市北资优六年级分册 第08章 8.8 含绝对值符号的不等式+黄世桥

7.８ 一次方程组的应用【例1】小明去年2月在小卖店买了3本练习本和5包盐正好用去5元钱，今年3月，他又带5元钱去该店买同样的练习本和食盐，因为练习本每本比去年涨价1角，食盐每包涨价5分，小明就只好买了3本练习本和4包盐，结果找回2角钱，那么去年2月每本练习本多少钱，每包食盐多少钱？ 【分析】根据题意，可以得到两个等式：去年2月3本练习本的钱＋5包食盐的钱＝5元；今年3月3本练习本的钱＋4包食盐的钱＝5元－0.2元．【解】设去年2月练习本每本x 元，食盐每包y 元，则今年3月练习本每本(x ＋0.1)元，食盐每包(y ＋0.05)元．根据题意，得355,3(0.1)4(0.05)50.2.x y x y +=⎧⎨+++=-⎩①②②化简得，3x ＋4y ＝4.3，③①－③得，y ＝0.7． 把y ＝0.7代入①，得x ＝0.5． 所以，这个方程组的解为0.5,0.7.x y =⎧⎨=⎩答：去年2月练习本每本5角，食盐每包7角．【例2】一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车情况如下表：30元计算，问：货主应付运费多少元？ 【分析】由图表可知：甲种货车第一次运输货物的总重量＋乙种货车第一次运输货物的总重量＝15.5； 甲种货车第二次运输货物的总重量＋乙种货车第二次运输货物的总重量＝35． 【解】设甲、乙两种货车的载重量各为x 吨、y 吨，依题意，有2315.5,5635.x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得4,2.5.x y =⎧⎨=⎩ 30×(4×3＋2.5×5)＝735(元) ．答：货主应付运费735元．【例3】甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你的岁数时，你将61岁．”那么甲与乙现在的年龄分别是多少岁？ 【分析】由题意，可以得到以下等式：甲的年龄－乙的年龄＝乙的年龄－4＝61－甲的年龄． 【解】设甲、乙现在的年龄分别为x 岁、y 岁，根据题意，得4,61.x y y x y x -=-⎧⎨-=-⎩解这个方程组，得42,23.x y =⎧⎨=⎩答：甲现在42岁，乙现在23岁．练习7.8（1）1．一张方桌由一个桌面和四条腿组成．如果1立方米木料可制成方桌的桌面50个，或制作桌腿300条．现有5立方米木料，怎样分工能使木料全部用完，并且桌面与桌腿都能配成套？某人在该周内持有甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算(不计手续费、税费等)，该人账户上星期二相比星期一获利200元，星期三相比星期二获利1300元，试问该人持有甲、乙股票各多少股？3．某杂志月刊，全年共出12期，每期定价2.50元，某中学六年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费1320元．求该中学六年级订阅该杂志的学生人数．4．某厂去年总产值比总支出多500万元，而今年计划的总产值比总支出多950万元．已知今年计划总产值比去年增加15%，而计划总支出比去年减少10%，求今年计划的总产值与总支出分别为多少万元？5．甲、乙两人在一条与铁路平行的笔直的小路上，同时同地背向而行．当一列火车开过来时，两人在行进中各自测出整列火车通过的时间分别为42秒和34秒，且在整列火车通过时各自走了68米和44米，求火车的速度．练习7.8（1）答案：1．3立方米木料作桌面，2立方米木料作桌腿，恰好配成方桌150张。

预备年级数学第二学期第八课 不等式组知识要点：1、理解一元一次不等式组的定义2、会解一元一次不等式组，并能在数轴上把不等式组的解集表示。

若a>b,则（1）⎩⎨⎧>>bx ax 得x>a,(2)⎩⎨⎧<<bx ax 得x<b （3）⎩⎨⎧><bx ax 得b<x<a(4)⎩⎨⎧<>bx ax 无解3、能根据题意列出不等式组，求出适合问题中的特殊条件的解 例题：例1、求同时满足不等式()61244;93152--≤-<-+x x x x x 的整数解例2、某幼儿园把若干件玩具分给小朋友，如果每人4件，则还余27件；如果每人5件，则有一个小朋友分到的玩具不足5个。

问这个幼儿园至少有多少小朋友？例3、如果()052634=--++k y x x ，21<≤-y 求k 的取值范围。

例4、如果关于x 的不等式组()⎩⎨⎧->+--<-xk k x k x 3521025432无解，求k 的取值范围。

练习：1、不等式组无解就是各个不等式的解集没有2、若不等式组的解集是62<<-x ，那么满足此不等式组的整数解是3、写出下列不等式组的解集：⎩⎨⎧>->-0502x x ⎩⎨⎧-<-≤5.44x x4、不等⎩⎨⎧≥++>+123123x x x 的解集是 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<>471x x x 的解集是5、不等式31<-x 的解集是6、当m 时，不等式()32>+x m 的解集为23+<m x7、若不等式m x m ->⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121的解集为1-<x ，则m8、不等式33211<-<-x 的非整数解为9、 若104≤≤y ，则2y -的取值范围是10长方形一边长是4，另一边的长是x+3，它的周长不小于21，则x 的取值范围是11、一个两位数加上它的一半，所得的数大于45而小于48，这个两位数是12、若不等式组⎩⎨⎧-<+>342a x a x 的解集为空集，则a 的取值范围是13、不等式()b a bx a x >>⎩⎨⎧-<->0的解集是14、某足球队的甲、乙、丙三名队员，在一个赛季中的进球数是：甲5个，乙7个，三人的平均进球数少于8个，但不少于7个，那么丙的进球数是 15、解下列不等式组（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤-+<21512512x x x x（2）()⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+<--1112121321x x x x（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+<+--≤-323211277121x x x x （4）⎪⎩⎪⎨⎧->-+<+->-x x x x x x 25.35.256735406204（5）215232233423--<--<-+x x x x16、求不等式组()()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+--413214132x x x x 的非负整数解17、求既满足不等式,7342>x 又满足不等式14x<47的整数解18、是否存在整数m 使不等式23+>-x m mx 的解为x<-4？如果存在，求出m 的值19、已知不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-0231312a x x 的解集为x>2，求a 的取值范围20、已知整数x 满足不等式2643-≤-x x 和不等式211312-<-+x x 并且满足方程()0253=+-+a a x ，求a 的值21、某车间原计划30天生产零件165个，前8天共生产44个，后来计划提前5天完成任务，问从第九天起，每天至少要生产多少？。

