《高等流体力学》复习题
一、 基本概念
1． 什么是理想流体？正压流体，不可压缩流体？ [答]：教材P57
当流体物质的粘度较小，同时其内部运动的相对速度也不大，所产生的粘性应力比起其它类型的力来说可以忽略不计时，可把流体近似地看为是无粘性的，这样无粘性的流体称为理想流体。 内部任一点的压力只是密度的函数的流体，称为正压流体。
流体的体积或密度的相对变化量很小时，一般可以看成是不可压缩的，这种流体就被称为不可压缩流体。
2． 什么是定常场；均匀场；并用数学形式表达。
[答]：如果一个场不随时间的变化而变化，则这个场就被称为定常场。其数学表达式为：)(r ϕϕ=
如果一个场不随空间的变化而变化，即场中不显含空间坐标变量r ，则这个场就被称为均匀场。其数学表达式为：)(t ϕϕ=
3． 理想流体运动时有无切应力？粘性流体静止时有无切应力？静止时无切应力是否无粘性？为什么？ [答]：理想流体运动时无切应力。
粘性流体静止时无切应力。但是，静止时无切应力，而有粘性。因为，粘性是流体的固有特性。
4． 流体有势运动指的是什么？什么是速度势函数？无旋运动与有势运动有何关系？ [答]：教材P119-123
如果流体运动是无旋的，则称此流体运动为有势运动。
对于无旋流动来说，其速度场V 总可以由某个速度标量函数（场）),(t r φ的速度梯度来表示，即
φ∇=V ，则这个标量函数（场）),(t r φ称为速度场V 的速度势函数。
无旋运动与有势运动的关系：
势流运动与无旋运动是等价的，即有势运动是无旋的，无旋运动的速度场等同于某个势函数的梯度场。
5． 什么是流函数？存在流函数的流体具有什么特性？（什么样的流体具有流函数？） [答]：
6． 平面流动中用复变位势描述的流体具有哪些条件（性质）？ [答]：教材P126-127
理想不可压缩流体的平面无旋运动，可用复变位势描述。
7． 什么是第一粘性系数和第二粘性系数？在什么条件下可以不考虑第二粘性系数？Stokes 假设的基本
事实依据是什么？ [答]：教材P89
第一粘性系数μ：反映了剪切变形对应力张量的贡献，因此称为剪切变形粘性系数； 第二粘性系数μ’：反映了体变形对应力张量的贡献，因而称为体变形粘性系数。 对于不可压缩流体，可不考虑第二粘性系数。
Stokes 假设的基本事实依据：平均法向正应力ε就是压力函数的负值，即体变形粘性系数
03
2
=+=
'λμμ。
8． 从运动学观点看流体与固体比较有什么不同？ [答]：教材P55
若物质分子的平均动能远小于其结合能，即
E mv ∆<<2
2
1，这时物质分子间所形成的对偶结构十分稳定，分子间的运动被严格地限定在很小的范围内，物质的分子只能在自己的平衡位置周围振动。这时物质表现为固态。
若物质分子的平均动能与其结合能大致相等，即
E mv ∆≈2
2
1，
其分子间的对偶结构不断地遭到破坏，又不断地形成新的对偶结构。这时，物质分子间不能形成固定的稳定对偶结构，而表现出没有固定明确形状的液态。
若物质分子的平均动能远大于其结合能，即E mv ∆>>2
2
1，物质几乎不能形成任何对偶结构。这时，物质表现为气态。
9． 试述流体运动的Helmholts 速度分解定律。 [答]：教材P65
可变形流体微团的速度分解：流体微团一点的速度可分解为平动速度分量与转动运动分量和变形运动分量之和，这称为流体微团的Helmholts 速度分解定理
r S r V V δδω⋅+⨯+=0
10． 流体微团有哪些运动形式？它们的数学表达式是什么？ [答]：r S r V V δδω⋅+⨯+=0 1）平动运动：0V V = 2）转动运动：r δω⨯ V rot 2
1
=ω
3）变形运动：r S δ⋅
11． 描述流体运动的基本方法有哪两种？分别写出其描述流体运动的速度、加速度的表达式。 [答]：教材P58-60
描述流体运动的基本方法：
1） 拉格朗日方法：对流体介质的每一质点进行跟踪，着眼于流体介质中的每个质点，需要对流体介质中
的每个质点进行区别。 各质点速度表达式：t
t c b a r t c b a V ∂∂=
)
,,,(),,,(
各质点加速度表达式：
2
2)
,,,(),,,(t t c b a r t c b a V
∂∂=•
2） 欧拉方法：定点观察描述流场的运动，着眼于空间的定点，而不是流体质点。
速度表达式：332132321213211321),,,(),,,(),,,(),,,(),(e t x x x u e t x x x u e t x x x u t x x x V t r V V ++=== 加速度表达式：V V t V V t V x u u t u r
V t V t r r t V dt V d j i j i )(∇⋅+∂∂
=∇⋅+∂∂=∂∂⋅+∂∂=∂+∂∂=∂∂∂+∂∂=
12． 什么是随体导数（加速度）、局部导数（加速度）及位变导数（加速度）？分别说明0=dt v d ，0=∂∂t
v
及()0=∇⋅v v
的物理意义？
[答]：教材P60
随体导数：流体质点在其运动过程中的加速度所对应的微商，叫做随体导数； 局部导数：流体位置不变时的加速度所对应的微商，叫做局部导数； 位变导数：质点位移所造成的加速度所对应的微商，叫做位变导数。
物理意义：0=dt v
d ：随体导数为0，流体质点在其运动过程中的加速度为0；
0=∂∂t v
：局部导数为0，流体位置不变时的加速度为0，流体是定常流动； ()0=∇⋅v v ：位变导数为0，流体质点位移所造成的加速度为0，流体速度分布均匀。
13． 什么是流体的速度梯度张量？试述其对称和反对称张量的物理意义。 [答]：教材P65-67
对流体微团M ，其中o r 处的速度为0V ，那么r 处的速度可以表示为 j j
x x V
V V δ∂∂+
=0，或者j j i i i x x u u u δ∂∂+
=0， 即)(0V r V V ∇⋅+=δ。这里，V x u
j
i ∇=∂∂为二阶张量，是速度的梯度，因此称之为速度梯度张量。
速度梯度张量分解为对称和反对称部分：S A x u V i
j +=∂∂=∇
反对称张量的物理意义：
反对称张量表征了流体微团旋转运动，所对应的矢量ω为流体微团的角速度矢量。
k ijk z v y w z u x w z v y w y
u x v z u x w y u x v A ωεωωωωωω=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂∂∂-∂∂-∂∂-∂∂∂∂-∂∂=0000) (21) (21) (210
) (21) (21)
(2101
21323
V rot e e e z y x 2
1
321=++=ωωωω
对称张量的物理意义：
对称张量表征了流体微团的变形运动。其中，对角线上的元素()321 , , εεε表示了流体单元微团在3个坐标轴上的体变形分量，而三角元素⎪⎭
⎫ ⎝⎛3212
1 ,21 ,2
1
θθθ表示了流体单元微团在3个坐标平面上的角变形分量的一半。
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=31212
32312
121212
1212
1
) (21) (21) (21) (21) (21) (21 εθθθεθθθεz w z
v y w z u x w z v y w y v y u x v z u x w y
u x v x u A y
u
∂∂x
w ∂∂-z
v ∂∂-反对称部分
Z z
∂
14． 流体应力张量的物理意义是什么？它有什么性质？ [答]：教材P71
流体应力张量的物理意义：
应力张量表示了坐标面的三个面力密度矢量z y x p p p
, ,的九个分量}{ij p 组成的一二阶张量，即为面力密度张量。
应力张量的性质：应力张量是对称张量，具有对称性 应力张量具有二阶对称张量的性质
(1) 应力张量的几何表示为应力椭球面，即二次型
1222)(222=+++++=⋅⋅zx p yz p xy p z p y p x p r P r zx yz xy zz yy xx
(2) 应力张量有三个互相垂直的主轴方向，即是应力椭球的三个对称的直径的方向。在主轴坐标系下，应力张量具有标准形式：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛='0
00'0
00'332211p p p P (3) 应力张量的三个不变量为：
反对称部分
⎪⎩⎪⎨⎧+--++=---++=++=223
11212332312232211331231233221132
12231223221111333322233
22111p p p p p p p p p p p p p p p I p p p p p p p p p I p p p I
15． 某平面上的应力与应力张量有什么关系？nm mn p p =的物理含义是什么？ [答]：教材P71
应力n p 与应力张量P 的关系：P n p n p ij n ⋅=⋅= ，即：空间某点处任意平面上的应力等于这点处的应
力张量与该平面法向单位矢量的左向内积。
nm mn p p =的物理意义：
i ji j j ji i j ij i n nm n p m m p n m p n m p m P n p ===⋅=⋅⋅=
)(
mn m p n p n P m =⋅=⋅⋅=
)(
应力张量的对称性，使得在以n 为法线的平面上的应力n
p
在 m 方向上
的投影等于（=）在以m 为法线的平面上的应力m
p 在 n
方向上的投影。
16． 流体微团上受力形式有哪两种？它们各自用什么形式的物理量来表达？ [答]：教材P68-71
（1）质量力，也称体力，这种力作用在物质中每个质点上，其大小与每个质点的质量成正比。作用于某物质体上质量力的合力将通过该物质体的质心。
δτρδ)(r F f = ， ⎰=τδτρ)(r F f )(r F 为质量力密度，与位置有关。
