北师大数学选修课时分层作业1 命 题 含解析

学业分层测评(一)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．为了考查两个变量和之间的线性相关性，甲、乙两名同学各自独立地做了次试验和次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为和.已知两个人在试验中发现对变量的观测数据的平均数都为，对变量的观测数据的平均数都为，那么下列说法中正确的是( )．直线和都过点(，)．直线和相交，但交点不一定是(，)．直线和必平行．直线和必重合【解析】线性回归方程＝＋恒过点(，)，故直线和都过点(，)．【答案】．已知人的年龄与人体脂肪含量的百分数的回归方程为＝－，如果某人岁，那么这个人的脂肪含量( )．一定是．在附近的可能性比较大．无任何参考数据．以上解释都无道理【解析】将＝代入回归方程得＝×－≈.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在附近的可能性较大，故选．【答案】．关于回归分析，下列说法错误的是( )．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法．线性相关系数可以是正的或负的．回归模型中一定存在随机误差．散点图反映变量间的确定关系【解析】用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差，故错误．【答案】．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组试验数据如下表：) ．＝－．＝．＝．＝(－)【解析】代入检验，当取相应的值时，所得值与已知数据差的平方和最小的便是拟合程度最高的．【答案】．在一组样本数据(，)，(，)，…，(，)(≥，，，…，不全相等)的散点图中，若所有样本点(，)(＝，…，)都在直线＝＋上，则这组样本数据的样本相关系数为( )．－．．．【解析】所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为，故选．【答案】二、填空题．回归分析是处理变量之间关系的一种数量统计方法．【解析】回归分析是处理变量之间相关关系的一种数量统计方法．【答案】相关．已知某个样本点中的变量，线性相关，相关系数＜，则在以(，)为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第象限．【解析】∵＜时＜，∴大多数点落在第二、四象限．【答案】二、四．某中学期中考试后，对成绩进行分析，从某班中选出名学生的总成绩和外语成绩如下表：【解析】∵＝＝，。

第一章DIYIZHANG 常用逻辑用语§1 命 题课后篇巩固提升①三角形内角和等于180°;②2>3;③一个数不是正数就是负数;④x>2;⑤这座山真险啊!A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤A.若sin x<12,则x<π6B.若x≥π6,则sin x≥12C.若x<π6,则sin x<12D.若sin x≤12,则x≤π6A.m<2B.m<4C.m>2D.m>4,可知m<4的范围要比题干中m 的范围大,所以取m<4,故选B.A.若log 2x<2,则0<x<4B.若a 与b 共线,则a 与b 的夹角为0°C.已知各项都不为零的数列{a n }满足a n+1-2a n =0,则该数列为等比数列D.点(π,0)是函数y=sin x 图像上一点A.[-3,+∞)B.(-3,+∞)C.(-∞,-3]D.(-∞,-3)-3}.)A=60°,B=30°时,sin2A=sin120°=√32,sin2B=sin60°=√32,此时sin2A=sin2B,但A 与B 不相等.故A=60°,B=30°.Δ=(a -1)2-4≤0,即-1≤a≤3.(1)若x≥10,则2x+1>20;(2)如果两圆外切,那么两圆圆心距等于两圆半径之和;(3)在整数中,奇数不能被2整除.ax 2-2ax-3>0不成立,所以ax 2-2ax-3≤0恒成立.(1)当a=0时,-3≤0成立.(2)当a≠0时,应满足{a <0,Δ≤0,解得-3≤a<0. 由(1)(2)得a 的取值范围为[-3,0].。

