高三数学模拟试题及答案

高三数学模拟试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。

A. 1B. 3C. 5D. 7答案：C2. 求下列数列的通项公式：数列：1, 1/2, 1/3, 1/4, ...A. a_n = nB. a_n = 1/nC. a_n = n^2D. a_n = 1/(n+1)答案：B3. 已知圆x^2 + y^2 = 9，点P(1, 2)，求点P到圆心的距离。

A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C4. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的夹角θ。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B5. 已知函数y = x^3 - 3x^2 + 4x，求导数y'。

A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x + 5C. 3x^2 - 6x + 3D. 3x^2 - 6x + 2答案：A6. 已知等差数列的第5项为15，第8项为25，求公差d。

A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B7. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，求三角形ABC的面积。

A. 6B. 9C. 12D. 15答案：A8. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。

A. √2B. √3C. 2D. 1答案：A9. 已知复数z = 1 + i，求z的共轭复数。

A. 1 - iB. 1 + iC. -1 + iD. -1 - i答案：A10. 已知函数y = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。

A. 0B. 3C. 6D. 9答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。

）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f''(x)的值。

2024年高考第二次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合(){}{}ln 3,1A x y x Bx x ==−=≤−，则()A B =R （ ）A ．{}13x x −<≤B ．{}1x x >− C ．{1x x ≤−,或}3x >D ．{}3x x >2.已知复数i z a b =+（a ∈R ，b ∈R 且a b ），且2z 为纯虚数，则zz=（ ） A ．1B ．1−C ．iD ．i −3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b + 在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A ． jB ． j −C ． 2jD ． 2j −4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A ．60 B ．114 C ．278 D ．3366.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A ． ()5,11,3 −−∪−+∞B ． [)5,1,3−∞−∪+∞C ． (][) ,21,−∞−∪+∞D ． [)()2,11,−−−+∞7.已知ABC ∆中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A ． 4πB ． 6πC ． 8πD ． 9π8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G 的四边均与椭圆22:164x y M +=相切，则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆MB ．椭圆M 的蒙日圆方程为2210x y +=C ．若G 为正方形，则G 的边长为D ．长方形G 的面积的最大值为18二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得60分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的是（ ） A ．MN 的最小值是6 B ．若点5,22P，则MF MP +的最小值是4C ．113MF NF+= D ．若18MF NF ⋅=，则直线MN 的斜率为1± 10.已知双曲线()222:102x y E a a−=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ）A ． 若E 的两条渐近线相互垂直，则a =B． 若E E 的实轴长为1C ． 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅=D ． 当a 变化时，1F PQ 周长的最小值为11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ） A ．11B D 与EF 是异面直线B ．存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APBC ．1A F 与平面1B EBD ．点1B 到平面1A EF 的距离为45三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为13.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.14. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对于任意的*n ∈N 都有321n n S a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项中的最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，求数列{}n b 的前20项和20T ．16．（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X 表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n 表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求X 的分布列；（2）若满足()0.6P X n ≥≤的n 的最小值为0n ，求0n ；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较01nn =−与0n n =哪种方案更优.17．（15分）如图,在三棱柱111ABC A B C −中,直线1C B ⊥平面ABC,平面11AA C C ⊥平面11BB C C .(1)求证:1AC BB ⊥;(2)若12AC BC BC ===,在棱11A B 上是否存在一点P ,使二面角1P BC C −−?若存在,求111B PA B 的值;若不存在,请说明理由.18．（17分）已知函数()ln =−+f x x x a ．(1)若直线(e 1)yx =−与函数()f x 的图象相切，求实数a 的值； (2)若函数()()g x xf x =有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，证明：12121ln()x x x x +>+．（e 为自然对数的底数）．19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q,P 的距离之比()||0,1,||MQ MP λλλλ=>≠是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为224x y +=,定点分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点F 与右顶点A,且椭圆C 的离心率为1.2e = (1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于B ,D(点B 在x 轴上方),点S,T 是椭圆C 上异于B,D 的两点，SF 平分,BSD TF ∠平分.BTD ∠（1）求||||BF DF 的取值范围；（2）将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为818π,求直线l 的方程.2024年高考第二次模拟考试高三数学全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．{13x x −<≤B ．{1x x >− C.{1x x ≤−,或}3x >D ．{3x x >【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可， 【详解】由题意得{}3A x x =>，{}1B x x =≤−，又{}1B x x =>−R 则(){}1A B x x ∪=>−R ，故选：B.A ．1B ．1−C ．iD ．i −【答案】D【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.【详解】因为i z a b =+，所以()2222(i)2i z a b a b ab =+=−+，又因为2z 为纯虚数，所以2220a b ab −= ≠，即0a b =≠（舍）或0a b =−≠， 所以i z a a =−，所以i z a a =+， 所以2i 1i (1i)i i 1i (1i)(1i)z a a a a z −−−====−+++−. 故选：D3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A. jB. j −C. 2jD. 2j −【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t −−=，求得2t =−，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b j jj j+⋅⋅ ，计算即可得解. 【详解】由向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a与b共线，则240t −−=，所以2t =−，(1,2)a b +=−，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为： ()(1,2)(0,1)21a b j j j j j j+⋅−⋅⋅=⋅=， 故选：C4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当0a >时，由1ab >，可得10b a>>， 当a<0时，由1ab >，得10b a<<； 所以“1ab >”不是“10b a>>”的充分条件. 因为01010a b ab a a>>>⇔− > ，所以1ab >， 所以“1ab >”是“10b a>>”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题. 5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A.60 B.114 C.278 D.336【答案】D【解析】命题意图 本题考查排列与组合的应用.录用3人，有 353360C A = 种情况；录用4 人，有 4232354333162C C A C A −=种情况；录用 5 人，有12323331345333333225)4(C C A C A (C A C A )11A −+−=种情况.所以共有336种.6.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A. ()5,11,3 −−∪−+∞B. [)5,1,3−∞−∪+∞C. (][) ,21,−∞−∪+∞D. [)()2,11,−−−+∞【答案】B 【解析】【分析】D 的圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+,要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，故sin sin 30rMPD PD∠=≥°，由此可求解. 【详解】D 的标准方程为()()2221x a y a −+=+，圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+.因为,PM PN MD ND ==，所以PMD PND ≅△△.所以30MPD NPD ∠=∠=°.要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形， 则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，此时30MPD ∠≥°，故1sin sin 302r MPDPD ∠=≥°=，即()1132a a +≥+，整理得23250a a +−≥，解得[)5,1,3a∈−∞−∪+∞.故选:B.7.已知ABC 中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A. 4π B. 6πC. 8πD. 9π【答案】B 【解析】【分析】根据题意得PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，则∠ACB ＝90°，结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥−P ABC 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积． 【详解】三棱锥−P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ，∵sin θ，∴sin PA PQ θ==≤PQ ≥即PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1， 直角三角形△ABQ 中，AB ＝2，所以∠BAQ =60°,又∠BAC ＝60°， 所以,A Q 重合，则∠ACB ＝90°， 则△ABC 的外接圆圆心M 为AB 的中点，又PA ⊥平面ABC ，从而外接球的球心O 为PB 的中点，外接球的半径R OB =，∴三棱锥−P ABC 的外接球的表面积224π4π6πS R ==×=．故选：B ．8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相【分析】由椭圆标准方程求得,a b 后再求得c ，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．【详解】由椭圆方程知a =2b =，则c ，离心率为e =A 正确；当长方形G 的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为4，因此蒙，圆方程为2210x y +=，B 正确； 设矩形的边长分别为,m n ，因此22402m n mn +=≥，即20mn ≤，当且仅当m n =时取等号，所以长方形G 的面积的最大值是20，此时该长方形G 为正方形，边长为C 正确，D 错误． 故选：D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的【分析】A ，根据12||=MN x x p ++结合基本不等式即可判断；B ，由抛物线定义知当,,P M A 三点共线时MF MP +；C ，D ，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A ，设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x >， 因为这些MN 倾斜角不为0， 则设直线MN 的方程为32x ky =+，联立抛物线得2690y ky −−=， 则12126,9y y k y y +=⋅=−，所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=， 则212||=3666MN x x k ++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），A 正确； 对B ，如图MA ⊥抛物线准线，MF MP MA MP +=+要使其最小， 即,,P M A 三点共线时取得最小值，即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=，B 正确； 对C ，由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++，C 错误； 对D ，1212123339()()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=，解得1k =±,D 正确故选：ABD.10.已知双曲线()222:102x y E a a −=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ） A. 若E的两条渐近线相互垂直，则a =B. 若EE 的实轴长为1C. 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅= D. 当a 变化时，1F PQ周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,ba b a===，故A 正确；B 选项，若E的离心率为c e a ==， 解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=°，则122221224PF PF a PF PF c −=+=， 整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=−==⋅=，故C 正确； D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF a QF QF a −=−= ，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +−=+=+， 所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥， 当且仅当84a a=，即a = 所以1F PQ周长的最小值为D 正确. 故选：ACD11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ）【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =− ，根据数量积为0得到BC m ⊥ ，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =−=− ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误； B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z −−−−=，即224222x xy y z z =− =− −=−，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ， 设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a b c mAB a b c a c ⋅=⋅=++=⋅=⋅=+= ， 令1a =，则0,1b c ==−，则()1,0,1m =−， 因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=−= ，故BC m ⊥ ，BC //平面1APB ， 故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =，故1A F 与平面1B EB则1A F 与平面1B EBC 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⋅⋅−+− ⋅=⋅−=−+= ， 令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n = ， 则点1B 到平面1A EFD 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240 【解析】【详解】因为二项式nx+ 的展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式为6x+，则二项式展开式的通项3662166C C 2r r r r r rr T x x −−+=， 令第1r +项的系数最大，则11661166C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r −−++ ≥ ≥ ，解得111433r ≤≤， 因为N r ∈，所以4r =，则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240T x −×==，所以填24013.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0 【解析】【详解】注意到，()cos f x a x =+′.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ′′=−⇔++=−()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+=221212cos cos cos cos 1022x x x x a +−⇔++−=12cos cos 1,0x x a ⇔=−=±=.故答案为014. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.【答案】2+ 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得求出11,22A D AB y CD y =+=+，当l y ⊥轴时，则1D Ay y ==，可求3AB CD +的值；当直线方程为()1x n y =−时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此时3AB CD +的最小值，即可得结论． 【详解】解：如图，其中抛物线214y x =的焦点坐标为()0,1F ，抛物线的准线方程为：1y =−，圆()22114x y +−=的半径12r =又抛物线的定义可得：1,1A D AF y DF y =+=+，又11,22A D AB AF BF y CD DF CF y =−=+=−=+，当l y ⊥轴时，则1A Dy y ==，所以113131622AB CD+=+++=； 当l 不垂直于y 轴时，设l 的方程为：()1x n y =−，代入抛物线方程得：()2222240n y n y n −++=， 所以2224,1A D A D n y y y y n++=⋅=。