（2）面力，作用于流体微团表面S 上的力。 S p p n δδ= ， ⎰=S n S p p δ n p 为面力分布密度，P n p n p ij n ⋅=⋅=
17． 什么是广义的牛顿流体和非牛顿流体？ [答]：教材P86-87
牛顿内摩擦定律：流体微团的运动变形的的大小与其上所受的应力存在线性关系。
遵从或近似遵从牛顿内摩擦定律的一类流体称为牛顿流体。不遵从牛顿内摩擦定律的流体称为非牛顿流体。
广义牛顿内摩擦定律：偏应力张量的各分量与速度梯度张量的各分量间存在线性关系。 遵从或近似遵从广义牛顿内摩擦定律的一类流体称为广义牛顿流体。
18． 试述广义牛顿内摩擦定律的物理意义及相应的数学表达式？ [答]：教材P87
广义牛顿内摩擦定律的物理意义：偏应力张量的各分量与速度梯度张量的各分量间存在线性关系。 数学表达式：lk ijkl lk ijkl k
l
ijkl
ij a c s c x v c +=∂∂=τ，其中，二阶张量lk s 和lk a 市速度梯度张量的对称和反对称部分，而四阶张量ijkl c 称为动力粘性系数张量。
19． 什么是层流运动、紊流（湍流）运动和临界雷诺数？圆管中层流和紊流运动的速度分布规律是什么？ [答]：
层流流动是平稳有规律的流动状态，流体介质各部分之间分层流动，互不掺混，流体内部的微团具有连续而平滑的迹线，流场中各种有关物理量（参数）的变化较为缓慢，表现出明显的连续性和平稳性。
湍流流动是极不规则的流动形态，流体介质各部分之间，各层之间有着剧烈的掺混，其流体内部微团的运动迹线很不规则，杂乱无章，表征流体运动状态的各种物理量也表现出不同程度的跃变和随机性。
雷诺数：流体运动中，惯性力与粘性力的无量纲比值 μ
ρν
vd
vd
=
=Re 下临界雷诺数：从湍流状态到层流状态的转折点； 上临界雷诺数：从层流状态到湍流状态的转折点。 圆管中层流和紊流运动的速度分布规律： 层流：)(422
0r R l
p p u l --=
μ （1） 定常流动的速度沿径向的分布规律，由式（1）可以看出，流动截面上的速度分布是一抛物回转面。 湍流：光滑圆管中的速度分布：
394.5)lg(756.5**+=ν
yU U u
粗糙圆管中的速度分布与光滑圆管中的速度分布相同，只是改变方程的常数。
20． 流体的阻力可分为哪几种？管路中的阻力通常分为哪几种？
[答]：粘性时产生阻力的根本原因，依据阻力产生的不同机理，可分为：摩擦阻力和压差阻力。 管路中的阻力通常分为：沿程阻力（即摩擦阻力）和局部阻力。
21． 试说明粘性流体流动的三个基本性质。 [答]：教材P170-174 （1）粘性运动的有旋性
粘性流体运动时，有旋是绝对的，粘性流体的无旋运动是不存在的。 （2）运动过程中有能量的损耗性
在粘性流动中永远伴随着机械能的损耗。这部分能量转换成热能形式传递给流体介质及相邻的固壁，使其温度升高而耗散。 （3）粘性涡旋运动的扩散性
在粘性流体中，涡旋强的地方要向涡旋弱的地方传送涡量，直至涡量相等为止。
22． 使流体涡量产生变化的因素有哪些？其中哪些是流体运动的内在因素，哪些是外在因素？ [答]：流体涡量产生变化的因素有：（1）质量力无势；（2）流体不正压；（3）粘性剪切应力；（4）流体微团的体积变化；（5）流体涡线微元的变形（涡线的拉伸、压缩、扭曲）。
其中，流体运动的外在因素为：（1）质量力无势；（2）流体不正压；（3）粘性剪切应力。
内在因素为：（4）流体微团的体积变化；（5）流体涡线微元的变形（涡线的拉伸、压缩、扭曲）。
23． 试说明层流边界层和湍流边界层的速度分布特征。 [答]：层流边界层：层流边界层内的速度分布呈线性分布规律；
湍流边界层：分为层流底层和湍流核心区。层流底层内的速度分布呈线性分布，湍流核心区速度分布呈对数分布规律。
24． 试述雷诺应力j i u u ''-ρ的物理意义及其与分子粘性应力的异同。 [答]：教材P230
雷诺应力j i u u ''-ρ的物理意义：在湍流运动中，由脉动速度引起的应力，称之为雷诺应力。 雷诺应力与分子粘性应力的异同：
相同：都是由于分子动量传递产生的应力，都是剪切应力。
不同：（1）引起动量传递的原因不同（雷诺应力：分子脉动；分子粘性应力：分子热运动）；
（2）分子粘性应力与粘性这一物质固有属性有关，而雷诺应力取决于流体的流动特性，与流场性质有关，与所处位置和时均速度有关。
25． 试述平板湍流边界层的结构及其速度分布特征。 [答]：教材P241-242
结构：沿壁面法向，在板面附近有层流子层流区，其速度呈线性分布（01.0=<δ
y
）
，而后为很小的过渡区，接着为湍流核心区。
结构：层流子层流区 过渡区 湍流核心区； 内层：粘性底层 过渡区 湍流核心区； 外层：粘性顶层及边界层其余部分。 速度分布特征：
层流子层流区（80*
≤<
ν
yU ）：
ν
*
*yU U u x =，速度呈线性分布； 过渡区：308*
≤<
ν
yU 湍流核心区（ν
*
30yU <）：
9.4)lg(6.5**+=ν
yU U u x ，速度呈对数分布。
二、 推导及证明
1． 根据质量守恒定律推导连续性方程。 [证明]：教材P78-79
根据物理学中的质量守恒定律，由某封闭的物质面S 所围成的体积τ中的物质在运动过程中不消灭也不创生，即使说，在运动过程中由物质面S 所围成的体积τ中的流体介质的质量保持不变，是守恒的。 在体元素δτ中，若流体介质的密度为ρ，那么其质量就为ρδτδ=m ，于是有限体积τ中的质量m 为
⎰=τ
ρδτm （1）
根据质量守恒定律的物理含义：体积τ中的质量m 在其运动过程中保持不变，这意味着，质量m 的
随体导数为零，即
0)(==⎰τ
ρδτdt d
dt dm （2） 由物质体元素的随体导数表达式 V dt d ⋅∇=δτδτ 知 δτρρ
ρδτττ
⎰⎰⋅∇+=)()(V dt d dt d （3）
于是由式（2）有 0)(=⋅∇+⎰δτρρ
τV dt
d （3）
即 0])([
=⋅∇+∂∂⎰δτρρ
τ
V t
（4） 考虑到奥-高公式（
⎰⎰=S
V
n
V u div S u δδ）有
0⎰⎰⎰⎰=+∂∂=⋅+∂∂S v t S V n t n S δρδτρδρδτρτ （5）
式（3）到式（5）都可称之为积分形式的连续方程。
由式（3）和式（4）的被积函数为零可直接得到微分形式的连续方程：
0=⋅∇+V dt d ρρ
（6） 0)(=⋅∇+∂∂V t
ρρ
（7）
2． 根据动量定律推导出微分形式的运动方程。 [证明]：教材P80-81
封闭曲面S 所围成的体积τ中流体物质体的动量为体积分：⎰τ
δτρV
，
其变化率就是体积分的随体导数：⎰τ
δτρ)(V dt d
，
而该物质体τ上所受外力为其上的质量力：⎰τ
δτρF 和面力：S P n S p S
S
n δδ
⎰⎰⋅= ，
由动量定理得：⎰⎰⎰⎰⎰⋅+=+=s
s n S P n F S p F V dt d
δδτρδδτρδτρτττ ，
因为
δτρρ
δτρδτρδτρρδτρδτρδτρτττττττ)()()()()(V dt
d V dt V d V V dt
d V dt V d dt d V V dt d V dt d
⋅∇++=⋅∇++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 由连续性方程知，0)(=⋅∇+⎰δτρρτV dt
d V
，
所以⎰⎰⎰⎰⎰⋅+=+=s
s n S P n F S p F dt V
d δδτρδδτρδτρτττ
，
又⎰⎰⎰⎰+∂∂=∇⋅+∂∂=s
n S V v t V V V t V dt V d δρδτρδτρδτρτττ)( 得到S p F S V v t V
S n s
n δδτρδρδτρ
ττ
⎰⎰⎰⎰+=+∂∂
由奥-高公式⎰⎰
⋅∇=⋅τ
δτδP S P n S
所以，δτδτρδτρτττP F dt
V
d ⋅∇+=⎰⎰⎰
于是得到微分形式的动量方程P F dt
V
d ⋅∇+=
ρρ
3． 根据能量守恒定律推导出微分形式的能量方程。 [证明]：教材P83-85
4． 试推导出运动方程的Bernoulli 积分和lagrange 积分。 [证明]：教材P108-109
5． 在不可压缩流体中，若流线是11c f =和22c f =两曲面的交线。试证明：
()()2121,f f f f F V ∇⨯∇= ，其中F 是1f 和2f 所决定的函数。
[证明]：设 构成曲线坐标系，于是 满足：
由题设：流线是 两曲面的交线，那么速度场 的方向将同时垂直于 的梯
度方向。因此： 于是速度场可以表示为： 即要证明F 不显含 f 3 :
而
又
所以， 也就是说F 中不显含 f 3。于是，有：()()2121,f f f f F V ∇⨯∇=
。 此题得证。
6． 证明不可压缩理想流体作二维定常流动时，忽略质量力，其流函数ψ和涡旋Ω满足
()()0,,=∂Ω∂y x ψ，若Ω为常数，则压力方程为=Ω++ψρ22v p 常数。 [证明]：由： P F V V t V ⋅∇+=⨯Ω+∇+∂∂ρ1)2( 2
理想、定常、忽略质量力 p V V ∇-=⨯Ω+∇ρ
1
)2(2
321,,f f f 321,,f f f 0
)
,,()
,,(321321≠∂∂x x x f f f 11c f =22c f =V
21 ,f f 2
1//f f V ∇⨯∇ ))(,,(21321f f f f f F V ∇⨯∇= 03
=∂∂f F
)])(,,([21321=∇⨯∇⋅∇=⋅∇f f f f f F V
)
( ),,()(),,(2132121321f f f f f F f f f f f F V ∇⨯∇⋅∇+∇⨯∇⋅∇=⋅∇
0)()()(211221=∇⨯∇⋅∇-∇⨯∇⋅∇=∇⨯∇⋅∇f f f f f f )
(),,(21321f f f f f F V ∇⨯∇⋅∇=⋅∇
)()(
21332211f f f f F f f F f f F ∇⨯∇⋅∇∂∂+∇∂∂+∇∂∂=0)(2133
