已知数列递推公式求通项公式的几种方法

求数列通项公式的方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2nna 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

数列递推公式求通项公式的方法数列是指按照一定规律排列的一组数。

而数列递推公式是指通过前一项或几项的数值，推导出数列中后一项的数值的公式。

而求解数列通项公式，即通过已知的数列的部分项求得数列的通项公式的方法，可以分为以下几种：1.列表法：通过列出数列的前几项进行观察和总结，找到数列的规律，从而推导出数列的通项公式。

这种方法常用于找出简单数列的通项公式，如等差数列和等比数列。

2.递推法：利用数列递推的性质，通过对数列进行递推推导出通项公式。

递推法常用于复杂的数列，需要将数列的前几项与后几项进行比较，找到规律并推导出通项公式。

3.数学归纳法：数学归纳法是一种利用已知的数学命题，在该命题的基础上证明该命题对任意自然数（或整数）都成立的方法。

对于数列来说，可以利用已知的数列部分项的性质，通过数学归纳法证明该数列的通项公式的正确性。

4.差分法：差分法是一种通过对数列进行差分操作，将数列变为新的数列，新数列有可能是个数列递推公式/规律更简单的数列。

然后，根据新数列的通项公式，再通过反差分操作推导出原数列的通项公式。

差分法常用于较为复杂的数列，特别适合于数列中的递推关系较为难以发现的情况。

5.比率法：比率法是一种通过比较数列的相邻项之间的比率或比值的变化规律，推导出数列的通项公式的方法。

比率法常用于等比数列或存在比率规律的数列。

需要注意的是，求解数列通项公式并不是一种机械性的计算过程，而是需要灵活运用数学知识、观察和总结数列的规律，并进行推理和证明的过程。

在实际应用中，也可能需要结合上述多种方法进行综合分析来求解数列的通项公式。

根据递推关系求数列通项公式的几种方法要求根据递推关系求解数列的通项公式，其实是要求找到一个能将数列的每一项都表示为n（项数）的函数的公式。

在数学中，有几种方法可以求解这类问题。

一、代数方法：对于一些简单的递推关系，可以尝试使用代数方法来求解数列的通项公式。

这种方法通过观察数列中的模式，尝试将递推关系转化为代数方程，然后解方程得到通项公式。

例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设通项公式为Fn=k1a^n+k2b^n，其中k1、k2为常数，a、b为待定数。

k1a^n+k2b^n=k1a^(n-1)+k2b^(n-1)+k1a^(n-2)+k2b^(n-2)整理得：k1a^2-k1a-k2=0。

解这个方程，可以得到a和b的值，然后将a和b的值代入通项公式中，即可求解斐波那契数列的通项公式。

二、特征根法：特征根法是求解一阶线性递推关系（如Fn=aFn-1+b）的通项公式的常用方法。

该方法的基本思想是，将递推关系转化为一个一阶线性常微分方程，然后解方程得到通项公式。

例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列满足的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1将递推关系转化为一阶线性常微分方程得到：y''-y'-y=0其中y=Fn。

解这个方程得到的特征根为α1=(1+√5)/2，α2=(1-√5)/2通项公式可以表示为：Fn=k1(α1)^n+k2(α2)^n其中k1、k2为常数。

利用初始条件F1=1，F2=1，可以求解出k1和k2的值，进而求解出斐波那契数列的通项公式。

三、母函数法：母函数法是一种求解递推关系的高效方法，尤其适用于求解求和问题。

该方法的基本思想是，将数列视为一个幂级数的系数列，通过构造母函数来解决递推关系。

例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设母函数为F(x)=F0+F1x+F2x^2+F3x^3+...F(x)=x(F(x)-F0)+x^2F(x)整理得：F(x)=F0+xF(x)+x^2F(x)移项得：F(x)=F0/(1-x-x^2)。

高中数列的通项公式的几种常用求法数列是高考的必考内容，也是同学们比较怕的一个知识点。

其实归结起来数列常考的就三个知识点：等差等比数列性质的应用、求数列的通项公式、求数列的前n 项和。

而数列的通项公式往往又决定着前n 项和的求法，所以求出数列的通项公式至关重要。

下面我将对数列通项公式的几种常用求法进行总结。

一． 观察法1 适用类型：已知数列前若干项，求该数列的通项时。

2 具体方法：一般对所给的项观察分析，找出项数n 与项n a 之间的关系，从而根据规律写出此数列的一个通项.3 例题示范例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）4，44,444，4444，…（2） ,17164,1093,542,211 （3） ,52,21,32,1 （4） ,54,43,32,21--4 方法总结：(1）有分式又有整式的统一表示成假分式，再分子分母分别观察规律。

