第二章 不等式 复习

北师大版数学八下第二章一元一次不等式与不等式组---填空题一．填空题1．（2018•锡山区校级四模）某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的x 作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x的取值范围是．2．（2018春•开封期末）若不等式（a﹣2）x＜1，两边除以a﹣2后变成x＜，则a的取值范围是．3．（2018•龙岩二模）非负数a，b，c满足a+b＝9，c﹣a＝3，设y＝a+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n＝．4．（2018春•岳麓区校级期末）已知关于x的不等式（5a﹣2b）x＞3b﹣a的解集是x＜，则6ax＞7b的解集是．5．（2018春•新野县期中）使不等式x2＜|x|成立的x的取值范国是6．（2018春•徽县期末）若不等式组无解，则a b（用“＜，＞，≤，≥和＝”填）7．（2018春•海港区期末）已知不等式组的解集是x≤1，则m的取值范围是．8．（2018春•襄城区期末）不等式组的解集是3＜x＜a+2，若a是整数，则a等于．9．（2018春•阜平县期末）若不等式组无解，则a的取值范围是．10．（2018秋•沙坪坝区校级月考）已知关于x的不等式﹣1≥的解集为x≤1，则a的值是．11．（2018秋•沙坪坝区校级月考）已知x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，则a的取值范围是．12．（2018秋•沙坪坝区校级月考）已知关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是．13．（2018•湘西州）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是．14．（2018秋•沙坪坝区校级月考）不等式3x﹣2≤5x+6的最大负整数解为．15．（2018春•南岗区校级期中）关于x的不等式3x﹣2m＜x﹣m的正整数解为1、2、3，则m取值范围是．16．（2018春•微山县期末）不等式2x﹣m≤0的非负整数解只有3个，则m的取值范围是17．（2018•山西）2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为cm．18．（2018春•南岗区校级期中）甲乙两商场以同样价格出售同样的商品．在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按八折收费；在乙商场累积购物超过50元后，超过50元的部分按九折收费．李红累计购物超过100元，当李红的累计购物金额超过元时，在甲商场购物花费少．19．（2018春•信丰县期末）商家花费1900元购进某种水果100千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为元/千克．20．（2018春•咸安区期末）某种水果的进价为4.5元/千克，销售中估计有10%的正常损耗，商家为了避免亏本，售价至少应定为元/千克．21．（2018春•东城区期末）小明用30元钱购买矿泉水和冰激凌，每瓶矿泉水2元，每支冰激凌3.5元，他买了6瓶矿泉水和若干支冰激凌，他最多能买支冰激凌．22．（2018春•开江县期末）一辆公交车每月的支出费用为3000元，乘车平均票价为1.5元/人，设每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元，当每月乘客量达到人以上时，该公交车才不会亏损．23．（2018春•新野县期中）小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共15件，已知每本笔记本5元，每支钢笔7元，小聪最多能买支钢笔．24．（2018春•天心区校级期末）步步高超市在2018年初从科沃斯商城购进一批智能扫地机器人，进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打折．25．（2018春•岚山区期末）在某市举办的青少年校园足球比赛中，比赛规则是：胜一场积3分，平一场积1分；负一场积0分．某校足球队共比赛9场，以负1场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于21分，则该校足球队获胜的场次最少是场．26．（2018•十堰）如图，直线y＝kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式x（kx+b）＜0的解集为．27．（2018•陇南）如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x 的不等式组的解集为．28．（2018•兰州）不等式组的解集为29．（2018•盘锦）不等式组的解集是．30．（2018•贵阳）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．31．（2018•呼和浩特）若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，则a的取值范围是．32．（2018•聊城）若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]＝1，[π]＝3，[﹣2.82]＝﹣3等．[x]+1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1．①利用这个不等式①，求出满足[x]＝2x﹣1的所有解，其所有解为．33．（2018•黑龙江）不等式组有3个整数解，则a的取值范围是．34．（2018•攀枝花）关于x的不等式﹣1＜x≤a有3个正整数解，则a的取值范围是．35．（2018•包头）不等式组的非负整数解有个．36．（2018•黑龙江）若关于x的一元一次不等式组有2个负整数解，则a的取值范围是．37．（2018•安顺）不等式组的所有整数解的积为．38．（2018春•东明县期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人3件，则剩4件，若前面每人分4件，则最后一人分到玩具，但不足3件，那么最多有件玩具．39．（2018春•江岸区校级月考）安排学生住宿，若每间住4人，则还有15人无房可住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，则宿舍的房间数量可能为．40．（2018春•武城县期末）学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，并且还有一间房有人住但不满．有间宿舍，名女生．41．（2018春•滦南县期末）为鼓励市民绿色低碳方式出行，县政府开通了公共自行车出租服务，每次租车1个小时内免费，若超过1小时，将按以下标准收费：第一个小时为1元，第二个小时为2元，第三个小时及以上，按每小时3元计费，不足1小时按1小时计算，一天收取的费用最高不超过10元．如果小明上午9：00租车，当天11：30还车，那么小明应付租车费元．42．（2018春•如皋市期末）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＞18”为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次停止，则x的取值范围是．43．（2018春•安庆期末）下面是一个运算程序图，若需要经过两次运算才能输出结果y，则输入的x的取值范围是．44．（2018春•三亚期末）植树节期间，市团委组织部分中学的团员去东岸湿地公园植树．三亚市第二中学七（3）班团支部领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有棵．45．（2018春•南山区期末）如图所示，一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个，则剩下9个；如果每人分6个，则最后一个儿童分得的橘子数少于3个．根据以上信息可以判定一共有个儿童．46．（2018春•郾城区期末）把m个练习本分给n个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果每人分5本，那么最后一个同学有练习本但不足5本，n的值为．47．（2018春•滕州市期中）初三的几位同学拍了一张合影作为留念，已知拍一张底片需要5元，洗一张相片需要0.5元．拍一张照片，在每位同学得到一张相片的前提下，平均每人分摊的钱不足1.5元，那么参加合影的同学人数为．48．（2018春•章丘区期末）一个矩形，两边长分别为xcm和10cm，如果它的周长小于80cm，面积大于100cm2，则x的取值范围是．北师大版数学八下第二章一元一次不等式与不等式组---填空题参考答案与试题解析一．填空题1．（2018•锡山区校级四模）某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的x 作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x的取值范围是x≤．【分析】通过找到临界值解决问题．【解答】解：由题意知，令3x﹣1＝x，x＝，此时无输出值当x＞时，数值越来越大，会有输出值；当x＜时，数值越来越小，不可能大于10，永远不会有输出值故x≤，故答案为x≤．2．（2018春•开封期末）若不等式（a﹣2）x＜1，两边除以a﹣2后变成x＜，则a的取值范围是a＞2．【分析】根据不等式的性质得出不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵不等式（a﹣2）x＜1，两边除以a﹣2后变成x＜，∴a﹣2＞0，∴a＞2，故答案为：a＞2．3．（2018•龙岩二模）非负数a，b，c满足a+b＝9，c﹣a＝3，设y＝a+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n＝9．【分析】由于已知a，b，c为非负数，所以m、n一定≥0；根据a+b＝9和c﹣a＝3推出c的最小值与a的最大值；然后再根据a+b＝9和c﹣a＝3把y＝a+b+c转化为只含a或c的代数式，从而确定其最大值与最小值．【解答】解：∵a，b，c为非负数；∴y＝a+b+c≥0；又∵c﹣a＝3；∴c＝a+3；∴c≥3；∵a+b＝9；∴y＝a+b+c＝9+c；又∵c≥3；∴c＝3时y最小，即y最小＝12，即n＝12；∵a+b＝9；∴a≤9；∴y＝a+b+c＝9+c＝9+a+3＝12+a；∴a＝9时y最大，即y最大＝21，即m＝21；∴m﹣n＝21﹣12＝9，故答案为：94．（2018春•岳麓区校级期末）已知关于x的不等式（5a﹣2b）x＞3b﹣a的解集是x＜，则6ax＞7b的解集是x＜．【分析】根据不等式的解集，先确定5a﹣2b与0、a与b的关系，代入不等式并求出不等式的解集．