜测系统未来的行为。

在数学上，它是一个表达式，
可以将系统的当前状态用于计算下一状态的值，并将其用于下一步的计算。

递推公式一般有两种形式，即线性递推公式和非线性递推公式。

线性递推公式是指当n（当前状态）变化时，其结果也是线性的，即
其中的变量与n的关系可以表示为一个线性的方程式。

线性递推公式可以
用于求解递归问题。

例如，求解有线性递推公式的递归问题：F(n)=F(n-1)+F(n-2)。

非线性递推公式是指当n（当前状态）变化时，其结果是非线性的，
即其中的变量与n的关系不能表示为一个线性方程式。

非线性递推公式可
以用于求解递归问题，例如，求解非线性递推公式的递归问题：
F(n)=F(n-1)×F(n-2)。

在许多情况下，线性递推公式可以用来求解递归问题，而非线性递推
公式要更加复杂，但它们可以用来求解一些比较复杂的递推问题。

求解递推公式的一般步骤如下：
（1）找出递推公式，并得到它的形式；
（2）如果是线性递推，解出其特征方程；
（3）根据特征方程和起始条件确定递推公式的解；。

第2课时数列的递推公式学习目标 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累乘法求通项公式.3.会由数列的前n项和S n求数列的通项公式．导语同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时上的例1.一、数列通项公式的简单应用例1(教材P5例3改编)已知数列{a n}的通项公式是a n＝2n2－n，n∈N*.(1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为数列{a n}中的项，3是否为数列{a n}中的项．解(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{a n}的前3项分别为1,6,15.(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－92(舍去)，故45是数列{a n}中的第5项．令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝32，故3不是数列{a n}中的项．反思感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．跟踪训练1已知数列{a n}的通项公式为a n＝q n，n∈N*，且a4－a2＝72.(1)求实数q的值；(2)判断－81是否为此数列中的项．解(1)由题意知q4－q2＝72，则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.(2)当q＝3时，a n＝3n.显然－81不是此数列中的项；当q＝－3时，a n＝(－3)n.令(－3)n＝－81，无解，∴－81不是此数列中的项．二、数列的递推公式问题1如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为a n ，你能发现a n 与a n ＋1之间的关系吗？提示其实把n ＋1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n 个金属片移到2号位，需要a n 步；第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；第三步：把2号位上的n 个金属片移到3号位，需要a n 步，故a n ＋1＝2a n ＋1.知识梳理如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．注意点：(1)通项公式反映的是a n 与n 之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项．例2若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，n ∈N *，求a 2021.解a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝1－31＋3＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝1－121＋12＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋131－13＝2＝a 1，…∴{a n }是周期为4的数列，∴a 2021＝a 4×505＋1＝a 1＝2.反思感悟递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性．跟踪训练2已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n，则此数列的第3项是()A ．1 B.12 C.34 D.58答案C解析a 1＝1，a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋12×2＝34.三、由递推公式求通项公式例3(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a n 等于()A.1nB.2n －1nC.n －1nD.12n答案B解析方法一(归纳法)数列的前5项分别为a 1＝1，a 2＝1＋1－12＝2－12＝32，a 3＝32＋12－13＝2－13＝53，a 4＝53＋13－14＝2－14＝74，a 5＝74＋14－15＝2－15＝95，又a 1＝1，由此可得数列的一个通项公式为a n ＝2n －1n .方法二(迭代法)a 2＝a 1＋1－12，a 3＝a 2＋12－13，…，a n ＝a n －1＋1n －1－1n (n ≥2)，则a n ＝a 1＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝2－1n ＝2n －1n (n ≥2)．又a 1＝1也适合上式，所以a n ＝2n －1n (n ∈N *)．方法三(累加法)a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，a 1＝1，a 2－a 1＝1－12，a 3－a 2＝12－13，a 4－a 3＝13－14，…a n －a n －1＝1n －1－1n(n ≥2)，以上各项相加得a n ＝1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n.所以a n ＝2n －1n(n ≥2)．因为a 1＝1也适合上式，所以a n ＝2n －1n(n ∈N *)．(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝n n ＋1a n (n ∈N *)，则a n 等于()A ．n ＋1B ．nC.1n ＋1D.1n 答案D解析由题意，因为数列{a n }满足a n ＋1＝n n ＋1a n (n ∈N *)，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×23×12×1＝1n .反思感悟由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：①a n ＋1－a n ＝常数，或a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可以求和的)，使用累加法或迭代法；②a n ＋1＝pa n (p 为非零常数)，或a n ＋1＝f (n )a n (f (n )是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；③a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．