4.3 圆的面积用同样长度的两根细绳，围成一个正方形和一个圆，哪个图形所占的面积较大？ 圆所占平面的大小叫做圆的面积．在小学里我们学习了三角形、平行四边形、梯形等直线型图形面积的求法，它们可以通过割补转化为长方形面积来求解．那么，像圆这样的曲线型图形面积的求法，是否也可以按照同样的方法来研究呢？做一做准备几张圆形纸片，将它分成若干等份，然后拼起来，可以发现：当把圆分成的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，圆的面积也就越接近于这个长方形的面积． 通过以上研究，可得结论：设的半径为r ，面积为S ，那么圆的面积S ＝r r π⨯＝2r π．例1 两个同心圆，大圆半径为5cm ，小圆半径为3cm ，求圆环的面积．解：22531650.24S S S πππ=-=⨯-⨯==圆环小圆大圆(cm 2)答：圆环的面积为50.24 cm 2．例2 如图，正方形的面积是12平方厘米，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？分析 容易观察出，阴影部分面积等于正方形面积与圆面积之差，如何求出圆面积是解题关键． 解：设正方形边长为a ，则圆的直径为a ，所以11212123 3.14 2.58(4S S S π=-=-⨯⨯≈-⨯=阴影圆正方形平方厘米)．答：阴影部分面积为2.58平方厘米．例3 大小两圆相交部分(涂阴影区域)面积是大圆面积的415，是小圆面积的35，量得小圆的半径是5厘米，问大圆的半径是多少？分析 用阴影部分面积作为桥梁，找到大圆、小圆面积之间的关系，再由此找到大圆半径和小圆半径之间的关系，从而得解．解：415S S =阴影大圆 ，35S S =阴影小圆，43155S S =小圆大圆． 设大圆半径为R ，小圆半径为r ， 则有：2243155R r ππ=， 将r ＝5代入，22435155R ππ=⨯，得：R ＝152． 答：大圆半径为152厘米．例4 如图中的圆周长是16.4 cm，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少厘米？解设圆的半径为r，则16.4＝2rπ，r＝8.2π．设长方形长为a，由圆面积与长方形面积相等得：28.28.2aπππ⎛⎫⋅=⋅⎪⎝⎭，得：a＝8.2．所以阴影部分周长为：18.228.2220.54ππ⨯+⨯⨯⨯=(cm)．练习4.31．如图是图书馆大楼上的时钟，已知时针与分针分别长30厘米、40厘米，则时钟走1小时，时针与分针扫过的平面的面积差为多少平方厘米？2．如图是三个半圆构成的图形，其中小圆直径为8，中圆直径为12，则阴影部分面积与大半圆面积之比是多少？3．两个圆的面积之差是209平方厘米，已知大圆的周长是小圆的周长的119倍，求小圆的面积．4．某开发区的大标语牌上，要画出如图所示(图中阴影部分)的三种标点符号：句号、逗号、问号．已知大圆半径为为R，小圆半径为r，且R＝2r．若均匀用料，则哪一个标点符号的油漆用得最多？1285．有5块圆形的花圃，它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米，请将这5块花圃分成两组，分别交给两个班级管理，使这两个班级管理的面积尽可能接近．答案 4.31．4788.5平方厘米．2．4∶5．3．891平方厘米．4．问号．5．直径为3米、5米、8米的一组；直径为4米、9米的一组．4.3《圆的面积》练习练习4.31．如图，已知大圆半径为6厘米，那么阴影部分面积占大圆面积的＿＿＿＿＿．(用分数表示)2．已知两个圆的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90%，则大圆的面积是＿＿＿平方厘米．3．有相同周长的长方形、正方形和圆，它们面积从大到小是＿＿＿＿＿＿．(第1题)(第4题)4．如图，大小两个圆重叠部分的面积是20平方厘米，是大圆面积的18，是小圆面积的16，则大圆面积比小圆面积多＿＿＿＿平方厘米．5．如图是对称图形，红色部分的面积大还是阴影部分的面积大？ 6．如图，A 与B 是两个圆(只有14)的圆心，那么两个阴影部分的面积相差＿＿＿＿平方厘米．(第5题)(第6题)练习4.3答案①14．提示：阴影部分可以合成一个半径为大圆半径一半的圆．∶1100．提示：由题意得，小圆半径是大圆半径的90%，则小圆面积是大圆面积的81%，所以大圆面积为1991÷(1＋81%)＝1100(平方厘米)．∶S S S >>圆正方形长方形．∶40．提示：大圆面积为20×8＝160平方厘米，小圆面积为20×6＝120平方厘米．∶一样大．提示：设大圆半径R 为2，则小圆半径r 为1，阴影部分面积为212124242r ππ⎛⎫-⨯÷⨯=- ⎪⎝⎭，红色部分面积为()224R r ππ--阴影部分面积＝()2242424R r ππππ⎡⎤---=-⎣⎦．⑥1.42．提示：22113.14424 3.14244⨯⨯-⨯-⨯⨯＝1.42(cm 2)红红红红BA22。

自我小测1已知|a |＜1，|b |＜1，则|a ＋b |＋|a －b |________2(用“＞”“＝”或“＜”填空)．2已知p 、q 、x ∈R ，pq ≥0，x ≠0，则⎪⎪⎪⎪px ＋q x ______2pq . 3函数y ＝|x ＋1|－|x －1|的最大值是________．4设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，当|x |≤1时，总有|f (x )|≤1，求证：|f (2)|≤7.5(2010宁夏银川一中高考模拟，理24)设|a |≤1，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，证明|f (x )|≤54. 6若对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|x －2|＞a 恒成立，则a 的取值范围是________． 7若不等式|x －4|－|x －3|≤a 对一切x ∈R 恒成立，那么实数a 的取值范围是________．8若x ＜5，n ∈N ，则下列不等式：①⎪⎪⎪⎪x lg n n ＋1＜5⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1；②|x |lg n n ＋1＜5lg n n ＋1；③x lg n n ＋1＜5⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1；④|x |lg n n ＋1＜5⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1，其中能够成立的有______． 9已知f (x )＝x 2－2x ＋7，且|x －m |＜3，求证：|f (x )－f (m )|＜6|m |＋15.10已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝ax ＋b ，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1.(1)求证：|c |≤1；(2)求证：当－1≤x ≤1时，|g (x )|≤2.参考答案1．＜ 解析：当a ＋b 与a －b 同号时，|a ＋b |＋|a －b |＝|a ＋b ＋a －b |＝2|a |＜2； 当a ＋b 与a －b 异号时，|a ＋b |＋|a －b |＝|a ＋b －a ＋b |＝2|b |＜2.∴|a ＋b |＋|a －b |＜2.2．≥ 解析：当p 、q 至少有一个为0时，⎪⎪⎪⎪px ＋q x ≥2pq . 当pq ＞0时，p 、q 同号，则px 与q x同号， ∴⎪⎪⎪⎪px ＋q x ＝|px |＋⎪⎪⎪⎪q x ≥2pq .故⎪⎪⎪⎪px ＋q x ≥2pq . 3．2 解析：y ＝|x ＋1|－|x －1|≤|x ＋1＋1－x |＝2，当且仅当x ≥1时，等号成立．4．证明：∵|x |≤1时，有|f (x )|≤1，∴|f (0)|＝|c |≤1，|f (1)|≤1，|f (－1)|≤1.又f (1)＝a ＋b ＋c ，f (－1)＝a －b ＋c ，∴|f (2)|＝|4a ＋2b ＋c |＝|3(a ＋b ＋c )＋(a －b ＋c )－3c |＝|3f (1)＋f (－1)－3f (0)|≤||3f (1)＋f (－1)＋||3f (0)≤|3f (1)|＋|f (－1)|＋|3f (0)|≤3＋1＋3＝7.∴|f (2)|≤7.5．证明：|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－122＋54≤54，即|f (x )|≤54. 6．(－∞，－3) 解析：恒成立问题，往往转化为求最值问题，本题中a ＜|x ＋1|－|x －2|对任意实数恒成立，即a ＜[|x ＋1|－|x －2|]min ，也就转化为求函数y ＝|x ＋1|－|x －2|的最小值问题．∵||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3.∴[|x ＋1|－|x －2|]min ＝－3.∴a ＜－3.7．[1，＋∞) 解析：设f (x )＝|x －4|－|x －3|，则f (x )≤a 对一切x ∈R 恒成立的充要条件是a ≥f (x )的最大值，∵|x －4|－|x －3|≤|(x －4)－(x －3)|＝1，即f (x )的最大值等于1，∴a ≥1.8．④ 解析：∵0＜n n ＋1＜1，∴lg n n ＋1＜0，由x ＜5并不能确定|x |与5的关系，∴可以否定①②③，而|x |lg n n ＋1＜0，④成立． 9．证明：|f (x )－f (m )|＝|(x －m )(x ＋m －2)|＝|x －m ||x ＋m －2|＜3|x ＋m －2|≤3(|x |＋|m |＋2)． 又|x －m |＜3，∴－3＋m ＜x ＜3＋m .∴3(|x |＋|m |＋2)＜3(3＋|m |＋|m |＋2)＝6|m |＋15.∴|f (x )－f (m )|＜6|m |＋15.10．(1)证明：∵－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1，∴|f (0)|≤1，即|c |≤1.(2)证明：当a ＞0时，g (x )＝ax ＋b 在[－1,1]上是增函数，∴g (－1)≤g (x )≤g (1)．∵当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1，且|c |≤1，∴g (1)＝a ＋b ＝f (1)－c ≤|f (1)|＋|c |≤2，g (－1)＝－a ＋b ＝－f (－1)＋c ≥－(|f (－1)|＋|c |)≥－2，∴|g (x )|≤2.当a ＜0时，g (x )＝ax ＋b 在[－1,1]上是减函数，∴g (－1)≥g (x )≥g (1)．∵－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1，且|c |≤1，∴g (－1)＝－a ＋b ＝－f (－1)＋c ≤|f (－1)|＋|c |≤2.g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(|f(1)|＋|c|)≥－2.∴|g(x)|≤2.当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c，且－1≤x≤1，∴|g(x)|＝|f(1)－c|≤|f(1)|＋|c|≤2.综上可知：|g(x)|≤2.。