陕西省2025届高三第一次模拟联考文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义，干脆运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和精确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.2.复数i（1+2i）的模是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解．【详解】由题意,依据复数的运算可得，所以复数的模为，故选D.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题。

3.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2．故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简洁的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.4.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】B【解析】【分析】依据三视图画出几何体的直观图，推断几何体的形态以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，其中解答中推断几何体的形态与对应数据是解题的关键，着重考查了推理与计算实力，属于基础题。

2024学年杭州地区高三第一学期数学开学考模拟试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{|33},{|A x Z x B x y ∈−<<，则A B ∩=( ) A.{1,0,1,2}− B.(1,3)− C.{0,1,2}D.(1,)−+∞2.复数312i z i =−在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若(2,1,1)A ，(1,2,2)B 在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A.(2,1,2)B.(2,2,3)− C.(1,1,1)− D.(1,0,0)4.设双曲线2212:1(0)x C y a a −=>，椭圆222:14x C y +=的离心率分别为1e ，2e ，若12e =，则a =()A.B.D.5.已知圆221:()4O x y m +−=上动弦AB 的长为，若圆222:9O x y +=上存在点P 恰为线段AB 的中点，则实数m 的取值范围是( ) A.[2,4]B.[1,3]C. [4,2][2,4]−−∪D. [3,1][1,3]−−∪6.已知函数()f x 及其导数()f x ′的定义域为R ，记()()g x f x =′，且()f x ，(1)g x +都为奇函数.若(5)2f −=，则(2023)f =( )A.0B. 12−C. 2D.2−7.已知sin()2sin()36ππαα−=−+，则sin(2)3πα+=( ) A. 34−B.34C. 45−D.458.已知棱长相等的正三棱锥P ABC −底面的三个顶点A ，B ，C 均在以O 为球心的球面上(其中O 为ABC 的中心)，球面与棱PA ，PB ，PC 分别交于点1A ，1B ，1.C 若球O 的表面积为12π，则多面体111A B C ABC −的体积为( )A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

