高中数学课时分层作业1命题(含解析)新人教A版选修21

2020秋高中数学人教A版选修2-1学案：1.1.1命题含解析第一章常用逻辑用语德国伟大的诗人歌德,有一次在魏玛公园散步．当他走在一条仅能容一个人通过的小路上时，迎面走来了一位曾经把歌德的所有作品都贬得一文不值的文艺批评家．那位批评家站在歌德的对面，傲慢地说：“对一个傻子,我绝不让路．" “我却正好相反．"歌德边说边微笑着站到了一边．顿时，那位批评家满脸通红，羞得无地自容．这里反映的就是常用逻辑用语在现实生活中的应用．日常生活中,我们经常涉及一些逻辑上的问题．无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维，需要对一些命题进行判断和推理．因此，正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质．本章我们将学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用．学习目标1．了解命题的概念，会判断命题的真假．2．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．3．通过数学实例,了解逻辑联结词“且”“或"“非”的含义．4．能够正确地对含有一个量词的命题进行否定．5．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．6．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．本章重点命题及其关系；充分条件、必要条件、充要条件的意义;逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；全称量词与存在量词的应用．本章难点必要条件的含义;含有一个量词的全称命题和特称命题的否定．1。

1命题及其关系1。

1。

1命题自主预习·探新知情景引入中国古代伟大的逻辑学家公孙龙提出过一个命题:白马非马．对于一般人来说,“白马是马”就如同说“苹果是水果”一样清楚明白，怎么可能“白马非马”呢？孔子的六世孙孔穿，为了驳倒公孙龙的主张，找上门去辩论，结果公孙龙说：“如果白马是马，那么黑马也是马，因此就有白马是黑马，也就是说白等于黑．像你这样黑白不分，我不值得和你辩论．”孔穿几句话就败下阵来．公孙龙在这里正是运用了逻辑推理才将这个错误的命题“证明”了，它的破绽在哪里呢？新知导学命题及相关的概念（1)定义：用__语言、符号或式子__表达的,可以__判断真假__的陈述句．（2）分类:①真命题：判断为__真__的语句；②假命题:判断为__假__的语句．(3)形式:命题的结构形式是“__若p,则q__”，其中__p__是命题的条件，__q__是命题的结论．预习自测1．下列语句中,命题的个数是（C）①空集是任何集合的真子集；②请起立；③单位向量的模为1;④你是高二的学生吗?A．0B．1C．2D．3［解析］由命题的定义知，语句①③能判断真假,所以是命题，故选C．2．下列语句中是命题的是（D）A．两点确定一条直线吗？B．在线段AB上任取一点C．作∠A的平分线AMD．两个锐角的和大于直角［解析]两个锐角的和大于直角是一个假命题，A、B、C都不能判断真假．3．下列命题为假命题的是（C)A．log24＝2B．直线x＝0的倾斜角是错误!C．若｜a|＝｜b|,则a＝bD．若直线a⊥平面α，直线a⊥平面β,则α∥β［解析]由|a｜＝|b|得a与b的模相等,但方向不定,故a与b不一定相等，故选C．4．下列命题为真命题的是(A)A．若错误!＝错误!，则x＝y B．若x2＝1,则x＝1C．若x＝y，则错误!＝错误!D．若x〈y，则x2〈y2［解析]B中,若x2＝1,则x＝±1;C中,若x＝y<0,则x与错误!无意义；D中，若x＝－2,y＝－1，满足x〈y，但x2〉y2,故选A．5．把命题“函数f(x)＝sin x是奇函数”改写成“若p，则q”的形式是__若一个函数是f（x）＝sin x，则该函数是奇函数__。