【解答】解：∵（5a﹣2b）x＞3b﹣a的解集是x＜，∴5a﹣2b＜0∴x＜∴＝即24b﹣8a＝5a﹣2b∴a＝2b当a＝2b时，∵5a﹣2b＜0即8b＜0，∴b＜0当a＝2b时，不等式6ax＞7b可变形为：12bx＞7b∴x＜故答案为：x＜．5．（2018春•新野县期中）使不等式x2＜|x|成立的x的取值范国是﹣1＜x＜0或0＜x＜1【分析】由已知x2＜|x|可以判断出|x|与1的大小关系，从而确定x的范围．【解答】解：∵不等式x2＜|x|成立，而x2和|x|都是正数，∴|x2|＜|x|，∴|x|×|x|＜|x|，∴|x|＜1且x≠0，∴﹣1＜x＜0或0＜x＜1．故答案是：﹣1＜x＜0或0＜x＜1．6．（2018春•徽县期末）若不等式组无解，则a≤b（用“＜，＞，≤，≥和＝”填）【分析】根据“大大小小无解了”求解可得．【解答】解：∵不等式组无解，∴a≤b，故答案为：≤．7．（2018春•海港区期末）已知不等式组的解集是x≤1，则m的取值范围是m≥1．【分析】根据“同小取小”求解可得．【解答】解：∵不等式组的解集是x≤1，∴m≥1，故答案为：m≥1．8．（2018春•襄城区期末）不等式组的解集是3＜x＜a+2，若a是整数，则a等于2或3．【分析】根据已知不等式组和不等式组的解集得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵不等式组的解集是3＜x＜a+2，∴，解得：1＜a≤3，∵a为整数，∴a＝2或3，故答案为：2或3．9．（2018春•阜平县期末）若不等式组无解，则a的取值范围是a≤﹣3．【分析】不等式组中两不等式整理求出解集，根据不等式组无解，确定出a的范围即可．【解答】解：因为不等式组无解，所以a≤﹣3，故答案为：a≤﹣310．（2018秋•沙坪坝区校级月考）已知关于x的不等式﹣1≥的解集为x≤1，则a的值是2．【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据不等式的解集得方程，求出a的值．【解答】解：不等式的两边都乘2，得x+5﹣2≥ax+2即（1﹣a）x≥﹣1，当1﹣a＞0，即a＜1时，x≥，∵原不等式的解集为x≤1，∴1﹣a＜0，即a＞1时，∴x≤∴＝1，解得a＝2故答案为：2．11．（2018秋•沙坪坝区校级月考）已知x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，则a的取值范围是a＜4．【分析】将x＝3代入不等式，再求a的取值范围．【解答】解：∵x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，∴9﹣＞2，解得a＜4．故a的取值范围是a＜4．故答案为：a＜4．12．（2018秋•沙坪坝区校级月考）已知关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是m≥．【分析】先求出方程的解，根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：解方程得：x＝，∵方程的解为非负数，∴≥0，则4m﹣5≥0，∴4m≥5，∴m≥，故答案为：m≥．13．（2018•湘西州）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是1．【分析】根据新定义可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结论．【解答】解：∵3※x＝3x﹣3+x﹣2＜2，∴x＜，∵x为正整数，∴x＝1．故答案为：1．14．（2018秋•沙坪坝区校级月考）不等式3x﹣2≤5x+6的最大负整数解为x＝﹣1．【分析】解不等式求出x的范围即可得．【解答】解：∵3x﹣2≤5x+6，∴3x﹣5x≤6+2，﹣2x≤8，则x≥﹣4，∴不等式的最大负整数解为x＝﹣1，故答案为：x＝﹣1．15．（2018春•南岗区校级期中）关于x的不等式3x﹣2m＜x﹣m的正整数解为1、2、3，则m取值范围是6＜m≤8．【分析】先表示出不等式3x﹣2m＜x﹣m的解集，再由正整数解为1、2、3，可得出3＜≤4，解出即可．【解答】解：解不等式得：x＜，∵不等式的正整数解为1、2、3，∴3＜≤4解得：6＜m≤8，故答案为6＜m≤8．16．（2018春•微山县期末）不等式2x﹣m≤0的非负整数解只有3个，则m的取值范围是4≤m＜6【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据非负整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．【解答】解：解不等式2x﹣m≤0，得：x≤，∵不等式2x﹣m≤0的非负整数解只有3个，∴不等式得非负整数解为0、1、2，则2≤＜3，解得：4≤m＜6，故答案为：4≤m＜6．17．（2018•山西）2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为55cm．【分析】利用长与高的比为8：11，进而利用携带行李箱的长、宽、高三者之和不超过115cm得出不等式求出即可．【解答】解：设长为8x，高为11x，由题意，得：19x+20≤115，解得：x≤5，故行李箱的高的最大值为：11x＝55，答：行李箱的高的最大值为55厘米．故答案为：5518．（2018春•南岗区校级期中）甲乙两商场以同样价格出售同样的商品．在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按八折收费；在乙商场累积购物超过50元后，超过50元的部分按九折收费．李红累计购物超过100元，当李红的累计购物金额超过150元时，在甲商场购物花费少．【分析】设李红的累积购物金额为x元，根据“在甲商场购物实际花费＜在乙商场购物实际花费”列不等式求解可得．【解答】解：设李红的累积购物金额为x元，根据题意得，100+0.8（x﹣100）＜50+0.9（x﹣50），解得：x＞150，答：当李红的累计购物金额超过150元时，在甲商场购物花费少．故答案为：150．19．（2018春•信丰县期末）商家花费1900元购进某种水果100千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为20元/千克．【分析】设商家把售价应该定为每千克x元，因为销售中有5%的水果正常损耗，故每千克水果损耗后的价格为x（1﹣5%），根据题意列出不等式即可．【解答】解：设商家把售价应该定为每千克x元，根据题意得：x（1﹣5%）≥，解得，x≥20，故为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克20元．故答案为：20．20．（2018春•咸安区期末）某种水果的进价为4.5元/千克，销售中估计有10%的正常损耗，商家为了避免亏本，售价至少应定为5元/千克．【分析】设商家把售价应该定为每千克x元，因为销售中有5%的水果正常损耗，故每千克水果损耗后的价格为x（1﹣5%），根据题意列出不等式即可．【解答】解：设商家把售价应该定为每千克x元，根据题意得：x（1﹣0%）≥4.5，解得，x≥5，故为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克5元．故答案为：5．21．（2018春•东城区期末）小明用30元钱购买矿泉水和冰激凌，每瓶矿泉水2元，每支冰激凌3.5元，他买了6瓶矿泉水和若干支冰激凌，他最多能买5支冰激凌．【分析】设他买了x支冰激凌，根据“矿泉水的总钱数+冰激凌的总钱数≤30”列不等式求解可得．【解答】解：设他买了x支冰激凌，根据题意，得：6×2+3.5x≤30，解得：x≤，∵x为整数，∴他最多能买5支冰激凌，故答案为：5．22．（2018春•开江县期末）一辆公交车每月的支出费用为3000元，乘车平均票价为1.5元/人，设每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元，当每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损．【分析】设当每月乘客量达到x人以上时，该公交车才不会亏损，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：设当每月乘客量达到x人以上时，该公交车才不会亏损，则1.5x﹣3000≥0，解得：x≥2000，故答案为：2000．23．（2018春•新野县期中）小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共15件，已知每本笔记本5元，每支钢笔7元，小聪最多能买12支钢笔．【分析】首先设小聪买了x支钢笔，则买了（15﹣x）本笔记本，根据题意可得不等关系：购买钢笔的花费+购买笔记本的花费≤100元，根据不等关系列出不等式即可求解．【解答】解：设小聪买了x支钢笔，由题意得：7x+5（15﹣x）≤100，解得：x≤12.5，∵x为整数，∴x的最大值为12，故答案为：12．24．（2018春•天心区校级期末）步步高超市在2018年初从科沃斯商城购进一批智能扫地机器人，进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打7折．【分析】利润率不低于5%，即利润要大于或等于800×5%元，设打x折，则售价是1200x元．根据利润率不低于5%就可以列出不等式，求出x的范围．【解答】解：设至多可打x折，则1200×﹣800≥800×5%，解得x≥7，即至多可打7折．故答案为：7．25．（2018春•岚山区期末）在某市举办的青少年校园足球比赛中，比赛规则是：胜一场积3分，平一场积1分；负一场积0分．某校足球队共比赛9场，以负1场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于21分，则该校足球队获胜的场次最少是7场．【分析】设该校足球队获胜x场，则平了（9﹣1﹣x）场，根据总积分＝3×获胜场数+1×平局场数结合总积分不少于21分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小整数即可得出结论．【解答】解：设该校足球队获胜x场，则平了（9﹣1﹣x）场，根据题意得：3x+（9﹣1﹣x）≥21，解得：x≥．∵x为整数，∴x的最小值为7．故答案为：7．26．（2018•十堰）如图，直线y＝kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式x（kx+b）＜0的解集为﹣3＜x＜0．【分析】先把不等式x（kx+b）＜0化为或，然后利用函数图象分别解两个不等式组．【解答】解：不等式x（kx+b）＜0化为或，利用函数图象得为无解，的解集为﹣3＜x＜0，所以不等式x（kx+b）＜0的解集为﹣3＜x＜0．故答案为﹣3＜x＜0．27．（2018•陇南）如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x 的不等式组的解集为﹣2＜x＜2．