2023-2024学年北京市高三三模数学模拟试题一、单选题1．如图，集合A B ､均为U 的子集，()U A B ⋂ð表示的区域为（）A ．IB ．IIC ．IIID ．IV【正确答案】D【分析】由补集和交集的概念求解即可.【详解】由补集的概念，U A ð表示的区域如下图所示阴影区域，∴()U A B ⋂ð表示的区域为下图所示阴影区域，即为图中的区域Ⅳ.故选：D.2．在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（）A ．()tan =f x xB ．()f x x =C ．()2xf x =D ．()2f x x=【正确答案】C【分析】A.利用正切函数的性质判断；B.利用绝对值函数的性质判断；C.利用指数函数的性质判断；D.利用二次函数的性质判断.【详解】解：A.()tan =f x x 的增区间为πππ,π,Z 22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，在整个定义域上不单调，故错误；B.()f x x =的增区间是[0,)+∞，在整个定义域上不单调，故错误；C.()2xf x =在R 上递增，故正确；D.()2f x x =的增区间是[0,)+∞，在整个定义域上不单调，故错误；故选：C3．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.4．已知tan 2x =，则tan 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．3B ．－3C ．13D ．34-【正确答案】B【分析】利用两角和的正切公式求解.【详解】解：因为tan 2x =，所以πtan tanπ214tan 3π41211tan tan 4x x x ++⎛⎫+===- ⎪-⋅⎝⎭-⋅，故选：B5．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2023年5月1日12350002023年5月15日6035500注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升【正确答案】D【分析】分析表中数据，得出行驶路径和耗油量，可计算结果.【详解】由表中的数据可知，行驶路径500千米耗油量为60升，则该车每100千米平均耗油量为60125=升.故选：D6．已知||1,||0OA OB OA OB =⋅=，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒.设()OC mOA nOB m n =+∈R、，则mn等于（）A ．13B ．3CD 【正确答案】B【分析】由题意可得OA OB ⊥,建立坐标系，由已知条件可得()OC m =，进而可得tan 30︒==，即可得答案.【详解】解：因为||1,||0OA OB OA OB =⋅=，所以OA OB ⊥ ,又因为点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，建立如图所示的坐标系：则(1,0)OA = ,OB =,又因为()OC mOA nOB m n =+∈R、，所以()OC m =，所以tan 303m ︒==，所以3mn=.故选：B.7．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.8．已知{}n a 为无穷等差数列，则“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据等差数列性质结合充分、必要条件分析判断.【详解】“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”，不能推出“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”，例如32n a n =-，则121,1a a ==-，即1,2i j ==，满足120i j a a a a +=+=，但令320k a k =-=，则*32k =∉N ，故不存在存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =，故“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的不充分条件；若“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”，则取11,1i k j k =-≥=+，则1120i j k k k a a a a a -++=+==，故“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的必要条件；综上所述：“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的必要不充分条件.故选：B.9．十八世纪，瑞士数学家欧拉研究调和级数时，得到了以下结果：当n 很大时，1111ln 23n nγ++++=+ （其中γ为常数，其近似值为0.577）据此，可以估计111200012000230000+++ 的值为（）A ．4ln10B ．ln6C ．ln2D ．3ln2【正确答案】D【分析】根据已知结论得两个等式相减即可得解.【详解】由题意得1111ln300002330000γ++++=+ ,1111ln200002320000γ++++=+ ，两式相减得，111300003ln 30000ln 20000ln ln 200012000230000200002+++=-== .故选：D ．10．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”.已知常数0,0p q ≥≥，给出下列命题：①若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个；②若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个；③若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】D【分析】根据“距离坐标”的定义，依次分析各命题即可得答案.【详解】解：①，若0p q ==，则“距离坐标”为()0,0的点是两条直线的交点O ，因此有且仅有1个，故正确.②，若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为()0,q 或(),0p 的点有且仅有2个，故正确.③若0pq ≠，则0,0p q ≠≠，“距离坐标”为(),p q 的点有且仅有4个，为123,,,M M M M ，如图，故正确.故正确的命题个数为3个.故选：D二、填空题11．若5(1a =+,a b 为有理数），则a b +=_______________．【正确答案】120【分析】利用二项式定理展开5(1并计算，再利用有理项、无理项求解作答.【详解】由二项式定理得：1234555555513C 9C 97644(1=+++++=+依题意，76a +=+,a b 为有理数，因此76,44a b ==，所以120a b +=.故12012．银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，但记得密码的最后1位是偶数，则在第一次没有按对的条件下第2次按对的概率是_________．【正确答案】14/0.25【分析】根据条件概率公式直接计算即可.【详解】记事件A ：第一次没有按对密码；事件B ：第二次按对密码；()45P A =，()411545P AB =⨯=，()()()14P AB P B A P A ∴==.故答案为.14三、双空题13．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则bc=_______，cos A 的值为________．【正确答案】3214-【分析】利用正弦定理边角互化即可求得b c，利用余弦定理即可求得cos A .【详解】因为ABC 中，2sin 3sin B C =，所以由正弦定理可得23b c =，即32b c =.又因为14b c a -=，所以2a c =，所以由余弦定理可得()2222223212cos 32422c c c b c a A bc c c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===-⨯⨯，故32；14-14．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意的正整数n ，都满足：11122n nn a a +-=+，若112a =，则3a =________，2023S =______________．【正确答案】11220232024【分析】直接利用条件可递推出第三项，利用累加法可得数列通项再用裂项相消法求和即可.【详解】由11122n n n a a +-=+和112a =可得：21232311111146,612,a a a a a a -=⇒=∴-=⇒=即3a =112；由11122n n n a a +-=+可得：()112211111112,21,...,4n n n n n n a a a a a a ----=-=--=，累加得()()()124111111211n n n n a a a n n n n +--=⇒==-++，所以20231111112023 (1223202320242024)S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故112，20232024四、填空题15．已知曲线:44C x x y y -=．①若00(,)P x y 为曲线C 上一点，则0020x y ->；②曲线C 在()0,1-处的切线斜率为0；③R,20m x y m ∃∈-+=与曲线C 有四个交点；④直线20x y m -+=与曲线C无公共点当且仅当((),0,m ∈-∞⋃+∞．其中所有正确结论的序号是_____________．【正确答案】①②【分析】分x 、y 的符号情况化简曲线C 的方程，从而可画出曲线C 的图象，结合图象逐一分析即可.【详解】当0x ≥，0y ≥时，曲线C 的方程为2244x y -=，即2214x y -=，曲线C 是双曲线的一部分；当0x ≥，0y <时，曲线C 的方程为2244x y +=，即2214x y +=，曲线C 是椭圆的一部分；当0x <，0y ≥时，曲线C 的方程为2244x y --=，曲线C 不存在；当0x <，0y <时，曲线C 的方程为2244x y -+=，即2214x y -=，曲线C 是双曲线的一部分；双曲线2214x y -=和2214y x -=有一条共同的渐近线20x y -=，综上，可作出曲线C的图象，如图：由图象可知曲线C 的图象上的点都在直线20x y -=的下方，所以当00(,)P x y 在曲线C 上时，有0020x y ->，故①正确；设过点()0,1-的直线l 的方程是1y kx =-，若直线l 与椭圆2214x y +=相切，则由22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得221408()k x kx -+=，2640k ∆==，得0k =；若直线l 与双曲线2214x y -=相切，则由22114y kx x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(41)80k x kx --=，则2410k -≠且2640k ∆==，得0k =，此时直线l 的方程是1y =-，与曲线C 相切，故②正确；直线20x y m -+=是表示与直线20x y -=平行或重合的直线，由曲线C 的图象可知，直线20x y m -+=与曲线C 不可能有四个交点，故③错误；设直线20x y n -+=与椭圆2214x y +=相切，则由222014x y n x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得228440y ny n -+-=，所以221632(4)0n n ∆=--=，解得n =±C的图象，取n =-，即直线20x y --=与曲线C 相切，所以若直线20x y m -+=与曲线C 无公共点，结合曲线C 的图象，0m ≥或m <-.故①②.方法点睛：1.曲线方程中带有绝对值，一般是分绝对值里的式子的符号讨论去绝对值；2.直线与曲线的交点问题常采用数形结合的方法.五、解答题16．在ABC 中，76cos a b B =．(1)若3sin 7A =，求B ∠；(2)若8c =，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在.求ABC 的面积条件①：sin 47A =；条件②：sin B =【正确答案】(1)4π；(2)【分析】（1）直接由正弦定理边化角，结合倍角公式即可求解；（2）若选①：由正弦定理及倍角公式得4sin 23B =，ABC 不存在；若选②：先判断cos 0B >，再由sin 2B =求出cos B ，由73a b =及余弦定理求得a ，再计算面积即可.【详解】（1）由正弦定理得：7sin 6sin cos 3sin 2A B B B ==，又3sin 7A =，故sin 21B =，又()0,B π∈，故22B π=，4B π=；（2）若选①：由正弦定理得：7sin 6sin cos 3sin 2A B B B ==，又sin 47A =，故4sin 23B =，此时ABC 不存在；若选②：由7cos 06a B b =>，又sin 2B =，则1cos 2B =，73a b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2276483a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得3a =或245a =-（舍去），故ABC的面积为1sin 2ac B =.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//ABCD AD AB AB DC ⊥，2,1AD DC AP AB ====，点E 为棱PC的中点．（1）证明：BE DC ⊥；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2（3．【分析】（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明BE DC ⊥，；（2）向量法：先求平面PBD 的法向量A ，然后利用公式1sin cos ,n BE n BE n BEθ⋅==⋅ 求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面ABF 和平面PBA 的法向量12,n n ，再利用公式121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅ 来求二面角F AB P --的余弦值．【详解】依题意，以点E 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得(1,0,0),(2,2,0)B C ，(0,2,0),(0,0,2)D P ，由点E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．（1）向量()0,1,1BE = ，()2,0,0DC = ，故0BE DC ⋅= ．∴BE CD ⊥．（2）向量(1,2,0),(1,0,2)BD PB =-=- ，设()1,,n x y z = 为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，不妨令1z =，可得()2,1,1n = 为平面PBD 的一个法向量．于是有3cos ,||||62n BE n BE n BE ⨯〈〉==⨯⨯ ，∴直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33．（3）()2,2,2,(2,2,0),(1,0,0),CP AC AB =--== ，由点F 在棱PC 上，故(12,22,2)BF BC CF BC lCP l l l =+=+=-- ，由BF AC ⊥，得+22(12)(22=0)l l --，解得34l =，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设1(,,)n x y z = 为平面ABF 的法向量，则1100n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，不妨令1z =，可得1(0,3,1)n =- 为平面ABF 的一个法向量．取平面PAB 的法向量2(0,1,0)n = ，则121212310cos ,1010n n n n n n ⋅===-⋅ ．易知，二面角F AB P --31010．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18．诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%第三个周期85%92%95%96%（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数X ；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.【正确答案】（1）91%（2）见解析（3）两次活动效果均好．详见解析【分析】（1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望；（3）根据后继一周都有提升可得两次活动效果均好．【详解】（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：959892889494838085929596191%12100x +++++++++++=⨯=.（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，()1212044464P X ==⨯⨯=，()3211211444444P X ==⨯⨯+⨯⨯1231444464+⨯⨯=，()3213212444444P X ==⨯⨯+⨯⨯3233044464+⨯⨯=，()32318344464P X ==⨯⨯=，∴X 的分布列为：X 0123P 1327321532932171590123232323232EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）两次活动效果均好．理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%94%→和80%到85%看出，后继一周都有提升．本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．19．已知函数()ln f x ax x x =-．(1)当1a =时，求()f x 的零点；(2)讨论()f x 在[]1,e 上的最大值；(3)是否存在实数a ，使得对任意0x >，都有()f x a ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】(1)ex =(2)答案见解析(3)存在，a 的取值范围是1a =【分析】（1）利用导函数判断()f x 的单调性，进而判断零点的情况即可；（2）利用导函数判断()f x 在区间[]1,e 的单调性，进而求最值即可；（3）由题意只需()max f x a ≤即可，利用（2）中结论即1e 0a a --≤，利用导数求a 的范围即可.【详解】（1）()ln f x ax x x =-的定义域为()0,∞+，当1a =时，()ln f x x x x =-，()ln f x x '=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，又因为当0x →时()0f x >，()11f =，()e 0f =，所以()f x 仅有一个零点，e x =.（2）()1ln f x a x =--'，令()0f x '=，解得1e a x -=，在区间()0,∞+内，x ()10,e a -1e a -()1e,a -+∞()f x '+0-()f x 单调递增极大值单调递减当1e 1a -≤（即1a ≤）时，在[]1,e 上()f x 单调递减，()max ()1f x f a ==，当1e e a -≥（即2a ≥）时，在[]1,e 上()f x 单调递增，()max ()e e e f x f a ==-，当11e e a -<<（即12a <<）时，在1e ,e a -⎡⎤⎣⎦上()f x 单调递增，在11,e a -⎡⎤⎣⎦上()f x 单调递减，()()1111max ()e e e 1e a a a a f x f a a ----==--=．综上所述，当1a ≤时，()f x 的最大值为a ，当2a ≥时，()f x 的最大值为e e a -，当12a <<时，()f x 的最大值为1e a -.（3）由（2）知在()0,∞+上，()11max ()ee a af x f --==，构造函数()()11e e a a g a f a a --=-=-，由题意应使()0g a ≤，()1e 1a g a -'=-，令()0g a '=，解得1a =．a (),1-∞1()1,+∞()g a '-0+()g a 单调递减极小值单调递增所以()min ()10g a g ==，所以使()0g a ≤的实数a 只有1a =，即a 的取值范围是1a =．20．已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．【正确答案】（Ⅰ（Ⅱ）1；（Ⅲ）平行，理由见解析．【详解】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用c e a=计算离心率；（Ⅱ）由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与3x =相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到12x x +和12x x ，代入到1BM k -中，只需计算出等于0即可证明BM DE k k =，即两直线平行.试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=.所以a =1b =，c所以椭圆C 的离心率c e a ==.（Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -.直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -.所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-.（Ⅲ）直线BM 与直线D E 平行.证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =.又因为直线D E 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE .当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--.令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--.由2233{(1)x y y k x +==-，得2222(13)6330k x k x k +-+-=.所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k -=+.直线BM 的斜率11212323BM y x y x k x +---=-.因为()()()()()()()11212121131232132BM k x x k x x x x k x x -+--------=--121221(1)[2()3)(3)(2)k x x x x x x --++-=--2222213312(1)[3)1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=--0=，所以1BM DE k k ==.所以//BM DE .综上可知，直线BM 与直线D E 平行.椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.21．若项数为()3N N ≥的数列12:,,,N N A a a a 满足：()*11,N 2,3,,i a a i N =∈= ，且存在{}2,3,,1M N ∈- ，使得{}{}11,2,111,2,1n n n M a a M n N +⎧≤≤-⎪-∈⎨--≤≤-⎪⎩，则称数列N A 具有性质P .(1)①若3N =，写出所有具有性质P 的数列3A ；②若44,3N a ==，写出一个具有性质P 的数列4A ；(2)若2024N =，数列2024A 具有性质P ，求2024A 的最大项的最小值；(3)已知数列1212:,,,,:,,,N N N N A a a a B b b b 均具有性质P ，且对任意{},1,2,,i j N ∈ ，当i j ≠时，都有,i j i j a a b b ≠≠．记集合{}112,,,N T a a a = ，{}212,,,N T b b b = ，求12T T ⋂中元素个数的最小值.【正确答案】(1)①3A ：1，2，1或1，3，1或1，3，2；②4A ：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）(2)1013(3)3【分析】（1）直接根据性质P 的概念一一列举即可；（2）根据性质P 及累加法得M a M ≥和2025M a M ≥-，两式相加即可求解；（3）根据性质P 及累加法得23M a N ≤-，23M b N ≤-，求出并集中元素个数的最大值，从而求出交集中的元素个数最小值.【详解】（1）①3A ：1，2，1或1，3，1或1，3，2；②4A ：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）（2）当2024N =时，{}2,3,,2023M ∈ ．由12111,1,,1M M a a a a a -=-≥-≥ ，累加得M a M ≥；又由20242023202411,1,,1M M a a a a a +≥-≥-≥ ，累加得2025M a M ≥-；相加得22025M a ≥，又*M a ∈N ，所以1013M a ≥.所以数列2024A 的最大项M a 的最小值为1013，一个满足条件的数列为()()1,2,,101320261014,1015,,2024n n n a n n ⎧=⎪=⎨-=⎪⎩ ；（3）由12111,2,,2M M a a a a a -=-≤-≤ ，累加得21M a M ≤-．又1M N ≤-，所以23M a N ≤-，同理，23M b N ≤-，所以{}()12121,2,,23,card 23T T N T T N ⋃⊆-⋃≤- ，因为()()12card card T T N ==，所以()()()()121212card card card card 3T T T T T T ⋂=+-⋃≥，所以12T T ⋂中元素个数的最小值为3，一组满足条件的数列为()()()()()11211,2,,1222,3,,12425n n n n n N a b n n N N n N N n N ⎧=⎧-=-⎪⎪==-=-⎨⎨-=⎪⎩⎪-=⎩ ，此时{}121,24,25T T N N ⋂=--.思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思；(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言；(3)将已知条件代入新定义的要素中；(4)结合数学知识进行解答.。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年江苏省盐城中学高三年级模拟考试数学试题的。