六年级拔尖数学目录第1讲定义新运算第2讲简单的二元一次不定方程第3讲分数乘除法计算第4讲分数四则混合运算第5讲估算第6讲分数乘除法的计算技巧第7讲简单的分数应用题（1)第8讲较复杂的分数应用题（2）第9讲阶段复习与测试（略）第10讲简单的工程问题第11讲圆和扇形第12讲简单的百分数应用题第13讲分数应用题复习第14讲综合复习（略）第15讲测试（略)第16讲复杂的利润问题（2）第一讲定义新运算在加。

减。

乘。

除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。

在这一讲里，我们学习的新运算就是用“＃”“＊"“Δ"等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。

例1：如果A＊B=3A+2B，那么7*5的值是多少？例2例3例4:设例5:如果任何数A和B有A¤B=A×B-(A+B)求（1)10¤7（2）(5¤3）¤4（3)假设2¤X=1求X例6：设P∞Q=5P+4Q，当X∞9=91时，1/5∞（X∞ 1/4）的值是多少？例7:规定X*Y=XY YAX+，且5*6=6*5则（3＊2）＊（1*10）的值是多少?例81（1）3▽2 （2）5▽3（3)1▽X=123,求X的值2、已知1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7计算(1）(4△2）+（5△3） (2）（3△5）÷（4△4）3、如果A＊B=3A+2B,那么（1）7*5的值是多少? （2）(4＊5)＊6 （3）(1＊5）*（2＊4）4、如果A〉B，那么｛A，B｝=A；如果A〈B,那么｛A，B｝=B;试求（1）｛8，0。

8｝（2){｛1.9,1。

901｝1。

19｝5、N为自然数，规定F（N）=3N—2 例如F（4)=3×4—2=10试求：F(1）+F(2）+F（3）+F（4)+F（5）+……+F（100）的值6、如果1=1！1×2=2！1×2×3=3！……1×2×3×4×……×100=100！那么1!+2！+3!+……+100!的个位数字是几?（第四届小学生“迎春杯”数学决赛试题）7、若“+、—、×、÷、=、（）”的意义是通常情况，而式子中的“5"却相当于“4”。

市北资优六年级分册第07章7.9形如ax=b的方程及其解法+郑宇7.9 形如ax =b 的方程及其解法我们知道一元一次方程可表示为()0ax b a =≠形式其中x 表示未知数，a 和b 是用字母表示的已知数.对未知数x 来说，字母a 是x 的系数，叫做字母系数，字母b 是常数项.如果一元一次方程中的系数用字母来表示，那么这个方程就叫做字母系数的一元一次方程.本章如果没有特别说明，在含有字母系数的方程中，一般用a ，b ，c 等表示未知数，用x ，y ，z 等表示未知数.含字母系数的一元一次方程的解法与只含有数字系数的一元一次方程的解法相同.按照解一元一次方程的步骤，最后转化为()0ax b a =≠的形式.这里注意的是，用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零.如(2)3m x -=，必须当20m -≠时，即2m ≠时，才有32x m =-.这是含有字母系数的方程和只含有数字系数的方程的重要区别. 例1 解关于x 的方程132m x x -=+（）.解原方程整理得()32m x m -=+当30m -≠时，即3m ≠时，则原方程的解为23m x m +=-. 当30m -=时，即3m =时，原方程化为05x =，则原方程无解.例2 解关于x 的方程23ax b x -=-.解原方程整理得()23a x b -=-.当20a -≠，即2a ≠时，则原方程的解为32b x a -=-；当20a -=，30b -≠，即23a b =≠，时，原方程化为00x ≠，则原方程无解；当20a -=，30b -=，即23a b ==，时，原方程化为00x =，则原方程有无数解.归纳：形如ax =b 的方程的解一般有下列三种情况：（1）当0a ≠，原方程有唯一的解b x a=；（2）当00a b =≠，，原方程无解；（3）当00a b ==，，原方程有无数解. 例3 已知关于x 的方程()()2153a x a x b -=-+无解，求a ，b 的取值范围.解原方程整理得()3532a x b a -=+.因为原方程无解，所以350a -=，320b a +≠，即510,39a b =≠-.练习7.91.填空.（1）关于x 的方程53ax x =-无解，则a = ；（2）关于x 的方程2354mx x n -=-有无数解，则m = ，n = ；（3）已知关于x 的方程3243a x x x --= ??和3151128x a x +--=有相同的解，那么这个解是 . 2.解关于x 的方程.（1）35x b ax +=+；（2）()()235231326kx x +++=.3.如果a 、b 为定值，关于x 的方程2236kx a x bk +-=+，无论k 为何值时，它的根总是1，求a 、b 的值.练习7.9答案1.（1）5；（2）5324，；（3）2728x =. 2.（1）当35a b ==，时，解为一切数；当35a b =≠，时，无解；当3a ≠时，53b x a -=-；（2）当52k =时，解为一切数；当52k ≠时，0x =. 3.13,42a b ==-. 提示：把方程看作是关于k 的方程，则这个关于k 的方程的解为一切数.7.9 《形如ax =b 的方程及其解法》练习练习7.91.若关于x 的方程()112326x x a x +=--有无数解，则a = . 2.已知y =1是方程()1223m y y --=的解，那么关于x 的方程()()3225m x m x --=-的解是 . 3.若a b c x b c c a a b===+++，则x 的值为 . 4. 解关于x 的方程()()31434a x a x +-=.5. 解关于x 的方程()()()()11210m m x m m +-+--=.6.下边横排有12个方格，每个方格都有一个数字，相同的字母表示的数字相同.已知任何相邻三个数字的和都是20，求X 的值.7.关于x 的方程9314x kx -=+有整数解，求满足条件的所有整数k .7.9 形如ax =b 的方程及其解法练习7.9答案1. 22. x =03. 1-或12. 提示：()()(),,a b c x b c a x c a b x =+=+=+，三式相加得，()()2a b c a b c x ++=++，因此0a b c ++=或12x =.由0a b c ++=可得1x =-. 4.49a =-时，原方程无解；49a ≠-时，1294a x a =-+. 5. 当m =1时，原方程有无数解，解为一切数; 当m =-1时，原方程无解；当1m ≠±时，21m x m -=+. 6. 5 提示：由题意，得5=C =F =H ，则E =5，X =E =5.7. 8、10、-8、26. 提示：原方程化为()917k x -=.①90k -=，即9k =时，原方程无解；②90k -≠，即9117k -=±±，时，原方程有整数解，解得k =8、10、-8、26.。

