不等式二

絕對值不等式的解法目的要求： 會利用絕對值的幾何意義解絕對值不等式 重點難點： 絕對值不等式的解法。

教學設計：一、 復習： 復習：如果a>0，則|x|<a 的解集是(-a, a)；|x|>a 的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)二、型不等式的解法和c b ax c b ax ≥+≤+||||學生自己解決()我们有或对于绝对值不等式一个正实数是例如而得到通过转化为上述不等式值不等式的解一般可以即其他绝对的基础是解其他绝对值不等式上述绝对值不等式,)||(||,,.,,11a x x a x x a >-<-*⇔>--<-⇔>-a x x a x x a x x 111,||或.,11a x x a x x +>-<或.92.1,,,||11所示如图数轴上表示出来以上不等式的解可以在所以的点的距离为的点与坐标标为的几何意义是数轴上坐由于绝对值--x x x x 92.1-图ax x <-||1ax x >-||1().的不等式可以解一些含有绝对值式及绝对值的几何意义利用上述*()型不等式的解法和c b ax c b ax ≥+≤+||||1.2|13|3≤-x 解不等式例,2132,2|13|≤-≤-≤-x x 得由解得解,131≤≤-x .131,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-x x 原不等式的解集为因此.102.1,3231,3231,32|13|,所示如图合的点的集离不大于的点的距标为它的解集是数轴上到坐得两边除以如果将从几何上看-≤-≤-x x .7|32|4≥-x 解不式例|ax+b|<c 和|ax+b|>c(c>0)型不等式比較：.,.5,,,1,2,112.1.,以得出不等式的解就可点的位置确定出具有上述特点的所以我们只要在数轴上数的点所对应的实两点的距离之和不小于的解就是数轴上到那么不等式对应的点分别是设数轴上与如图分析我们从它的几何意义来式比较复杂分析：这个绝对值不等B A B A --1B 112.1-图;5||||,1.5,,111=+B A A A A A B A 这时有位到点个单向左移动将点的点的距离之和为点关键要在数轴上找出与为了求出不等式的解;5||||,1,111=+B B A B B B 这时也有个单位到点向右移动将点同理的的左边或点点和都小于的距离之之间的任何点到点与点点从数轴上可以看到1111;5,,B A B A B A [].1,2,3,,1,2,112.1都不是原不等式的解上的数因此区间两点的距离是那么为对应的点分别设数轴上与如图解法一---B A B A .5,的距离之和都大于右边的任何点到B A (][).,23,,+∞⋃-∞-原不等式的解集是所以(]()[).,,,1,1,2,2,,1,2,5|2||1|,,等式的解集们综合在一起就得到不把后然况的情解的三个区间上讨论不等式分别在这先集分成了三个区间实数把的点对应数轴上与时解可以发现解法述上分析+∞--∞--≥++-B A x x ..,,,,,因此我们有如下解法绝对值的不等式为不含绝对值不等式可以转化在这三个区间上将数分为三个区间为分界点以点事实上B A 不等式的解法和三、c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-.5|2||1|5≥++-x x 解不等式例(]≥≥++--<<--∞--≤≥+----≤，x x x x x x ，x ： ,53,5)2()1( ,123, ,3,5)2()1( ,22此时不等式的解集为矛盾即原不等式可以化为时当此时不等式的解集为解得原不等式可以化为时当解法φ①利用絕對值不等式的幾何意義 ②零點分區間法 ③構造函數法 四、小結總結兩種絕對值不等式的常用解法，以及各自的幾何意義.()()().,,.,0,数图象求不等式的解集利用函点我们也可以从函数的观类似地根近似程的可以利用函数图象求方的关系的根的零点与方程由函数时我们知道在学习函数知识==x f x f y (][)+∞⋃-∞-⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--=-++-=≥-++-,23,1 x , 4-2x 1x 2- 2,-6252105213解集为由图象可知原不等式的作出函数图象即构造函数将原不等式转化为解法，x y ，x x y x x：122.1-图型不等式的解法和c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-。