=∇⨯∇⋅∇∂∂=f f f f F 3
3231
3
32221
2
3
1211
1
x f x f x f x f x f x f x f x f x f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇⨯∇⋅∇)(213f f f 0
)
,,(),,(321321≠∂∂=x x x f f f 03
=∂∂f F
0)2(2=⨯Ω++∇V p
V ρ
两边取旋度 0)])2(
[2=⨯Ω++∇⨯∇V p
V ρ
0)()()()()(=∇⋅Ω-Ω∇⋅+Ω⋅∇-⋅∇Ω=⨯Ω⨯∇V V V V V
不可压 0)(=⋅∇ΩV 蜗旋场无源 0)(=Ω⋅∇ V 二维流动 0)(=∇⋅ΩV 0)(=Ω∇⋅
V 0=Ω∇⋅V 0=∂Ω
∂⋅+∂Ω∂⋅
y
v x u 0=∂Ω∂⋅∂∂-∂Ω∂⋅∂∂y
x x y ψψ 0)
,()
,(=∂Ω∂y x ψ
由： 0)2(
2=⨯Ω++∇V p
V ρ
（1） )()()(x y x y y x z e x
e y e v e u e v e u e V ∂∂+∂∂Ω=-Ω=+⨯Ω=⨯Ωψψ
由于，Ω为常数：)()()(ψψψΩ∇=∂Ω∂+∂Ω∂=
⨯Ωx y e x
e y V
代入（1），得： 0)2(
2=Ω++∇ψρp
V 两端积分，得：
C p
V =Ω++ψρ
22
7． 进行圆管中流体摩擦试验时，发现圆管中沿轴向的压降p ∆是流速u 、密度ρ、粘性系数μ、管长l 、管内径d 及管壁粗糙度d h k ∆=
的函数，而且p ∆与l 成正比。试用因次分析方法证明2
2
1u d l p ρλ
=∆，其中()Re ,k λλ=为无因次系数。
[证明]：由题意可假设存在关系 γ
βαρλu d l k p 1
Re),(=∆ （1）
相应各量的量纲（因次）为：[]2]][[][T L M p =∆ αα][][L d = ββρ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=3][L M γ
γ
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=T L u ][ 式（1）对应量纲的协调条件为：γγβαβT L M T L M -+-+=][][][][][][31-2
-1
1
于是，对于M 量纲，有： 1=β
T 量纲，有： 2-=-γ 2=γ L 量纲，有： 131-=+-+γβα
1-=α
将：1-=α 1=β 2=γ 带入（1）式，得：2
2
1u d l p ρλ=∆ 此题得证。
8． 试从运动方程：P F dt V d ⋅∇+=
ρρ 和本构关系)31
(2I V S pI P ⋅∇-+-=μ 推导出：粘性不可压缩流体的运动方程为： V p F dt V d
∆+∇-=νρ
1
如果体力有势即G F -∇= 则有： Ω∆=∇⋅Ω-Ω
νV dt
d )( [证明]：（1）将本构关系带入运动方程： ) 31
(2I V S p F dt V d
⋅∇-⋅∇+∇-=μρρ 考虑到不可压缩流体 0=⋅∇V 上式为：S p F dt V
d ⋅∇+∇-=νρ
21
V x u x x u x u x x u x x u x u x S i i j i j j i i i j i j i i j i
∆=∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=⋅∇2
1)(21)(21)(2122
V p F dt V
d
∆+∇-=νρ
1 （2）考虑到体力有势：V p G dt V d
∆+∇--∇=νρ
1
)()2
()(V V V
V t V V V t V dt V d
⨯∇⨯-⋅∇+∂∂=∇⋅+∂∂=
V V p
G V t V
∆=Ω⨯-++∇+∂∂νρ
)2(2 两边取旋度：
V V t
V
∆⨯∇=Ω⨯⨯∇-∂∂⨯∇ν)(
Ω∇⋅-⋅∇Ω-∇⋅Ω+Ω⋅∇=Ω⨯⨯∇ )()()()()(V V V V V
旋度无源：0)(=Ω⋅∇ V ， 不可压0)(=⋅∇ΩV
所以，Ω∇⋅-∇⋅Ω=Ω⨯⨯∇
)()()(V V V
Ω∆=Ω∇⋅+∇⋅Ω-∂Ω
∂
ν)()(V V t
由于dt
d V t Ω=Ω∇⋅+∂Ω
∂
)( 所以，可得：Ω∆=∇⋅Ω-Ω
νV dt
d )( 证毕。
9． 证明对粘性不可压缩流体定常运动，若外力有势ξ，则有：222
)2
1
)(1
(ζξρν
=++∂∂-
∇V p s V
其中s 为沿流线的弧元素，ζ为涡量，ν为运动粘性系数，V 为流体速度，
p 为压力函数，ρ 为密度。
[证明]：Ω⨯∇-+-∇=Ω⨯∇-∇-=⨯Ω+∇+∂∂
νρ
ξνρ)(1)2(2p
p F V V t V
Ω⨯∇-=++∇+⨯Ω νρ
ξ)2(2p
V V （1）
在(1) 两边同以流线切线方向的单位向量s e
作左向内积：
)()2()]2([22Ω⨯∇⋅-=++∂∂=++∇+⨯Ω⋅
V V V p s p V V e s νξρρξ
)()2
(2
Ω⨯∇⋅-=++∂∂ V V p s V ξρν （2）
(1) 两边同求散度：
0)]2([2=++∇+⨯Ω⋅∇ρ
ξp V V
0)2()(22=++∇+⨯Ω⋅∇ρ
ξp V V 0)2()()(22=++∇+Ω⨯∇⋅+⨯∇⋅Ω-ρ
ξp V V V
)()2(2
22
Ω⨯∇⋅-Ω+=++∇ V p V ρ
ξ （3）
（3）—（2），得:
222)2
1
)(1(Ω=++∂∂-∇v p s v ξρν
10． 证明：不可压缩流体的二维运动，外力有势时流函数ψ 满足：ψ∇=∂ψ∇ψ∂+
ψ∇∂∂422)
,()
,(νy x t 其中，
)()(),()
,(222ψ∇∂∂
ψ∇∂∂∂ψ∂∂ψ∂=∂ψ∇ψ∂y
x
y x y x
[证明]：粘性不可压缩流体涡旋运动方程：（见教材 6.2-4式）
∆Ω=∇⋅Ω-ΩνV dt d )( ∆Ω=Ω
νdt
d ∆Ω=∂Ω∂+∂Ω∂+∂Ω∂νy
v x u t 考虑流函数 y u ∂∂=
ψ x v ∂∂-=ψ
旋度计算式 ψ2-∇=∂∂-∂∂=
Ωy
u x v )()()(2222ψνψψψψψ-∇∆=-∇∂∂
∂∂--∇∂∂∂∂+∇∂∂-=∂Ω∂+∂Ω∂+∂Ω∂y
x x y t y v x u t 两边取负号
二维运动
Ψy x ΨΨΨt 422)
,(),(∇=∂∇∂+∇∂∂ν
三、 计算题
1． 在柱坐标系下，2cos r v r θ=
，2sin r
v θ
θ=，0=z v ，求流线族。 [解]：柱坐标系下的流线方程为：
z
r v dz
v rd v dr ==θθ 所以，
2
2sin cos r rd r dr θθ
θ= 即，
θθθsin cos rd dr =， 因此，有：θθ
θsin cos d r dr =
即：θ
θsin sin d r dr =
所以，有：C r +=θsin ln ln 即，C r =-θsin ln ln C r =θsin ln
1sin C r
=θ
所以，流线族为：⎪⎩
⎪⎨⎧==21
sin C
z C r
θ
2． 在直角坐标系下，t x u +=，t y v +-=，0=w ，求流线族和迹线族。 [解]：直角坐标系下，流线为：
w
dz
v dy u dx =
= 所以，
t
y dy
t x dx +-=+ 即，C t y t x ++-=+)ln()ln(
亦即，C t y t x =-++)ln()ln( C t y t x =-+))(ln( 1))((C t y t x =-+
所以，流线族为：⎩⎨
⎧==-+2
1
))((C z C t y t x
求迹线族：⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧=+-==+==0dt dz
t y v dt
dy
t x u dt dx
所以，迹线族为：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--+=-321)(1)(1)(C t z t e C t y t e C t x t t
3． 在球坐标系下，θcos 33⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞r a V v r ，θθsin 2133⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=∞r a V v ，0=ϕv ，试证明：a r = 是流面。
[解]：
4． 设有一定常流动为：z y u 2+= z x v 2+= y x w +=
求：速度梯度张量，变形速度张量，应力张量，偏应力张量以及作用在球面12
2
2
=++z y x 上的合力。（设流体介质的动力粘性系数为μ，压力函数为p ）
[解]：速度梯度张量 ⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=
∇022101110z w z v z
u y w y v y
u
x w x v x
u
x u V i j
应力张量 ⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=++-=+-=p p p s s p p P ij kk ij ij ij ij μμμμμμδμδτδ333232)31
(2
偏应力张量 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=+=033302320
)31
(2μμ
μμ
μμδμτij kk ij ij s s 变形速度张量 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=02
3
23
2301
2310)(21)(21)(21)
(21)(21)(21z w y