第08讲一元一次不等式组（核心考点讲与练）一．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．二．一元一次不等式组的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．三．由实际问题抽象出一元一次不等式组由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．四．一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．一．一元一次不等式组的定义（共2小题）1．（2020春•安庆期中）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．（2017春•雁塔区校级月考）下列不等式组：①，②，③，④，⑤．其中一元一次不等式组的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．解一元一次不等式组（共4小题）3．（2021春•杨浦区期中）若n＜m，则不等式组的解集是（）A．x＞m B．x＜n C．n＜x＜m D．无解4．（2021春•杨浦区期末）若与2﹣3x＜0的解集是相同的，那么m的值是（）A．B．C．D．5．（2021•浦东新区校级自主招生）有一个解集为﹣2＜x＜2，它可能是下面哪个不等式组的解集？（a，b均为实数）（）A．B．C．D．6．（2021春•杨浦区期末）如果不等式组无解，那么a的取值范围是．三．一元一次不等式组的整数解（共8小题）7．（2021春•浦东新区月考）不等式组的整数解为．8．（2021春•浦东新区期末）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．9．（2021•长宁区二模）解不等式组：，并求出它的正整数解．10．（2021•叙州区校级模拟）不等式组有两个整数解，则m的取值范围为（）A．﹣5＜m≤﹣4B．﹣5＜m＜﹣4C．﹣5≤m＜﹣4D．﹣5≤m≤﹣4 11．（2021春•杨浦区期中）已知不等式组，则它的正整数解是．12．（2021春•松江区期末）求不等式组的自然数解．并把它的解集在数轴上表示出来．13．（2021•浦东新区二模）解不等式组：并写出这个不等式组的自然数解．14．（2021春•扶沟县期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式的整数解．四．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共3小题）15．（2021春•澄城县期末）鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度x℃的范围是20≤x≤28，B种鱼的生长温度x℃的范围是19≤x≤25，那么鱼缸里的温度x℃应该控制在范围内．16．（2021秋•杭州期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（）A．7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3B．7.2×3＜7.4+7.9+x≤7.8×3C．7.2×3＞7.4+7.9+x＞7.8×3D．7.2×3＜7.4+7.9+x＜7.8×317．（2021春•红谷滩区校级期末）一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”（1）最小的“对称数”为；四位数A与2020之和为最大的“对称数”，则A的值为；（2）一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为8，且千位数字a使得不等式组恰有4个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的值．五．一元一次不等式组的应用（共4小题）18．（2019秋•浦东新区期中）小明的外婆从家乡带来一篮苹果，小明数了数，发现每次拿出4个、每次拿出5个或每次拿出6个，都恰好拿完，又知道苹果的总数超过100个，但又不足150个，试问这篮苹果共多少个？19．（2021秋•青浦区校级期中）已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，将他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？20．（2019春•奉贤区期中）为了更好治理黄浦江水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．A、B两种型号设备的月处理污水量如下表：A型B型价格（万元/台）a处理污水量（吨/月）240180（1）设A型设备每台的价格为a万元，则B型每台的价格为万元；（2）求A、B两种型号的设备的价格；（3）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不低于1860吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．21．（2020春•虹口区期中）一件商品的成本价是30元，若按标价的八八折销售，至少可获得10%的利润：若按标价的九折销售，可获得不足20%的利润．设这件商品的标价为x元，则x在范围内．题组A 基础过关练一．选择题（共4小题）1．（2018春•普陀区期中）不等式组的非负整数解有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2019•金山区二模）不等式组的解集是（ ）A ．x ＞﹣3B ．x ＜﹣3C ．x ＞1D ．x ＜1 3．（2015春•辽阳校级期中）登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人2瓶，则剩余3瓶，若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶（不为0瓶），登山人数及矿泉水的瓶数是（ ） A ．5、13B ．3、5C ．5、15D ．无法确定4．（2013春•九江期末）把一盒苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分6个，则最后一个学生能得到的苹果不超过2个，则学生人数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6二．填空题（共3小题）5．（2018秋•杨浦区校级期中）若﹣＜x ＜，则x可以取 个整数值． 6．（2020•哈尔滨模拟）不等式组的解集是 ．7．（2021•浦东新区模拟）不等式组的解集是 ．三．解答题（共2小题）分层提分8．（2018春•黄浦区期末）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上．9．（2018春•松江区期末）求不等式组：的整数解．题组B 能力提升练一．填空题（共4小题）1．（2021•崇明区二模）不等式组的解集是．2．（2021•普陀区二模）不等式组的解集是．3．（2020•青浦区二模）不等式组的整数解是．4．（2000•上海自主招生）今有浓度分别为3%、8%、11%的甲、乙、丙三种盐水50千克、70千克、60千克，现要用甲、乙、丙这三种盐水配制浓度为7%的盐水100千克，则丙种盐水最多可用千克．二．解答题（共9小题）5．（2021春•青浦区期中）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．6．（2021•徐汇区二模）解不等式组：．7．（2021•奉贤区二模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．8．（2019春•松江区期末）求不等式组：的非负整数解；并把它的解集在数轴上表示出来．9．（2019春•奉贤区期中）解不等式组：，并写出不等式组的非负整数解．10．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈．问最多有多少名同学？11．若2x+|4﹣5x|+|1﹣3x|+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．12．（2015春•闵行区期末）先阅读下列一段文字，然后解答问题：某食品研究部门欲将甲、乙、丙三种食物混合研制成100千克食物，并规定：研制成的混合食品中至少需含44000单位的维生素A和48000单位的维生素B，三种食物的维生素A、B的含量如表1所示：甲种食物乙种食物丙种食物每千克生产成本（元）甲种食物9维生素A（单位/千克）400600400乙种食物12维生素B（单位/千克）800200400丙种食物8（表1）（表2）设所取甲、乙、丙三种食物的质量分别为x千克、y千克、z千克，（1）试根据题意列出等式和不等式，并说明：①y≥20；②2x﹣y≥40；（2）设甲、乙、丙三种食物的生产成本如表2所示：①试用含x、y的代数式表示研制的混合食品的总成本P（元）；②如果限定混合食品中甲种食物的质量为40千克，试求此时总成本P 的取值范围，并确定当P取最小值时，所取乙、丙两种食物的质量．13．（2015春•普陀区期末）（1）解不等式组，并把不等式组的解集在图所示的数轴上表示出来；（2）若（1）中所求得的不等式组的解集中的最大或最小的整数值是关于x的方程2x﹣ax＝3的解，求a的值．第08讲一元一次不等式组（核心考点讲与练）一．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．二．一元一次不等式组的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．三．由实际问题抽象出一元一次不等式组由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．四．一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．一．一元一次不等式组的定义（共2小题）1．（2020春•安庆期中）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可．【解答】解：①是一元一次不等式组；②是一元一次不等式组；③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；④是一元一次不等式组；⑤，未知数是3次，不是一元一次不等式组，其中是一元一次不等式组的有3个，故选：B．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．2．（2017春•雁塔区校级月考）下列不等式组：①，②，③，④，⑤．其中一元一次不等式组的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后再计算个数即可．【解答】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组；③含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以②⑤都不是一元一次不等式组．故有①②④三个一元一次不等式组．故选：B．【点评】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．二．解一元一次不等式组（共4小题）3．（2021春•杨浦区期中）若n＜m，则不等式组的解集是（）A．x＞m B．x＜n C．n＜x＜m D．无解【分析】根据求不等式组的解集方法：“大大小小找不到”判断即可”【解答】解：若n＜m，则不等式组的解集是无解．故选：D．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．4．（2021春•杨浦区期末）若与2﹣3x＜0的解集是相同的，那么m的值是（）A．B．C．D．【分析】分别解两个不等式求出其解集，再根据解集是相同得出关于m的方程，解之即可．【解答】解：∵2﹣3x＜0，∴3x＞2，则x＞，解不等式，得：x＞﹣3m，根据题意知＝﹣3m，解得m＝，故选：B．【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据．5．（2021•浦东新区校级自主招生）有一个解集为﹣2＜x＜2，它可能是下面哪个不等式组的解集？（a，b均为实数）（）A．B．C．D．【分析】根据不等式的解集﹣2＜x＜2，推出﹣x＜1和x＜1．然后从选项中找出有可能的不等式组．【解答】解：∵﹣2＜x＜2，∴x＞﹣2且x＜2，∴﹣x＜1且x＜1，即解集为﹣2＜x＜2的不等式组是，而只有D的形式和的形式相同，∴只有D解集有可能为﹣2＜x＜2．故选：D．【点评】此题考查学生逆向思维，由解来判断不等式，是一道好题；用到的知识点为：大小小大中间找；大大小小无解．6．（2021春•杨浦区期末）如果不等式组无解，那么a的取值范围是a≤2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于a的不等式，解之即可．【解答】解：解不等式x﹣2≥a，得：x≥a+2，解不等式x+2＜3a，得：x＜3a﹣2，∵不等式组的无解，∴a+2≥3a﹣2，解得a≤2，故答案为：a≤2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．三．一元一次不等式组的整数解（共8小题）7．（2021春•浦东新区月考）不等式组的整数解为x1＝2，x2＝3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，即可求出其整数解．【解答】解：解不等式x﹣4＜0，得：x＜4，解不等式，得x≥2，所以不等式组的解集为2≤x＜4，故不等式组的整数解为x1＝2，x2＝3．故答案为：x1＝2，x2＝3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解答本题的关键．8．（2021春•浦东新区期末）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出非负整数解即可．【解答】解：，由①得：x＞﹣2，由②得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2，则非负整数解为0，1，2．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．9．（2021•长宁区二模）解不等式组：，并求出它的正整数解．【分析】根据解不等式组的方法，可以求得该不等式组的解集，然后即可写出该不等式组的整数解．【解答】解：，由不等式①，得x＜3，由不等式②，得x≥，故原不等式组的解集是≤x＜3，∴该不等式组的正整数解是1，2．【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．10．（2021•叙州区校级模拟）不等式组有两个整数解，则m的取值范围为（）A．﹣5＜m≤﹣4B．﹣5＜m＜﹣4C．﹣5≤m＜﹣4D．﹣5≤m≤﹣4【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于m的不等式组，求出即可．解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于m的不等式组，难【解答】解：，解不等式①得：x≤﹣3，解不等式②得：x＞m，∴不等式组的解集为m＜x≤﹣3，∵不等式组有两个整数解，∴﹣5≤m＜﹣4，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式，度适中．11．（2021春•杨浦区期中）已知不等式组，则它的正整数解是1，2．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x≥0，由②得：x≤，则不等式组的解集为0≤x≤，∴不等式组的正整数解是1，2；故答案为：x＝1，2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．12．（2021春•松江区期末）求不等式组的自然数解．并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】首先分别解出两个不等式，再根据：大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小取不着，确定出两个不等式的公共解集即可．【解答】解：，由不等式①得：x＞﹣1，由不等式②得：x≤3，所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤3，解集在数轴上表示为：所以不等式组的自然数解为0，1，2，3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题的关键．13．（2021•浦东新区二模）解不等式组：并写出这个不等式组的自然数解．【分析】先分别解答不等式组中的两个不等式的解集，然后求其交集即为不等式组的解集，再根据不等式组的解集来取自然数解．【解答】解：，由①得x＞﹣3．由②得，∴原不等式组的解集是．∴原不等式组的自然数解为0，1，2，3，4．【点评】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．14．（2021春•扶沟县期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式的整数解．【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．【解答】解：，解不等式①，得x≥﹣2，解不等式②，得x＜2.25，所以不等式组的解集是﹣2≤x＜2.25，在数轴上表示为：，所以不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，在数轴上表示不等式组的解集和解一元一次不等式组等知识点，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．四．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共3小题）15．（2021春•澄城县期末）鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度x℃的范围是20≤x≤28，B种鱼的生长温度x℃的范围是19≤x≤25，那么鱼缸里的温度x℃应该控制在20≤x≤25范围内．【分析】根据题意列出不等式组，求不等式解集的公共部分即可．【解答】解：由题意得：，解得：20≤x≤25，故答案为：20≤x≤25．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出不等式组．关键是掌握解集的规律：“同大取大，同小取小，大小小大取中间”进行分析求解．16．（2021秋•杭州期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（）A．7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3B．7.2×3＜7.4+7.9+x≤7.8×3C．7.2×3＞7.4+7.9+x＞7.8×3D．7.2×3＜7.4+7.9+x＜7.8×3【分析】根据算术平均数的定义，并结合三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得7.2≤≤7.8，从而得出答案．【解答】解：根据题意知7.2≤≤7.8，∴7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3，故选：A．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是掌握算术平均数的定义．17．（2021春•红谷滩区校级期末）一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”（1）最小的“对称数”为1010；四位数A与2020之和为最大的“对称数”，则A的值为7979；（2）一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为8，且千位数字a使得不等式组恰有4个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的值．【分析】（1）根据题意，可以写出最小的“对称数”和最大的“对称数”，然后即可得到A 的值，本题得以解决；（2）根据千位数字a使得不等式组恰有4个整数解，可以求得a的值，然后根据题意，可以得到所有满足条件的“对称数”M的值．【解答】解：（1）由题意可得，最小的“对称数”为1010，最大的“对称数”是9999，∵四位数A与2020之和为最大的“对称数”，∴A的值为：9999﹣2020＝7979，故答案为：1010，7979；（2）由不等式组，得＜x≤4，∵千位数字a使得不等式组恰有4个整数解，∴0≤＜1，解得，﹣1≤a＜4，∵a为千位数字，∴a＝1，2，3，设个位数字为b，∵一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为8，∴百位数字为3a，十位数字是8﹣b，∴a+b＝3a+（8﹣b），b＝a+4，∴当a＝1时，b＝5，此时对称数”M的值是1335，当a＝2时，b＝6，此时对称数”M的值是2626，当a＝3时，b＝7，此时对称数”M的值是3917由上可得，对称数”M的值是1335，2626，3917．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出M的值．五．一元一次不等式组的应用（共4小题）18．（2019秋•浦东新区期中）小明的外婆从家乡带来一篮苹果，小明数了数，发现每次拿出4个、每次拿出5个或每次拿出6个，都恰好拿完，又知道苹果的总数超过100个，但又不足150个，试问这篮苹果共多少个？【分析】由4，5，6的最小公倍数为60可得出苹果的个数是60的倍数，设这篮苹果共60x个，由苹果的总数超过100个不足150个，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，取其中的整数值代入60x中即可求出结论．【解答】解：∵4，5，6的最小公倍数为60，∴苹果的个数是60的倍数．设这篮苹果共60x个，依题意，得：，解得：＜x＜．又∵x为正整数，∴x＝2，∴60x＝120．答：这篮苹果共120个．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．19．（2021秋•青浦区校级期中）已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，将他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？【分析】由12和8的最小公倍数为24，可设该校六年级学生有（24x+3）人，根据“该校六年级学生超过130人，而不足150人”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为正整数即可确定x的值，再将其代入（24x+3）中即可得出结论．【解答】解：∵12和8的最小公倍数为24，∴设该校六年级学生有（24x+3）人．依题意，得：，解得：5＜x＜6．又∵x为正整数，∴x＝6，∴24x+3＝147（人）．答：该校六年级学生有147人．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．20．（2019春•奉贤区期中）为了更好治理黄浦江水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．A、B两种型号设备的月处理污水量如下表：A型B型价格（万元/台）a处理污水量（吨/月）240180（1）设A型设备每台的价格为a万元，则B型每台的价格为（a﹣2）万元；（2）求A、B两种型号的设备的价格；（3）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不低于1860吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．【分析】（1）根据购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，即可用含a的代数式表示出B型设备每台的价格；（2）根据购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）设购买m台A型设备，则购买（10﹣m）台B型设备，根据“市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不低于1860吨”，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出m的值，利用总价＝单价×数量，分别求出m取各值时所需费用，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）∵购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，且A型设备每台的价格为a元，∴B型每台的价格为（a﹣2）万元．故答案为：（a﹣2）．（2）根据题意得：2a﹣3（a﹣2）＝﹣6，解得：a＝12，∴a﹣2＝10（万元/台）．答：A型设备的价格为12万元/台，B型设备的价格为10万元/台．（3）设购买m台A型设备，则购买（10﹣m）台B型设备，依题意得：，解得：1≤m≤，∵m为整数，。