基本不等式：ab ≤a ＋b2（二）[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一 基本不等式求最值 1．理论依据：(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．基本不等式求最值的条件： (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题： (1)各数(或式)均为正． (2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二 基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____．(3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 (1)－2 (2)3 (3)3解析 (1)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立，∴y 的最小值为－2.(2)xy ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋y 422＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为3.(3)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝x －22＋12x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 跟踪训练1 (1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．答案 (1)D (2)3＋22解析 (1)a 2＋1ab ＋1aa －b＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1aa －b＝a (a －b )＋1aa －b＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x ＝2xy， 即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立．题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x 、14、ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值eC ．有最小值eD ．有最小值e 答案 C解析 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14ln x ln y ，∴ln x ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0， 又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1， ∴xy ≥e，即xy 有最小值为e.(2)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．4C ．1(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________． 答案 (1)B (2)18解析 (1)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．(2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)， 代入得－2m －n ＋1＝0， ∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝18，当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立．题型三 基本不等式的实际应用例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．解 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500 ＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2.跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v ＝400v ＋16v400≥2400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e－xD ．y ＝log 3x ＋log x 812．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．43．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ． m B ． m C ．7 m D ． m 4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________．5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．一、选择题1．已知正数x ，y 满足8x ＋1y＝1，则x ＋2y 的最小值是( )A ．18B ．16C ．8D ．102．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在3．下列命题正确的是( ) A ．函数y ＝x ＋1x的最小值为2B ．若a ，b ∈R 且ab ＞0，则b a ＋a b≥2C ．函数x 2＋2＋1x 2＋2的最小值为2 D ．函数y ＝2－3x －4x的最小值为2－434．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．105．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－22C ．6－4 2D ．6＋426．已知a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )(x ，y 为正数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( ) B ．－12C ．1D ．－17．若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )C ．2D ．4 二、填空题8．设x >－1，则函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值是______．9．设a ＞b ＞c ，则a －c a －b ＋a －cb －c的最小值是________． 10．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．三、解答题11．已知x ，y ＞0，且x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的范围．12．已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．13．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层每平方米的平均综合费用最小值是多少(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)当堂检测1．答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C. 2．答案 B解析 y ＝x x －1＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．答案 2解析 ①当x ∈(0,2)时， x,4－2x ＞0，f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋4－2x 22＝2， 当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立．②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0， ∴y ＝4x －5＋14x －5＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－25－4x ·15－4x ＋3＝1 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．课时精练答案一、选择题1．答案 A解析 x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝x y，即x ＝4y 时，等号成立． 2．答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立． 3．答案 B解析 A 错误，当x ＜0时或x ≠1时不成立；B 正确，因为ab ＞0，所以b a ＞0，a b ＞0，且b a＋a b≥2；C 错误，若运用基本不等式，需()x 2＋22＝1，x 2＝－1无实数解；D 错误，y ＝2－(3x ＋4x )≤2－43，故最大值为2－4 3. 4．答案 C解析 由于x ，y 为正数，故(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9.当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时取“＝”．5．答案 D解析 1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c ) ＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2b c≥4＋2 2b a ·a b ＋2 c a ·a c ＋2 c b ·2b c＝6＋42， 当且仅当2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2b c时，等号成立， 即a 2＝c 2＝2b 2时，等号成立．6．答案 A解析 ∵a ⊥b 则a ·b ＝0，∴4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴xy ＝12(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12， 当且仅当2x ＝y 时，等号成立．7．答案 D解析 圆方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a －2b ＋2＝0，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时，等号成立． 二、填空题8．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝t ＋4t ＋1t＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5 ≥2 t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取“＝”，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1取得最小值9. 9．答案 4解析a －c a －b ＋a －c b －c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c [(a －b )＋(b －c )] ＝1＋1＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2 b －c a －b ·a －b b －c＝4， 当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c，即|a －b |＝|b －c |， 又a ＞b ＞c ，∴b ＝a ＋c2时，等号成立．10．答案 5解析 二次函数顶点为(6,11)，设为y ＝a (x －6)2＋11，代入(4,7)得a ＝－1， ∴y ＝－x 2＋12x －25， 年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ·25x ＋12＝2， 当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，等号成立． 三、解答题11．解 因为x ，y 是正实数，故30＝x ＋2y ＋xy ≥22xy ＋xy ，当且仅当x ＝2y ，即x ＝6，y ＝3时，等号成立．所以xy ＋22xy －30≤0.令xy ＝t ，则t ＞0，得t 2＋22t －30≤0，解得－52≤t ≤3 2.又t ＞0，知0＜xy ≤32，即xy 的范围是(0,18]． 12．解 因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当ay x ＝bx y ，即y x ＝b a时，等号成立， 所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18，又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.13．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得，f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x ＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N *)， f (x )＝50x ＋20 000x＋3 000 ≥2 50x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)． 当且仅当50x ＝20 000x，即x ＝20时上式取“＝”． 因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．。

