向量组与矩阵

矩阵和向量直接上结论:矩阵就是向量（这是国内官方说法，但我个人更倾向于理解为向量组，比如向量组的秩和矩阵的秩关系），向量就是只含有一个向量的向量组的特殊情况（或看作只有一行或一列的特殊矩阵），而连接他们概念的纽带是“向量组”（仅仅是概念上）1.书本概念角度:1）向量是矩阵的特殊情况，即向量是只有一行或者一列的矩阵，或者说“只有一个向量且该唯一向量只有一行或一列”的向量组（底下有个已注销用户回答的很好，但是说错了，请不要说一阶矩阵，因为“阶”只形容方阵）2）而绝大多数m×n矩阵是多个向量集合（向量集合即向量组）的一般情况，只有当m=1或n=1，又退化到向量2.几何意义:向量仅仅是向量空间即所构成的几何图形空间的某一个有方向的线段，在没有确定的一组基这个前提下，它也可以看做一个基向量而矩阵满秩时（方阵）代表对应的向量空间的“一组基”，不满秩时（高斯消元后将零行全部去掉的非方阵）代表一组基中不完整的基向量2021.6.21更新一处：想起3B1B的教学中提到任何单单看一个矩阵的形式就能发现该矩阵是暗示升维、或者降维的变换操作，这种好处甚至不需要做运算就能发现3.运算时两者代数和几何意义上的关系:矩阵乘法与向量的点积（内积）和向量的叉积的关系，我暂时偷个懒。

看下面那个已注销用户的回答，如果需要我更新，请留言（这提问中的所有回答只有个别答主说的对，其他很多都是答非所问，请谨慎识别）偷个懒，请看g大佬的回答:运算的几何意义（比如矩阵做乘法代表线性变换）暂时先不更了，内容太多，等我有空再写吧当然本人水平不足，如有错误，非常欢迎评论区友好指正和讨论，你们的点赞是我更新的动力！补充一点，底下有位热心的朋友指出线性变换是本质，我个人认为这不太全面，因为线性变换是侧重于描述向量在空间中图像变换的具体形式，如果在微分方程和函数中用到矩阵，很可能就失去了这种几何意义2022.2.15最后一更根据目前所学，纠正底下评论的说法，可以非常肯定"矩阵是一种线性变换才是本质，包括在函数和微分方程运用"这一说法完全错误，在函数和微分方程中（即高代内容中），并非所有变换都是线性的，同理能用到矩阵的时候也并非都是线性，抬杠前，请先弄明白基本概念ps:再回来看自己之前写的东西感觉也很幼稚（目前半退呼状态，所以内容也懒得改），只能说国内的线性代数内容太浅，几乎所有的应试教材和考试题目只考虑线性运算，自然就会有些自以为是的"学霸"会认为线性变换就能代表矩阵的一切，比如这位，而忽略了非线性的问题而我再次强调所谓的"线性变换是矩阵本质"这一言论只不过是某人说的线性代数在计算机的图形学应用分支而已更不要说什么"线性代数的抽象模型完全可以脱离矩阵这个具体工具而存在"这种玄幻文字如果线性代数完全脱离矩阵，那还研究矩阵做什么？我们这是搞数学不是练修仙请不要以为线性代数的作用如此浅薄更不要动不动就扯什么无限维和抽象装出一副学术砖家的派头讲一些无字天书的神仙话先把基础打牢才是学数学的正道最后，给题主和初学者的建议:先把线性和非线性中具体例子搞明白它们分别代表了哪些运算规则哪些思想有哪些应用甚至去了解应用背景我觉得这才是对线性代数的初学者最中肯的建议正如李尚志老师所说:。

矩阵等价与向量组等价的关系矩阵是指排成n行m列的一个数表。

在线性代数中矩阵是一个重要而有力的工具，应用于线性代数的始末，与线性代数的每一章节内容都有牵连。

向量是一个数组。

如果向量仅有一个分量，它就是通常意义上的数；如果向量的分量有两个或三个，在解析几何中，它表示平面或空间的有向线段。

在几何上与线性代数中向量的运算具有相同或相应的法则。

向量可以作为特殊的矩阵，也可作为矩阵的一部分。

n个m维列向量组成的向量组即可作成一个m×n矩阵。

所以矩阵与向量组之间有着千丝万缕的联系。

例如矩阵与其行向量组及列向量组均有相同的秩，方阵可逆的充要条件是其行（列）向量组线性无关等。

但是矩阵的等价与向量组的等价却没有任何必然的联系！矩阵等价的定义：如果矩阵A可以经过有限次初等变换成为矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价。

矩阵等价的两个充要条件：存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ =B；A与B同型，且r(A)=r(B)。

向量组的等价，是指两个向量组能相互线性表示。

矩阵等价与向量组等价有如下关系：1.两矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价！（《2012考研数学复习大全》理工类338页有说明及具体反例）2.两个向量组等价，它们作成的矩阵不一定等价！（向量组等价，两向量组中所含向量个数可以不同，但矩阵等价，两矩阵必定具有相同的行数与列数）在什么情况下矩阵等价其行向量组或列向量组等价呢？1.若矩阵A经初等列变换成为矩阵B，即存在可逆矩阵Q，使AQ=B，也可以写为（α1，α2，…，αn）Q=（β1，β2，…，βn），此时可知B的列向量组可以由A的列向量组线性表示，因为Q为初等矩阵的乘积，所以可逆，对AQ=B两边右乘Q-1，有A=BQ-1，故A的列向量组可以由B的列向量组线性表示。

此时可得A的列向量组与B的列向量组等价。

2.同理可知：若矩阵A经初等行变换成为矩阵B，则A的行向量组与B的行向量组等价。

3.矩阵进行初等行变换后，其列向量组不一定等价！矩阵进行初等列变换后，其行向量组不一定等价！（见《2012考研数学复习大全》理工类312页注）在什么情况下向量组等价其对应的矩阵也等价呢？1.若向量组A与向量组B均有n个列（行）向量，且两个向量组等价，则这两个向量组所作成的矩阵A与B等价！（因向量组A与向量组B等价，则它们有相同的秩，又A与B 作成的矩阵A与B有相同的行与列，且秩相等，故矩阵A与B等价）2.要求两个向量组有相同个数的向量，是因为矩阵等价的首要条件是两矩阵具有相同的行数与列数，故只有对于均有n个向量的两个m维向量组A与B，才有可能讨论其对应的矩阵A与B是否等价。

矩阵等价和向量组等价的区别和联系
今晚差点晕在这了，⼩记⼀下。

向量组等价和矩阵等价是两个不同的概念。

前者是从能够互相线性表出的⾓度给出定义；后者是从初等变换的⾓度给出定义。

向量组(必须包含向量个数相同)等价能够推出矩阵等价。

但是矩阵等价不⼀定能（见⽂末视频）推出向量组等价。

1、向量组等价
定义：
这⾥需要注意⼏个⼩点：
等价的两个向量组所含的向量个数可能不同
等价的向量组秩相等，反之不对
三个巨坑：
记忆：
向量组等价＝＞向量组等秩
向量组等秩≠＞向量组等价
向量组等价＝向量组等秩＋其中⼀组向量可由另⼀组向量线性表达
教材上两个向量组等价的充分必要条件证明：
2、矩阵等价
定义： A经过若⼲初等变换后成为B
——— EOF ———。

