高中数学课时分层作业1命题含解析新人教B版选修211018330

课时分层作业(一)(建议用时:60分钟)［基础达标练]一、选择题1．已知函数y＝f（x）=x2＋1,则在x＝2，Δｘ=０。

1时,Δy的值为（)Ａ.０。

４0 B.０.41C.0.4３Ｄ.0。

４4B[Δy＝f（２+Δｘ)-f(2)＝f（2。

1)-f（2)＝2。

1２－2２＝0.41.]2.函数y＝x2＋１在[1,1+Δx］上的平均变化率是()A.2B.2xC．２+Δx D.2+（Δｘ）2Ｃ[∵Δy＝(1+Δx)2+1-（1２+1）＝２Δx＋Δx2，∴错误!未定义书签。

=错误!=2＋Δｘ,故选C。

]3．质点运动规律s＝ｔ２+3,则在时间（３，3+Δt)中,相应的平均速度为（）A．6＋Δt B．6＋Δt+错误!Ｃ.3＋Δtﻩ D.９+ΔtA［错误!未定义书签。

=错误!＝错误!=错误!未定义书签。

=６+Δｔ。

]4.甲、乙两厂污水的排放量W与时间ｔ的关系如图所示，治污效果较好的是（）A.甲ﻩB.乙Ｃ．相同 D.不确定B [由题图可知乙的斜率比甲的斜率小，但乙的斜率绝对值大,即变化快.]５.一个物体做直线运动,位移s(单位:m)与时间t（单位:s)之间的函数关系为s(t）=５t２+mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为2６m/s，则实数m的值为( ) A．2 ﻩ B.1C.-１ﻩD．６B[由已知,得错误!未定义书签。

＝26,∴（５×32＋3m)-(5×２２+2ｍ）＝2６，解得m＝1。

］二、填空题6.已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)=ｔ＋错误!未定义书签。

t3,则该物体在时间间隔错误!内的平均加速度为＿_＿_＿___.3１12［平均加速度=错误!＝错误!。

]７．设某产品的总成本函数为C（x)＝11０0+ｘ21 200,其中x为产量数，生产900个单位到 1000个单位时总成本的平均变化率为_＿＿_____.19１2[C(1 00０）－C（９00）=错误!,则错误!＝错误!=错误!未定义书签。

课时分层作业(一)(建议用时：40分钟)[根底达标练]一、选择题1．以下语句为命题的是( )A ．x －1＝0B ．2＋3＝8C ．你会说英语吗？D ．这是一棵大树B [A 中x 不确定，x －1＝0的真假无法判断；B 中2＋3＝8是命题，且是假命题；C 不是陈述句，故不是命题；D 中“大〞的标准不确定，无法判断真假．]2．命题“假设α＝π4，那么tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．假设α≠π4，那么tan α≠1 B ．假设α＝π4，那么tan α≠1 C ．假设tan α≠1，那么α≠π4D ．假设tan α≠1，那么α＝π4C [以否认的结论作条件、否认的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“假设α＝π4，那么tan α＝1”的逆否命题是“假设tan α≠1，那么α≠π4〞．] 3．命题“假设m ＝10，那么m 2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )A ．原命题、否命题B ．原命题、逆命题C ．原命题、逆否命题D ．逆命题、否命题C [因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．]4．“a 2＋b 2≠0”的含义是( )A ．a ，b 不全为0B ．a ，b 全不为0C ．a ，b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0A [假设a 2＋b 2≠0，那么a ≠0且b ≠0，或a ＝0且b ≠0，或a ≠0且b ＝0，即a ，b 不全为0，应选A.]5．在以下命题中，真命题是( )A ．“x ＝2时，x 2－3x ＋2＝0”的否命题B ．“假设b ＝3，那么b 2＝9”的逆命题C ．假设x ∈R ，那么x 2＋3＜0D ．“相似三角形的对应角相等〞的逆否命题D [“相似三角形的对应角相等〞是真命题，又因为原命题与逆否命题为等价命题，应选D.]二、填空题6．命题“假设m －1<x <m ＋1，那么1<x <2”的逆命题为真命题，那么m 的取值范围为________．[1，2] [逆命题为“假设1<x <2，那么m －1<x <m ＋1”．∵逆命题为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.∴m 的取值范围为[1，2]．] 7．把以下不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．假设函数f (x )＝3＋log 2x 的图像与g (x )的图像关于________对称，那么函数g (x )＝________．(填上你认为可以成为真命题的一种情况即可)x 轴 －3－log 2x (答案不唯一) [该题将函数的图像和性质与命题综合在一起，要综合利用各局部的知识．局部可能情况有：x 轴，－3－log 2x ；y 轴，3＋log 2(－x )；原点，－3－log 2(－x )；直线y ＝x ，2x －3等．]8．给定以下命题：①“假设k ＞0，那么方程x 2＋2x －k ＝0”有实数根；②假设a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ＞bd ；③对角线相等的四边形是矩形；④假设xy ＝0，那么x ，y 中至少有一个为0.其中真命题的序号是________．①②④ [①∵k ＞0，∴Δ＝4＋4k ＞0，故方程有实根，①为真命题；②，④易判断为真命题；③对角线相等的四边形有可能是梯形．]三、解答题9．将以下命题改写为“假设p ，那么q 〞的形式，并判断真假．(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图像关于原点对称．[解] (1)假设一个数是偶数，那么它能被2整除．真命题．(2)假设一个函数是奇函数，那么它的图像关于原点对称．真命题．10．分别写出以下命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断这四个命题的真假．(1)假设一个整数的末位数字是0，那么这个整数能被5整除；(2)四条边相等的四边形是正方形．[解] (1)逆命题：假设一个整数能被5整除，那么这个整数的末位数字是0；否命题：假设一个整数的末位数字不是0，那么这个整数不能被5整除；逆否命题：假设一个整数不能被5整除，那么这个整数的末位数字不是0.逆命题和否命题是假命题，原命题和逆否命题是真命题．(2)原命题可以改写成：假设一个四边形的四条边相等，那么它是正方形；逆命题：假设一个四边形是正方形，那么它的四条边相等；否命题：假设一个四边形的四条边不全相等，那么它不是正方形；逆否命题：假设一个四边形不是正方形，那么它的四条边不全相等．原命题和逆否命题是假命题，逆命题和否命题是真命题．[能力提升练]1．命题“假设x ＋y 是偶数，那么x ，y 都是偶数〞的逆否命题是( )A ．假设x ，y 都不是偶数，那么x ＋y 不是偶数B ．假设x ，y 不都是偶数，那么x ＋y 是偶数C ．假设x ，y 不都是偶数，那么x ＋y 不是偶数D ．假设x ，y 都不是偶数，那么x ＋y 是偶数C [“x ，y 都是偶数〞的否认为“x ，y 不都是偶数〞，“x ＋y 是偶数〞的否认是“x ＋y 不是偶数〞．应选C.]2．命题“假设x ≠3且x ≠2，那么x 2－5x ＋6≠0”的否命题是( )A ．假设x ＝3且x ＝2，那么x 2－5x ＋6＝0B ．假设x ≠3且x ≠2，那么x 2－5x ＋6＝0C ．假设x ＝3或x ＝2，那么x 2－5x ＋6＝0D ．假设x ＝3或x ＝2，那么x 2－5x ＋6≠0C [原命题的否命题为“x ＝3或x ＝2，那么x 2－5x ＋6＝0”．应选C.]3．给定以下命题：①假设a >0，那么方程ax 2＋2x ＝0有解；②“等腰三角形都相似〞的逆命题；③假设“x －32是有理数，那么x 是无理数〞的逆否命题； ④“假设a >1且b >1，那么a ＋b >2”的否命题．其中真命题的序号是________．① [①中方程有解，那么Δ＝4>0，∴命题为真；②中逆命题为“相似三角形都是等腰三角形〞为假命题；③中的逆否命题为“假设x 不是无理数，那么x －32不是有理数〞为假命题；④中否命题为“假设a ≤1或b ≤1，那么a ＋b ≤2”为假命题．]4．设a ，b ，c 是空间的三条直线，下面给出四个命题：①假设a ⊥b ，b ⊥c ，那么a ∥c ；②假设a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，那么a ，c 也是异面直线；③假设a 和b 相交，b 和c 相交，那么a 和c 也相交；④假设a 和b 共面，b 和c 共面，那么a 和c 也共面．其中真命题的个数是________．0 [∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，∴命题①不正确；∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确； ∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b 时，两平面内分别可以作出直线a 与c ，即直线a 与c 不一定共面，∴命题④不正确．综上所述，真命题的个数为0.]5．假设方程x 2＋2px －q ＝0(p ，q 是实数)没有实数根，那么p ＋q <14. (1)判断上述命题的真假，并说明理由；(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由．[解] (1)上述命题是真命题，由题意，得方程的判别式Δ＝4p 2＋4q <0，得q <－p 2，∴p ＋q <p －p 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫p －122＋14≤14， ∴p ＋q <14. (2)逆命题：如果p ，q 是实数，p ＋q <14，那么方程x 2＋2px －q ＝0没有实数根．逆命题是假命题，如当p ＝1，q ＝－1时，p ＋q <14，但原方程有实数根x ＝－1.。