w z v x w z u z v y w y v x v
y u z u x w y
u x v x u
S 球面上的合力
s P e F S
r δ⋅=⎰
i z y x r e e e e αϕθϕθϕ=++=
cos sin sin cos sin
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---==p p p p P ij μμμμμμ333232
⎰⎰
⎰==π
π
δθαϕδϕ
δα0
20
sin ij i ij S
i p s p F
δθϕμθϕμθϕϕδϕ
π
π
)cos 3sin sin 2cos sin (-sin 0
20⎰⎰++=p e x δθϕμθϕθϕμϕδϕ
π
π
)cos 3sin sin -cos sin (2sin 0
20⎰⎰++p e y δθϕθϕμθϕμϕδϕ
π
π
)cos sin sin 3 cos sin (3sin 0
20
⎰⎰
-++p e z
δθϕμθϕμθϕϕδϕ
π
π
)cos 3sin sin 2cos sin (-sin 0
20⎰⎰++=p e F x δθϕμθϕθϕμϕδϕ
π
π
)cos 3sin sin -cos sin (2sin 0
20⎰⎰++p e y δθϕθϕμθϕμϕδϕ
π
π
)cos sin sin 3 cos sin (3sin 0
20
⎰⎰
-++p e z
高等流体力学 高等流体力学是研究流体运动的一门学科，涉及到流体的物理、数学和工程学知识。在高等流体力学的研究中，我们需要了解流体的性质、流体流动的基本方程和变量，以及流体在不同条件下的行为。 在高等流体力学的研究中，我们主要关注流体穿过各种障碍物时的流动和流体的稳定性问题。首先，我们需要了解导致流体流动的原因。在我们的日常生活中，我们可以看到流体穿过各种障碍物时的流动，如水管中的水流、喷泉中的水流、空气穿过机翼时的流动等。这些流体流动受到各种因素的影响，如流体的黏性、密度、速度、压力等等。 流体在不同条件下的行为是高等流体力学研究的重点。在流体力学中，我们可以使用流体的基本方程来描述流体在不同条件下的行为。这些方程包括连续性方程、动量方程和能量方程。这些方程可以帮助我们理解流体在不同情况下的行为，并预测流体的运动趋势。 在高等流体力学的研究中，我们需要探讨流体流动的稳定性问题。流体流动的稳定性是指流体流动是否会在运动中不断扰动并最终变为混沌状态。在高等流体力学的研究中，我们需要通过分析流体在不同条件下的稳定性来预测流体流动的发展趋势。 在高等流体力学的研究中，我们还需要掌握一些数值方法和实验技术。数值方法可以帮助我们模拟流体流动的行为，并预测流体的运动趋势。实验技术可以帮助我们验证理论和预测，并
提供流体性质和流体流动的数据。 总之，高等流体力学是一门复杂而有关键性的学科。通过研究流体运动的基本方程和变量，以及探索流体流动的稳定性问题，我们可以更深刻的理解流体的性质和行为，并用数值方法和实验技术来验证我们的理论和预测。在高等流体力学的研究中，有一些流体流动的现象和实际应用十分广泛。下面我们将一一探讨。 首先，是流体的湍流流动。湍流是流体流动的一种不稳定状态，流体在湍流状态下会出现不规则的涡旋和强烈的乱流。湍流的出现是由于流体在高速流动或流动中受到障碍物的影响而产生的。在许多实际应用中，如机械运动、空气动力学和海洋运动等，湍流是一个非常重要的研究对象。研究湍流的机理和控制方法，可以有助于我们更好地理解许多实际问题，并提高许多应用的效率。 其次，是气体和液体的两相流动。在现实生活中，我们经常会遇到气体和液体同时存在的情况，如汽车发动机燃烧时产生的混合气，水泵中的水气混合物。气液两相流动的行为比单相流动更加复杂，因为两相之间会产生相互作用，例如气泡和液滴产生的阻力和碰撞等。这种两相流的研究在许多应用中都非常实用和必要，如化学反应器、油井钻采过程中的气液混合流、风力发电中的风涡浮力等。 除此之外，还有边界层流动、回流流动、旋波流动等流体力学现象和问题都具有高度的实用价值。这些流动现象通常涉及到
概念 第一章绪论 连续介质：但流体力学研究的是流体的宏观运动，不以分子作为流动的基本单元，而是以流体质点为基本单元，把流场看做是由无数流体质点组成的连续体。 流体质点：流场中一个体积很小并可以忽略其几何尺寸，但与分子相比，这个体积可容纳足够多的分子数目的流体元，有一个稳定的平均特性，即满足大数定律 理想流体：忽略流体黏性的流体，即μ=0. 可压缩流体与不可压缩流体：简单地讲，密度为常数的流体为不可压缩流体，如水、石油及低速流动的气体。反之，密度不为常数的流体为可压缩流体。牛顿流体与非牛顿流体：根据流体流动时切应力与流速梯度之间的关系，即牛顿内摩擦定律。凡是符合牛顿内摩擦定律的成为牛顿流体，如水、空气、石油等。否则为非牛顿流体，如污泥、泥石流、生物流体、高分子溶液等 动力粘度与运动粘度：动力粘度又成为动力黏度系数，动力黏度是流体固有的属性。运动粘度又称为运动粘性系数，运动黏性系数则取决于流体的运动状态 体积力与表面力：体积力亦称质量力，是一种非接触力，即外立场对流体的作用，且外立场作用于流体每一质点上，如重力、惯性力、离心力。表面力是一种表面接触力，指流体与流体之间或流体与物体之间的相互作用，主要指压力、切应力、阻力等 定常流与非定常流：又称恒定流与非恒定流。若流场中流体质点的所有运动要素均不随时间变化，则这种流动称为定常流；反之只要有一个运动要素随时间变化则为非定常流 大气层分为5层：对流层、同温层、中间层、电离层及外逸层 第二章流体运动学 描述流体质点的位置、速度及加速度的两种方法，即拉格朗日法和欧拉法 质点导数：亦称随体导数，表示流体质点的物理量对时间的变化率，亦即跟随流体质点求导数 那布拉P9 流体质点的运动轨迹称为迹线 流线：此曲线上任一点的切线方向就是该点流速方向 依照一定次序经过流场中某一固定点的各个质点连线称为脉线，也叫序线。流体线：在流场中任意指定的一段线，该段线在运动过程中始终保持由原来那些规定的质点所组成。
2011—2012学年第一学期 硕士研究生《高等流体力学》试题 班级 姓名 学号 成绩 一、已知流体质点000(,,)x y z 的空间位置如下：0x x =，()200e 1t y y x -=+-，()300e 1t z z x -=+-。 试求：（1）各速度分量的欧拉表示；（2）各加速度分量的拉格朗日表示和欧拉表示；（3）过点（1，1，1）的流线方程，0t =时在000(,,)x y z =（1，1，1）处的流体质点的迹线方程；（4）速度的散度和旋度；（5）变形速率张量和旋转角速度张量。（20分） 二、已知作用于流体上的单位质量力分布0,0.1,0.5x y z f f f z ===，流体的密度22x z ρπ=+。若平行六面体的两个对角顶点的坐标分别为（0,0,0）和（3,2,4），坐标的度量单位为m ，试求作用于该平行六面体上质量力的三个分量,,x y z F F F 。（10分） 三、已知速度势函数22 x x y φ= +。试求相应的流函数ψ。（8分） 四、已知某一流场的复势函数为1()ln W z m z z ?? ???=-，试分析该流动由哪些基本流动组成（要求说明基本流动所在的位置和特征量的大小）。（6分） 五、求题图五所示流场的复势函数。（10分） 六、如题六图所示，无限大的倾斜平板上两层互不掺混的均质不可压缩流体在重力作用下做层流平行直线运动，平板与垂直方向的夹角为α，两层流体的高度、粘性系数和密度分别为111,,h μρ和222,,h μρ。试根据给定条件列出简化的x 和y 方向的运动方程，并写出求解所需的边界条件。（10分） 题五图 题六图 七、假定平板层流边界层内的速度分布为202u y y u δδ????=- ? ????? ，试推导无压差流动的边界层厚度、排挤厚度和动量损失厚度公式。若平板的长度为l ，宽度为b 。试求绕流平板的摩擦阻力系数和总阻力。（20分） 八、简述湍流的基本特征；分别写出根据布辛涅斯克涡粘性假设和普朗特混合长度理论所建立的雷诺应力与时均速度的关系式，以及由此得到的涡（湍流）粘性系数和混合长度的表达式。（8分） 九、何谓边界层？其厚度是如何定义的？它对研究绕流物体的流动具有何意义？边界层分离现象是如何发生的？（8分）
第一讲绪论 习题： 1.综述流体力学研究方法及其优缺点。 2.试证明下列各式： (1)grad(φ±ψ)=grad(φ)±grad(ψ) (2) grad(φψ)=ψgrad(φ)+φgrad(ψ) (3)设r= x i+y j+ z k，则= (4) 设r= x i+y j+ z k，求div(r)=？ (5) 设r= x i+y j+ z k，则div(r4r)= ? 3.给定平面标量场f及M点处上已知两个方向上的方向导数和，求该点处的grad f 第二讲应力张量及应变张量 例2-1试分析下板不动上板做匀速运动的两个无限大平板间的简单剪切流动 ，， 式中k为常数，且k=u0/b。 解：由速度分布和式(2-14、16和17)可得 再由式(2-18)可得 所以II=k=u0/b。 流动的旋转张量R的分量不全为零说明流动是有旋流动，I=tr A=0表明流动为不可压缩流动，II=k表明了流场的剪切速率为常数。
第三讲流体的微分方程 习题：试由纯粘流体的本构方程和柯西方程推导纳维尔-斯托克斯方程（N-S方程）。 第四讲流动的积分方程 【例3－1】 在均匀来流速度为V的流场中放置一个垂直于来流的圆柱体，经过若干距离后测得的速度分布如图所示，假设图示的控制体边界上的压力是均匀的，设流体为不可压缩的，其密度为ρ，试求: (1)流线1-2的偏移量C的表达式； (2)单位长度圆柱体的受力F的表达式。 解： (1)无圆柱体时流管进出口一样大（即流线都是直线，无偏移），进出口的流速分布也是相同的，而放入圆柱体之后出口处的流速分布变成图示的那样，即靠近中心线部分的流速变小，由于已经假定流体是不可压缩的流体，若想满足进出口流量相同——连续性方程，必然会导致流管边界会向外偏移，也就是说出口处流管的截面会增大。因此，求解时可由进出口流量相等入手，设入口处平均流速为V，取宽度为L，所得的连续性方程应为： 求得C=a/2 (2)在流管的进出口截面1-1与2-2之间使用动量方程，即圆柱体的阻力应等于单位时间内流出2-2面的流体的动量与流入1-1面的流体的动量差，列x方向的动量方程可表示为 则，F=-R 【例3－2】试求如图所示的射流对曲面的作用力。 解：假设水平射流的流量为Q，因曲面对称且正迎着射流，则两股流量可以认为相等，等于Q/2。x方向动量方程为 。 所以，射流对壁面的作用力为