第一节 向量组及其线性组合分布图示★ n 维向量的概念 ★ 向量组与矩阵 ★ 向量的线性运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 定理1 ★ 例6-8 ★ 例9 ★ 向量组间的线性表示 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-2内容要点一、n 维向量及其线性运算定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象.若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个n m ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211每一列⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mj j j j a a a 21α),2,1(n j =组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a in i i i ==β组成的向量组m βββ,,,21 称为矩阵A 的行向量组.根据上述讨论，矩阵A 记为),,,(21n A ααα = 或 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A βββ 21.这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组 0=⨯X A n m的全体解当n A r <)(时是一个含有无限多个n 维列向量的向量组.定义2 两个n 维向量),,,(21n a a a =α与),,,(21n b b b =β的各对应分量之和组成的向量，称为向量α与β的和, 记为βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：)(βαβα-+=-),,,(2211n n b a b a b a ---= .定义3 n 维向量),,,(21n a a a =α的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量α的乘积（又简称为数乘），记为αk ，即),,,(21n ka ka ka k =α.向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律: (1) αββα+=+;(2) )()(γβαγβα++=++; (3) ;αα=+o (4) ;)(o =-+αα (5) ;1αα=(6) ;)()(ααkl l k =(7) ;)(βαβαk k k +=+ (8) .)(αααl k l k +=+二、向量组的线性组合 考察线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* (1) 令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m mj j j j b b b n j a a a 2121),,,2,1(βα则线性方程组(1)可表为如下向量形式:βααα=+++n n x x x 2211 (2)于是, 线性方程组(1)是否有解, 就相当于是否存在一组数n k k k ,,,21 使得下列线性关系式成立：.2211n n k k k αααβ+++=定义4 给定向量组s A ααα,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式s s k k k ααα+++ 2211称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数.定义5 给定向量组s A ααα,,,:21 和向量β, 若存在一组数,,,,21s k k k 使,2211s s k k k αααβ+++=则称向量β是向量组A 的线性组合, 又称向量β能由向量组A 线性表示(或线性表出).注：(1)β能由向量组s ααα,,,21 唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有唯一解；(2) β能由向量组s ααα,,,21 线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有无穷多个解；(3) β不能由向量组s ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211无解；定理1 设向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b 21β，),,,2,1(21s j a a a mj j j j =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α则向量β能由向量组s ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21s A ααα =与矩阵),,,,(~21βαααs A =的秩相等.三、向量组间的线性表示 定义6 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββααα若向量组B 中的每一个向量都能由向量组A 线性表示, 则称向量组B 能由向量组A 线性表示.若向量组A 与向量组B 能相互线性表示, 则称这两个向量组等价. 按定义, 若向量组B 能由向量组A 线性表示, 则存在),,2,1(,,,21t j k k k sj j j = 使,),,,(21212211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=sj j j s s sj j j j k k k k k k ααααααβ所以,),,,(),,,(2122221112112121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=st s s t t s t k k k k k k k k k αααβββ其中矩阵t s ij t s k K ⨯⨯=)(称为这一线性表示的系数矩阵.引理 若,n t t s n s B A C ⨯⨯⨯= 则矩阵C 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示, B为这一表示的系数矩阵. 而矩阵C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵.定理2 若向量组A 可由向量组B 线性表示, 向量组B 可由向量组C 线性表示, 则向量组A 可由向量组C 线性表示.例题选讲n 维向量及其线性运算例1 设,)2/5,2,1,3(,)1,1,4,2(21TT ---=--=αα 如果向量满足 ,0)(2321=+-αβα 求β.解 由题设条件,有022321=--αβαβ)32(2112αα--=1223αα+-=T T )1,1,4,2(23)2/5,2,1,3(--+----=.)1,2/1,5,6(T --=例2 (E01) 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T =-=-=γβα(1) 求 γβα32-+; (2) 若有x , 满足,0253=++-x γβα 求.x解（1）γβα32-+T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2--+-=.)1,2,4,5(T =（2）由,0253=++-x γβα得x )53(21γβα-+-=])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[21T T T --+--=.)8,2/7,1,2/5(T --=例3 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21--==-=βαα 由于212ααβ-=, 因此β是21,αα的线性组合.例4 证明:向量)5,1,1(-=β是向量)6,3,2(),4,1,0(),3,2,1(321===ααα的线性组合并具体将β用321,,ααα表示出来.证 先假定,332211αλαλαλβ++=其中321,,λλλ为待定常数，则)5,1,1(-)6,3,2()4,1,0()3,2,1(321λλλ++=)6,3,2()4,,0()3,2,(33322111λλλλλλλλ++=)6,3,2()4,,0()3,2,(33322111λλλλλλλλ++=由于两个向量相等的充要条件是它们的分量分别对应相等，因此可得方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+56431321232132131λλλλλλλλ.121321⎪⎩⎪⎨⎧-===λλλ 于是β可以表示为321,,ααα的线性组合，它的表示式为.2321αααβ-+=例5 证明: 向量)5,5,4(可以用多种方式表示成向量),3,2,1()4,1,1(-及)2,3,3(的线性组合. 证 假定321,,λλλ是数，它们使)5,5,4()2,3,3()4,1,1()3,2,1(321λλλ+-+=)2,3,3()4,,()3,2,(333222111λλλλλλλλλ+-+=),243,32,3(321321321λλλλλλλλλ+++++-=这样便可得到一个线性方程组:.524353243321321321⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-λλλλλλλλλ （2） 这个方程组的解不是唯一的，例如以下二组数都是方程组(2)的解:,11=λ,02=λ;13=λ,31=λ,12-=λ.03=λ因此);2,3,3()3,2,1()5,5,4(+=).4,1,1()3,2,1(3)5,5,4(--=即向量)5,5,4(可以用不止一种方式表示成另外3个向量的线性组合.注：本例表明，判断一个向量是否可用多种形式由其它向量组线性表出的问题也可以归结为某一个线性方程组解的个数问题. 解唯一，表示方式也唯一. 解越多，表示方式也越多.这说明线性方程组的解同向量线性关系之间的紧密联系.向量组的线性组合例6 (E02) 任何一个n 维向量T n a a a ),,,(21 =α都是n 维向量单位组T n T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε的线性组合.因为 .2211n n a a a εεεα+++=例7 (E03) 零向量是任何一组向量的线性组合.因为.00021s o ααα⋅++⋅+⋅=例8 (E04) 向量组s ααα,,,21 中的任一向量)1(s j j ≤≤α都是此向量组的线性组合. 因为 .0101s j j αααα⋅++⋅++⋅=例9 (E05) 判断向量T )11,1,3,4(1-=β与T )11,0,3,4(2=β是否各为向量组,)5,1,2,1(1T -=α T )1,1,1,2(2-=α的线性组合. 若是, 写出表示式.解 设,12211βαα=+k k 对矩阵)(121βαα施以初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1115111312421→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000110421→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000110201 易见，秩=)(121βαα秩.2),(21=αα故1β可由21,αα线性表示，且由上面的初等变换可取,21=k 12=k 使.2211ααβ+= 类似地，对矩阵),,(221βαα施以初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1115011312421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990430550421⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00010*******易见, 秩,3)(221=βαα秩.2)(21=αα 故2β不能由21,αα线性表示.课堂练习1.下列向量组中,向量β能否由其余向量线性表示? 若能, 写出线性表示式:.)6,5,4(,)1,2,1(,)2,1,2(,)2,3,3(321T T T T =-=-=-=βααα。

等价是描述两个对象之间的一种关系,当这种关系具有自身性、对称性和传递性时,这种关系可被称为“等价”[1-3]。

矩阵等价和向量组等价是两个不同的概念,前者是指一个矩阵可以经过有限次初等变换得到另一矩阵,后者是指两个向量组能够相互线性表示。

矩阵和向量组具有一一对应性,由于等价矩阵具有相同的行数和列数,从向量组的角度,两个向量组包含相同个数的向量;而当列(行)向量组等价时,从矩阵的角度,两个矩阵的列(行)数可以不同。

初等变换作为矩阵理论的重要工具,当两个向量组包含相同个数的向量时,项梁组等价和矩阵等价之间是否具有联系呢？如果能获得这种联系,则向量组的等价问题在某种程度上可以借助初等变换研究以简化其讨论步骤。

