自动控制原理离散系统知识点总结

差分方程描述了系统在离散时间点的 行为，通过求解差分方程，可以预测 系统未来的输出。
状态方程
状态方程是描述线性离散控制系统动态行为的数学模型，其形 式为 X(k+1) = A*X(k) + B*U(k)，其中X(k)表示在时刻k的系统 状态向量，U(k)表示在时刻k的控制输入向量，A和B是系统矩 阵。
自动控制原理第7章 线性离散控制系统

目录
CONTENTS
• 引言 • 线性离散控制系统的数学模型 • 线性离散控制系统的稳定性分析 • 线性离散控制系统的性能分析 • 线性离散控制系统的设计方法 • 线性离散控制系统的应用案例
01
引言
线性离散控制系统的定义与特点
定义
线性离散控制系统是指系统的动态行为由差分方程或离散状态方程描述的一类控制系统。
适性。
常见的智能家居控制系统包括智 能照明、智能安防、智能环境监
测等。
案例三：工业自动化控制系统设计
工业自动化控制系统是线性离散 控制系统的另一个重要应用领域， 主要用于实现生产过程的自动化
和智能化。
工业自动化控制系统通常采用分 布式控制结构，通过各种传感器、 执行器和主控制器实现对生产设
备的监测和控制。
离散控制系统的稳定性判据
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
通过计算离散控制系统的传递函数的极点和零点，判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系 统稳定；否则系统不稳定。
奈奎斯特稳定性判据
通过分析离散控制系统的频率响应，判断系统的稳定性。如果频率响应的相位曲线在-π~π范围内，则系统稳定；否则系 统不稳定。
系统实现
将设计好的控制器应用于实际系统中，并进 行实验验证。
离散控制系统设计的常用方法

z 平面
010→-∞:ω不变，作周期性变化不变，z ∠01
2:0s ωω-=，2:s ωω+0-ω3-主频区辅频区
辅频区
()j sT e e ωσ=+模sT e e z ==e z sT =∠=∠相角
00
1-ω3-主频区辅频区
辅频区
a -001:s a ωω-=，:s ωω+-ω3-主频区辅频区
辅频区
()j sT e e ωσ=+模sT e e z ==e z sT =∠=∠相角→-∞:ω不变，作周期性变化不变，z ∠
0-ω3-主频区辅频区
辅频区
01
01
=0:0σω，0-ω3-=0:0σω，()j sT e e ωσ=+模sT e e z ==e z sT =∠=∠相角0:σω不变，0
→z z 不变，
010-ω3-二、离散系统稳定的充要条件
稳定性定义
控制系统原处于平衡状态。

扰动消失以后，偏差渐小，能恢复到原来平衡状态，则偏差渐大，不能恢复到原来平衡状态，则
可否用劳斯判据直接判断这些根是否都在程的根是否全在复平面的
z 平面
010
稳定域
平面上应用劳斯代数判据!
连续(G
离散
位置误差系数
0 型系统可以跟踪阶跃输入，但是稳态误差。