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝sin x ，当x 从变到时，函数值的改变量Δy ＝( )π6π2A ．－ B. C. D.1212π332【解析】　Δy ＝f －f ＝sin －sin ＝1－＝.(π2)(π6)π2π61212【答案】　B2．在曲线y ＝x 2＋1上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则＝( )ΔyΔx A ．Δx ＋B ．Δx －－21Δx ＋21Δx C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx【解析】　Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝(Δx )2＋2Δx ，∴＝Δx ＋2.ΔyΔx 【答案】　C3．函数f (x )＝－，在2到2＋Δx 之间的平均变化率为( )2x A ．－B ．－2Δx12＋ΔxC.D ．12＋Δx22＋Δx 【解析】　＝＝.f (2＋Δx )－f (2)(2＋Δx )－2－22＋Δx ＋1Δx12＋Δx 【答案】　C4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝t 2，则t ＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )18A ．2B ．1C.D ．1214【解析】　因为Δs ＝(2＋Δt )2－×22＝Δt ＋(Δt )2，所以＝＋Δt ，当Δt18181218ΔsΔt 1218趋于0时，＋Δt 趋于，因此t ＝2时，木块在水平方向瞬时速度为.12181212【答案】　C5．水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像相对应的一项是( )A ．①②③④B ．②①③④C ．②①④③D ．②④①③【解析】　以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像④适合上述变化情况．故应选C.【答案】　C 二、填空题6．函数f (x )＝ln x ＋1从e 到e 2的平均变化率为________．【解析】　Δy ＝f (e 2)－f (e)＝(ln e 2＋1)－(ln e ＋1)＝1，Δx ＝e 2－e ，∴＝.Δy Δx 1e2－e 【答案】　1e2－e7．质点按规律s (t )＝at ＋1运动，若在t ＝2时刻的瞬时速度为，则a 的值为12________．【解析】　由＝a ，得a ＝.s (2＋Δt )－s (2)Δt12【答案】　128．质点的运动方程是s (t )＝，则质点在t ＝2时的速度为________.1t 2【导学号：63470057】【解析】　＝＝ΔsΔt s (2＋Δt )－s (2)Δt1(2＋Δt )2－14Δt ＝－，当Δt 趋于0时，＝－.4＋Δt4(2＋Δt )2Δs Δt 14【答案】　－14三、解答题9．如果一个质点从定点A 开始运动，时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3，当t 1＝4，且Δt ＝0.01时，求：(1)Δy ；(2).ΔyΔt 【解】　(1)∵Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝(t 1＋Δt )3＋3－(t ＋3)31＝3t Δt ＋3t 1(Δt )2＋(Δt )3.21∴当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝3×42×0.01＋3×4×0.012＋0.013＝0.481 201.(2)∵＝Δy Δt 3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3Δt＝3t ＋3t 1·Δt ＋(Δt )2.21∴当t 1＝4，Δt ＝0.01时，＝3×42＋3×4×0.01＋0.012＝48.120 1.ΔyΔx 10．设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)的函数关系为h (t )＝－5t 2＋6t ＋10.(1)求该运动员从时间t ＝1到时间t ＝3的平均速度；(2)求该运动员在时间t ＝1处的瞬时速度．【解】　(1)由h (t )＝－5t 2＋6t ＋10，得该运动员从时间t ＝1到时间t ＝3的平均速度；＝＝－14.ΔhΔt h (3)－h (1)3－1故该运动员从时间t ＝1到时间t ＝3的平均速度为－14 m/s ；(2)∵＝Δh Δt h (1＋Δt )－h (1)Δt＝[－5(1＋Δt )2＋6(1＋Δt )＋10]－(－5×12＋6×1＋10)Δt＝－5(Δt )2－4(Δt )Δt＝－5·Δt －4，∴当Δt 趋于0时，趋于－4，ΔhΔt 即该运动员在时间t ＝1处的瞬时速度为－4 m/s.能力提升]1．一物体作直线运动，其运动方程为s ＝3t －t 2，其中位移s 单位为米，时间t 的单位为秒，那么该物体的初速度为( )A ．0米/秒B ．－2米/秒C ．3米/秒D ．3－2t 米/秒【解析】　物体的初速度就是t ＝0时的瞬时速度．＝＝＝3－Δx .ΔyΔx s (0＋Δx )－s (0)Δx3Δx －(Δx )2Δx当Δx →0时，3－Δx →3，∴物体初速度为3米/秒．【答案】　C2．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，若函数在x 0处的瞬时变化率为0，则点P 的坐标为( )A ．(1,10)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－1,10)【解析】　Δy ＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )＋1－3x －6x 0－1＝6x 0·Δx ＋3(Δx )202＋6Δx ，∴＝6x 0＋3Δx ＋6，由题意，当Δx →0时，ΔyΔx →6x 0＋6＝0，∴x 0＝－1，∴y 0＝－2.ΔyΔx 【答案】　B3．经过研究，某个婴儿从出生到第24个月的体重变化如图3­1­1所示，那么该婴儿体重的平均变化率哪一年较大？________.(填“第一年”或“第二年”)【导学号：63470058】图3­1­1【解析】　由题图知，第一年该婴儿体重的平均变化率是＝0.625；第二年该婴儿体重的平均变11.25－3.7512－0化率是＝0.25.因为0.625>0.25，所以第一年该婴儿体重的平均变14.25－11.2524－12化率较大．【答案】　第一年4．路灯距地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上射影点C 沿某直线离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率．【解】　(1)如图所示，设人从C 点运动到B 点的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m，由于CD ∥BE ，则＝，AB AC BECD 即＝，所以y ＝f (x )＝x .yy ＋x 1.6814(2)84 m/min ＝1.4 m/s ，在0,10]内自变量的增量为x 2－x 1＝1.4×10－1.4×0＝14，f (x 2)－f (x 1)＝×14－×0＝.141472所以＝＝.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1721414即人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率为.14。