11. 理想流体在固体壁面处应满足的边界条件为（ ）。 a. 无滑移边界条件 b. 切向速度相等边界条件 c. 不可穿透边界条件 d. 可穿透边界条件 12. 速度势函数存在的条件是（ ① ），平面流函数存在的条件是（ ② ）。 a. ①无旋 ②不可压缩 b. ①定常 ②不可压缩 c. ①不可压缩 ②无旋 d. ①不可压缩 ②理想 13. 平面流动，速度势函数φ，满足拉普拉斯方程：20φ?=的条件是流体是（ ）。 a. 无旋 b. 不可压缩 c. 定常 d. 理想 14. 下面关于点涡()ln F z ic z =-，叙述不正确的是（ ）。 a. 速度随着与原点距离增加而减少 b. 沿任封闭曲线的速度环量为零 c. 除奇点外，流动是无旋的 d. 可以认为所有的涡量都集中在奇点 15. 在流体中作加速运动的圆球，其虚拟质量相当于（ ）。 a. 圆球质量的一半 b. 圆球所排开流体质量的一半 c. 圆球质量的两倍 d. 圆球所排开流体质量两倍 二、填空题（每题5分，共计25分） 1. 已 知 速 度 势 函 数 32 3x xy φ=-，则流函数 ψ= 。 2. 如图2所示，设在z = z 0点有一强度为Γ的点涡， ()()0ln 2i f z z z π Γ =- -, 若在实轴处插入壁面，则新的复位势为： 3. 如图3所示，有一个很大的容积里盛满了水，在容器侧面距离水表面h 的器壁上开一小孔，水从小孔流入大气，水和大气均视为理想流体，重力加速为g ，则小孔射流速度v= 图2 4. 一不可压缩流体的流动，在x 方向的速度分量是 2 u x by =+，z 方向速度分量为零，式中b 为常数，已知y=0处v=0，则y 方向的速度分量v= 。 5. 已知某流场的速度分布为：u=yzt ，v=xzt ， w=xyt 。则当t=1时，点（1, 2, 2）处y 方向的加速度a y = 。 三、问答题（每题15分，共计45分） 1. 已知欧拉参考系中，u=-x ，v=y ，初始时刻t=0时，x=x0，y=y0，求流线和迹线。 2. 在P 点的应力张量由下式给出： 702050204-?? ?∑= ? ?-?? 求（1）在P 点与法线单位矢量(2/3,2/3,1/3)n =-v 垂直的平面上的应力矢量n p v ； （2）应力矢量在法线方向的分量nn σ； 3. 在xy 平面内（-a ，0）点放置一强度为Q 的点源，在（0，a ）放置一等强度的点汇，上述点源和点汇与沿x 轴、速度为U 的均匀来流叠加。请写出复位势方程，并求出驻点位置。 图3 ? ? Q Q -h L U a a Γ ??0 z -Γ0z
扩散：指流体在没有对流混合情况下，流体由分子的随机运动引起的质量传递的一种性质。 本构方程：是反应物体的外部效应与内部结构之间关系的方程。对动力的粘性流体而言，外部黏性应力与内部变形速度之间的关系成为本构方程。 变形速度张量：[]⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx s εεεεεεεεε,,,,,,,其中，z y v x zz yy xx ∂∂= ∂∂=∂∂=ω εεμε,,， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==x v y yx xy μεε21，⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==z x zx xz μωεε21，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==y z v zy yz ωεε21 雷诺应力：在不可压缩流体的雷诺方程中，j i -μμρ称为雷诺应力（i ，j>1,2,3）当i=j 时为法相雷诺应力，不等时称为均向雷诺应力。 镜像法：是确定干扰后流场的方法之一，是一种特别的奇点法。 粘性：流体微团发生相对滑移时产生切向阻力的性质。 不可压缩流体： 0=Dt D ρ 的流体称为不可压缩流体。不可压缩均质流体：C =ρ 可压缩流体：密度随温度和压强变化的流体称为可压缩流体。 紊流：是一种随机的三维非定常有旋流动。紊流的基本特征：1，不规则流动状态；2，参数随时间空间随机变化；3，空间分布大小形状各不相同漩涡；4，具有瞬息万变的流动特征；5，流动参数符合概率规律；6，相邻参数有关联。 流体：通常说能流动的物质为流体，液体和气体易流动，我们把液体和气体称之为流体。严格地说：在任何微小剪切力的持续作用下，能够连续不断变形的物质称为流体，流体显然不能保持一定的形状，即具有流动性。 耗散函数：i i ij x p ∂∂μ' 称为耗散函数Γ，Γ表示单位时间内单位体积流体由机械能耗散成热能 i i ij ij i i ij x v div x p ∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂=Γμμεδμμμ232'' 应力张量：[]⎥⎥⎥ ⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx p p p p p p p p p p ,,,,,,称为应力张量，它是描述运动黏性流体内任一点应力 状态的物理量。
高等教育 --流体力学课后习题答案 习题【1】 1-1 解：已知：120t =℃，1 395p kPa '=，250t =℃ 120273293T K =+=，250273323T K =+= 据p RT ρ=，有：1 1p RT ρ'=，22p RT ρ'= 得：221 1p T p T '='，则2211323395435293T p p kPa T ''=⋅=⨯= 1-2 解：受到的质量力有两个，一个是重力，一个是惯性力。 重力方向竖直向下，大小为mg ；惯性力方向和重力加速度方向相反为竖直向上，大小为mg ，其合力为0，受到的单位质量力为0 1-3 解：已知：V=10m 3，50T ∆=℃，0.0005V α=℃-1 根据1V V V T α∆=⋅∆，得：30.000510500.25m V V V T α∆=⋅⋅∆=⨯⨯= 1-4 解：已知：41 9.806710Pa p '=⨯，52 5.884010Pa p '=⨯，150t =℃，278t =℃ 得：1127350273323T t K =+=+=，2227378273351T t K =+=+= 根据mRT p V = ，有：111mRT p V '=，2 22 mRT p V '= G ＝mg 自由落体： 加速度a ＝g
得：421 25 1219.8067103510.185.884010323V p T V p T '⨯=⋅=⨯='⨯，即210.18V V = 体积减小了()10.18100%82%-⨯= 1-5 解：已知：40mm δ=，0.7Pa s μ=⋅，a =60mm ，u =15m/s ，h =10mm 根据牛顿内摩擦力定律：u T A y μ∆=∆ 设平板宽度为b ，则平板面积0.06A a b b =⋅= 上表面单位宽度受到的内摩擦力： 1100.70.06150210.040.01 T A u b N b b h b μτδ-⨯-= =⋅=⨯=--/m ，方向水平向左 下表面单位宽度受到的内摩擦力： 2200.70.061506300.010 T A u b N b b h b μτ-⨯-= =⋅=⨯=--/m ，方向水平向左 平板单位宽度上受到的阻力： 12216384N τττ=+=+=，方向水平向左。 1-6 解：0.5mm δ=，2Pa τ=，u =0.25m/s 根据u y τμ∆=∆，有：30.51020.004Pa s 00.250y u u δμττ-∆⨯===⨯=⋅∆-- 1-7 解：20t =℃，d =2.5cm=0.025m ，1mm δ==0.001m ，u =3cm/s=0.03m/s 设管段长度l ，管段表面积：A dl π= τ1 τ2
高等流体力学-习题集
—c b + c b — c .一 ............................... ......... ........... ........... 2^，Z = e e 2 表示，求速度的拉格朗日描述与欧拉 描述。 解：由题可知速度分量为 （ u=—=0 St dy /fi+c b —c \ v = — = e -------- e — = z dr 2 2 dz t h+c . b —c —=e ------- 卜 e — = v &t 2 2 丿 则速度的拉格朗日描述 （00宁一戶宁严宁*与） 速度的欧拉描 述：戸=（①宣、 y ） 、速度场由卩=仗乜刃给出，当£ = 1时求质点p （X3,2）的速度及 加速度。 解： U = x 2t v = yt 2 高等流体力学 、流体的运动用 t b+c 由K = 可得速度分量式为:
W — xz 则当t=1时，质点pdX2）的速度为：卩=乩3」2）；加 速度