1 理论为方便起见,不妨设有两个矩阵A 和B 且A～B ,从而存在两个可逆阵P,Q ,满足:PAQ =B 。

可将A 和B 表示为列向量组的形式,则有:),,,(),,,(2121n n b b b Q a a a P ΛΛ= (1)如果P =E ,由初等变换理论可知,A 到B 只进行了初等列变换,且(1)式可改写为:),,,(),,,(2121n n b b b Q a a a ΛΛ= (2)两边同时右乘1-Q ,得:12121),,,(),,,(-=Q b b b a a a n n ΛΛ(3)由(2)式可知,向量组n b b b ,,,21Λ能由向量组n a a a ,,,21Λ线性表示,由（3)式可知,向量组n a a a ,,,21Λ能由n b b b ,,,21Λ线性表示,故n a a a ,,,21Λ与n b b b ,,,21Λ等价。

因此获得下面结论:结论1：只经初等列变换由一个矩阵到另一矩阵,相应的列向量组等价。

对上面的(2)式,两边同取转置,得:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T T n T T T b b b a a a Q M M 2121 (4)两边同时左乘1)(-T Q ,得:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T T T T n T Tb b b Q a a a M M 21121)( (5)同理,(4)式和(5)式表明行向量组T nT T b b b ,,,21Λ与Tn T T a a a ,,,21Λ等价,由此获得下面结论:结论2：只经初等行变换由一个矩阵到另一矩阵,相应的行向量组等价。

