2012届高三数学总复习题及答案(一)

2012届高三数学第二轮复习【函数、方程思想】专题一1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

题型一 函数与方程思想在求最值或参数范围中的应用【例题1】若关于x 的方程22x kx x =+有四个不同的实数解，则实数k 的取值范围为 ； A ．(0，1) B ．(12，1) C ．(12，+∞) D ．(1，+∞)题型二 函数与方程思想在方程问题中的应用【例题2】若cos 2sin αα+=tan α= ．题型三 函数与方程思想在不等式问题中的应用【例题3】已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为 ；A ．3x >或2x <B ．2x >或1x <C ．3x >或1x <D ．13x <<题型四 函数与方程思想在数列问题中的应用【例题4】已知{n a }为等差数列，{n b }各项为正数的等比数列（q ≠1），11a b =且1111a b =，则6a 与6b 的关系是 ．1．已知1230x x x >>>，则211log (22),x a x +=222log (22),x b x +=233log (22)x c x +=的 大小关系是 （ ）A. b a c <<B. a b c >>C. a b c <<D. c a b <<2．若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ）（A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2）3．32()f x ax bx cx d =+++的图象如图，则 ( )A ．(),0b ∈-∞B ．()0,1b ∈C ．(1,2)b ∈D ．(2,)b ∈+∞4．方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 的最大值为 ( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2 5．已知函数(),(0,)m f x x x x=+∈+∞，若不等式()4f x <的解集是空集，则（ ） A ．4m ≥ B ．2m ≥ C ．4m ≤ D ．2m ≤6．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是 （ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）17．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 . 8．ABC ∆的三边,,a b c 满足8b c +=，a bc a 212520--+=，试确定ABC ∆的形状．9．已知函数f (x )=xa 11- (a ＞0，x ＞0)，若f (x )在［m ,n ］上的值域是［m ,n ］(m ≠n )， 求a 的取值范围.2011届高三数学第二轮复习【函数方程】解答【例题1】构造函数 令1,0()1,0x xf x x x >⎧==⎨-<⎩，()(2)g x kx x =+ 【例题2】2．【例题3】解答：不等式的左端看成a 的一次函数，2()(2)(44)f a x a x x =-+-+由22(1)560,(1)3201f x x f x x x -=-+>=-+>⇒<或3x >，正确答案为C.【例题4】66a b >1． 2．D 3． A. 5．A 6．A 7．答案：21- 4．由原式得m ＝x －1－x ，设1－x ＝t (t ≥0)，则m ＝1－t 2－t ＝54－(t ＋12)2，∴m ＝54－(t ＋12)2在[0，＋∞)上是减函数，∴t ＝0时，m 的最大值为1. 8．解析：因为b ＋c ＝8，bc a a =-+21252，所以b ，c 是方程t t a a 22812520-+-+=的两实根，故∆=---+=--+≥()()()841252412360222a a a a 即--≥4602()a ，所以a ＝6。

2012高考数学《数列》部分汇总1. 安徽 4.公比为2等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则210log a =（ ） ()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 7 【解析】选B23311771072101616432log 5a a a a a a q a =⇔=⇔=⇒=⨯=⇔=2. （安徽21）（本小题满分13分）数列{}n x 满足：2*110,()n n n x x x x c n N +==-++∈（I ）证明：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c < （II ）求c 的取值范围，使数列{}n x 是单调递增数列。

【解析】（I ）必要条件当0c <时，21n n n n x x x c x +=-++<⇒数列{}n x 是单调递减数列充分条件数列{}n x 是单调递减数列22121110x x x x c c x ⇒>=-++⇔<=得：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c < （II ）由（I ）得：0C ≥①当0c =时，10n a a ==，不合题意②当0c >时，22132,201x c x x c c x c c =>=-+>=⇔<<2211010n n n n n x x c x x c x x c +-=->⇔<<⇔=≤< 22211111()()()(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ++++++-=--+-=--+-当时，1211102n n n n n x c x x x x +++<≤⇒+-<⇔-及1n n x x +-同号， 由212100n n n n x x c x x x x ++-=>⇒->⇔>21lim lim()lim n n n n n n n x x x c x c +→∞→∞→∞=-++⇔=当时，存在N ，使121112N N N N N x x x x x +++>⇒+>⇒-及1N N x x +-异号 及数列{}n x 是单调递减数列矛盾 得：当时，数列{}n x 是单调递增数列3.北京8.某棵果树前n 前的总产量S 及n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高。

云南省2012届高三第二次高中毕业生复习统一检测数学理试题word版.pdf云南省2012年第二次高中毕业生复习统一检测数学试题（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