7.12可化为一次方程组的含绝对值符号的方程组例1 解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+223127213y x y x 解：令a x =+1 ，b y =.则原方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧=+=-②①2232723b a b a 由①×3，②×2，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-④③44642169b a b a 由③＋④，得13a =65，a =5把a =5代入①，得b =4. 所以⎪⎩⎪⎨⎧==+451y x 可得，⎩⎨⎧==+451y x ，⎩⎨⎧-==+451y x ，⎩⎨⎧=-=+451y x ，⎩⎨⎧-=-=+451y x 所以原方程组的解是⎩⎨⎧==44y x ，⎩⎨⎧-==44y x ，⎩⎨⎧=-=46y x ，⎩⎨⎧-=-=46y x 例2 解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-321y x y x 解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-②①321y x y x 由①得：1=-y x 或1-=-y x与②结合得方程组：（I ）⎩⎨⎧=+=-321y x y x ；或（II ）⎩⎨⎧=+-=-321y x y x 解（I ）：把1+=y x 代入32=+y x ，得321=++y y ， 去绝对值符号，解得：32=y 或34-=y 再将y 值代入1+=y x ，解得方程组（I ）的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=3431y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3235y x同理，解得方程组（II ）的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=3235y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3431y x 所以原方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=3431y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3235y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3235y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3431y x 例3 解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧+=+-+=-22x y x y x y x 解：⎪⎩⎪⎨⎧+=+-+=-②①22x y x y x y x 由①得：2+-=+y x y x ， 因为0≥-y x ，所以0>+y x ， 所以y x y x +=+③把③代入②有2+=+x y x ，所以2=y .将2=y 代入①得：x x =-2，所以x x =-2，④或x x -=-2⑤由无解，由⑤解得1=x ，所以原方程组的解为⎩⎨⎧==21y x练习7.121.解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--10123612y x y x2.解方程组：()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-++141511y x y x3.解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+21y x y x练习7.12答案1.无解。