速度误差系数
v
型系统无法跟踪速度输入，稳态误差无穷大。

加速度误差系数
、I 型系统无法跟踪加速度输入，稳态误差无穷大。

差分方程描述了系统在离散时间点的行为，通过求解差分方程可 以预测系统未来的输出。
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号和系统 的有力工具，它将离散时间信号 或系统转化为复平面上的函数或 传递函数。
02
Z变换的基本思想是通过将离散时 间信号或系统进行无限次加权和 ，将其转化为一个复数域上的函 数或传递函数。
离散状态方程
离散状态方程是描述离散控制系统动 态行为的数学模型，它的一般形式为 $mathbf{dot{x}}(k) = Amathbf{x}(k) + Bu(k)$，其中 $mathbf{x}(k)$表示在时刻$k$的系 统状态向量，$u(k)$表示在时刻$k$ 的输入向量，$A$和$B$是系统的系 数矩阵。
稳态误差主要来源于系统本身的结构 和参数，以及外部干扰和测量噪声。
离散控制系统的动态响应分析
动态响应定义
动态响应是指系统在输入信号作 用下，系统输出信号随时间变化 的特性。
动态响应的描述方
式
动态响应可以通过系统的传递函 数、频率特性、根轨迹图等方式 进行描述。
优化动态响应的方
法
通过调整系统参数、改变系统结 构、引入反馈控制等方法，可以 优化系统的动态响应。
离散控制系统的仿真工具与实例
仿真工具介绍
离散控制系统的仿真工具用于模拟和测试系统的性能和稳定性。常见的仿真工具包括MATLAB/Simulink、 LabVIEW等。这些工具提供了丰富的数学函数库和图形化界面，方便用户进行系统建模和仿真。
仿真实例分析
通过具体的仿真实例，可以深入了解离散控制系统的性能和特点。例如，可以设计一个温度控制系统，通过调整 系统参数和控制算法，观察系统在不同工况下的响应特性和稳定性。通过对比不同方案，可以评估各种参数和控 制策略对系统性能的影响，为实际应用提供参考和依据。

232第9章 线性离散系统初步从控制系统中信号的形式来划分控制系统的类型，可以把控制系统划分为连续控制系统和离散控制系统，在前面各章所研究的控制系统中，各个变量都是时间的连续函数，称为连续控制系统。

随着计算机被引入控制系统，使控制系统中有一部分信号不是时间的连续函数，而是一组离散的脉冲序列或数字序列，这样的系统称为离散控制系统。

离散控制系统是以微处理器及微型计算机为基础,融汇计算机技术、数据通信技术、CRT 屏幕显示技术和自动控制技术为一体的计算机控制系统,它对生产过程进行集中操作管理和分散控制。

离散系统与连续系统相比，有许多分析研究方面的相似性。

利用z 变换法研究离散系统，可以把连续系统中的许多概念和方法，推广应用于离散系统。

本章首先给出信号采样和保持的数学描述，然后介绍z 变换理论和脉冲传递函数，最后研究线性离散系统稳定性、稳态误差、动态性能的分析与综合方法。

9.1 离散系统通常，当离散控制系统中的离散信号是脉冲序列形式时，称为采样控制系统或脉冲控制系统；而当离散系统中的离散信号是数码序列形式时，称为数字控制系统或计算机控制系统。

