《自动控制原理》第七章离散控制系统

差分方程描述了系统在离散时间点的 行为，通过求解差分方程，可以预测 系统未来的输出。
状态方程
状态方程是描述线性离散控制系统动态行为的数学模型，其形 式为 X(k+1) = A*X(k) + B*U(k)，其中X(k)表示在时刻k的系统 状态向量，U(k)表示在时刻k的控制输入向量，A和B是系统矩 阵。
自动控制原理第7章 线性离散控制系统

目录
CONTENTS
• 引言 • 线性离散控制系统的数学模型 • 线性离散控制系统的稳定性分析 • 线性离散控制系统的性能分析 • 线性离散控制系统的设计方法 • 线性离散控制系统的应用案例
01
引言
线性离散控制系统的定义与特点
定义
线性离散控制系统是指系统的动态行为由差分方程或离散状态方程描述的一类控制系统。
适性。
常见的智能家居控制系统包括智 能照明、智能安防、智能环境监
测等。
案例三：工业自动化控制系统设计
工业自动化控制系统是线性离散 控制系统的另一个重要应用领域， 主要用于实现生产过程的自动化
和智能化。
工业自动化控制系统通常采用分 布式控制结构，通过各种传感器、 执行器和主控制器实现对生产设
备的监测和控制。
离散控制系统的稳定性判据
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
通过计算离散控制系统的传递函数的极点和零点，判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系 统稳定；否则系统不稳定。
奈奎斯特稳定性判据
通过分析离散控制系统的频率响应，判断系统的稳定性。如果频率响应的相位曲线在-π~π范围内，则系统稳定；否则系 统不稳定。
系统实现
将设计好的控制器应用于实际系统中，并进 行实验验证。
离散控制系统设计的常用方法

3．数字计算机已经作为控制仪表成为控制系统的一个组成部 分 由于计算机技术的飞速发展，作为构成控制系统的控制设备， 数字计算机已经被广泛的用于工业生产过程自动化中，用数字 计算机替代常规仪表完成控制器及其校正装置的功能。图7-2 所示为数字控制系统原理框图。
r(t) e(t) A/D e*(t)
u*(t)
r r r e r r T r 脉冲控制器 r 保持器 r c r
图7-1
典型采样系统结构图

e是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列e， 脉冲控制器对e进行某种运算，产生控制信号脉冲序列u， 保持器将采样信号u变成模拟信号u，作用于被控对象G(s)。
2．被控对象存在的大延迟大惯性

工业自动控制系统中，有一类被控对象的惯 性非常大并具有滞后特性。尤其是电站的电 力生产过程，这种延迟和惯性显得更为严重。 对于这类被控对象，采用简单的连续控制系 统的设计方法，容易出现过调现象，往往很 难得到高质量的控制效果。离散控制系统的 合理应用可以较好地解决这一问题。
|E (j )|
|E *(j )| 1/T
|H(j )| 1
- m
0
m
t
- m 0 - s/2
m s/2
t
- s/2
0
s/2

图7-5单一频谱
图 7-6多频谱之和
图 7-7 理想滤波器的频率特性

如果加大采样周期T,采样角频率ω相应能够 的减小，采样频谱中的补分量相互交叠，致 使采样器输出的信号发生畸变，这时即使采 用理想滤波器(理想滤波器的频率特性如图77所示），也无法恢复原来连续信号的频谱， 因此，对采样周期T的设定有一个约束条件， 用于保证附加频谱不覆盖主频谱。所以如何 选择采样周期时离散控制系统设计过程中的 一个重要问题 。