1.若集合，，则( )A. B.C.D.2.若是关于x 的 实系数方程的一个虚数根，则( )A. ， B. ，C. ，D. ，3.若，则( )A. B.C.D.4.已知，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若函数在R 上无极值，则实数a 的取值范围( )A. B.C.D. 6.设，是双曲线的两个焦点，O 为坐标原点，P 是C 的左支上一点，且，则的面积为( )A.B.C. 8D.7.数列中，，，使对任意的为正整数恒成立的最大整数k 的值为( )A. 1209B. 1211C. 1213D. 12158.对于一个古典概型的样本空间和事件A ，B ，C ，D ，其中，，，，，，，，则( )A. A 与B 不互斥B. A 与D 互斥但不对立C. C 与D 互斥D. A 与C相互独立二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，则( )A. B.C. D.10.已知函数的一条对称轴为，则( )A. 的最小正周期为B.C. 在上单调递增D.11.平行六面体中，各棱长均为2，设，则( )A. 当时，B. 的取值范围为C. 变大时，平行六面体的体积也越来越大D. 变化时，和BD总垂直12.已知曲线C是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线C上，则下列结论正确的是( )A.曲线C关于x轴对称B. 曲线C关于y轴对称 C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某产品有5件正品和3件次品混在了一起产品外观上看不出有任何区别，现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为__________.14.已知单位向量，，满足，则的值为__________.15.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，设C是一个“0，1数列”，定义数列为数列C中每个0都变为“1，0，1”，每个1都变为“0，1，0”所得到的新数列.例如数列，1，则数列，0，1，0，1，已知数列，1，0，1，0，记数列，，2，3，，则数列的所有项之和为__________;数列的所有项之和为__________.16.在中，，P为内部一动点含边界，在空间中，若到点P的距离不超过1的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

