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dp
1 2
u
u
G
u
沿流线取线元 dl ，
dl
dp
u2 2
G dl
u
d
dp
u2 2
G
0
dp u2
2 GC
伯努利方程，或伯努利积分；C 称伯努利常数，C 沿同一条流线为常数；
伯努利方程成立条件：理想流体,外力有势，正压流体，定常流 动,沿流线。
20
沿流线的伯努利方程
u
u 2
(u
)
p
2u G
(u ) 2 t (u ) ( )u (u ) u( ) ( u) ( )u (u )
(u ) ( )u 2 t
35
涡量方程
涡量方程的物理意义
第一节：粘性，斜压与外力无势是引起速度环 量和涡通量发生变化的三大因素.
D
Dt
C (t )
Du Dt
dr
C (t )
Dui Dt
dxi
沿一条确定的由流体质点组成的物质周线的速度环量的随体导数等 于该周线上的加速度的环量。 以上结论是纯运动学性质的，因此对任何流体都成立。
5
因为：
Du p 1 ( • u) 2u f
Dt
3
Du p u f
Dt
在运动过程中, 涡管会发生变形：当涡管被拉伸时, 涡量增大, 涡管 被压缩时, 涡量减小, 以保持通过横截面的总的涡通量不变。
15
涡管强度保持定理
涡量场的散度为 0, 0 , 由此得出在每一瞬时通过同一涡管 任意截面的涡通量处处相等, 即涡管强度在空间上守恒, 以上结论对 任意流体都是正确的。 当满足开尔文定理成立条件时, 涡管强度不但具有空间上的守恒性, 而且具有时间上的守恒性。
u
C(t)
dr
C(t)
Du Dt
dr
u
D(dr ) Dt
C(t)
Du Dt
dr
u
du
其中
D(dr ) Dt
d
Dr Dt
du
4
沿物质周线的速度环量的随体导数
u
u(r,t)
为单值函数， u du
C(t)
C(t)
d
u2 2
0
D
Dt
C (t )
Du Dt
dr
u
du
16
理想不可压缩流体在重力场作用下的流动
(1) 均匀来流定常不脱体绕流 (2) 物体从静止状态开始运动 满足理想、正压、质量力有势； 第 1 种情况下, 流体质点来自无穷远处，无穷远处无旋, 所以整个 流场无旋； 第 2 种情况下, 初始时刻, 静止状态的流体无旋, 所以任意时刻流体 无旋。
17
3.2 伯努利方程
u dl t
+dl
dp
u2 2
G
0
u
dp u2
t
dl
+d
2
G 0
很难计算，只是在某 些特定条件下求解
2 u dl
1 t
2
1
d
dp
u2 2
G
0
质量力只有重力且重力加速度沿负 z 轴方向，流体密度为常数，
p1
u12 2
gz1
p2
u22 2
gz2
2
1
u dl t
成立条件：理想流体，流体密度为常数,重力加速度沿 Z 轴负方向，
23
伯努利方程的条件虽然苛刻，但揭示的规律 可应用于实际流动中去，例如解释河道流动 规律，虹吸管原理（连通管原理）及机翼升 力产生原因等。
伯努利方程是物理学能量守恒和转换定律在流 体运动中的表现形式之一。
24
沿流线的伯努利方程
非定常流动
u t
dp
1 2
u
u
G
u
等式两边同时点乘 dl ， dl 平行于 u ，即沿流线方向，
z
k
dx dy dz d
x y z
dr d
式中d 表示对空间的全微分。
8
正压流体
( p) 等密度面和等压强面是重合的
流体作等熵流动，等温流动，不可压缩均质流体均可视为正压流体。
( p)
d
dp
( p)
dp
dr
p
dp
d
dp
( p)
dr
dp
( p)
因为 dr 是任选的，所以对正压流体流场中任一点有,
解：液体是不可压缩的，故液体在同一瞬时的速度 v v(t) 沿U形 管处处相等，只是时间的函数，且等于,
v d （速度正向从1指向2）
dt
是液面至平衡位置的距离。非定常流沿流 线的伯努利方程，
1
v
p1
v12 2