差分方程描述了系统在离散时间点的行为，通过求解差分方程可 以预测系统未来的输出。
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号和系统 的有力工具，它将离散时间信号 或系统转化为复平面上的函数或 传递函数。
02
Z变换的基本思想是通过将离散时 间信号或系统进行无限次加权和 ，将其转化为一个复数域上的函 数或传递函数。
离散状态方程
离散状态方程是描述离散控制系统动 态行为的数学模型，它的一般形式为 $mathbf{dot{x}}(k) = Amathbf{x}(k) + Bu(k)$，其中 $mathbf{x}(k)$表示在时刻$k$的系 统状态向量，$u(k)$表示在时刻$k$ 的输入向量，$A$和$B$是系统的系 数矩阵。
稳态误差主要来源于系统本身的结构 和参数，以及外部干扰和测量噪声。
离散控制系统的动态响应分析
动态响应定义
动态响应是指系统在输入信号作 用下，系统输出信号随时间变化 的特性。
动态响应的描述方
式
动态响应可以通过系统的传递函 数、频率特性、根轨迹图等方式 进行描述。
优化动态响应的方
法
通过调整系统参数、改变系统结 构、引入反馈控制等方法，可以 优化系统的动态响应。
离散控制系统的仿真工具与实例
仿真工具介绍
离散控制系统的仿真工具用于模拟和测试系统的性能和稳定性。常见的仿真工具包括MATLAB/Simulink、 LabVIEW等。这些工具提供了丰富的数学函数库和图形化界面，方便用户进行系统建模和仿真。
仿真实例分析
通过具体的仿真实例，可以深入了解离散控制系统的性能和特点。例如，可以设计一个温度控制系统，通过调整 系统参数和控制算法，观察系统在不同工况下的响应特性和稳定性。通过对比不同方案，可以评估各种参数和控 制策略对系统性能的影响，为实际应用提供参考和依据。

第七章线性离散系统的分析与校正工业过程控制越来越多的使用计算机，从微观上看计算机是非连续的。

计算机采集数据和发生控制指令都有一定的时间间隔。

基于工程实践的需要,作为分析与设计计算机控制系统的基础理论,离散系统理论的发展非常迅速。

离散系统与连续系统相比,既有本质上的不同,又有分析研究方面的相似性。

利用z变换法研究离散系统,可以把连续系统中的许多概念和方法,推广应用于线性离散系统。

本章主要讨论线性离散系统的分析和校正方法。

首先建立信号采样和保持的数学描述,然后介绍z变换理论和脉冲传递函数,最后研究线性离散系统稳定性和性能的分析与校正方法。

在系统校正部分,我们将主要讨论数字机控制系统的校正方法。

7-1 离散系统的基本概念如果控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数,换句话说,这些信号在全部时间上都是已知的,则这样的系统称为连续时间系统,简称连续系统;如果控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码,换句话说,这些信号仅定义在离散时间上,则这样的系统称为离散时间系统,简称离散系统。

通常,把系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统,称为采样控制系统或脉冲控制系统;而把数字序列形式的离散系统,称为数字控制系统或计算机控制系统。

1.采样控制系统一般说来,采样系统是对来自传感器的连续信息在某些规定的时间瞬时上取值。

例如,控制系统中的误差信号可以是断续形式的脉冲信号,而相邻两个脉冲之间的误差信息,系统并没有收到。

如果在有规律的间隔上,系统取到了离散信息,则这种采样称为周期采样;反之,如果信息之间的间隔是时变的,或随机的,则称为非周期采样,或随机采样。

本章仅讨论等周期采样。

在这一假定下,如果系统中有几个采样器,则它们应该是同步等周期的。

在现代控制技术中,采样系统有许多实际的应用。

例如,雷达跟踪系统,其输入信号只能为脉冲序列形式;又如分时系统,其数据传输线在几个系统中按时间分配,以降低信息传输费用。

在工业过程控制中,采样系统也有许多成功的应用。

离散系统稳态误差是指系统在稳态时输出与输入之间的误 差。
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点