第三章 向量与向量空间§１ n 维向量在平面几何中,坐标平面上每个点的位置可以用它的坐标来描述,点的坐标是一个有序数对(,)x y .一个n 元方程1122n n a x a x a x b +++=可以用一个1n -元有序数组12(,,,,)n a a a b来表示.1n ⨯矩阵和1n ⨯矩阵也可以看作有序数组.一个企业一年中从1月到12月每月的产值也可用一个有序数组1212(,,,)a a a 来表示.有序数组的应用非常广泛,有必要对它们进行深入的讨论.定义 1 n 个数组成的有序数组12(,,,)n a a a （３.１） 或12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（３.２）称为一个n 维向量,简称向量.一般,我们用小写的粗黑体字母,如, α,β,γ等来表示向量,(3.1)式称为一个行向量,(3.2)式称为一个列向量.数12,,,n a a a 称为这个向量的分量.i a 称为这个向量的第i 个分量或坐标.分量都是实数的向量称为实向量;分量是复数的向量称为复向量.实际上,n 维行向量可以看成1n ⨯矩阵,n 维列向量也常看成1n ⨯矩阵.下面我们只讨论实向量.设k 和l 为两个任意的常数.α,β和γ为三个任意的n 维向量,其中12(,,,)n a a a = α, 12(,,,)n b b b = β.定义 2 如果α和β对应的分量都相等,即,1,2,,i i a b i n ==就称这两个向量相等,记为α＝β.定义 3 向量(a 1+b 1,a 2+b 2,…,a n +b n )称为α与β的和,记为α＋β.称向量(ka 1,ka 2,…,ka n )为α与k 的数量乘积,简称数乘,记为k α.定义 4 分量全为零的向量(0, 0, …, 0)称为零向量,记为0.α与-1的数乘(-1)α＝(-a 1,-a 2,…,-a n )称为α的负向量,记为-α.向量的减法定义为α－β＝α＋（－β）.向量的加法与数乘具有下列性质： （１） α＋β＝β＋α；（交换律) （２） （α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；（结合律） （３） α＋0＝α；（４） α＋（－α）＝0； （５） k (α+β)=k α+k β； （６） （k +l )α=k α+l α； （７） k (l α)=(kl )α； （８） １α＝α； （９） 0α＝0； （１０） k 0＝0.在数学中,满足(１) ～(８)的运算称为线性运算.我们还可以证明：（１１） 如果k ≠0且α≠0, 那么k α≠0.显然,n 维行向量的相等和加法、减法及数乘运算的定义,与把它们看作行矩阵时的相等和加法、减法及数乘运算的定义是一致的.对应地,我们也可以定义列向量的加法、减法和数乘运算,这些运算与把它们看成列矩阵时的加法、减法和数乘运算也是一致的,并且同样具有性质(１)～(１１).例1 设()11,1,0=α,()20,1,1=α,()33,4,0α=,求12332ααα+-. 解 ()()()1233231,1,020,1,13,4,0ααα+-=+- ()()()()3,3,00,2,23,4,00,1,2=+-=例 2 设()11,1,1,1α=,()21,1,1,1α'=--,()31,1,1,1α'=--,()41,1,1,1α'=--且()()()123422αβαβααβ+-+=++,求β.解 由()()()123422αβαβααβ+-+=++,得()12342223,5,3,3βαααα'=---=-通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组,n 维行量组α１,α２,…,αs 可以排列 成一个s ×n 分块矩阵12s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦a a A a ,其中αi 为由A 的第i 行形成的子块,α１,α２,…,αs 称为Ａ的行向量组.n 维列向量组β１,β２,…,βs 可以排成一个n ×s 矩阵Ｂ＝（β１,β２,…,βs ）,其中βj 为Ｂ的第j 列形成的子块,β１,β２,…,βs 称为B 的列向量组.这样,矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.向量组之间的关系可用矩阵来研究；反过来,矩阵的问题也可用向量组来研究.§2线性相关与线性无关定义 5 向量组α１,α２,…,αs 称为线性相关的,如果有不全为零的数k １,k ２,…,k s , 使1si ii k =∑a=k １α１+k ２α２+…+k s αs ＝0. （3.3）反之,如果只有在k １= k ２ = … =k s =0时(3.3)才成立,就称α１,α２,…,αs 线性无关. 换言之,当α１,α２,…,αs 是行向量组时,它们线性相关就是指有非零的1×s 矩阵 (k １,k ２,…,k s )使1212(,,,)s s k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0 a a a .当α１,α２,…,αs 为列向量组时,它们线性相关就是指有非零的s ×1矩阵(k １,k ２,…,k s )′使1212(,,,)s s k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0 a a a .显然,单个零向量构成的向量组是线性相关的. 例3 判断向量组12(1,0,,0),(0,1,,0),(0,0,,1)n =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ εεε 的线性相关性.解 对任意的常数k １,k ２,…,k n 都有k １ε1+k ２ε2+…+k n εn ＝(k １,k ２,…,k n ).所以k １ε1+k ２ε2+…+k n εn =0当且仅当k 1=k 2=…=k n =0.因此ε1,ε2,…,εn 线性无关.ε1,ε2,…,εn 称为基本单位向量. 例4 判断向量组α１＝（１,１,１）,α２＝（０,２,５）,α3＝（１,３,６） 的线性相关性.解 对任意的常数k １,k ２, k 3都有k １α１+k ２α２+ k 3α3=(k １+k 3,k １+2k ２+3k 3,k １+5k ２+6k 3).所以k １α１+k ２α２+ k 3α3=0当且仅当131231230,230,560.k k k k k k k k +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 由于k 1=1,k 2=1,k 3=-1满足上述的方程组,因此１α１+1α２+(-1)α3=α１+α２-α3=0.所以α１,α２,α3线性相关.例5 设向量组α１,α２,α3线性无关,β１＝α１+α２,β２＝α２+α3,β3＝α3+α１, 试证向量组β１,β２,β3也线性无关.证 对任意的常数都有k １β１+k ２β２+k 3β3=(k １+k 3)α１＋（k １+k ２)α２+(k ２+k 3)α3 .设有k １,k ２,k 3使k １β１+k ２β２+k 3β3=0.由α１,α２,α3线性无关, 故有1312230,0,0.k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 由于满足此方程组的k １,k ２,k 3的取值只有k １=k ２=k 3=0,所以β１,β２,β3线性无关.定义 6 向量α称为向量组β１,β２,…,βt 的一个线性组合,或者说α可由向量组β１,β２,…,βt 线性表出(示),如果有常数k １,k ２,…,k t 使α＝k １β１＋k ２β２+…＋k t βt . 此时,也记1ti ii k ==∑a β.例6 设α１=(1,1,1,1),α２=(1,1,-1,-1),α3=(1,-1,1,-1),α4=(1,-1,-1,1), β=(1,2,1,1).试问β能否由α１,α２,α3,α4线性表出？若能,写出具体表达式.解 令β=k １α１+k ２α２+k 3α3+k 4α4于是得线性方程组12341234123412341211k k k k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪+--=⎪⎨-+-=⎪⎪--+=⎩ 因为1111111116011111111D ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥==-≠⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦, 由克莱姆法则求出1234511,,444k k k k ====-所以12345111,4444=+--βαααα即β能由α１,α２,α3,α4线性表出.例7 设α=(2,-3,0),β=(0,-1,2),γ=(0,-7,-4),试问γ能否由α,β线性表出? 解 设 γ=k １α+k ２β 于是得方程组1122203724k k k k =⎧⎪--=-⎨⎪=-⎩由第一个方程得k １=0,代入第二个方程得k ２=7,但k ２不满足第三个方程,故方程组无解.所以γ不能由α,β线性表出.定理 1 向量组α１,α２,…,αs (s ≥2) 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其余向量线性表出.证 设α１,α２,…,αs 中有一个向量能由其余向量线性表出,不妨设α１=k ２α２+k 3α3+…+k s αs ,那么-α１+k ２α２+…+k s αs =0,所以α１,α２,…,αs 线性相关.反过来,如果α１,α２,…,αs 线性相关,就有不全为零的数k １,k ２,…,k s , 使k １α１＋k ２α２＋…＋k s αs =0.不妨设k １≠０, 那么32123111.s s k k k k k k =---- αααα即α１能由α２,α3,…,αs 线性表出.例如,向量组α１＝（２,－１,３,１）,α２＝（４,－２,５,４）,α3＝（２,－１,４,－１） 是线性相关的,因为α3＝３α１-α２.显然,向量组α１,α２线性相关的充分必要条件是存在常数k,使得两向量的对应分量成比例.在三维的情形,这就表示向量α１与α２共线.三个向量α１,α２,α3线性相关的几何意义就是它们共面.定理 2 设向量组β１,β２,…,βt 线性无关,而向量组β１,β２,…,βt ,α线性相关,则α能由向量组β１,β２,…,βt 线性表出,且表示式是惟一的.证 由于β１,β２,…,βt ,α线性相关,就有不全为零的数k １,k ２,…,k t ,k 使k １β１+k ２β２+…+k t βt +k α=0.由β１,β２,…,βt 线性无关可以知道k ≠0. 因此1212t t k k kk k k=---- αβββ, 即α可由β１,β２,…,βt 线性表出.设α＝l １β１+l ２β２+…＋l t βt ＝h １β１+h ２β２＋…＋h t βt为两个表示式.由α－α＝（l １β１+β２+…＋l t βt )-(h １β１+h ２β２＋…＋h t βt )=（l １-h １）β１＋（l ２-h ２）β２＋…＋（l t -h t ）βt ＝0和β１,β２,…,βt 线性无关可以得到l １=h １, l ２=h ２, …, l t =h t .因此表示式是惟一的.定义 7 如果向量组α１,α２,…,αs 中每个向量都可由β１,β２,…,βt 线性表出,就称向量组α１,α２,…,αs 可由β１,β２,…,βt 线性表出,如果两个向量组互相可以线性表出,就称它们等价.