课时分层作业(一)(建议用时：40分钟)[根底达标练]一、选择题1．以下语句为命题的是( )A ．x －1＝0B ．2＋3＝8C ．你会说英语吗？D ．这是一棵大树B [A 中x 不确定，x －1＝0的真假无法判断；B 中2＋3＝8是命题，且是假命题；C 不是陈述句，故不是命题；D 中“大〞的标准不确定，无法判断真假．]2．命题“假设α＝π4，那么tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．假设α≠π4，那么tan α≠1 B ．假设α＝π4，那么tan α≠1 C ．假设tan α≠1，那么α≠π4D ．假设tan α≠1，那么α＝π4C [以否认的结论作条件、否认的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“假设α＝π4，那么tan α＝1”的逆否命题是“假设tan α≠1，那么α≠π4〞．] 3．命题“假设m ＝10，那么m 2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )A ．原命题、否命题B ．原命题、逆命题C ．原命题、逆否命题D ．逆命题、否命题C [因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．]4．“a 2＋b 2≠0”的含义是( )A ．a ，b 不全为0B ．a ，b 全不为0C ．a ，b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0A [假设a 2＋b 2≠0，那么a ≠0且b ≠0，或a ＝0且b ≠0，或a ≠0且b ＝0，即a ，b 不全为0，应选A.]5．在以下命题中，真命题是( )A ．“x ＝2时，x 2－3x ＋2＝0”的否命题B ．“假设b ＝3，那么b 2＝9”的逆命题C ．假设x ∈R ，那么x 2＋3＜0D ．“相似三角形的对应角相等〞的逆否命题D [“相似三角形的对应角相等〞是真命题，又因为原命题与逆否命题为等价命题，应选D.]二、填空题6．命题“假设m －1<x <m ＋1，那么1<x <2”的逆命题为真命题，那么m 的取值范围为________．[1，2] [逆命题为“假设1<x <2，那么m －1<x <m ＋1”．∵逆命题为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.∴m 的取值范围为[1，2]．] 7．把以下不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．假设函数f (x )＝3＋log 2x 的图像与g (x )的图像关于________对称，那么函数g (x )＝________．(填上你认为可以成为真命题的一种情况即可)x 轴 －3－log 2x (答案不唯一) [该题将函数的图像和性质与命题综合在一起，要综合利用各局部的知识．局部可能情况有：x 轴，－3－log 2x ；y 轴，3＋log 2(－x )；原点，－3－log 2(－x )；直线y ＝x ，2x －3等．]8．给定以下命题：①“假设k ＞0，那么方程x 2＋2x －k ＝0”有实数根；②假设a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ＞bd ；③对角线相等的四边形是矩形；④假设xy ＝0，那么x ，y 中至少有一个为0.其中真命题的序号是________．①②④ [①∵k ＞0，∴Δ＝4＋4k ＞0，故方程有实根，①为真命题；②，④易判断为真命题；③对角线相等的四边形有可能是梯形．]三、解答题9．将以下命题改写为“假设p ，那么q 〞的形式，并判断真假．(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图像关于原点对称．[解] (1)假设一个数是偶数，那么它能被2整除．真命题．(2)假设一个函数是奇函数，那么它的图像关于原点对称．真命题．10．分别写出以下命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断这四个命题的真假．(1)假设一个整数的末位数字是0，那么这个整数能被5整除；(2)四条边相等的四边形是正方形．[解] (1)逆命题：假设一个整数能被5整除，那么这个整数的末位数字是0；否命题：假设一个整数的末位数字不是0，那么这个整数不能被5整除；逆否命题：假设一个整数不能被5整除，那么这个整数的末位数字不是0.逆命题和否命题是假命题，原命题和逆否命题是真命题．(2)原命题可以改写成：假设一个四边形的四条边相等，那么它是正方形；逆命题：假设一个四边形是正方形，那么它的四条边相等；否命题：假设一个四边形的四条边不全相等，那么它不是正方形；逆否命题：假设一个四边形不是正方形，那么它的四条边不全相等．原命题和逆否命题是假命题，逆命题和否命题是真命题．[能力提升练]1．命题“假设x ＋y 是偶数，那么x ，y 都是偶数〞的逆否命题是( )A ．假设x ，y 都不是偶数，那么x ＋y 不是偶数B ．假设x ，y 不都是偶数，那么x ＋y 是偶数C ．假设x ，y 不都是偶数，那么x ＋y 不是偶数D ．假设x ，y 都不是偶数，那么x ＋y 是偶数C [“x ，y 都是偶数〞的否认为“x ，y 不都是偶数〞，“x ＋y 是偶数〞的否认是“x ＋y 不是偶数〞．应选C.]2．命题“假设x ≠3且x ≠2，那么x 2－5x ＋6≠0”的否命题是( )A ．假设x ＝3且x ＝2，那么x 2－5x ＋6＝0B ．假设x ≠3且x ≠2，那么x 2－5x ＋6＝0C ．假设x ＝3或x ＝2，那么x 2－5x ＋6＝0D ．假设x ＝3或x ＝2，那么x 2－5x ＋6≠0C [原命题的否命题为“x ＝3或x ＝2，那么x 2－5x ＋6＝0”．应选C.]3．给定以下命题：①假设a >0，那么方程ax 2＋2x ＝0有解；②“等腰三角形都相似〞的逆命题；③假设“x －32是有理数，那么x 是无理数〞的逆否命题； ④“假设a >1且b >1，那么a ＋b >2”的否命题．其中真命题的序号是________．① [①中方程有解，那么Δ＝4>0，∴命题为真；②中逆命题为“相似三角形都是等腰三角形〞为假命题；③中的逆否命题为“假设x 不是无理数，那么x －32不是有理数〞为假命题；④中否命题为“假设a ≤1或b ≤1，那么a ＋b ≤2”为假命题．]4．设a ，b ，c 是空间的三条直线，下面给出四个命题：①假设a ⊥b ，b ⊥c ，那么a ∥c ；②假设a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，那么a ，c 也是异面直线；③假设a 和b 相交，b 和c 相交，那么a 和c 也相交；④假设a 和b 共面，b 和c 共面，那么a 和c 也共面．其中真命题的个数是________．0 [∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，∴命题①不正确；∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确； ∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b 时，两平面内分别可以作出直线a 与c ，即直线a 与c 不一定共面，∴命题④不正确．综上所述，真命题的个数为0.]5．假设方程x 2＋2px －q ＝0(p ，q 是实数)没有实数根，那么p ＋q <14. (1)判断上述命题的真假，并说明理由；(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由．[解] (1)上述命题是真命题，由题意，得方程的判别式Δ＝4p 2＋4q <0，得q <－p 2，∴p ＋q <p －p 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫p －122＋14≤14， ∴p ＋q <14. (2)逆命题：如果p ，q 是实数，p ＋q <14，那么方程x 2＋2px －q ＝0没有实数根．逆命题是假命题，如当p ＝1，q ＝－1时，p ＋q <14，但原方程有实数根x ＝－1.。