◆
5
7.1 引言
◆ 时间上离散的信号，其幅值可能是连续的，亦可能是离散
的。将时间上、幅值上都连续的模拟信号，转换成时间上离 散、但幅值上仍然连续的离散模拟序列信号的过程，而这一 过程就称为采样，又称为波形的离散化过程，相应的控制系 统则称为采样控制系统。
若由数字计算机实现控制，受计算机字长限制，还需要进 一步将幅值连续的理想化序列信号量化为数字序列信号，进 一步得到时间和幅值上都是离散的数字序列信号，相应的控 制系统则称为数字控制系统。
采样定理：为使离散信号不失真的还原成连续信号，采样频 率必须大于等于原连续信号所含最高频率的两倍： s 2max
3
7.1 引言
4
7.1 引言
◆ 采样控制系统由于其控制对象本身是连续信号部件，因而
它与离散系统有所区别；又由于其输出信号及控制作用的给 定都是以数码形式出现的，因而它与连续系统有所区别。总 的来说，采样系统的分析与设计是按离散系统的方法来处理 的，所以常把它归结为离散系统。
严格地说，这两者是有区别的，主要表现在采样信号与离 散信号的描述上。采样信号(或函数)是在整个实数轴上取值 其定义域是一维数集，而离散信号(或函数)则是实数轴上取 正整数，其定义域是孤立点集。离散信号是客观存在的信号， 而采样信号是连续信号经采样器采样后人为得到的。
第 7章 线性离散控制系统
1
主要内容 7.1 引言
7.2 采样与保持
7.3 Z 变换
7.4 脉冲传递函数
7.5 离散控制系统的稳定性分析
7.6 离散控制系统的时间响应
7.7 离散控制系统的校正
2
7.1 引言
◆ 由于电子计算机进入自动控制领域，出现了数字计算机控
制系统。出入计算机的信号都是断续的数字信号，故必须将 原来的连续信号变成断续信号，即采样信号。从某种意义上 说采样信号具有人为的性质。这样的系统必然在某一处或几 处出现脉冲信号或数码信号，通常称为采样控制系统。

7. 2 信号采样与保持
7.2.1 信号采样与采样定理
7. 2 信号采样与保持
7.2.1 信号采样与采样定理
香农（Shannon）采样定理 ： 可以从采样信号 e* (中t) 完全复现连续信号 的e(条t) 件是采样频率 必须大于或s 等于输入采样开关的连续信号 频谱中的最e高(t)频 率 的2倍，即 max
7.5.3 线性离散系统的稳定误差
由于G(Z)与采样周期T有关，因而，线性定常离散系统的
稳态误差不仅与系统的结构和参数及输入信号的形式及幅
值有关，而且还与采样周期T有关。
7. 6 线性离散系统的动态性能分析
7.6.1 线性离散系统的单位阶跃响应
离散系统的闭环脉冲传递函数为 式中， R(z) z /(z 1) 。系统输出的变换式为
平面上以原点为圆心的单位圆内。
z，i 即1所有 均位z于i [z]
否则，系统不稳定。
对于线性定常离散系统不能直接应用劳斯判据，需采用一种
变换方法，使[z]平面上的单位圆映射为新坐标系的虚轴。这
种坐标变换称为双线性变换，亦称为W 变换。
7. 5 线性离散系统的稳定性与稳态误差
7.5.1 线性定常离散系统稳定的充要条件
7.5.3 线性离散系统的稳定误差
单位反馈误差采样系统如图所示
如果系统稳定，即系统的闭环极点全部位于[Z]平面上的单
位圆内，则用Z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差
为
e()

lim
t
e*
(t)

lim(1
z 1

z
1
)E(z)

lim
z 1
(1 z)R(z)
z1 G(z)

y (t )
y * (t )
A/ D
y(kT ) - +
r (kT )
D( z )
u (kT )
u (t ) G ( s) D/ A p
模拟信号
模拟信号 采样信号 数字信号
数字信号
二、信号的数学表示(math form of signal )
1、理想采样开关的数学表示
(t ) 单位脉冲函数是一个幅值为1， 1
T (t ) (t nT )
其中