显然,每一个向量组都可以由它自身线性表出.同时,如果向量组α１,α２,…,αt 可以由向量组β１,β２,…,βs 线性表出,向量组β１,β２,…,βs 可以由向量组12,,,p γγγ线性表出,那么向量组α１,α２,…,αt 可以由向量组12,,,p γγγ线性表出.事实上,如果1,1,2,,,si ij j j k i t ===∑ αβ1,1,2,,,pj jm mm lj s ===∑ βγ那么111111pppsss i ij jm m ij jm m ij jm m j m j m m j k l k l k l ======⎡⎤===⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑αγγγ.这就是说,向量组α１,α２,…,αt 中每一个向量都可以由向量组12,,,p γγγ线性表出.因而,向量组α１,α２,…,αs 可以由向量组12,,,p γγγ线性表出.由上述结论,得到向量组的等价具有下述性质： (1) 反身性：向量组α１,α２,…,αs 与它自己等价.(2) 对称性：如果向量组α１,α２,…,αs 与β１,β２,…,βt 等价,那么β１,β２,…,βt 也与α１,α２,…,αs 等价.(3) 传递性：如果向量组α１,α２,…,αs 与β１,β２,…,βt 等价,而向量组β１,β２,…,βt 又与12,,,p γγγ等价,那么α１,α２,…,αs 与12,,,p γγγ等价.§ 3线性相关性的判别定理利用定义判断向量组的线性相关性往往比较复杂,我们有时可以直接利用向量组的特点来判断它的线性相关性,通常称一个向量组中的一部分向量组为原向量组的部分组.定理 3 有一个部分组线性相关的向量组一定线性相关.证 设向量组α１,α２,…,αs 有一个部分组线性相关.不妨设这个部分组为α１,α２,…,αr()r s ≤.则有不全为零的数k１,k ２,…,k r 使1110,s r si ii iji i j r k k ===+=+=∑∑∑0ααα因此α１,α２,…,αs 也线性相关.推论 含有零向量的向量组必线性相关.定理 4 设p 1,p 2,…,p n 为1, 2, …,n 的一个排列,α１,α２,…,αs 和β１,β２,…,βs 为两向量组,其中1212n ip i ip i i i in ip ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ααααα=,βαα, 即β１,β２,…,βs 是对α１,α２,…,αs 各分量的顺序进行重排后得到的向量组,则这两个向量组有相同的线性相关性.证 对任意的常数k １,k ２,…,k s 注意到列向量111221*********1122s s ss s i i i n ns sn k k k k k k k k k k =+++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦∑ αααααααααα 和1112221122112211122n n n p p s sp s p p s sp i i i p p s sp k k k k k k k k k k =+++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦∑ ααααααβααα 只是各分量的排列顺序不同,因此k １β１+k ２β２+…+k s βs =0当且仅当k １α１+k ２α２+…+k s αs =0.所以α１,α２,…,αs 和β１,β２,…,βs 有相同的线性相关性.定理 4 是对列向量叙述的.对行向量也有相同的结论.类似这样的情形,今后不再说明.定理 5 在r 维向量组α１,α２,…,αs 的各向量添上n -r 个分量变成n 维向量组β１,β２,…,βt .（1）如果β１,β２,…,βs t 线性相关,那么α１,α２,…,αs 也线性相关. (2) 如果α１,α２,…,αs 线性无关,那么β１,β２,…,βs 也线性无关. 证 我们对列向量来证明定理,设（α１,α２,…,αs ）＝Ａ１,(β１,β２,…,βs ）＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦A A ,如果β１,β２,…,βs 线性相关,就有一个非零的s ×1矩阵Ｘ使（β１,β２,…,βs ）Ｘ＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦A A Ｘ＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦X X A A ＝０. 从而（α１,α２,…,αs ）X ＝Ａ１Ｘ＝０.因此α１,α２,…,αs 也线性相关,即(1)成立.利用(1),用反证法容易证明(2)也成立.定理6 设A 是一个n 阶方阵,则A 的行（列）向量组线性相关的充分必要条件是0A =. 证 设()ijnxnA a =,112111n a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 122222n a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, ,12n n n nn a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的列到向量组.令11220n n x x x ααα+++= . ()34- 则12,,,n ααα 线性相关的充分必要条件是,存在一组不全为零的实数12,,...,,n x x x 使得()34-式成立,即齐次线性方程组120n x x A x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦()35-有非零解存在.由第一章定理5的推论及其注解知,()35-式存在非零解的充分必要条件是0A =.从而定理得证.推论 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的行（列）向量组线性无关.例8 试证明n 维列向量组α１,α２,…,αn 线性无关的充分必要条件是行列式1112121222120n n n n n n '''⎡⎤⎢⎥'''⎢⎥=≠⎢⎥⎢⎥'''⎣⎦ D αααααααααααααααααα证 令矩阵A ={α１,α２,…,αn }则向量组α１,α２,…,αn 线性无关⇔行列式|A |≠0.由于[]111121*********2n n n n n n n n ''''⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥''''⎢⎥⎢⎥'==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''''⎣⎦⎣⎦ A ααααααααααααααA αααααααααα 在上式两端取行列式,得|A |2=|A ′||A |=D故|A |≠0⇔D ≠0,所以α１,α２,…,αn 线性无关⇔D ≠0.定理 7 n +1个n 维向量α１,α２,…,αn +1必线性相关.证 对每个αs 添加等于零的第n +1个分量,得到n +1维向量β１,β２,…,βn +1.易见,由β１,β２,…,βn +1构成的方阵的行列式等于零,因而β１,β２,…,βn +1线性相关,由定理5,易知α１,α２,…,αn +1也线性相关.推论 当m n >时,m 个n 维向量线性相关. 例9 讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性：123132221;021.343201-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B C解 由于｜Ｂ｜＝２≠０,因此Ｂ的行(列)向量组线性无关； 由于｜Ｃ｜＝０,所以C的行(列)向量组线性相关.定理 8 如果向量组α１,α２,…,αs 可由β１,β２,…,βt 线性表出且s ＞t ,那么α１,α２,…,αs线性相关.证 我们不妨假定讨论的是列向量,如果α１,α２,…,αs 可由β１,β２,…,βt 线 性表出,那么()()121212i i i n n i it p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦αββββββγ.其中12i i i it p p r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,()1,2,,i s = .令Ａ＝（γ１,γ２,…,γs ),则(α１,α２,…,αs )＝（β１,β２,…,βt ）Ａ.由于γ１,γ２,…,γs 为由s 个向量组成的t 维向量组.且s t >,根据推论知,它们必线性相关.因此有非零s ×1矩阵（k 1,k 2,…,k s ）′使112212(,,,)s s s k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0 A γγγ. 从而()11221212(,,,)s s s s k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0 αααβββA .即有α１,α２,…,αs 线性相关.推论 1 如果向量组α１,α２,…,αs 可由向量组β１,β２,…,βt 线性表出,且α１,α２,…,αs 线性无关,那么s t ≤.推论 2 两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量.§4 向量组的秩定义 8 设存在向量组12,,,s ααα的一个部分组12,,,ri i i ααα,满足（1）部分组12,,,ri i i ααα线性无关；（2）对任意的()1i i s α≤≤,都有12,,,ri i i ααα线性相关.则称部分组12,,,ri i i ααα是向量组12,,,s ααα的一个极大线性无关组（简称为极大无关组）.例10 在向量组α１＝（２,－１,３,１）,α２＝（４,－２,５,４）,α３＝（２,－１,４,－１）中,α1,α2为它的一个极大线性无关组.首先,由α１与α２的分量不成比例,所以α1,α2线性无关,再添入α3以后,由α3＝3α1-α 2可知所得部分组线性相关,不难验证α2,α3也为一个极大线性无关组.我们容易证明定义8与下列定义8′等价.定义 8′ 若向量组12,,,s ααα的一个部分组12,,,ri i i ααα,满足：（1）12,,,ri i i ααα线性无关；（2）对任意的()1,2,,i i s α= ,i α可由12,,,ri i i ααα线性表出.则称部分组12,,,ri i i ααα是向量组12,,,s ααα的一个极大无关组.由此,向量组的极大线性无关组具有以下性质：性质 1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价.从例10 我们发现：向量组的极大线性无关组可能不是唯一的,但是我们有下面的结论. 性质 2 一向量组的任意两个极大线性无关组都等价.性质 3 一向量组的任意两个极大线性无关组都含有相同个数的向量.性质3表明向量组的极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关,它反映了向量组本身的特征.