【分析】先将点P（n，﹣4）代入y＝﹣x﹣2，求出n的值，再找出直线y＝2x+m落在y＝﹣x﹣2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．【解答】解：∵一次函数y＝﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4），∴﹣4＝﹣n﹣2，解得n＝2，∴P（2，﹣4），又∵y＝﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0），∴关于x的不等式2x+m＜﹣x﹣2＜0的解集为﹣2＜x＜2．故答案为﹣2＜x＜2．28．（2018•兰州）不等式组的解集为﹣1＜x＜3【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x＞﹣1，∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．29．（2018•盘锦）不等式组的解集是0＜x≤8．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x≤8，解不等式②得：x＞0.8，∴不等式组的解集为0.8＜x≤8，故答案为：0.8＜x≤8．30．（2018•贵阳）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是a≥2．【分析】先把a当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可．【解答】解：，由①得：x≤2，由②得：x＞a，∵不等式组无解，∴a≥2，故答案为：a≥2．31．（2018•呼和浩特）若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，则a的取值范围是a≤﹣6．【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于a的不等式，求出不等式的解集，再判断即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣，解不等式②得：x＞﹣a+2，∴不等式组的解集为x＞﹣a+2，∵不等式x﹣5＞0的解集是x＞5，又∵不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，∴﹣a+2≥5，解得：a≤﹣6，故答案为：a≤﹣6．32．（2018•聊城）若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]＝1，[π]＝3，[﹣2.82]＝﹣3等．[x]+1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1．①利用这个不等式①，求出满足[x]＝2x﹣1的所有解，其所有解为x＝0.5或x＝1．【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]＝2x﹣1，∴2x﹣1≤x＜2x﹣1+1，解得，0＜x≤1，∵2x﹣1是整数，∴x＝0.5或x＝1，故答案为：x＝0.5或x＝1．33．（2018•黑龙江）不等式组有3个整数解，则a的取值范围是﹣2≤a＜﹣1．【分析】先解x的不等式组，然后根据整数解的个数确定a的取值范围．【解答】解：解不等式x﹣a＞0，得：x＞a，解不等式1﹣x＞2x﹣5，得：x＜2，∵不等式组有3个整数解，∴不等式组的整数解为﹣1、0、1，则﹣2≤a＜﹣1，故答案为：﹣2≤a＜﹣1．34．（2018•攀枝花）关于x的不等式﹣1＜x≤a有3个正整数解，则a的取值范围是3≤a＜4．【分析】根据不等式的正整数解为1，2，3，即可确定出正整数a的取值范围．【解答】解：∵不等式﹣1＜x≤a有3个正整数解，∴这3个整数解为1、2、3，则3≤a＜4，故答案为：3≤a＜4．35．（2018•包头）不等式组的非负整数解有4个．【分析】首先正确解不等式组，根据它的解集写出其非负整数解．【解答】解：解不等式2x+7＞3（x+1），得：x＜4，解不等式x﹣≤，得：x≤8，则不等式组的解集为x＜4，所以该不等式组的非负整数解为0、1、2、3这4个，故答案为：4．36．（2018•黑龙江）若关于x的一元一次不等式组有2个负整数解，则a的取值范围是﹣3≤a＜﹣2．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集和已知得出a的范围即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞a，解不等式②得：x＜2，又∵关于x的一元一次不等式组有2个负整数解，∴﹣3≤a＜﹣2，故答案为：﹣3≤a＜﹣2．37．（2018•安顺）不等式组的所有整数解的积为0．【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有整数解相乘即可求解．【解答】解：，解不等式①得：x，解不等式②得：x≤50，∴不等式组的整数解为﹣1，0，1…50，所以所有整数解的积为0，故答案为：0．38．（2018春•东明县期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人3件，则剩4件，若前面每人分4件，则最后一人分到玩具，但不足3件，那么最多有25件玩具．【分析】设小朋友的人数为x人，玩具数为n件，则n＝3x+4，0＜n﹣4（x﹣1）＜3，且n，x都是正整数，将n＝3x+4代入0＜n﹣4（x﹣1）＜3求出x、n的值，当求出x的值后，求n的值时，根据实数的运算法则求值．【解答】解：设小朋友的人数为x人，玩具数为n件，由题意可得：n＝3x+4，0＜n﹣4（x﹣1）＜3，即：0＜3x+4﹣4（x﹣1）＜3，解得5＜x＜8，由于x的是正整数，所以x的取值为6人或7人，当x＝6时，n＝3x+4＝22件；当x＝7时，n＝3x+4＝25件．故最多有25件玩具．故答案为：25．39．（2018春•江岸区校级月考）安排学生住宿，若每间住4人，则还有15人无房可住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，则宿舍的房间数量可能为8或9或10．【分析】设宿舍有x间，则学生有（4x+15）人，根据题意条件建立不等式组求出x的值即可．【解答】解：设宿舍有x间，则学生人数为（4x+15）人根据题意得：0＜（4x+15）﹣6（x﹣1）＜6解得：＜x＜且x为正整数∴x＝8或9或10故答案为8或9或1040．（2018春•武城县期末）学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，并且还有一间房有人住但不满．有5间宿舍，30名女生．【分析】根据题意可得：女生人数＝5+所有宿舍人数，可列方程．根据有一间房有人住但不满可列不等式．【解答】解：设有x间宿舍，有y名女生根据题意得：∴＜x＜7且x为正整数∴x＝5或6∴y＝30或35且该班女生少于35人∴x＝5，y＝30故答案为：5，3041．（2018春•滦南县期末）为鼓励市民绿色低碳方式出行，县政府开通了公共自行车出租服务，每次租车1个小时内免费，若超过1小时，将按以下标准收费：第一个小时为1元，第二个小时为2元，第三个小时及以上，按每小时3元计费，不足1小时按1小时计算，一天收取的费用最高不超过10元．如果小明上午9：00租车，当天11：30还车，那么小明应付租车费6元．【分析】根据题意可知，早上9：00到当天11：30一共是2.5个小时，则收费为1+2+3＝6元．【解答】解：由题意得：11：30﹣9：00＝2.5小时，故第一个小时为1元，第二个小时为2元，第三个不足1小时按1小时计算应该交3元，故小明应付租车费为：1+2+3＝6元，故答案为：6．42．（2018春•如皋市期末）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＞18”为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次停止，则x的取值范围是＜x≤8．【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于18，第二次运算结果大于18列出不等式组，然后求解即可．【解答】解：由题意得，解不等式①得x≤8，解不等式②得，x＞，则x的取值范围是＜x≤8．故答案为：＜x≤8．43．（2018春•安庆期末）下面是一个运算程序图，若需要经过两次运算才能输出结果y，则输入的x的取值范围是4≤x＜11．【分析】输入x，经过第一次运算，结果为3x﹣1＜32，经过第二次运算，结果为3（3x﹣1）﹣1≥32，两个不等式联立，形成一元一次不等式组求解，即可得到答案．【解答】解：根据题意得：，解得：4≤x＜11，即输入的x的取值范围为：4≤x＜11，故答案为：4≤x＜11．44．（2018春•三亚期末）植树节期间，市团委组织部分中学的团员去东岸湿地公园植树．三亚市第二中学七（3）班团支部领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有121棵．【分析】设共有x人，则有4x+37棵树，根据“若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵”列不等式组求解可得．【解答】解：设共有x人，则有4x+37棵树，由题意得：，解之得：20＜x＜，∴x＝21，∴4x+37＝121 （棵），答：这批树苗共有121棵，故答案为：12145．（2018春•南山区期末）如图所示，一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个，则剩下9个；如果每人分6个，则最后一个儿童分得的橘子数少于3个．根据以上信息可以判定一共有7个儿童．【分析】根据题意，儿童和橘子都为整数，列出不等式，从而求解出多少儿童．【解答】解：设共有x个儿童，则共有（4x+9）个橘子，则0＜4x+9﹣6（x﹣1）＜3∴6＜x＜7.5所以共有7个儿童，故答案为：746．（2018春•郾城区期末）把m个练习本分给n个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果每人分5本，那么最后一个同学有练习本但不足5本，n的值为5或6．【分析】由每人分3本、余8本知练习本的总数为3n+8，再利用“0＜练习本总数﹣每人5本时前（n ﹣1）人练习本总数＜5”列出关于n的不等式组，解之可得．【解答】解：如果每人分3本、余8本，那么练习本的总数为3n+8，根据题意，得：，解得：4＜n＜6.5，∵n为整数，∴n＝5或6，故答案为：5或6．47．（2018春•滕州市期中）初三的几位同学拍了一张合影作为留念，已知拍一张底片需要5元，洗一张相片需要0.5元．拍一张照片，在每位同学得到一张相片的前提下，平均每人分摊的钱不足1.5元，那么参加合影的同学人数为至少6人．【分析】首先依据题意得出不等关系即平均每人分摊的钱不足1.5元，由此列出不等式，进而解决问题．【解答】解：设参加合影的同学人数为x人，则有5+0.5x＜1.5x，解得x＞5，。