1
1, t nT (t nT ) (n 0,1,2,) 0 t nT
n 0
t 0 T 2T 3T 4T
2、采样信号的数学表示
连续信号用 f (t ) 表示，采样信号用 f * (t ) 表示。
f(t) K T
1. 系统动态指标（dynamic
一般取 T (1 15 ~ 1 4)t s
criterion）
time)为过渡时间（调节时间）:被 控量进入偏离稳态值的误差为±5％(或±2％)的 范围并且不再越出这个范围所需的时间。
t s (settling
2、系统的动态特性（dynamic
character）
Tmax 采样定理给出了采样周期的上限值： T 2 2、实际过程中T的选择因素
f 2 f max
理论上，采样周期越小，离散信号复现连续信号的 精度越高，但在实际操作中，采样周期不应小于设 备输入/输出及计算机执行程序消耗的时间 Tmin， 即 Tmin T Tmax T太小：增加计算机的计算负担；同时，采样间 隔太短，偏差变化不大且调节过于频繁，使得执行 机构不能及时响应。 T太大：调节时间隔长，干扰输入得不到及时调 节，系统动态品质变坏，对某些系统，过大的采样 周期可能导致系统不稳定。 因此， 实际操作中，选择采样周期时，要综合 考虑系统的下列因素。

b(t )
H (s)
图7.5 数字控制系统的简化框图
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7
数字控制系统较之一般的连续控制系统具有如下一 些优点： 能够保证足够的计算精度； 在数字控制系统中可以采用高精度检测元件和执 行元件，从而提高整个系统的精度； 数字信号或脉冲信号的抗干扰性能好，可以提高 系统的抗干扰能力； 可以采用分时控制方式，提高设备的利用率，并 且可以采用不同的控制规律进行控制； 可以实现一些模拟控制器难以实现的控制律，特 别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、 智能控制等，只有数字计算机才能完成。
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9
7.2.1 采样过程及其数学描述
将连续信号通过采样开关(或采样器)变换成离 散信号的过程称为采样过程。相邻两次采样的时间 间隔称为采样周期T。 采样频率：f s 1/ T 采样角频率： s 2 /T 采样可分为：
等速采样:采样开关以相同的采样周期T动作，又 称为周期采样 多速采样:系统中有n个采样开关分别按不同周期 动作 随机采样:采样开关动作是随机的 本章仅限于讨论等速同步采样过程。
j t xj ( ) xt () e d t
1 X( s ) Xs ( j k s) T k
*
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(7-7)
15
X ( j )
max
2max
(a)
o
max
图7.7 连续信号及离散信号的频谱
式中ω s=2π/T为采样频率，X(s)为x(t)的拉氏变 换。若X*(s)的极点全都位于s左平面，可令s=jω ， 求得x*(t)的傅氏变换为
离散控制系统最常见形式是数字控制系统。图 7.4是数字控制系统的结构图。图中用于控制的计算 机D工作在离散状态，被控对象G(s)工作在模拟状态。

z1
1
z 1
F z
【前提】仅当极限 lim f (存nT在) 时。 n
『例7』 求1t 和T 的(tZ变T换) 。
『解』Z
1t
T
z 1Z
1t
z 1
z
z 1
1 z 1
Z t T z1Z t z1
Z (t) 1
Z (t T ) z1 Z (t 2T ) z2
Z (t 3T ) z3
f*(t)。 f(t)
T (t)
f (t)
-3T -T T 3T -2T 2T
f(t)
T (t)
脉冲调制器
f (t)
0
t
0
t
f *(t) f (0) (t) f (T ) (t T )
F*(s) f (nT ) enTs n0
f (nt) (t nT )
f (nT ) (t nT) n0
第七章 线性离散系统的分析
7-1 离散系统的基本概念
7-2 信号的采样和保持 7-3 Z 变换理论 7-4 离散系统的数学模型 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差
背景：由于脉冲技术、数字式元部件、数字计算机的
发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器。
离散系统与连续系统差别：利用Z变换法研究离散
系统，连续系统中的概念和方法可推广应用于离散系 统。
『例1』设e(t) ,1试(t)求 的e拉* (t氏) 变换。
『解』 E* (s) e(nT )enTs 1 eTs e2Ts ... n0
1
1 eTs
eTs ,| eTs | 1 eTs 1
『例2』设 e(t) eat，, t试求0 的拉e氏* (变t) 换。
『解』