Cl du . du . du dt dy dz dv .. . &v a y =—+ u — dt d x + v —F >v ——= dy dz dw i . dw . dw a 7 = ---- u — + v ---- H w — £ dt dy dz a x = x 2 + x 2t - 2xt + yt 2 10 + xz ■ 0 a y = 2yt + x 2t - 0 + yt 2 • t 2 + xz ■ 0 a z = 0 + x 2t ・ z + yt 2 - 0 + xz-x (a x = 1 + 24-0 + 0= 3 = Jay-6 + 0-l-3-F0-8 ,即加速度为 [a z = 0 + 2 + 0 + 2 = 4 a = (3,9; 4) 三、速度场由V = （ar^t z t py - & 0）给出，求速度及加速度的拉格朗 表示。 解： 由 题 可 得 速 V — （u,巧 w ） = （ax + * py —（2 0） f dx U =—— 5二罟二旳-严得情 w — — = 0 I ——aac = t 2 At -ay = -t 1 , 空=0 dl 2 ,即为流体质点运动的拉 =ax -H t 2 解微分方程;
上海海事大学高等流体力学复习题及答案 一,试列出流线微分方程、轨迹方程和涡线方程及说明涡线和流线的区别。 答：流线微分方程: d x u(x,y,z,t) = d y v(x,y,z,t) = d z w(x,y,z,t) 轨迹方程: d x d t =u(x,y,z,t), d y d t =v(x,y,z,t), d z d t =w(x,y,z,t) 涡线方程： d x dωx = d y dωy = d z dωz 涡线与流线的区别： 1）涡线：先把涡量定义为矢量，再定义涡量连续相切的曲线称为“涡线”。换种说法：“涡线”就是通过连续涡量（元涡）的轴线。 2）流线：流体质点连续运动速度（矢量）与之相切的曲线称作“流线” 它们的区别：流线定义前提一维和无旋。这样在一条流线上，同一运动质团能量守恒。因此推定出知名的柏努利定理方程。这个定理在无旋流体计算中一直起着十分重要的作用。但是在传统理论的涡线上无论定义它是一个涡量还是一串涡量，能量都是不被考虑的因素。龙卷风可以按现理论定义成一个连续涡量的涡线，其象鼻状的各段截面涡量显然不相同。即“涡量通量”。如果运动有涡, 便存在涡线,运动无涡则不存在涡线。但是 只要有流体运动,不论是否有涡,流线总是 存在的 二、流体微团运动的主要运动并用数学方程表示。 答：平移：一个流体微团的所有流体质点都有相同的速度，即速度梯度为零。∆u → =0 （这个表达式 不正确） = =∂v ∂y , Dεz Dt = ∂w ∂z 剪切变形： Dγxy Dt =∂u ∂y +∂v ∂x ， Dγyz Dt = ∂v ∂z + ∂w ∂y Dγzx Dt = ∂w ∂x +∂u ∂z 旋转变形 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫ ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=)(21)(21)( 21y u x u x u z u z u y u x y z z x y y z x ωωω及⎪ ⎪⎪⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬⎫∂∂-∂∂+=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=)(21)(21)(21θωωθωθθθθr u r u r u r u z u z u r u r z z r z r 三，试指出质点的随体导数、涡量、速度环量及斯托克定理的数学表达式及物理含义。 答：随体导数：Dη Dt = ∂η ∂t +u ∂η∂x +v ∂η∂y +w ∂η ∂z 式子中，∂η ∂t 是空间点上的η量的变化率，称为局部导数；u ∂η ∂x +v ∂η ∂y +w ∂η ∂z 则表示由于流体 质点在不均匀的η场内移动而引起的η量的变化率，称为对流导数；Dη Dt 表示一个流体质点η量的总变 化率，它等于局部导数和对流导数之和，称为随体导数。
高等流体力学习题答案 高等流体力学学习题答案 高等流体力学是力学的一个重要分支，研究流体的运动规律和性质。在学习高 等流体力学的过程中，解题是非常重要的环节。本文将为大家提供一些高等流 体力学学习题的答案，帮助大家更好地理解和掌握这门学科。 题目一：在一个封闭的容器中，有一定质量的气体，初始状态下气体的温度、 压力和体积分别为T1、P1和V1。当气体发生等温膨胀时，求膨胀后气体的温度、压力和体积。 解答：根据等温膨胀的特点，气体的温度保持不变。根据理想气体状态方程PV = nRT，其中n为气体的摩尔数，R为气体常数。由于等温膨胀，温度和摩尔数不变，所以有P1V1 = P2V2。解得P2 = P1V1/V2。由于温度不变，所以V2 = V1。代入上式，可得P2 = P1。所以膨胀后气体的温度、压力和体积分别为T1、P1和V1。 题目二：一个圆柱形容器中装有水，高度为H，底面半径为R。求水的压力随 深度的变化规律。 解答：根据流体静力学原理，水的压力与深度成正比。设水的密度为ρ，重力 加速度为g，则单位深度上的压力为ρg。由于水的压力随深度线性增加，所以 在高度为H的位置，水的压力为P = ρgH。由于底面积为πR^2，所以水的总 压力为P_total = ρgHπR^2。 题目三：一个半径为r的球在水中下沉，求球下沉的速度。 解答：根据阿基米德原理，物体在液体中受到的浮力等于物体排开液体的重量。设球的密度为ρ_s，水的密度为ρ_w，重力加速度为g，球的体积为V，则球的
重力为G = ρ_sgVg，球受到的浮力为F = ρ_wVg。根据牛顿第二定律，球受到 的合外力等于质量乘以加速度，即G - F = ρ_sgVg - ρ_wVg = (ρ_s - ρ_w)Vg = m_ag，其中m_a为球的有效质量。所以球下沉的加速度为a = (ρ_s - ρ_w)g。 根据运动学公式v = u + at，其中v为球下沉的速度，u为初始速度，t为时间。由于球的初始速度为0，所以球下沉的速度为v = at = (ρ_s - ρ_w)gt。 通过以上的解答，我们可以看到高等流体力学学习题的答案都是基于一些基本 的原理和公式进行推导和计算的。在学习高等流体力学时，要牢固掌握这些基 本原理和公式，理解其背后的物理意义，才能更好地解决实际问题。同时，还 需要多做一些习题，加强对知识的理解和应用能力。希望本文的答案能对大家 的学习有所帮助。
2022-2022高等流体力学考试题 1.解释涡量速度的概念，写出其矢量表达式；解释速度环量的概念，写出其一般表达式。说明环量与涡量之间的关系。 涡量流速：旋转角速度的2倍为涡量，涡量是一矢量，它与旋转的平面相垂直，其方向的正负按右手法则确定，涡量的矢量形式是：Ω=curlv=▽某v=rotv 在流场中涡量是位置和时间的函数，即 =(某,y,z,t) 速度环量：速度沿封闭曲线的积分称为速度环量，通常用Γ表示：lvdl 涡量与速度环量的关系：涡量，流体力学中多用涡量来表示流体微团的旋转。定义旋转角速度的两倍为涡量，即k2k；速度环量，速度沿封闭曲线的积分称为速度环量，通常用来表示，lvdl。在笛卡尔坐标系下为 lu某d某uydyuzdz。涡量与速度环量的关系，数学表示如下：环量。ndSlvdl。说明通过面的涡通量等于沿边界的速度 2.应用紊流时均连续方程和雷诺方程求解流体运动问题时，为什么要引入紊流模型。 应用紊流时均连续方程和雷诺方程求解紊流问题时，未知数包括3个时均流速分量、1个时均压强，以及6个雷诺应力，共10个，远超过方程的数目。这就造成了时均紊流基本方程组的不封闭。因此，要应用这些方程就必须首先解决方程组的封闭问题。根据紊流的运动规律以寻求附加
的条件和关系式，从而使方程组的封闭问题可解就是近年来所形成的各种紊流模型。随着计算机的迅速发展，紊流模型的研究已经成为近年来紊流研究的一个重要方面，紊流模型已经成为解决工程实际问题的一个有效手段。 3.保角变换法的概念。 设在z=某+iy平面（简称z平面）上一个复杂的流动边界，借助某一变换函数ζ=g(z)可变换到ζ=ε+iη（简称ζ平面）平面上另外的流动边界。由于解析函数的性质，这种变换是一一对应的。ζ=g(z)的逆变换是z=(z)，式中1表示g的反函数。 由ζ=g(z)知，dζ=,(z)dz，即Z平面上的微笑段dz映射到ζ平面上的dζ应符合这种关系，所以,(z)是两个微小线段变换时的长度比尺和角度的旋转。因每一点只有一个,(z)值，因此同一点上的微小线段的变换比尺是相同的，旋转角度也是相同的。但,(z)是z的函数，它的值随着z 位置的不同而不同，因同一点两个线段的夹角在变换过程中保持不变，所以称这种变换为保角变换法或者保角映射。 4.涡旋形成的根源。 5.解释相似性解的概念。 相似性解是边界层研究中一个非常重要的概念。当边界层方程具有相似性解时，其流速,分布具有以下性质：若把任意某断面的流速分布图形-y的坐标用相应的尺度均化为无量纲坐标，则任意断面的流速分布图形均相同。具体说就是，如果以当地势流流速U为速度,的尺度因子，取某一函数g(某)为坐标y的尺度因子，则在无量纲坐标(某)上表示的无量纲速度剖面,()对于不同某将完全相同。
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 2009 高等流体力学考题答案 1.写出下列各量的数学表达式： （1）单位时间内流过以n为法向的面积元dA的流体体积流量（v.n dA ） （2）Δt时间内经固定不动空间v的表面S净流入v内的质量 （ s v nds ρ -⋅ ⎰Δt ） （3）流体体积v内的动量，动能的随体导数 ( 2 , 2 v v D D v vd d Dt Dt ρτρτ ⎰⎰ ) 2．正交直角坐标系与正交曲线坐标系的主要差别是什么： a----- 正交直角坐标系的基向量i，j，k不随位置而变，正交曲线坐标系的基向量e1,e2,e3可能随位置而变。 b.---- 正交直角坐标系x,y,z的量纲均为长度，正交曲线坐标系q1,q2,q3的量纲不一定均为长度。 如果柱坐标的三个单位向量是r,θ,z ; 正交直角坐标系的三个单位向量是 i,j,k 则 如果球坐标的三个单位向量是R,θ,ε ; 正交直角坐标系的三个单位向量是 i,j,k 则