2024年河北省石家庄市高考数学模拟试卷附解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}2024180,Z A k k αα︒==-︒+⋅∈∣中的最大负角α为（）A ．2024-︒B ．224-︒C ．44-︒D ．24-︒2．已知()41i 1iz +=-，则z 的虚部为（）A ．2iB ．2i-C ．2-D ．23．已知平面内的向量a 在向量b 上的投影向量为12b，且1a b == ，则2a b - 的值为（）AB ．1C ．34D ．324．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且3a -，2a ，4a 成等差数列，则2024S 与2024a 的关系是（）A ．2024202421S a =-B ．2024202421S a =+C ．2024202443S a =-D ．2024202441S a =+5．已知变量x 和y 的统计数据如表：x 12345y66788根据上表可得回归直线方程0.6y x a =+，据此可以预测当8x =时，y =（）A ．8.5B ．9C ．9.5D ．106．现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（）A ．216B ．432C ．864D ．10807．已知椭圆221222:1(0),,x y C a b F F a b+=>>为左､右焦点，P 为椭圆上一点，1260F PF ∠=，直线:l y x t =-+经过点P .若点2F 关于l 的对称点在线段1F P 的延长线上，则C 的离心率是（）A ．13B ．22C ．12D ．238．已知函数()xf x x =，()0,x ∈+∞，则下列命题不正确的是（）A ．()f x 有且只有一个极值点B ．()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增C ．存在实数()0,a ∈+∞，使得()1ef a =D ．()f x 有最小值1e1e二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中，正确的是（）A ．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12B ．两组样本数据1x ，2x ，3x ，4x 和1y ，2y ，3y ，4y 的方差分别为21s ，22s ，若已知10i i x y +=（1,2,3,4i =），则2212s s =C ．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()261P X P X ≥-+≥=，则2μ=D ．已知一系列样本点(),i i x y （1,2,3,i =⋅⋅⋅）的回归方程为ˆˆ3y x a =+，若样本点(),3m 与()2,n 的残差（残差＝实际值i y －模型预测值ˆy）相等，则310m n +=10．若关于x 的不等式22e 2ln x x ax x x -+-≥在()0+∞，上恒成立，则实数a 的值可以是（）A ．1eB ．12C ．e 3D ．211．已知定义在实数集R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()()()f x y f x f y xy +=++，()()110,12f f '==，则（）A ．()f x 的图像关于点()1,0成中心对称B ．()322f '=C ．()202410122023f =⨯D ．20241()10122024k f k ='=⨯∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合{}{}22230,0,M x x x N x x ax x =--<=-<∈Z ，若集合M N ⋂恰有两个元素，则实数a 的取值范围是.13．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为.14．如图，在梯形ABCD 中，190,22ABC BAD AB BC AD ∠=∠====，将BAC 沿直线AC 翻折至1B AC △的位置，13AM MB =，当三棱锥1B ACD -的体积最大时，过点M 的平面截三棱锥1B ACD -的外接球所得的截面面积的最小值是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数()e e axf x x b =--在0x =处的切线为x 轴．(1)求,a b 的值；(2)求()f x 的单调区间．16．如图，三棱锥A BCD -中，,,,AD CD AD CD ADB BDC E ∠∠⊥==为线段AC 的中点.(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设3,2,0AB BD BF FD EF BD ===⋅=，求直线CF 与平面ABC 所成角的正弦值.17．有无穷多个首项均为1的等差数列，记第()*N n n ∈个等差数列的第()N,2m m m ∈≥项为()m a n ，公差为()0n n d d >.(1)若()()22212a a -=，求21d d -的值；(2)若m 为给定的值，且对任意n 有()()12m m a n a n +=，证明：存在实数,λμ，满足1λμ+=，10012d d d λμ=+；(3)若{}n d 为等比数列，证明：()()()()()1122mm m m m a a n n a a a n +⎡⎤⎣⎦+++≤ .18．设椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>经过点()2,1P -，且离心率e =:3m x =垂直x 轴交x 轴于T ，过T 的直线l 1交椭圆E 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，连接PA ，PB ，PT ．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ．（ⅰ）求12k k +的值；（ⅱ）如图：过P 作x 轴的垂线l ，过A 作PT 的平行线分别交PB ，l 于M ，N ，求||||MN MA 的值．19．在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式00型或∞∞型极限的一种重要方法，其含义为：若函数()f x 和()g x 满足下列条件：①()lim 0x a f x →=且()lim 0x a g x →=（或()lim x a f x →=∞，()lim x ag x →=∞）；②在点a 的附近区域内两者都可导，且()0g x '≠；③()()lim x af x Ag x →'='（A 可为实数，也可为±∞），则()()()()limlimx ax af x f x Ag x g x →→'=='．(1)用洛必达法则求0limsin x xx→；(2)函数()()232112!3!21!n x x x f x x n -=+++++- （2n ≥，*n ∈N ），判断并说明()f x 的零点个数；(3)已知()()2cos g x g x x =⋅，()01g =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()g x 的解析式．参考公式：()()lim lim x a x af x f x →→=，()()lim lim x a x a kf x k f x →→=．1．C【分析】利用任意角的定义与集合A 所表示的角即可得解.【详解】因为04420211481︒=-︒-⨯︒-，所以集合{}2024180,Z A k k αα︒==-︒+⋅∈∣中的最大负角α为44-︒.故选：C.2．D【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数z ，继而得z 的虚部.【详解】由()42221i [(1i)](2i)4(1i)2(1i)22i 1i 1i 1i (1i)(1i)z ++-+=====-+=------+，则22i z =-+，z 的虚部为2.故选：D.3．A【分析】先根据条件，确定向量的夹角，再根据向量数量积的性质求模.【详解】因为2·1·2a b b b b = ⇒2·12a b b= ，又1a b == ，所以·12·a b a b =⇒1cos ,2a b = ⇒,60a b =︒ .所以：()2222a b a b-=-= 2214·41411432a ab b -+=-⨯⨯⨯+=，所以2a b -= 故选：A 4．A【分析】先利用等比数列的通项公式列方程求公比，然后求出2024S 和2024a 观察它们之间的关系即可.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，0q >因为3a -，2a ，4a 成等差数列，所以2342a a a =-+，所以232q q q =-+，解得2q =，所以()20241202420241211a q S q-==--，20232023202412a a q==，则2024202421S a =-.故选：A.5．D【分析】根据给定的数表，求出样本的中心点，进而求出a 即可得解.【详解】依题意，1234535x ++++==，6678875y ++++==，即样本的中心点为(3,7)，于是70.63a =⨯+，解得 5.2a =，即0.6 5.2y x =+，当8x =时，预测0.68 5.210y =⨯+=.故选：D 6．B【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合分组分配列式计算得解.【详解】求不同的安排种数需要分成3步，把3名心理教师分配到三所学校，有33A 种方法，再把4名语文教师按2:1:1分成3组，并分配到三所学校，有2343C A 种方法，最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校，有22A 种方法，由分步乘法计数原理得不同的安排种数为32323432A C A A 432⋅⋅=.故选：B 7．B【分析】根据题意，得到点M 与点2F 关于PH 对称，从而2120F PM ∠=，在12PF F △中，利用正弦定理得到121212sin15sin105sin PF PF F F F PF +=+∠ ，结合sin 60sin15sin105c e a ==+，即可求解.【详解】由直线:l y x t =-+，且点2F 关于l 的对称点在线段1F P 的延长线上，如图所示，可得点M 与点2F 关于PH 对称，且1260F PF ∠=,故在2PF M 中，则2120F PM ∠= ,故230PF M ∠=又PH 的倾斜角为135 ，则245HF M ∠=，故在12PF F △中，有1260F PF ∠= ，21105PF F ∠=，1215PF F ∠= ，又由1212211212sin sin sin PF PF F F PF F PF F F PF ==∠∠∠，可得121212sin15sin105sin PF PF F F F PF +=+∠，即1222sin15sin105sin a cF PF =+∠ ，又因为1sin15sin(4530)22224=-⨯-⨯=，1sin105sin(6045)2=++ ，所以sin 602sin15sin1052c e a ===+.故选：B.8．C【分析】由条件可得函数ln z x x =可以看作为函数ln z y =与函数x y x =的复合函数，然后求导判断其单调性与极值，即可得到结果.【详解】由x y x =得ln ln y x x =，令ln z x x =，则函数ln z x x =可以看作为函数ln z y =与函数x y x =的复合函数，因为ln z y =为增函数，所以ln z x x =与x y x =单调性、图象变换等基本一致，ln 1z x '=+，由0z '=得1ex =，列表如下：x10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1e 1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭z '－＋z1e-由表知，ln z x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ex =时，取得极小值（最小值）1e -，所以()xf x x =在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，即B 正确；在1e x =时，取得唯一极值（极小值，也是最小值）1e 1e e->，即A 、D 都正确，C 错误.故选：C 9．BC【分析】A 选项，根据百分位数的运算公式得到答案；B 选项，利用平均数定义得到10y x =-，根据方差的计算公式得到()()()()2222123422214s x x x x x x x xs -++-++-++-+==；C 选项，由正态分布的对称性得到C 正确；D 选项，由题意得到()()ˆˆ336m an a -+=-+，得到D 错误.【详解】A 选项，0010404⨯=，故从小到大从第4个和第5个数的平均数作为第40百分位数，即121312.52+=，A 错误；B 选项，12344x x x x x +++=，12344y y y y y +++=，因为10i i x y +=，（1,2,3,4i =），故123410101010104x x x x y x -+-+-+-==-，故()()()()22221423124s x x x x x x x x-+-+--=+，()()()()2222123422*********s y x y x y x y x-++-++-++-+=()()()()2222123410101010101010104x x x x x x x x --++--++--++--+=()()()()222212344x x x x x x x x-++-++-++-+=，故2212s s =，B 正确；C 选项，因为()2,X N μσ ，()()261P X P X ≥-+≥=，2,6X X =-=关于x μ=对称，所以2622μ-+==，C 正确；D 选项，由题意得()()ˆˆ336m an a -+=-+，整理得39m n +=，D 错误.故选：BC 10．AB【分析】根据题意分12a ≤和12a >两种情况讨论，当12a ≤时，有222ln e e 12ln 1ln e 1ln x x x x ax x x x x x x x----+-++-+=+-+≥，通过求导，判断函数的单调性，确定函数的最值得出2ln e 1ln 0x x x x --+-+≥结论验证；当12a >时，令()2ln u x x x =--，求导判断出函数存在零点设为0x ，即可判断020000e 12ln (12)0x ax x a x x -+-+=-<，最后综合得出a 的取值范围.【详解】依题意，2e 12ln 0x ax x x -+-+≥在()0+∞，上恒成立，当12a ≤时，222ln e e 12ln 1ln e 1ln x x x x ax x x x x x x x----+-++-+=+-+≥，令2ln t x x =--，则()e 1t h t t =--，()e 1t h t '=-，故当t (,0)∈-∞时，()0h t '<，当(0,)t ∈+∞时，()0h t '>，故()(0)0h t h >=，故2ln e 1ln 0x x x x --+-+≥，则不等式成立；当12a >时，令()2ln u x x x =--，因为(1)10u =-<，(4)22ln 20u =->，故()x μ在()1,4内必有零点，设为0x ，则002ln x x -=，则020ex x -=，故020000e 12ln (12)0x ax x a x x -+-+=-<，不合题意，舍去；综上所述，12a ≤.故选：AB.【点睛】恒成立问题求参数注意分类讨论；适当的构造函数通过函数的最值分析参数的取值.11．BCD【分析】对A 、B ，利用赋值法进行计算即可得；对C 、D ，利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得.【详解】对A ：令0x y ==，则有()()()0000f f f =++，即()00f =，令1x y ==，则有()()()2111f f f =++，又()10f =，故()21f =，()f x 不关于()1,0对称，故A 错误；对于B ，令1y =，则有()()()()11f x f x f x f x x +=++=+，两边同时求导，得()()11f x f x +='+'，令1x =，则有()()13211122f f =+=+=''，故B 正确；对C ：令1y =，则有()()()11f x f x f x +=++，即()()1f x f x x +-=，则()()()()()()()2024202420232023202211f f f f f f f =-+-+-+ ()2023120232023202210101220232+⨯=++++==⨯ ，故C 正确；对D ：令1y =，则有()()()11f x f x f x +=++，即()()1f x f x x +=+，则()()11f x f x +='+'，即()()11f x f x +-'='，又()112f '=，故()11122f k k k -'=+=-，则()20241112024202422101220242k f k =⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭==⨯'∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题C 、D 选项关键在于利用赋值法，结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和.12．