一、选择题1．命题“若綈p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是() A．若p，则綈q B．若q，则綈pC．若綈q，则p D．若綈q，则綈p【解析】若“綈p，则q”的逆否命题是“若綈q，则p”，又互为逆否命题真假性相同．∴“若綈q，则p”一定是真命题．【答案】 C2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是() A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确【解析】设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”，故q与r为互逆命题．【答案】 A3．(2013·台州高二检测)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为()A．3B．2C．1D．0【解析】易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.【答案】 B4．(2013·大庆高二检测)下列判断中不正确的是()A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题B．“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题C．“已知a，b，m∈R，若am2<bm2，则a＜b”的逆命题是真命题D．“若x∈N*，则(x－1)2＞0”是假命题【解析】若A∩B＝B，则有B⊆A，从而有A∪B＝A，∴A正确；B中的逆否命题“若一个四边形两条对角线不相等，则它不是矩形”为真命题，∴B正确．C中的逆命题“已知a，b，m∈R，若a＜b，则am2＜bm2”为假命题，故C 不正确．D中x＝1时，(x－1)2＝0显然是假命题．故D正确．【答案】 C5．下列命题中，不是真命题的为()A．“若b2－4ac≥0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“若x2＝9，则x＝3”的否命题D．“对顶角相等”的逆命题【解析】A中命题为真命题，其逆否命题也为真命题；B中命题的逆命题为“正方形的四边相等”，为真命题；C中命题的否命题为“若x2≠9，则x≠3”为真命题；D中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题．【答案】 D二、填空题6．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________．【答案】若A∪B≠B，则A B7．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．【解析】由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 【答案】 [1,2]8．(2013·菏泽高二检测)给定下列命题：①若a ＞0，则方程ax 2＋2x ＝0有解；②“等腰三角形都相似”的逆命题；③“若x －32是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；④“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题．其中真命题的序号是________．【解析】 显然①为真，②为假．对于③中，原命题“若x －32是有理数，则x 是无理数”为假命题，∴逆否命题为假命题．对于④中，“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题是“若a ≤1或b ≤1，则a ＋b ≤2”为假命题．【答案】 ①三、解答题9．设原命题是“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．【解】 原命题是真命题．逆命题是“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞b ”，是真命题．否命题是“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”，是真命题．逆否命题是“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”，是真命题．10．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．【解】 (1)命题p 的否命题为：“若ac ＜0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．(2)命题p的否命题是真命题，证明如下：∵ac＜0，∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.【证明】假设a＋b＜0，则a＜－b.∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)＜f(－b)，又∵f(x)为奇函数．∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)．即f(a)＋f(b)＜0.∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.。

高中数学课时分层作业1命题（含解析）新人教A 版选修21课时分层作业(一) 命题(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列语句中是命题的是( )A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．sin 45°＝1C ．x 2＋2x －1>0D ．x 2＋y 2＝0B [对于A ，是疑问句，不是命题；对于C ，D ，不能判断真假，不是命题；对于B ，是陈述句且能判断真假，是命题．]2．下列命题中是假命题的是( )A ．a·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，则a ⊥bB ．若|a |＝|b |，则a ＝bC ．若ac 2＞bc 2，则a ＞bD ．若α＝60°，则cos α＝12B [因为|a |＝|b |只能说明a 与b 的模相等，所以a ＝b 不一定成立，故选B.]3．命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的条件是( )A ．两条直线B ．一个平面C ．垂直D ．两条直线垂直于同一个平面D [命题的条件是“两条直线垂直于同一个平面”．]4．下列四个命题中，真命题是( )A ．a ＞b ，c ＞d ⇒ac ＞bdB ．a ＜b ⇒a 2＜b 2C ．1a ＜1b⇒a ＞b D ．a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －dD [可以通过举反例的方法说明A 、B 、C 为假命题．]5．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A．4 B．2 C．0 D．－3C[由题意知，Δ＝a2－4<0，故a＝0符合题意．]二、填空题6．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：________．它是________命题(填“真”或“假”)．a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真[a>0时，设a＝1，把(0，0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]7．将命题“奇函数的定义域和图象均关于原点对称”，改写为“若p，则q”的形式为________．若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称[命题若p，则q的形式为“若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称”．] 8．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝a x＋1是指数函数吗？③正方形既是矩形又是菱形；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5＞0；⑥作AB∥A′B′.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．①③⑤③⑤[①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是真命题，由正方形定义可知；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．]三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？(1)2＋22是有理数；(2)1＋1>2；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？[解](1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)体对角线相等的四棱柱是长方体；(2)能被10整除的数既能被2整除又能被5整除；(3)正弦值相等的两个角的终边相同．[解](1)若四棱柱的体对角线相等，则这个四棱柱是长方体．该命题是假命题．(2)若一个数能被10整除，则这个数既能被2整除又能被5整除．该命题为真命题．(3)若两个角的正弦值相等，则这两个角的终边相同．该命题为假命题．[能力提升练]1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思A [“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.]2．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是( )A ．余弦值B ．第二象限C ．一个角是第二象限角D ．没有条件C [原命题可改写为若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C.]3．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________．② [①若a ·b ＝a ·c ，则a ·(b －c )＝0，因此b ＝c 不正确；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a ∥b ，则－2k －6＝0，即k ＝－3，正确；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△AOB 为等边三角形，因此，a 与a ＋b 的夹角为30°，③不正确，故选②.]4．已知a ，b 为实数，且ab ≠0，则下列命题是真命题的是________(填序号)．①若a ＞0，b ＞0，则a ＋b 2≥ab ； ②若a ＋b 2≥ab ，则a ＞0，b ＞0；③若a ≠b ，则a ＋b 2＞ab ； ④若a ＋b 2＞ab ，则a ≠b .①④ [①中，由基本不等式可得：若a ＞0，b ＞0，则a ＋b 2≥ab ，正确；②中，当a ＝b ＝0时，满足a ＋b 2≥ab ，但不满足a ＞0，b ＞0，错误；③中，若a ，b 都为正数时成立，否则不成立，错误；④中，由a ＋b 2＞ab ，平方得(a －b )2＞0，虽然a ≠b ，正确，故填①④.] 5．已知p ：5x －1＞a ，q ：x ＞1，请确定实数a 的取值范围，使得(1)“若p ，则q ”为真命题；(2)“若q ，则p ”为真命题．[解] (1)命题“若p ，则q ”即为“若x ＞1＋a 5，则x ＞1”，由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4，故实数a 的取值范围为[4，＋∞)．(2)命题“若q ，则p ”即为“若x ＞1，则x ＞1＋a 5”，由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4，故实数a 的取值范围为(－∞，4]．。