cos sin sin cos cos sin sin cos r z r z e i j e i j e k i e e j e e k e ϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑ=+=-+==-=+= sin cos sin cos cos cos sin sin sin cos cos sin R e i k e i j k e i j j ϑεϑεϑϑεϑεϑεεϑε=++=+-=-+ cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos cos R R R i e e e j e e e k e e εϑεϑϑ ϑϑεεϑεϑεεϑϑε=+-=++=- 3. 试证明两种不同密度(ρ1,ρ2)不相混合的流体平衡时，其分界面与质量力垂直。 先证明分界面是等压面，再由流体平衡时满足的方程就可得出此结论。 4.设有平面曲线坐标系 ξ=x 2-y 2 （1） η=2xy （2） 试问：(1)是否是正交曲线坐标系？(2)拉梅系数为多少？ 因grad ξ.grad η=0,所以此曲线坐标系为正交曲线坐标系。
2009 高等流体力学考题答案 1.写出下列各量的数学表达式： （1）单位时间内流过以n为法向的面积元dA的流体体积流量（v.n dA ） （2）Δt时间内经固定不动空间v的表面S净流入v内的质量 （ s v nds ρ -⋅ ⎰u u r u u rΔt ） （3）流体体积v内的动量，动能的随体导数 ( 2 , 2 v v D D v vd d Dt Dt ρτρτ ⎰⎰ u u r ) 2．正交直角坐标系与正交曲线坐标系的主要差别是什么： a----- 正交直角坐标系的基向量i，j，k不随位置而变，正交曲线 坐标系的基向量e1,e2,e3可能随位置而变。 b.---- 正交直角坐标系x,y,z的量纲均为长度，正交曲线坐标系q1,q2,q3的量纲不一定均为长度。 如果柱坐标的三个单位向量是r,θ,z ; 正交直角坐标系的三个单位向量是 i,j,k 则 如果球坐标的三个单位向量是R,θ,ε ; 正交直角坐标系的三个单位向量是 i,j,k 则
cos sin sin cos cos sin sin cos r z r z e i j e i j e k i e e j e e k e ϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑ=+=-+==-=+=r r r r r r r r r r r r r r r r sin cos sin cos cos cos sin sin sin cos cos sin R e i k e i j k e i j j ϑεϑεϑϑεϑεϑεεϑε=++=+-=-+r r r r r r r r r r r cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos cos R R R i e e e j e e e k e e εϑεϑϑ ϑϑεεϑεϑεεϑϑε=+-=++=-r r r r r r r r r r r 3. 试证明两种不同密度(ρ1,ρ2)不相混合的流体平衡时，其分界面与质量力垂直。 先证明分界面是等压面，再由流体平衡时满足的方程就可得出此结论。 4.设有平面曲线坐标系 ξ=x 2-y 2 （1） η=2xy （2） 试问：(1)是否是正交曲线坐标系？(2)拉梅系数为多少？ 因grad ξ.grad η=0,所以此曲线坐标系为正交曲线坐标系。
第二章 流体力学的基本概念 随堂作业：粘性不可压缩均质流体定常运动（绝热过程）方程组在二维直角坐标系中的形式 解： 粘性流体0μ≠，不可压缩均质流体C ρ=，定常流动0t ∂ =∂，绝热0q =，二维直角坐标系 0z ∂ =∂。 连续性方程： 0u v x y ∂∂+=∂∂ 运动方程：,,xy xx x xy yy y P P du F dt x y P P dv F dt x y ρρρρ∂∂=++∂∂∂∂=++∂∂ 本构方程：12, 312,3xx yy xy u u v P P x x y v u v P P y x y u v P x y μμμ⎡⎤⎛⎫∂∂∂=-+-+⎢⎥ ⎪∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎡⎤ ⎛⎫∂∂∂=-+-+⎢⎥ ⎪∂∂∂⎝⎭⎣ ⎦⎛⎫∂∂=+ ⎪ ∂∂⎝⎭ 二 流线与迹线，加速度 1(2) 2222 ,,0,cx cy u v w x y x y ===++c 是常数,试画出流线族; 解： 流线的微分方程为 dx dy u v =,将2222 ,cx cy u v x y x y ==++代入得2222 dx dy cx cy x y x y =++,积分后得ln ln x y C -=,得,y Cx z B ==，其中B 、C 为积分常数。 1(8) 2 2 ,2,u x y v xy =-=-求通过1,1x y ==的一条流线; 解: 流线的微分方程为 dx dy u v =,将22 ,2u x y v xy =-=-代入,得222dx dy x y xy =--,积分得323y x y C -=,其中C 为积分常数。将1,1x y ==代入,求得2C =-。所求流线方程为
高等流体力学练习题 第一章 场论基本知识 第一节 场的定义及其几何表达 1、（RX21）设点电荷q 位于坐标原点，则在其周围空间的任一点M(x, y, z)处所 产生的电场强度，由电学知为：3 4q E r r πε= ，其中ε为介质系数，r xi yj zk =++ 为M 点的矢径，r r = 。求电场强度的矢量线。 2、（RX22）求矢量场22 ()A xzi yzj x y k =+-- ，通过点M(2, -1, 1)的矢量线方程。 第二节 梯度 1、（RX32）设r =M(x, y, z)的矢径的模，试证明：r gradr r = 。 2、（RX33）求数量场u=xy 2+yz 3 在点（2，－1，1）处的梯度及在矢量22l i j k =+- 方向的方向导数。 3、（RX34）设位于坐标原点的点电荷q ，由电学知，在其周围空间的任一点 M(x, y, z)处所产生的电位为：4q v r πε=，其中ε为介质系数，r xi yj zk =++ 为M 点的矢径，r r = 。求电位v 的梯度。 4、（BW7）试证明d dr grad ϕϕ=⋅ ，并证明，若d dr a ϕ=⋅ ，则a 必为grad ϕ。 5、（BW8）若a ＝grad ϕ，且ϕ是矢径r 的单值函数，证明沿任一封闭曲线L 的线积分0L a dr ⋅=⎰ ，并证明，若矢量a 沿任一封闭曲线L 的线积分 0L a dr ⋅=⎰ ，则矢量a 必为某一标量函数ϕ的梯度。 第三节 矢量的散度 1、 （RX39）设由矢径r xi yj zk =++ 构成的矢量场中，有一由圆锥面x 2+y 2=z 2及平面z=H(H>0)所围成的封闭曲面S 。试求矢量场从S 内穿出S 的通量。 2、 （RX41）在点电荷q 所产生的电场中，任何一点M 处的电位移矢量为 3 4q D r r π= ，其中，r 为从点电荷q 指向M 点的矢径，r r = 。设S 为以点电荷为中心，R 为半径的球面，求从内穿出S 的电通量。
《高等流体力学》复习题 一、基本概念 1． 什么是流体，什么是流体质点？ 2． 什么是流体粘性，静止的流体是否具有粘性，在一定压强条件下，水和空气的粘性随着温度的升高 是如何变化的？ 3． 什么是连续介质模型？在流体力学中为什么要建立连续介质这一理论模型？ 4． 给出流体压缩性系数和膨胀性系数的定义及表达式。 5． 简述系统与控制体的主要区别。 6． 流体静压强的特性是什么？绝对压强s p 、计示压强（压力表表压）p 、真空v p 及环境压强（一般 为大气压）a p 之间有什么关系？ 7． 什么是理想流体，正压流体，不可压缩流体？ 8． 什么是定常场，均匀场，并用数学形式表达。 9． 分别用数学表达式给出拉格朗日法和欧拉法的流体加速度表达式。 10． 流线和迹线有何区别，在什么条件下流场中的流线和迹线相重合？ 11． 理想流体运动时有无切应力？粘性流体静止时有无切应力？静止时无切应力是否无粘性？为什么？ 12． 试述伯努利方程()2 2p V Z C g g ψρ++=中各项的物理意义，并说明该方程的适用条件。 13． 流体有势运动指的是什么？什么是速度势函数？无旋运动与有势运动有何关系？ 14． 什么是流函数？存在流函数的流体具有什么特性？（什么样的流体具有流函数？） 15． 平面流动中用复变位势描述的流体具有哪些条件（性质）？ 16． 伯努利方程2 2p V Z Const g g ρ++=对于全流场均成立需要基于那些基本假设？ 17． 什么是第一粘性系数和第二粘性系数？在什么条件下可以不考虑第二粘性系数？stokes 假设的基本 事实依据是什么？ 18． 为推出牛顿流体的本构方程，Skokes 提出了3条基本假设，分为是什么？ 19． 作用在流体微团上的力分为那两种？表面应力ij τ的两个下标分别表示？ij τ的正负如何规定？ 20． 从分子运动学观点看流体与固体比较有什么不同？ 21． 试述流体运动的Helmhottz 速度分解定律并给出其表达式。 22． 流体微团有哪些运动形式？它们的数学表达式是什么？ 23． 描述流体运动的基本方法有哪两种？分别写出其描述流体运动的速度、加速度的表达式。
高等流体力学试题 姓名：岳万凤 学号：20091002061 学院：动力工程学院 专业：动力工程及工程热物理指导老师：何川教授 完成日期：2010.1.10