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( )【导学号：63470045】A.y 218－x 218＝1 B ．x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1D ．y 28－x 28＝1【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)． ∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18. 故双曲线方程为x 218－y 218＝1. 【答案】 B2．若双曲线x 2＋ky 2＝1的离心率是2，则实数k 的值是( ) A ．－3 B ．13 C ．3D ．－13【解析】 双曲线x 2＋ky 2＝1可化为x 21＋y 21k＝1，故离心率e ＝1－1k 1＝2，解得k ＝－13.【答案】 D3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1 B ．y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1D ．x 28－y 24＝1【解析】由顶点在y轴上得该双曲线焦点位于y轴，排除A、D，B项，a＝2，b＝2，c＝22，∴2a＋2b＝2·2c符合题意．【答案】 B4．双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝()【导学号：63470046】A. 3 B．2 C．3 D．6【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±22x，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r，且r＝|32＋0|2＋4＝ 3.【答案】 A5．双曲线x2a2－y2b2＝1和椭圆x2m2＋y2b2＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解析】双曲线的离心率e1＝a2＋b2a，椭圆的离心率e2＝m2－b2m，由e1e2＝1得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2，故a2＋b2＝m2，因此三角形为直角三角形．【答案】 B二、填空题6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.【导学号：63470047】【解析】∵2a＝2,2b＝2－1m，∴－1m＝2，∴m＝－1 4.【答案】－1 47．若双曲线中心在原点，焦点在y 轴，离心率e ＝135，则其渐近线方程为________．【解析】 由于焦点在y 轴，则渐近线方程为y ＝±ab x . 而e ＝c a ＝135，则b 2a 2＝c 2a 2－1＝14425，b a ＝125， ∴渐近线方程为y ＝±512x . 【答案】 y ＝±512x8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作等边△MF 1F 2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为________．【解析】 如图，点N 为MF 2的中点，且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解．|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c . 又∵|NF 1|－|NF 2|＝2a ， 即3c －c ＝2a .∴e ＝ca ＝23－1＝3＋1. 【答案】 3＋1三、解答题9．求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(2)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程． 【解】 (1)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1和y 29－x 24＝1.(2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)， 将点(2，－2)代入双曲线方程， 得λ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.10．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．【解】 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， ∴渐近线方程为bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.能力提升]1．设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2 θ－y 2sin 2 θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 由根与系数的关系，得a ＋b ＝－tan θ，ab ＝0，则a ，b 中必有一个为0，另一个为－tan θ.不妨设A (0,0)，B (－tan θ，tan 2 θ)，则直线AB 的方程为y ＝－x tan θ.根据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为y ＝±x tan θ，显然直线AB 是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线没有公共点．【答案】 A2．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A.2B.3C.3＋12 D.5＋12【解析】 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，而k BF ＝－bc ，∴b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1，整理得b 2＝ac . ∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D. 【答案】 D3．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 面积为________.【导学号：63470048】【解析】 A (3,0)，F (5,0)，取过F 平行于渐近线y ＝43x 的直线，则方程为y ＝43(x －5)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －5)，x 29－y 216＝1，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215.∴△AFB 的面积S ＝12(5－3)×3215＝3215.【答案】 32154．已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A 、B 两点，试问A 、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长．【解】 双曲线方程可化为x 21－y 23＝1， c 2＝a 2＋b 2＝4，∴c ＝2. ∴F 2(2,0)，又l 的斜率为1. ∴直线l 的方程为y ＝x －2， 代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ∵x 1·x 2＝－72<0，∴A 、B 两点不位于双曲线的同一支上． ∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－72， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(－2)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝6.。