8.7 含字母系数的不等式(组)通过之前的学习我们已经对含字母系数的一次方程(组)有了一定的了解，那么含字母系一次不等式(组)是否也相类似呢？本节我们就来研究一下含字母系数的不等式(组)．想一想关于x 的一次方程ax ＝b 与关于x 的一次不等式ax ＞b 的解法是否类似呢？动手试一试！分析：我们都知道要对字母系数a 和b 进行讨论了，但是由于不等式性质和等式性质不尽相同，所以在讨论的时候还是有区别的，一定要注意不等式性质3的运用．例1 解关于x 的一次不等式ax ＞b (a 、b 为常数)．解：当a ＞0时，x ＞b a ；当a ＜0时，x ＜b a； 当a ＝0且b ≥0时，原不等式无解；当a ＝0且b ＜0时，x 取一切数．我们通过比较可以发现含字母系数一次不等式的讨论更为复杂，不仅在a ≠0的问题上又细分了两类，而且在a ＝0时对b 的讨论更要细致入微．试一试解关于x 的一次不等式ax ≥b (a 、b 为常数) ．经过比较我们发现，虽然题目中只是多了一个等号，但是在讨论a ＝0且b ＝0的问题上区别还是很大的(体会一下和例1的区别)．例2 解关于x 的一次不等式k (k ＋1)＜1一x ．解：k 2x ＋x ＜1－k(k 2＋1)x ＜1－k因为kx ＋1＞0所以x ＜211k k -+．(并不是所有的字母系数都要讨论，注意观察代数式的特征！)例3 解关于x 的不等式a (x －b 2)＞b (x ＋a 2)．分析：应先把这个不等式整理成左边是含x 的项，右边是常数项，然后对系数进行讨论．解：原不等式整理后，得(a －b )x ＞ab (a ＋b )．当a －b ＞0，即a ＞b 时，x ＞()ab a b a b+-； 当a －b ＜0，即a ＜b 时，x ＜()ab a b a b+-；当a －b ＝0，即a ＝b 时，0x ＞2b 3； 则①若a ＝b ≥0，即上式不成立，即原不等式无解；②若a ＝b ＜0，则上式恒成立，x 取任意数．注意：对于数a ，如果a ≥0，则不等式0x ＞a 无解，而0x ＜a 的解为任意数；如果a ＜0，则不等式0x ＞a 的解为任意数；而0x ＜a 无解．例4 解关于x 的不等式(m ＋1)(m －1)x ＞(m ＋1)(m －2)．分析：由于不知道m ＋1是正数还是负数，还是0，所以两边同除以m ＋1是不正确的．解：由题意，当m ＜－1时，m ＋1＜0，m －1＜0，则原不等式的解集为x ＞21m m --； 当m ＝－1时，得0x ＞0，此不等式不成立，则该不等式无解；当－1＜m ＜1时，m ＋1＞0，m －1＜0，则(m ＋1)(m －1)＜0，原不等式的解集为x ＜21m m --； 当m ＝1时，得0x ＞一2，此不等式恒成立，则原不等式的解集为任意数；当m ＞1时，得(m ＋1) (m －1)＞0，则原不等式的解集为x ＞2m -．练习8.7(1)1．解关于x 的不等式ax ≤b ．2．解关于x 的不等式ax ＜b ．3．解关于x 的不等式2a x ＋b ＞2b x ＋ab (a ＞b )．4.解关于x 的不等式(1)2m x +＋3m ≥3mx ＋12．答案？8.7 《含字母系数的不等式(组)》练习练习8.7(1)1．解关于x 的不等式(a －1)x ≤b ．2．解关于x 的不等式(a －bx ＞(a －b )(a ＋b )．3．解关于x 的不等式ax ＞x ＋(a ＋1)(a －1)．4．已知不等式组21,2,x a x a >+⎧⎨<-⎩无解，则a 的取值范围是( )． A ．a ≤－3 B ．a ＜－3 C ．a ≥－3 D ．a ＞－35．解关于x 的不等式(m ＋2)(m －2)x ＜m －2．6．已知不等式组1,3,x a x a >+⎧⎨>-⎩的解集是x ＞5，求a 的值．8.7 含字母系数的不等式(组)答案练习8.7(1)1．当a ＝1且b ≥0时，x 为一切数；当a ＝1且b ＜0时，原不等式无解；当a ＞1时，x ≤1b a -； 当a ＜1时，x ≥1b a -． 2．当a ＝b 时，原不等式无解；当a ＞b 时，x ＞a ＋b ；当a ＜b 时．x ＜a ＋b ．3．a ＝1时，原不等式无解；a ＞1时，x ＞a ＋1；a ＜1时，x ＜a ＋1．提示：原不等式化为(a －1)x ＞(a ＋1)(a －1)．①a －1＝0，即a ＝1时，0＞0．无解；②a －1＞0．即a ＞1时，x ＞a ＋1；③a －1＜0，即a ＜1时，x ＜a ＋1．4．C ．提示：由题意得．2a ＋1≥a －2，解得a ≥－3．5．当m ＝±2时，原不等式无解；当m ＞2或m ＜－2时，x ＜12m +；当－2＜m ＜2时，x ＞12m +．提示：①m －2＝0，即m ＝2时，无解；②当m －2＞0，即m ＞2时，m ＋2＞0．x ＜12m +；③当m －2＜0，即m ＜2时，(m ＋2)x ＞1．分三种情况讨论：若m ＋2＝0，即m ＝－2时，则0＞1，无解；若m ＋2＞0，即－2＜m ＜2时，x ＞12m +；若m ＋2＜0，即m ＜－2时，x ＜12m +． 6．4或－2．提示：a ＋1＝5或3－a ＝5，即a ＝4或a ＝－2．把a ＝4或a ＝—2代入原不等式组，均得到解集x ＞5，因此a ＝4或－2．例5 已知关于x 的不等式(3a －2)x ＜2－3a 的解集是x ＞－1，求a 的取值范围．分析：解此不等式时，首先考虑的是不等式两边同时除以(3a －2)，此时，右边(2－3a )除以(3a －2)，商为－1．解：当3a －2＞0时，不等式的解集是x ＜－1；当3a －2＜0时，不等式的解集是x ＞－1，由已知可见3a－2＜0，故a ＜23．例6 若不等式(a ＋1)x ＞a 2－1的解集为x ＜a －1，求不等式(1－a )x ＜a 2－2a ＋1的解集．分析：由已知条件逆向分析，可以得到a 的取值范围，从而得到1－a 与0的大小关系．解：因不等式(a ＋1)x ＞a 2－1的解集为x ＜a －1，不等号的方向发生改变，所以a ＋1＜0，即a ＜－1，此时，1－a ＞0．待解不等式即(1－a )x ＜(1－a )2，所以它的解集为x ＜1－a ．例7 已知a 、b 为有理数，不等式(2a －b )x ＋3a －4b ＜0的解集是x ＞49，求不等式(a －4b )x ＋2a －3b ＞0的解集．分析：同上例，先由条件逆向分析，求出n 与4b 的大小关系．解：因为不等式(2a －b )x ＋3a －4b ＜0的解是x ＞49，不等号的方向发生了改变． 所以2a －b ＜0，且x ＞432b a a b --＝49，解得a ＝87b ．则2a －b ＝167b －b ＝97b ＜0，所以b ＜0．不等号的方向发生了改变．则由不等式(a －4b )x ＋2a －3b ＞0，(87b －4b )x ＋167b －3b ＞0， 即－20bx ＞5b ，x ＞－14． 即不等式(a －4b )x ＋2a －3b ＞0的解集为x ＞－1．例8 关于x的不等式(a－1)x＞2a＋1的解集．(1)有没有可能是x＞1?(2)有没有可能是x＜－2？(3)有没有可能是x＞3？解：由(a－1)x＞2a＋1，得：a＞1，则x＞211aa+-，a＜1，则x＜211aa+-．(1)1,211,1aaa>⎧⎪+⎨=⎪-⎩得：1,2,aa>⎧⎨=-⎩所以，没有可能；(2)1,212,1aaa<⎧⎪+⎨=-⎪-⎩得：1,1,4aa<⎧⎪⎨=⎪⎩所以，有可能，且a＝14；(3)1,213,1aaa<⎧⎪+⎨=⎪-⎩得；1,4,aa>⎧⎨=⎩所以，有可能，且a＝4．思考：要不要考虑a＝1的情况呢？例9已知a、b是实数，若不等式(2a－b)x＋3a－4b＜0和4—9x＜0是同解不等式．则不等式(a－4b)x＋2a－3b＞0的解是什么？解：解不等式4－9x＜0，得x＞49．由不等式(2a－b)x＋3a－4b＜0得(2a－b)x＜4b－3a．由题意得20,434,29a bb aa b-=⎧⎪-⎨=⎪-⎩解得：0,7.8ab a<⎧⎪⎨=⎪⎩所以a－4b＝－52a＞0．则(a－4b)x＋2a－3b＞0，得(a－4b)x＞3b－2a．因为a－4b＞0，所以x＞324b aa b--．代入b＝78a，得：x＞－14．练习8.7(2)1．已知不等式(k－1)x＋2k＞x－8的解集是x＜2，求k的值．2．当a为何数时，方程组48,326,ax yx y+=⎧⎨+=⎩的解为正数？3．关于x的不等式(2a－b)x＋a－5b＞0的解为x＜107，试求关于x的不等式ax＞b的解．4．设不等式(m＋n)x＋(2m－3n)＜0的解为x＜－13，求不等式(m－3n)x＋(n－2m)＞0的解．答案？。