第I卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上的答案无效。

本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1．已知i是虚数单位，则复数等于A．B．C．D．2．已知直线与圆相交于M、N两点，则|MN|等于A．B．C．D．3．已知随机变量X服从正态分布N（0，1），在某项测量中，若X在（-1.96，1.96）内取值的概率等于0.95，则X在内取值的概率等于A．0.025B．0.05C．0.95D．0.9754．已知等于A．B．C．D．5．设由直线围成的封闭图形的面积等于S，则S等于A．B．1C．2D．π6．已知的定义域是集合P，如果，那么的最小值等于A．B．C．D．π7．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别是棱AB、BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于A．B．C．D．8．设R是实数集，平面向量，等于A．4B．C．D．9．已知的渐近线，则m等于A．B．C．D．10．已知平面向量的夹角的正切值等于的值为A．B．2C．—2D．—2，11．已知椭圆E上存在点P，在P与椭圆E的两个焦点F1、F2构成的△F1PF2中，则椭圆E的离心率等于A．B．C．D．12．已知公差不等于0的等差数列的等比中项，那么在数列中，数值最小的项是A．第4项B．第3项C．第2项D．第1项第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

2012届高三理科数学试卷第Ⅰ卷 选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1、已知集合(){}|lg 1M x y x ==-，{}|21x N x =>，则M N = （ ） A.∅ B.{}|01x x << C.{}|0x x > D.{}|1x x <2、设数列{}n a 是等差数列，1780,0a a a <⋅<，若数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值，则n 的值为（ ）A ．4B ．7C ．8D ．153、已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）A 、0.16B 、0.32C 、0.68D 、0.844、在以下关于向量的命题中，不正确．．．的是（ ） A ．若向量a =(x ，y )，向量b =(－y ，x ), (x y ≠ 0 )，则a ⊥b B ．满足0))((=-+AD AB AD AB 的平行四边形ABCD 是菱形；C ．满足O A xO B yO C =+的三点A 、B 、C 共线（其中,x y R ∈）；D ．△ABC 中，AB 和CA 的夹角等于180°－A 。

5、关于函数()sin 2+y x ϕ=的表述正确的是（ ）A. 周期是2π；B. 最小值为2-；C. 当2πϕ=时为偶函数； D. 当3πϕ=时,可以由sin 2y x =的图像向左平移3π个单位得到该函数图像。

6、已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩，则“103a <<” 是“()f x 在(,)-∞+∞上单调递减”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7、运行如右所示的程序框图，输入下列四个函数， 则可以输出的函数是（ ） A ．2()f x x = B ．()cos f x x π=C ．()x f x e =D ．()sin f x x =8、点F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线于点A 、B （A 在y 轴左侧）。

适用精选文件资料分享2012 届高三数学下册复习综合测试题（带答案）2011―2012 学年度放学期高三二轮复习数学（理）综合查收试题（1）【新课标】第Ⅰ卷为选择题，共 60 分；第Ⅱ卷为非选择题共90 分。

满分 100 分，考试时间为 120 分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60 分）一、本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中只有一个选项是吻合题目要求的． 1 ．设会集，，则以下关系中正确的选项是（）A ．B ．C ．D．2 ．复数的虚部为（）A ．B．C．? D D．? D 3．曲线所围成的封闭图形的面积为（）A ．B ．C．D．4 ．依据以下三视图（以以下图所示），则它的体积是（） A ． B ． C． D．5．函数的图象以以下图，为了获取的图像，可以将的图像（）A．向右平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 6 ．已知等差数列 {an} 的公差 d 不为 0，等比数列 {bn} 的公比 q 是小于 1 的正有理数。

若 a1=d，b1=d2，且是正整数，则 q 等于（） A ． B ． C． D． 7 ．右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是（）A ．B ． C． D． 8 ．展开式最高次项的系数等于（） A ．1 B． C． D．2010 9 ．设圆锥曲线 C的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 r 上存在点 P满足 =4:3:2 ，则曲线 C的离心率等于（） A． B．或 2 C． 2 D ． 10．随机事件 A和 B，“ 建立”是“事件 A和事件 B 对峙”的（）条件（）A．充要B ．充分不用要 C．必需不充分 D．即不充分也不用要11．函数的图象大体是（） 12 ．已知 x，y 满足不等式组的最小值为（） A ． B ．2 C．3 D．第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共4 小题，每题4 分，共16 分，把答案填在题中横线上。