课时分层作业(一) 集合(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列各组对象不能构成集合的是( ) A ．关于x 的方程x 2－1＝0的实数解 B ．2020年高考数学难题 C ．所有有理数 D ．小于π的正整数B [B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.]2．集合M 是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( ) A ．5∈M B ．0M C ．1∈MD ．－π2∈MD [5>1，故A 错；－2<0<1，故B 错；1不小于1，故C 错；－2<－π2<1，故D 正确．]3．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B ．－5 C ．37D ．7D [由题意知a 应为无理数，故a 可以为7.]4．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形D [因为集合中的元素是互异的，所以l ，m ，n 互不相等，即△ABC 不可能是等腰三角形，故选D.]5．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集A[由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.]二、填空题6．给出下列说法：①0∈；②如果a，b∈Z，则a－b∈Z；③所有正方形构成的集合是有限集；④如果a∈N，则－a N.其中正确的是________．(填序号)②[0，故①错；②正确；③是无限集；当a＝0时－a＝0∈N，④错误．]7．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是________．{k|k≠±1}[∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的互异性可知k2≠1，解得k≠±1.]8．用符号“∈”或“”填空：(1)设集合B是小于11的所有实数的集合，则23________B，1＋2 ________B；(2)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C，5________C；(3)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D，(－1，1)________D.(1)∈(2)∈(3)∈[(1)∵23＝12>11，∴23B；∵(1＋2)2＝3＋22<3＋2×4＝11，∴1＋2<11，∴1＋2∈B.(2)∵n是正整数，∴n2＋1≠3，∴3C；当n＝2时，n2＋1＝5，∴5∈C.(3)∵集合D中的元素是有序实数对(x，y)，而－1是数，∴－1D；又(－1)2＝1，∴(－1，1)∈D.]三、解答题9．设A是由满足不等式x<6的自然数构成的集合，若a∈A且3a∈A，求a 的值．[解]∵a∈A且3a∈A，∴⎩⎨⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ， ∴a ＝0或1.10．已知集合M 是由三个元素－2，3x 2＋3x －4，x 2＋x －4组成的，若2∈M ，求x .[解] 当3x 2＋3x －4＝2，即x 2＋x －2＝0时，得x ＝－2，或x ＝1，经检验，x ＝－2，x ＝1均不符合题意．当x 2＋x －4＝2，即x 2＋x －6＝0时，得x ＝－3或x ＝2. 经检验，x ＝－3或x ＝2均符合题意． ∴x ＝－3或x ＝2.11．(多选题)已知集合M 是方程x 2－x ＋m ＝0的解组成的集合，若2∈M ，则下列判断正确的是( )A ．1∈MB ．0MC ．－1∈MD ．－2∈MBC [由2∈M 知2为方程x 2－x ＋m ＝0的一个解，所以22－2＋m ＝0，解得m ＝－2.所以方程为x 2－x －2＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝2. 故方程的另一根为－1.]12．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含元素( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个A [当x >0时，x ＝|x |＝x 2，－3x 3＝－x <0，此时集合共有2个元素， 当x ＝0时，x ＝|x |＝x 2＝－3x 3＝－x ＝0，此时集合共有1个元素， 当x <0时，x 2＝|x |＝－x ，－3x 3＝－x ，此时集合共有2个元素，综上，此集合最多有2个元素，故选A.]13．(一题两空)已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________，集合P 中的元素分别是________．6 3，4，5 [∵x ∈N ，2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素，∴结合数轴(图略)知a ＝6，此时集合P 中的元素是3，4，5.]14．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．3 [当a ，b 同正时，|a |a ＋|b |b ＝a a ＋bb ＝1＋1＝2； 当a ，b 同负时，|a |a ＋|b |b ＝－a a ＋－bb ＝－1－1＝－2； 当a ，b 异号时，|a |a ＋|b |b ＝0.∴|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素共有3个．]15．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素．[解] 根据题意，由2∈A 可知，11－2＝－1∈A ； 由－1∈A 可知，11－（－1）＝12∈A ；由12∈A 可知，11－12＝2∈A . 故集合A 中共有3个元素，它们分别是－1，12，2.。

课时分层作业(一) 命题(建议用时：60分钟)[根底达标练]一、选择题1．以下语句是命题的是( )A．2021是一个大数B．假设两直线平行，那么这两条直线没有公共点C．对数函数是增函数吗？D．a≤15B[B选项可以判断真假，是命题．]2．以下说法错误的选项是( )A．原命题为真，那么它的逆命题可以为真，也可以为假B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定是真命题C．原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题B[A显然正确；B错误，原命题与否命题的真假可能一样，也可能相反；C、D为真命题．] 3．以下命题中，为真命题的是( )A．命题“假设x>y，那么x>|y|〞的逆命题B．命题“假设x>1，那么x2>1”的否命题C．命题“假设x＝1，那么x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“假设x2>0，那么x>1”的逆否命题A[B选项中，否命题为“假设x≤1，那么x2≤1”，为假命题；C选项中，否命题为“假设x≠1，那么x2＋x－2≠0”，为假命题；D选项中，逆否命题为“假设x≤1，那么x2≤0”，为假命题．]4．假设命题p的逆否命题是q，q的逆命题是r，那么p与r是( )A．互逆命题B．互否命题C．互逆否命题D．不确定B[因为p与q互为逆否命题，又因为q的逆命题是r，那么p与r为互否命题．]5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，那么以下命题中的假命题是( ) A．假设m⊥n，m⊥α，nα，那么n∥αB．假设m⊥β，α⊥β，那么m∥α或mαC．假设m∥α，α⊥β，那么m⊥βD．假设m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥βC[C是假命题，m∥α，α⊥β时，m与β的关系可以是m⊥β，可以是m∥β，可以mβ或m与β斜交．]二、填空题6．命题“无理数是无限不循环小数〞中，条件是________，结论是________．[解析] 该命题可改写为“如果一个数是无理数，那么它是无限不循环小数〞．条件是：一个数是无理数；结论是：它是无限不循环小数．[答案] 一个数是无理数它是无限不循环小数7．原命题“两个无理数的积仍是无理数〞，那么有：①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数〞；②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数〞；③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数〞．其中改写正确的序号是________．[解析] ①②正确，③逆否命题应为：“乘积不是无理数的两个数不都是无理数〞，故③错误．[答案] ①②8．有以下四个命题：①命题“假设xy＝1，那么x，y互为倒数〞的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等〞的否命题；③命题“假设m≤1，那么x2－2x＋m＝0有实根〞的逆否命题；④命题“假设A∩B＝B，那么A⊆B〞的逆否命题．其中是真命题的是________(填序号)．[解析] ④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．[答案] ①②③三、解答题9．判断以下命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．(1)假设a>b，那么ac2>bc2；(2)假设在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，那么该二次函数图像与x轴有公共点．[解] (1)该命题为假．因为当c＝0时，ac2＝bc2.逆命题：假设ac2>bc2，那么a>b，为真．否命题：假设a≤b，那么ac2≤bc2，为真．逆否命题：假设ac2≤bc2，那么a≤b，为假．(2)该命题为假．∵当b2－4ac<0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无公共点．逆命题：假设二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，那么b2－4ac<0，为假．否命题：假设在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，那么该二次函数图像与x轴没有公共点，为假．逆否命题：假设二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，那么b2－4ac≥0，为假．10．证明：函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.假设f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0.[证明] 原命题的逆否命题为“函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，假设a＋b<0，那么f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．假设a＋b<0，那么a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．[能力提升练]1．命题“假设－1<x<1，那么x2<1”的逆否命题是( )A．假设x≥1或x≤－1，那么x2≥1B．假设x2<1，那么－1<x<1C．假设x2>1，那么x>1或x<－1D．假设x2≥1，那么x≥1或x≤－1D[“－1<x<1”的否认为“x≥1或x≤－1”；“x2<1”的否认为“x2≥1”，由逆否命题定义知，D正确．]2．以下四个命题：(1)“假设x＋y＝0，那么x，y互为相反数〞的否命题；(2)“假设a＞b，那么a2＞b2”的逆否命题；(3)“假设x≤－3，那么x2－x－6＞0”的否命题；(4)“对顶角相等〞的逆命题．其中真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3B[(1)否命题：假设x＋y≠0，那么x，y不互为相反数，真命题．(2)逆否命题：假设a2≤b2，那么a≤b，假命题．(3)否命题：假设x＞－3，那么x2－x－6≤0，假命题．(4)逆命题：相等的两个角是对顶角，假命题，应选B.]3．命题“假设x∈R，那么x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立〞是真命题，那么实数a的取值范围为________．[解析] 由题意得：Δ≤0，即：(a－1)2－4×1×1≤0，解得：a∈[－1,3]．[答案] [－1,3]4．命题“假设m －1＜x ＜m ＋1，那么1＜x ＜2”的逆命题为真命题，那么m 的取值范围是________．[解析] 由得，假设1＜x ＜2成立，那么m －1＜x ＜m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.[答案] [1,2]5．命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24<1，假设命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24<1，得x 2－4x <0，解得0<x <4. 因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．。