四、设52/ 1.110/m s μρ-=⨯的气体以10/V m s ∞=的速度以零攻角绕流长度为L ＝1m 的大平板，试用数值解讨论边界层内的流动规律。 解：基本思路：根据绕流平板的大雷诺数边界流动控制方程，运用数量级比较法对控制方程进行简化，然后引入无量纲相似变量将动量方程化为常微分方程。最后运用龙格库塔方法编写C 程序对该常微分方程进行数值求解，获得沿平板长度方向不同位置处边界层内气体速度在平板法线方向上的变化规律以及边界层厚度沿平板长度方向上的变化规律。 由题意，气体外掠大平板流动的雷诺数： 90909010 1.10.110/Re 5 =⨯⨯=⋅= -∞ρμL V ＞3 10 1）取平板的左端点O 为坐标原点，x 轴沿着平板，y 轴垂直于平板，建立流向坐标系Oxy ，如图1所示。边界层控制微分方程组及相应定解条件为： 对二维定常流动，不计重力，其边界层基本方程： C.F.： 0u v x y ∂∂+=∂∂ M.F.：2222 1()u u p u u u v x y x x y μρρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ 22221()v v p v v u v x y y x y μρρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ 边界条件： 0,0,0 y u v === ,10/y u V m s ∞ →∞== 这里：自变量(0,)x L ∈，(0,)y δ∈； 因变量(0,)u V ∞∈；max (0,)v v ∈。 图1 气体外掠大平板示意图
真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。 1 / 7 1、 柱坐标下V V ⋅∇的表达式（ 112233 V V e V e V e =++）： () () () ()()()2 211i i i i i i j i i j i i j j j j j j i j j i j j i i i i i i i i i j j j j j i i j j i j i i i V e V e V V V e e V e e e V h q h q q V VV V VV h V e V e V V e e i j i j e e i j h q h q h q h q h h q h q ⎡⎤⎡⎤ ∂⎛⎫∂∂⎢⎥⋅∇=⋅=⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ∂∂∂∂∂∂=+≠+==+≠+∂∂∂∂∂∂ 1321231,;,,h h h r q r q q z ε====== 212112222212131132 3332133 dV V dV dV V dV V dV dV V V =V ++V e +V ++V +e dr r d dz r dr r d dz r dV dV dV V +V ++V e dr d dz V V r εεε∴⋅∇⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2、 利用哈密尔顿算子证明以下各式： (1) () a =0 ∇⋅∇⨯ () () 22222212331322311212223 3121 3 a j j i i i j i j ijk k i i i j i j i j a e x a a a a =e e e e e e e e x x x x x x x x a a a e e e e e e x x x x x x a e ⎛⎫ ∂∂⨯ ⎪ ⎪∂∇⨯∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎝ ⎭∇⋅∇⨯⋅=⋅=⋅⨯=⨯⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝ ⎭⎝⎭ ∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂+22331232121213132 0a a e e e e e x x x x x x ∂∂⋅+⋅+⋅=∂∂∂∂∂∂ (2) ()0 ψ∇⨯∇= ()()222 2 2 12331322321 3232121311121222213331323212 i i j ijk k i i j i j =e e e e e x x x x x e e e e e e x x x x x x e e e e e e x x x x x x ψψψ ψψψψ ψψψ⎛⎫∂∇⨯∂∂∇⨯∇⨯ =⨯= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝ ⎭ ∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂ (3) ()()() a b a b b a ∇⋅⨯=∇⨯⋅-∇⨯⋅ () ( )()()i i i i i i i i i a b a b a b a b e e b a e b e a a b b a x x x x dx ∂⨯⎛⎫∂∂∂∂∇⋅⨯=⋅ =⋅⨯+⨯=⨯⋅-⨯⋅= ∇⨯⋅-∇⨯⋅ ⎪ ∂∂∂∂⎝⎭ (4) ()()( )a b a b a b b a b a ∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⋅∇+⨯∇⨯ () ()i i i i i i a b a b a b e e b e a a b b a x x x ⋅∇⋅=⋅∂∂∂=∂∂∂+⋅=∇⋅+∇⋅ ( )() b b b b b a a i i i i i i i i i i a b e e a e e a a e b a a b x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⨯∇⨯=⨯⨯=⋅-⋅=⋅-⋅=∇⋅-⋅∇ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()() i i i i i i i i i i a a a a a b a b e b e b e e b b e a b b a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⨯∇⨯=⨯⨯=⋅-⋅=⋅-⋅=∇⋅-⋅∇ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3、 如果n 为闭曲面A 上的微元面dA 的单位外法线向量， 12 ,ϕϕ是闭曲面满足 20ϕ∇=的两个不同的解，试证明：（38页，6） （1） A ndA=0 ⎰⎰ （2） 2 1 1 2 A A dA dA n n ϕϕϕ ϕ ∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰ 证明： （1） 1A ndA=d 0τ τ∇=⎰⎰⎰⎰⎰ () ()()()()()21 12 211 2 2 1 1 2 212212122121221221120 A A A A dA dA n n dA n n n n dA d d d τ τ τ ϕϕ ϕ ϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕτ ϕϕϕϕϕϕϕϕτ ϕϕϕϕτ∂∂-=⋅∇-⋅∇∂∂⎡⎤= ⋅∇-⋅∇=∇⋅∇-∇⎣⎦=∇+∇∇-∇-∇∇=⋅⋅=∇-∇⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有两族平面正交曲线 ()(),,,x y c x y d ζη==，已知22,2x y y ζ=-=时4x η=，求 ()x,y η ， （40页， 10） 解：,ηζ正交 =0x x y y ζηζη ∂∂∂∂∴ +∂∂∂∂即2x 2y =0x y ηη∂∂-∂∂ 40y y =22x 4-22x ηη∂∂=⋅⨯=∂∂当时，，代入得22y x xy c η η∂∴=⇒=+∂ 240y x c η===由时，知2xy η∴= 求半径为a 的四分之一圆的垂直平面上流体的总的作用力F 和压力中心C 的位置，已知0x 与流体自由水平面重合，自由面上压力为零。（74页，2-9） 解： ,p gy n k ρ== A A F nPdA k gydxdy ρ∴=-=-⎰⎰⎰⎰ 2230 1 0.5()3 a a z F dx gydy g a x dx ga ρρ=-=--=-⎰⎰31 3F ga k ρ∴=- 222 ( 20 ( ()a A A a a x M r npdA xi y j k gydxdy i dx gy dy a x j dy gxydy ρ--=-⨯=-+⨯=-+⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰ 3 22420 11()316a x M g a x dx g a ρρπ∴=--=-⎰ 40 1 8a y M xdx gydy ga ρ= = ⎰ 已知，用柱坐标表示的速度场为 C V = e r ε ，式中为方向 ε 的单位向量，C 为常数， 求通过x =1,y =1的流线方程及在0t =时刻过x =1,y =1的那个质点的轨迹方 程。 解：（1）流线方程在柱坐标上的形式为r V dr =r d V εε.已知 r C V V 0,= r =ε，代入流线方程得： 2 r r V dr r =r = V =0 d V C εε流线方程为 r const C == 因为 r 当x =1,y =1 r ，时所以 C x =1,y =1的流线方程为r （2）流线方程在柱坐标上的形式为r 1 dr =V dt d =V dt r εε，，由已知条件得， 20C dr d dt r ε== ，，所以，,122C r =const =C =t +C r ε 0t =时， y r =arctg =arctg1=x 4πε，