（2）正负相间的先把负号去了观察规律，再用1)1()1(+--n n 或来调节符号.二． 公式法1 适用类型：当已知数列为等差或等比数列时。

2 具体方法：可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比.等差数列：d n a a n )1(1-+=等比数列:)0(11≠=-q q a a n n三． 已知n s 求n a1适用类型：已知数列的前n 项和求通项时。

2具体发方法：通常用公式⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 。

3例题示范例1、已知数列{}n a 的前n 项和为：① n n S n -=22 ② 12++=n n S n求数列{}n a 的通项公式。

四． 由递推式求数列通项1 适用类型:已知数列的递推公式求通项公式时.2 具体方法：（1）形如d a a n n +=-1或q a a n n 1-=——-—利用等差等比来求例1 n n n a a a a 求已知2,111=-=+的通项公式（2）形如q pa a n n +=+1--——---构造等比数列例2 已知数列}{n a 满足11=a ，321+=+n n a a ,求n a【解析】123n n a a +=+,∴1326n n a a ++=+，即)3(231+=++n n a a ，1323n n a a ++∴=+． ∴{3}n a +是以134a +=为首项，2为公比的等比数列,∴113422n n n a -++=⨯=，即321-=+n n a ．（3）形如--——--——累加法例3 已知数列}{n a 满足12a = ,121,(2)n n a a n n -=+-≥,求n a【解析】∵当2n ≥时,121n n a a n -=+-，∴121n n a a n --=-，∴11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +[(21)(23)3]2n n =-+-+++2[(21)3](1)212n n n -+=⋅-+=+， ∵21211a ==+，∴21n a n =+（4)形如——-—--——-累乘法例4 已知数列}{n a 满足11a =，12n n n a a +=⋅，求n a ．【解析】∵12n n n a a +=⋅，∴12n n na a +=， ∴3241231n n a a a a a a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅121222n -=⨯⨯⋅⋅⋅⋅⨯, ∴(1)12(1)2122n n n n a a -++⋅⋅⋅+-==， 又11a =，∴(1)22n n n a -=．（5）形如1n n n a pa q +=+方法：①将原递推公式两边同除以1n q +，②得111n n n n a a p q q q q ++=⋅+，③n n n a b q =，得11n n p b b q q+=+， ④再利用“递推关系形如1n n a pa q +=+”方法来求. 例5 已知数列}{n a 满足11a =，123n n n a a +=+，求n a【解析】在123n n n a a +=+两边除以13n +，得11213333n n n n a a ++=⋅+， 令3n n n a b =，则12133n n b b +=+，∴121(1)3n n b b +-=-， ∴11221(1)()()33n n n b b --=-⋅=-， ∴21()3n n b =-．∴332n n n n n a b =⋅=-． 总之，数列的通项公式的求法有很多，着需要我们多做题，多总结.做到从题目中来到题目中去.。

由递推公式求通项公式类型一 累加相消法（“)(1n f a a n n +=+型”）例1.设数列{}n a 满足),3,2,1(12,111 =++==+n n a a a n n 求{}n a 的通项公式 解：由（1）),3,2,1(121 =+=-+n n a a n n 可知，;11212+⨯=-a a ;12223+⨯=-a a ;1)1(2;1+-⨯=--n a a n n上述等式累加可得，21)1())1(21(2n a n n a a n n =⇒-+-+++⨯=-类型二 累乘相消法（“)(1n f a a n n ⋅=+型”）例2.设数列{}n a 满足),3,2,1(2,111 =⋅==+n a a a n n n ，求{}n a 的通项公式 解：由（2）),3,2,1(21 =⋅=+n a a n n n 可知，212=a a ；2232=a a ；3342=a a112--=n n n a a 上述等式累乘可得，2)1(132122222--=⇒⋅⋅=n n n n n a a a类型三 倒数法 CBa Aa a n nn +=型数列（C B A ,,为非零常数）例3.设数列{}n a 满足),3,2,1(12,111 =+==+n a a a a n nn 求{}n a 的通项公式 解：211211+=+=+nn n n a a a a ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以35为首项，公差为2的等差数列，即351=n a +2（n －1）=316-n ∴a n =163-n 类型四 构建新数列（ 待定系数法） （1）q a p a n n +⋅=+1型例4.设数列{}n a 满足),3,2,1(12,111 =+==+n a a a n n ，求{}n a 的通项公式 解 ：设)(21x a x a n n +=++，即x a a n n +=+21与递推式比较，可得1=x ，所以递推式转化为)1(211+=++n n a a 则可构造新数列，令1+=n n a b ，有⎩⎨⎧===+=+),3,2,1(221111 n b b a b n n ),3,2,1(122 =-=⇒=⇒n a b n n n n （2）a n +1 = p a n + f （n ）型例5.已知数列{a n }中，a 1=1，且a n =a n －1+3n －1，求{a n }的通项公式．解：设a n +p ·3n =a n －1+p ·3n －1则a n =a n －1－2p ·3n －1，与a n =a n －1+3n －1比较可知p =－21． 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-23n n a 是常数列，且a 1－23=－21．所以23n n a -=－21，即a n =213-n ．(3) 11-++=n n n qa pa a 型(其中p ,q 为常数)例6. 已知数列{}n a 满足06512=+-++n n n a a a ，且5,121==a a ,且满足,求n a .解：令)(112n n n n xa a y xa a -=-+++,即0)(12=++-++n n n xya a y x a ,与已知06512=+-++n n n a a a 比较，则有⎩⎨⎧==+65xy y x ,故⎩⎨⎧==32y x 或⎩⎨⎧==23y x 下面我们取其中一组⎩⎨⎧==32y x 来运算，即有)2(32112n n n n a a a a -=-+++,则数列{}n n a a 21-+是以3212=-a a 为首项，3为公比的等比数列，故n n n n a a 333211=⋅=--+,即n n n a a 321+=+,利用类型（2）的方法，可得n n n a 23-=.类型五 取对数 r n n pa a =+1(其中p ,r 为常数)型例6. 设正项数列{}n a 满足11=a ，212-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式. 解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a a ，)1(log 21log 122+=+-n n a a ，设1log 2+=n an b ，则12-=n n b b ，{}n b 是以2为公比的等比数列，11log 121=+=b 11221--=⨯=n n n b ，1221log -=+n a n，12log12-=-n a n ，∴1212--=n n a。