的拉氏变换为

1 即 | E ( j ) | | E ( j jks ) | T k

如图7-6所示
图7-6 采样信号频谱（s 2max 时）
图7-7 采样信号频谱（s 2max 时）
7.2.2 采样定理
如果被采样的连续信号 e(t ) 的频谱具有有限带宽，且频谱的 香农采样定理：
e* (t ) e(kT ) (t kT )
k 0

进行拉氏变换可得 E (s) L[e (t )] e(kT )e 得到以 z 为变量的函数 E ( z )，即
* * k 0

kTs
，引入一个新变量 z ，即
e* (t )
z eTs
E ( z ) E* ( s) e( kT ) z k
E (s) a 1 1 s( s a) s s a
然后对上式逐项求取拉氏反变换，得
e(t ) 1(t ) eat
根据求得的时间函数再逐项写出相应的z变换，得
z z z (1 e aT ) E( z) 2 aT z 1 z e z (1 e aT ) z e aT
k 0
对于零阶保持器，在任意时刻kT 输入单位脉冲信号 (t kT ) ,其单位脉冲响应 为一个幅值为1的矩形方波。如图7-9所示。
零阶保持器的频率特性为
图7-9 零阶保持器的时域特性 T
1 e jT Gh ( j ) T j sin 2 e j T 2
T
由拉氏反变换可得原时间函数： 直接对上式进行z变换，得
e(t ) Ai e pit
i 1
n
E( z)
i 1

计算机控制系统的优点
• • • 有利于实现高精度， 采样信号特别是数码信号的传递，能有效地抑 制噪声，从而提高了系统的抗干扰能力。 由于采用计算机作为系统的控制器，因而这类 系统不仅能完成复杂的控制任务，而且还易于 实现修改控制器的结构参数，以满足工程实际 的需要。 计算机除了作控制器之外，还兼有显示报警等 多种功能。

n
e
n
X [ j ( n
s
)]
X * ( j )
1 T
n
X [ j ( n

s
)]
X * ( j )
1 T
n
X [ j ( n
x ( j )

s
)]
m
m
(a)
* 1 x ( j ) T n=0

x (t ) x (t ) (t nT )
* n

x (t )
*
1 T

x (t ) e jn s t
n jn s t


n
n
(t nT ) C
n

e
1
jn s t
n
x (t ) e
1 T 1 T
x (t ) 1 e t
由Z变换表可得
X ( z) z z 1 z ze
T

z (1 e T ) ( z 1)( z e T )
3. Z变换的性质
(1) 线性定理 若 E1(z)=Z[e1(t)]，E2(z)=Z[e2(t)]，a为常数，则 Z[e1(t)+e2(t)]= E1(z)+ E2(z)，Z[ae(t)]=a E(z) (2) 实数位移定理 若 E(z)=Z[e(t)]， k 1 k 则 Z[e(t-kT)]=z-kE(z), Z[e(t+kT)]= z [ E ( z ) e( nT ) z n ]

离散信号能无失真地恢复到原来的连续信号
采样周期的选取： 原则上采样周期的选取应该保证能够复现系统所能通过 的最高频率的信号，一般需要经过实验确定。对于伺服
系统一般认为频率超过c的信号将被滤除，因而一般选 择采样周期s 10c
信号的复现D/A转换
x (t)
T 2T 3T
解码，将数字信号折算成对应的电压或电流值 x(KT )
1- e-aT a(z - e-aT )
二.线性离散系统的闭环传函
• 在分析离散系统脉冲传递函数时，应注意在 闭环的各个通道以及环节之间是否有采样开关， 因为有、无采样开关所得的闭环脉冲传递函数是 不相同的。
试求右图所示系统的闭环传函
R(s) (s)
-
Y(s)
G1(s)
G2(s)
C* (s)
f () lim f (t) lim(z 1)F(z)
t
z1
(7) 卷积定理
若：Z[ f1(t)] F1(z), Z[ f2 (t)] F2 (z)，