2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2014•大庆二模）复数=（）的分子分母都乘以分母的共轭复数，得=或．C D．轴上，且椭圆的方程为4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB=2，，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的C DEC=×××BD=2BE=DE==2×=2×h=5．（5分）（2014•重庆三模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为．C D．=∴==6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）．C D．，进而可求，从而可求与解：∵•=0∵||=1||=2AB=∴∴∴7．（5分）（2014•宜春模拟）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）D．=，两边平方得：=﹣，）×8．（5分）（2014•闸北区三模）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=．C D．，==9．（5分）（2014•湖北）已知x=lnπ，y=log52，，则（），＞，即可得到答案．5=，=＞，即（311．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的CG=DH=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣1．解：作出不等式组14．（5分）（2014•武汉模拟）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．﹣cosx cosx=2sinx cosx﹣﹣＜，=，x=．故答案为：）15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为56．解：由题意可得，此时系数为16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．=，，，∵∴（）﹣++=|==|===＜，=所成角的余弦值为三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．，sinAsinC=①sinC=18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．，（2），﹣∴2，（，（）∴=﹣=0•=0），（的法向量为，则，=，则，﹣），∴•﹣b=∴，，（﹣，﹣＜，==19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．1，根据120．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．，构造函数）x；②≤﹣时，∵，即x时，有时，，当时，≤≤21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．，到该切线的距离为，建立方程，求得，的斜率×=r=|MA|=到该切线的距离为∴﹣﹣﹣的距离为22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4，5），Q n（x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．的方程为时，可得，可得，可得是以﹣为首项，的方程为时，∴的方程为时，∴，∴，可得，∴∴∴是以﹣为首项，∴∴∴。