第二章不等式复习测试题一、选择题：（每小题2分，共20分）1、已知0,0a b >>，则下列等式成立的是（ ）()1b b A a a >+ 1()b b B a a +> 11()C a b > ()2b aD a b+> 2、下列不等式正确的是（ ）32()A a a> ()32B a a > ()32C a a +>+ ()33D a a +>- 3、二次不等式2320x x -+<的解集为（ ）{}()0A x x ≠ {}()12B x x << {}()12C x x -<< {}()0D x x >4、不等式502x x +>-的解集是（ ）{}()52A x x -<< {}()52B x x x <->或 {}()5C x x <- {}()2D x x >5、不等式31x -<-的解集是（ ）()A φ {}()3B x x < {}()3C x x > ()D R6、在下列的不等式中解集是空集的是（ ）2()340A x x --≥ 2()440B x x -+≥ 2()340C x x -+≥ 2()340D x x -+<7、不等式2112x x +≤+的解集是（ ） {}()12A x x x ≥<-或 {}()1B x x <- {}()1C x x ≤ {}()21D x x -<≤8、不等式2384x x -+<的解集是（ ）2()23A x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或 2()3B x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ 2()23C x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ {}()2D x x >9、若{}20A x x =<，{}20B x x =>。

则A B ⋃是（ ）{}()0A x x > {}(),0B x x R x ∈≠且 ()C R ()D φ10、若{}23A x x =-<，{}3B x x =≥。

第二章 不等式 复习检测基础知识比较实数大小的方法：①作图法②作差法________________ ________________ ________________ 一、★不等式的基本性质★1．加法性质：如果a ＞b ，那么a+c____b+c ．2．乘法性质：①如果a ＞b ，c ＞0，那么ac____bc ；②如果a ＞b ，c ＜0，那么ac____bc ； 3．传递性：如果a ＞b ，且b ＞c ，那么___________ ． 二、★区间★有限区间无限区间 集合 数轴表示区间 集合 数轴表示区间 {x |a<x <b} {x | x ≤a} {x |a ≤x ≤b} {x | x ≥a} {x |a ≤x <b} {x | x ＞a} {x |a<x ≤b}{x | x ＜a}R三、★充要条件★1．看是否为一般形式（不等号右侧为0）；2．看二次项的系数a 是否为正，（如果是a ＜0，给不等式两侧同时乘以 -1，不等号方向改变） 3．方程有解时，解一元二次方程（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根 4．定解：（口诀）大于取两边，小于取中间。

2y ax bx c =++（a ＜0）0∆〉0∆=0∆〈 二次函数的图象)0(2>++=a c bx ax y 20ax bx c ++=20ax bx c ++≥02≤++c bx ax20ax bx c ++≤ 20ax bx c ++〈三、★含绝对值的不等式★1．不等式丨x 丨＜a 或丨x 丨＞a 或丨x 丨≤a 或丨x 丨≥a①丨x 丨＜a 的解集是___________________ ②丨x 丨≤a 的解集是___________________ ③丨x 丨＞a 的解集是___________________ ④丨x 丨≥a 的解集是___________________ 2．不等式丨a x +b 丨＜c 或丨a x +b 丨＞c （把a x ＋b 看成_______，或者用________）巩固练习一、选择题1、下列各项正确的是（ ） A ．25>38 B 、45<79 C 、32<43 D 、45>562、下面四个式子中，正确的是（ ）A ．4>3a aB ．5>4a a ++C ．7>7a a +-D ．3、设A=（0，+∞），B=（-2，3]，则A ∩B= （ ） A ．（-2，+∞） B ．(-2,0) C ．(0,3] D ．(0,3)4、不等式-2x >-6的解集为（ ） A ． {x |x >3}B ． {x |x >-3}C ．{x |x <-3}D ．{x |x <3}5、下列结论中，正确的是（ ）A ．若>a b ，则22>ac bcB ．若>a b a +，则>0bC ．若>b a a --，则<0bD ．若>0a b ⋅，则>0a 且>0b 6、一元二次方程x 2 – m x + 4 = 0 有实数解的条件是m ∈（ ） A ．（－４,４） B ．［－４,４］C ．（－∞，－４）∪（４, ＋∞）D ．（－∞，－４］∪［４, ＋∞）7、下列结论中，正确的是（ ）A ．若>a b ，则22>ac bcB ．若>a b a +，则>0bC ．若>b a a --，则<0bD ．若>0a b ⋅，则>0a 且>0b 8、不等式0122≥++x x 的解集是（ ）A ．{}1-B ．RC ．φD ． ()()+∞--∞-,11, 9、要使函数42-=x y 有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．[)+∞,2B ．(][)+∞-∞-,22,C ．[]2,2-D ． R 10、不等式x 2＋a x ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是（ ）A ．［－4，4］B ．（－4，4）C ．（－∞，－4］∪［4，＋∞］D ．（－∞，－4）∪（4，＋∞）二、填空题11、已知集合[)2,1-=A ，集合(]3,0=B ，求B A ＝ ，B A ＝ ． 12、比较大小：(x －1)(x －5) (x －3)213、不等式x 2+4x +6≧0的解集是 . 14、|x |≤2是|x +1|＜1的________条件.15、 方程x 2-2(m-1)x +3m 2=11有两个不相等的实数解，则m 的范围是 ． 三、解答题17、比较大小：(1)(x +1)(x +5)与(x +3)2(2)2x 2－7x ＋2与x 2－5x18、解下列不等式(1)|2x －1|≤3 (2)|4－5x|＞6(3)－6x 2-x +2≥0 (4)2x 2-7x ≦x 2+1219、已知：U=R ，A={x |x 2-16＜0}，B={x |x 2-4x +3≥0}，求C U (A ∩B)．21、已知关于x 的不等式02≤+-n mx x 的解集是{}15≤≤-x x ，求实数n m ,的值．。

中职数学第二单元不等式一、考纲要求考试内容：实数大小的基本性质和不等式的性质，一元二次不等式、绝对值不等式、对数不等式和指数不等式的解法，解一些简单的不等式并正确表示其解集。

《不等式》单元复习知识要点二、知识点清单2.1不等式的性质(解决不等式问题的依据)(1) a b b a <⇔>(对称性) (2) c a c b b a >⇒>>,(传递性) (3) c b c a b a +>+⇔> （加法法则）(4) d b c a d c b a +>+⇒>>且（同向可加）；d b c a d c b a ->-⇒<>且（异向可减） (5)bc ac b a >⇒>>0c 且；bc ac b a <⇒<>0c 且 (乘法法则) (6) bd ac d c b a >⇒>>>>00且 (乘法法则推论) (7) n n b a b a >⇒>>0 (n R ∈ n>0) (成方法则)(8)a b a b a 10<⇒>>⋅且中职数学2.2 区间《不等式》单元复习知识要点中职数学2.3 一元一次不等式的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）)0()0({>-><-<⇒>+a b cx a bcx c b ax)0()0({>-<<->⇒<+a b cx a bcx c b ax2.4 一元一次不等式组的解法：(同大取大、同小取小，大小小大取中间，大大小小没有解)《不等式》单元复习知识要点2.5 一元二次不等式的解法：0)中职数学《不等式》单元复习知识要点2.6 一元二次不等式解集为R 或解集为φ的情形⎩⎨⎧<∆<⇔<++⎩⎨⎧<∆<⇔>++⎩⎨⎧<∆>⇔<++⎩⎨⎧<∆>⇔>++000000000002222a R c bx ax a c bx ax a c bx ax a R c bx ax 解集为解集为解集为解集为φφ 2.7 二元一次不等式组的解法：关键是“消元”（代入消元法、加减消元法等）中职数学2.8 含有绝对值的不等式的解法：2；>2⇔abba>《不等式》单元复习知识要点中职数学2.9 分式不等式的解法 （关键：转化整式不等式来解）0()()0a x b a x b c x d c x d +>⇔++>+；00))((0≠+≤++⇔≤++d cx d cx b ax dcx b ax 且【注意】分式不等式中的不等号为≤或≥时，转化过程中一定要使分母cx+d 不为0《不等式》单元复习知识要点2.10 不等式的应用1.一元一次、一元二次不等式在实际问题中的应用（解应用题）2.均值定理的应用中职数学中职数学第二章《不等式》单元检测（满分100分，时间：90分钟）一.选择题（3分*10=30分）1.不等式14x -≤≤用区间表示为: ( )A. (-1,4)B. (-1,4]C. [-1,4)D. [-1,4]2.若a<b ，则不等式(x-a)(b-x)>0的解集补集是（ ）A.｛x 丨a ＜x ＜b ｝B.｛x 丨x ≤b 或x ≥a ｝C.｛x 丨x ＜a 或x ＞b ｝D.x 丨x ≥b 或x ≤a ｝3.不等式302x x -<-的解集是 ( )《不等式》单元复习知识要点 A ．(2，3) B ．(－∞，2)∪(3，+∞)C ．(－2，-3)D ．(－∞，－3)∪(-2，+∞)4.不等式022<--x x 的解集是( )A ．(－2，1)B ．(－∞，－2)∪(1，+∞)C ．(－1，2)D ．(－∞，－1)∪(2，+∞)5.已知x>y,则下列式子中错误的是( )A.y<xB. x-8>y-8C.5x>5yD.-3x>-3y6.若a ＞b, c ＞d ，则（ ）A.a －c ＞b －dB.a +c ＞b + dC.a c ＞bdD.db c a >7.下列说法不正确的是（ ）中职数学A.若a>b,则)0(22≠>c bc acB.若a>b,则b<aC.若a>b 则-a>-bD.若a>b,b>c,则a>c8.不等式)0(02≠<++a c bx ax 的解集是φ，那么（ ）A.0,0>∆<aB.0,0≥∆<aC.0,0≥∆>aD.0,0≤∆>a9.使“0>>b a ”成立的充分不必要条件是（ ）A.022>>b aB.b a 55>C.11->-b aD.33->-b a10.若10<<a ，则不等式0)1)((>--ax x a 的解集是（ ）A.a x a 1<< B.a x a <<1 C.a x a x 1><或 D.a x a x ><或1 二.填空题（4分*8=32分）12.下列不等式(1)m-3>m-5,(2)5-m>3-m,(3)5m>3m,(4)5+m>5-m,正确的有___个13.不等式组1020x x ->⎧⎨-<⎩的解集为:________________； 14.不等式∣2x －1∣＜3的解集是_____________________ ；15.已知方程032=+-m x x 的一个根是1，则另一个根是____ =m ______；16.不等式01)3()32(22<-----x m x m m 的解集为R ，则 m ∈ ；17.（x-3）2≤4的解集是____________；18.不等式243<-x 的整数解的个数为__________。