课时分层作业(一)(建议用时：40分钟)[根底达标练]一、选择题1．以下语句为命题的是( )A ．x －1＝0B ．2＋3＝8C ．你会说英语吗？D ．这是一棵大树B [A 中x 不确定，x －1＝0的真假无法判断；B 中2＋3＝8是命题，且是假命题；C 不是陈述句，故不是命题；D 中“大〞的标准不确定，无法判断真假．]2．命题“假设α＝π4，那么tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．假设α≠π4，那么tan α≠1 B ．假设α＝π4，那么tan α≠1 C ．假设tan α≠1，那么α≠π4D ．假设tan α≠1，那么α＝π4C [以否认的结论作条件、否认的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“假设α＝π4，那么tan α＝1”的逆否命题是“假设tan α≠1，那么α≠π4〞．] 3．命题“假设m ＝10，那么m 2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )A ．原命题、否命题B ．原命题、逆命题C ．原命题、逆否命题D ．逆命题、否命题C [因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．]4．“a 2＋b 2≠0”的含义是( )A ．a ，b 不全为0B ．a ，b 全不为0C ．a ，b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0A [假设a 2＋b 2≠0，那么a ≠0且b ≠0，或a ＝0且b ≠0，或a ≠0且b ＝0，即a ，b 不全为0，应选A.]5．在以下命题中，真命题是( )A ．“x ＝2时，x 2－3x ＋2＝0”的否命题B ．“假设b ＝3，那么b 2＝9”的逆命题C ．假设x ∈R ，那么x 2＋3＜0D ．“相似三角形的对应角相等〞的逆否命题D [“相似三角形的对应角相等〞是真命题，又因为原命题与逆否命题为等价命题，应选D.]二、填空题6．命题“假设m －1<x <m ＋1，那么1<x <2”的逆命题为真命题，那么m 的取值范围为________．[1，2] [逆命题为“假设1<x <2，那么m －1<x <m ＋1”．∵逆命题为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.∴m 的取值范围为[1，2]．] 7．把以下不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．假设函数f (x )＝3＋log 2x 的图像与g (x )的图像关于________对称，那么函数g (x )＝________．(填上你认为可以成为真命题的一种情况即可)x 轴 －3－log 2x (答案不唯一) [该题将函数的图像和性质与命题综合在一起，要综合利用各局部的知识．局部可能情况有：x 轴，－3－log 2x ；y 轴，3＋log 2(－x )；原点，－3－log 2(－x )；直线y ＝x ，2x －3等．]8．给定以下命题：①“假设k ＞0，那么方程x 2＋2x －k ＝0”有实数根；②假设a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ＞bd ；③对角线相等的四边形是矩形；④假设xy ＝0，那么x ，y 中至少有一个为0.其中真命题的序号是________．①②④ [①∵k ＞0，∴Δ＝4＋4k ＞0，故方程有实根，①为真命题；②，④易判断为真命题；③对角线相等的四边形有可能是梯形．]三、解答题9．将以下命题改写为“假设p ，那么q 〞的形式，并判断真假．(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图像关于原点对称．[解] (1)假设一个数是偶数，那么它能被2整除．真命题．(2)假设一个函数是奇函数，那么它的图像关于原点对称．真命题．10．分别写出以下命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断这四个命题的真假．