北京市海淀区2012届高三上学期期末考试试题数 学（理）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数52i=+ ( ) （A ）2i - （B ）21i 55+ （C ）105i - （D ）105i 33- （2）如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点.那么=EF（A ）1123AB AD-（B ）1142AB AD+（C ）1132AB DA+（D ）1223AB AD-（3）若数列{}n a 满足：119a =，13(*)n n a a n +=-∈N ，则数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9（4）已知平面α，β，直线l ，若αβ^，l αβ= ，则（A ）垂直于平面β的平面一定平行于平面α （B ）垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α （C ）垂直于平面β的平面一定平行于直线l （D ）垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直（5）函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕ=+ R 的部分图象如图所示，那么(0)f = （ ）（A ）12-（B）2-（C ）1- （D）-（6）执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（7）已知函数2()cos sin f x x x =+，那么下列命题中假命题．．．是 （ ） （A ）()f x 既不是奇函数也不是偶函数 （B ）()f x 在[,0]π-上恰有一个零点（C ）()f x 是周期函数 （D ）()f x 在(,2π5π)6上是增函数（8）点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是 （ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）直线 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）51)的展开式中2x 的系数是 . （用数字作答）（10）若实数,x y 满足40,20,250,x y x y x y ì+- ïïï-- íïï+- ïïî则2z x y =+的最大值为 .（11）抛物线2x ay =过点1(1,)4A ，则点A 到此抛物线的焦点的距离为 .甲城市 乙城市（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C °）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____________，气温波动较大的城市是____________.（13）已知圆C ：22(1)2x y -+=，过点(1,0)A -的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:3的两段圆弧，则直线l 的方程为 . （14）已知正三棱柱'''ABC A B C -的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为 ；最小正周期为 .8,3π说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，sin 3B =. （Ⅰ）求cos A 及sinC 的值； （Ⅱ）若2b =，求ABC ∆的面积.9 0 8 7 7 3 1 2 4 72 2 0 4 7侧（左）视图正（主）视图(16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. （Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望.(17)（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90ABC ? ，2AB PB PC BC CD ====，平面PBC ^平面ABCD .（Ⅰ）求证：AB ^平面PBC ；（Ⅱ）求平面PAD 和平面BCP 所成二面角（小于90°）的大小； （Ⅲ）在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面PAD ？若存在，求PMPB的值；若不存在，请说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数2()e ()xf x x ax a =+-，其中a 是常数.PABC D(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.(19)（本小题满分14分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1),Q 为椭圆C 的左顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.(20)（本小题满分14分）已知集合{1,2,3,,}(*)M n n = N ，若集合12{,,,}(*)m A a a a M m =臀N ，且对任意的b M Î，存在,(1)i j a a A i jm 危＃，使得12i j b a a λλ=+（其中12,{1,0,1}λλ?），则称集合A 为集合M 的一个m 元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由； ①{1,5}A =，{1,2,3,4,5}M =；②{2,3}A =，{1,2,3,4,5,6}M =.（Ⅱ）若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：(1)m m n + ；（Ⅲ）若集合A 为集合{1,2,3,,19}M = 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A .参考答案及评分标准 2012．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案ADBDCABD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）5 （10）7 （11）54（12）乙，乙（13）(1)3y x =+或(1)3y x =-+ （14）8；3π注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-. ………………………………………2分因为sin B =， 所以11cos 1233A =-?. ………………………………………3分 由题意可知，(0,)2B πÎ.所以cos B =………………………………………5分因为sin sin 22sin cos A B B B ===.………………………………………6分 所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+=. ………………………………………8分 （Ⅱ）因为sin sin b aB A=，2b =， ………………………………………10分=.所以3a =. ………………………………………11分所以1sin 29ABC S ab C ∆==. ………………………………………13分 (16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则()23!15!10P A ⨯==. ………………………………………4分 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.………………………………………5分（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3. ………………………………………6分()24!205!5P X ⨯===， ()323!315!10P X ⨯⨯===，()22!32!125!5P X ⨯⨯⨯===，()23!135!10P X ⨯===. ………………………………………10分随机变量X 的分布列为：因为 01231510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以 随机变量X 的数学期望为1. ………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 90ABC? ，所以 AB BC ⊥. ………………………………………1分 因为 平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，AB Ì平面ABCD ，所以 AB ^平面PBC . ………………………………………3分 （Ⅱ）解：取BC 的中点O ，连接PO . 因为PB PC =， 所以 PO BC ⊥.因为 平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，PO Ì平面PBC ， 所以 PO ^平面ABCD . ………………………………………4分 如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．不妨设2BC =.由 直角梯形ABCD 中2AB PB PC BC CD ====可得P ，(1,1,0)D -，(1,2,0)A .所以(1,DP =- ，(2,1,0)DA =.设平面PAD 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.DP DAìï?ïíï?ïî m m所以(,,)(1,0,(,,)(2,1,0)0,x y z x y z ìï?=ïíï?ïî即0,20.x y x y ìï-+=ïíï+=ïî 令1x =，则2, y z =-=-所以(1,2,=--m . ………………………………………7分取平面BCP 的一个法向量n ()0,1,0=. 所以cos ,⋅==m n m n m n . 所以 平面ADP 和平面BCP 所成的二面角（小于90°）的大小为4π. ………………………………………9分 （Ⅲ）解：在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面PAD ，此时12PM PB =. 理由如 下： ………………………………………10分 取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN . 则 MN ∥PA ，12AN AB =. 因为 2AB CD =，NMPABCD所以 AN CD =. 因为 AB ∥CD ，所以 四边形ANCD 是平行四边形. 所以 CN ∥AD .因为 , MN CN N PA AD A == ，所以 平面MNC ∥平面PAD . ………………………………………13分 因为 CM Ì平面MNC ，所以 CM ∥平面PAD . ………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由2()e ()xf x x ax a =+-可得2'()e [(2)]xf x x a x =++. ………………………………………2分 当1a =时,(1)e f = ,'(1)4e f =. ………………………………………4分 所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-. ………………………………………5分 （Ⅱ） 令2'()e ((2))0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………6分 当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以 方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根.………………………………………8分当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为2((2))ea f a +-+=. ………………………………………10分 因为 函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数， 且当x a ≥-时，有()f x e ()aa a -≥->-. ………………………………………11分所以 要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是24(,]e a a a ++-. ……………………………………13分 (19)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222a b c =+.由题意可知：1b =，2c a =. ………………………………………2分 所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ……………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . （ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-. 由226,514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：6,545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6,54.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即6464(,), (,)5555A B ---（不妨设点A 在x 轴上方）.………………………………………5分则直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-. 因为 1AQ BQ k k ⋅=-， 所以 AQ BQ ^.所以 2AQB π∠=. ………………………………………6分 （ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()(0)5y k x k =+≠.由226(),514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为 点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>. 21222122240,25100144100.25100k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………8分 因为 1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+ ，116()5y k x =+，226()5y k x =+，所以 1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++121266(2)(2)()()55x x k x k x =++++⋅+ 2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k =++++++ 2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+++-++=++. 所以 QA QB ⊥.所以 QAB ∆为直角三角形. ………………………………………11分 假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则QA QB =取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB ^.记点6(,0)5-为N . 另一方面，点M 的横坐标22122212024225100520M x x k k x k k+==-=-++， 所以 点M 的纵坐标266()5520M M ky k x k=+=+. 所以 222221016666(,)(,)520520520520k k k QM NMk k k k+? ++++222601320(520)k k += +. 所以 QM 与NM不垂直，矛盾.所以 当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.………………………………………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）①{1,5}A =不是{1,2,3,4,5}M =的一个二元基底.理由是 1212315(,{1,0,1})λλλλ棺+孜-；②{2,3}A =是{1,2,3,4,5,6}M =的一个二元基底. 理由是 11213,21203,30213=-????? ， 41212,51213,61313=????? .………………………………………3分 （Ⅱ）不妨设12m a a a <<< ，则 形如10i j a a ? (1)ij m ＃ 的正整数共有m 个； 形如11ii a a ? (1)im ＃的正整数共有m 个；形如11i j a a ? (1)ij m ? 的正整数至多有2mC 个； 形如(1)1i j a a -? (1)ij m ? 的正整数至多有2mC 个. 又集合{1,2,3,,}M n = 含n 个不同的正整数，A 为集合M 的一个m 元基底. 故22m m m m C C n +++ ，即(1)m m n + . ………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知(1)19m m + ，所以4m ³.当4m =时，(1)191m m +-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. * 假设1234{,,,}A a a a a =为{1,2,3,,19}M = 的一个4元基底， 不妨设1234a a a a <<<，则410a ³. 当410a =时，有39a =，这时28a =或7.如果28a =，则由1109,198,1899,18108=-=-=+=+，与结论*矛盾. 如果27a =，则16a =或5.易知{6,7,9,10A =和{5,7,9,10}A =都不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾. 当411a =时，有38a =，这时27a =，16a =，易知{6,7,8,11}A =不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾.当412a =时，有37a =，这时26a =，15a =，易知{5,6,7,12}A =不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾.当413a =时，有36a =，25a =，14a =，易知{4,5,6,1A =不是{1,2,3,,1M = 的4元基底，矛盾. 当414a =时，有35a =，24a =，13a =，易知{3,4,5,1A =不是{1,2,3,,M = 的4元基底，矛盾.当415a =时，有34a =，23a =，12a =，易知{2,3,4,1A =不是{1,2,3,,1M = 的4元基底，矛盾. 当416a =时，有33a =，22a =，11a =，易知{1,2,3,16}A =不是{1,2,3,,M = 的4元基底，矛盾.当417a ³时，A 均不可能是M 的4元基底.当5m =时，M 的一个基底{1,3,5,9,16}A =；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，m 的最小可能值为5. ………………………………………14分。