学业分层测评(十六)(建议用时：分钟)学业达标]一、选择题．函数()的定义域为开区间(，)，导函数′()在(，)内的图像如图--所示，则函数()在开区间(，)内极值点有( )图--．个．个．个．个【解析】＝′()的变号零点为极值点，不变号零点不是极值点，∴()在开区间(，)内有个极值点．【答案】．函数()＝＋－( )．有极小值，无极大值．无极小值，有极大值．无极小值，无极大值．有极小值，有极大值【解析】∵′()＝－＋，由′()＝得＝±.当∈(－)时′()>，∴()的单调递增区间为(－)；同理，()的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．∴当＝－时，函数有极小值－，当＝时，函数有极大值.【答案】．已知函数()＝＋＋(＋)＋没有极值，则实数的取值范围是( )．(－) ．－]．(－∞，－)∪(，＋∞) ．(－∞，－]∪，＋∞)【解析】′()＝＋＋＋，由题意可知′()＝没有实根或有两个相等实根，故Δ＝－(＋)≤，解得－≤≤，故选.【答案】．函数()＝＋＋的图像如图--所示，且()在＝与＝处取得极值，则()＋(－)的值一定( )图--．等于．大于．小于．小于或等于【解析】′()＝＋＋，由题意知，＝与＝是方程＋＋＝的两根，由图像知，＞且＋＜，∴－＜，∴＞.又()＋(－)＝，∴()＋(－)＞.【答案】．三次函数当＝时有极大值，当＝时有极小值，则此函数的解析式是( )．＝＋＋．＝－＋．＝－－．＝＋－【解析】设()＝＋＋＋(≠)，则()＝＋＋，由题意得′()＝′()＝，()＝，()＝，即(\\(＋＋＝，＋＋＝，＋＋＋＝，＋＋＋＝，))解得：＝，＝－，＝，＝.【答案】二、填空题．(·湛江高二检测)函数()＝－＋在＝处取得极小值．【解析】′()＝－＝(－)，令′()＝，得＝或＝；由′()＞，得＜或＞；由′()＜，得＜＜，∴()在＝处取得极小值．【答案】．函数()＝－＋的极大值为，那么＝.【导学号：】【解析】由′()＝－，知函数()的单调递增区间为(－∞，)和(，＋∞)，单调递减区间为()，故()在＝处取得极大值，故＝.【答案】．已知函数()＝－＋－在，＋]上不单调，则的取值范围是．【解析】由题意知′()＝－＋－＝＝－，由′()＝得函数()的两个极值点为，则只要这两个极值点有一个在区间(，＋)内，函数()在区间，＋]上就不单调，由<<＋或<<＋，得<<或<<.【答案】()∪()三、解答题．求下列函数的极值：()()＝－＋＋；()()＝.【解】()函数的定义域为，′()＝－＋＝(－).令′()>，可得>或<；。