在理想采样及忽略量化误差情况下，数字控制系统近似于采样控制系统，将它们统称为离散系统。

9.1.1 采样控制系统采样器在采样控制系统中可以有多个位置，用得最多的是误差采样控制的闭环采样系统，其典型结构图如图9-1所示。

图中，S 为采样开关，)(s G h 为保持器的传递函数，)(0s G 为被控对象的传递函数，)(s H 为测量元件的传递函数。

233*图9-1 采样系统典型结构图9.1.2 数字控制系统数字控制系统的典型原理图如图9-2所示。

它由工作于离散状态下的计算机（数字控制器）)(s G c ，工作于连续状态下的被控对象)(0s G 和测量元件H(s)组成。

在每个采样周期中，计算机先对连续信号进行采样编码(即D A 转换)，然后按控制律进行数码运算,最后将计算结果通过A D 转换器转换成连续信号控制被控对象。

7.1 离散系统的基本概念
一、离散/采样系统
线性连续系统 1、线性系统
线性离散系统
采样 / 脉冲控制系统 （信号为脉冲序列）
数字系统 / 计算机控制系统 （信号为数字序列）
2、离散系统的特点（P311）
采样系统中一处或多处的信号是脉冲序列或数字序列。因此， 离散系统中必须具备的两个特殊环节。
采样器（采样开关）：连续信号 采样
图(c) 采样信号频谱 s < 2 h
由此可见，要想使连续信号不失真地从采样信号中恢复过来， 则必须满足条件：
s 2h
5、采样定理（Shannon定理）
Shannon定理：如果采样器的输入信号e（t）的频谱具有有限带宽，
并且有T 直 到22ωh h的频率分即量，则s 只≥要2 采 样h 周期T满足：
0
因为0 ： tesd t t1
所以 E*S： L enT tnT enT LtnT
n0
n0
en TenTS
n0
故
E*SenTenTS
n0
4、采样信号的频谱分析
设连续信号的傅氏变换为，则采样信号的傅氏变换为：
E*(j)T 1n E [j(nS)]
由于连续信号 e ( t )的频谱 E( j)是单一的连续频谱，其最大角频率
二、信号恢复（保持） 1、信号的输出形式 直接输出数字信号； 输出连续信号（需要保持器将数字信号恢复成连续信号）。
2、保持器的类型 （1）、零阶保持器
a、工作原理
b、输出表达式： e h n T e nT n 0 ,1 ,2 ,
c、传递函数：
Gh
S
1eTS S
d、频率特性
（2）、一阶保持器
a、工作原理 b、输出表达式：

① 给出E*(s)与E(s)之间的联系；
② 一般写不成封闭形式；
③ 用于e*(t)的频谱分析。
6.2 信号采样与保持 E*(s)
1 T
E(s
n
jns )
例3 e(t) 1(t)，求 E*(s)
解 E*(s) 1
1
T n s jns
eTs eTs 1
例4 e(t ) eat，求 E*(s)
T (t) (t nT )
n0
e*(t) e(t) T (t) e(t) (t nT ) e(nT ) (t nT )
n0
n0
(2) L : E*(s) L e*(t)
L e(nT) (t nT) e(nT ) enTs
n0
n0
6.2 信号采样与保持6.来自 离散系统离散系统： 系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码
离散系统类型：
采样系统 数字系统
— —
时间离散，数值连续 时间离散，数值量化
计算机控制系统的优缺点
(1)控制计算由程序实现，便于修改，容易实现复杂的控制律； (2)抗干扰性强； (3)一机多用，利用率高； (4)便于联网，实现生产过程的自动化和宏观管理。
D/A: 用 ZOH 实现
Shannon定理
s
2
T
2h
或
T<
h
6.2 信号采样与保持
E * (s) e(nT ) e-nTs n0
① 给出E*(s)与e(t)在采样点上取值之间的关系； ② 一般可写成封闭形式；
③ 用于求e*(t)的z变换或系统的时间响应。
E*(s)
1 T
E(s
n
jns )
(1)采样点间信息丢失，与相同条件下的连续系统相比，性能 会有所下降；

离散系统稳态误差是指系统在稳态时输出与输入之间的误 差。
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点

y (t )
y * (t )
A/ D
y(kT ) - +
r (kT )
D( z )
u (kT )
u (t ) G ( s) D/ A p
模拟信号
模拟信号 采样信号 数字信号
数字信号
二、信号的数学表示(math form of signal )
1、理想采样开关的数学表示
(t ) 单位脉冲函数是一个幅值为1， 1
T (t ) (t nT )
其中

1
1, t nT (t nT ) (n 0,1,2,) 0 t nT
n 0
t 0 T 2T 3T 4T
2、采样信号的数学表示
连续信号用 f (t ) 表示，采样信号用 f * (t ) 表示。
f(t) K T
1. 系统动态指标（dynamic
一般取 T (1 15 ~ 1 4)t s
criterion）
time)为过渡时间（调节时间）:被 控量进入偏离稳态值的误差为±5％(或±2％)的 范围并且不再越出这个范围所需的时间。
t s (settling
2、系统的动态特性（dynamic
character）
Tmax 采样定理给出了采样周期的上限值： T 2 2、实际过程中T的选择因素
f 2 f max
理论上，采样周期越小，离散信号复现连续信号的 精度越高，但在实际操作中，采样周期不应小于设 备输入/输出及计算机执行程序消耗的时间 Tmin， 即 Tmin T Tmax T太小：增加计算机的计算负担；同时，采样间 隔太短，偏差变化不大且调节过于频繁，使得执行 机构不能及时响应。 T太大：调节时间隔长，干扰输入得不到及时调 节，系统动态品质变坏，对某些系统，过大的采样 周期可能导致系统不稳定。 因此， 实际操作中，选择采样周期时，要综合 考虑系统的下列因素。