(1)假设一个整数的末位数字是0，那么这个整数能被5整除；(2)四条边相等的四边形是正方形．[解] (1)逆命题：假设一个整数能被5整除，那么这个整数的末位数字是0；否命题：假设一个整数的末位数字不是0，那么这个整数不能被5整除；逆否命题：假设一个整数不能被5整除，那么这个整数的末位数字不是0.逆命题和否命题是假命题，原命题和逆否命题是真命题．(2)原命题可以改写成：假设一个四边形的四条边相等，那么它是正方形；逆命题：假设一个四边形是正方形，那么它的四条边相等；否命题：假设一个四边形的四条边不全相等，那么它不是正方形；逆否命题：假设一个四边形不是正方形，那么它的四条边不全相等．原命题和逆否命题是假命题，逆命题和否命题是真命题．[能力提升练]1．命题“假设x ＋y 是偶数，那么x ，y 都是偶数〞的逆否命题是( )A ．假设x ，y 都不是偶数，那么x ＋y 不是偶数B ．假设x ，y 不都是偶数，那么x ＋y 是偶数C ．假设x ，y 不都是偶数，那么x ＋y 不是偶数D ．假设x ，y 都不是偶数，那么x ＋y 是偶数C [“x ，y 都是偶数〞的否认为“x ，y 不都是偶数〞，“x ＋y 是偶数〞的否认是“x ＋y 不是偶数〞．应选C.]2．命题“假设x ≠3且x ≠2，那么x 2－5x ＋6≠0”的否命题是( )A ．假设x ＝3且x ＝2，那么x 2－5x ＋6＝0B ．假设x ≠3且x ≠2，那么x 2－5x ＋6＝0C ．假设x ＝3或x ＝2，那么x 2－5x ＋6＝0D ．假设x ＝3或x ＝2，那么x 2－5x ＋6≠0C [原命题的否命题为“x ＝3或x ＝2，那么x 2－5x ＋6＝0”．应选C.]3．给定以下命题：①假设a >0，那么方程ax 2＋2x ＝0有解；②“等腰三角形都相似〞的逆命题；③假设“x －32是有理数，那么x 是无理数〞的逆否命题； ④“假设a >1且b >1，那么a ＋b >2”的否命题．其中真命题的序号是________．① [①中方程有解，那么Δ＝4>0，∴命题为真；②中逆命题为“相似三角形都是等腰三角形〞为假命题；③中的逆否命题为“假设x 不是无理数，那么x －32不是有理数〞为假命题；④中否命题为“假设a ≤1或b ≤1，那么a ＋b ≤2”为假命题．]4．设a ，b ，c 是空间的三条直线，下面给出四个命题：①假设a ⊥b ，b ⊥c ，那么a ∥c ；②假设a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，那么a ，c 也是异面直线；③假设a 和b 相交，b 和c 相交，那么a 和c 也相交；④假设a 和b 共面，b 和c 共面，那么a 和c 也共面．其中真命题的个数是________．0 [∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，∴命题①不正确；∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确； ∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b 时，两平面内分别可以作出直线a 与c ，即直线a 与c 不一定共面，∴命题④不正确．综上所述，真命题的个数为0.]5．假设方程x 2＋2px －q ＝0(p ，q 是实数)没有实数根，那么p ＋q <14. (1)判断上述命题的真假，并说明理由；(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由．[解] (1)上述命题是真命题，由题意，得方程的判别式Δ＝4p 2＋4q <0，得q <－p 2，∴p ＋q <p －p 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫p －122＋14≤14， ∴p ＋q <14. (2)逆命题：如果p ，q 是实数，p ＋q <14，那么方程x 2＋2px －q ＝0没有实数根．逆命题是假命题，如当p ＝1，q ＝－1时，p ＋q <14，但原方程有实数根x ＝－1.。