6.3整式 观察下列式子：22x y 、2r π、abc 、－m. 上面这些代数式都是由数与字母的乘积组成的，这样的代数式叫做单项式.特别地，单独一个数或一个字母也是单项式.单项式中数字因数叫做这个单项式的系数.例如，22x y 的系数是12，的系数是2r π的系数是2π，abc 的系数是1，－m 系数是－1.一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.例如，2(2)abc -的次数是3次数，245x yz -的次数是4次. 注意：（1）圆周率π是常数；（2）当一个单项式的系数是1或者－1时，“1”通常省略不写，如2ab ，－abc ；（3）单项式的系数带分数时，通常写成假分数.如2114x y 写成254x y . 例1 判断下列各代数式是否是单项式.如果不是，请简要说明理由；如果是，请指出它的系数与次数：（1）x ＋1；（2）1x ；（3）2r π；（4）232a b -. 解：（1）不是，因为原代数式中出现了加法运算；（2）不是，因为原代数式是1与x 的商；（3）是，它的系数是π，次数是2；（4）是，它的系数是32-，次数是3； 练一练1.判断下列代数式是否是单项式：（1）a ； （2）12-； （3）12x +； （4）x π； （5）xy ； （6）2xπ. 2.说出下列单项式的系数与次数：（1）22x -3y ；（2）mn ；（3）5a ²；（4）272ab c -. 观察3a －2ab ＋4；32423x x y +-；3x y +. 上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的.像这样，几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。

其中，不含字母的项，叫做常数项.例如，多项式3x ²－2x ＋5有三项.它们是3x ²，－2x ，5.其中5是常数项.一个多项式含有几项，就叫几项工.多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。