主题三 不等式第二章 均值不等式一、均值定理1、几个常用的平均值对任意两个正实数b a ,，数2b a +叫做b a ,的算术平均数，数ab 叫做b a ,的几何平均数，b a 2+叫做b a ,的调和平均数，222b a +叫做b a ,的平方平均数。

2、均值定理如果+∈R b a ,，那么ab b a ≥+2。

当且仅当b a =时，等号成立。

上面的结论通常称为均值不等式。

均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它的几何平均数。

常用的变形形式有：4)(2b a ab +≤，即两个正实数的和为定值常数时，则它们的积有最大值； ab b a 2≥+，即两个正实数的积为定值常数时，则它们的和有最小值。

例1：①已知0>ab ，求证2≥+b a a b ；②求函数)0(1>+=x x x y 的值域；③已知20πθ<<，求函数θθθcot tan )(+=f 的最小值以及相应的θ值；④已知1>x ，求证：210log lg ≥+x x ，并说明式中等号成立的条件。

例2：①求函数)0(42>--=x x x y 的最大值以及相应的x 的值；②求函数)2(23>-+=x x x y 的最小值以及相应的x 的值；③求函数242+=x x y 的最大值以及相应的x 的值；④求函数)1(142>-+-=x x x x y 的最小值以及相应的x 的值；⑤已知20π<<x ，求函数θθθ2sin )22(sin )(2+=f 的最小值及相应的θ值。

例3：①求函数12)(22++=x x x f 的最小值以及相应的x 的值；②求函数23)(22++=x x x f 的最小值以及相应的x 的值。

例4：①已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求b a 11+的最小值；②已知+∈R b a ,，且223=+b a ，求ab 的最大值以及相应的b a ,的值；③已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值；④若+∈R y x ,，且082=-+xy y x ，求y x +的最小值。