gz1
p2
v22 2
gz2
2 1
v dl t
z1
因为 z1 h , z2 h ，v1 v2 , p1 p2 pa ，
(u ) ( )u 2 t
涡量的随体导数 u D
t
Dt
粘性项影响：粘性对涡量变化的影响主要是粘性扩散，而运动粘 性系数在这里相当于扩散系数。在粘性流体中，由于粘性的作用， 涡量强的地方将向涡量弱的地方输运涡量，正像热量由温度高的 地方向温度低的地方传播和扩散一样，扩散的作用是抹平差距， 直至全流场涡量强度相等为止
v
2
h
z2
2g
2 1
v t
dl
v t
2 1
dl
=
d 2
dt 2
L
d 2 2g 0
dt2 L
p1
u12 2
gz1
p2
u22 2
gz2
2 1
u dl t
33
求方程的解，
d 2 2g 0
dt2 L
c1 cos
2g L
t c2 sin
2g L
t
初始条件：t 0 时 A ，d 0
D Du dr p dr f dr 2u dr
Dt C(t) Dt
C (t )
C(t)
C (t )
6
欧拉方程 理想流体,
Du p f
Dt 设质量力有势且为单值函数,
f G Du p G
Dt
7
场论公式
dr
(dxi
dyj
dzk
)
x
i
y
j
21
伯努利方程的水力学意义 单位质量流体沿流线的水头形式
v2 z
p
H 常数
(沿流线)
2g ρg
v2
速度水头
2g
z
位置水头
p
压强水头 测压管水头
H
总水头
22
若忽略重力（空气），则 v2 p H 常数 (沿流线) 2ρ
由上式可解释两船在行驶时,如果靠的太近就 会相互碰撞
高速公路上行驶的两列汽车,小车不能太靠 近大车
涡量方程
理想流体
(u ) ( )u 2
t (u ) ( )u t
以上涡量方程中没有压强 p 出现，于是可在压强场未知情况下求 解速度场和涡量场。
39
已知涡量场求解压强场
u t
(u
)u
p
2u
u t
(u
)u
p
2u
(u
)u
p
练习题 3.1 (p.84)，
14
涡管强度保持定理（亥姆霍兹第二定律）
取 C(t) 是涡管横截面 A(t) 上并围绕涡管一周的封闭物质周线，则 在某一瞬时 ，
u dr ndA
C (t )
A(t )
D u dr D ndA 0
Dt C(t)
Dt A(t)
涡管在随流体运动过程中通过其任一横截面的涡通量, 即涡管强度, 不随时间改变。
26
势流伯努利方程
定常流动
t
dp
2
G
f
(t)
dp
2
G
f
上式中 f 在全流场为常数, 且不随时间变化；在伯努利积分中的 C 只是沿同一条流线为常数
27
伯努利方程应用
28
伯努利方程应用
29
伯努利方程应用
30
伯努利方程应用
31
伯努利方程应用
32
例1 液体在两头开口的等横截面 U 形管中振荡，液柱长 L，液面上 方为大气压强 pa , 忽略粘性摩擦力和表面张力。求液柱运动规律。
12
亥姆霍兹定律
当流体正压 , 理想流体 , 质量力有势，即 生成环量的所有扭矩为零，则开尔文定理 可给出流体流动很漂亮的几何描述，即亥 姆霍兹定律
涡线无始无终，并生成封闭环，即涡管， 涡管的速度环量沿涡管长度方向不变，为 常数，即亥姆霍兹第一定律
13
涡旋不生不灭定理 若流体理想,正压,且外力有势,如果初始 时刻在某部分流体内无旋,则以前或以后 任一时刻这部分流体皆无旋；反之,若初 始时刻该部分流体有旋,则以前或以后的 任何时刻这部分流体皆为有旋。
36
涡量方程 涡量方程的物理意义
涡线的拉伸和扭曲
u
l
u l
| | lim u pQ0 PQ
u
u
| | lim | | lim
pQ0 PQ
pQ0 PQ
PΩ
u
Q u u
使涡线拉伸或压缩，或而使涡线扭曲，结果都会导致涡量的变化。
37
花样滑冰运动员就是利用减小惯性距来增 大旋转。
38
dt
Acos
2g L
t
c1 A ，c2 0
振动周期： 2 L
2g
速度： d