注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一选择题本大题共12小题每小题5分在每小题给同的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1已知集合12345ABxyxAyAxyA 则B中所含元素的个数为A3 B6 C D 2将2名教师4名学生分成2个小组分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动每个小组由1名教师和2名学生组成不同的安排方案共有A12种B10种C种D种3下面是关于复数21zi的四个命题其中的真命题为1:2pz 22:2pzi 3:pz的共轭复数为1i 4:pz的虚部为1 A23pp B 12pp Cpp Dpp 4设12FF是椭圆2222:10xyEabab的左、右焦点P为直线32ax上一点21FPF是底角为30的等腰三角形则E的离心率为A12 B 23 C D 5已知na为等比数列472aa568aa则110aa A7 B 5 C D 6如果执行右边的程序框图输入正整数2NN和实数12...naaa输出AB则AAB为12...naaa的和B2AB为12...naaa的算术平均数CA和B分别是12...naaa中最大的数和最小的数DA和B分别是12...naaa中最小的数和最大的数7如图网格纸上小正方形的边长为1粗线画出的是某几何体的三视图则此几何体的体积为A6 B 9 C D 8等轴双曲线C的中心在原点焦点在x轴上C与抛物线xy162的准线交于AB 两点43AB则C的实轴长为A2 B 22 C D 9已知0函数sin4fxx在2上单调递减。