定义 9 向量组12,,,s ααα的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩,记为()12,,,s R ααα.例如,例10中向量组α1,α2,α3的秩为2.线性无关向量组本身就是它的极大线性无关组,所以我们有：一向量组线性无关的充要条件为它的秩与它所含向量的个数相同.我们知道每个向量组都与它的极大线性无关组等价,由等价的传递性可知任意两个等价的向量组的极大线性无关组也等价,根据定理8的推论1就有等价的向量组必有相同的秩.如果向量组α1,α2,…,αs 能由向量组β１,β２,…,βt 线性表出,那么α1,α2,…,αs 的极大线性无关组可由β１,β２,…,βt 的极大线性无关组线性表出.因此α1,α2,…,αs 的秩不超过β１,β２,…,βt 的秩.定理 9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组.证 设,i i i 12κ αα,,α是向量组α1,α2,…,αs 中的一个线性无关的部分组,如果α1,α2,…,αs 中每个向量都可由这个部分组线性表出,那么这个部分组就是一个极大线性无关组,如果还有某向量αik +1不能被这个部分组线性表出,那么由121121i i k i l l l κ+++++ ααα＝０就有l k +1=0.再由原部分组线性无关就可得l １＝l ２＝…＝l k =l k +1=0.这样,我们就得到了一个含k +1个向量的线性无关的部分组121,i i i κ+ αα,,α.重复这个过程,最后必可得到α1,α2,…,αs 的一个线性无关的部分组使向量组中每个向量都可由这个部分组线性表出,这个部分组就是一个极大线性无关组.推论 秩为r 的向量组中任意含r 个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组. 例11 求向量组α1＝(1,-1,0,3),α2＝(0,1,-1,2),α3＝(1,0,-1,5),α4＝(0,0,0,2)的一个极大线性无关组及秩.解 α1是α1,α2,α3,α4的一个线性无关的部分组,显然α2不能由α1线性表示,所以α1可以扩充为一个线性无关的部分组α1,α2,容易证明α3＝α1+α2,但α4不能由α1,α2线性表出,所以α1,α2又可扩充为一个线性无关的部分组α1,α2,α4,从而α1,α2,α3,α4的秩为3,α1,α2,α4是它的一个极大线性无关组.在第二章中,我们给出了矩阵的秩的定义和计算方法,那么向量组的秩与矩阵的秩有什么关系呢？首先,我们建立一个引理.引理 设1,2,r ααα ,是r 个n 维列向量()r n ≤,则1,2,r ααα ,线性无关的充分必要条件是矩阵A =()1,2,r ααα ,至少存在一个r 阶子式不为零.证 充分性由本章的定理5与定理6的推论可立即得到. 下面证必要性.对向量的个数r 用数学归纳法证明.当1r =时,由1α线性无关知10α≠,从而A 至少有一个1阶子式不为零. 假设 r k =时,结论成立. 当1r k n =+≤时,设12i ii ni a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1,2,,1,i k =+且1,2,1k ααα+ ,线性无关,则1,2,k ααα ,亦线性无关.由归纳假设,矩阵()1,2,k B ααα= ,至少存在一个k 阶子式不为零.不妨设1112121222120k k k k k kka a a a a a D a a a =≠. ()36-令12,1,2,,1i ii ki a a i k a γ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎣⎦.由()36-式知,12,,,k γγγ 线性无关.而1k +个k 维向量121,,,,k k γγγγ+ 线性相关,由本章的定理2,则1k γ+可由12,,,k γγγ 线性表出,即存在一组确定的数12,,,k C C C ,使得11122k k k C C C γγγγ+=+++ .从而有,110,1,2,,ki k j ijj a C ai k +=-==∑ . ()37-令1211kk j j j n b b C b βαα+=⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ ,这里 ,110,1,2,,ki i k j ijj b a C ai n +==-==∑ .则由()37-知：120k b b b ==== .但因121,,,k ααα+ 线性无关,则0β≠,因此必存在某个0s b ≠()k s n <≤.于是1k +阶子式1111,12122,11,11,1k k k k k kk k k s sks k a a a a a a a a a a a a ++++()()()11,2,,i c k i c i k ++-= 111212110000kk s k k kk s sksa a a ab D a a a a b =≠. 下面,我们建立向量组的秩与矩阵的秩的关系.定理10 设A 为m n ⨯矩阵,则矩阵A 的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.证 只讨论列向量组的情况,类似可讨论行向量组的情况.设 12,,n ααα ,是A 的列向量组,()R A r =,()12,,n R S ααα= ,.首先,由()R A r =,则矩阵A 中至少存在一个阶子式0r D ≠,由本章定理5和定理6的推论知,r D 所在的A 中的r 个列向量一定线性无关,从而s r ≥；另一方面,由()12,,n R S ααα= ,,则必有s 个列向量构成A 的列向量组12,,n ααα ,的极大线性无关组.由引理知这s 个列向量构成的矩阵中至少存在一个s 阶子式不为零,从而r s ≥.于是有r s =.矩阵A 的行向量组的秩称为矩阵A 的行秩,矩阵A 的列向量组的秩称为矩阵A 的列秩.推论 矩阵A 的行秩与列秩相等.由定理10的证明知,若r D 是矩阵A 的一个最高阶非零子式,则r D 所在的r 个行和r 个列就分别是矩阵A 的行向量组和列向量组的一个极大线性无关组.求向量组的秩,只需要将向量组中各向量作为列向量组成矩阵后,只作初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵,则可直接写出所求向量组的秩和极大无关组.同理,也可以将向量组中的各向量作为行向量组成矩阵,通过作初等列变换来求向量组的秩和极大无关组.例12 求向量组()11,4,1,0,2α=()2,2,5,1,3,2,α=--()30,2,2,1,0α=-,()41,2,5,6,2α=-的秩和一个极大无关组,并把不属于极大无关组的其余向量用该极大无关组线性表出.解 把向量组作为列向量组成矩阵A ,利用初等行变换将A 化为最简行矩阵B ：1201120145220326112503260316031622020204A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦12010102001000000000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10030102001000000000B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 易见 ()()3R A R B ==,B 的第1,2,3列线性无关,由于A 的列向量与B 的对应的列向量组有相同的线性组合关系,故与其对应的A 的第1,2,3列线性无关,即123,,ααα是该向量组的一个极大无关组.又由矩阵B ,易得41232ααα=-. 例13已知向量组()11,2,1,1α=-()2,2,0,,0t α=()30,4,5,α=--,()43,2,4,1t α=-+-的秩为2,确定t 的值.解 考察矩阵120320421541021A t t ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-+⎢⎥--⎣⎦. 由条件知()2R A =,从而A 的所有3阶子式均为0. 故 由12204124015t t -=-+=-,得 3t =.§5 向量空间定义10 设V 为n 维向量组成的集合.如果V 非空,且对于向量加法及数乘运算封闭,即对任意的α,β∈V 和常数k 都有α＋β∈Ｖ,ｋα∈Ｖ,就称集合V 为一个向量空间.例14 n 维向量的全体R ｎ构成一个向量空间.特别地,三维向量可以用有向线段来表示,所以R ３也可以看作以坐标原点为起点的有向线段的全体.例15 n 维零向量所形成的集合｛０｝构成一个向量空间. 例16 集合V ＝｛（０,ｘ２,ｘ３,…,ｘｎ）｝｜ｘ２,ｘ３,…,ｘｎ∈R ｝构成一个向量空间. 例17 集合V ＝｛(ｘ1,ｘ2,…,ｘｎ）｜ｘ1+ｘ２＋…＋ｘｎ＝１｝不构成向量空间. 例18 设α１,α２,…,αｍ为一个n 维向量组,它们的线性组合 Ｖ＝｛ｋ１α１＋ｋ2α2+…＋k m αm ｜k １,k ２,…,k m ∈R ｝构成一个向量空间.这个向量空间称为由α１,α２,…,αｍ所生成的向量空间,记为L (α１,α２,…,αｍ).例19 证明由等价的向量组生成的向量空间必相等.证 设α１,α２,…,αｍ和β１,β２,…,βs 是两个等价的向量组.对任意的α∈L(α１,α２,…,αｍ)都可由α１,α２,…,αｍ线性表出.而向量组α１,α２,…,αｍ又可由β１,β２,…,βs 线性表出可以知道α也能由β１,β２,…,βs 线性表出,即有α∈L(β１,β２,…,βs ).由α的任意性,得L (α１,α２,…,αｍ)⊆L (β１,β２,…,βs ). 同理,L (β１,β２,…,βs )⊆L ().于是L (α１,α２,…,αｍ)＝L (β１,β２,…,βs ).定义11 如果V １和Ｖ２都是向量空间且V １⊆Ｖ２,就称Ｖ1是Ｖ２的子空间.任何由n 维向量所组成的向量空间都是R ｎ的子空间.R ｎ和｛０｝称为R ｎ的平凡子空间,其他子空间称为R ｎ的非平凡子空间.定义12 设V 为一个向量空间.如果V 中的向量组α１,α２,…,αr 满足 (1)α１,α２,…,αr 线性无关；(2) V 中任意向量都可由α１,α２,…,αr 线性表出.那么,向量组α１,α２,…,αr 就称为V 的一个基,r 称为V 的维数,记作dim V ,并称V 为一个r维向量空间.如果向量空间V 没有基,就说V 的维数为0,0维向量空间只含一个零向量.如果把向量空间V 看作向量组,那么V 的基就是它的极大线性无关组,V 的维数就是它的秩.当V 由n 维向量组成时,它的维数不会超过n .定义 13 设12,,r ααα ,是r 维向量空间V 的一个基,则对于任一向量V α∈,有且仅有一组数12,,r x x x ,使1122r r x x x αααα=+++ ,有序数组12,,,r x x x 称为α在基12,,r ααα ,下的坐标,记为()12,,n x x x . 例20 设()123221212122-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A a ,a ,a ,()12140342⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B ,ββ,验证α１,α２,α3是R ３的一个基并将β１,β２用这个基线性表出.解 由｜Ａ｜≠0可以知道α１,α２,α3线性无关.由于3dim 3R =,因此α１,α２,α3是R ３的一个基.