b(t )
H (s)
图7.5 数字控制系统的简化框图
2019/2/19
7
数字控制系统较之一般的连续控制系统具有如下一 些优点： 能够保证足够的计算精度； 在数字控制系统中可以采用高精度检测元件和执 行元件，从而提高整个系统的精度； 数字信号或脉冲信号的抗干扰性能好，可以提高 系统的抗干扰能力； 可以采用分时控制方式，提高设备的利用率，并 且可以采用不同的控制规律进行控制； 可以实现一些模拟控制器难以实现的控制律，特 别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、 智能控制等，只有数字计算机才能完成。
2019/2/19
9
7.2.1 采样过程及其数学描述
将连续信号通过采样开关(或采样器)变换成离 散信号的过程称为采样过程。相邻两次采样的时间 间隔称为采样周期T。 采样频率：f s 1/ T 采样角频率： s 2 /T 采样可分为：
等速采样:采样开关以相同的采样周期T动作，又 称为周期采样 多速采样:系统中有n个采样开关分别按不同周期 动作 随机采样:采样开关动作是随机的 本章仅限于讨论等速同步采样过程。
j t xj ( ) xt () e d t
1 X( s ) Xs ( j k s) T k
*
2019/2/19
(7-7)
15
X ( j )
max
2max
(a)
o
max
图7.7 连续信号及离散信号的频谱
式中ω s=2π/T为采样频率，X(s)为x(t)的拉氏变 换。若X*(s)的极点全都位于s左平面，可令s=jω ， 求得x*(t)的傅氏变换为
离散控制系统最常见形式是数字控制系统。图 7.4是数字控制系统的结构图。图中用于控制的计算 机D工作在离散状态，被控对象G(s)工作在模拟状态。

研究方法：在时域中，采用差分方程对离散控制系统进 行数学描述；在频域中，利用z变换得到离散控制系统的脉 冲传递函数。离散控制系统在z域中的分析方法与连续控制 系统在s域中的分析方法有很多相似之处。
8.2 信号采样与恢复
在离散控制系统中，信号的采样过程将连续信号变换为 脉冲序列或数字序列，信号恢复过程将脉冲序列或数字序列 变换为连续信号。为了定量地研究离散控制系统，有必要对 信号的采样过程和恢复过程用数学形式加以描述。
8.2.3 信号恢复
零阶保持器的复域特性 1) 低通特性。零阶保持器具有 明显的低通特性，允许部分高频频 谱分量通过，其复现出的连续信号 与原来的信号是有差别的。
2) 相角滞后特性。加大了系统 的相角滞后，从而使闭环系统的稳 定性降低。
3) 传递函数为
gh
(t)
1(t )
1(t
T
)
Gh
(s)
L[ gh
数学描述：
x* (t) x(0) (t) x(T ) (t T ) x(2T ) (t 2T )
x(kT ) (t kT ) k 0
在数字式仪表或计算机中，离散信号x*(t)为一数字序列， 而数字序列可以看作是以数字表示其幅值的脉冲序列，它与 上述脉冲序列并没有本质区别。
8.2.2 采样定理
8.3.4 z反变换
例 已知 X (z) 10z
试求其z反变换。
(z 1)(z 2)
解 将X(z)的分子和分母都写成z-1的升幂形式
X
(z)
(z
10z 1)( z
2)
1
10z 1 3z 1 2 z 2
应用长除法得
X (z) 10z 1 30z 2 70z 3 对应的离散信号x*(t) 为

