气候统计气候序列的周期提取方法

• 虽然，直观上频率域分析方法较难以让 人接受；
• 但是，这种方法在大气科学分析中是非 常常用的，也是非常重要的方法，常能 为我们提供原数据重要的信息。
谐波分析 （Harmonic analysis）
谐波分析（Harmonic analysis）
• 谐波分析是将一系列sine和cosine函数叠 加在一起来表征原始数据的振荡或波动；
Cosine和sine函数特点
c o s ( 2 k ) c o s ( ) ,k i s a n y i n t e g e r s i n ( 2 k ) s i n ( ) ,k i s a n y i n t e g e r
cos()sin()
2
sin()cos()
2
一个谐波函数表征一个简单的 时间序列——存在的问题
• 即便是时间序列具有很好的正弦曲线 的特征，我们用正弦曲线表征该数据 时，仍然存在以下问题：
1. 数据是时间的函数，而三角函数却是角度 的函数；
2. 余弦和正弦曲线波动的范围在+1和-1之间， 而数据的振荡范围通常不能满足此限制；
3. 余弦曲线极值位于 0and2 处，而
此位置对于正弦曲线则为平均值。
• 但通常大气变量的时间变化序列是不平 稳的
– 如温度，存在年循环，对于月际尺度变化， 不平稳（1月≠7月）；
– 风速，存在日变化，对于尺度为几个小时 的分析是非平稳的。
时间序列的平稳化处理 ——必要性
• 对于绝大多数时间序列的分析方法而言， 其前提条件是时间序列的平稳性；
• 因此必须将非平稳序列进行平稳性转化。
平稳时间序列
• 将某种随机变量按出现时间的顺序排列 起来称为时间序列.平稳时间序列是指其 中随机变量的时间序列,它的前期演变过 程的统计相关规律在未来的一段时间内 是不变的,也就是说它的数学期望值与方 差是不变，即变量的分布特征不随时间 变化。
时间序列的平稳性 （stationarity）
• 相对而言，如果一个时间序列的均值和 方差在统计意义上变化很弱，则可以视 其为平稳时间序列；
气候序列的周期提取方法
谱分析
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时间序列分析方法
• 存在两种基本的时间序列分析方法：
– 时间域分析方法；
• 离散数据——Markov Chains • 连续数据——自回归过程
– 频率域分析方法；
• 时间序列分析方法类似于理论分布，即用几个 参数作为数据的代表，但理论分布并不考虑数 据的排序特征，而这里的时间序列方法是对数 据的排序特征进行推断，从而也可用于对未来 数据特征的推断，这要求数据应满足平稳性。
据只有一个完整的循环。
一个谐波函数表征一个简单的 时间序列——解决方法
2. 将cosine或sine函数向上或向下移动到 原数据的基本水平处，然后拉伸或压 缩到与原数据相同的振幅范围。
2t
yt yC1cos( n )
：C 1 振幅，则振幅的最大和最小值为 C 1
一个谐波函数表征一个简单的 时间序列——解决方法
0.500 0.866 1.000 0.866 0.500 0.000 -0.500 -0.866 -1.000 -0.866 -0.500 0.000 0.000
3. 应将谐波函数水平的移动，从而与原 序列的脊和槽相匹配。
yt yC1cos(2nt1)
1 为位相角，即将cosine函数向右移动
角度 1 ，则新的函数在 t 1n 处达
到最大值。
2
举例1
• 1943-1989年Ithaca平均每月温度； • t=1表示1月，t=2表示2月，…； • 整个序列的年平均温度为46.1℉； • 原数据近似正弦曲线； • 最暖的7月平均温度为68.8℉，最冷的1
yt
cos(2t/12) sin(2t/12) ytcos(2t/12) ytsin(2t/12)
22.2 22.7 32.2 44.4 54.8 64.3 68.8 67.1 60.2 49.5 39.3 27.4 552.9
0.866 0.500 0.000 +0.500 -0.866 -1.000 -0.866 -0.500 0.000 0.500 0.866 1.000 0.000
频率域分析方法
• 频率域分析方法根据不同时间尺度（或 频率）的贡献来表证数据；
• 每一时间尺度可由一对sine和cosine函数 表示；
• 整个的时间序列就是由不同尺度的sine 和cosine函数的叠加构成；
• 通常我们对单个尺度的波更加的感兴趣。
频率域分析方法
• 因此频率域分析方法涉及到将包含n个点 的原始数据转化为一系列的周期函数；
一个谐波函数表征一个简单的 时间序列——解决方法
1. 将数据记录长度n看作为一个周期或基 本周期，则有：
c3y6c0lentim tteim uneiutsn/itcsylcent 360 or cy2clentim tteim uneiutsn/itcsylce2nt
1
2 n
为基本频率，下标1表示整个数
月平均温度为22.2 ℉
单个谐波的振幅和位相估计
• 由三角函数的特性：
c o s ( 1 ) c o s ( 1 ) c o s () s i n ( 1 ) s i n ()
• 知：
2t
C1cos( n
1)C1cos(1)cos(2nt)C1sin(1)sin(2nt)
2t
2t
A1cos( n )B1sin( n )
• 且满足 01 2
A10 A10 A10
参数
• 在满足时间步长相等，且无缺测的前提 下，通过最小二乘估计得到参数：
2 n
2 t
A1 n t 1 yt cos( n )
B1
2 n
n t 1
yt
sin( 2 t )
n
举例2
• 同上例，有下表
t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Sums:
A1 C1cos(1)
B1 C1sin(1)
谐波与多元线性回归
• 当对上式进行变量代换可转化为一般的 多元线性回归方程：
x1
cos(2t),
n
x2
sin(2t)
n
A1 b1, B1 b2
• 由此，可利用最小二乘法估计参数，且：
C1[A12B12]1/2
位相角
• 计算公式：
1 tatann1 1 ((BB 11//AA 11 )) ,, /2,