学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．若函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，则 等于( )lim Δx →0f (1＋x )－f (1)x A ．2 B ．1C.D ．1214【解析】 ＝f ′(1)＝1.limΔx →0f (1＋x )－f (1)x 【答案】　B2．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b 【解析】　＝＝＝a ＋b Δx ，当x 趋于x 0，即ΔyΔx f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δxa Δx ＋b (Δx )2ΔxΔx 趋于0时，平均变化率趋于a ，∴f ′(x 0)＝a .【答案】　C3．如图3­2­2所示的是y ＝f (x )的图像，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )图3­2­2A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定【解析】　分别过A ，B 两点作曲线的切线，由切线的斜率知k B >k A ，∴f ′(x B )>f ′(x A )．故选B.【答案】　B4．设函数f (x )＝ax ＋b ，若f (1)＝f ′(1)＝2，则f (2)等于( )【导学号：63470061】A ．1B ．2C ．4D ．6【解析】　可得f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝ ＝ ＝a ，lim Δx →0[a (1＋Δx )＋b ]－(a ＋b )Δx lim Δx →0a ΔxΔx 又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，故a ＋b ＝2，即b ＝0，所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4.【答案】　C5．已知曲线f (x )＝－和点M (1，－2)，则曲线在点M 处的切线方程为( )2x A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4【解析】　＝＝，ΔyΔx －21＋Δx ＋21Δx 21＋Δx ∴当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.∴直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4.【答案】　C 二、填空题6．(2016·亳州高二检测)已知函数y ＝f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__________.【解析】　∵f (1)＝1＋2＝3，f ′(1)＝k ＝1，∴f (1)＋f ′(1)＝4.【答案】　47．(2016·蚌埠高二检测)曲线y ＝x 2上切线的倾斜角是30°的点的坐标为__________．【解析】　设切点横坐标为x 0，f ′(x 0)＝ ＝2x 0，lim Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx ∴2x 0＝tan 30°＝，∴x 0＝，∴y 0＝.3336112【答案】　(36，112)8．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于________.【导学号：63470062】【解析】　∵y ′＝ ＝ (2a ＋a Δx )＝2a .lim Δx →0a (1＋Δx )2－a ×12Δx limΔx →0∴可令2a ＝2，∴a ＝1.【答案】　1三、解答题9．已知函数f (x )＝Error!求f ′(1)·f ′(－1)的值．【解】　当x ＝1时，＝＝＝.ΔyΔx f (1＋Δx )－f (1)Δx1＋Δx －1Δx11＋Δx ＋1由导数的定义，得f ′(1)＝ ＝.limΔx →011＋Δx ＋112当x ＝－1时，＝ΔyΔx f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝＝Δx －2.1＋(－1＋Δx )2－1－(－1)2Δx由导数的定义，得f ′(－1)＝ (Δx －2)＝－2.limΔx →0所以f ′(1)·f ′(－1)＝×(－2)＝－1.1210．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．【解】　曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝f ′(1)＝ limΔx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx＝ (3Δx ＋2)＝2.limΔx →0∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.能力提升]1．曲线y ＝x 3＋6在点P (1,7)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－4B ．－3C ．4D ．10【解析】　＝ΔyΔx (1＋Δx )3＋6－(13＋6)Δx＝＝(Δx )2＋3Δx ＋3.3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx 当Δx →0时，→3.ΔyΔx ∴在(1,7)处的切线方程为y －7＝3(x －1)．令x ＝0得y ＝4.【答案】　C2．(2016·杭州高二检测)若直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点P (1,3)，则b 等于( )A ．3　B ．－3C ．5D ．－5【解析】　∵点P (1,3)既在直线上又在曲线上，∴3＝k ＋1，且3＝1＋a ＋b ，即k ＝2，a ＋b ＝2.根据导数的定义知y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ，∴3×12＋a ＝k ，∴a ＝－1，b ＝3.【答案】　A3．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为，则点P 横坐标的取值范围为________．[0，π4]【解析】　∵f ′(x )＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx ＝limΔx →0(2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx ＝ (Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2.limΔx →0∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－，12∴点P 横坐标的取值范围为.[－1，－12]【答案】　[－1，－12]4．过曲线y ＝x 2＋1上点P 的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标.【导学号：63470063】【解】　设切点P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ ＝2x 0.lim Δx →0(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx 所以过点P 的切线方程为：y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x ，20又此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点．由Error!得2x 2＋2x 0x ＋2－x ＝0.20即Δ＝4x －8(2－x )＝0.2020解得x 0＝，y 0＝.±23373所以点P 的坐标为或.(233，73)(－233，73)。