状态反馈控制器的稳定性分析
分析状态反馈控制器的稳定性，确保系统在控制 作用下能够稳定运行。
3
状态反馈控制器的动态性能分析
通过仿真和实验，分析状态反馈控制器的动态性 能，包括超调和调节时间等。
PART 06
离散系统分析的案例研究
案例一：数字控制系统分析
离散控制系统的定义和特点
数字控制系统的组成和原理
状态方程描述了系统状态向量未来的 值与当前时刻的状态和输入之间的关 系。
通过求解状态方程，可以得到系统未 来的状态向量。
离散系统的框图表示
离散系统的框图表示是一种直观的图形化表示方式，通过方框、节点和箭 头等符号来表示系统的各个组成部分及其之间的逻辑关系。
框图可以清晰地展示系统的结构、输入和输出之间的关系以及信号的传递 路径。
通过框图可以方便地分析系统的动态行为和性能，为控制系统设计和分析 提供依据。
PART 03
离散系统的稳定性分析
离散系统的稳定性定义
离散系统
离散系统是指系统的状态变量只在离散时间点上取值的系统，通常用差分方程描述。
稳定性定义
对于离散系统，如果给定一个初始状态，经过一段时间后，系统的状态变量能够收敛到一个稳定状态，则称该系 统是稳定的。
数字控制系统的稳定性分析
数字控制系统的性能指标和优化方法
案例二：数字信号处理系统分析
数字信号处理系统的基本 概念和原理
数字信号处理系统的性能 指标和优化方法
数字信号处理系统的实现 方法
数字信号处理系统在通信、 雷达、音频等领域的应用
案例三：数字控制系统设计
数字控制系统设计的基 本原则和步骤
数字控制系统的软件设 计
极点配置法
通过配置系统极点来设计控制器，以实现系 统的稳定性和动态性能。

z1
1
z 1
F z
【前提】仅当极限 lim f (存nT在) 时。 n
『例7』 求1t 和T 的(tZ变T换) 。
『解』Z
1t
T
z 1Z
1t
z 1
z
z 1
1 z 1
Z t T z1Z t z1
Z (t) 1
Z (t T ) z1 Z (t 2T ) z2
Z (t 3T ) z3
f*(t)。 f(t)
T (t)
f (t)
-3T -T T 3T -2T 2T
f(t)
T (t)
脉冲调制器
f (t)
0
t
0
t
f *(t) f (0) (t) f (T ) (t T )
F*(s) f (nT ) enTs n0
f (nt) (t nT )
f (nT ) (t nT) n0
第七章 线性离散系统的分析
7-1 离散系统的基本概念
7-2 信号的采样和保持 7-3 Z 变换理论 7-4 离散系统的数学模型 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差
背景：由于脉冲技术、数字式元部件、数字计算机的
发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器。
离散系统与连续系统差别：利用Z变换法研究离散
系统，连续系统中的概念和方法可推广应用于离散系 统。
『例1』设e(t) ,1试(t)求 的e拉* (t氏) 变换。
『解』 E* (s) e(nT )enTs 1 eTs e2Ts ... n0
1
1 eTs
eTs ,| eTs | 1 eTs 1
『例2』设 e(t) eat，, t试求0 的拉e氏* (变t) 换。
『解』

