2019年人教版B数学必修一课时分层作业1

课时作业7 量词时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．下列语句不是全称量词命题的是( C )A ．任何一个实数乘以零都等于零B ．自然数都是正整数C ．高二·一班绝大多数同学是团员D ．每一个向量都有大小解析：“高二·一班绝大多数同学是团员”是存在量词命题．2．命题“存在实数x ，使x ＋1<0”可写成( B )A ．若x 是实数，则x ＋1<0B ．∃x ∈R ，x ＋1<0C ．∀x ∈R ，x ＋1<0D ．以上都不对解析：由存在量词命题的表示形式可知，选项B 正确．3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( B )A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数，使1x >2解析：A 选项是全称量词命题，所以A 不正确；3＋(－3)＝0，所以C 不正确；对任意负数x ，都有1x <0<2，所以D 不正确；存在实数x ＝0，使x 2＝0，所以B 正确．4．下列四个命题中，为真命题的是( C )A ．∀x ∈R ，x 2＋3<0B ．∀x ∈N ，x 2≥1C ．∃x ∈Z ，使x 5<1D ．∃x ∈Q ，x 2＝3解析：由于∀x∈R都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命题“∀x∈R，x2＋3<0”为假命题；由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x2≥1”是假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，所以命题“∃x∈Z，使x5<1”为真命题；由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．5．给出下列命题：①存在实数x>1，使x2>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax ＋1＝0的根为负数．其中存在量词命题的个数为(C) A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由存在量词及存在量词命题的定义知①③④为存在量词命题．6．设非空集合A，B满足A⊆B，则(B)A．∃x0∈A，使得x0∉BB．∀x∈A，有x∈BC．∃x0∈B，使得x0∉AD．∀x∈B，有x∈A解析：因为非空集合A，B满足A⊆B，所以A中元素都在B中，即∀x∈A，有x∈B.二、填空题(每小题8分，共计24分)7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为∃x<0，(1＋x)(1－9x)>0.解析：“有些”为存在量词，因此用存在量词命题来表述．8．下列命题：①偶数都可以被2整除；②正多边形的内角都相等；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.既是全称量词命题又是真命题的是①②，既是存在量词命题又是真命题的是③④(填所有满足要求的命题的序号)．解析：①②既是全称量词命题又是真命题，③④⑤是存在量词命题，且③④为真命题，⑤为假命题．9．下列命题是全称量词命题的是②(填序号)．①在整数中，有些数x，使4x2－1是素数；②集合{1,0，－1}中的任一元素，都能使2x＋1>0成立；③在自然数集中，必有元素x，使它的平方小于其本身．解析：①等价于∃x0∈Z,4x20－1是素数；②等价于∀x∈{1,0，－1},2x＋1>0；③等价于∃x0∈N，x20<x0.故是全称量词命题的是②.三、解答题 共计40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10．(10分)判断下列语句是不是命题，如果是，说明其是全称量词命题还是存在量词命题．(1)存在两个相似三角形不全等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解；(4)过直线外一点的所有直线中，有一条直线和这条直线垂直吗？解：(1)(2)(3)都是命题，其中(1)(2)是存在量词命题，(3)是全称量词命题．(4)是疑问句，不能判断真假，因此(4)不是命题．11．(15分)将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示．(1)实数的平方是非负数；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根．解：(1)∀x∈R，x2≥0；(2)∃x0<0，ax20＋2x0＋1＝0(a<1)．12．(15分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．(1)∃x∈R，x－2≤0；(2)矩形的对角线垂直平分；(3)凡三角形两边之和大于第三边；(4)有些素数是奇数．解：(1)存在量词命题．当x＝2时，x－2＝0成立．所以，存在量词命题“∃x∈R，x－2≤0”是真命题；(2)全称量词命题．邻边不相等的矩形的对角线不垂直．所以，全称量词命题“矩形的对角线垂直平分”是假命题；(3)全称量词命题．三角形中，两边之和大于第三边．所以，全称量词命题“凡三角形两边之和大于第三边”是真命题；(4)存在量词命题.3是素数，3也是奇数．所以，存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题．由Ruize收集整理。

课时分层作业(二十三)奇偶性的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是()A．f(x)＝－x2＋2x－3B．f(x)＝－x2－2x－3C．f(x)＝x2－2x＋3 D．f(x)＝－x2－2x＋3B[若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x ＋3，因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x －3，所以x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.故选B.]2．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是()A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1)B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)C[∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1).又∵f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C.] 3．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为() A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)A[因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．故选A.]4．一个偶函数定义在区间[－7，7]上，它在[0，7]上的图像如图，下列说法正确的是()A ．这个函数仅有一个单调增区间B ．这个函数有两个单调减区间C ．这个函数在其定义域内有最大值是7D ．这个函数在其定义域内有最小值是－7C [根据偶函数在[0，7]上的图像及其对称性，作出函数在[－7，7]上的图像，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.故选C.]5．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23A [由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <23，故选A.] 二、填空题6．函数f (x )在R 上为偶函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________．－x ＋1 [∵f (x )为偶函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝f (－x )＝－x ＋1， 即x ＜0时，f (x )＝－x ＋1.]7．偶函数f (x )在(0，＋∞)内的最小值为2 020，则f (x )在(－∞，0)上的最小值为________．2 020 [由于偶函数的图像关于y 轴对称，所以f (x )在对称区间内的最值相等． 又当x ∈(0，＋∞)时，f (x )min ＝2 020， 故当x ∈(－∞，0)时，f (x )min ＝2 020.]8．若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)，f (1)，f (－2)按从小到大的排列是________．f (－2)<f (1)<f (0) [当m ＝1时，f (x )＝6x ＋2不合题意；当m ≠1时，由题意可知，其图像关于y 轴对称，∴m ＝0，∴f (x )＝－x 2＋2，∴f (x )在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减． 又0<1<2，∴f (0)>f (1)>f (2)＝f (－2).] 三、解答题9．已知f (x )是定义在(－1，1)上的奇函数，且f (x )在(－1，1)上是减函数，解不等式f (1－x )＋f (1－2x )<0.[解] ∵f (x )是定义在(－1，1)上的奇函数， ∴由f (1－x )＋f (1－2x )<0，得f (1－x )<－f (1－2x )，∴f (1－x )<f (2x －1). 又∵f (x )在(－1，1)上是减函数，∴⎩⎨⎧－1<1－x <1，－1<1－2x <1，1－x >2x －1，解得0<x <23， ∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.10．已知y ＝f (x )是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f (x )<0，试问F (x )＝1f （x ）在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论． [解] F (x )在(－∞，0)上是减函数． 证明如下：任取x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，则有－x 1>－x 2>0.因为y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (x )<0，所以f (－x 2)<f (－x 1)<0.① 又因为f (x )是奇函数，所以f (－x 2)＝－f (x 2)，f (－x 1)＝－f (x 1)，② 由①②得f (x 2)>f (x 1)>0.于是F (x 1)－F (x 2)＝f （x 2）－f （x 1）f （x 1）·f （x 2）>0，即F (x 1)>F (x 2)，所以F (x )＝1f （x ）在(－∞，0)上是减函数．11．(多选题)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论不成立的是( )A ．|f (x )|－g (x )是奇函数B ．|f (x )|＋g (x )是偶函数C ．f (x )－|g (x )|是奇函数D ．f (x )＋|g (x )|是偶函数ABC [根据题意有f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，所以f (－x )＋|g (－x )|＝f (x )＋|－g (x )|＝f (x )＋|g (x )|，所以f (x )＋|g (x )|是偶函数．同理，易知选项A ，B 中的函数既不是奇函数也不是偶函数，选项C 中的函数是偶函数．故选ABC.]12．若奇函数f (x )在(－∞，0)上的解析式为f (x )＝x (1＋x )，则f (x )在(0，＋∞)上有( )A ．最大值－14 B ．最大值14 C ．最小值－14D ．最小值14B [法一(奇函数的图像特征)：当x <0时， f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，所以f (x )有最小值－14，因为f (x )是奇函数， 所以当x >0时，f (x )有最大值14. 法二(直接法)：当x >0时，－x <0， 所以f (－x )＝－x (1－x ). 又f (－x )＝－f (x )，。

课时作业4交集与并集时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(D)A．A＝B B．A∩B＝∅C．A∩B＝A D．A∩B＝B解析：由真子集的概念知B A，故A∩B＝B，故选D.2．(2019·全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B ＝(C)A．(－1，＋∞) B．(－∞，2)C．(－1,2) D．∅解析：A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，∴A∩B＝(－1,2)．3．(2019·北京卷)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，则A ∪B＝(C)A．(－1,1) B．(1,2)C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)解析：∵A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.4．设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝(C)A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}解析：∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，∴A∪B＝{－1，0,1,2,3,4}．又C＝{x∈R|－1≤x<2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．故选C.5．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于(B)A．0或 3 B．0或3C ．1或 3D ．1或3解析：方法一：利用并集的性质及子集的含义求解． ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，∴m ＝3或m ＝m . 由m ＝m 得m ＝0或m ＝1.但m ＝1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m ＝0或m ＝3.方法二：利用排除法求解．∵B ＝{1，m }，∴m ≠1，∴可排除选项C 、D. 又当m ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}， ∴A ∪B ＝{1,3，3}＝A ，故m ＝3适合题意，排除A ，故选B.6．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则( D )A ．－3≤m ≤4B ．－3<m <4C ．