第二章一元一次不等式与一元一次不等式组一、知识结构脉络1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2、不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.3、求不等式解集的过程叫解不等式.4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组5、不等式组的解集:一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。

6、等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.二、知识点梳理1、不等式的基本性质（如下表）2.运算性质（1）若a>b，c>d，则a 十c>b 十d（同向不等式相加）（2）若a>b，c<d，则a 一c>b 一d（异向不等式相减）（3）若a>b>0，c>d>0，ac>bd（4）若a>b>0，0<c<d，则db c a >（5）（5）若a>b>0，则ba 11<性质文字叙述数学语言（I）不等式的两边加（或减）同一个数或（式子），不等号的方向不变若a>b 则a 土c>b 土c （II）不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变若a>b 且c>0则ac>bc 或c b c a >（III）不等式的两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变若a>b 且c<0则ac<bc 或cb c a <（6）若a>b>0，n 为正整数，则nn b a >（7）（7）若a>b>0，n 为不小于2的整数则n n ba >3、解不等式的步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）未知数的系数化为1。

要注意把系数化为1时，如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变；解不等式要根据题目的要求和特点合理灵活地选择解题步骤。

第二章：一元二次函数、方程与不等式重点题型复习题型一 不等式的性质应用【例1】若,,R a b c ∈，则下列命题为假命题的是（ ） A a b >a b > B ．若a b >，则ac bc > C ．若0b a >>，则11a b> D ．若22ac bc >，则a b > 【答案】B【解析】对A a b 0a b >≥，故选项A 正确；对B ：因为a b >，R c ∈，所以当0c >时，ac bc >； 当0c 时，ac bc =；当0c <时，ac bc <，故选项B 错误；对C ：因为0b a >>，所以由不等式的性质可得110ab>>，故选项C 正确； 对D ：因为22ac bc >，所以20c >，所以a b >，故选项D 正确. 故选：B.【变式1-1】已知120b a<<，则下列不等式正确的是（ ） A ．11a b ab <+ B ．21a b ab >+ C ．2aba b>+ D ．22ab b < 【答案】A【解析】方法一：因为120ba<<，可知0,0a b <<，所以20a b <<，所以0ab >，0a b +<，所以11a b ab <+，21a b ab <+，0aba b<+， 所以A 正确，B ，C 错误．因为20a b <<，所以22ab b >，所以D 错误，故选：A 方法二；因为120b a<<，设10a =-，2b =-， 所以20ab =，12a b +=-，228b =，所以11a b ab <+，21a b ab <+,2ab a b<+,22ab b >,所以A 正确，B ，C ，D 错误,故选：A【变式1-2】（多选）若0a b >>，则下列正确的是（ ） A ．55a ab b+<+ B ．2a b ab +> C ．11a b b a+>+ D a b a b >-【答案】ABC【解析】选项A ，因为0a b >>，所以()()55055b a b b a a a a -+-=<++，55b b a a +∴<+，故A 正确； 选项B ，由均值不等式，当0,0a b >>，2a bab +0a b >>， 故等号不成立，即2a bab +>B 正确； 选项C ，由于0a b >>，故110ba>>，故11a b ba+>+，故C 正确； 选项D ，取4,1a b ==3a b a b =-=D 错误 故选：ABC【变式1-3】（多选）若0a b <<，且1a b +=，则在22,,2,a a b ab b +四个数中正确的是（ ）A ．222a b ab +>B ． 12a < C ．12b < D ．22b a b >+ 【答案】ABD【解析】由于0a b <<，则222a b ab +>，又1a b +=，所以1012a b <<<<，又()()2222122120a b b a b ab b ab b a ab a b +-=+--=--=-=-<，即22b a b >+.故选：ABD题型二 利用不等式求代数式的取值范围【例2】已知23,21<<-<<-a b ，则2-a b 的取值范围为（ ） A ．(0,2) B ．(2,5) C ．(5,8) D ．(6,7) 【答案】C【解析】23,21<<-<<-a b ，故426a <<，12b <-<，得528<-<a b 故选：C【变式2-1】若实数x ，y 满足1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，则2x y +的取值范围（ ）A ．[1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[9,)+∞ 【答案】A【解析】设2()(52)x y m x y n x y +=+++，则5221m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得13m n ==，故112()(52)33x y x y x y +=+++，又因1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，所以()()1112,523333x y x y +≥+≥，所以21x y +≥.故选：A.【变式2-2】已知15a b ≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围.【答案】[20]1-，【解析】设()()32a b m a b n a b -=++-，则有：32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得：1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()()153222a b a b a b -=++-.因为15a b ≤+≤，所以()115222a b ≤+≤，因为13a b -≤-≤，所以()5515222a b -≤-≤， 所以()()1521022a b a b -≤++-≤， 即23210a b -≤-≤， 所以32a b -的取值范围为.【变式2-3】已知1260a ，1536b ，求2a b -，2ab的取值范围． 【答案】2a b -的取值范围是()60,30-，2a b 的取值范围是2,83⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】因为1536b ，所以72230b -<-<-．又1260a ，所以127226030a b -<-<-， 即60230a b -<-<．因为1260a ，所以242120a ， 因为1536b ，所以1113615b <<， 所以2421203615a b <<，即2283a b<<． 所以2a b -的取值范围是()60,30-，2a b 的取值范围是2,83⎛⎫⎪⎝⎭．题型三 解一元二次不等式【例3】已知集合{}210210A x x x =-+≤，{}7524B x x =-≤-≤，则A ∩B =（ ）A ．132x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ B ．{}67x x ≤≤ C ．{}27x x -≤≤D ．{}36x x ≤≤ 【答案】D【解析】因为{|37}A x x =≤≤，1|62x x B ⎧⎫=≤⎨⎩≤⎬⎭，所以{|36}A B x x ⋂=≤≤.故选：D【变式3-1】不等式23180x x -++<的解集为（ ）A ．{6x x >或3}x <-B ．{}36x x -<<C ．{3x x >或6}x <-D ．{}63x x -<< 【答案】A【解析】23180x x -++<可化为23180x x -->，即()()630x x -+>，即6x >或3x <-． 所以不等式的解集为{6x x >或3}x <-.故选：A【变式3-2】解下列不等式： （1）262318x x x -≤-<； （2）1232x x +≥-； （3）2320x x -+>. 【答案】（1）{32x x -<≤-或}36x ≤<；（2）213x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（3）{2x x <-或11x -<<或}2x >【解析】（1）原不等式等价于22623318x x x x x ⎧-≤-⎨-<⎩，即22603180x x x x ⎧--≥⎨--<⎩，即()()()()320630x x x x ⎧-+≥⎪⎨-+<⎪⎩，所以2336x x x ≤-≥⎧⎨-<<⎩或，所以32x -<≤-或36x <≤，所以原不等式的解集{32x x -<≤-或}36x ≤<； （2）由1232x x +≥-，可得155203232x x x x +-+-=≥--， 所以()()55320320x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得213x <≤，所以原不等式的解集为213x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（3）原不等式等价于23200x x x ⎧-+>⎨≥⎩或23200x x x ⎧-+>⎨<⎩，分别解这两个不等式组，得01x ≤<或2x >或10x -<<或2x <-， 故原不等式的解集为{2x x <-或11x -<<或}2x >.