设β１＝ｘ11α１＋ｘ21α2＋ｘ3１α3, β2＝ｘ12α１＋ｘ22α2＋ｘ32α3,即(β１,β２）＝（α１,α２,α３)111221223132x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 那么()1112112122123132x x x x x x --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,=AB ββ. 下面,我们给出求1A B -的一个简单方法：如果P １,Ｐ２,…,Ｐｌ为初等矩阵,使Ｐ１Ｐ２…ＰｌＡ＝Ｅ,则 Ａ－１＝Ｐ１Ｐ２…Ｐｌ故有l １２ＰＰＰB ＝1-A B . 因此只需对矩阵（Ａ┊Ｂ）作初等行变换,当把A 变为E 时,B 就变成了Ａ－１Ｂ.（Ａ┊Ｂ）＝221142*********-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(1,3)122422*********r --⎡⎤⎢⎥−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (21(2))(31(2))122420368706378r r ++--⎡⎤⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1(1))(32(2))122420368700996r r -+----⎡⎤⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1(3())9(23(6))(13(2))21202303023200113r r r -+-+⎡⎤--⎢⎥⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1(2())3(12(2))2410033201013200113r r +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦因此 12433213213-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A B . 所以112321232242,3333--++=a a a =a a a ββ.即1β和2β在基123,,ααα下的坐标分别是22,,133--和42,1,33.本章小结与补充向量是线性代数中最简单的数组,是矩阵的特殊情形.所谓向量的线性运算与矩阵的线性运算实质上是一致的.在本章中,我们要理解向量组的线性相关、线性无关的概念,了解其有关的重要结论,会判定向量组的线性相关(无关)性；理解向量组的极大无关组与向量组的秩的定义;了解向量组等价的概念及有关性质;了解向量空间、子空间、基与维数的概念;熟练掌握极大无关组、向量组的秩的计算方法.为此,我们进一步强调如下几点：1.如何正确理解向量组的线性相关(无关)的定义过去在学习二、三维直角坐标空间的过程中接触过向量共线、共面的概念,而向量组的线性相关实际上可以看成是对向量共线、共面的概念在向量空间的推广.线性相关与线性无关是两个相互对立的概念,它们之间的不同之处主要在于：(1)线性相关的向量组存在系数不全为零的线性组合是零向量,而线性无关的向量组只有系数全为零的线性组合是零向量;(2)线性相关的向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示,而线性无关的向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示；(3)以线性相关的向量组为系数矩阵的齐次线性方程组存在非零解,而以线性无关的向量组为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解.2.怎样判断向量组的线性相关性方法1：利用定义判断.这是判定向量组的线性相关的基本方法,既适用于分量已知的向量组,也适用于分量未知的向量组.方法2：利用行列式判断.这种方法仅适用于向量组中向量的个数与向量的维数相等的情形.设12,,n ααα ,是n 个n 维向量,以12,,n ααα ,为列（行）向量组成矩阵A ,则12,,n ααα ,线性相关的充分必要条件是0A =.方法3：利用向量组的秩(或矩阵的秩)判断. 一个向量组线性无关当且仅当它的秩等于向量组所含向量的个数(即向量组构成的矩阵是满秩的).特别地,如果向量组所含向量的个数多于向量的维数,则该向量组是线性相关的.3.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量组的秩定义为它的极大线性无关组所含向量的个数,然而,直接利用定义来求向量组的秩往往是比较麻烦的,我们通常是将向量组的秩转化为矩阵的秩来求.如果我们将向量组的每个向量作为行(或列)向量构成矩阵A ,则该向量组的秩与矩阵是相等的.4．极大线性无关组的求法方法1：逐个删去法.即对于所给向量组的向量,按自左至右的顺序逐个删去可由其前面的向量线性表出的向量,则所剩向量组即为所给向量组的一个极大线性无关组.方法2：初等变换法.将向量组作为列向量组成矩阵A ,用初等行变换将矩阵A 化为行阶梯形矩阵,则其首非零元所在的列所对应的矩阵A 的列向量组即为所给向量组的一个极大线性无关组.习题三1. 设α１＝（１,１,０）,α2＝（0,１,1）,α3＝（3,4,０）.求α１－α２及3α１＋２α２－α３.2. 设3(α１－α）＋２（α２＋α）＝５（α３＋α）,其中α１＝（２,５,１,３）,α２＝（１０,１,５,１０）,α３＝（４,１,－１,１）.求α.3. 判断下列命题是否正确：(1) 若向量组α１,α２,…,αｍ线性相关,那么其中每个向量可经其他向量线性表示.(2) 如果向量β１,β２,…,βs可经向量组α１,α２,…,αｍ线性表示且α１,α２,…,αm线性相关,那么β１,β２,…,βs也线性相关.(3) 如果向量β可经向量组α１,α２,…,αｍ线性表示且表示式是惟一的,那么α１,α２,…,αｍ线性无关.(4) 如果当且仅当λ１＝λ２＝…＝λｍ＝０时才有λ１α１＋λ2α2+…+λmαm+λ１β１＋λ２β２＋…＋λｍβｍ＝０,那么α１,α２,…,αｍ线性无关且β１,β２,…,βm也线性无关.(5) α１,α２,…,αｍ线性相关,β１,β２,…,βm也线性相关,就有不全为0的数λ１,λ２,…,λｍ使λ１α１＋λ2α2+…+λmαm＝λ１β１＋λ２β２＋…＋λｍβｍ.4. 判别下列向量组的线性相关性.（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);(2) α1=(1,2), α2=(2,3), α3=(4,3);(3) α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4) α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).5. β１＝α１＋α２,β2＝α2＋α3,β3＝α3＋α4,β4＝α4＋α1,证明向量组β１,β２,β３,β４线性相关.6. 设向量组α１,α２,…,αr线性无关,证明向量组β１,β２,…,βr也线性无关,这里βｉ＝α１＋α２＋…＋αｉ.7. 作一个以(1,0,1,0)和(1,-1,0,0)为行向量的秩为4的方阵.8. αｉ＝（αｉ１,αｉ２,…,αｉｎ）,i＝１,２,…,ｎ.证明：如果｜ａｉｊ｜≠0,那么α１,α２,…,αn线性无关.9. 设ｔ１,ｔ２,…,ｔｒ是互不相同的数,ｒ≤ｎ.证明：ａｉ＝（１,ｔｉ,…,ｔｎ－１ｉ）,ｉ＝１,２,…,ｒ,是线性无关的.10. 设α１,α２,…,αs的秩为r且其中每个向量都可经α１,α２,…,αr线性表出.证明：α１,α２,…,αr为α１,α２,…,αs的一个极大线性无关组.11. 求向量组α1=(1,1,1,k),α2=(1,1,k,1),α3=（1,2,1,1）的秩和一个极大无关组.12. 确定向量β3=(2,a,b),使向量组β1=（1,1,0）,β2=（1,1,1）,β3与向量组α1=(0,1,1),α2=(1,2,1),α3=(1,0,-1)的秩相同,且β3可由α1,α2,α3线性表出.13. 设α１,α２,…,αn为一组n维向量.证明：α１,α２,…,αn线性无关的充要条件是任一n维向量都可经它们线性表出.14. 若向量组（1,0,0）,（1,1,0）,（1,1,1）可由向量组α１,α２,α３线性表出,也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出,则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.15. 求下列向量组的秩与一个极大线性无关组.(1) α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2) α１＝（６,４,１,－１,２）,α２＝(1,0,2,3,-4),α3＝(1,4,-9,-6,22),α4＝(7,1,0,1,3)；(3) α１＝(1,-1,2,4),α２＝(0,3,1,2),α3＝(3,0,7,14),α4＝(1,-1,2,0),α5＝(2,1,5,6).16. 设向量组α１,α２,…,αm与β１,β２,…,βＳ秩相同且α１,α２,…,αm能经β１,β２,…,βＳ线性表出.证明α１,α２,…,αm与β１,β２,…,βＳ等价.17. 设A为ｍ×ｎ矩阵,B为ｓ×n矩阵.证明：ｍaｘ｛R（Ａ）,R（Ｂ）｝≤R ⎡⎤⎢⎥⎣⎦AB≤R（Ａ）＋R（Ｂ）.18. 设A为ｓ×ｎ矩阵且A的行向量组线性无关,K为r×s矩阵.证明：B＝ＫＡ行向量组线性无关的充分必要条件是R(K)=r.19. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组:(1)2531174375945313275945413425322048⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（２）11221021512031311041⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦.20. 集合V１＝｛（ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ)｜ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ∈R且ｘ１+ｘ２+…+ｘｎ＝０｝是否构成向量空间?为什么?21. 试证：由α１＝（1,1,0),α2＝（1,0,1),α3＝（0,1,1)生成的向量空间恰为R３.22. 求由向量α1=(1,2,1,0),α2=(1,1,1,2),α3=(3,4,3,4),α4=(1,1,2,1),α5=(4,5,6,4)所生的向量空间的一组基及其维数.23. 设α１＝（1,1,0,0),α2＝（1,0,1,1)；β１＝（2,-1,3,3),β2＝（0,1,-1,-1),证明：L(α１,α２）＝Ｌ（β１,β２）.24. 在R3中求一个向量γ,使它在下面两个基（1）α1=(1,0,1),α2=(-1,0,0),α3=(0,1,1);(2) β1=(0,-1,1),β2=(1,-1,0),β3=(1,0,1)下有相同的坐标.25. 验证α1＝（1,-1,0),α2＝（2,1,3),α3＝（3,1,2)为R３的一个基,并把β１＝（5,0,7),β2＝（-9,-8,-13)用这个基线性表示.。