2<m <4D ．2<m ≤4解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ≠∅， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，即2<m ≤4.二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为5.解析：集合A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，故A ∪B 中有5个元素． 8．集合A ＝{0,2，a 2}，B ＝{1，a }，若A ∩B ＝{1}，则a ＝－1. 解析：由A ∩B ＝{1}得1∈A ，则a 2＝1，a ＝±1，又B ＝{1，a }，故a ＝1不符合元素的互异性，∴a ＝－1.9．已知集合A ＝{x |x 2－px ＋15＝0，x ∈Z }，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0，x ∈Z }，若A ∪B ＝{2,3,5}，则A ＝{3,5}，B ＝{2,3}．解析：设A＝{x1，x2}，B＝{x3，x4}．因为x1，x2是方程x2－px ＋15＝0的两根，所以x1x2＝15，由已知条件可得x1，x2∈{2,3,5}，所以x1＝3，x2＝5或x1＝5，x2＝3，所以A＝{3,5}．因为x3，x4是方程x2－5x＋q＝0的两根，所以x3＋x4＝5，由已知条件可知x3，x4∈{2,3,5}，所以x3＝3，x4＝2或x3＝2，x4＝3，所以B＝{2,3}．三、解答题 共计40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10．(10分)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求A∪B.解：由A∩B＝{－3}，知－3∈B.又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}，A∩B＝{1，－3}，不符合题意，故a＝0舍去．②当a－2＝－3时，a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，满足A∩B＝{－3}．从而A∪B＝{－4，－3,0,1,2}．11．(15分)已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x－m<0}．(1)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．解：(1)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，又A∩B＝∅，∴m≤－2.(2)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.12．(15分)已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<－1，或x>16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．(1)A∩B＝∅；(2)A⊆(A∩B)．解：(1)若A＝∅，则A∩B＝∅成立，此时2a＋1>3a－5，即a<6.若A≠∅，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧2a＋1≤3a－5，2a＋1≥－1，3a－5≤16，解得6≤a≤7.综上，满足条件A∩B＝∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}．(2)因为A⊆(A∩B)，所以A∩B＝A，即A⊆B.显然A＝∅满足条件，此时a<6.若A≠∅，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧2a＋1≤3a－5，3a－5<－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a＋1≤3a－5，2a＋1>16.由⎩⎪⎨⎪⎧2a＋1≤3a－5，3a－5<－1，解得a∈∅；由⎩⎪⎨⎪⎧2a＋1≤3a－5，2a＋1>16，解得a>152.综上，满足条件A⊆(A∩B)的实数a的取值范围是{a |a <6，或a >152}．由Ruize 收集整理。

课时作业(一) 集合及其表示方法一、选择题1．有下列说法：①{1，2}与{2，1}不同；②0∈{x |x 2＋x ＝0}；③方程(x ＋1)(x －2)2＝0的所有解的集合可表示为{}－1，2，2 ；④集合{}x |－3<x <4 是有限集．其中正确的说法是( )A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．四种说法都不对2．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的一个是( )A ．{x |x 是小于18的正奇数}B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5}C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5}D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5}3．已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，那么a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．04．(多选)下列集合的表示方法不正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }B. 不等式x －1＜4的解集为{x ＜5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R二、填空题5．给出下列关系：(1)13∈R ；(2)5 ∈Q ；(3)－3∉Z ；(4)－3 ∉N ，其中正确的是________． 6．用区间表示下列数集．(1){x |x ≥2}＝________；(2){x |3<x ≤4}＝________；(3){x |x >1且x ≠2}＝________．7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈N ，126－x ∈N ，用列举法表示集合A 为________． 三、解答题8．若集合A ＝{x |ax 2＋1＝0，x ∈R }不含有任何元素，求实数a 的取值范围．(用区间表示)9．用适当的方法表示下列集合．(1)方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合；(3)绝对值不大于2的所有整数；(4)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1 的解； (5)函数y ＝1x图象上的所有点． [尖子生题库]10．下列三个集合：①{x |y ＝x 2＋1}；②{y |y ＝x 2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？。

课时分层作业(二) 集合的表示方法(建议用时：40分钟)一、选择题1．将集合A ＝{x |1＜x ≤3}用区间表示正确的是( ) A.(1，3) B ．(1，3] C.[1，3)D ．[1，3]B [集合A 为左开右闭区间，可表示为(1，3].] 2．集合A ＝{x ∈N ︱x －1≤2 019}中的元素个数为( ) A.2 018 B ．2 019 C.2 020D ．2 021D [因为集合A ＝{x ∈N ︱x －1≤2 019}＝{x ∈N ︱x ≤2 020}＝{0，1，2，…，2 020}，所以元素个数为2 021.]3．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，52，73，94，…用描述法可表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋12n ，n ∈N *B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋3n ，n ∈N *C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n －1n ，n ∈N *D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋1n ，n ∈N * D [由3，52，73，94，即31，52，73，94从中发现规律，x ＝2n ＋1n ，n ∈N *，故可用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋1n ，n ∈N*．] 4．已知集合A ＝{x |x ＝2m －1，m ∈Z }，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A.x 1·x 2∈A B ．x 2·x 3∈B C.x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈AD [集合A 表示奇数集，B 表示偶数集，∴x 1，x 2是奇数，x 3是偶数， ∴x 1＋x 2＋x 3应为偶数，即D 是错误的．]5．设P ＝{1，2，3，4}，Q ＝{4，5，6，7，8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( )A.4 B ．5 C ．19 D ．20C [由题意知集合P *Q 的元素为点，当a ＝1时，集合P *Q 的元素为：(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)共5个元素．同样当a ＝2，3时集合P *Q 的元素个数都为5个，当a ＝4时，集合P *Q 中元素为：(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)共4个．因此P *Q 中元素的个数为19个，故选C.]二、填空题6．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ∈N ⎪⎪⎪y ＝8x －1，x ∈N ，x ≠1用列举法可表示为________． {1，2，4，8}[因为集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ∈N ⎪⎪⎪y ＝8x －1，x ∈N ，x ≠1，故x －1为8的正约数，即x －1的值可以为1，2，4，8，所以x 可以为2，3，5，9，用列举法表示⎩⎪⎨⎪⎧y ∈N ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫y ＝8x －1，x ∈N ，x ≠1为{1，2，4，8}．]7．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0}，若4∈A ，则集合A 用列举法表示为________． {－1，4} [∵4∈A ，∴16－12＋a ＝0，∴a ＝－4， ∴A ＝{x |x 2－3x －4＝0}＝{－1，4}．] 三、解答题8．下列三个集合：①A ＝{x |y ＝x 2＋1}；②B ＝{y |y ＝x 2＋1}；③C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？[解] (1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合． (2)集合A ＝{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，且x ∈R ，所以{x |y ＝x 2＋1}＝R ，即A ＝R .集合B ＝{y |y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，所以{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}．集合C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，是满足y ＝x 2＋1的实数对，可以认为集合C 是坐标平面内满足y ＝x 2＋1的点(x ，y )构成的集合，其实就是抛物线y ＝x 2＋1的图像．9．设P ，Q 为两个非空实数集，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？[解] 当a ＝0时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为1，2，6；当a ＝2时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为3，4，8；当a ＝5时，b 依次取1，2，6，得 a ＋b 的值分别为6，7，11.由集合中元素的互异性知 P ＋Q 中元素为1，2，3，4，6，7，8，11，共8个．10．选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合； (2)方程x 2－x ＋2＝0的实数解构成的集合．[解] (1)设大于1且小于70的正整数构成的集合为A ，则可用描述法表示为A ＝{x |1＜x ＜70，x ∈N *}．A 是有限集．(2)设方程x 2－x ＋2＝0的实数解构成的集合为B ， 因为Δ＝1－8＝－7＜0，所以该方程无实数解，即集合B 中不存在任何元素， 所以B ＝，B 是有限集．11．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4＋12，k ∈Z ，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是( )A.x 0∈N B ．x 0N C.x 0∈N 或x 0N D ．不能确定A[M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k ＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ＋24，k ∈Z ，∵2k ＋1(k ∈Z )是一个奇数，k ＋2(k ∈Z )是一个整数， ∴x 0∈M 时，一定有x 0∈N ，故选A.]12．(多选题)定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0，1}，B ＝{2，3}，则集合A ⊙B 的元素为( )A.0 B ．6 C.12D ．18ABC [当x ＝0时，z ＝0；当x ＝1，y ＝2时，z ＝6； 当x ＝1，y ＝3时，z ＝12，即A ⊙B ＝{0，6，12}．]13．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝{m ⎪⎪⎪m ＝x |x |＋y |y |＋xy |xy |}用列举法表示为________．{－1，3} [当x >0，y >0时，m ＝3； 当x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1； 若x ，y 异号，不妨设x >0，y <0， 则m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1，3}．]14．已知有限集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(n ≥2，n ∈N )，如果A 中的元素a i (i ＝1，2，3，…，n )满足a 1·a 2·…·a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1＋52，－1－52是“复活集”； ②若a 1，a 2∈R ，且{a 1，a 2}是“复活集”，则a 1a 2＞4； ③若a 1，a 2∈N *，则{a 1，a 2}不可能是“复活集”． 其中正确的结论有________．(填写正确结论的序号)①③ [∵－1＋52×－1－52＝－1＋52＋－1－52＝－1，∴①是正确的．②不妨设a 1＋a 2＝a 1a 2＝t ，则由根与系数的关系知a 1，a 2是一元二次方程x 2－tx ＋t ＝0的两个不相等的实数根．由Δ＞0，可得t ＜0或t ＞4，故②错．③根据集合互异性知a 1≠a 2，若a 1，a 2∈N *，不妨设a 1＜a 2，由a 1a 2＝a 1＋a 2＜2a 2，即有a 1＜2.∵a 1∈N *，∴a 1＝1.于是1＋a 2＝1×a 2，无解，即不存在满足条件的“复活集”，故③正确．]。