全册综合检测试题时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题每小题5分，共40分 1．下列命题为假命题的是( D ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|解析：A 中，任何复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，所以A 正确；B 中，由复数为零的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；C 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )，且z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|；反之，由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，故C 正确；D 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 1>z 2，则a 1>a 2，b 1＝b 2＝0，此时|z 1|>|z 2|；若|z 1|>|z 2|，z 1与z 2不一定能比较大小，所以D 错误．2．随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：餐费/元 6 7 8 人数102020这50A ．7.2,0.56 B ．7.2，0.56 C ．7,0.6 D ．7，0.6解析：根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是x ＝150×(6×10＋7×20＋8×20)＝7.2，方差是s 2＝150[10×(6－7.2)2＋20×(7－7.2)2＋20×(8－7.2)2]＝150(14.4＋0.8＋12.8)＝0.56.3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( B ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面解析：当α内有无数条直线与β平行，也可能两平面相交，故A 错．同样当α，β平行于同一条直线或α，β垂直于同一平面时，两平面也可能相交，故C ，D 错．由面面平行的判定定理可得B 正确．4．如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则CC 1与平面AB 1C 1所成的角为( A )A.π6B.π4 C.π3D.π2解析：如图，取B 1C 1中点为D ，连接AD ，A 1D ，因为侧棱垂直于底面，底边是边长为2的正三角形，所以三棱柱ABC ­A 1B 1C 1是正三棱柱，所以CC 1∥AA 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成的角即是CC 1与平面AB 1C 1所成的角，因为B 1C 1⊥A 1D ，B 1C 1⊥AA 1，所以B 1C 1⊥平面AA 1D ，所以平面AA 1D ⊥平面AB 1C 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成角为∠A 1AD ，因为AA 1＝3，A 1D ＝3，所以tan ∠A 1AD ＝A 1D AA 1＝33，所以∠A 1AD ＝π6，所以CC 1与平面AB 1C 1所成角为π6.5．正方形ABCD 的边长为2，点E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若AF →·AE →＝|AE →|2，则|AF →|＝( D )A ．3B ．5 C.32D.52解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立坐标系，如图所示，因为E 为BC 边的中点，所以E (2,1)，因为F 为CD 边上一点，所以可设F (t,2)(0≤t ≤2)，所以AF →＝(t,2)，AE →＝(2,1)，由AF →·AE →＝|AE →|2可得：2t ＋2＝22＋1＝5，所以t ＝32，所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2， 所以|AF →|＝322＋22＝52.6．已知点O 是△ABC 内部一点，并且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，△BOC 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，则S 1S 2＝( A )A.16B.13C.23D.34 解析：因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0，所以OA →＋OC →＝－2(OB →＋OC →)，如图，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，则 OA →＋OC →＝2OD →，OB →＋OC →＝2OE →， 所以OD →＝－2OE →，即O ，D ，E 三点共线且|OD →|＝2|OE →|， 则S △OBC ＝13S △DBC ，由于D 为AC 中点，所以S △DBC ＝12S △ABC ，所以S △OBC ＝16S △ABC ，即S 1S 2＝16.7．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( D )A.12B.13C.14D.16解析：记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意，事件A i ，B i ，C i (i ＝1,2,3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝6P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16.8．如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP →·BP →的取值X 围是( A )A ．[1,13]B ．(1,13)C ．(4,10)D ．[4,10]解析：取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA →＋CB →＝2CD →，所以AP →·BP →＝(CP →－CA →)·(CP →－CB →)＝CA →·CB →－2CD →·CP →＋1＝(23)2cos π3－2×3×1×cos〈CD →，CP →〉＋1＝7－6cos 〈CD →，CP →〉，所以当cos 〈CD →，CP →〉＝1时，AB →·BP →取得最小值为1；当cos 〈CD →，CP →〉＝－1时，AP →·BP→取得最大值为13，因此AP →·BP →的取值X 围是[1,13]．二、多项选择题每小题5分，共20分9．为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份某某通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2017年1月至2018年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( ABC ) A ．2017年各月的仓储指数最大值是在3月份 B ．2018年1月至7月的仓储指数的中位数约为55 C ．2018年1月与4月的仓储指数的平均数约为52D ．