不等式的性质（二）1．理解同向不等式，异向不等式概念；2．掌握并会证明定理1，2，3；3．理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据；4．初步理解证明不等式的逻辑推理方法.教学重点：定理1，2，3的证明的证明思路和推导过程教学难点：理解证明不等式的逻辑推理方法教学方法：引导式教学过程（）一、复习回顾上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要根据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此，我们来作一下回顾：这一节课，我们将利用比较实数的方法，来推证不等式的性质.二、讲授新课在证明不等式的性质之前,我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念.1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：是同向不等式.异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：是异向不等式.2．不等式的性质：定理1：若，则定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向.在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性.证明：∵，∴由正数的相反数是负数，得说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.定理2：若，且，则.证明：∵∴根据两个正数的和仍是正数，得∴说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.定理3：若，则定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.证明：∵∴说明：（1）定理3的证明相当于比较与的大小，采用的是求差比较法；（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若，则即.定理3推论：若.证明:∵,∴ ①∵∴ ②由①、②得说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；（4）定理3的逆命题也成立.（可让学生自证）三、课堂练习1．证明定理1后半部分；2．证明定理3的逆定理.说明：本节主要目的是掌握定理1，2，3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行.课堂小结通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法.课后作业1．求证：若2．证明：若板书设计§6.1.2 不等式的性质1．同向不等式3.定理2 4.定理3 5.定理3异向不等式证明证明推论2．定理1 证明说明说明证明第三课时教学目标1．熟练掌握定理1，2，3的应用；2．掌握并会证明定理4及其推论1，2；3．掌握反证法证明定理5.教学重点：定理4，5的证明.教学难点：定理4的应用.教学方法：引导式教学过程（）：一、复习回顾上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1，2，3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容.（学生回答）好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的应用.二、讲授新课定理4：若若证明：根据同号相乘得正，异号相乘得负，得当说明：（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变.推论1：若证明： ①又∴ ②由①、②可得.说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；（2）所有的字母都表示正数，如果仅有，就推不出的结论.（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.推论2：若说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；（2）应强调学生注意<i>n</i>∈N的条件.定理5：若我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即，所以不能仅仅否定了，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”.说明：假定不大于，这有两种情况：或者，或者.由推论2和定理1，当时，有；当时，显然有这些都同已知条件矛盾所以.接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.例2 已知证明：由例3 已知证明：∵两边同乘以正数说明：通过例3，例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论.接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.三、课堂练习课本P₇练习1，2，3.课堂小结通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础.课后作业课本习题6.1 4，5.板书设计§6.1.3 不等式的性质。