2.1.3 方程组的解集--2022-2023学年高一数学人教B 版（2019）必修第一册同步课时训练一、概念练习1.方程组22100x y y x m ⎧+-=⎨--=⎩有唯一的一组解,则实数m 的值是( ) 2 B.2 C.2± D.以上答案都不对2.若关于,x y 的方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解集是{(3,4)},则关于,x y 的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩解集是( ) A.(){}4,8 B.(){}9,12 C.(){}15,20 D.98,55⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭3.若方程组4312(1)3x y kx k y +=⎧⎨+-=⎩的解x 和y 的值互为相反数,则实数k 的值等于( ) A.0 B.1 C.2 D.34.已知(){}(){}22|,8|,,A x y y x B x y x y ===+=,则A B ⋂=( ) A.()()(){},2,2,2,2|x y --B.()()(){},4,4,4,4|x y --C.()()(){},2,2|2,,2x y --D.()()(){},4,4|,4,4x y --5.我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二,直金十两；牛二、羊五,直金八两.问：牛、羊各直金几何?”译文：“假设有5头牛、2只羊,值金10两；2头牛、5只羊,值金8两.问：每头牛、每只羊各值金多少两?”( ) A.3420,2121 B.2034,2121 C.2020,2121 D.3434,2121二、能力提升6.方程组10216x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是( ) A.()(){},,4|6x y B.()(){},,6|5x y C.()(){},,6|3x y D.()(){},,3|2x y7.方程组22100x y y x m ⎧+-=⎨--=⎩有唯一的一组解，则实数m 的值是（ ） 2 B.2- C.2± D.以上答案都不对8.如果23x y =-⎧⎨=⎩是关于x 和y 的二元次方程22mx y -=的解，那么m 的值是( )A.2B.2-C.4D.4-9.已知关于,x y的二元一次方程组23,352x yx y m+=⎧⎨+=+⎩的解满足0x y+=,求实数m的值__________.10.已知关于,x y的方程组21,254x y kx y k+=-⎧⎨+=+⎩的解满足5x y+=,则k的值为_________.11.小亮解得方程组2212x yx y+=⎧⎨-=⎩●的解集为{}(5,)★,由于不小心,滴上了两滴墨水,刚好遮住了两个数●和★,则●的值为________________.12.我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺.井深几尺？则该问题的井深是_________尺.13.笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔________支.14.甲、乙两位同学在求方程组232ax bycx y+=⎧⎨-=-⎩的解集时，甲解得正确答案为{(,)|(1,1)}x y-，乙因抄错了 c的值，解得答案为{(,)|(2,6)}x y，求aacb-的值.15.某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻、棉花和蔬菜,已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入设备资金水稻4人1万元棉花8人1万元蔬菜5人2万元职工都有工作,而且投入的设备资金正好够用?答案以及解析1.答案：C解析：由0y x m --=,得y x m =+,代入2210x y +-=,得到关于x 的方程222210x mx m ++-=,由题意,可知()222(2)81840m m m ∆=--=-=,解得2m =,故选C. 2.答案：D 解析：方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解集是(){}3,4,111222985985a b c a b c +=⎧∴⎨+=⎩,两边都除以5,得11122298559855a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩,对照方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩,可得9585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解集为98,55⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,故选D. 3.答案：C解析：由题意,可知y x =-,代入431x y +=,得1x =,所以1y =-.将1,1x y ==-代入()213kx k y +-=,得13k +=,所以2k =.4.答案：C解析：解方程组228y x x y =⎧⎨+=⎩,得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩,所以{}(,)|(2,2),(2,2)A B x y ⋂=--.故选C. 5.答案：A解析：设每头牛值金x 两,每只羊值金y 两,由题意,可得5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩,解得34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故选A.6.答案：A解析：由10x y +=,得10y x =-,代入216x y +=,得1016x +=,解得6x =,所以1064y =-=.故方程组的解集为{}(,)|(6,4)x y .故选A.7.答案：C解析：由0y x m --=,得y x m =+，代入2210x y +-=,得到关于x 的方程222210x mx m ++-=,由题意，可知222(2)8(1)840m m m ∆=--=-=,解得2m =±.故选 C.8.答案：D解析：把23x y =-⎧⎨=⎩代人方程22mx y -=，得262m --=，解得4m =-，故选D9.答案：4解析：解关于,x y 的二元一次方程组23,352,x y x y m +=⎧⎨+=+⎩得211,7.x m y m =-⎧⎨=-⎩0,21170x y m m +=∴-+-=,解得4m =.10.答案：2解析：21254x y k x y k +=-⎧⎨+=+⎩①,②.由①+②，得3363x y k +=+，即21x y k +=+.5,215x y k +=∴+=,解得2k =.11.答案：8解析：把5x =代入212x y -=中,得2512y ⨯-=,解得2,y =-∴●的值为()2528⨯+-=. 12.答案：8解析：设绳长是x 尺,井深是y 尺， 依题意有14,311,4x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得36,8.x y =⎧⎨=⎩故井深是8尺. 13.答案：10解析：本题考查二元一次方程的实际应用.设可以购买x 本笔记本，y 支钢笔，根据题意得57100x y +=，根据,x y 均为正整数，通过讨论可以确定y 的最大值为10.14.答案：74a acb -= 解析：将11x y =⎧⎨=-⎩代入方程组，得232a bc -=⎧⎨+=-⎩①② 将26x y =⎧⎨=⎩代入2ax by +=，得262a b +=③. 联立①②③，解得71,,544a b c ==-=-, 所以74a acb -= 15.答案：设水稻、棉花和蔬菜的种植面积分别为x 公顷、y 公顷和z 公顷, 则51485300267x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,解得152016x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩.答：种植水稻15公顷、棉花20公顷、蔬菜16公顷,才能使所有职工都有工作,而且投入的设备资金正好够用.。

课时作业6 命题时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．下列语句中命题的个数为( C )①平行四边形不是梯形； ②3是无理数；③方程9x 2－1＝0的解是x ＝±13； ④请进；⑤2014年6月12日是巴西世界杯开幕的日子．A ．2B ．3C ．4D ．5解析：①②③⑤是命题．2．下列说法正确的是( D )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题解析：由Δ＝16－4a ≥0，知a ≤4，故D 正确．3．有下列四个命题：①{∅}是空集；②{0}是空集；③若a ∈Z ，则－a ∉Z ；④集合A ＝{x ∈R |x 2＋2x ＋1＝0}有两个元素．其中真命题的个数是( A )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：①中有元素∅，原命题为假；②中有元素0，原命题为假；③若a 是整数，则－a 也是整数，原命题为假；④x 2＋2x ＋1＝0有两个相等实数根x 1＝x 2＝－1，所以集合中只有一个元素，原命题为假，故选A.4．给出下列命题：①N中最小的元素是1；②若a∈N，则－a∉N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.其中所有正确命题的个数为(A)A．0 B．1C．2 D．3解析：∵集合N中含0，∴①错；∵N表示自然数，0∈N，－0＝0∈N，∴②错；∵0∈N，∴当a＝b＝0时，a＋b最小，则a＋b 的最小值是0，∴③错．故选A.5．下列命题正确的是(C)A．若ab≤0，则a≤0且b≤0B．若ab≤0，则a≥0且b≤0C．若a>0且b>0，则ab>0D．若a>0或b>0，则ab>0解析：若ab≤0，则“a≤0且b≥0”或“a≥0且b≤0”，所以选项A、B错误；若a>0且b>0，则ab>0，选项C正确，选项D错误．故选C.6．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么命题：(1)M的元素都不是P的元素；(2)M中有不属于P的元素；(3)M中有P的元素；(4)M中元素不都是或都不是P的元素．其中真命题的个数是(B)A．1 B．2C．3 D．4解析：由于“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，从而由条件“非空集合M的元素”推不出结论“都是集合P的元素”即命题“非空集合M的元素不都是或都不是集合P的元素”为真命题，故(2)(4)正确．二、填空题(每小题8分，共计24分)7．下列语句是命题的有③④，其中是真命题的有③.(只填序号)①等边三角形是等腰三角形吗？②作三角形的一个内角平分线．③在三角形中，大边对大角，小边对小角．④若x＋y为有理数，则x，y也都是有理数．⑤x>8.解析：①②不是陈述句，则不是命题；③是命题，并且是真命题；④是命题，但是假命题；⑤不能判断真假，则不是命题．8．给出下列语句：①任何集合都有真子集；②明天会下雨吗？③一个实数不是有理数就是无理数；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5>0；⑥作两条平行直线．其中为命题的序号是①③⑤，为真命题的序号是③⑤.解析：①是命题，且是假命题，因为空集没有真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是真命题；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．9．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b，则ac>bc；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中真命题的序号是①④.解析：①中，当k>0时方程的判别式Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故为真命题；②中，当c为0时不成立；③也可能是等腰梯形；④为真命题．故应填①④.三、解答题 共计40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10．(10分)判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)求证：3是无理数．(2)若x ∈R ，x 2＋4x ＋4≥0.(3)你是高一的学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果．(5)若x ＋y 和xy 都是有理数，则x ，y 都是有理数．解：(1)祈使句，不是命题．(2)x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0，可以判断真假，是命题，且是真命题．(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．(4)是命题，真命题，有的人喜欢苹果，有的人不喜欢苹果．(5)是命题，假命题，如：3＋(－3)和3×(－3)都是有理数，但3和－3都是无理数．11．(15分)把下列命题写成“如果p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)当x ＝2或x ＝4时，x 2－6x ＋8＝0.解：(1)如果一个三角形是等腰三角形，则这个三角形的两个底角相等．真命题．(2)如果x ＝2或x ＝4，则x 2－6x ＋8＝0.真命题．12．(15分)已知A ：5x －1>a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 可以构造一个真命题“若p ，则q ”．解：若视A 为p ，B 为q ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1＋a 5，则x >1”．由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4；若视B 为p ，A 为q ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1，则x >1＋a 5”．由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4.故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如这里取a ＝1，则有真命题“若x >1，则x >25”．由Ruize收集整理。