【变式3-3】解下列关于x 的不等式：（a 为实数） （1）220x x a ++<；（2）102ax x ->-. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：220x x a ++=，Δ44a =-，当1a ≥时，Δ440a =-≤，原不等式无解；当1a <时，对应一元二次方程的两个解为：11x a =-- 所以220x x a ++<的解为：1111a x a --<<-- 综上所述，1a ≥时，原不等式无解，当1a <时，原不等式的解集为{1111}xa x a --<<-+-∣； （2）原不等式等价于()()120ax x -->，当0a =时，解集为(),2-∞；当0a <时，原不等式可化为()()120ax x -+-<， 因为12a <，所以解集为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当102a <<时，12a >，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 当12a =时，原不等式等价于()11202x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭， 所以2(2)0x ->，解集为{}2xx ≠∣；当12a >时，12a <，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 综上所述，当0a =时，解集为(),2-∞；当0a <时，解集为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当102a <≤时，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当12a >时，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.题型四 三个“二次”之间的关系【例4】已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c -+<的解集为{}23x x -<<，则不等式20bx ax c -+<的解集是（ ）A ．()2,3-B ．()(),23,-∞-+∞C ．()3,2-D ．()(),32,-∞-+∞【答案】A【解析】不等式20ax bx c -+<的解集是()2,3-，所以方程20ax bx c -+=的解是2-和3，且0a >，则()()2323b a c a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得b a =，6c a =-， 所以不等式20bx ax c -+<化为260ax ax a --<， 即260x x --<，解得23x -<<，所以，所求不等式的解集是()2,3-．故选：A ．【变式4-1】不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式0ax cbx c+≤-的解集为______．【答案】()[),48,-∞+∞【解析】因为20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则0a <，且对应方程的根为-2和4， 所以242b a -=-+=，248ca=-⨯=-，且0a <， 不等式0ax c bx c+≤-可化为8028ax aax a -≤-+， 则8028x x -≤-+，即804x x-≤-，解得4x <或8x ≥． 故答案为()[),48,-∞+∞．【变式4-2】已知不等式20ax bx c ++>的解集是{|}x x αβ<<，0α>，则不等式20cx bx a ++>的解集是____________. 【答案】11βα⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由不等式20ax bx c ++>的解集是{|}0x x αβα<<>（），可知：α，β是一元二次方程20ax bx c ++=的实数根，且0a <；由根与系数的关系可得：ba αβ+=-，c aαβ⋅= ， 所以不等式20cx bx a ++>化为210c bx x a a++<， 即：()210x x αβαβ-++<；化为()()110x x αβ--<；又,0<>αβα，110αβ∴>>；∴不等式20cx bx a ++<的解集为：{x |11x βα<<}，故答案为：11βα⎛⎫⎪⎝⎭，【变式4-3】已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥ 【答案】A【解析】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<.故选：A【变式4-4】已知二次函数2y x bx c =++图象如图所示.则不等式230bx cx -+≤的解集为_________.【答案】(][),13,-∞-⋃+∞【解析】根据二次函数2y x bx c =++的图象可知，1,2-为方程20x bx c ++=的两根，故12,12b c -+=--⨯=，即1,2b c =-=-，则230bx cx -+≤即2230x x -++≤，也即2230x x --≥，()()310x x -+≥，解得3x ≥或1x ≤-.故不等式解集为(][),13,-∞-⋃+∞. 故答案为：(][),13,-∞-⋃+∞.题型五 一元二次不等式恒成立与有解问题【例5】“关于x 的不等式220x ax a -+>对x ∀∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）A ．01a <<B ．02a <<C ．102a << D ．1a >【答案】B【解析】由“关于x 的不等式220x ax a -+>对R x ∀∈恒成立”，可得()2240a a --<，解得：01a <<.故选：B ．【变式5-1】已知对任意[]1,3m ∈，215mx mx m --<-+恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1515∞∞⎛⎫-+-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．6,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1515-+⎝⎭【答案】D【解析】对任意[]1,3m ∈，不等式215mx mx m --<-+恒成立，即对任意[]1,3m ∈，()216m x x -+<恒成立， 所以对任意[]1,3m ∈，261x x m -+<恒成立， 所以对任意[]1,3m ∈，2min612x x m ⎛⎫-+<= ⎪⎝⎭，所以212x x -+<1515x -+<<， 故实数x 的取值范围是1515-+⎝⎭．故选：D ．【变式5-2】若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是（ ） A ．(0，1] B ．[0，1) C ．(,1]-∞ D ．(,1)-∞ 【答案】D【解析】当0a =时，不等式为210x +<，有实数解，满足题意；当0a <时，不等式对应的二次函数开口向下， 所以不等式2210ax x ++<有实数解，满足题意；当0a >时，要使不等式有实数解，则需满足440∆=->a ，解得01a <<， 综上，a 的取值范围是(,1)-∞.故选：D.【变式5-3】已知命题p ：“[1,5]x ∃∈，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．4a C ．4a > D ．4a >-【答案】A【解析】由题意不等式250x ax -->在[1,5]上有解，所以150a -->或25550a -->， 解得4a或4a <，所以4a <．故选：A ．题型六 利用基本不等式求最值【例6】已知0a >，0b >，则()28a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为___________.（人教B 版）【答案】18 【解析】0a >，0b >，()2828101021088128b a b a b a b a a b a b =++≥+⨯=⎛⎫∴+⎝⎭++= ⎪当且仅当28b aa b =，即2b a =时，等号成立，()28a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴的最小值为18，故答案为：18.【变式6-1】已知正实数a 、b 满足11m ab+=，若11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为4，则实数m 的取值范围是（ ）A ．{}2B ．[)2,+∞C ．(]0,2D ．()0,∞+ 【答案】B【解析】因为,a b 为正实数，11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=12abab 1224≥⋅=ab ab， 当1ab ab =，即1ab =时等号成立，此时有1b a =， 又因为11m ab+=，所以1am a，由基本不等式可知12a a +≥（1a =时等号成立）， 所以2m ≥.故选：B.【变式6-2】已知正实数a ，b 满足12a b +=，则12ab a+的最小值是（ ） A ．52 B ．3 C ．92D ．221 【答案】A【解析】因为12a b +=，所以12>0a b =-，所以02b << ，所以()122221+212112bbb b b a a b b b ⎛⎫-+=- ⎪-+-⎝⎭=，令21b t -=，则+12t b =，且13t -<< ， 所以+11111522+2++222222122t t t t t t ab a t =≥⋅=+=，当且仅当122t t =，即12t =，32,43b a ==时，取等号， 所以12ab a+的最小值是52.故选：A.【变式6-3】已知正实数x ，y 满足211x y +=，则436xy x y --的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．