跟踪训练3(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n ＋1－n (n ≥2)，求a n .解因为a n ＝a n －1＋n ＋1－n (n ≥2)，所以a n －a n －1＝n ＋1－n .所以a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n＋1－n)＋(n－n－1)＋…＋(3－2)＋1＝n＋1－2＋1.又a1＝1也符合上式，所以a n＝n＋1－2＋1，n∈N*.(2)已知数列{a n}满足a1＝1，ln a n－ln a n－1＝1(n≥2)，求a n.解因为ln a n－ln a n－1＝1，所以lna na n－1＝1，即a na n－1＝e(n≥2)．所以a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1＝e·e·…·e·1(n－1)个＝e n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以a n＝e n－1，n∈N*.四、a n与S n的关系问题2如果已知某数列的前n项和S n＝n2＋n，如何求a4?提示a4＝S4－S3＝(42＋4)－(32＋3)＝8.知识梳理1．把数列{a n}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{a n}的前n项和，记作S n，即S n ＝a1＋a2＋…＋a n.2．a n注意点：(1)注意等式成立的条件；(2)一定要检验n＝1时，S1是否满足首项．例4设S n为数列{a n}的前n项和，S n＝2n2－30n.求a1及a n.解因为S n＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.验证当n＝1时上式成立，所以a n＝4n－32，n∈N*.延伸探究将本例的条件“S n＝2n2－30n”改为“S n＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求a n.解因为S n ＝2n 2－30n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－30×1＋1＝－27，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n ＋1－[2(n －1)2－30(n －1)＋1]＝4n －32.当n ＝1时不符合上式．所以a n 27，n ＝1，n －32，n ≥2.反思感悟由S n 求通项公式a n 的步骤(1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝S n －S n －1；否则数列{a n }的通项公式要分段表示为a n 1，n ＝1，n －S n －1，n ≥2.跟踪训练4已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n .(1)S n ＝2n 2＋3n ＋2；(2)S n ＝3n －1.解(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ，n ＝1，n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1＝2适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．1．知识清单：(1)数列的递推公式．(2)数列的前n 项和S n 与a n 的关系．2．方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法．3．常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由S n 求a n 时忽略验证n ＝1时的情况．1．已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)，则a 4的值为()A ．5B ．6C ．7D ．8答案D解析因为a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ，所以a 2＝a 1＋1＝2＋1＝3，a 3＝a 2＋2＝3＋2＝5，a 4＝a 3＋3＝5＋3＝8.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18等于()A ．36B ．35C ．34D ．33答案C解析a 2＝S 2－S 1＝22－2×2－(12－2×1)＝1，a 18＝S 18－S 17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.∴a 2＋a 18＝34.3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)，则a 2021的值为()A ．2B ．1 C.12 D.14答案C解析a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)，由a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝2，由a 2＝2，a 3＝2，得a 4＝1，由a 3＝2，a 4＝1，得a 5＝12，由a 4＝1，a 5＝12，得a 6＝12，由a 5＝12，a 6＝12，得a 7＝1，由a 6＝12，a 7＝1，得a 8＝2，由此推理可得数列{a n }是一个周期为6的周期数列，所以a 2021＝a 336×6＋5＝a 5＝12.4．323是数列{n (n ＋2)}的第________项．答案17解析由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17(负值舍去)．∴323是数列{n (n ＋2)}的第17项．课时对点练1．已知数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝0，则此数列的第5项是()A ．15B ．255C ．16D ．63答案B 解析由递推公式，得a 2＝3，a 3＝15，a 4＝63，a 5＝255.2．数列12，－14，18，－116，…的第n 项a n 与第n ＋1项a n ＋1的关系是()A ．a n ＋1＝2a nB ．a n ＋1＝－2a nC ．a n ＋1＝12a n D ．a n ＋1＝－12a n 答案D3．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2021等于()A.12B ．－1C ．2D ．3答案B解析当n ＝1时，a 2＝1－1a 1＝－1；当n ＝2时，a 3＝1－1a 2＝2；当n ＝3时，a 4＝1－1a 3＝12＝a 1；a 5＝1－1a 4＝－1＝a 2；a 6＝2；…所以数列{a n }是一个周期为3的周期数列，故a 2021＝a 3×673＋2＝a 2＝－1.4．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项公式a n 等于()A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n 答案D 解析∵a n ＋1－a n ＝－1.