(2,)+∞【分析】解二次不等式化简集合M ，再利用二次不等式解的形式与交集的结果即可得解.【详解】因为{}2230{13}M x x x xx =--<=-<<∣，{}20,{()0,}N x x ax x x x x a x =-<∈=-<∈Z Z ∣，又集合M N ⋂恰有两个元素，所以M N ⋂恰有两个元素1和2，所以2a >.故答案为：(2,)+∞.13【分析】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】解：设过2F 与双曲线的一条渐近线b y x a=平行的直线交双曲线于点P ，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，由12||3||PF PF =，可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，由12tan b F F P a ∠=可得12cos a F F P c ∠=，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212||||||2||||cos PF PF F F PF F F F F P =+-∠ ，即有2229422aa a c a c c=+- ，化简可得，223c a =，则双曲线的离心率==c e a【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和定义法，以及余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．14．3π4【分析】当三棱锥1B ACD -的体积最大时，此时1B 到底面ACD 的距离最大，即此时平面1⊥B AC 平面ACD ，取AC 的中点E ，AD 的中点O ，O 是三棱锥1B ACD -的外接球球心，当且仅当过点M 的平面与OM 垂直时，截外接球的截面面积最小，此时，截面的圆心就是点M ，从而求解.【详解】当三棱锥1B ACD -的体积最大时，由于底面ACD 的面积是定值，所以此时1B 到底面ACD 的距离最大，平面1⊥B AC 平面ACD ，且平面1B AC 平面ACD AC =，取AC 的中点E ，则1B E AC ⊥，故1B E ⊥平面ACD ，取AD 的中点O，则OE =1B E =1π2B EO ∠=，则12OB =，又∵2OA OD OC ===，故O 是三棱锥1B ACD -的外接球球心，且该外接球的半径2R =；显然，当且仅当过点M 的平面与OM 垂直时，截外接球的截面面积最小，此时，截面的圆心就是点M ，记其半径为r ，则222R OM r ==+；由于AC CD ⊥，CD ⊂平面ACD ，所以CD ⊥平面1B AC ，而1AB ⊂平面1B AC ，则1CD AB ⊥，则1π2AB D ∠=，在1B AD 中，12,4B A AD ==，故1π3B AD ∠=；又13AM MB = ，故12AM =，又2OA =，故由余弦定理有211π13422cos 4234OM =+-⨯⨯⨯=，∴22234r R OM =-=，故所求面积为3π4.故答案为：3π4【点睛】关键点点睛：取AD 的中点O ，由12OA OD OC OB ====，确定点O O 是三棱锥1B ACD -的外接球球心.15．(1)e a =，1b =(2)单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()00f =且()00f '=，即可得到方程组，解得即可；（2）求出函数的导函数()f x '，再利用导数说明()f x '的单调性，即可求出()f x 的单调区间.【详解】（1）因为()e e ax f x x b =--，所以()e e ax f x a '=-，依题意()00f =且()00f '=，所以00e 0e e 0b a ⎧-=⎨-=⎩，解得e 1a b =⎧⎨=⎩.（2）由（1）可得()e e e 1x f x x =--函数的定义域为R ，又()()e 1e e e e e 1x xf x +'=-=-，令()()e 1e e xg x f x +'==-，则()e 2e0x g x +'=>，所以()g x （()f x '）在定义域R 上单调递增，又()00f '=，所以当0x <时()0f x '<，当0x >时()0f x ¢>，所以()f x 的单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+.16．(1)证明见解析(2)15【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一及全等三角形的性质，利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可求解；（2）利用线面垂直的判定定理及性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线CF 的方向向量与平面ABC 的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系即可求解.【详解】（1）因为DA DC =，E 为线段AC 的中点，所以DE AC⊥因为DA DC =，DB DB =，ADB CDB ∠=∠，所以ADB CDB ≌，故AB CB =．又E 为线段AC 的中点，所以BE AC ⊥．又DE BE E ⋂=，,DE BE ⊂平面BED .所以AC ⊥平面BED又AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD ．（2）取DA 的中点G ，连接EG ，BG ，因为EG 为中位线，所以//EG CD ，又AD CD ⊥，所以AD EG ⊥．因为AB BD =，G 为DA 的中点，所以AD BG ⊥．又⋂=EG BG G ，,EG BG ⊂平面BEG ，所以AD ⊥平面BEG ，BE ⊂平面BEG ，所以AD BE ⊥，因为BA BC =，E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥，又AC AD A = ，,AC AD ⊂平面ACD ，所以BE ⊥平面ACD ．以E 为坐标原点，分别以EA 、EB 、ED 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示设(),0,0A a ，(),0,0B b ，则()0,0,0E ，()0,0,D a ，()0,,0B b ，20,,33b a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．20,,33b a EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,,BD b a =- ，由22222||92033AB a b b a EF BD ⎧=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，解得a b ⎧⎪⎨=⎪⎩．所以,33CF ⎫=⎪⎪⎭.又平面ABC 的法向量()0,0,1n = ．设直线CF 与平面ABC 所成角为θ，则232153sin cos ,15CF n CF n CF nθ⋅===⋅ ,所以直线CF 与平面ABC.17．(1)212d d -=；(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）代入等差数列的通项公式，即可求解；（2）根据已知条件，代入等差数列的通项公式，得到数列{}n d 的递推公式，再通过构造得到数列{}n d 的通项公式，并根据（1）的结果，证明等式；（3）根据题意，结合等差数列和等比数列的综合应用，首先证明()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+≤+，再利用求和，即可证明.【详解】（1）由题意得()()()2221212111a a d d d d -=+-+=-，又()()22212a a -=，所以212d d -=；（2）证明：因为()()12m m a n a n +=，所以()()111211n n m d m d ++-=+-⎡⎤⎣⎦，即1121n n d d m +=+-，所以111211n n d d m m +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，因此99100111211d d m m ⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，所以99100111211d d m m ⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭，又21121d d m =+-，即21121d d m =--，因此()()()()99999910012121122222221d d d d d d d d =+---=-+-，所以存在实数999922,21λμ=-=-，满足100121,d d d λμλμ+==+；（3）证明：因为{}n d 为等比数列，所以11n n d d q -=，其中q 为{}n d 的公比，于是()()1111n m a n m d q -=+-，当1i n ≤≤时，()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+-+⎡⎤⎣⎦()()11111n i i n m d q q q ---=-+--()()()11111n i i m d q q --=----，因为0,0,10q n i i >-≥-≥，因此()()1110m i i q q ----≥，又()110m d --<，所以()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+≤+，因此()()()()111nm m m m m a n i a i n a n a =+-+≤+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑，即()()()()()2121m m m m m a a a n n a n a +++≤+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，所以()()()()()1122mm m m n a a n n a a a n +⎡⎤⎣⎦+++≤ .【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用题意，并能正确表示()m a n 和公差为n d .18．(1)22163x y +=(2)（i ）2；（ii ）1【分析】（1）根据条件，列出关于,,a b c 的方程组，利用待定系数法，即可求解；（2）（ⅰ）首先设直线1l 的方程，并联立椭圆方程，转化为关于斜率的一元二次方程，利用韦达定理，即可求解；（ⅱ）首先设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,根据正弦定理利用角表示边长MN ，AN ，再求比值，利用（ⅰ）的结论，即可求解.【详解】（1）由题意知2222241122a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得ab c ==所以椭圆E 的方程为22163x y +=；（2）（ⅰ）易知()3,0T ，1PT k =，11112y k x +=-，22212y k x +=-，设直线1l 的方程为()()211m x n y -++=，由直线1l 过()3,0T 知1m n +=，联立方程()()22163210x y m x n y ⎧+=⎪⎨⎪-++=⎩得()()()()()()()2224144211420n y n m x y m x -++--+++-=，变形得：()()211244414022y y n n m m x x ++⎛⎫-+-++= ⎪--⎝⎭，即()1244144842424242n n n m n k k n n n ----+====---；（ⅱ）设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,则1tan k α=，2tan k β=，5π4NMP β∠=-，π2MPN β∠=-,π4PAN α∠=-，π2APN α∠=-，在PMN 中，πsin sin πsin 2sin 4PN PNMN MPN NMP ββ⎛⎫=∠=- ⎪∠⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，在PAN △中，πsin sin πsin 2sin 4PN PN AN APN PAN αα⎛⎫=∠=- ⎪∠⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，所以()ππsin sin cos sin cos tan 1242ππtan 1sin sin 422MN AN βαβαααββα⎛⎫⎛⎫-⋅--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由122k k +=知，tan tan 2αβ+=，即tan 11tan 1αβ-=--，故1MNAN =..【点睛】关键点点睛：本题第一问的转化比较巧妙，转化为关于斜率的方程，利用韦达定理即可求解，第二问巧妙设倾斜角，利用三角函数表示MN AN 的值.19．(1)1(2)仅在(),0x ∈-∞时存在1个零点，理由见解析(3)()()()sin ,π,00,π,1,0.x x g x x x ⎧∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩【分析】（1）利用洛必达法则求解即可；（2）构造函数()e x f x ，结合()e xf x 的单调性求解即可；（3）利用累乘法求出()2n g x x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式，然后结合()01g =，利用洛必达法则求极限即可.【详解】（1）001lim lim 1sin cos x x x x x →→==（2）()()2321123!21!n x x x f x x n -=+++++- ，()()232212!3!22!n x x x f x x n -'=+++++- ，所以()()()2121!n x f x f x n -'-=--，()()()()21e e e 21!n x x xf x f x f x x n -⎡⎤'-='=-⎢⎥-⎣⎦．当0x >时，()0e x f x ⎡⎤'<⎢⎥⎣⎦，函数()e x f x 在()0,∞+上单调递减，当0x <时，()0e x f x ⎡⎤'>⎢⎥⎣⎦，函数()e x f x 在(),0∞-上单调递增，()lime xx f x →-∞=-∞，()01f =，当0x >时，()0e x f x >，所以仅在(),0x ∈-∞时存在1个零点．（3）()()2cos g x x g x =，所以()cos 22g x x x g =⎛⎫ ⎪⎝⎭，2cos 44x g x x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，12cos 22n n n x g x x g -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭将各式相乘得()cos cos cos 2422n n g x x x x x g =⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭ cos cos cos sin 1sin 24222sin sin 22n n n n nx x xxx x x ⋅⋅⋅⋅=⋅ ，两侧同时运算极限，所以()1sin sin 22lim lim lim sin sin 222n n n n n n n n x x g x x x x x x g →+∞→+∞→+∞⋅==⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()()sin 2lim 0sin 2n n n x g x x xg x →+∞=，令2nx t =，原式可化为()()0sin lim 0sin t g x x t g x t →=，又()01g =，由（1）得0lim1sin t t t →=，故()()sin 0x g x x x=≠，由题意函数()g x 的定义域为()π,π-，综上，()()()sin ,π,00,π,1,0.x x g x x x ⎧∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩【点睛】方法点睛：本题考查新定义，注意理解新定义，结合洛必达法则的适用条件，构造函数()2n g x x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而利用洛必达法则求极限.。