课时分层作业(二十六) 函数的应用(一)(建议用时：40分钟)一、选择题1．某厂日产手套的总成本y (元)与日产量x (双)之间的关系为y ＝5x ＋40 000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套( )A.2 000双B ．4 000双 C.6 000双 D ．8 000双D [由5x ＋40 000≤10x ，得x ≥8 000，即日产手套至少8 000双才不亏本．]2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A.310元B ．300元 C.290元D ．280元B [设函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，函数图像过点(1，800)，(2，1 300)，则⎩⎨⎧k ＋b ＝800，2k ＋b ＝1 300，解得⎩⎨⎧k ＝500，b ＝300，∴y ＝500x ＋300，当x ＝0时，y ＝300.∴营销人员没有销售量时的收入是300元．]3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为： y ＝⎩⎨⎧4x ，1≤x <10，x ∈N *，2x ＋10， 10≤x <100，x ∈N *，1.5x ，x ≥100，x ∈N *.其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A.15B ．40C.25 D．130C[令y＝60.若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用25人．]4．某沙漠地区的某时段气温与时间的函数关系满足f(t)＝－t2＋24t－101(4≤t≤18)，则该沙漠地区在该时段的最大温差是()A.54 B．58C.64 D．68C[函数f(t)＝－t2＋24t－101的图像的对称轴为直线t＝12，所以f(t)在[4，12]递增，在[12，18]递减，所以f(t)max＝f(12)＝43，f(t)min＝f(4)＝－21，所以在该时段的最大温差是43－(－21)＝64.]5．一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么()A.此人可在7 s内追上汽车B.此人可在10 s内追上汽车C.此人追不上汽车，其间距最少为5 mD.此人追不上汽车，其间距最少为7 mD[设汽车经过t s行驶的路程为s m，则s＝12t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝12t2－6t＋25＝12(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.]二、填空题6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为________．S(t)＝2t2＋108t＋400，t∈N[日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N.]7．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm2.23 [设一个三角形的边长为x cm ，则另一个三角形的边长为(4－x )cm ，两个三角形的面积和为S ＝34x 2＋34(4－x )2＝32(x －2)2＋23≥23， 这两个正三角形面积之和的最小值是2 3 cm 2.]8．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11.2%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，这个人的稿费为________元．3 800 [若这个人的稿费为4 000元时，应纳税(4 000－800)×14%＝448(元). 又∵420＜448，∴此人的稿费应在800到4 000之间，设为x ，∴(x －800)×14%＝420，解得x ＝3 800元．]三、解答题9．10辆货车从A 站匀速驶往相距2 000千米的B 站，其时速都是v 千米/时，为安全起见，要求：每辆货车时速不得超过100千米/时，每辆货车间隔k v 2千米(k 为常数，货车长度忽略不计).将第一辆货车由A 站出发到最后一辆货车到达B 站所需时间t 表示为v 的函数f (v ).(1)求函数t ＝f (v )，并写出v 的取值范围．(2)若k ＝581，请问当v 取何值时，t 有最小值？并求出最小值．[解] (1)由题意，可得t ＝f (v )＝2 000＋9k v 2v，0＜v ≤100. (2)由k ＝581，可得t ＝2 000v ＋5v 9＝59⎝ ⎛⎭⎪⎫v ＋3 600v . 又0＜v ≤100，所以由均值不等式得t ≥59×23600＝2003，当且仅当v ＝3 600v ，即v ＝60时等号成立．故t min ＝f (60)＝2003.所以当v ＝60千米/时时，t 取得最小值，最小值为2003小时．10．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm 与60 cm ，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积．[解]设直角三角形为△ABC，AC＝40，BC＝60，矩形为CDEF，如图所示，设CD＝x，CF＝y，则由Rt△AFE∽Rt△EDB得AFED＝FEBD，即40－yy＝x60－x，解得y＝40－23x，记剩下的残料面积为S，则S＝12×60×40－xy＝23x2－40x＋1 200＝23(x－30)2＋600(0＜x＜60)，故当x＝30时，S min＝600，此时y＝20，所以当x＝30，y＝20时，剩下的残料面积最少为600 cm2．11．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图像，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是()C[根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C 中的图像可能正确．]12．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()。

课时分层作业(三) 集合的基本关系(建议用时：40分钟)一、选择题1．设A ＝{a ，b }，B ＝{x |x ∈A }，则( ) A ．B ∈A B ．B A C ．A ∈BD ．A ＝BD [因为集合B 中的元素x ∈A ，所以x ＝a 或x ＝b ， 所以B ＝{a ，b }，因此A ＝B .]2．若集合A ＝{x |x ＝n ，n ∈N }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝n2，n ∈Z ，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ＝BD ．A ∈BA [A ＝{0，1，2，…}，B ＝{…，－1，－12，0，12，1，32，2，…}，集合A 中任意一个元素均在集合B 中．]3．集合U ，S ，T ，F 的关系如图所示，下列关系正确的是( )①S ∈U ；②F ⊆T ；③S ⊆T ；④S ⊆F ；⑤S ∈F ；⑥F ⊆U . A ．①③ B ．②③ C ．③④ D ．③⑥D [元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．]4．若{1，2}⊆A ⊆{1，2，3，4，5}，则集合A 的个数是( ) A ．8 B ．7 C ．4D ．3A [法一：(列举法)：满足条件{1，2}⊆A ⊆{1，2，3，4，5}的集合A 有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个．法二：(计数法)：因为集合A 满足{1，2}⊆A ⊆{1，2，3，4，5}，所以，集合A 一定含有元素1，2(可不考虑)，可能含有元素3，4，5，故集合A 的个数即集合{3，4，5}的子集个数，即23＝8(个).故选A.]5．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤2 B ．a ≤1 C ．a ≥1D ．a ≥2D [∵A ⊆B ，∴a ≥2.] 二、填空题6．已知M ＝{x |x ≥22，x ∈R }，给定下列关系：①π∈M ；②{π}M ；③πM ；④{π}∈M .其中正确的有________．(填序号)①② [①②显然正确；③中π与M 的关系为元素与集合的关系，不应该用“”符号；④中{π}与M 的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号．]7．如图反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A 为________；B 为________；C 为________；D 为________．小说 文学作品 叙事散文 散文 [由维恩图可得A B ，C D B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．]8．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么a 的值是________．0，±1 [P ＝{－1，1}，Q ⊆P ，所以 (1)当Q ＝时，a ＝0；(2)当Q ≠时，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，所以1a ＝1或1a ＝－1，解之得a ＝±1. 综上知a 的值为0，±1.] 三、解答题9．设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．[解] 从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的互异性．因为A ＝B ，则 x ＝0或y ＝0.①当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去． ②当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由①知x ＝0应舍去． 综上，x ＝1，y ＝0.10．设集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |m －1≤x ≤1－2m }． (1)若B ⊆A ，求m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，求m 的取值范围．[解] (1)①当B ≠时，∵B ⊆A ，数轴表示如图所示：∴⎩⎨⎧m －1≥－1，1－2m ≤1，m －1≤1－2m ，解得0≤m ≤23. ②当B ＝时，m －1＞1－2m ，解得m ＞23. 综上所述，实数m 的取值范围是[0，＋∞). (2)∵A ≠，A ⊆B ，∴B ≠.∴m －1≤1－2m ，即m ≤23，数轴表示如图所示，则⎩⎨⎧m －1≤－1，1－2m ≥1，解得m ≤0. 综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，0].11．(多选题)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{ax －2＝0}，若B ⊆A ，则a的值可以是( )A ．0B ．1C ．2D ．3ABC [由条件知A ＝{1，2}，当a ＝0时，B ＝，满足题意；当a ≠0时，由2a ∈A ，可得a ＝1或a ＝2，故选A ，B ，C.]12．已知a ∈R ，b ∈R ，若集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，ba ，1＝{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 B[∵集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b ，0}，分母a ≠0，∴b ＝0，a 2＝1，且a 2≠a ＋b ，解得a ＝－1.∴a 2 019＋b 2 019＝－1.故选B.] 13．已知集合A {1，2，3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．5 [若A 中有一个奇数，则A 可能为{1}，{3}，{1，2}，{3，2}； 若A 中有2个奇数，则A ＝{1，3}．]14．(一题两空)设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1＜x ＜2m ＋1}，当x ∈Z 时，集合A 的非空真子集个数为________；当B ⊆A 时，实数m 的取值范围是________．254 m ≤－2或－1≤m ≤2 [化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}． (1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}， 即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集个数为28－2＝254(个). (2)①当m ≤－2时，B ＝⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}， 因此，要使B ⊆A ， 则只要⎩⎨⎧m －1≥－2，2m ＋1≤5，∴－1≤m ≤2.综上所述，m 的取值范围是：。