自动控制原理知识点总结一、自动控制系统的基本概念自动控制，简单来说，就是在没有人直接参与的情况下，通过控制器使被控对象按照预定的规律运行。

一个典型的自动控制系统通常由控制对象、控制器、测量元件和执行机构等部分组成。

控制对象就是我们要控制的那个东西，比如一个电机、一个温度场或者一个生产过程。

控制器则是根据输入的偏差信号，按照一定的控制规律产生控制作用，去驱动执行机构。

测量元件负责测量被控量，并将其转化为电信号反馈给控制器。

执行机构接受控制器的控制信号，对控制对象施加作用。

自动控制系统按照有无反馈可以分为开环控制系统和闭环控制系统。

开环控制系统的输出量对系统的控制作用没有影响，结构相对简单，但控制精度较低。

闭环控制系统则将输出量反馈回来与给定值进行比较，形成偏差，然后根据偏差来调整控制作用，因此控制精度高，但系统相对复杂，可能会出现稳定性问题。

二、控制系统的数学模型要对一个控制系统进行分析和设计，首先要建立它的数学模型。

数学模型就是用数学语言来描述系统的输入、输出和内部状态之间的关系。

常见的数学模型有微分方程、传递函数和状态空间表达式。

微分方程是最基本的描述形式，但求解比较复杂。

传递函数则是在零初始条件下，输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。

它可以方便地分析系统的频率特性和稳定性。

状态空间表达式则能更全面地描述系统的内部状态和动态特性。

建立数学模型的方法有分析法和实验法。

分析法是根据系统的物理规律和结构，推导出数学方程。

实验法则是通过对系统施加输入信号，测量输出响应，然后用系统辨识的方法得到数学模型。

三、控制系统的时域分析时域分析是直接在时间域上研究系统的性能。

主要的性能指标有稳态误差、上升时间、峰值时间、调节时间和超调量。

稳态误差反映了系统的准确性，它与系统的类型和输入信号的形式有关。

对于单位阶跃输入， 0 型系统有稳态误差，1 型及以上系统稳态误差为零。

上升时间、峰值时间和调节时间反映了系统的快速性。

的拉氏变换为

1 即 | E ( j ) | | E ( j jks ) | T k

如图7-6所示
图7-6 采样信号频谱（s 2max 时）
图7-7 采样信号频谱（s 2max 时）
7.2.2 采样定理
如果被采样的连续信号 e(t ) 的频谱具有有限带宽，且频谱的 香农采样定理：
e* (t ) e(kT ) (t kT )
k 0

进行拉氏变换可得 E (s) L[e (t )] e(kT )e 得到以 z 为变量的函数 E ( z )，即
* * k 0

kTs
，引入一个新变量 z ，即
e* (t )
z eTs
E ( z ) E* ( s) e( kT ) z k
E (s) a 1 1 s( s a) s s a
然后对上式逐项求取拉氏反变换，得
e(t ) 1(t ) eat
根据求得的时间函数再逐项写出相应的z变换，得
z z z (1 e aT ) E( z) 2 aT z 1 z e z (1 e aT ) z e aT
k 0
对于零阶保持器，在任意时刻kT 输入单位脉冲信号 (t kT ) ,其单位脉冲响应 为一个幅值为1的矩形方波。如图7-9所示。
零阶保持器的频率特性为
图7-9 零阶保持器的时域特性 T
1 e jT Gh ( j ) T j sin 2 e j T 2
T
由拉氏反变换可得原时间函数： 直接对上式进行z变换，得
e(t ) Ai e pit
i 1
n
E( z)
i 1

自动控制原理一、 非线性系统1、按照平衡状态的定义，在无外作用且系统输出的各阶导数等于0时，系统处于平衡状态。

2、自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，简称自振。

3、描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一种图解分析方法。

对于满足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，然后推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。

4、奇点定义以微分方程()x x f x ,=表示的二阶系统，其相轨迹每点切线的斜率为()xx x f dx x d ,=，若在某点处()xx f ,和x 同时为0，即有00=dx xd 的不定形式，则称该点为相平面的奇点。

5、相平面的奇点亦称为平衡点，奇点必与x 轴相交。

6、奇线奇线就是特殊的相轨迹，它将相平面划分为具有不同运动特点的各个区域。

最常见的奇线就是极限环。

极限环是相互孤立的，在任何极限环的邻近都不可能有其他的极限环。

极限环是非线性系统特有的现象，只发生在非守恒系统中，这种周期运动的原因不在于系统无阻尼，而是系统的非线性特性，它导致系统能量做交替变化。

由此就有可能从某种非周期性的能源中获取能量从而维持周期运动。

7、描述函数法的基本思想当系统满足一定假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。

此时，非线性系统近似等效为一个线性系统，并可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析。

8、描述函数的定义设非线性环节输入输出描述为()x f y =，当非线性环节输入为()t A t x ωsin =时，可对非线性环节的稳态输出()t y 进行谐波分析。