不等式2知识梳理： 绝对值不等式：含绝对值的不等式性质（双向不等式） a b a b a b -≤±≤+ 左边在)0(0≥≤ab 时取得等号，右边在)0(0≤≥ab 时取得等号解指对不等式：(1) 当a ＞1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a ＜1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＜g(x)同解．(2) 0)a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0a a 当＞时，＞与＞＞同解．⎧⎨⎩当＜＜时，＞与＜＞＞同解．0a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x) f(x)0g(x)0a a ⎧⎨⎪⎩⎪1. 若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围 ．2. (1) 已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是_______.(2)已知函数22(),[1,),()0x x af x x f x x++=∈+∞≥对于任意恒成立，试求a 的取值范围________.3. (1) 如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于‒1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是__________.(2) 若)3,0(内的每一个数都是不等式0122<-+mx x 的解，求m 的取值范围_______. 4. 设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于m ∈[－2,2]，f (x )<－m ＋5恒成立，求x 的取值范围．5. 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________.6．若关于x 的不等式x 2＋12x －(12)n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．7. 三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．8. 已知抛物线C:y=-x²+mx-1,点A(3,0),B(0,3),求C 与线段AB 有两个不同焦点时m 的取值范围___________.9. 关于x 的不等式|x －2|＋|x －a |≥2a 在R 上恒成立，则实数a 的最大值是________．10. 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )(a ≠0，a 、b ∈R)恒成立，求实数x 的取值范围_________．11. 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0,若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值____．12.(1)解不等式log x+1(x2-x-2)＞1?(2)?13.___________?14.设a＞0且a≠1，解不等式?15.a ＞０且a ≠1，解关于x 的不等式： 1log a x >-?16. 已知函数.1)1(log )(),49(log )21()(21221---=+x x g x x f x f 函数满足（Ⅰ）求函数f (x )的表达式；（Ⅱ）若f (x )>g (x )，求x 的取值范围？不等式2知识梳理： 绝对值不等式：含绝对值的不等式性质（双向不等式） a b a b a b -≤±≤+ 左边在)0(0≥≤ab 时取得等号，右边在)0(0≤≥ab 时取得等号解指对不等式：(3) 当a ＞1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a ＜1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＜g(x)同解．(4) 0)a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0a a 当＞时，＞与＞＞同解．⎧⎨⎩当＜＜时，＞与＜＞＞同解．0a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x) f(x)0g(x)0a a ⎧⎨⎪⎩⎪1. 若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围 ． 解：设()2f x x ax a =--，则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在(),-∞+∞上能成立()min 3f x ⇔≤-．2. (1) 已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是_______.解: 由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22，∴k ＋1<22，k <22－1.(2)已知函数22(),[1,),()0x x af x x f x x++=∈+∞≥对于任意恒成立，试求a 的取值范围________.解：()22()20,[1,)23f x x x a x a x x a =++≥∈+∞⇒≥-+⇒≥-对于任意3. (1) 如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于‒1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是__________. 解：（－2，1）(2) 若)3,0(内的每一个数都是不等式0122<-+mx x 的解，求m 的取值范围_______.解：()3,0),(3,02121≥≤⇒⊆x x x x 017(0)03(3)0f m f ∆>⎧⎪⇒≤⇒≤-⎨⎪≤⎩4. 设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于m ∈[－2,2]，f (x )<－m ＋5恒成立，求x 的取值范围．解:将f (x )<－m ＋5变换成关于m 的不等式m (x 2－x ＋1)－6<0，则命题等价于m ∈[]－2，2时，g ()m ＝m ()x 2－x ＋1－6<0恒成立．∵x 2－x ＋1>0，∴g (m )在[－2,2]上单调递增，∴只要g (2)＝2(x 2－x ＋1)－6<0， 即x 2－x －2<0，∴－1<x <2.5. 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________.解：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，则由二次函数的图象及一元二次方程x 2＋mx ＋4＝0的根的分布知，⎩⎪⎨⎪⎧ f （1）≤0，f （2）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5≤0，2m ＋8≤0.解得m ≤－5. 解法二：当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立⇔m <－x 2－4x，当x ∈(1,2)时恒成立⇔m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，当x ∈(1,2)时恒成立．令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，x ∈(1,2),则g (x )min ＝g (1)＝－5，∴m ≤－5.6．若关于x 的不等式x 2＋12x －(12)n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．解: 由题意得x 2＋12x ≥(12)n max ＝12，∴x ≥12或x ≤－1.又x ∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]．7. 三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．解：由2x ＋25＋|3x －52x |≥225,112|5|ax x a x x x x≤≤⇒≤++-，而2510x x +≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；且2|5|0x x -≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；所以，2min 25[|5|]10a x x x x≤++-=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；故(,10]a ∈-∞．8. 已知抛物线C:y=-x²+mx-1,点A(3,0),B(0,3),求C 与线段AB 有两个不同焦点时m 的取值范围___________.解：线段AB 的方程：y=3-x(0≤x ≤3)，与抛物线方程联立： --->3-x= -x²+mx-1-->f(x)= x²-(m+1)x+4=0 两个交点--->f(x)=0在[0,3]上有两个根---> (1)f(x)的对称轴x=(m+1)/2∈[0,3]--->m ∈[-1,5](2)判别式=(m+1)^-16＞0--->(m+5)(m-3)＞0--->m ∈(-∞,-5)∪(3,+∞) (3)f(0)=4＞0, 显然成立；(4)f(3)=9-3(m+1)+4≥0--->3m-10≤0--->m ∈(-∞,10/3] (1)(2)(3)(4)求交集--->m ∈(3,10/3]9. 关于x 的不等式|x －2|＋|x －a |≥2a 在R 上恒成立，则实数a 的最大值是________．解：本小题考查了绝对值的定义，令f (x )＝|x －2|＋|x －a |，当a >2时，易知f (x )的值域为[a －2，＋∞)，使f (x )≥2a 恒成立，需a －2≥2a 成立，即a ≤－2(舍去)．当a <2时，f (x )的值域为[2－a ，＋∞)，使f (x )≥2a 恒成立，需2－a ≥2a 成立，即a ≤23.当a ＝2时，需|x －2|≥a 恒成立，即a ≤0(舍去)．综上a 的最大值为23.10. 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )(a ≠0，a 、b ∈R)恒成立，求实数x 的取值范围_________．解：由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )．又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则有2≥f (x )．解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52.11. 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0,若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值____． 解：由f (x )≤0得,|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2,由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.12. (1)解不等式log x+1(x 2-x-2)＞1?解:原不等式同解于log x+1(x 2-x-2)＞log x+1(x+1)所以原不等式的解为x ＞3。