2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册课时分层作业1集合的概念与表示含解析课时分层作业（一)集合的概念与表示(建议用时：40分钟）一、选择题1．下列给出的对象中，不能构成集合的是（）A．有手机的人B．2019年高考中的数学难题C．所有有理数D．所有小于π的实数B[“难题"所描述的对象没有确定性,故选B.］2．已知集合A＝｛x∈N|－错误!≤x≤错误!}，则必有()A．－1∈A B．0∈AC．错误!∈A D．3∈AB[由于x∈N，故满足－5≤x≤错误!的数只有3个，即A＝｛0，1，2｝，于是0∈A，故选B。

］3．若a∈R，但a Q,则a可以是()A．3.14 B．－5C．错误!D．错误!D［由题意知，a是无理数，故选D。

］4．已知集合S＝错误!中的三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是(）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形D[由集合元素的互异性，知a，b，c互不相等．所以△ABC 一定不是等腰三角形，故选D。

]5．下列四个集合中，不同于另外三个集合的是（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!B[错误!的元素是x＝2，故选B。

］二、填空题6．能被2整除的所有正整数的集合,用描述法可表示为________．[答案]错误!7．集合错误!，用列举法可表示为________．错误!［由题意得,x－1是6的正约数，又6的正约数分别是1，2，3，6，所以x的值分别是2，3，4，7。

]8．已知集合A＝错误!，若4∈A，则实数a的值为_______．－2［因为4∈A，所以a2＝4或a＋2＝4，解得a＝±2，但当a＝2时，a2＝a＋2，集合A的元素不具有互异性,所以a＝－2。

］三、解答题9．已知A＝错误!，B＝错误!，(1）用列举法表示集合B；（2)试求集合B中所有元素之和．[解］(1)000010122024由上表可知B＝错误!.(2)集合B中所有元素之和为6。