课时分层作业(一) 空间向量及其运算(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4．则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对D [∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2ab ＝|c |2， ∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a ||b |＝14．]2．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有 ( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断： ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→． ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→． ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→． 所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→．]3．如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG →·AB →＝( )A ．34 B ．14 C ．12D ．32B [由题意可得FG →＝12AC →，∴FG →·AB →＝12×1×1×cos 60°＝14．]4．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A ．12B ．22C ．－12D ．0D [如图所示，∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA |·|OC →|·cos ∠AOC －|OA →|·|OB |·cos ∠AOB ＝0，∴OA →⊥BC →，∴〈OA →，BC →〉＝π2，cos 〈OA →，BC →〉＝0．]5．设三棱锥O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，G 是△ABC 的重心，则OG →等于( )A ．a ＋b －cB ．a ＋b ＋cC ．12(a ＋b ＋c )D ．a ＋b ＋c )D [如图所示，OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝13(a ＋b ＋c )．] 二、填空题6．已知|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则a ·b 所夹的角为________． 34π [cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－222×22＝－22， 又〈a ·b 〉的取值范围为[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝34π．]7．已知向量a ，b ，c 两两夹角都是60°，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则|a －2b ＋c |＝________．3 [∵|a －2b ＋c |2＝a 2＋4b 2＋c 2－4a ·b －4b ·c ＋2a ·c ＝1＋4＋1－4×cos 60°－4×cos 60°＋2×cos 60°＝3， ∴|a －2b ＋c |＝3．]8．四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1各棱长均为1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，则点B 与点D 1两点间的距离为________．2 [四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1各棱长均为1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°．∴BD 1→＝BA →＋AD →＋DD 1→， ∴BD 1→2＝(BA →＋AD →＋DD 1→)2＝BA →2＋AD →2＋DD 1→2＋2BA →·AD →＋2BA →·DD 1→＋2AD →·DD 1→＝1＋1＋1＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 60°＝2， ∴|BD 1→|＝2，∴点B 与点D 1两点间的距离为2．] 三、解答题9．已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：(1)AA ′→－CB →； (2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→； (3)12AD →＋12AB →－12A ′A →．[解] (1)AA ′→－CB →＝AA ′→＋BC →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→．(2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→＝AD ′→． (3)设M 是线段AC ′的中点，则 12AD →＋12AB →－12A ′A → ＝12AD →＋12AB →＋12AA ′→＝12(AD →＋AB →＋AA ′→)＝12AC ′→＝AM →． 向量AD ′→、AM →如图所示．10．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，M 是C 1D 1的中点，点N 是CA 1上的点，且CN ∶NA 1＝4∶1．用a ，b ，c 表示以下向量：(1)AM →；(2)AN →．[解] (1)AM →＝12(AC 1→＋AD 1→) ＝12[(AB →＋AD →＋AA 1→)＋(AD →＋AA 1→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA 1→) ＝12a ＋b ＋c ．(2)AN →＝AC →＋CN →＝AC →＋45(AA 1→－AC →) ＝15AB →＋15AD →＋45AA 1→ ＝15a ＋15b ＋45c ．11．(多选题)化简下列各式，结果为零的向量为( ) A ．AB →＋BC →＋CA →B ．OA →－OD →＋AD →C ．NQ →＋QP →＋MN →－MP →D ．MN →＋BM →＋NB →ABCD [对于A ，AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0． 对于B ，OA →－OD →＋AD →＝DA →＋AD →＝0．对于C ，NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝(NQ →＋QP →)＋(MN →－MP →)＝NP →＋PN →＝0． 对于D ，MN →＋BM →＋NB →＝MN →＋NB →＋BM →＝MB →＋BM →＝0．]12．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角是( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．90°B [a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝e 21－e 1·e 2－2e 22 ＝1－1×1×12－2＝－32， |a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝1＋1＋1＝3．|b |＝b 2＝(e 1－2e 2)2＝e 21－4e 1·e 2＋4e 22＝1－2＋4＝3．∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－323＝－12， ∴〈a ，b 〉＝120°．]13．已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为________．－13 [∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13．]14．(一题两空)如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于2, 点E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，则|AB →＋BC →|＝______，|BC →－EF →|＝______．23 [|AB →＋BC →|＝|AC →|＝2，EF →＝12BD →，BD →·BC →＝2×2×cos 60°＝2，故|BC →－EF →|2＝|BC →－12BD →|2＝BC →2－BC →·BD →＋14BD →2＝4－2＋14×4＝3， 故|BC →－EF →|＝3．]15．在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB →|＝2|AM →|，|CN →|＝12|ND →|，求|MN →|．[解] ∵MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →．∴MN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →2＝19AB →2－29AD →·AB →＋49AC →·AD →－49AB →·AC →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2＋29a 2－29a 2＋19a 2＋49a 2 ＝59a 2， 故|MN →|＝MN →·MN →＝53a ，即|MN →|＝53a ．课时分层作业(二) 空间向量基本定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．若a 与b 不共线且m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，p ＝2a ，则( ) A ．m ，n ，p 共线 B ．m 与p 共线 C ．n 与p 共线D ．m ，n ，p 共面D [p ＝2a ＝m ＋n ，即p 可由m ，n 线性表示，所以m ，n ，p 共面．] 2．对空间任一点O 和不共线三点A ，B ，C ，能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是( )A ．OP →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC → C ．OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC →D ．以上皆错B [∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →， ∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →，∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)， ∴AP →＝PB →＋PC →，∴P A →＝－PB →－PC →，∴P ，A ，B ，C 共面．]3．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( )A ．AA ′→＋12AB →＋12AD → B ．12AA ′→＋12AB →＋12AD →C ．12AA ′→＋16AB →＋16AD → D ．13AA ′→＋16AB →＋16AD →D [由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ，∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ， ∴AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →) ＝13(AA ′→＋12A ′C ′→)＝13AA ′→＋16(A ′D ′→＋A ′B ′→)＝13AA ′→＋16AD →＋16AB →．]4．已知向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，一定可以与向量p ，q 构成空间的另一个基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．无法确定C [∵a ＝12p ＋12q ，∴a 与p ，q 共面， ∵b ＝12p －12q ，∴b 与p ，q 共面， ∵不存在λ，μ，使c ＝λp ＋μq ，∴c 与p ，q 不共面，故{c ，p ，q }可作为空间的一个基底，故选C ．] 5．对于空间一点O 和不共线的三点A ，B ，C 且有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( )A ．O ，A ，B ，C 四点共面B ．P ，A ，B ，C 四点共面C ．O ，P ，B ，C 四点共面D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面B [由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →得OP →－OA →＝2(OB →－OP →)＋3(OC →－OP →)， 即AP →＝2PB →＋3PC →．∴AP →，PB →，PC →共面，又它们有同一公共点P ， ∴P ，A ，B ，C 四点共面．] 二、填空题6．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________．1 －1 [因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.]7．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z ，使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．x ＝y ＝z ＝0 [若x ≠0，则a ＝－y x b －zx c ，即a 与b ，c 共面，由{a ，b ，c }是空间的一个基底知a ，b ，c 不共面，故x ＝0．同理y ＝z ＝0．]8．如图在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则B 1M →＝________．(用a ，b ，c 表示)－12a ＋12b －c [B 1M →＝AM →－AB 1→＝12(AB →＋AD →)－(AB →＋AA 1→)＝－12AB →＋12AD →－AA 1→＝－12a ＋12b －c ．]三、解答题9．如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →． [解] 连接AC ，AD ′，AC ′(图略)． (1)AP →＝12(AC →＋AA ′→) ＝12(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′→) ＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→) ＝12a ＋b ＋12c ． (3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→) ＝12a ＋b ＋c ．(4)AQ →＝AC →＋CQ → ＝AC →＋45(AA ′→－AC →) ＝15AC →＋45AA ′→ ＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→ ＝15a ＋15b ＋45c ．10．已知平行四边形ABCD ，从平面ABCD 外一点O 引向量OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OG →＝kOC →，OH →＝kOD →，求证：点E ，F ，G ，H 共面．[证明] ∵OA →＋AB →＝OB →，∴kOA →＋kAB →＝kOB →， 而OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，∴OE →＋kAB →＝k (OA →＋AB →)＝kOB →＝OF →． 又OE →＋EF →＝OF →，∴EF →＝kAB →， 同理EH →＝kAD →，EG →＝kAC →．∵ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →， ∴EG →k ＝EF →k ＋EH →k ，即EG →＝EF →＋EH →，又它们有同一个公共点E ， ∴点E ，F ，G ，H 共面．11．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ．M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG →等于( )A ．16OA →＋13OB →＋12OC →B ．14(OA →＋OB →＋OC →) C ．13(OA →＋OB →＋OC →)D ．16OB →＋13OA →＋13OC →B [如图，OG →＝12(OM →＋ON →)＝12OM →＋12×12(OB →＋OC →) ＝14OA →＋14OB →＋14OC → ＝14(OA →＋OB →＋OC →)．]12．(多选题)如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点(Q 靠近点M )，则用向量OA →，OB →，OC →表示OQ →，不正确的是( )A ．OQ →＝13OA →＋16OB →＋16OC →B ．OQ →＝16OA →＋13OB →＋16OC → C ．OQ →＝16OA →＋13OB →＋13OC →D ．OQ →＝13OA →＋13OB →＋16OC →BCD [∵M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点(Q 靠近点M )，∴AB →＝OB →－OA →，BC →＝OC →－OB →， ∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝12OA →＋AB →＋12BC →＝12OA →＋(OB →－OA →)＋12(OC →－OB →) ＝－12OA →＋12OB →＋12OC →， ∴OQ →＝OM →＋MQ →＝12OA →＋13MN → ＝12OA →－16OA →＋16OB →＋16OC → ＝13OA →＋16OB →＋16OC →．]13．(一题两空)在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a －5b ＋8c ，对角线AC ，BD 的中点分别是E ，F ，则EF →＝________．向量AB →，CD →，EF →________(填“能”或“否”)构成一组基底．3a －52b ＋3c 否 [EF →＝12(ED →＋EB →)＝14(AD →＋CD →)＋14(AB →＋CB →)＝14AB →＋14BD →＋14CD →＋14AB →＋14CD →＋14DB →＝12(AB →＋CD →)＝3a －52b ＋3c ．假设AB →，CD →，EF →共面，则EF →＝λAB →＋μCD →＝λa －2λc ＋5μa －5μb ＋8μc ＝(λ＋5μ)a －5μb ＋(8μ－2λ)c ＝3a －52b ＋3c ．∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋5μ＝3，－5μ＝－52，8μ－2λ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝12.∴EF →，AB →，CD →共面，∴不能构成一组基底．]14．在▱ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________．43[设AB →＝a ，AD →＝b ， 则AC →＝a ＋b ，AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ， ∴λAE →＋μAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μb ， ∴a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，∴λ＋μ＝43．]15．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求实数x ，y ，z 的值．[解] 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－12AC → ＝A 1O →－AO → ＝A 1O →＋OA → ＝A 1A →．(2)∵E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→， ∴OE →＝OD →＋DE → ＝12BD →＋23DD 1→ ＝12(BA →＋BC →)＋23AA 1→ ＝12BA →＋12BC →＋23AA 1→ ＝－12AB →＋12AD →＋23AA 1→，∴EO →＝－OE →＝12AB →－12AD →－23AA 1→． 又EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23．课时分层作业(三) 空间向量的坐标与空间直角坐标系(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2)D ．(2,1，－3)A [b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．]2．与A (3,4,5)，B (－2,3,0)两点距离相等的点M (x ，y ，z )满足的条件是( ) A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0 B ．5x －y ＋5z －37＝0 C ．10x －y ＋10z ＋37＝0D ．10x －2y ＋10z ＋37＝0A [由|MA |＝|MB |，得(x －3)2＋(y －4)2＋(z －5)2＝(x ＋2)2＋(y －3)2＋z 2，化简得10x ＋2y ＋10z －37＝0，故选A ．]3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( ) A ．－6 B ．－23 C ．23 D ．14C [由题意得a ＋2b ＝(2＋2k,5)，且a －b ＝(2－k,2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝23．]4．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255C [由cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|＝2－λ＋45＋λ2·9＝89，解得λ＝－2或λ＝255．]5．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)，则|AB |的最小值为( ) A ．33 B ．3 6 C ．23 D ．2 6 B [|AB →|＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2＝5a 2＋10a ＋59 ＝5(a ＋1)2＋54，当a ＝－1时，|AB →|min ＝54＝36．]二、填空题6．已知a ＝(1，x,3)，b ＝(－2,4，y )，若a ∥b ，则x －y ＝________． 4 [∵a ∥b ，∴b ＝λa ． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－2，x λ＝4，3λ＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，x ＝－2，y ＝－6.∴x －y ＝4．]7．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________．2π3 [(2a ＋b )·c ＝2a·c ＋b·c ＝－10， 又a·c ＝4，∴b·c ＝－18，又|c |＝3，|b |＝12， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c|b|·|c|＝－12，∵〈b ，c 〉∈[0，π]，∴〈b ，c 〉＝2π3．]8．在空间直角坐标系中，以O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．6＋23 [S △AOC ＝S △BOC ＝S △AOB ＝12×2×2＝2，S △ABC ＝34×|AB |2＝34×8＝23， 故三棱锥的表面积S ＝6＋23．] 三、解答题9．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，求λ的值．[解] ∵OA →＝(1,0,0)，OB →＝(0，－1,1)， ∴OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， ∴(OA →＋λOB →)·OB →＝λ＋λ＝2λ， 又|OA →＋λOB →|＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2，|OB→|＝2． ∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12，∴λ2＝16，又2λ2·1＋2λ2＜0，即λ＜0，∴λ＝－66．10．(1)已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，求x ，y 的值． (2)求与向量(－3，－4,5)共线的单位向量． [解] (1)因为a ∥b ，所以存在实数λ，使a ＝λb ， 所以(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝3λ，4＝λx ，5＝λy ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，x ＝6，y ＝152.(2)向量(－3，－4,5)的模为(－3)2＋(－4)2＋52＝52，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量为±152·(－3，－4,5)＝±210(－3，－4,5)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫3210，225，－22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－225，22．11．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形C [AB →＝(3,4，－8)，AC →＝(5,1，－7)， BC →＝(2，－3,1)， ∴|AB →|＝32＋42＋82＝89， |AC →|＝52＋12＋72＝75， |BC →|＝22＋32＋12＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝75＋14＝89＝|AB →|2． ∴△ABC 为直角三角形．]12．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°C [a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a·c|a||c|＝－12，〈a ，c 〉＝120°．] 13．(一题两空)已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，O (0，0,0)，点Q 在直线OP 上运动，QA →·QB →的最小值为________，此时点Q 的坐标为________．－23⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 [设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)， 故Q (λ，λ，2λ)，∴QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， ∴QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，∴QA →·QB →的最小值为－23，此时λ＝43，Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83．]14．若AB →＝(－4,6，－1)，AC →＝(4,3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →，a ⊥AC →，则a ＝________．⎝ ⎛⎭⎪⎫313，413，1213或⎝ ⎛⎭⎪⎫－313，－413，－1213 [设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，|a |＝1，代入坐标可解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝313，y ＝413，z ＝1213，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313，y ＝－413，z ＝－1213.]15．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ABC 和平面A 1B 1C 1为正三角形，所有的棱长都是2，M 是BC 边的中点，则在棱CC 1上是否存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°？[解] 以A 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ．由题意知A (0,0,0)，C (0,2,0)，B (3，1,0)，B 1(3，1,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0．又点N 在CC 1上， 可设N (0,2，m )(0≤m ≤2)，则AB 1→＝(3，1,2)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，m ，所以|AB 1→|＝22，|MN →|＝m 2＋1，AB 1→·MN →＝2m －1．如果异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°，那么向量AB 1→和MN →的夹角等于45°或135°．又cos 〈AB 1→，MN →〉＝AB 1→·MN →|AB 1→||MN →|＝2m －122×m 2＋1．所以2m －122×m 2＋1＝±22，解得m ＝－34，这与0≤m ≤2矛盾．所以在CC 1上不存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°．课时分层作业(四) 空间中的点、直线与空间向量(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知点A (2,3,4)，B (1,2,1)，BC →＝3OA →，且O 为坐标原点，则C 点的坐标为( )A ．(6,8,9)B ．(6,9,12)C ．(7,11,13)D ．(－7，－11，－13)C [设C (x ，y ，z )，则BC →＝(x －1，y －2，z －1)，OA →＝(2,3,4)，∴3OA →＝(6,9,12)， 由BC →＝3OA →， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝6，y －2＝9，z －1＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝11，z ＝13，∴C (7,11,13)．]2．已知空间向量a ＝(－1,0,3)，b ＝(3，－2，x )，若a ⊥b ，则实数x 的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 C [向量a ＝(－1,0,3)，b ＝(3，－2，x )，若a ⊥b ，则－1×3＋0×(－2)＋3x ＝0， 解得x ＝1．