则的取值范围是A1524 B 1324 C 102 D02 10 已知函数1ln1fxxx则yfx的图像大致为11已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上ABC是边长为1的正三角形SC为球O的直径且2SC则此棱锥的体积为A26 B 36 C 23 D22 12设点P在曲线12xye上点Q在曲线ln2yx上则PQ最小值为第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2012年高中毕业班综合练习数学（理）试题（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1．已知全集U =R，集合2{0}A x x x =->，则U A =ðA ．{|01}x x <<B ．{|01}x x ≤≤C ．{|01}x x x <>或D ．{|01}xx x ≤≥或2．如图，在复平面内，若复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB u u u r u u u r，则复数12z z +所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限第2题图D 1C 1B 1A 1C ABPD 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“32S S >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．若一个几何体的三视图，其正视图和侧视图均为矩形、俯视图为正 三角形，尺寸如图所示，则该几何体的体积为A ．23B ．33C ．3D ．235．如图，执行程序框图后，输出的结果为A ．8B ．10C ．12D ．326．下列函数中，周期为π，且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的奇函数是A ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7．已知0AB BC ⋅=u u u r u u u r ，1AB =u u u r ，2BC =u u u r ，0AD DC ⋅=u u u r u u u r ，则BD u u u r的最大值为A ．255B. 2C. 5D. 25 8．若从区间(0,)e 内随机取两个数，则这两个数之积不小于．．．e 的概率为A ．11e - B ．21e -C ．1eD ．2e9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，若平面11A BCD 上一动点P 到1AB 和BC 的距离相等，则点P 的轨迹为A ．椭圆的一部分B ．圆的一部分C ．一条线段D ．抛物线的一部分10．将方程tan 0x x +=的正根从小到大地依次排列为12,,,,n a a a L L ，给出以下不等式：①102n n a a π+<-<；②12n n a a ππ+<-<；③122n n n a a a ++>+； ④122n n n a a a ++<+； 其中，正确的判断是A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④ 第4题图第9题图 第5题图第15题图 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11．已知函数,0()2,0x x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()1f f -= .12．已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>的离心率为2，有一个焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则n =__________.13．已知等差数列{}n a 的公差不为零，12513a a a ++>，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则1a 的取值范围为 .14．已知三次函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示， 则(3)(1)f f '-=' ．15．假定平面内的一条直线将该平面内的一个区域分成面积相等的两个区域，则称这条直线平分这个区域．如图，ℵ是平面α内的任意一个封闭区域.现给出如下结论：① 过平面内的任意一点至少存在一条直线平分区域ℵ；② 过平面内的任意一点至多存在一条直线平分区域ℵ；③ 区域ℵ内的任意一点至少存在两条直线平分区域ℵ； ④ 平面内存在互相垂直的两条直线平分区域ℵ成四份． 其中正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）招聘会上，某公司决定先试用后再聘用小强，该公司的甲、乙两个部门各有4个不同岗位．（Ⅰ）公司随机安排小强在这两个部门中的3个岗位上进行试用，求小强试用的3个岗位中恰有2个在甲部门的概率；（Ⅱ）经试用，甲、乙两个部门都愿意聘用他．据估计，小强可能获得的岗位月工资及相应概率如下表所示：求甲、乙两部门月岗位工资的期望与方差，据此请帮助小强选择一个部门，并说明理由．甲部门不同岗位月工资1X （元） 2200 2400 2600 2800 获得相应岗位的概率1P 0.4 0.3 0.2 0.1乙部门不同岗位月工资2X （元） 2000 2400 2800 3200 获得相应岗位的概率2P 0.4 0.3 0.2 0.1第14题图xyC BN M TOA17．（本小题满分13分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2,6AB AC ==, 点D在线段1BB 上，且113BD BB =，11AC AC E =I ． （Ⅰ）求证：直线DE 与平面ABC 不平行；（Ⅱ）设平面1ADC 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，若7cos θ=，求1AA 的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面1ADC I 平面ABC l =，求直线l 与DE 所成的角的余弦值．18．（本小题满分13分）如图，圆C 与y 轴相切于点()0,2T ，与x 轴正半轴相交于两点 ,M N （点M 在点N 的左侧），且3MN =． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点M 任作一条直线与椭圆22:148x y Γ+=相交于两点A B 、，连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠．19．（本小题满分13分）第17题图第18题图已知函数()ln(1)1axf x xx=+++()a∈R．（Ⅰ）当2a=时，求函数()xfy=的图象在0x=处的切线方程；（Ⅱ）判断函数()f x的单调性；（Ⅲ）求证：2111ln1n n n⎛⎫+>-⎪⎝⎭（*n N∈）．20．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β的终边分别与单位圆交于A，B两点．（Ⅰ）如果3tan4α=，B点的横坐标为513，求()cosαβ+的值；（Ⅱ）若角αβ+的终边与单位圆交于C点，设角α、β、αβ+的正弦线分别为MA、NB、PC，求证：线段MA、NB、PC能构成一个三角形；（III）探究第（Ⅱ）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标保持不变的伸缩变换．（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点A、B的极坐标分别为(1,)3π、2(3,)3π，曲线C的参数方程为cos,(sinx ry rααα=⎧⎨=⎩为参数）．第20题图（Ⅰ）求直线AB 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线AB 和曲线C 只有一个交点，求r 的值． （3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲已知关于x m <对于任意的[1,2]x ∈-恒成立 （Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求函数()21(2)f m m m =+-的最小值．参考答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.B2.A3.C4.D5.B6.D7. C8. B9.D 10. D 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11. 2 12. 12 13. (1,)+∞ 14. 