高三数学模拟试题及答案一、选择题1. 已知集合A={x | x² - 1 = 0}，则A的元素个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 若a > 0，b < 0，则a与b的和的符号为（）A. 正B. 负C. 零D. 无法确定答案：D3. 设函数f(x) = √(x²-2x+1)，则f(3)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 在△ABC中，角A = 60°，边AC = 5cm，边BC = 4cm，则边AB 的长度为（）A. 3.5cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm答案：C5. 某商店对现金支付的商品提供10%的折扣，小明购买了一件原价500元的商品，他需要支付多少元？（）A. 45元B. 50元C. 450元D. 500元答案：C二、计算题1. 已知函数f(x) = |x - 3| + 2，求f(5)的值。

解：当x = 5时，f(x) = |5 - 3| + 2 = 4答案：42. 解方程：3x + 5 = 2(x - 1) + 7解：展开得：3x + 5 = 2x - 2 + 7移项得：3x + 5 = 2x + 5化简得：x = 0答案：03. 已知函数f(x) = x² - 4x + 5，求f(3)的值。

解：当x = 3时，f(x) = 3² - 4 × 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2答案：24. 某商品在经过两次10%的折扣后，售价为270元，求其原价。

解：设原价为x元，则经过第一次折扣后为0.9x元，经过第二次折扣后为0.9 × 0.9x元。

根据题意，0.9 × 0.9x = 270，解方程得：x = 300答案：300三、应用题1. 一辆自行车上午以每小时20公里的速度向南骑行，下午以每小时15公里的速度向北骑行。