12 【答案】C【解析】解：由0x >，0y >且211x y +=，可得2xy x y =+，所以43648362xy x y x y x y x y--=+--=+()214424428y x y x x y x y x y x y ⎛⎫=++=++≥+⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当4y xx y =，即4x =，2y =时取等号．故选：C【变式6-4】下列命题中不正确的为（ ）①.若正实数a ，b 满足2a b +=，则222a b +的最小值为83②.已知0a >，0b >，21a b +=a b 2③.存在实数a ，b 满足2a b +=，使得33a b +的最小值是6 ④.若2x y +=，则11211x y +++的最小值为56A ．④B ．②④C ．③④D ．①② 【答案】A【解析】①正实数a ，b 满足2a b +=，故2b a =-，所以()22222228222344333a b a a a a a ⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，当23a =时，222283332a a b ⎛⎫=-+ +⎪⎝⎭取得最小值为83，故①正确；②因为0a >，0b >，所以)22221212a ba b ab ab a b =++=+≤++=，a b =(2a b ∈， a b 2，②正确； ③因为30,30a b >>，所以233233236a ba b a b ++≥⋅=⨯=，当且仅当33a b =，即1a b ==时，等号成立，故存在实数a ，b 满足2a b +=，使得33a b +的最小值是6，③正确； ④当1x =-，3y =时，满足2x y +=，此时111351211446x y +=-+=-<++， 故11211x y +++的最小值不是56；④错误故选：A题型七 基本不等式恒成立问题【例7】已知0,0x y >>且141x y +=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．{}|3x x ≤-}C ．{}|1x x ≥D ．{}|91x x -<< 【答案】D【解析】∵0,0x y >>，且141x y +=，∴1444()()5259y x y x x y x y xyxy x y+=++=++≥⋅=， 当且仅当3,6x y ==时取等号，∴min ()9x y +=，由28x y m m +>+恒成立可得2min 8()9m m x y +<+=，解得：91m -<<，故选：D.【变式7-1】已知实数x 、y 满足2241x y xy +-=，且不等式20x y c ++>恒成立，则c 的取值范围是（ ）A ．()23+∞，B 26⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．()32+∞， D ．(22-∞， 【答案】B【解析】2241x y xy +-=，225(2)151(2)8x y xy x y ∴+=+≤++，当且仅当2x y =时“=”成立，()2823x y ∴+≤26262x y ≤+≤又不等式20x y c ++>恒成立，260c ∴>，26c ∴> c ∴的取值范围是26⎫+∞⎪⎪⎝⎭．故选：B ．【变式7-2】若对任意正数x ，不等式22214a x x+≤+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)0,∞+B ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】依题意得，当0x >时，2222144x a x x x+=++ 恒成立，又因为44x x+，当且仅当2x =时取等号， 所以，24x x+的最大值为12，所以1212a +，解得a 的取值范围为1[,)4-+∞．故选：B【变式7-3】对任意12x ≤≤及13y ≤≤，不等式2220x axy y -+≥恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A ．92a ≤ B ．22a ≥ C ．113a ≤D ．22a ≤【答案】D【解析】依题意，对任意12x ≤≤及13y ≤≤，不等式2220x axy y -+≥恒成立等价于对任意12x ≤≤及13y ≤≤，2222x y x ya xy y x+≤=+恒成立. 设yt x=，则22x y t y xt +=+. 因为12x ≤≤，13y ≤≤， 所以1112x ≤≤，则132y x ≤≤，即132t ≤≤， 则22222t t tt+≥⋅当且仅当2t t=，即2t =时取等号， ∴22a ≤故选：D.【变式7-4】若关于x 的不等式4142x a x +≥-对任意2x >恒成立，则正实数a 的取值集合为（ ）A ．（－1，4]B ．（0，4）C ．（0，4]D ．（1，4] 【答案】C【解析】由题意可得4(2)1842x a x a-+--对任意2x >恒成立， 由0,2a x >>，可得4(2)122x a x -+-4(2)12x a x a-⋅-， 当且仅当4(2)12x a x -=-即2ax = 则844aa-，解得04a <.故选：C.【变式7-5】已知a >b >c ，若14m a b b c a c+≥---恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．8 D ．9 【答案】D【解析】由a b c >>，知0a b ->，0b c ->，0a c ->，由14m a b b c a c+---，得14()()ma c ab b c-+--， 又a c ab bc -=-+-，1414()()[()()]()a c a b b c a b a b b c∴-+=-+-+---4()4()5529a b b c a b b c b c a b b c a b----=+++⋅----，当且仅当4()a b b cb c a b--=--， 即2()b c a b -=-时，14()()a c a b b c -+--取得最小值9，9m ∴，m ∴的最大值为9．故选：D ．。

(名师选题)2023年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必考知识点归纳单选题1、设a<b<0，则下列不等式中不一定正确的是（ ） A ．2a >2b B ．ac <bc C ．|a|>－b D ．√−a >√−b 答案：B分析：利用不等式的性质对四个选项一一验证： 对于A ，利用不等式的可乘性进行证明； 对于B ，利用不等式的可乘性进行判断； 对于C ，直接证明；对于D ，由开方性质进行证明.对于A ，因为a<b<0，所以2ab >0，对a<b 同乘以2ab ，则有2a >2b ，故A 成立； 对于B ，当c>0时选项B 成立，其余情况不成立，则选项B 不成立； 对于C ，|a|＝－a>－b ，则选项C 成立；对于D ，由－a>－b>0，可得√−a >√−b ，则选项D 成立. 故选：B2、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ）A ．{x|x >1或x <−16}B ．{x |−16<x <1 }C ．{x|x >1或x <−3}D ．{x |−3<x <2 } 答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1 }．法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．3、已知实数a,b 满足a +b =ab (a >1,b >1)，则(a −1)2+(b −1)2的最小值为( ) A ．2B ．1C ．4D ．5 答案：A分析：将a -1和b -1看作整体，由a +b =ab (a >1,b >1)构造出(a −1)(b −1)=1，根据(a −1)2+(b −1)2≥2(a −1)(b −1)即可求解．由a +b =ab (a >1,b >1)得a +b −ab −1=−1，因式分解得(a −1)(b −1)=1， 则(a −1)2+(b −1)2≥2(a −1)(b −1)=2，当且仅当a =b =2时取得最小值． 故选：A ．4、已知x >2，则x +4x−2的最小值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．2 答案：A分析：利用基本不等式可得答案. ∵x >2，∴x −2>0， ∴x +4x−2= x −2+4x−2+2≥2√(x −2)⋅4x−2+2＝6，当且仅当x −2=4x−2即x =4时， x +4x−2取最小值6， 故选：A ．5、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立. 故选：C.6、已知0<x <2，则y =x√4−x 2的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．6 答案：A分析：由基本不等式求解即可 因为0<x <2， 所以可得4−x 2>0， 则y =x√4−x 2=√x 2⋅(4−x 2)≤x 2+(4−x 2)2=2，当且仅当x 2=4−x 2，即x =√2时，上式取得等号， y =x√4−x 2的最大值为2． 故选：A ．7、已知a,b 为正实数，且a +b =6+1a+9b ，则a +b 的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．12 答案：B分析：根据题意，化简得到(a +b )2=(6+1a +9b )(a +b )=6(a +b )+10+ba +9a b，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(a +b )2=(6+1a +9b )(a +b )=6(a +b )+10+ba +9a b≥6(a +b )+16，则有(a +b )2−6(a +b )−16≥0，解得a +b ≥8，当且仅当a =2，b =6取到最小值8. 故选：B.8、关于x 的不等式ax 2−|x|+2a ≥0的解集是(−∞,+∞)，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[√24,+∞)B ．(−∞,√24]C ．[−√24,√24]D ．(−∞,−√24]∪[√24,+∞) 答案：A分析：不等式ax 2−|x|+2a ≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x ∈R ，ax 2−|x|+2a ≥0恒成立，即a ≥|x |x 2+2，分x =0和a ≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案. 解：不等式ax 2−|x|+2a ≥0的解集是(−∞,+∞)， 即对于∀x ∈R ，ax 2−|x|+2a ≥0恒成立， 即a ≥|x |x 2+2，当x =0时，a ≥0， 当a ≠0时，a ≥|x |x 2+2=1|x |+2|x |，因为1|x |+2|x |≤2√x ⋅2|x|=√24， 所以a ≥√24， 综上所述a ∈[√24,+∞). 