课时分层作业(一) 空间向量及其运算(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4．则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对D [∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2ab ＝|c |2， ∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a ||b |＝14．]2．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有 ( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断： ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→． ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→． ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→． 所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→．]3．如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG →·AB →＝( )A ．34 B ．14 C ．12D ．32B [由题意可得FG →＝12AC →，∴FG →·AB →＝12×1×1×cos 60°＝14．]4．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A ．12B ．22C ．－12D ．0D [如图所示，∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA |·|OC →|·cos ∠AOC －|OA →|·|OB |·cos ∠AOB ＝0，∴OA →⊥BC →，∴〈OA →，BC →〉＝π2，cos 〈OA →，BC →〉＝0．]5．设三棱锥O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，G 是△ABC 的重心，则OG →等于( )A ．a ＋b －cB ．a ＋b ＋cC ．12(a ＋b ＋c )D ．a ＋b ＋c )D [如图所示，OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝13(a ＋b ＋c )．] 二、填空题6．已知|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则a ·b 所夹的角为________． 34π [cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－222×22＝－22， 又〈a ·b 〉的取值范围为[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝34π．]7．已知向量a ，b ，c 两两夹角都是60°，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则|a －2b ＋c |＝________．3 [∵|a －2b ＋c |2＝a 2＋4b 2＋c 2－4a ·b －4b ·c ＋2a ·c ＝1＋4＋1－4×cos 60°－4×cos 60°＋2×cos 60°＝3， ∴|a －2b ＋c |＝3．]8．四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1各棱长均为1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，则点B 与点D 1两点间的距离为________．2 [四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1各棱长均为1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°．∴BD 1→＝BA →＋AD →＋DD 1→， ∴BD 1→2＝(BA →＋AD →＋DD 1→)2＝BA →2＋AD →2＋DD 1→2＋2BA →·AD →＋2BA →·DD 1→＋2AD →·DD 1→＝1＋1＋1＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 60°＝2， ∴|BD 1→|＝2，∴点B 与点D 1两点间的距离为2．] 三、解答题9．已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：(1)AA ′→－CB →； (2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→； (3)12AD →＋12AB →－12A ′A →．[解] (1)AA ′→－CB →＝AA ′→＋BC →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→．(2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→＝AD ′→． (3)设M 是线段AC ′的中点，则 12AD →＋12AB →－12A ′A → ＝12AD →＋12AB →＋12AA ′→＝12(AD →＋AB →＋AA ′→)＝12AC ′→＝AM →． 向量AD ′→、AM →如图所示．10．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，M 是C 1D 1的中点，点N 是CA 1上的点，且CN ∶NA 1＝4∶1．用a ，b ，c 表示以下向量：(1)AM →；(2)AN →．[解] (1)AM →＝12(AC 1→＋AD 1→) ＝12[(AB →＋AD →＋AA 1→)＋(AD →＋AA 1→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA 1→) ＝12a ＋b ＋c ．(2)AN →＝AC →＋CN →＝AC →＋45(AA 1→－AC →) ＝15AB →＋15AD →＋45AA 1→ ＝15a ＋15b ＋45c ．11．(多选题)化简下列各式，结果为零的向量为( ) A ．AB →＋BC →＋CA →B ．OA →－OD →＋AD →C ．NQ →＋QP →＋MN →－MP →D ．MN →＋BM →＋NB →ABCD [对于A ，AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0． 对于B ，OA →－OD →＋AD →＝DA →＋AD →＝0．对于C ，NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝(NQ →＋QP →)＋(MN →－MP →)＝NP →＋PN →＝0． 对于D ，MN →＋BM →＋NB →＝MN →＋NB →＋BM →＝MB →＋BM →＝0．]12．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角是( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．90°B [a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝e 21－e 1·e 2－2e 22 ＝1－1×1×12－2＝－32， |a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝1＋1＋1＝3．|b |＝b 2＝(e 1－2e 2)2＝e 21－4e 1·e 2＋4e 22＝1－2＋4＝3．∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－323＝－12， ∴〈a ，b 〉＝120°．]13．已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为________．－13 [∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13．]14．(一题两空)如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于2, 点E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，则|AB →＋BC →|＝______，|BC →－EF →|＝______．23 [|AB →＋BC →|＝|AC →|＝2，EF →＝12BD →，BD →·BC →＝2×2×cos 60°＝2，故|BC →－EF →|2＝|BC →－12BD →|2＝BC →2－BC →·BD →＋14BD →2＝4－2＋14×4＝3， 故|BC →－EF →|＝3．]15．在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB →|＝2|AM →|，|CN →|＝12|ND →|，求|MN →|．[解] ∵MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →．∴MN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →2＝19AB →2－29AD →·AB →＋49AC →·AD →－49AB →·AC →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2＋29a 2－29a 2＋19a 2＋49a 2 ＝59a 2， 故|MN →|＝MN →·MN →＝53a ，即|MN →|＝53a ．课时分层作业(二) 空间向量基本定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．若a 与b 不共线且m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，p ＝2a ，则( ) A ．m ，n ，p 共线 B ．m 与p 共线 C ．n 与p 共线D ．m ，n ，p 共面D [p ＝2a ＝m ＋n ，即p 可由m ，n 线性表示，所以m ，n ，p 共面．] 2．对空间任一点O 和不共线三点A ，B ，C ，能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是( )A ．OP →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC → C ．OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC →D ．以上皆错B [∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →， ∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →，∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)， ∴AP →＝PB →＋PC →，∴P A →＝－PB →－PC →，∴P ，A ，B ，C 共面．]3．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( )A ．AA ′→＋12AB →＋12AD → B ．12AA ′→＋12AB →＋12AD →C ．12AA ′→＋16AB →＋16AD → D ．13AA ′→＋16AB →＋16AD →D [由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ，∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ， ∴AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →) ＝13(AA ′→＋12A ′C ′→)＝13AA ′→＋16(A ′D ′→＋A ′B ′→)＝13AA ′→＋16AD →＋16AB →．]4．已知向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，一定可以与向量p ，q 构成空间的另一个基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．无法确定C [∵a ＝12p ＋12q ，∴a 与p ，q 共面， ∵b ＝12p －12q ，∴b 与p ，q 共面， ∵不存在λ，μ，使c ＝λp ＋μq ，∴c 与p ，q 不共面，故{c ，p ，q }可作为空间的一个基底，故选C ．] 5．对于空间一点O 和不共线的三点A ，B ，C 且有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( )A ．O ，A ，B ，C 四点共面B ．P ，A ，B ，C 四点共面C ．O ，P ，B ，C 四点共面D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面B [由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →得OP →－OA →＝2(OB →－OP →)＋3(OC →－OP →)， 即AP →＝2PB →＋3PC →．∴AP →，PB →，PC →共面，又它们有同一公共点P ， ∴P ，A ，B ，C 四点共面．] 二、填空题6．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________．1 －1 [因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.]7．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z ，使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．x ＝y ＝z ＝0 [若x ≠0，则a ＝－y x b －zx c ，即a 与b ，c 共面，由{a ，b ，c }是空间的一个基底知a ，b ，c 不共面，故x ＝0．同理y ＝z ＝0．]8．如图在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则B 1M →＝________．(用a ，b ，c 表示)－12a ＋12b －c [B 1M →＝AM →－AB 1→＝12(AB →＋AD →)－(AB →＋AA 1→)＝－12AB →＋12AD →－AA 1→＝－12a ＋12b －c ．]三、解答题9．如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →． [解] 连接AC ，AD ′，AC ′(图略)． (1)AP →＝12(AC →＋AA ′→) ＝12(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′→) ＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→) ＝12a ＋b ＋12c ． (3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→) ＝12a ＋b ＋c ．(4)AQ →＝AC →＋CQ → ＝AC →＋45(AA ′→－AC →) ＝15AC →＋45AA ′→ ＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→ ＝15a ＋15b ＋45c ．10．已知平行四边形ABCD ，从平面ABCD 外一点O 引向量OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OG →＝kOC →，OH →＝kOD →，求证：点E ，F ，G ，H 共面．[证明] ∵OA →＋AB →＝OB →，∴kOA →＋kAB →＝kOB →， 而OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，∴OE →＋kAB →＝k (OA →＋AB →)＝kOB →＝OF →． 又OE →＋EF →＝OF →，∴EF →＝kAB →， 同理EH →＝kAD →，EG →＝kAC →．∵ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →， ∴EG →k ＝EF →k ＋EH →k ，即EG →＝EF →＋EH →，又它们有同一个公共点E ， ∴点E ，F ，G ，H 共面．11．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ．M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG →等于( )A ．16OA →＋13OB →＋12OC →B ．14(OA →＋OB →＋OC →) C ．13(OA →＋OB →＋OC →)D ．16OB →＋13OA →＋13OC →B [如图，OG →＝12(OM →＋ON →)＝12OM →＋12×12(OB →＋OC →) ＝14OA →＋14OB →＋14OC → ＝14(OA →＋OB →＋OC →)．]12．(多选题)如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点(Q 靠近点M )，则用向量OA →，OB →，OC →表示OQ →，不正确的是( )A ．OQ →＝13OA →＋16OB →＋16OC →B ．OQ →＝16OA →＋13OB →＋16OC → C ．OQ →＝16OA →＋13OB →＋13OC →D ．OQ →＝13OA →＋13OB →＋16OC →BCD [∵M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点(Q 靠近点M )，∴AB →＝OB →－OA →，BC →＝OC →－OB →， ∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝12OA →＋AB →＋12BC →＝12OA →＋(OB →－OA →)＋12(OC →－OB →) ＝－12OA →＋12OB →＋12OC →， ∴OQ →＝OM →＋MQ →＝12OA →＋13MN → ＝12OA →－16OA →＋16OB →＋16OC → ＝13OA →＋16OB →＋16OC →．]13．(一题两空)在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a －5b ＋8c ，对角线AC ，BD 的中点分别是E ，F ，则EF →＝________．向量AB →，CD →，EF →________(填“能”或“否”)构成一组基底．3a －52b ＋3c 否 [EF →＝12(ED →＋EB →)＝14(AD →＋CD →)＋14(AB →＋CB →)＝14AB →＋14BD →＋14CD →＋14AB →＋14CD →＋14DB →＝12(AB →＋CD →)＝3a －52b ＋3c ．假设AB →，CD →，EF →共面，则EF →＝λAB →＋μCD →＝λa －2λc ＋5μa －5μb ＋8μc ＝(λ＋5μ)a －5μb ＋(8μ－2λ)c ＝3a －52b ＋3c ．∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋5μ＝3，－5μ＝－52，8μ－2λ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝12.∴EF →，AB →，CD →共面，∴不能构成一组基底．]14．在▱ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________．43[设AB →＝a ，AD →＝b ， 则AC →＝a ＋b ，AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ， ∴λAE →＋μAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μb ， ∴a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，∴λ＋μ＝43．]15．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求实数x ，y ，z 的值．[解] 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－12AC → ＝A 1O →－AO → ＝A 1O →＋OA → ＝A 1A →．(2)∵E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→， ∴OE →＝OD →＋DE → ＝12BD →＋23DD 1→ ＝12(BA →＋BC →)＋23AA 1→ ＝12BA →＋12BC →＋23AA 1→ ＝－12AB →＋12AD →＋23AA 1→，∴EO →＝－OE →＝12AB →－12AD →－23AA 1→． 又EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23．课时分层作业(三) 空间向量的坐标与空间直角坐标系(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2)D ．(2,1，－3)A [b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．]2．与A (3,4,5)，B (－2,3,0)两点距离相等的点M (x ，y ，z )满足的条件是( ) A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0 B ．5x －y ＋5z －37＝0 C ．10x －y ＋10z ＋37＝0D ．10x －2y ＋10z ＋37＝0A [由|MA |＝|MB |，得(x －3)2＋(y －4)2＋(z －5)2＝(x ＋2)2＋(y －3)2＋z 2，化简得10x ＋2y ＋10z －37＝0，故选A ．]3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( ) A ．－6 B ．－23 C ．23 D ．14C [由题意得a ＋2b ＝(2＋2k,5)，且a －b ＝(2－k,2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝23．]4．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255C [由cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|＝2－λ＋45＋λ2·9＝89，解得λ＝－2或λ＝255．]5．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)，则|AB |的最小值为( ) A ．33 B ．3 6 C ．23 D ．2 6 B [|AB →|＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2＝5a 2＋10a ＋59 ＝5(a ＋1)2＋54，当a ＝－1时，|AB →|min ＝54＝36．]二、填空题6．已知a ＝(1，x,3)，b ＝(－2,4，y )，若a ∥b ，则x －y ＝________． 4 [∵a ∥b ，∴b ＝λa ． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－2，x λ＝4，3λ＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，x ＝－2，y ＝－6.∴x －y ＝4．]7．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________．2π3 [(2a ＋b )·c ＝2a·c ＋b·c ＝－10， 又a·c ＝4，∴b·c ＝－18，又|c |＝3，|b |＝12， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c|b|·|c|＝－12，∵〈b ，c 〉∈[0，π]，∴〈b ，c 〉＝2π3．]8．在空间直角坐标系中，以O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．6＋23 [S △AOC ＝S △BOC ＝S △AOB ＝12×2×2＝2，S △ABC ＝34×|AB |2＝34×8＝23， 故三棱锥的表面积S ＝6＋23．] 三、解答题9．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，求λ的值．[解] ∵OA →＝(1,0,0)，OB →＝(0，－1,1)， ∴OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， ∴(OA →＋λOB →)·OB →＝λ＋λ＝2λ， 又|OA →＋λOB →|＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2，|OB→|＝2． ∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12，∴λ2＝16，又2λ2·1＋2λ2＜0，即λ＜0，∴λ＝－66．10．(1)已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，求x ，y 的值． (2)求与向量(－3，－4,5)共线的单位向量． [解] (1)因为a ∥b ，所以存在实数λ，使a ＝λb ， 所以(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝3λ，4＝λx ，5＝λy ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，x ＝6，y ＝152.(2)向量(－3，－4,5)的模为(－3)2＋(－4)2＋52＝52，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量为±152·(－3，－4,5)＝±210(－3，－4,5)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫3210，225，－22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－225，22．11．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形C [AB →＝(3,4，－8)，AC →＝(5,1，－7)， BC →＝(2，－3,1)， ∴|AB →|＝32＋42＋82＝89， |AC →|＝52＋12＋72＝75， |BC →|＝22＋32＋12＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝75＋14＝89＝|AB →|2． ∴△ABC 为直角三角形．]12．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°C [a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a·c|a||c|＝－12，〈a ，c 〉＝120°．] 13．(一题两空)已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，O (0，0,0)，点Q 在直线OP 上运动，QA →·QB →的最小值为________，此时点Q 的坐标为________．－23⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 [设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)， 故Q (λ，λ，2λ)，∴QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， ∴QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，∴QA →·QB →的最小值为－23，此时λ＝43，Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83．]14．若AB →＝(－4,6，－1)，AC →＝(4,3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →，a ⊥AC →，则a ＝________．⎝ ⎛⎭⎪⎫313，413，1213或⎝ ⎛⎭⎪⎫－313，－413，－1213 [设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，|a |＝1，代入坐标可解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝313，y ＝413，z ＝1213，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313，y ＝－413，z ＝－1213.]15．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ABC 和平面A 1B 1C 1为正三角形，所有的棱长都是2，M 是BC 边的中点，则在棱CC 1上是否存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°？[解] 以A 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ．由题意知A (0,0,0)，C (0,2,0)，B (3，1,0)，B 1(3，1,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0．又点N 在CC 1上， 可设N (0,2，m )(0≤m ≤2)，则AB 1→＝(3，1,2)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，m ，所以|AB 1→|＝22，|MN →|＝m 2＋1，AB 1→·MN →＝2m －1．如果异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°，那么向量AB 1→和MN →的夹角等于45°或135°．又cos 〈AB 1→，MN →〉＝AB 1→·MN →|AB 1→||MN →|＝2m －122×m 2＋1．所以2m －122×m 2＋1＝±22，解得m ＝－34，这与0≤m ≤2矛盾．所以在CC 1上不存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°．课时分层作业(四) 空间中的点、直线与空间向量(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知点A (2,3,4)，B (1,2,1)，BC →＝3OA →，且O 为坐标原点，则C 点的坐标为( )A ．(6,8,9)B ．(6,9,12)C ．(7,11,13)D ．