故选C ．]3．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面 ( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交C [因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz ．] 4．设向量a ＝(2,2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，－12，1，(0°＜α＜180°)，若a ⊥b ，则角α＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°B [∵向量a ＝(2,2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，－12，1，(0°＜α＜180°)，a ⊥b ，∴a ·b ＝2cos α－1＝0，∴cos α＝12， ∵0°＜α＜180°， ∴角α＝60°．故选B ．]5．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于( )A ．155B ．105C ．45D ．23A [以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则F (1，0,0)，D 1(0,0,2)，O (1,1,0)，E (0,2,1)，则OE →＝(－1,1,1)，FD 1→＝(－1,0,2)，∴|OE →|＝3，|FD 1→|＝5，OE →·FD 1→＝3， ∴cos 〈OE →，FD 1→〉＝OE →·FD 1→|OE →||FD 1→|＝33·5＝155．]二、填空题6．已知点A (1,1，－4)，B (2，－4,2)，C 为线段AB 上的一点，且AC →＝12AB →，则C 点坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，－1 [设C (x ，y ，z )，AC →＝(x －1，y －1，z ＋4)，AB →＝(1，－5,6)， 由AC →＝12AB →得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝12，y －1＝－52，z ＋4＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－32，z ＝－1.∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，－1．]7．已知A (0，y,3)，B (－1，－2，z )，若直线l 的方向向量v ＝(2,1,3)与直线AB 的方向向量平行，则实数y ＋z 等于________．0 [由题意，得AB →＝(－1，－2－y ，z －3)，则－12＝－2－y 1＝z －33，解得y ＝－32，z ＝32，所以y ＋z ＝0．]8．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，高为2，M ，N 分别是四边形BB 1C 1C 和正方形A 1B 1C 1D 1的中心，则向量BM →与DN →的夹角的余弦值是________．71030[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B(1,1,0)，M⎝⎛⎭⎪⎫12，1，1，D(0,0,0)，N⎝⎛⎭⎪⎫12，12，2，BM→＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，0，1，DN→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，2，设向量BM→与DN→的夹角为θ，则cos θ＝BM→·DN→|BM→|·|DN→|＝7454·184＝71030．故向量BM→与DN→的夹角的余弦值为71030．]三、解答题9．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．[证明]如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)， 于是MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12， DA 1→＝(1,0,1)．得DA 1→＝2MN →，∴DA 1→∥MN →，∴DA 1∥MN ． 而MN ⊄平面A 1BD ，DA 1⊂平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD ．10．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 是A 1B 1的中点．(1)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (2)求证：A 1B ⊥C 1M ．[解] (1)以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， ∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→|·|CB 1→|＝36·5＝3010．(2)证明：A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C 1(0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0， 又A 1B →·C 1M →＝0， ∴A 1B ⊥C 1M ．11．(多选题)已知空间向量a ，b ，a ⊥b ，a ＝(1,3,5)，则b 的坐标可以是( ) A ．(5,0，－1) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，3，－75 C ．(5，－3，－1)D ．(8，－1，－1)ABD [a ＝(1,3,5)，a ⊥b ，∴a ·b ＝0．在A 中，a ·b ＝(1,3,5)·(5,0，－1)＝1×5＋3×0＋5×(－1)＝0，A 正确． 在B 中，a ·b ＝(1,3,5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，3，－75＝1×(－2)＋3×3＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝0，B 正确． 在C 中，a ·b ＝(1,3,5)·(5，－3，－1)＝1×5＋3×(－3)＋5×(－1)＝－9≠0，C 错误．在D 中，a ·b ＝(1,3,5)·(8，－1，－1)＝1×8＋3×(－1)＋5×(－1)＝0，D 正确．] 12．向量a ＝(1,2，x )，b ＝(－2，y,4)，若a ∥b ，则x －y ＝( ) A ．4B ．2C ．1D ．12B [向量a ＝(1,2，x )，b ＝(－2，y,4)， 若a ∥b ，则1－2＝2y ＝x 4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4，x ＝－2.所以x －y ＝－2－(－4)＝2．]13．(一题两空)已知向量a ＝(1,0，－1)，b ＝(1,1,0)，则|a |＝________；向量a 与b 的夹角是________．2 60° [向量a ＝(1,0，－1)，b ＝(1,1,0)， 则|a |＝12＋02＋(－1)2＝2；cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12， ∴向量a 与b 的夹角是60°．]14．设向量a ＝(1,2，λ)，b ＝(2,2，－1)，若cos 〈a ，b 〉＝49，则实数λ的值为________．－1227或2 [向量a ＝(1,2，λ)，b ＝(2,2，－1)， ∴a ·b ＝2＋4－λ＝6－λ， |a |＝1＋4＋λ2＝5＋λ2，|b |＝4＋4＋1＝3，若cos 〈a ，b 〉＝49，则a ·b |a |×|b |＝6－λ5＋λ2×3＝49，化简得7λ2＋108λ－244＝0，解得λ＝－1227或λ＝2， 则实数λ的值为－1227或2．]15．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，P A ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1，AD ＝AP ＝2，E 为PD 的中点．以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系O -xyz ．(1)求BE →的模；(2)求〈AE →，DC →〉，异面直线AE 与CD 所成的角； (3)设n ＝(1，p ，q )，满足n ⊥平面PCD ，求n 的坐标．[解] (1)由已知可得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)， ∵E 为PD 的中点，∴E (0,1,1)． ∴|BE →|＝(0－1)2＋(1－0)2＋(1－0)2＝3．(2)AE →＝(0,1,1)，DC →＝(1，－1,0)．∴cos 〈AE →，DC →〉＝AE →·CD →|AE →|·|CD →|＝－12·2＝－12，∵〈AE →，DC →〉∈[0，π]， ∴〈AE →，DC →〉＝2π3，即异面直线AE 与CD 所成的角为π3． (3)∵n ⊥平面PCD ，∴n ⊥PD ，n ⊥CD ，又n ＝(1，p ，q )，PD →＝(0,2，－2)，CD →＝(－1,1,0)， ∴n ·PD →＝2p －2q ＝0，n ·CD →＝－1＋p ＝0， 解得p ＝1且q ＝1，即n ＝(1,1,1)．课时分层作业(五) 空间中的平面与空间向量(建议用时：40分钟)一、选择题1．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件AM →·n ＝0的点M 构成的图形是( )A ．圆B ．直线C ．平面D ．线段 C [M 构成的图形经过点A ，且是以n 为法向量的平面．]2．在菱形ABCD 中，若P A →是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )A ．P A →⊥AB → B ．P A →⊥CD →C ．PC →⊥BD →D ．PC →⊥AB →D [由题意知P A ⊥平面ABCD ，所以与平面上的线AB 、CD 都垂直，A 、B 正确．又因为菱形的对角线互相垂直，又AC 为PC 在平面ABCD 内的射影且AC ⊥BD ，由三垂线定理的逆定理知PC ⊥BD ，故C 正确．]3．设μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量，a ＝(－3,4,2)是直线l 的方向向量，则直线l 与平面α的位置关系是( )A ．平行或直线在平面内B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定A [∵μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量， a ＝(－3,4,2)是直线l 的方向向量，μ·a ＝－6＋8－2＝0，∴直线l 与平面α的位置关系是平行或直线在平面内．]4．平面α经过三点O (0,0,0)，A (2,2,0)，B (0,0,2)，则平面α的法向量可以是( ) A ．(1,0,1) B ．(1,0，－1) C ．(0,1,1)D ．(－1,1,0)D [∵平面α经过三点O (0,0,0)，A (2,2,0)，B (0,0,2)， ∴OA →＝(2,2,0)，OB →＝(0,0,2)， 设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·OA →＝2x ＋2y ＝0，n ·OB →＝2z ＝0，取x ＝－1，得n →＝(－1,1,0)，∴平面α的法向量可以是(－1,1,0)．]5．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A ．337，－157，4 B ．407，－157，4 C ．407，－2,4D ．4，407，－15B [∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4， 又BP ⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →， 则⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.]二、填空题6．已知直线l 的方向向量为s ＝(1,2，x )，平面α的法向量n ＝(－2，y,2)，若l ⊂α，则xy 的最大值为________．14 [由题意可得s ⊥n ，∴s ·n ＝－2＋2y ＋2x ＝0，可得x ＋y ＝1，取x ，y ＞0，则1≥2xy ，可得xy ≤14，当且仅当x ＝y ＝12时取等号．]7．在平面ABC 中，A (0,1,1)，B (1,2,1)，C (－1,0，－1)，若a ＝(－1，y ，z )，且a 为平面ABC 的法向量，则y ＋z ＝________．1 [AB →＝(1,1,0)，AC →＝(－1，－1，－2)， ∵a ＝(－1，y ，z )为平面ABC 的法向量， ∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0， ∴－1＋y ＝0,1－y －2z ＝0， 联立解得y ＝1，z ＝0，∴y ＋z ＝1．] 8．给出下列命题：①直线l 的方向向量为a ＝(1，－1,2)，直线m 的方向向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－12，则l 与m 垂直；②直线l 的方向向量a ＝(0,1，－1)，平面α的法向量n ＝(1，－1，－1)，则l ⊥α； ③平面α、β的法向量分别为n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)，则α∥β；④平面α经过三点A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)，向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量，则u ＋t ＝1．其中真命题的是________．(把你认为正确命题的序号都填上) ①④ [对于①，∵a ＝(1，－1,2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－12，∴a ·b ＝1×2－1×1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，∴a ⊥b ，∴直线l 与m 垂直，①正确； 对于②，a ＝(0,1，－1)，n ＝(1，－1，－1)， ∴a ·n ＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0， ∴a ⊥n ，∴l ∥α或l ⊂α，②错误；对于③，∵n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)， ∴n 1与n 2不共线， ∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)， ∴AB →＝(－1,1,1)，BC →＝(－1,1,0)， 向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量， ∴⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＋u ＋t ＝0，－1＋u ＝0，则u ＋t ＝1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．] 