课时分层作业(十七)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．若y ＝f (x )与y ＝g(x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( )A.⎠⎛a b[f (x )－g(x )]d x B.⎠⎛a b [g(x )－f (x )]d x C.⎠⎛a b |f (x )－g(x )|d x D.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b [f (x )－g (x )]dx C [当f (x )>g (x )时， 所求面积为⎠⎛a b[f (x )－g(x )]d x ；当f (x )≤g(x )时，所求面积为⎠⎛ab [g(x )－f (x )]d x .综上，所求面积为⎠⎛ab|f (x )－g(x )|d x .]2．由抛物线y ＝x 2介于(0,0)点及(2,4)点之间的一段弧绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( )A.45π B.165π C.85πD.325πD [V ＝π⎠⎛02(x 2)2d x ＝π5x 5⎪⎪⎪20＝325π.]3．如图，阴影部分的面积是( )A ．23B ．2－ 3C ．323D ．353C [S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2| 1－3＝323.]4．由xy ＝4，x ＝1，x ＝4，y ＝0围成的平面区域绕x 轴旋转所得的旋转体的体积是( )A ．6πB ．12πC ．24πD ．3πB [因为xy ＝4，所以y ＝4x ， V ＝π⎠⎛14y 2d x ＝π⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2d x＝16π⎠⎛14x －2d x ＝－16πx －1⎪⎪⎪41＝－16π⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝12π.]5．如图所示，平面直角坐标系xOy 中，阴影部分是由抛物线y ＝x 2及线段OA 围成的封闭图形，现在在△OAB 内随机的取一点P ，则P 点恰好落在阴影内的概率为( )A.23B.43C.49D.29D [由题得直线OA 的方程为y ＝2x ，所以图中阴影部分的面积为⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 32|0＝4－83＝43. S △AB O ＝12×3×4＝6.所以P 点恰好落在阴影内的概率为436＝29.] 二、填空题6．由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________．⎠⎛01(x －x 3)d x [画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1．因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 3)d x .]7．由曲线y ＝e x2，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的图形绕着x 轴旋转一周形成的几何体的体积是________．π(e －1) [体积V ＝π⎠⎛01e x d x ＝π(e －1)．]8．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________．163 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2，得其交点坐标为(4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x ⎪⎪⎪40＝23×8－12×16＋2×4＝163.]三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为274，求a 的值．[解] 由题图知方程f (x )＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x 1＝x 2＝0，于是b ＝0，所以f (x )＝x 2(x ＋a )，有274＝∫－a 0[0－(x 3＋ax 2)]d x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 44＋ax 33|－a 0＝a 412，所以a ＝±3.又－a >0⇒a <0，得a ＝－3.10．设两抛物线y ＝－x 2＋2x ，y ＝x 2所围成的图形为M ，求： (1)M 的面积；(2)将M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积． [解] 如图，M 为图中阴影部分．(1)图中M 的面积为 ⎠⎛01[(－x 2＋2x )－x 2]d x ＝⎠⎛01(－2x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x 3＋x 2⎪⎪⎪1＝13. (2)M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为π⎠⎛01[(－x 2＋2x )2－(x 2)2]d x ＝π⎠⎛01(－4x 3＋4x 2)d x＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 4＋43x 3⎪⎪⎪1＝π3.[能力提升练]1．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623C [∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1．如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图像和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分)，即S ＝4－2⎠⎛02x24d x ＝4－2·x 312| 20＝4－43＝83.] 2．已知过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝axB ．y ＝±axC ．y ＝－axD ．y ＝－5axA [显然，直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－2ax ，得交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2)，所以图形面积S ＝∫2a ＋k[kx －(x 2－2ax )]d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33| 2a ＋k 0 ＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33 ＝(2a ＋k )36.又因为S ＝92a 3，所以(2a ＋k )36＝92a 3，解得k ＝a ，所以直线l 的方程为y ＝ax .故选A .]3．一个半径为1的球可以看成是由曲线y ＝1－x 2与x 轴所围成区域(半圆)绕x 轴旋转一周得到的，则球的体积为________．4．由x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0，y ＝cos x 四条曲线所围成的封闭图形的面积为________．3 [根据余弦函数的对称性可得，直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为2∫π30cos x d x ＝2sin x |π30＝ 3.]5．已知曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求曲线C 的过点P 的切线l 与曲线C 围成的图形的面积．[解] 设切线l 与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，由于y ′＝6x 2－6x －2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧6x 20－6x 0－2＝y 0x 0－12，y 0＝2x 30－3x 20－2x 0＋1，解得x 0＝0，于是切线l 的斜率k ＝－2， 方程为y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝－2x ＋1．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，y ＝－2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故切线l 与曲线C 围成图形的面积为即所求面积为2732.。