如果来回共耗时8小时，求行程的总长度。

2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（一）（考试时间：120分钟，满分：150分）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4M =，{}0,3,5N =，则N ()U M = ð（）A.{}0,5B.{}1,2,3,4C.{}1,2,3,4,5 D.U【答案】B 【解析】【分析】根据集合并补运算即可求得.【详解】{}0,1,2,3,4,5U =，{}0,3,5N =，所以{}1,2,4U N =ð，所以(){}1,2,3,4U M N = ð，故选：B.2.已知复数z 满足(43i)i z +=-，则z 的虚部为（）A.425-B.425 C.4i 25-D.4i 25【答案】A 【解析】【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解.【详解】因为(43i)i z +=-，所以()()()i 43i i 34i 43i 43i 43i 2525z ---===--++-，所以z 的虚部为425-.故选：A.3.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()()y f x g x =+的最大值为a ，则a 的值不可能为（）A.1B.1C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】根据图象的平移变换得到()()sin 22g x x ϕ=+，然后根据和差公式和辅助角公式整理得到()()()2y f x g x x α=+=+，最后根据三角函数的性质求a 的范围即可.【详解】由题意得()()sin 22g x x ϕ=+，则()()()sin 2sin 22y f x g x x x ϕ=+=++sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2x x xϕϕ=++()1cos 2sin 2sin 2cos 2x x ϕϕ=++()2x α=+()2x α=+，sin 2tan 1cos 2ϕαϕ=+，因为[]cos 21,1ϕ∈-[]0,2，所以[]0,2a ∈.故选：D.4.在等比数列{}n a 中，若1512a a a ⋅⋅为一确定的常数，记数列{}n a 的前n 项积为n T .则下列各数为常数的是（）A.7TB.8T C.10T D.11T 【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件判断出6a 为确定常数，再由此确定正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，()3411511111512a a q a a a a q q a =⋅⋅=⋅⋅为确定常数，即6a 为确定常数.7712674T a a a a a == 不符合题意；()48127845T a a a a a a == 不符合题意；()5101291056T a a a a a a == 不符合题意；11111210116T a a a a a == 为确定常数，符合题意.故选：D 5.关于函数4125x y x -=-，N x ∈，N 为自然数集，下列说法正确的是（）A.函数只有最大值没有最小值B.函数只有最小值没有最大值C.函数没有最大值也没有最小值D.函数有最小值也有最大值【答案】D 【解析】【分析】先对函数整理化简，根据反比例函数的性质，结合复合函数单调性的“同增异减”，即可求出函数的最小值与最大值.【详解】()22594192252525x x y x x x -+-===+---，52x ¹，由反比例函数的性质得：y 在5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y >，y 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y <，又因为N x ∈，N 为自然数集，所以min y 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上取到，2x =时,min 7y =-，同理max y 在5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上取到，3x =时,max 11y =，所以当N x ∈，N 为自然数集时，函数有最小值也有最大值.故选：D .6.已知函数()πcos 12f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πsin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系即可判断.【详解】令()11ππ12m k k -=∈Z ，得()11ππ12m k k =+∈Z ，所以曲线()y f x =关于直线()11ππ12x k k =+∈Z 对称．令()22ππ4π62m k k +=+∈Z ，得()22ππ124k m k =+∈Z ，所以曲线()y g x =关于直线()22ππ124k x k =+∈Z 对称．因为()11π{|π}12m m k k =+∈Z ()22ππ{|}124k m m k =+∈Z 所以“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的充分不必要条件．故选：A.7.O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（）A. B. C. D.8【答案】C 【解析】【分析】首先根据焦半径公式求点M 的坐标，再代入面积公式，即可求解.【详解】设点()00,Mxy ，()2,0F ,所以026MF x =+=，得04x =，0y =±,所以MOF △的面积011222S OF y =⨯=⨯⨯故选：C8.,,a b c 为三个互异的正数，满足2ln 0,31ba cc a a-=>=+，则下列说法正确的是（）A.2c a b ->-B.2c b a -≤-C.2c a b +<+D.2c a b+≤+【答案】A 【解析】【分析】对于2ln 0cc a a-=>可构造函数()2ln f x x x =-，利用导函数可求出其单调性，利用数形结合可得02a c <<<，对于31ba =+，可在同一坐标系下画出函数x y =及31x y =+的图象，可得02a b <<<，再由不等式性质可知A 正确.【详解】由2ln0cc a a-=>得2ln 2ln c c a a -=-且c a >，构造函数()2ln f x x x =-，所以()21f x x'=-，易得()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，其函数图象如下图所示：由图可得02a c <<<，易知函数x y =及31x y =+交于点()2,10，作出函数x y =及31x y =+的图象如下图所示：由图知02a b <<<所以02a b c <<<<，即,2a b c <<，由此可得2a b c +<+，即2c a b ->-.故选：A【点睛】方法点睛：在求解不等式比较大小问题时，经常利用同构函数进行构造后通过函数单调单调性比较出大小，画出函数图象直接由图象观察得出结论.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（）A.这10个数据中至少有8个数小于或等于31B.把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31C.把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31D.把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31【答案】AB 【解析】【分析】由百分位数的概念可判断.【详解】因为这10个数据的第75百分位数是31，由100.757.5⨯=，可知把这10个数据从小到大排列后，第8个数为31，可知，选项A ，B 正确，C ，D 错误.故选：AB .10.函数()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ ，则下列结论正确的是（）A.()()3.14D D π>B.()D x 的值域为[]2,3C.()()D D x 是偶函数 D.a ∀∈R ，()()D x a D a x +=-【答案】AC 【解析】【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可.【详解】()3D π=，()3.142D =，()()3.14D D π>，A 正确；()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ，则()D x 的值域为{}2,3，B 错误；x ∈Q 时，x -∈Q ，()()()22D D x D ==，()()()22D D x D -==，所以()()()()D D x D D x =-，x ∉Q 时，x -∉Q ，()()()32D D x D ==，()()()32D D x D -==，()()()()D D x D D x =-，所以()()D D x 为偶函数，C正确；x =时，取1a =()()12D x a D +==，()(13D a x D -=-=，则()()D x a D a x +≠-，D 错误.故选：AC11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，轴截面ABCD 为等腰梯形，且满足2224cm CD AB AD BC ====.下列说法正确的是（）A.该圆台轴截面ABCD 的面积为2B.该圆台的表面积为211πcmC.该圆台的体积为3cmD.【答案】AB 【解析】【分析】求出圆台的高12O O 可判断A ；由圆台的表面积和体积公式可判断B ，C ；由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆可判断D .【详解】对于A ，由2224cm CD AB AD BC ====，可得高12O O ==则圆台轴截面ABCD 的面积为()214m 22⨯+=，故A 正确；对于B ，圆台的侧面积为()()2π1226πcm S =⋅+⨯=侧，又()22ππm1c S =⨯=上，()22π24πcm S=⋅=下，所以()26ππ41cm π1πS =++=表，故B 正确；对于C ，圆台的体积为()()3173π142πcm 33V =++=，故C 错误；对于D ，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD 存在内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆，故D 错误，故选：AB.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知()12f x x=在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，则=a __________.【答案】12-##-0.5【解析】【分析】结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】因为()12f xx =-，所以21()f x x'=+，因为()f x 在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，所以1(1)12f a '=+=，解得12a =-.故答案为：12-13.已知力123,,F F F ，满足1231N ===F F F ，且123++=F F F 0，则12-=F F ________N.【解析】【分析】将123++=F F F 0变形后平方得到相应结论，然后将12-F F 平方即可计算对应的值.【详解】由123++=F F F 0，可得123+=-F F F ，所以()()22312-=+F F F ，化简可得222312122F =++⋅F F F F ，因为1231===F F F ，所以1221⋅=-F F ，所以12-====F F【点睛】本题考查向量中的力的计算，难度较易.本题除了可以用直接分析计算的方式完成求解，还可以利用图示法去求解.14.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线交C 于点P﹒2OM PF ⊥于点M （其中O 为坐标原点），且有223PF MF =，则C 的离心率为______.【答案】622【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于,,a b c 的齐次式后可得离心率．【详解】如图，易得2(,)b P c a -，2(,0)F c ，22(2,b PF c a=- ，设(,)M x y ，2(,)MF c x y =-- ，由223PF MF = 得2(2,3(,)b c c x y a-=--，223()3c c x b y a =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得2133x c b y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21(,)33b M c a ，21(,33b OM c a = ，又2OM PF ⊥，∴42222033b OM PF c a⋅=-= ，c e a =，222b c a =-代入得2222(1)0e e --=，因为1e >故解得622e +=，故答案为：2+．四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，三角形面积为S ，若D 为AC 边上一点，满足,2AB BD BD ⊥=，且223cos 3a S ab C =-+.（1）求角B ；（2）求21AD CD+的取值范围.【答案】（1）2π3（2）3,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得tan B =，进而求解即可；（2）在BCD △中由正弦定理可得1sin DC C=，在Rt △ABD 中，可得2sin AD A =，进而得到21sin sin A C AD CD +=+，结合三角恒等变化公式化简可得21πsin 3C AD CD ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.【小问1详解】2cos 3a S ab C =-+ ，23sin cos 3a ab C ab C ∴=-+，即sin cos 3a b C b C =-+，由正弦定理得，3sin sin sin sin cos 3A B C B C =-+，()3sin sin sin sin cos 3B C B C B C ∴+=-+，cos sin sin sin 3B C B C ∴=-，sin 0C ≠，tan B ∴=由0πB <<，得2π3B =.【小问2详解】由（1）知，2π3B =，因为AB BD ⊥，所以π2ABD ∠=，π6DBC ∠=，在BCD △中，由正弦定理得sin sin DC BDDBC C=∠，即π2sin16sin sin DC C C==，在Rt △ABD 中，2sin sin AD A BD A==，sin sin 21sin si 22n 11A CC CA A D D∴++=+=，2π3ABC ∠=，π3A C ∴+=,21ππππsin sin sin sin sin cos cos sin sin sin 3333A C C C C C C C AD CD ⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π03C << ，ππ2π,333C ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πsin ,132C ⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以21AD CD +的取值范围为3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.16.已知数列{}n a 的前n 项和为,0n n S a >，且2241n n n a a S +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n n n S b a a +=的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）21n a n =-（2）242n n n T n +=+【解析】【分析】（1）先用()1n +替换原式中的n ，然后两式作差，结合n a 与n S 的关系，即可得到{}n a 为等差数列，从而得到其通项.（2）由（1）的结论，求得n S 及1n a +，代入1n n n n S b a a +=化简，得到n T 的式子，裂项相消即可.【小问1详解】2241n n n a a S +=-Q ，2111241n n n a a S ++++=-，两式作差得:()()1120n n n n a a a a +++--=，102n n n a a a +>∴-=Q ，{}n a ∴成等差数列，又当1n =时，()2110a -=，所以11a =即()11221n a n n =+-⨯=-【小问2详解】由（1）知21n a n =-，则()()1212122n n n a a n n S n ++-===，即()()()()21111212142121n n n n S n b a a n n n n +⎡⎤===+⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦1111482121n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，故1111111483352121n n T n n ⎛⎫=+-+-++- -+⎝⎭L 2111482148442n n n n n n n n +⎛⎫=+-=+= ⎪+++⎝⎭.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和62⎫⎪⎪⎭两点.12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A B ､两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求AB 的范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[]3,4【解析】【分析】（1）将点3(1,2代入椭圆方程，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于m 的关系式，再分析即可得解；【小问1详解】由题意可知，将点3(1,2代入椭圆方程，得222291416241a ba b⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得224,3a b==，所以椭圆的标准方程为22143x y+=.【小问2详解】由（1）知()11,0F-，()21,0F，当直线l的斜率为0时，24AB a==，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为1x my=+，()11,A x y，()22,B x y，联立221431x yx my⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x，得22(34)690m y my++-=，易得()22Δ636(34)0m m=++>，则12122269,3434my y y ym m--+==++，所以AB==2221212443434mm m+===-++，因为20m≥，所以2344m+≥，所以240134m<≤+，所以34AB≤<，综上，34AB≤≤，即AB的范围是[]3,4.18.《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到频率直方图（如图）：（1）从质量指标值在[)55,75的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.（2）经估计知这组样本的平均数为61x =，方差为2241s =.检验标准中55n x ns a ⎧⎫-=⨯⎨⎬⎩⎭，55n x ns b ⎡⎤+=⨯⎢⎥⎣⎦，N n *∈，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，s 值四舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[]11,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有95%落在[]22,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成功？【答案】（1）25；（2）详见解析；【解析】【分析】（1）根据分层抽样确定抽取比例，然后运用组合求解即可；（2）根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，然后与题中条件比较即可得出结论.【小问1详解】由题意可知[)[)55,6565,750.330.22P P ==，所以抽取的2件产品恰好都在同一组的概率为：223225C C 42C 105P +===;【小问2详解】因为2241s =，知16s ，则11611661165455755 5a b -+⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]45,75内的频率约为0.160.30.266%65%++=>，又22612166121653059055a b -⨯+⨯⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]30,90内的频率约为10.030.040.9393%95%--==<，，所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．19.如图，//AD BC ,且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，//EG AD 且EG ＝AD ，//CD FG 且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC ＝DG ＝2.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN //平面CDE ；（2）求平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,根据空间向量可证MN //平面CDE ；（2）利用平面的法向量可求出结果.【小问1详解】证明：依题意，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：可得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，E (2，0，2)，F (0，1，2)，G (0，0，2)，3(0,,1)2M ，N (1，0，2)．依题意，DC ＝(0，2，0)，DE ＝(2，0，2)．设0n ＝(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则0020220n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，得0y =，令z ＝－1，得1x =，则0(1,0,1)n =- ，又3(1,,1)2MN =- ，可得00MN n ⋅= ，直线MN ⊄平面CDE ，所以MN //平面CDE .【小问2详解】依题意，可得(1,0,0)BC =- ，(1,2,2)BE =- ，(0,1,2)CF =- ，设111(,,)n x y z = 为平面BCE 的法向量，则11110220n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得10x =，令11z =，得11y =，则(0,1,1)n =，设222(,,)m x y z = 为平面BCF 的法向量，则222020m BC x m CF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得20x =，令21z =，得22y =，则(0,2,1)m =，因此有cos ,||||m n m n m n ⋅<>=⋅ 2152=⨯31010=.于是10sin ,10m n <>= .所以平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值为1010.。