一般情况下()t y 为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数()()()∑∑∞=∞=++=++=1010sin sin cos n n n n n nt n Y A t n B t n AA t y ϕωωω，其中0A 为直流分量；()n n t n Y ϕω+sin 为第n 次谐波分量，且有nnn nn n B A B A Y arctan22=+=ϕ，式中n n B A ，为傅里叶系数，用下式描述 ()()()()td t y A n t td n t y B ttd n t y A n n ωπωωπωωππππ⎰⎰⎰====2002020212,1sin 1cos 1若00=A ，且当n>1时，n Y 均很小，则可近似认为非线性环节的正弦响应仅有一次谐波分量：()()1111sin sin cos ϕωωω+=+≈t Y t B t A t y上式表明，非线性环节可以近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式。

e (t ) =
* n=0
∞
∑ e (nT )δ (t − nT ) = e (nT ) = {e (0 ), e (1 ), L }
= e (0 ) + e (1T ) ⋅ Z
−1
+∞
定义它的Z变换为： 定义它的Z变换为：
E (Z ) =
n=0
∑ e (nT ) ⋅ Z − n
+ e (2 T )Z
* +∞ n = −∞
即： e (t ) = e(t ) ⋅
=
0
∑ δ (t − nT ) = ∑ e(nT )δ (t − nT )
n = −∞
+∞ n =0
+∞
n = −∞
∑ e(nT )δ (t − nT ) + ∑ e(nT )δ (t − nT )
习惯上认为e(t)只有在开始采样以后才有意义，因此， 习惯上认为 只有在开始采样以后才有意义，因此， t < 0时的信号 只有在开始采样以后才有意义 时的信号 为零， 为零，即 ：
a a 2 a 3 = A 1 + + + + L z z z 1 Az a = A⋅ = < 1 z a z−a 1− z
几何意义：几何序列e*（ 几何意义：几何序列e*（t）在Z平面上，圆|z|=|a|以外都是可 e* 平面上， |z|=|a|以外都是可 以做Z变换的（在圆|z|=|a|以内则不可以）。z=0为 |z|=|a|以内则不可以）。z=0 的零点， 以做Z变换的（在圆|z|=|a|以内则不可以）。z=0为E（z）的零点， z=a为 的极点。 z=a为E（z）的极点。
7.1 离散系统的基本概念

式中δ(t–kT)为t=kT(k=0,1,2,∙∙∙)时刻具有单位强 度的理想脉冲。
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需要指出，具有无穷大幅值和持续时间无穷小 的理想单位脉冲只是数学上的假设，在实际物理系 统中是不存在的。因此，在实际应用中，对理想单 位脉冲(面积为1)来说，只有讨论其面积，或强度才 有意义。式(7-3)就是基于这种观点，从矩形脉冲及 理想脉冲的面积来考虑的。
动作
随机采样:采样开关动作是随机的
本章仅限于讨论等速同步采样过程。
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采样过程如图7.6所示。连续信号x(t)经过采 样开关转换成离散信号x*(t)。如果x*(t)的幅值经 整量化用数字(或数码)来表示，则x*(t)在幅值上 也是离散的。考虑到采样开关的闭合时间远小于采 样周期T和系统连续部分的最大时间常数，可认为 采样时间τ=0，x(t)在τ内变化很小，因此x*(t) 可用幅值为x(kT)，宽度为τ的脉冲序列近似表示。
可以实现一些模拟控制器难以实现的控制律，特 别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、 智能控制等，只有数字计算机才能完成。
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7.2 采样过程与采样定理
离散系统的特点是：系统中一处或数处的信号 是脉冲序列或数字序列。为了将连续信号变换为离 散信号，需要使用A/D转换器(采样器)；另一方面， 为了控制连续的被控对象，又需使用D/A转换器(保 持器)将离散信号转换为连续信号。因此，为了定量 地研究离散系统，有必要对信号的采样和恢复过程 进行描述。
H (s)
图7.5 数字控制系统的简化框图
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数字控制系统较之一般的连续控制系统具有如下一
些优点：