`式已知递推公式求通项公].p)i (a [p a p)i (p a pa p)(pa pa p 1p 2n )i (a a 1p .)()(pa a p p1q a }p1q a {p1q a p p1q a p 1q 1p q a 1p q pa a 11n 1i i11n n 1n 1i 1i 1nn 1n nn 1n 1n 1n 1n 1i 1n n 1n 1n n 1n 1n 1n ∑∑∑-=--=+++++-=++++=+=+=≠≥+==+=-+-+-+=-+-≠=+=f f n f f n f n f ，从而利用叠加法易得，，变形为，则两边同时除以若；，，则显然若不是常数，其中为公比的等差数列为首项，是以显然）（，变为，则两边同加上若为公差的等差数列；为首项，，则显然是以若）常见形式：（p x a x a qx a x a x x p p x a 1x a 1x x x x 0b x a -d cx dcx b ax x dca b aa a )2(2n 1n 21n 11n 211n 11n 21212n n 1n 通项公式求解，然后再利用等比数列可以用待定系数法求解，其中则有若通项公式求解，然后再利用等差数列可以用待定系数法求解，其中则有若，，令此方程的两个根为）（，即，令典型例子：不动点法--=--≠+-=-==-+++=++=++++用待定系数法求得、，，则其通项公式为若用待定系数法求得、，）（则其通项公式若，，令此方程两根为，特征方程为性递推式的好方法特征根法是专用来求线特征根法B A Bx Axa x x B A x Bn A a ,x x x x q px x qa pa a .)3(n2n1n 21n1n 21212n 1n 2n +=≠+==+=+=++.4然后用数学归纳法去证的规律猜出一个结果，简单说就是根据前几项）数学归纳法（公式，马上迎刃而解！，只需联系正切二倍角看起来似乎摸不着头脑：东西，看看下面的例子三角函数是个很奇妙的）联系三角函数（2nn 1n a1a 2a 5-=+递推新值的过程。

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.形如)(1n f a a n n =-+型（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下： 由 )(1n f a a n n =-+得：2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n ，)2(23f a a =-)1(12f a a =-所以各式相加得 )1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=-即：∑-=+=111)(n k n k f a a .为了书写方便，也可用横式来写：2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- . 例 1. （2003天津文） 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=nn a证明：由已知得：故,311--=-n n n a a112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=.213133321-=++++--nn n ∴213-=nn a .例 2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N+=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：na n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

求数列通项公式的八种方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的8种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、二.等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三.求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法1．适用于：----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

2．若，则两边分别相加得例1已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由得则所以数列的通项公式为。

例2已知数列满足，求数列的通项公式。

解法一：由得则所以解法二：两边除以，得，则，故因此，则评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

例3.已知数列中,且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,,则二、累乘法1.适用于：----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。

2．若，则两边分别相乘得，∏=+=nk n k f a a 111)(例4已知数列满足，求数列的通项公式。

解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1),即时，==.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.三、待定系数法适用于基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。