2017年1月至4月的仓储指数相对于2018年1月至4月，波动性更大解析：2017年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A 错误；由题图知，2018年1月至7月的仓储指数的中位数约为52，所以B 错误；2018年1月与4月的仓储指数的平均数约为51＋552＝53，所以C 错误；由题图可知，2017年1月至4月的仓储指数比2018年1月至4月的仓储指数波动更大．所以D 正确．10．已知数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个普通职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入x n ＋1，对于这(n ＋1)个数据，下列说法错误的是( ACD )A ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变解析：∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个普通职工的年收入，而x n ＋1为世界首富的年收入，则x n ＋1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，∴对于这(n ＋1)个数据，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程度受到x n ＋1比较大的影响，数据更加离散，则方差变大．故A 、C 、D 说法错误，符合题意．11．已知向量a ，e 满足a ≠e ，|e |＝1，且对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |成立，则( BC )A ．a ⊥eB ．a·e ＝1C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )解析：由条件可知|a －t e |2≥|a －e |2对t ∈R 恒成立，又∵|e |＝1，∴t 2－2t a ·e ＋2a ·e －1≥0对t ∈R 恒成立，即Δ＝(－2a ·e )2－8a ·e ＋4≤0恒成立，∴(a ·e －1)2≤0恒成立，而(a ·e －1)2≥0，∴a ·e －1＝0，即a ·e ＝1＝e 2，∴e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折到△A 1DE 的位置，A 1∉平面ABCD ，M 为A 1C 的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是( ABC )A ．恒有BM ∥平面A 1DEB ．B 与M 两点间距离恒为定值C ．三棱锥A 1­DEM 的体积的最大值为212D ．存在某个位置，使得平面A 1DE ⊥平面A 1CD解析：如图，取A 1D 的中点N ，连接MN ，EN ，可得四边形BMNE 是平行四边形，所以BM ∥EN ，所以BM ∥平面A 1DE ，故A 正确；(也可以延长DE ，CB 交于H ，可证明MB ∥A 1H ，从而证 BM ∥平面A 1DE ) 因为DN ＝12，DE ＝2，∠A 1DE ＝∠ADE ＝45°，根据余弦定理得EN 2＝14＋2－2×2×12×22，得EN ＝52， 因为EN ＝BM ，故BM ＝52，故B 正确； 因为M 为A 1C 的中点，所以三棱锥C ­A 1DE 的体积是三棱锥M ­A 1DE 的体积的两倍，故三棱锥C ­A 1DE 的体积VC ­A 1DE ＝VA 1­DEC ＝13S △CDE ·h ，其中h 表示A 1到底面ABCD 的距离，当平面A 1DE ⊥平面ABCD 时，h 达到最大值，此时VA 1­DEC 取到最大值26，所以三棱锥M ­A 1DE 体积的最大值为212，即三棱锥A 1­DEM 体积的最大值为212，故C 正确； 考察D 选项，假设平面A 1DE ⊥平面A 1CD ，因为平面A 1DE ∩平面A 1CD ＝A 1D ，A 1E ⊥A 1D ， 故A 1E ⊥平面A 1CD ，所以A 1E ⊥A 1C ， 则在△A 1CE 中，∠EA 1C ＝90°，A 1E ＝1，EC ＝2，所以A 1C ＝1，又因为A 1D ＝1，CD ＝2，所以A 1D ＋A 1C ＝CD ， 故A 1，C ，D 三点共线．所以A 1∈CD ，得A 1∈平面ABCD ，与题干条件A 1∉平面ABCD 矛盾，故D 不正确．故选ABC.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题每小题5分，共20分13．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若该校的学生总人数为 3 000，则成绩不超过60分的学生人数大约为900.解析：由题图知，成绩不超过60分的学生的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成绩不超过60分的学生人数大约为0.3×3 000＝900.14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是710. 解析：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，共有10种情况．若选出的2名学生恰有1名女生，有6种情况，若选出的2名学生都是女生，有1种情况，所以所求的概率为6＋110＝710.15．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝－3，b ＝－10. 解析：因为OC →＝2OA →＋OB →， 所以1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧1＝4＋a ，－4＝6＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－10.16．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，除平面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M ，则四棱锥M ­EFGH 的体积为23.解析：因为底面EFGH 的对角线EG 与FH 互相垂直， 所以S EFGH ＝12×EG ×FH ＝12×2×2＝2，又M 到底面EFGH 的距离等于棱长的一半， 即h ＝12×2＝1，所以四棱锥M ­EFGH 的体积：V M ­EFGH ＝13×S EFGH ×h ＝13×2×1＝23.四、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分17．(10分)某市举办法律知识问答活动，随机从该市18～68岁的人群中抽取了一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[18,28)，[28,38)，[38,48)，[48,58)，[58,68]，并绘制如图所示的频率分布直方图，再将其分别编号为第1组，第2组，…，第5组．该部门对回答问题的情况进行统计后，绘制了下表．组号 分组 回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组 [18,28) 5 0.5第2组 [28,38) 18 a第3组 [38,48) 270.9 第4组 [48,58) x0.36 第5组[58,68]30.2(1)分别求出a，x的值；(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组各应抽取多少人？(3)在(2)的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求第2组至少有1人获得幸运奖的概率．解：(1)第1组的人数为5÷0.5＝10，第1组的频率为0.010×10＝0.1，所以n＝10÷0.1＝100.第2组的频率为0.020×10＝0.2，人数为100×0.2＝20，所以a＝18÷20＝0.9.