5- 15. ①④三、解答题(本大题共6小题，共80分) 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件“小强试用的3个岗位中恰有2个在甲部门的概率”为A ，则()21443837C C P A C ⋅==． ······································································· 6分 （Ⅱ）22000.424000.326000.228000.12400E =⨯+⨯+⨯+⨯=甲（元），················ 7分 20000.424000.328000.232000.12400E =⨯+⨯+⨯+⨯=乙（元）． ··························· 8分 ()()()()()2222220024000.4240024000.3260024000.2280024000.1D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯甲 40000=， ············································································································· 9分()()()()()2222200024000.4240024000.3280024000.2320024000.1D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯乙 160000=． ·········································································································· 10分 选择甲部门：因为()()X X D X D X =<甲乙甲乙，，说明甲部门各岗位的工资待遇波动比乙部门小，竞争压力没有乙部门大，比较安稳． ·························································· 13分 选择乙部门：因为()()X X D X D X =<甲乙甲乙，，说明乙部门各岗位的工资待遇波动比甲部门大，岗位工资拉的比较开，工作比较有挑战性，能更好地体现工作价值． ·· 13分17．（本小题满分13分）解：依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设1AA h =，则 ()()()()112,0,0,0,6,0,2,0,,0,0,,0,6,,0,3,32h h B C D A h C h E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2分（Ⅰ）证明：由1AA ⊥平面ABC 可知()10,0,1n =u u r为平面ABC 的一个法向量．∴ ()12,3,0,0,1066h hDE n ⎛⎫⋅=-⋅=≠ ⎪⎝⎭u u u r u u r ． ·························· 3分∴ 直线DE 与平面ABC 不平行． ···························· 4分（Ⅱ）设平面1ADC 的法向量为()2,,n x y z =u u r，则()()()221,,2,0,2033,,0,6,60h h n AD x y z x z n AC x y z h y hz ⎧⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩u u r u u u r u u r u u u u r ， ··············· 5分 取6z =-，则x y h ==，故()2,,6n h h =-u u r． ·············· 6分∴121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>==u u r u u ru u r u u r u u r u u r ·············································· 7分解得h =．∴1AA =． ············································································································· 8分 （Ⅲ）在平面11BCC B 内，分别延长1CB C D 、，交于点F ，连结AF ，则直线AF 为平面1ADC 与平面ABC 的交线． ·········································································································· 9分∵ 1//BD CC ，1111==33BD BB CC ，∴ 113BF BD FC CC ==．∴ 12BF CB =u u u r u u u r ，∴ ()()()112,0,02,6,03,3,022AF AB BF AB CB =+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． ························· 11分由（Ⅱ）知，h =，故(2,3,6h DE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭u u u r ，∴cos ,AF DE AF DE AF DE ⋅<>===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ·················································· 12分 ∴ 直线l 与DE所成的角的余弦值为= ··········································· 13分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设圆C 的半径为r （0r >），依题意，圆心坐标为(,2)r ． ······················ 1分∵ 3MN =∴ 222322r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得2254r =． ·············································································· 3分∴ 圆C 的方程为()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． ······························································· 5分（Ⅱ）把0y =代入方程()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，解得1x =，或4x =，即点()1,0M ，()4,0N ． ································································································ 6分 （1）当AB x ⊥轴时，由椭圆对称性可知ANM BNM ∠=∠． ··································· 7分 （2）当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为()1y k x =-．联立方程()22128y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，消去y 得，()22222280k x k x k +-+-=． ························ 8分 设直线AB 交椭圆Γ于()()1122,,A x y B x y 、两点，则212222k x x k +=+，212282k x x k -⋅=+． ················································································· 9分 ∵ ()()11222,2y k x y k x =-=-，∴ ()()12121212114444AN BN k x k x y y k k x x x x --+=+=+---- ()()()()()()122112141444k x x k x x x x --+--=--． ········································································ 10分∵()()()()()()221221121222281014142588022k k x x x x x x x x k k ---+--=-++=-+=++， 11分∴ 0AN BN k k +=，ANM BNM ∠=∠． ······································································ 12分 综上所述，ANM BNM ∠=∠． ···················································································· 13分19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当2a =时，2()ln(1)1xf x x x =+++，∴22123()1(1)(1)x f x x x x +'=+=+++， ·············································································· 1分 ∴ (0)3f '=，所以所求的切线的斜率为3. ································································ 2分又∵()00f =，所以切点为()0,0. ·············································································· 3分 故所求的切线方程为：3y x =. ······················································································ 4分（Ⅱ）∵()ln(1)1axf x x x =+++(1)x >-， ∴221(1)1()1(1)(1)a x ax x af x x x x +-++'=+=+++． ···································································· 5分 ①当0a ≥时，∵1x >-，∴()0f x '>； ······································································· 