7.11 可化为一元方程的含绝对值符号的方程问题求一个数，使它的2倍与3之间相差5我们首先设这个数为x，然后可分以分两种情况列出方程2x－5＝5 或3－2x＝5想一想还可以列出其他的方程吗？还可以直接列出方程|23|5x-=我们把绝对值符号内含有未知数的方程，称为含绝对值符号的方程．例如：11||,|12,|1||25|123x x x x=-=+=-+等等．最简单的含绝对值符号的方程为：||x a=(a为常数)它的解情况是：当a＞0时，此方程的解为x＝a或x＝－a；当a＝0时，此方程的解为x＝0当a＜0时，此方程无解．例1 解方程：7|12|203x--+=解：7|12|60x--+=|12|13x-=1213x-=或1213x-=-解得：x＝－6或x＝7当方程中含有未知数的绝对值符号只有一个时，可以将含有未知数的绝对值符号作为一个整体来考虑，去掉绝对值符号，把它变为一次方程．例2：解方程：|21||2|4x x-++=分析：本题是含有两个绝对值符号的方程，一般地可以通过“零点区间讨论法”去掉绝对值符号，把它变为一次方程．解：由210x-=得12x=；由x＋2＝0，得x＝－2．(1)当x≤－2 时，原方程化为(21)(2)4x x---+=，解得53x=-(舍)(2)当122x-<<时原方程化为(21)(2)4x x--++=，解得x＝－1(30当x≥12时，原方程化为(21)(2)4x x-++=，解得x＝1所以原方程的解为x＝－1或x＝1所以原方程的解为x＝－1或x＝1对于含有两个以上绝对值符号的方程，零点区间讨论法是一种非常适用的方法．练习7.11（1）1、解含 绝对值符号的方程（1）|5|3x -=， （2）2|1|32x -=， （3）|2|21x x -=+. 2、解含绝对值符号的方程；(1)|32||1|10x x -++= (2)|4||2|1x x x -+-=+ (3)3|1||1|2|2|x x x --+=-练习7.11(1) 答案1、(1)1;94x =或x ＝3 (2)181218,;253511y y x ==-=± 2、(1) 1,3x x =-=- (2)x ＝4 (3)122x ≤≤例3、 解方程|21|3x x -+= 分析一：方程中有两层绝对值符号 ，可以就内层的零点12-，分12x <-和12x ≥-两种情况去掉内层绝对值符号，再对外层绝对值符号进行研究．解：(1)当12x <-时 原方程化为|31|3x += 解得23x =或43x =-， 而23x =不在12x <-内，应舍去． (2)当x ≥12-时 , 原方程化为|(21)|3x x -+=解得 x ＝2 或x ＝－4而x ＝－4不在x ≥12-内，应舍去 所以原方程的解为43x =-或x ＝2 . 分析二 方程中有两层绝对值符号，可由绝对值的定义，从外向内逐层去掉绝对符号，进行研究． 解：由原方程和绝对值的定义：得|31|3x x -+=±(1)当|31|3x x -+=时，即|21|3x x +=-所以213x x +=-或21(3),x x ==--所以4x =-或23x =． 注：当|21|3x x +=-时，应该x －3≥0方程有解． 但是x ＝－4和23x =不在x ≥3内，应舍去． (2)当|31|3x x -+=-时，即|21|3x x +=+所以213x x +=+或213x x +=--所以x ＝3或43x =- X ＝2或43x =-在x ≥－3内，是方程的解． 所以原方程的解为x ＝3或43x =-例4 求适合方程|27||21|8a a ++-=的整数a ．分析：观察本题中常数的内在联系，从绝对值的几何意义入手，可以更快地获得问题的解解：|27|a +表示在数轴上表示2a 的点与表示－7的点之间的距离．|21|a -表示在数轴上表示2a 的点与表示1的点之间的距离而－7与1的距离正好为8故721a -≤≤ 即7122a -≤≤ 所以a ＝－3, －2, －1, 0想一想从绝对值的几何意义入手，是否仍然可以获得以下问题的解？求适合方程|27||21|10a a ++-=的整数a ;求适合方程|27||21|6a a ++-=的整数a ；练习7.11(2)1、求解含绝对值符号的方程(1)||31||4x x -+= (2)||211||3x x -+= (3)|1||5|4x x -+-=2、求适合|34||32|6x x -++=的整数x ．3、当a ＞0, b ＜0，求使||||x a x b a b -+-=-成立的x 取值范围．练习7.11(2) 答案1、(1)x ＝2, x ＝－2 (2) x ＝3, x ＝－32、无数个解3、－6，－5，－4，－3，－2，－1,0，1,2，3,4(64x -≤≤)例5 讨论关于x的方程|2||5|x x a-+-=的解的情况解：因为数轴上表示数x的点到数轴上表示数2、5的点的距离和的是最小值为3，由此可得方程解的情况是：(.1)当a＞3 时，方程有两解：(322ax-=-或352ax-=+)(2)当a＝3时，方程有无数解；(25)x≤≤(3)当a＜3时，方程无解．例6 若关于x的方程||2|1|x a--=有三个整数解，则a的值是多少？解：若a＜0，原方程无解，所以a0≥.由绝对值的定义，得：|2|1x a--=±(1)若a＞1，则|2|10x a-=-<，无解．由|2|1x a-=+，x只能有两个解3x a=+或1x a=-;(2)若0≤a≤1，则由|2|1x a-=-，解得1x a=+或3x a=-由|2|1x a-=+，解得3x a=+或1x a=-原方程的解为1x a=+或3x a=-或3x a=+或1x a=-，为了使原方程的解有三个整数解，a必为整数，所以a只能取0或1，当a＝0时，原方程的解为x＝3或x＝1,只有两个解，与题意不符，所以a≠0，当a＝1，原方程的解为x＝4,0,2，有三个解，综上所述，a＝1例7 已知方程||1x ax=+有一个负根，而没有正根，求a的取值范围解：设x为方程的负根，则1x ax-=+，即11xa-=<+所以，a＞－1，即a＞－1，原方程有负根．设方程的正根x，则1x ax=+即11xa =>-所以a＜1，即a＜1时，原方程有正根综上所述，若使原方程有一个负根且没有正根，必须有a1≥练习7.11(3)1、讨论方程||3|2|x k+-=的解的情况2、求关于x的方程||2|1|0x a---=的所有解的和．3、当a满足什么条件时，关于x的方程|2||5|x x a---=有一解？有无数多个解？无解？练习7.11(3)答案1、当b＝3，有3个不相等的解．2、当－5＜a＜5时，原方程有唯一一解；当a＝－5或a＝5时，原方程有无数个解；当a＞5或a＜－5时，原方程无解．7.11 《可化为一次方程的含绝对值符号的方程》练习习题7.11(1)1、填空(1)若x ＝7是方程1|2|4x a -=的解，则a ＝____；当a ＝1时，则方程1|2|3x a -=的解是_____． (2)方程11|1||2|035y y +--=，方程||2||116x x -=+的解是______．2、解下列含绝对值符号的方程 (1)142|1|32x -+= (2)1|1|32x x -=- (3)|21||2||1|x x x -+-=+练习7.11(1) 参考答案1、(1)1;94x =或x ＝3 (2)181218,;253511y y x ==-=± 2、(1) 1,3x x =-=- (2)x ＝4 (3)122x ≤≤习题7.11(2)1、解含绝对值符号的方程(1)||21||5x x -+= (2)||23||6x x +-=2、求方程|5|50x x -+-=的解的个数3、求适合方程11|2||3|522x x -++=的整数解练习7.11(2) 参考答案1、(1)x ＝2, x ＝－2 (2) x ＝3, x ＝－32、无数个解3、－6，－5，－4，－3，－2，－1,0，1,2，3,4(64x -≤≤)。