矩阵等价和向量组等价的区别与联系摘要：探讨等价矩阵和等价向量组之间的区别与联系，并给出等价矩阵的行向量组（或列向量组）等价的充要条件。

关键词：矩阵等价、向量组等价、初等行变换中图法分类号：O 151. 24一、引言矩阵和向量组是线性代数这门课程中两个基本的概念，两者之间有着紧密的联系：一方面，一个矩阵对应着唯一一组列（行）向量组；另一方面，列（行）向量组以给定的顺序排列得到唯一的矩阵。

此外，两个向量组的等价的问题可以将其转化成两个矩阵等价的问题来判定。

正由于矩阵和向量组之间特殊的关系，使得许多同学混淆了矩阵等价和向量组等价这两个不同的概念。

为了使学生们更好地分辨矩阵等价和向量组等价，我们深入探讨等价向量组和等价矩阵的区别与联系，并给出两个矩阵在等价时其行向量组（或列向量组）等价的充要条件。

二、已知结论为了更好地探讨等价矩阵和等价向量组之间的区别和联系，下面给出一些已知的结论。

首先给出矩阵的初等变化的定义。

矩阵的初等变换分为三类：交换矩阵两行（或列）；矩阵某一行（或列）的所有元素同乘以非零数；矩阵某一行（或列）的所有元素乘以数后加到另一行（或列）的对应元素上。

这三类初等变换都是可逆变换。

1、矩阵等价定义1：若矩阵可由矩阵经过有限次初等变换得到，则称矩阵与矩阵等价，记为。

由等价矩阵的定义可知：等价矩阵必须为同型矩阵，即两个矩阵的行数和列数对应相等。

定义2：在矩阵中任意取其行列，则位于这些行和列交叉的个元素，按照其在的位置顺序排列得到的阶行列式，成为矩阵的阶子式。

定义3：矩阵最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，记作。

下面给出等价矩阵的相关结论。

定理4：矩阵等价于矩阵的充要条件为。

由初等变换和初等矩阵之间的关系以及初等矩阵和可逆矩阵之间的关系可得两个等价矩阵之间的等式。

定理5：矩阵等价于矩阵等且仅当存在阶可逆方阵和阶可逆方阵满足。

此时，可逆方阵、的选择不是唯一的。

2、向量组等价定义6：设有两个维向量组若存在矩阵，使得成立，则称向量组可以由向量组线性表示。

向量组等价和矩阵等价的区别1 向量组的等价是两个向量组能够互相线性表示，也就是两个向量组的维数相同，但向量个数并不一定相同，他们拼成的矩阵的列数也并不一定相同。

2 矩阵的等价是可用初等变换把一个矩阵化为另一个矩阵，这要求两个矩阵的行数与列数都相同。

3 两个矩阵等价，并不能说明它们的列向量组等价。

例如矩阵A的第一列是(1,0)^T,第二列是(0,0)^T，矩阵B的第一列是(0,1)^T,第二列是(0,0)^T，则矩阵A与B等价，但A的列向量组与B的列向量组不等价。

扩展资料：在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=Q-1AP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。

也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。

性质：1 矩阵A和A等价(反身性）；2 矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；3 矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；4 矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。

(K为非零常数)5 具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解6 对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

（注意区分粗体字与普通字母所表示的不同意义）或者说：两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。

注：1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。

但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

矩阵和向量组的关系概述
矩阵和向量组之间存在密切的关系，主要表现在以下几个方面：
1. 向量可以视为矩阵的特例：单个向量可以视为一个一阶矩阵，而多个向量组合在一起就组成了矩阵。

矩阵的每一行可以视为一个行向量，每一列可以视为一个列向量。

2. 矩阵的秩等于其所在向量组的秩：矩阵的秩是其行向量组和列向量组的秩的最小值。

这意味着矩阵的秩反映了其所在向量组的线性相关性。

3. 矩阵的乘法对应于向量的线性变换：如果矩阵A左乘一个向量x，得到的结果是A的列向量对x进行线性组合后的结果。

这表明矩阵的乘法对应于向量的线性变换。

4. 矩阵的特征值和特征向量对应于向量组的线性变换：对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零向量x和实数λ，使得Ax=λx成立，则称λ是A的特征值，x是A的特征向量。

这表明矩阵的特征值和特征向量对应于向量组的线性变换。

5. 矩阵的行空间和列空间对应于向量组的线性子空间：矩阵的行空间是由其行向量张成的线性子空间，列空间是由其列向量张成的线性子空间。

这表明矩阵的行空间和列空间对应于向量组的线性子空间。

综上所述，矩阵和向量组之间存在密切的关系，它们在许多方面是相
互关联的。

了解矩阵和向量组之间的关系有助于更好地理解它们的性质和应用。

矩阵和向量组
矩阵和向量组
矩阵：
矩阵是一种由多个数字组成的结构，可以用来表示多维空间的空间关系。

它们可以用于表达空间中的物理量、数学关系和数据结构。

矩阵是一组数字，以行列形式排列，由行列式区分。

行为行向量，列为列向量。

矩阵的形状可以是在 2 维的、3 维的或者更高维度的空间里。

它通常表示为 M×N 的矩阵，其中 M 代表行，N 代表列的数量。

向量组：
向量组是一组数字，通常表示为一组直线或射线的方向和大小。

也可以用来表示物理量、数学关系或数据结构。

向量组可以分为点向量、线向量和平面向量。

点向量可以用来表示空间中的点，线向量可以用来表示空间中的直线，而平面向量可以用来表示空间中的平面。

向量组可以用来表示各种物理量，如电磁场、力或速度。

向量也可以用来表示数学函数，以及用来表达基因表达谱的数据结构等。

- 1 -。

矩阵与向量组的线性相关性矩阵与向量组是线性代数中的重要概念。

矩阵在现代数学中扮演着举足轻重的角色，应用广泛。

而向量组则是线性空间的基础，它和线性相关性密切相关。

矩阵是由数个数排成的矩形阵列。

它可以用来表示线性变换，而线性变换是在线性代数中很重要的一个概念。

矩阵的运算也是一种线性运算，例如加法和乘法。

从矩阵的定义可以看出，它包含了很多的信息，通常我们可以从矩阵中提取出需要的信息并进行处理。

向量组是一组向量的集合。

向量的本质是用来描述线性空间的概念。

每个向量都是线性空间中的一个元素，向量组是用来描述线性空间的基础。

向量组的线性相关性是线性代数中一个非常重要的概念，线性相关性与线性无关性是实现线性代数推理的关键。

线性相关性表示一组向量可以用其它向量线性表示出来的能力，也就是说，如果一个向量可以由其他向量线性表示出来，那么这个向量就是线性相关的。

反之，如果一个向量不能由其他向量线性表示出来，那么这个向量就是线性无关的。

我们经常遇到的是一组向量是否线性相关或线性无关的问题。

向量组可以表示成一个矩阵。

假设我们有一个向量组$V_1,V_2,\ldots,V_n$，用矩阵$A=[V_1,V_2,\ldots,V_n]$表示，我们可以利用矩阵的形式简化计算。

如果向量组$V_1,V_2,\ldots,V_n$是线性无关的，则矩阵$A$的秩为$n$，否则秩将小于$n$。

关于矩阵和向量组的线性相关性，我们可以参考下面的例子：假设我们有一个向量组$\begin{bmatrix}1 \\2\end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix}2 \\4\end{bmatrix}$。

我们可以用一个矩阵来表示这个向量组，即$\begin{bmatrix}1 & 2 \\2 & 4 \end{bmatrix}$。

显然，这个向量组是线性相关的，因为$\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}$可以由$\begin{bmatrix}1 \\2\end{bmatrix}$线性表示出来，即$\begin{bmatrix}2 \\4\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}1 \\2\end{bmatrix}$。