(－7，－11，－13)C [设C (x ，y ，z )，则BC →＝(x －1，y －2，z －1)，OA →＝(2,3,4)，∴3OA →＝(6,9,12)， 由BC →＝3OA →， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝6，y －2＝9，z －1＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝11，z ＝13，∴C (7,11,13)．]2．已知空间向量a ＝(－1,0,3)，b ＝(3，－2，x )，若a ⊥b ，则实数x 的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 C [向量a ＝(－1,0,3)，b ＝(3，－2，x )，若a ⊥b ，则－1×3＋0×(－2)＋3x ＝0， 解得x ＝1．故选C ．]3．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面 ( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交C [因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz ．] 4．设向量a ＝(2,2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，－12，1，(0°＜α＜180°)，若a ⊥b ，则角α＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°B [∵向量a ＝(2,2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，－12，1，(0°＜α＜180°)，a ⊥b ，∴a ·b ＝2cos α－1＝0，∴cos α＝12， ∵0°＜α＜180°， ∴角α＝60°．故选B ．]5．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于( )A ．155B ．105C ．45D ．23A [以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则F (1，0,0)，D 1(0,0,2)，O (1,1,0)，E (0,2,1)，则OE →＝(－1,1,1)，FD 1→＝(－1,0,2)，∴|OE →|＝3，|FD 1→|＝5，OE →·FD 1→＝3， ∴cos 〈OE →，FD 1→〉＝OE →·FD 1→|OE →||FD 1→|＝33·5＝155．]二、填空题6．已知点A (1,1，－4)，B (2，－4,2)，C 为线段AB 上的一点，且AC →＝12AB →，则C 点坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，－1 [设C (x ，y ，z )，AC →＝(x －1，y －1，z ＋4)，AB →＝(1，－5,6)， 由AC →＝12AB →得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝12，y －1＝－52，z ＋4＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－32，z ＝－1.∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，－1．]7．已知A (0，y,3)，B (－1，－2，z )，若直线l 的方向向量v ＝(2,1,3)与直线AB 的方向向量平行，则实数y ＋z 等于________．0 [由题意，得AB →＝(－1，－2－y ，z －3)，则－12＝－2－y 1＝z －33，解得y ＝－32，z ＝32，所以y ＋z ＝0．]8．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，高为2，M ，N 分别是四边形BB 1C 1C 和正方形A 1B 1C 1D 1的中心，则向量BM →与DN →的夹角的余弦值是________．71030[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B(1,1,0)，M⎝⎛⎭⎪⎫12，1，1，D(0,0,0)，N⎝⎛⎭⎪⎫12，12，2，BM→＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，0，1，DN→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，2，设向量BM→与DN→的夹角为θ，则cos θ＝BM→·DN→|BM→|·|DN→|＝7454·184＝71030．故向量BM→与DN→的夹角的余弦值为71030．]三、解答题9．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．[证明]如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)， 于是MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12， DA 1→＝(1,0,1)．得DA 1→＝2MN →，∴DA 1→∥MN →，∴DA 1∥MN ． 而MN ⊄平面A 1BD ，DA 1⊂平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD ．10．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 是A 1B 1的中点．(1)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (2)求证：A 1B ⊥C 1M ．[解] (1)以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， ∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→|·|CB 1→|＝36·5＝3010．(2)证明：A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C 1(0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0， 又A 1B →·C 1M →＝0， ∴A 1B ⊥C 1M ．11．(多选题)已知空间向量a ，b ，a ⊥b ，a ＝(1,3,5)，则b 的坐标可以是( ) A ．(5,0，－1) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，3，－75 C ．(5，－3，－1)D ．(8，－1，－1)ABD [a ＝(1,3,5)，a ⊥b ，∴a ·b ＝0．在A 中，a ·b ＝(1,3,5)·(5,0，－1)＝1×5＋3×0＋5×(－1)＝0，A 正确． 在B 中，a ·b ＝(1,3,5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，3，－75＝1×(－2)＋3×3＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝0，B 正确． 在C 中，a ·b ＝(1,3,5)·(5，－3，－1)＝1×5＋3×(－3)＋5×(－1)＝－9≠0，C 错误．在D 中，a ·b ＝(1,3,5)·(8，－1，－1)＝1×8＋3×(－1)＋5×(－1)＝0，D 正确．] 12．向量a ＝(1,2，x )，b ＝(－2，y,4)，若a ∥b ，则x －y ＝( ) A ．4B ．2C ．1D ．12B [向量a ＝(1,2，x )，b ＝(－2，y,4)， 若a ∥b ，则1－2＝2y ＝x 4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4，x ＝－2.所以x －y ＝－2－(－4)＝2．]13．(一题两空)已知向量a ＝(1,0，－1)，b ＝(1,1,0)，则|a |＝________；向量a 与b 的夹角是________．2 60° [向量a ＝(1,0，－1)，b ＝(1,1,0)， 则|a |＝12＋02＋(－1)2＝2；cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12， ∴向量a 与b 的夹角是60°．]14．设向量a ＝(1,2，λ)，b ＝(2,2，－1)，若cos 〈a ，b 〉＝49，则实数λ的值为________．－1227或2 [向量a ＝(1,2，λ)，b ＝(2,2，－1)， ∴a ·b ＝2＋4－λ＝6－λ， |a |＝1＋4＋λ2＝5＋λ2，|b |＝4＋4＋1＝3，若cos 〈a ，b 〉＝49，则a ·b |a |×|b |＝6－λ5＋λ2×3＝49，化简得7λ2＋108λ－244＝0，解得λ＝－1227或λ＝2， 则实数λ的值为－1227或2．]15．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，P A ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1，AD ＝AP ＝2，E 为PD 的中点．以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系O -xyz ．(1)求BE →的模；(2)求〈AE →，DC →〉，异面直线AE 与CD 所成的角； (3)设n ＝(1，p ，q )，满足n ⊥平面PCD ，求n 的坐标．[解] (1)由已知可得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)， ∵E 为PD 的中点，∴E (0,1,1)． ∴|BE →|＝(0－1)2＋(1－0)2＋(1－0)2＝3．(2)AE →＝(0,1,1)，DC →＝(1，－1,0)．∴cos 〈AE →，DC →〉＝AE →·CD →|AE →|·|CD →|＝－12·2＝－12，∵〈AE →，DC →〉∈[0，π]， ∴〈AE →，DC →〉＝2π3，即异面直线AE 与CD 所成的角为π3． (3)∵n ⊥平面PCD ，∴n ⊥PD ，n ⊥CD ，又n ＝(1，p ，q )，PD →＝(0,2，－2)，CD →＝(－1,1,0)， ∴n ·PD →＝2p －2q ＝0，n ·CD →＝－1＋p ＝0， 解得p ＝1且q ＝1，即n ＝(1,1,1)．课时分层作业(五) 空间中的平面与空间向量(建议用时：40分钟)一、选择题1．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件AM →·n ＝0的点M 构成的图形是( )A ．圆B ．直线C ．平面D ．线段 C [M 构成的图形经过点A ，且是以n 为法向量的平面．]2．在菱形ABCD 中，若P A →是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )A ．P A →⊥AB → B ．P A →⊥CD →C ．PC →⊥BD →D ．PC →⊥AB →D [由题意知P A ⊥平面ABCD ，所以与平面上的线AB 、CD 都垂直，A 、B 正确．又因为菱形的对角线互相垂直，又AC 为PC 在平面ABCD 内的射影且AC ⊥BD ，由三垂线定理的逆定理知PC ⊥BD ，故C 正确．]3．设μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量，a ＝(－3,4,2)是直线l 的方向向量，则直线l 与平面α的位置关系是( )A ．平行或直线在平面内B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定A [∵μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量， a ＝(－3,4,2)是直线l 的方向向量，μ·a ＝－6＋8－2＝0，∴直线l 与平面α的位置关系是平行或直线在平面内．]4．平面α经过三点O (0,0,0)，A (2,2,0)，B (0,0,2)，则平面α的法向量可以是( ) A ．(1,0,1) B ．(1,0，－1) C ．(0,1,1)D ．(－1,1,0)D [∵平面α经过三点O (0,0,0)，A (2,2,0)，B (0,0,2)， ∴OA →＝(2,2,0)，OB →＝(0,0,2)， 设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·OA →＝2x ＋2y ＝0，n ·OB →＝2z ＝0，取x ＝－1，得n →＝(－1,1,0)，∴平面α的法向量可以是(－1,1,0)．]5．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A ．337，－157，4 B ．407，－157，4 C ．407，－2,4D ．4，407，－15B [∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4， 又BP ⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →， 则⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.]二、填空题6．已知直线l 的方向向量为s ＝(1,2，x )，平面α的法向量n ＝(－2，y,2)，若l ⊂α，则xy 的最大值为________．14 [由题意可得s ⊥n ，∴s ·n ＝－2＋2y ＋2x ＝0，可得x ＋y ＝1，取x ，y ＞0，则1≥2xy ，可得xy ≤14，当且仅当x ＝y ＝12时取等号．]7．在平面ABC 中，A (0,1,1)，B (1,2,1)，C (－1,0，－1)，若a ＝(－1，y ，z )，且a 为平面ABC 的法向量，则y ＋z ＝________．1 [AB →＝(1,1,0)，AC →＝(－1，－1，－2)， ∵a ＝(－1，y ，z )为平面ABC 的法向量， ∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0， ∴－1＋y ＝0,1－y －2z ＝0， 联立解得y ＝1，z ＝0，∴y ＋z ＝1．] 8．给出下列命题：①直线l 的方向向量为a ＝(1，－1,2)，直线m 的方向向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－12，则l 与m 垂直；②直线l 的方向向量a ＝(0,1，－1)，平面α的法向量n ＝(1，－1，－1)，则l ⊥α； ③平面α、β的法向量分别为n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)，则α∥β；④平面α经过三点A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)，向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量，则u ＋t ＝1．其中真命题的是________．(把你认为正确命题的序号都填上) ①④ [对于①，∵a ＝(1，－1,2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－12，∴a ·b ＝1×2－1×1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，∴a ⊥b ，∴直线l 与m 垂直，①正确； 对于②，a ＝(0,1，－1)，n ＝(1，－1，－1)， ∴a ·n ＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0， ∴a ⊥n ，∴l ∥α或l ⊂α，②错误；对于③，∵n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)， ∴n 1与n 2不共线， ∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)， ∴AB →＝(－1,1,1)，BC →＝(－1,1,0)， 向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量， ∴⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＋u ＋t ＝0，－1＋u ＝0，则u ＋t ＝1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．] 三、解答题9．如图所示，已知四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD ．求证：P A ⊥BD ．[证明] 如图，取BC 的中点O ，连接AO 交BD 于点E ，连接PO ．因为PB ＝PC ，所以PO ⊥BC ．又平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ， 所以PO ⊥平面ABCD ，所以AP 在平面ABCD 内的射影为AO ．在直角梯形ABCD 中， 由于AB ＝BC ＝2CD ， 易知Rt △ABO ≌Rt △BCD ，所以∠BEO ＝∠OAB ＋∠DBA ＝∠DBC ＋∠DBA ＝90°，即AO ⊥BD ． 由三垂线定理，得P A ⊥BD ．10．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：AM ⊥平面BDF ．[证明] 以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，F (2，2，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1．所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，DF →＝(0，2，1)，BD →＝(2，－2，0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的法向量， 则n ⊥BD →，n ⊥DF →， 所以⎩⎨⎧n ·BD →＝2x －2y ＝0，n ·DF →＝2y ＋z ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，z ＝－2y ，取y ＝1，得x ＝1，z ＝－2， 则n ＝(1,1，－2)．因为AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，所以n ＝－2AM →，得n 与AM →共线． 所以AM ⊥平面BDF ．11．(多选题)已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点中，在平面α内的是( )A ．(2,3,3)B ．(1,1,3)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，103D ．(2,2,3)AB [设平面α内一点P (x ，y ，z )，则MP →＝(x －1，y ＋1，z －2)． ∵n ＝(6，－3,6)是平面的法向量，∴n ⊥MP →，n ·MP →＝6(x －1)－3(y ＋1)＋6(z －2)＝6x －3y ＋6z －21． ∴由n ·MP →＝0得6x －3y ＋6z －21＝0． 把各选项代入上式可知A 、B 适合．]12．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )A ．(1，－2,4)B ．(－4,1，－2)C ．(2，－2,1)D ．(1,2，－2)B [设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1． 故AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1．又⎩⎨⎧AE →·n ＝0，AF→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12z ＝0，－12x ＋z ＝0，所以⎩⎨⎧y ＝－12z ，x ＝2z .当z ＝－2时，n ＝(－4,1，－2)．]13．(一题两空)设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为____________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为____________．α⊥β α∥β [∵u ，v 分别为平面α，β的法向量且u ＝(－2,2,5)， 当v ＝(3，－2,2)时，u·v ＝－6－4＋10＝0， ∴u ⊥v ，即α⊥β；当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2μ，∴u ∥v ，即α∥β．]14．如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系________．垂直 [以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12．平面PBC 的一个法向量n ＝(0,1,1)， ∵EF →＝－12n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面PBC ．]15．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，∠ABC ＝∠P AD ＝90°，侧面P AD ⊥底面ABCD ．若P A ＝AB ＝BC ＝12AD ．(1)求证：CD ⊥平面P AC ；(2)侧棱P A 上是否存在点E ，使得BE ∥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由．[解] 因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD ．又因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，且侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，所以P A ⊥底面ABCD ．又因为∠BAD ＝90°，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)． (1)AP →＝(0,0,1)，AC →＝(1,1,0)，CD →＝(－1,1,0)， 可得AP →·CD →＝0，AC →·CD →＝0， 所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD ．又因为AP ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC ．(2)设侧棱P A 的中点是E ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12．设平面PCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·CD →＝0，n ·PD →＝0，因为CD →＝(－1,1,0)，PD →＝(0,2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,2)． 所以n ·BE →＝(1,1,2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12＝0，所以n ⊥BE →． 因为BE ⊄平面PCD ，所以BE ∥平面PCD ． 综上所述，当E 为P A 的中点时，BE ∥平面PCD ．课时分层作业(六) 直线与平面的夹角(建议用时：40分钟)一、选择题1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线AD 与平面A 1BC 1所成角正弦值为( ) A ．12 B ．32 C ．33 D ．63C [如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(1,1,1)，DA →＝(1,0,0)，设直线AD 与平面A 1BC 1所成角为θ，∴sin θ＝|cos 〈n ，DA →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DA →|n |·|DA →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11×3＝33．] 2．OA 、OB 、OC 是由点O 出发的三条射线，两两夹角为60°，则OC 与平面OAB 所成角的余弦值为( )A ．13B ．33C ．12D ．32B [设OC 与平面OAB 所成的角为θ，则cos 60°＝cos θ·cos 30°，∴cos θ＝33．] 3．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，若该长方体的体积为82，则直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A [∵在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，该长方体的体积为82，∴2×2×AA 1＝82，解得AA 1＝22，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A (2,0,0)，C 1(0,2,22)，AC 1→＝(－2,2,22)， 平面BB 1C 1C 的法向量n ＝(0,1,0)， 设直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为θ， sin θ＝|n ·AC 1→||n |·|AC 1→|＝24＝12，∴θ＝30°，∴直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°．故选A ．]4．在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12P A ，点O 是AC 的中点，OP ⊥底面ABC ．现以点O 为原点，OA 、OB 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．则直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A ．21030 B ．3030 C ．69030D ．87030A [因为OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ，所以OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP ．设AB ＝2a ，则P A ＝22a ，OP ＝7a ，A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P (0,0，7a )．∴P A →＝(a,0，－7a )，PB →＝(0，a ，－7a )，BC →＝(－a ，－a,0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎨⎧n ·PB →＝0n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ay －7az ＝0－ax －ay ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝－77，所以平面PBC 的一个法向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，－77，所以cos 〈P A →，n 〉＝P A →·n |P A →||n |＝21030，所以P A 与平面PBC 所成角的正弦值为21030．] 5．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为( )A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π2A [以C 为原点，在平面ABC 中过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (3，1,0)，A 1(3，1,3)，B 1(0,2,3)，C 1(0,0,3)， AA 1→＝(0,0,3)，AB 1→＝(－3，1,3)，AC 1→＝(－3，－1,3)， 设平面AB 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·AB 1→＝－3x ＋y ＋3z ＝0，n ·AC 1→＝－3x －y ＋3z ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，0,1)， 设AA 1与平面AB 1C 1所成的角θ， 则sin θ＝|AA 1→·n ||AA 1→|·|n |＝334＝12，∴θ＝π6．∴AA 1与平面AB 1C 1所成的角为π6．故选A ．] 二、填空题6．等腰Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，若AC 与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成的角为________．45° [作CO ⊥α，O 为垂足，连接AO ，MO ，则∠CAO ＝30°，∠CMO 为CM 与α所成的角．在Rt △AOC 中，设CO ＝1，则AC ＝2．在等腰Rt △ABC 中，由AC ＝2得CM ＝2．在Rt △CMO 中，sin ∠CMO ＝CO CM ＝12＝22．∴∠CMO ＝45°．]7．如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面A 1B 1CD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 和四边形A 1B 1CD 都是正方形，则直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角的正切值是________．2 [以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则B (1,1,0)，D 1(－1，0,1)，BD 1→＝(－2，－1,1)，平面A 1B 1CD 的法向量n ＝(1,0,0)， 设直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角为θ， 则sin θ＝|BD 1→·n ||BD 1→|·|n |＝26，∴cos θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫262＝26，∴直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角的正切值是tan θ＝sin θcos θ＝2．]8．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于________．23 [如图，设A 1在平面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，OA ，OA 1分别为x 轴、z 轴，过O 作OA 的垂线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．设△ABC 边长为1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，0，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，63，。