∴当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)共(n －1)个＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .当n＝1时，a1＝2也符合上式．故数列的通项公式a n＝3－n(n∈N*)．5．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是()A．a n＋1＝a n＋n，n∈N*B．a n＝a n－1＋n，n∈N*，n≥2C．a n＋1＝a n＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．a n＝a n－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2答案B解析结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，∴a n＝a n－1＋n，n∈N*，n≥2.6．(多选)已知数列{a n}的前n项和满足S n＝2n＋1－1，则下列说法正确的是()A．a1＝3B．a n＝2n(n≥2)C．a n＝2n D．a n＝2n(n≥2)答案AD解析S n＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.当n＝1时，不符合上式，故a n ，n＝1，n，n≥2.7．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a n＋n(n∈N*)，则a4＝________.答案7解析当n＝1时，a2＝a1＋1＝2，当n＝2时，a3＝a2＋2＝2＋2＝4，当n＝3时，a4＝a3＋3＝4＋3＝7.8．已知在数列{a n}中，a1a2…a n＝n2(n∈N*)，则a9＝______.答案81 64解析a1a2…a8＝82，①a1a2…a9＝92，②②÷①得，a9＝9282＝8164.9．在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n2＋a n(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4；(2)猜想a n(不用证明)．解(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n，∴a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12，a 4＝2a 32＋a 3＝25.(2)猜想：a n ＝2n ＋1.10．已知各项均不为0的数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2，n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解∵a n a n －1＝a n －1－a n ，且各项均不为0，∴1a n －1a n －1＝1.∴当n ≥2时，1a n ＝1a 1＋…＝2＋1＋1＋…＋1＝n ＋1.(n －1)个1∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1.∵a 1＝12也符合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *)．11．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝n n ＋1a n ，则数列{a n }的最大项是()A ．a 1B ．a 9C ．a 10D ．不存在答案A 解析因为a 1>0，且a n ＋1＝n n ＋1a n ，所以a n >0，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1<1，所以a n ＋1<a n ，所以此数列为递减数列，故最大项为a 1.12．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥1)，那么1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2020等于()A ．a 2021B ．a 2022C ．a 2023D ．a 2024答案A 解析由于a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥1)，则1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2020＝a 1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2020＝a 3＋a 4＋a 6＋…＋a 2020＝a 5＋a 6＋…＋a 2020＝a 2019＋a 2020＝a 2021.13．已知a n ＝n 2－21n 2，则数列{a n }中相等的连续两项是()A ．第9项，第10项B ．第10项，第11项C ．第11项，第12项D ．第12项，第13项答案B 解析假设a n ＝a n ＋1，则有n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2，解得n ＝10，所以相等的连续两项是第10项和第11项．14．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.答案1n 解析方法一(累乘法)把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0.∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n＝1n (n ≥2)，∴a n a 1＝1n.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n.又a 1＝1也适合上式，∴a n ＝1n，n ∈N *.方法二(迭代法)同方法一，得a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a n ＋1＝n n ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n.方法三(构造特殊数列法)同方法一，得a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ，∴数列{na n }是常数列，∴na n ＝1·a 1＝1，∴a n ＝1n(n ∈N *)．15．在一个数列中，如果对任意n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.答案28解析依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.16．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1a n 为偶数，＋1，a n 为奇数.若a 4＝4，求m 所有可能的取值．解若a 3为奇数，则3a 3＋1＝4，a 3＝1.若a 2为奇数，则3a 2＋1＝1，a 2＝0(舍去)，若a 2为偶数，则a 22＝1，a 2＝2.若a 1为奇数，则3a 1＋1＝2，a 1＝13(舍去)，若a 1为偶数，a 12＝2，a 1＝4；若a 3为偶数，则a 32＝4，a 3＝8.若a 2为奇数，则3a 2＋1＝8，a 2＝73(舍去)，若a 2为偶数，则a 22＝8，a 2＝16.若a 1为奇数，则3a 1＋1＝16，a 1＝5，若a 1为偶数，则a 12＝16，a 1＝32.故m 所有可能的取值为4,5,32.。