则 F1(z) F2 (z) Z[ f1(mT ) f2(kT mT )] m0
4. Z反变换
(1) 幂级数展开法
第七章 线性离散控制系统分析初步
•学习重点
了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握线性连 续系统与线性离散系统的区别与联系；
熟练掌握Z变换、Z变换的性质和Z反变换方法
了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环系统脉 冲传递函数的计算方法；
掌握线性离散系统的时域分析方法
7.1 线性离散系统的基本概念
(2) 延迟定理 设t<0时f(t)=0，令Z[f(t)]=F(z)，则
Z f (t nT) znF(z)

式中δ(t–kT)为t=kT(k=0,1,2,∙∙∙)时刻具有单位强 度的理想脉冲。
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需要指出，具有无穷大幅值和持续时间无穷小 的理想单位脉冲只是数学上的假设，在实际物理系 统中是不存在的。因此，在实际应用中，对理想单 位脉冲(面积为1)来说，只有讨论其面积，或强度才 有意义。式(7-3)就是基于这种观点，从矩形脉冲及 理想脉冲的面积来考虑的。
动作
随机采样:采样开关动作是随机的
本章仅限于讨论等速同步采样过程。
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采样过程如图7.6所示。连续信号x(t)经过采 样开关转换成离散信号x*(t)。如果x*(t)的幅值经 整量化用数字(或数码)来表示，则x*(t)在幅值上 也是离散的。考虑到采样开关的闭合时间远小于采 样周期T和系统连续部分的最大时间常数，可认为 采样时间τ=0，x(t)在τ内变化很小，因此x*(t) 可用幅值为x(kT)，宽度为τ的脉冲序列近似表示。
可以实现一些模拟控制器难以实现的控制律，特 别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、 智能控制等，只有数字计算机才能完成。
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7.2 采样过程与采样定理
离散系统的特点是：系统中一处或数处的信号 是脉冲序列或数字序列。为了将连续信号变换为离 散信号，需要使用A/D转换器(采样器)；另一方面， 为了控制连续的被控对象，又需使用D/A转换器(保 持器)将离散信号转换为连续信号。因此，为了定量 地研究离散系统，有必要对信号的采样和恢复过程 进行描述。
H (s)
图7.5 数字控制系统的简化框图
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7
数字控制系统较之一般的连续控制系统具有如下一
些优点：

k=0
Zx(kT T ) = x(k 1)T zk= z[ X ( z ) x( 0 )]
上二式相减: k=0
x(kT T ) x(kT)zk
k =0
= ( z 1 )X ( z ) zx( 0 )
(z 1)X (z) = zx(0) x(k 1)T x(kT)zk
lim (z 1)X (z)
第七章 线性离散控制系统
§7.1 引言
离散控制系统，又称为采样控制系统。
在离散系统中，有一处或几处的信号是时间
的离散函数。
X(t)
离散系统方块图
X*(t)
e*(t) G(s)
y(t)
T b*(t) -
T
b(t)
H(s)
简化
简化后
X(t)
e(t) e*(t) G(s)
y(t)
-
T
b(t)
H(s)
DDC系统
采样信号的频率特性
X *(
jw )
=
1 T
X(
k =
jw
jkws )
假设连续信号x(t)的频谱
X(jω)
1
需要：滤掉高频谱线，
防止谱线互相搭接。
X *(
jw )
=
1 T
X(
k =
jw
jkws )
ω max
0 2ωmax
+ωmax ω
基谱
|X*(jw)|
k=1
1
k=0
k= -1
T
-ω s
-ω s
z
z eTs
X (s)(s
si )i
s
=
si
例7.7
例7.8