课时分层作业(一) 命题(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列语句是命题的是( )A．2018是一个大数B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点C．对数函数是增函数吗？D．a≤15B[B选项可以判断真假，是命题．]2．以下说法错误的是( )A．原命题为真，则它的逆命题可以为真，也可以为假B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定是真命题C．原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题B[A显然正确；B错误，原命题与否命题的真假可能相同，也可能相反；C、D为真命题．] 3．下列命题中，为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题A[B选项中，否命题为“若x≤1，则x2≤1”，为假命题；C选项中，否命题为“若x ≠1，则x2＋x－2≠0”，为假命题；D选项中，逆否命题为“若x≤1，则x2≤0”，为假命题．] 4．若命题p的逆否命题是q，q的逆命题是r，则p与r是( )A．互逆命题B．互否命题C．互逆否命题D．不确定B[因为p与q互为逆否命题，又因为q的逆命题是r，则p与r为互否命题．]5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的假命题是( ) A．若m⊥n，m⊥α，nα，则n∥αB．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或mαC．若m∥α，α⊥β，则m⊥βD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βC[C是假命题，m∥α，α⊥β时，m与β的关系可以是m⊥β，可以是m∥β，可以mβ或m与β斜交．]二、填空题6．命题“无理数是无限不循环小数”中，条件是________，结论是________．[解析]该命题可改写为“如果一个数是无理数，那么它是无限不循环小数”．条件是：一个数是无理数；结论是：它是无限不循环小数．[答案]一个数是无理数它是无限不循环小数7．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则有：①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．其中改写正确的序号是________．[解析]①②正确，③逆否命题应为：“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”，故③错误．[答案]①②8．有下列四个命题：①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是________(填序号)．[解析]④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．[答案]①②③三、解答题9．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该二次函数图像与x轴有公共点．[解](1)该命题为假．因为当c＝0时，ac2＝bc2.逆命题：若ac2>bc2，则a>b，为真．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，为真．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，为假．(2)该命题为假．∵当b2－4ac<0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无公共点．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，则b2－4ac<0，为假．否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图像与x轴没有公共点，为假．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0，为假．10．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.[证明]原命题的逆否命题为“已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．若a＋b<0，则a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．[能力提升练]1．命题“若－1<x<1，则x2<1”的逆否命题是( )A．若x≥1或x≤－1，则x2≥1B．若x2<1，则－1<x<1C．若x2>1，则x>1或x<－1D．若x2≥1，则x≥1或x≤－1D[“－1<x<1”的否定为“x≥1或x≤－1”；“x2<1”的否定为“x2≥1”，由逆否命题定义知，D正确．]2．下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；(3)“若x≤－3，则x2－x－6＞0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3B[(1)否命题：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，真命题．(2)逆否命题：若a2≤b2，则a≤b，假命题．(3)否命题：若x＞－3，则x2－x－6≤0，假命题．(4)逆命题：相等的两个角是对顶角，假命题，故选B.]3．命题“若x∈R，则x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围为________．[解析]由题意得：Δ≤0，即：(a－1)2－4×1×1≤0，解得：a∈[－1,3]．[答案][－1,3]4．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．[解析] 由已知得，若1＜x ＜2成立，则m －1＜x ＜m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.[答案] [1,2]5．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24<1，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24<1，得x 2－4x <0，解得0<x <4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．。