第4组的频率为0.025×10＝0.25，人数为100×0.25＝25，所以x＝25×0.36＝9.(2)第2,3,4组回答正确的人数的比为18279＝231，所以第2,3,4组每组各应抽取2人、3人、1人．(3)记“第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，设抽取的6人中，第2组的2人为a1，a2，第3组的3人为b1，b2，b3，第4组的1人为c，则从6人中任意抽取2人所有可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c)，(b2，b3)，(b2，c)，(b3，c)，共15种．其中第2组至少有1人获得幸运奖的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c)，共9种．故P(A)＝915＝35.所以抽取的6人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为35.18．(12分)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．(注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．解：(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因为样本量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.设抽取的5人分别为A ，B, C, D ，E ，其中A ，B 为男生，C, D ，E 为女生，从5人中任意选取2人，试验的样本空间Ω＝{(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E ) }，共10个样本点．事件“至少有一名男生”包含的样本点有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，共7个样本点，故至少有一名男生的概率为P ＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.19．(12分)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B .(1)求角C 大小；(2)若c ＝2，求3a ＋b 的取值X 围．解：(1)因为sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B ， 所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ab ＝－32，因为C ∈(0，π)，所以C ＝5π6. (2)由正弦定理得2R ＝csin C ＝4，所以3a ＋b ＝2R (3sin A ＋sin B ) ＝4[3sin A ＋sin(π6－A )]＝4(3sin A ＋12cos A －32sin A )＝4sin(A ＋π6)，因为A ∈(0，π6)，所以A ＋π6∈(π6，π3)，所以sin(A ＋π6)∈(12，32)，所以3a ＋b 的取值X 围是(2,23)．20．(12分)如图，A ，C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A 岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B 处．然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C 岛．(1)求A ，C 两岛之间的直线距离； (2)求∠BAC 的正弦值．解：(1)在△ABC 中，由已知，AB ＝10×5＝50，BC ＝10×3＝30，∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°.根据余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4 900，所以AC ＝70. 故A ，C 两岛之间的直线距离是70海里． (2)在△ABC 中，据正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，所以sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABC AC ＝30sin120°70＝3314， 故∠BAC 的正弦值是3314.21．(12分)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3.(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值． 解：(1)证明：连接BD，如图，易知AC∩BD＝H，BH＝DH，又BG＝PG，故GH∥PD，又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD.(2)证明：取棱PC的中点N，连接DN，如图，依题意，得DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA，又因为PA⊥CD，CD∩DN＝D，所以PA⊥平面PCD.(3)连接AN，如图，由(2)中DN⊥平面PAC，可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角．因为△PCD为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，所以DN＝3，又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝DNAD ＝33，所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33.22．(12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB ∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD＝4.(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；(2)求三棱锥P­ABC的体积；(3)在棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD？若存在，请确定点E的位置，并证明；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为AB∥CD，AB⊥AD，所以CD⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.(2)取AD的中点O，连接PO，如图．因为△PAD为正三角形，所以PO⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO为三棱锥P­ABC的高．因为△PAD为正三角形，CD＝2AB＝2AD＝4，所以PO＝3，所以V三棱锥P­ABC＝S△ABC·PO＝13×12×2×2×3＝233.(3)在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时，BE∥平面PAD.证明：如图，分别取CP，CD的中点E，F，连接BE，BF，EF，所以EF∥PD.因为AB∥CD，CD＝2AB，所以AB∥FD，AB＝FD，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BF∥AD. 因为BF∩EF＝F，AD∩PD＝D，所以平面BEF∥平面PAD.因为BE⊂平面BEF，所以BE∥平面PAD.。