三、解答题9．如图所示，已知四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD ．求证：P A ⊥BD ．[证明] 如图，取BC 的中点O ，连接AO 交BD 于点E ，连接PO ．因为PB ＝PC ，所以PO ⊥BC ．又平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ， 所以PO ⊥平面ABCD ，所以AP 在平面ABCD 内的射影为AO ．在直角梯形ABCD 中， 由于AB ＝BC ＝2CD ， 易知Rt △ABO ≌Rt △BCD ，所以∠BEO ＝∠OAB ＋∠DBA ＝∠DBC ＋∠DBA ＝90°，即AO ⊥BD ． 由三垂线定理，得P A ⊥BD ．10．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：AM ⊥平面BDF ．[证明] 以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，F (2，2，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1．所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，DF →＝(0，2，1)，BD →＝(2，－2，0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的法向量， 则n ⊥BD →，n ⊥DF →， 所以⎩⎨⎧n ·BD →＝2x －2y ＝0，n ·DF →＝2y ＋z ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，z ＝－2y ，取y ＝1，得x ＝1，z ＝－2， 则n ＝(1,1，－2)．因为AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，所以n ＝－2AM →，得n 与AM →共线． 所以AM ⊥平面BDF ．11．(多选题)已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点中，在平面α内的是( )A ．(2,3,3)B ．(1,1,3)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，103D ．(2,2,3)AB [设平面α内一点P (x ，y ，z )，则MP →＝(x －1，y ＋1，z －2)． ∵n ＝(6，－3,6)是平面的法向量，∴n ⊥MP →，n ·MP →＝6(x －1)－3(y ＋1)＋6(z －2)＝6x －3y ＋6z －21． ∴由n ·MP →＝0得6x －3y ＋6z －21＝0． 把各选项代入上式可知A 、B 适合．]12．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )A ．(1，－2,4)B ．(－4,1，－2)C ．(2，－2,1)D ．(1,2，－2)B [设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1． 故AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1．又⎩⎨⎧AE →·n ＝0，AF→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12z ＝0，－12x ＋z ＝0，所以⎩⎨⎧y ＝－12z ，x ＝2z .当z ＝－2时，n ＝(－4,1，－2)．]13．(一题两空)设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为____________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为____________．α⊥β α∥β [∵u ，v 分别为平面α，β的法向量且u ＝(－2,2,5)， 当v ＝(3，－2,2)时，u·v ＝－6－4＋10＝0， ∴u ⊥v ，即α⊥β；当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2μ，∴u ∥v ，即α∥β．]14．如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系________．垂直 [以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12．平面PBC 的一个法向量n ＝(0,1,1)， ∵EF →＝－12n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面PBC ．]15．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，∠ABC ＝∠P AD ＝90°，侧面P AD ⊥底面ABCD ．若P A ＝AB ＝BC ＝12AD ．(1)求证：CD ⊥平面P AC ；(2)侧棱P A 上是否存在点E ，使得BE ∥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由．[解] 因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD ．又因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，且侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，所以P A ⊥底面ABCD ．又因为∠BAD ＝90°，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)． (1)AP →＝(0,0,1)，AC →＝(1,1,0)，CD →＝(－1,1,0)， 可得AP →·CD →＝0，AC →·CD →＝0， 所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD ．又因为AP ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC ．(2)设侧棱P A 的中点是E ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12．设平面PCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·CD →＝0，n ·PD →＝0，因为CD →＝(－1,1,0)，PD →＝(0,2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,2)． 所以n ·BE →＝(1,1,2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12＝0，所以n ⊥BE →． 因为BE ⊄平面PCD ，所以BE ∥平面PCD ． 综上所述，当E 为P A 的中点时，BE ∥平面PCD ．课时分层作业(六) 直线与平面的夹角(建议用时：40分钟)一、选择题1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线AD 与平面A 1BC 1所成角正弦值为( ) A ．12 B ．32 C ．33 D ．63C [如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(1,1,1)，DA →＝(1,0,0)，设直线AD 与平面A 1BC 1所成角为θ，∴sin θ＝|cos 〈n ，DA →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DA →|n |·|DA →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11×3＝33．] 2．OA 、OB 、OC 是由点O 出发的三条射线，两两夹角为60°，则OC 与平面OAB 所成角的余弦值为( )A ．13B ．33C ．12D ．32B [设OC 与平面OAB 所成的角为θ，则cos 60°＝cos θ·cos 30°，∴cos θ＝33．] 3．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，若该长方体的体积为82，则直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A [∵在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，该长方体的体积为82，∴2×2×AA 1＝82，解得AA 1＝22，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A (2,0,0)，C 1(0,2,22)，AC 1→＝(－2,2,22)， 平面BB 1C 1C 的法向量n ＝(0,1,0)， 设直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为θ， sin θ＝|n ·AC 1→||n |·|AC 1→|＝24＝12，∴θ＝30°，∴直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°．故选A ．]4．在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12P A ，点O 是AC 的中点，OP ⊥底面ABC ．现以点O 为原点，OA 、OB 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．则直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A ．21030 B ．3030 C ．69030D ．87030A [因为OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ，所以OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP ．设AB ＝2a ，则P A ＝22a ，OP ＝7a ，A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P (0,0，7a )．∴P A →＝(a,0，－7a )，PB →＝(0，a ，－7a )，BC →＝(－a ，－a,0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎨⎧n ·PB →＝0n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ay －7az ＝0－ax －ay ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝－77，所以平面PBC 的一个法向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，－77，所以cos 〈P A →，n 〉＝P A →·n |P A →||n |＝21030，所以P A 与平面PBC 所成角的正弦值为21030．] 5．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为( )A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π2A [以C 为原点，在平面ABC 中过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (3，1,0)，A 1(3，1,3)，B 1(0,2,3)，C 1(0,0,3)， AA 1→＝(0,0,3)，AB 1→＝(－3，1,3)，AC 1→＝(－3，－1,3)， 设平面AB 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·AB 1→＝－3x ＋y ＋3z ＝0，n ·AC 1→＝－3x －y ＋3z ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，0,1)， 设AA 1与平面AB 1C 1所成的角θ， 则sin θ＝|AA 1→·n ||AA 1→|·|n |＝334＝12，∴θ＝π6．∴AA 1与平面AB 1C 1所成的角为π6．故选A ．] 二、填空题6．等腰Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，若AC 与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成的角为________．45° [作CO ⊥α，O 为垂足，连接AO ，MO ，则∠CAO ＝30°，∠CMO 为CM 与α所成的角．在Rt △AOC 中，设CO ＝1，则AC ＝2．在等腰Rt △ABC 中，由AC ＝2得CM ＝2．在Rt △CMO 中，sin ∠CMO ＝CO CM ＝12＝22．∴∠CMO ＝45°．]7．如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面A 1B 1CD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 和四边形A 1B 1CD 都是正方形，则直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角的正切值是________．2 [以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则B (1,1,0)，D 1(－1，0,1)，BD 1→＝(－2，－1,1)，平面A 1B 1CD 的法向量n ＝(1,0,0)， 设直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角为θ， 则sin θ＝|BD 1→·n ||BD 1→|·|n |＝26，∴cos θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫262＝26，∴直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角的正切值是tan θ＝sin θcos θ＝2．]8．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于________．23 [如图，设A 1在平面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，OA ，OA 1分别为x 轴、z 轴，过O 作OA 的垂线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．设△ABC 边长为1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，0，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，63，。