课时分层作业(二) 量词(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题中为全称命题的是( )A．过直线外一点有一条直线和已知直线平行B．矩形都有外接圆C．存在一个实数与它的相反数的和为0D．0没有倒数B[命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”，是全称命题．故选B.]2．下列命题中为存在性命题的是( )A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形C[A，B，D为全称命题，而C含有存在量词“有些”，故为存在性命题．]3．下列命题中，是全称命题且是真命题的是( )A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∀x∈R，x2＝xD．对数函数在定义域上是单调函数D[A中的命题是全称命题，但a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但x2＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D.]4．下列存在性命题中，假命题的个数是( )①存在x∈R，使x2<x；②有些三角函数的周期是π；③存在x∈R，使函数y＝x2＋2＋1x2＋2的最小值为2.A．0 B．1 C．2 D．3B[由x2<x得0<x<1，故①“存在x∈R，使x2<x”是真命题；三角函数f(x)＝sin 2x的周期为π，故②为真命题；x2＋2＝1x2＋2，得x2＋2＝1，即x2＝－1，此方程无实数解，所以y ＝x 2＋2＋1x 2＋2＞2，故③是假命题．所以假命题的个数为1.]5．下列命题中的假命题是 ( )A ．∃x ∈R，lg x ＝0B ．∃x ∈R，tan x ＝1C ．∀x ∈R，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x＞0 C [选项A ，lg x ＝0⇒x ＝1；选项B ，tan x ＝1⇒x ＝π4＋k π(k ∈Z)；选项C ，x 3＞0⇒x ＞0；选项D,2x＞0⇒x ∈R.]二、填空题6．命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )2＞0”用“∃”写成存在性命题为________．∃x ＜0，(1＋x )(1－9x )2＞0 [根据存在性命题的定义改写．] 7．下列命题中为全称命题的是________(填所有正确的序号)．①三角形两边之和大于第三边；②所有的x ∈R，x 3＋1>0；③有些函数为奇函数；④平行四边形对角相等．①②④ [③为存在性命题，①、④为省略了全称量词的全称命题，②为全称命题．]8．下列语句中，全称命题有________，存在性命题有________．(填序号)①有一个实数a ，a 不能取对数；②所有不等式的解集A 都满足A ⊆R ；③三角函数都是周期函数吗？④有的向量方向不定；⑤自然数的平方是正数．②⑤ ①④ [因为①④中含有存在量词，所以命题①④为存在性命题；因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以含有全称量词，故为全称命题；③不是命题．综上所述，①④为存在性命题，②⑤为全称命题，③不是命题．]三、解答题9．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(3)存在实数x ，使得1x 2－x ＋1＝2. [解] (1)是存在性命题，用符号表示为“∃直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题．(2)是全称命题，用符号表示为“∀a ，b ∈R，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题．(3)是存在性命题，用符号表示为“∃x ∈R，1x 2－x ＋1＝2”，是假命题． 10．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p和q ”都是真命题，求实数a 的取值范围．[解] ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1.∃x ∈R，x 2＋2ax ＋2－a ＝0， 即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0.∴a ≤－2或a ≥1.又p 和q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，a ≤－2或a ≥1，∴a ≤－2或a ＝1.[能力提升练]1．下列命题中，是假命题的是 ( )A ．∃m ∈R，使f (x )＝(m －1)xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．∀a ＞0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点C ．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数D [∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，∴f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故A 中的命题为真命题；∵y ＝(ln x )2＋ln x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞，∴∀a ＞0，方程(ln x )2＋ln x －a ＝0有解，即函数f (x )有零点，故B 中的命题为真命题；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 中的命题为真命题；当φ＝π2时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 为偶函数，故D 中的命题为假命题．]2．已知对∀x >0，a ≤x ＋1x恒成立，则a 的取值范围为________． (－∞，2] [ ∀x ＞0，y ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1x时等号成立)， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝2；而对∀x >0，a ≤x ＋1x恒成立，所以a ≤2.]。