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课时分层作业一命题（60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分）1.下列语句是命题的是 ( )A。

2020是一个大数B。

如果两直线平行,则这两条直线没有公共点C.对数函数是增函数吗?D。

a≤15【解析】选B.A,D不能判断真假,不是命题；B能够判断真假而且是陈述句,是命题；C是疑问句，不是命题。

2.下列命题中真命题的个数为( )①面积相等的三角形是全等三角形;②若xy=0，则｜x｜+｜y｜=0；③若a〉b,则a+c>b+c;④矩形的对角线互相垂直。

A。

1 B。

2 C.3 D。

4【解析】选A。

①是假命题；②中x=3,y=0,则xy=0，但｜x|+|y|≠0,故②是假命题;③是真命题；④中矩形的对角线相等，但不一定互相垂直，故④是假命题.3。

下列命题，是真命题的是（)A.如果ab=0，则a2+b2=0B.如果a〉b，则ac>bcC。

如果M∩N=M,则N⊆MD.如果M⊆N，则M∩N=M【解析】选D。

A中,a=0，b≠0或b=0,a≠0时，a2+b2=0不成立;B中，c≤0时不成立；C中，M∩N=M说明M⊆N.故A,B,C都错误，D正确。

4.下列命题为假命题的是( )A。

l og24=2B.直线x=0的倾斜角是C.若|a|=|b｜,则a=bD。

若直线a⊥平面α,直线a⊥平面β，则α∥β【解析】选C。

由｜a|=|b|只是得到a与b的模相等，但方向不确定，所以a与b不一定相等。

5。

对于△ABC,有如下命题：①若sin 2A=sin 2B，则△ABC为等腰三角形；②若sin B=cos A，则△ABC是直角三角形;③若sin2A+sin2B〉sin2C，则△ABC是钝角三角形;④若==，则△ABC是等边三角形，其中真命题的个数是（)A。