6分 ②当0a <时，由()01f x x '<⎧⎨>-⎩，得11x a -<<--；由()01f x x '>⎧⎨>-⎩，得1x a >--； ······························ 7分综上，当0a ≥时，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增；当0a <时，函数()f x 在(1,1)a ---单调递减，在(1,)a --+∞上单调递增． ·········· 8分 （Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，当1a =-时，()()ln 11xf x x x =+-+在()0,+∞上单调递增． ···························································· 9分 ∴ 当0x >时，()()00f x f >=，即()ln 11xx x +>+． ········································· 10分 令1x n =（*n ∈N ），则111ln 1111nn n n⎛⎫+>=⎪+⎝⎭+． ····················································· 11分 另一方面，∵()2111n n n <+，即21111n n n-<+,∴21111n n n>-+． ······································································································ 12分 ∴ 2111ln 1n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭（*n ∈N ）． ············································································· 13分方法二：构造函数2()ln(1)F x x x x =+-+，(01)x ≤≤ ··········································· 9分 ∴1(21)'()1211x x F x x x x +=-+=++， ······································································ 10分 ∴当01x <≤时,'()0F x >；∴函数()F x 在(0,1]单调递增． ·················································································· 11分∴函数()(0)F x F > ，即()0F x >∴(0,1]x ∀∈，2ln(1)0x x x +-+>，即2ln(1)x x x +>- ····································· 12分 令1x n =（*n ∈N ），则有2111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭． ··························································· 13分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）已知α是锐角，根据三角函数的定义，得3sin 5α=，4cos 5α=， ··············· 1分 又5cos 13β=，且β是锐角，所以12sin 13β=． ···························································· 2分 所以4531216cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-． ····························· 4分 （Ⅱ）证明：依题意得，sin MA α=，sin NB β=，sin()PC αβ=+ 因为0παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，2，所以cos (0,1)α∈，cos (0,1)β∈，于是有 sin()sin cos cos sin sin sin αβαβαβαβ+=+<+，① ················································· 6分 又∵()0,,1cos()1αβπαβ∈∴-<<++，sin sin(())sin()cos cos()sin sin()sin ααββαββαββαββ=+-=+⋅-+⋅<++，②7分 同理，sin sin()sin βαβα<++，③由①，②，③可得，线段MA 、NB 、PC 能构成一个三角形. ·········································································· 8分 （III ）第（Ⅱ）小题中的三角形的外接圆面积是定值，且定值为4π. 不妨设A B C '''∆的边长分别为()sin sin sin αβαβ+、、，其中角A '、B '、C '的对边分别为()sin sin sin αββα+、、.则由余弦定理，得：222sin sin sin ()cos 2sin sin A αβαβαβ+-+'=⋅ ······································································· 9分 222222sin sin sin cos cos sin 2sin cos cos sin 2sin sin αβαβαβαβαβαβ+---=⋅ 2222sin sin sin sin 2sin cos cos sin 2sin sin αββααβαβαβ⋅+-=⋅ sin sin cos cos αβαβ=⋅-cos()αβ=-+ ······································································································ 11分因为0παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，2，所以(0,)αβπ+∈，所以sin sin()A αβ'=+， ························ 12分 设A B C '''∆的外接圆半径为R ， 由正弦定理，得sin()21sin sin()B C R A αβαβ''+==='+，∴12R =， ········································· 13分 所以A B C '''∆的外接圆的面积为4π. ············································································ 14分 21．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 解：（Ⅰ）由条件得矩阵1002M ⎛⎫= ⎪⎝⎭． ····································································· 2分 （Ⅱ）因为矩阵1002M ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征多项式为10()(1)(2)02f λλλλλ-==---， 令()0f λ=，解得特征值为11λ=，22λ=， ······························································· 4分设属于特征值1λ的矩阵M 的一个特征向量为1x e y ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r ，则12x x M e y y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u r ，解得0y =，取1x =，得110e ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r ， 5分 同理，对于特征值2λ，解得0x =，取1y =，得201e ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u r ， ······································ 6分 所以110e ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r 是矩阵M 属于特征值11λ=的一个特征向量，201e ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u r 是矩阵M 属于特征值22λ= 的一个特征向量． ··························································································· 7分（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程解：（Ⅰ）∵点A 、B 的极坐标分别为(1,)3π、2(3,)3π， ∴点A 、B的直角坐标分别为1(,22、3(,22-， ········································ 2分 ∴直线AB的直角坐标方程为40y +-=． ·············································· 4分 （Ⅱ）由曲线C 的参数方程cos ,(sin x r y r ααα=⎧⎨=⎩为参数）化为普通方程为222x y r +=，5。