课时分层作业(七)全称量词命题与存在量词命题的否定(建议用时：40分钟)一、选择题1．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A.∀x∈R，|x|>0B．∃x∈R，|x|>0C.∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0C[由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.]2．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是()A.存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B.不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C.对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D.对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0D[存在量词命题的否定是全称量词命题．故选D.]3．命题“∃x0∈R，f(x0)＜0”的否定是()A.∃x0R，f(x0)≥0 B．∀x R，f(x)≥0C.∀x∈R，f(x)≥0 D．∀x∈R，f(x)＜0C[∵命题“∃x 0∈R，f(x0)＜0”是存在量词命题，∴否定命题为：∀x∈R，f(x)≥0.故选C.]4．若命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则¬p为()A.∃a＜0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解B.∃a＜0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解C.∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解D.∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解C[先否量词，后否结论，则¬p：∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解．]5．命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A.不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B.存在x∈R，x3－x2＋1≥0C.对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0D.存在x∈R，x3－x2＋1＞0D[“对于任意的x∈R”的否定为“存在x∈R”，“x3－x2＋1≤0”的否定为“x3－x2＋1＞0”．故选D.]二、填空题6．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．对任意x∈R，x2＋2x＋5≠0[存在量词命题的否定是全称量词命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．]7．若命题“∃x＜2 019，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．[2 019，＋∞)[由于命题“∃x＜2 019，x＞a”是假命题，因此其否定“∀x ＜2 019，x≤a”是真命题，所以a≥2 019.]三、解答题8．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)非负数的平方是正数；(3)有的四边形没有外接圆；(4)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3；(5)∀x∈Z，x2与3的和不等于0.[解](1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不平行”．由平行四边形的定义知，这是假命题．(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”．因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．(3)命题的否定：“所有的四边形都有外接圆”．因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题．(4)命题的否定：“∀x，y∈Z，都有2x＋y≠3”．∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，∴原命题为真命题，命题的否定为假命题．(5)命题的否定：“∃x ∈Z ，x 2与3的和等于0”．是假命题．9．命题p 是“对某些实数x ，有x －a ＞0或x －b ≤0”，其中a ，b 是常数．(1)写出命题p 的否定；(2)当a ，b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？ [解] (1)命题p 的否定：对任意实数x ，有x －a ≤0且x －b ＞0.(2)要使命题p 的否定为真，需要使不等式组⎩⎨⎧x －a ≤0，x －b ＞0的解集不为空集． 通过画数轴(图略)可看出，a ，b 应满足的条件是b ＜a .10．已知命题A “∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1＜0”．(1)写出命题A 的否定；(2)若命题A 是假命题，求出实数a 的取值范围．[解] (1)∀x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1≥0.(2)∵∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1＜0为假命题，∴∀x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1≥0为真命题，即Δ＝(a －1)2－4≤0，解得－1≤a ≤3.11．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则( )A.¬p ：∀x ∈A ，2x BB ．¬p ：∀x A ，2x B C.¬p ：∃x A ，2x ∈B D ．¬p ：∃x ∈A ，2x BD [根据题意可知命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B 的否定是¬p ：∃x ∈A ，2x B .故选D.]12．给出四个命题：①末尾数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，x ＞0；④对于任意实数x ，2x ＋1是奇数，下列说法正确的是( )A.四个命题都是真命题B.①②是全称量词命题C.②③是存在量词命题D.四个命题中有两个假命题C [①末尾数是偶数的整数能被2整除，是全称量词命题，是真命题；②有的菱形是正方形，是存在量词命题，是真命题；③存在实数x ，x ＞0，是存在量词命题，是真命题；④对于任意实数x ，2x ＋1是奇数，是全称量词命题，是假命题，故A ，B ，D 错误，C 正确．故选C.]13．命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是(a ，＋∞), 则实数a 的值是________．1 [由题意知原命题的否定是真命题，即∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋m ＞0是真命题．由Δ＝4－4m ＜0，得m ＞1，∴a ＝1.] 14．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0为真命题，则实数a 的取值范围是________．[0，4) [当a ＝0时，1＞0恒成立，命题p 为真命题．当a ≠0时，若p 为真命题，则需满足⎩⎨⎧Δ＝a 2－4a ＜0，a ＞0，解得0＜a ＜4.综上所述，实数a 的取值范围是[0，4).]15．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－2x ＋a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋2a －1＝0，若p 为真命题，q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解] 因为x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1，若p 是真命题，则a －1≥0，即a ≥1. 若q 为假命题，则Δ＝1－4(2a －1)＝5－8a ＜0，即a ＞58.综上，实数a 的取值范围是[1，＋∞).。