递推公式法
递推公式法是数学中一种重要的求解方法，它可以通过已知的一些值，推导出后面的值。

这种方法通常用于数列的求解，例如斐波那契数列就是一种应用递推公式法求解的典型例子。

递推公式的一般形式为：
$a_{n}=f(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k})$，其中 $a_{n}$ 表示数
列中第 $n$ 项的值，$f$ 是一个函数，
$a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k}$ 表示数列中前面若干项的值。

在使用递推公式法求解数列时，通常需要先求出数列的前若干项，然后利用递推公式求出后面的值。

这个过程可以用计算机程序来实现，通常需要设置一个循环语句，不断地根据递推公式求解出数列中的下一项。

递推公式法不仅可以用于求解数列，还可以用于求解其他一些问题，例如动态规划中的状态转移方程等。

在实际应用中，递推公式法具有很高的效率和灵活性，因此被广泛应用于各个领域。

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利用数列递推公式解题的技巧数列是数学中一个重要且常见的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。

数列递推公式是指数列中每一项与前几项之间的关系式，通过递推公式，我们可以推导出数列中任意一项的数值。

在解题过程中，利用数列递推公式可以简化繁杂的计算，提高解题效率。

下面我们就来探讨一下利用数列递推公式解题的一些技巧。

一、理解数列递推公式的含义在利用数列递推公式解题之前，首先我们需要理解数列递推公式的含义。

数列递推公式是描述数列中每一项与前几项之间的关系式，通常表示为an = f(an-1, an-2, …)，其中an表示第n项，f表示关系函数。

理解递推公式的含义对于解题至关重要，可以帮助我们找准解题方向。

二、寻找规律，列出递推公式在实际解题中，对于给定的数列，我们需要寻找其中的规律，列出数列的递推公式。

通常可以通过观察前几项的数值，寻找它们之间的数学关系，从而推导出递推公式。

在列出递推公式的过程中，我们需要注意变量的选取，确保递推公式的表达准确、简洁。

四、注意递推公式中的边界条件在利用递推公式解题的过程中，我们需要特别注意递推公式中的边界条件。

因为递推公式是通过前几项的数值来计算下一项的数值，所以边界条件的选择会直接影响计算结果的准确性。

在列出递推公式时，需要特别关注边界条件，确保递推公式能够适用于数列中的每一项。

五、灵活运用递推公式解题在实际解题中，我们需要灵活运用递推公式来解决不同类型的题目。

有时候递推公式可以直接给出，我们只需要根据公式计算出数列中的任意一项即可；有时候需要我们根据数列的规律自行列出递推公式。

无论是哪种情况，我们都需要综合运用数学知识，灵活应用递推公式来解决实际问题。

六、举一反三，多练习利用数列递推公式解题是一个需要反复练习的过程。

通过不断练习，我们可以熟练掌握数列递推公式的使用技巧，提高解题的效率和准确度。

通过练习还可以锻炼我们的数学思维，提高解决实际问题的能力。

我们需要在日常学习中多加练习，举一反三，不断提升自己的解题能力。