n i 1
Ai z z e piT
【例7-3】已知 F (s) 1 ，试求其z变换
s(s a)
解 将F（s）展开成部分分式形式
F(s) 1 1 (1 1 ) s(s a) a s s a
其对应的时间函数为 由例7-1和7-2可得
f (t) 1 [1 eat ] a
F(z) 1 [ z z ]
初始条件y(0)=0，y(1)=1，输入为单位阶跃函数 解 利用超前定理，对差分方程进行z变换，得 z2Y (z) z2 y(0) zy(1) 3[zY (z) zy(0)] 2Y (z) R(z)
将已知条件代入上式，得
所以
(z2 3z 2)Y (z) z z z2 z 1 z 1
解 因为 f (nT ) eanT 代入定义式中，得
F (z) 1 eaT z1 e2aT z2 enaT zn
利用级数求和公式写成闭合形式，得
Z (eaT
)
F
(
z)＝ 1
1 eaT
z
1
z
z eaT
eaT z1 1
2、部分分式法
F(s)
n i 1
Ai s pi
z F (z)
z(1 eaT )
a z 1 z eaT a[z2 (1 eaT )z eaT ]
三、z反变换
由F（z）求 f*（t）的过程称为 z 反变换，表示为
Z 1[F (z)] f *(t) f (nT )
或表示为 Z1 F(z) f *(t)
z变换只表征连续函数在采样时刻的特性，并不 反映采样时刻之间的特性，所以z反变换也只能求 出采样函数f*（t），不能求出连续函数f（t）。
Z[ s
1 ]• Z[ 1 ] a sb

第一章概述经典控制理论以传递函数为基础，分析线性定常系统的内容。

闭环系统（或反馈系统）的特征：采用负反馈，系统的被控变量对控制作用有直接影响，即被控变量对自己有控制作用。

2 典型闭环系统的功能框图。

自动控制在没有人直接参与的情况下，通过控制器使被控对象或过程按照预定的规律运行。

自动控制系统由控制器和被控对象组成，能够实现自动控制任务的系统。

被控制量在控制系统中．按规定的任务需要加以控制的物理量。

控制量作为被控制量的控制指令而加给系统的输入星．也称控制输入。

扰动量干扰或破坏系统按预定规律运行的输入量，也称扰动输入或干扰掐入。

反馈通过测量变换装置将系统或元件的输出量反送到输入端，与输入信号相比较。

反送到输入端的信号称为反馈信号。

负反馈反馈信号与输人信号相减，其差为偏差信号。

负反馈控制原理检测偏差用以消除偏差。

将系统的输出信号引回插入端，与输入信号相减，形成偏差信号。

然后根据偏差信号产生相应的控制作用，力图消除或减少偏差的过程。

开环控制系统系统的输入和输出之间不存在反馈回路，输出量对系统的控制作用没有影响，这样的系统称为开环控制系统。

开环控制又分为无扰动补偿和有扰动补偿两种。

闭环控制系统凡是系统输出端与输入端存在反馈回路，即输出量对控制作用有直接影响的系统，叫作闭环控制系统。

自动控制原理课程中所讨论的主要是闭环负反馈控制系统。

复合控制系统复合控制系统是一种将开环控制和闭环控制结合在一起的控制系统。

它在闭环控制的基础上，用开环方式提供一个控制输入信号或扰动输入信号的顺馈通道，用以提高系统的精度。

自动控制系统组成闭环负反馈控制系统的典型结构如图1．2所示。

组成一个自动控制系统通常包括以下基本元件1．给定元件给出与被控制量希望位相对应的控制输入信号(给定信号)，这个控制输入信号的量纲要与主反馈信号的量纲相同。

给定元件通常不在闭环回路中。

2．测量元件测量元件也叫传感器，用于测量被控制量，产生与被控制量有一定函数关系的信号。