故选：A.9、若对任意实数x >0,y >0，不等式x +√xy ≤a(x +y)恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．√2−12B ．√2−1C ．√2+1D ．√2+12答案：D分析：分离变量将问题转化为a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，进而求出x+√xy x+y的最大值，设√yx =t(t >0)及1+t =m(m >1)，然后通过基本不等式求得答案.由题意可得，a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，则只需求x+√xy x+y的最大值即可，x+√xy x+y=1+√y x 1+y x，设√yx =t(t >0)，则1+√y x 1+y x=1+t1+t 2，再设1+t =m(m >1)，则1+√y x 1+y x=1+t 1+t 2=m 1+(m−1)2= m m 2−2m+2=1m+2m−2≤2√m⋅2m−2=2√2−2=√2+12，当且仅当m =2m ⇒√yx =√2−1时取得“=”.所以a ≥√2+12，即实数a 的最小值为√2+12. 故选：D.10、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（ ）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ， 解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16)故选：A11、若关于x 的不等式|x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－∞，1]B ．(－∞，1) C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞) 答案：D分析：根据充分条件列不等式，由此求得a 的取值范围. |x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则a >0，|x −1|<a ⇒1−a <x <1+a ，所以{1−a ≤01+a ≥4⇒a ≥3.故选：D12、若x >1，则x +1x−1的最小值等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D分析：将x +1x−1变形为x −1+1x−1+1，即可利用均值不等式求最小值.因为x >1，所以x −1>0，因此x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)⋅1x−1+1=3,当且仅当x −1=1x−1，即x =2时，等号成立，所以x +1x−1的最小值等于3. 故选：D. 双空题13、用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为________m ；高为________m . 答案： 32 3分析：先表示出框架的面积函数关系式，再利用基本不等式求最值可得设窗户的宽为x ，则其高为6−2x ，要使阳光充足，只要面积最大，S =x(6−2x)=2x(3−x)≤2×[x+(3−x)2]2=92，当且仅当x =32时等号成立，这时高为3m .所以答案是：(1). 32 (2). 3小提示：本题考查利用基本不等式求最值成立条件. 用基本不等式求最值问题:已知x >0,y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x =y 时，x +y 有最小值是2√p .(简记：积定和最小) (2)如果和x +y 是定值p ，那么当且仅当x =y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)14、若实数x ，y 满足x >y >0，且log 2x +log 2y =2，则2x +1y 的最小值为______；x−y(x+y )2的最大值为______.答案： √2 18分析：根据题意，x >y >0，且log 2x +log 2y =2，由对数的运算得出xy =4，利用基本不等式的性质直接求解可得2x +1y 的最小值，通过转化x−y(x+y)2=x−y(x−y)2+4xy =1(x−y)+16x−y，再运用基本不等式即可求得答案．解：∵log 2x +log 2y =2，∴xy =4， 实数x 、y 满足x >y >0，∴ 2x +1y ⩾2√2x ·1y =√2（当且仅当x =2√2，y =√2时等式成立），x−y (x+y)2=x−y (x−y)2+4xy =1(x−y)+16x−y⩽18，当且仅当x =2√2+2，y =2√2−2时等式成立． 所以答案是：√2，18．小提示：本题考查利用基本不等式求最值，涉及对数函数的运算，考查学生的转化思想．15、已知关于x 的不等式ax 2+4ax −3<0，若不等式的解集为{x |x <−3 或x >−1}，则a 的值为_________；若此不等式在R 上恒成立，则a 的取值范围为_________. 答案： −1 (−34,0]分析：由题意可得−3和−1是方程ax 2+4ax −3=0的两个根，然后利用根与系数的关系列方程组可求得a 的值；由于不等式在R 上恒成立，所以分a =0和a ≠0两种情况求解即可. 因为不等式ax 2+4ax −3<0的解集为{x |x <−3 或x >−1}， 所以−3和−1是方程ax 2+4ax −3=0的两个根，且a <0， 所以{−3+(−1)=−4aa −3×(−1)=−3a ，解得a =−1；因为不等式ax 2+4ax −3<0在R 上恒成立， 所以当a =0时，−3<0符合题意，当a ≠0时，则{a <0Δ=16a 2+12a <0，解得−34<a <0，综上，a 的取值范围为(−34,0]. 所以答案是：−1，(−34,0].16、若x ∈R 且x >0，则xx 2+1有最______值，且此最值是______． 答案： 大 12##0.5分析：由于x >0，故x +1x ≥2，进而x x 2+1=1x+1x≤12，进而得答案.解：因为x ∈R 且x >0，所以x +1x≥2√x ⋅1x=2，当且仅当x =1x=1等号成立，所以xx 2+1=1x+1x≤12故xx 2+1有最大值，最大值为12.所以答案是：大；1217、若x >0，则x +1x 的最小值为______，此时x =______． 答案： 2 1分析：由基本不等式可得．因为x >0，所以x +1x ≥2√x ⋅1x =2，当且仅当x =1x ，即x =1时等号成立． 所以答案是：2；1． 解答题18、已知x,y 都是正数，且x +y =1， （1）求1x +4y 的最小值； （2）求1x +x y 的最小值． 答案：(1)9 ；(2)3 .分析：(1) 利用1的代换将式子变形，再用基本不等式求最小值；(2) 先将式子中的1用x+y代换，展开整理，再用基本不等式求最小值.(1) 1x +4y=(x+y)(1x+4y)=5+4xy+yx.因为x,y都是正数，所以由基本不等式得，4x y +yx≥2√4xy⋅yx=4，所以1x +4y≥9，当且仅当x=13，y=23时等号成立.所以1x +4y的最小值为9 .(2) 1x +xy=x+yx+xy=1+yx+xy.因为x,y都是正数，所以由基本不等式得，y x +xy+≥2√yx⋅xy=2，所以1x +xy≥3，当且仅当x=12，y=12时等号成立.所以1x +xy的最小值为3.19、设f(x)=ax2+(1-a)x+a-2.(1)若命题“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式f(x)<a-1(a∈R).答案：(1)a≥13(2)答案见解析分析：（1）根据“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，知ax2+(1-a)x+a-2≥-2，即ax2+(1-a)x+a≥0，此时对a进行分类讨论，再结合判别式Δ即可求出a的范围.（2）由f(x)<a-1得ax2+(1-a)x+a-2<a-1，即ax2+(1-a)x-1<0，对a进行分类讨论，即可求出不等式f(x)<a-1的解集.（1）∵命题“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，∴ax2+(1-a)x+a-2≥-2恒成立，即ax2+(1-a)x+a≥0恒成立. 当a=0时，x≥0，不满足题意；当a≠0时，知{a>0，Δ≤0，即{a>0，(1-a)2-4a2≤0，解得a≥13.故实数a的取值范围为a≥13.（2）∵f(x)<a-1(a∈R)，∴ax2+(1-a)x+a-2<a-1，即ax2+(1-a)x-1<0.当a=0时，x<1，∴不等式的解集为{x|x<1}；当a>0时，ax2+(1-a)x-1<0⇒(ax+1)(x-1)<0，此时方程(ax+1)(x-1)=0的解分别为-1a，1，∵-1a <1，∴不等式的解集为{x|-1a<x<1}，当a<0时，不等式可化为(ax+1)(x-1)<0，①当a=-1时，-1a=1，∴不等式的解集为{x|x≠1}；②当-1<a<0时，-1a >1，此时不等式的解集为{x|x>−1a或x<1}；③当a<-1时，-1a <1，此时不等式的解集为{x|x>1或x<−1a}20、已知二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个：①y<0的解集为{x|−1<x<3}；②a=−1；③y的最小值为−4．(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求a，b，c的值；(2)求关于x的不等式y≥(m−2)x+2m2−3(m∈R)的解集．答案：(1)满足题意的条件为①③，a=1，b=−2，c=−3；(2)答案见解析﹒分析：(1)分别假设条件①②和条件②③符合题意，根据二次函数性质和题意即可判断满足题意的条件，根据二次函数的图象性质即可求出a、b、c的值；(2)化简不等式，根据m的范围讨论不等式解集即可．（1）假设条件①②符合题意．∵a=−1，二次函数图象开口向下，∴y<0的解集不可能为{x|−1<x<3}，不满足题意．假设条件②③符合题意．由a=−1，知二次函数图象开口向下，y无最小值，不满足题意．∴满足题意的条件为①③．∵不等式y<0的解集为{x|−1<x<3}，∴−1，3是方程ax2+bx+c=0的两根，∴−1+3=2=−ba ，−1×3=ca，即b=−2a，c=−3a．∴函数y=ax2+bx+c在x=−b2a=1处取得最小值，∴a+b+c=−4a=−4，即a=1，∴b=−2，c=−3．（2）由(1)知y=x2−2x−3，则y≥(m−2)x+2m2−3，即x2−mx−2m2≥0，即(x+m)(x−2m)≥0．∴当m<0时，不等式的解集为{x|x≤2m或x≥−m}；当m=0时，不等式的解集为R；当m>0时，不等式的解集为{x|x≥2m或x≤−m}．。