1 B。

2 C。

课时作业1 命题时刻：45分钟 分值：100分一、选择题(每题6分，共36分)1．以下语句是命题的是( )A ．偶函数的和是偶函数吗？B ．sin 45°＝ 3.C ．求证：两条相交直线必交于一点．D ．x 2－4x －3＝0.答案：B2．已知直线m ，n 及平面α，β，那么以下命题正确的选项是( )A . ⎭⎪⎬⎪⎫m∥αn∥β⇒α∥βB . ⎭⎪⎬⎪⎫m∥αm∥n ⇒n∥α C . ⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αα⊥β⇒m∥β D . ⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn∥α⇒m⊥n 解析：假设m ⊆β，n ⊆α，有可能α与β相交，应选项A 错；选项B 中，n 有可能在平面α内；选项C 中，m 有可能在平面β内．应选D .答案：D3．假设A 、B 是两个集合，那么以下命题中是真命题的是( )A ．若是A ⊆B ，那么A∩B＝AB ．若是A∩B＝A ，那么(∁U A)∩B＝ØC ．若是A ⊆B ，那么A∪B＝AD ．若是A∪B＝A ，那么A ⊆B图1解析：用集合的Venn 图处置此题，从图1可知，选项A 正确；选项B ，(∁U A)∩B≠Ø；选项C 中，A∪B ＝B.而选项D 应该是A ⊇B.答案：A4．以下命题是真命题的是( )A ．假设1x ＝1y，那么x ＝y B ．假设x 2＝1，那么x ＝1 C ．假设x ＝y ，那么x ＝y D ．假设x<y ，那么x 2<y 2解析：选项A ，由1x ＝1y，得x ＝y ；选项B ，由x 2＝1，得x ＝±1；选项C ，当x ＝y ＝－1时，x ，y 没成心义；选项D ，当x ＝－3，y ＝1时，x<y ，但x 2＝9>1＝y 2.应选A .答案：A5．给出以下三个命题：①四个非零实数a ，b ，c ，d 知足ad ＝bc ，那么a ，b ，c ，d 成等比数列；②假设整数a 能被2整除，那么a 是偶数；③△ABC 中，假设A>30°，那么sin A>12. 其中为假命题的序号是( ) A ．② B ．①②C ．②③D ．①③解析：①中，假设a ＝－1，b ＝52，c ＝2，d ＝－5知足ad ＝bc ，但a ，b ，c ，d 不成等比数列，故是假命题；③中，假设150°<A<180°时，sin A<12，故是假命题． 答案：D6．下面的命题中是真命题的是( )A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．假设方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两根同号，那么c a >0C ．若是M ⊆N ，那么M∪N＝MD ．在△ABC 中，假设AB →·BC →>0，那么B 为锐角解析：y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题； 当M ⊆N 时，M∪N＝N ，故C 为假命题；当AB →·BC →>0时，向量AB →与BC →的夹角为锐角，B 为钝角，故D 为假命题．答案：B二、填空题(每题8分，共24分)7．命题“末位数字是4的整数必然能被2整除”，写成“假设p ，那么q”的形式为__________________________________________．答案：假设一个整数的末位数字是4，那么它必然能被2整除8．有以下四个命题：①22340能被3或5整除；②不存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0；③对任何的实数x ，均有x ＋1>x ；④方程x 2－2x ＋3＝0有两个不等的实根．其中假命题有________．(只填序号)解析：可易知①②③为真命题；④中Δ＝4－12<0，方程x 2－2x ＋3＝0无实根，因此④为假命题． 答案：④9．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：假设函数f (x )＝3＋log 2x 的图象与g (x )的图象关于________对称，那么函数g (x )＝________.(注：填上你以为能够成为真命题的一种情形即可，没必要考虑所有可能的情形)答案：①关于x 轴对称时，g (x )＝－3－log 2x ；②关于y 轴对称时，g (x )＝3＋log 2(－x )；③关于(0,0)对称时，g (x )＝－3－log 2(－x )．三、解答题(共40分)10．(10分)将以下命题改写成“假设p ，那么q ”的形式，并判定其真假．(1)末位数字是0或5的整数，能被5整除；(2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实数根．解：(1)假设一个整数的末位数字是0或5，那么那个数能被5整除．真命题．(2)假设一个方程是x 2－x ＋1＝0，那么它有两个实数根．假命题．11．(15分)命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，求实数a 的取值范围． 解：因为ax 2－2ax －3>0不成立， 因此ax 2－2ax －3≤0恒成立．(1)当a ＝0时，－3≤0成立；(2)当a ≠0时，应知足：⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ≤0， 解之得－3≤a <0.由(1)(2)得a 的取值范围为[－3,0]．12．(15分)已知集合A ＝{x|x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x|x<0}．假设A∩B＝Ø是假命题，求实数m 的取值范围．解：设全集U ＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m ＋6)≥0}＝{m|m≤－1或m≥32}． 假设设方程x 2－4mx ＋(2m ＋6)＝0的两根别离为x 1、x 2，当两根均为非负实根时，有 ⎩⎪⎨⎪⎧ m∈U，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0，解得m≥32. 而{m|m≥32}关于U 的补集是{m|m≤－1}． ∴实数m 的取值范围是{m|m≤－1}．。

第一章 1.1 1.1.1请同学们认真完成练案[1]A 级 基础巩固一、选择题1．下列语句是命题的个数为( C )①{0}∈N ；②他长得很高；③地球上的四大洋； ④5的平方是20. A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] ①④是命题，②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子． 2．语句“若a >1，则函数f (x )＝a x是增函数”( B ) A ．不是命题 B ．是真命题 C ．是假命题D ．是命题，但真假与x 的取值有关[解析] 当a >1时，指数函数f (x )＝a x 是增函数，故“若a >1，则函数f (x )＝a x是增函数”是真命题．3．给定下列命题：①若k >0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根；②若a >b >0，c >d >0，则ac >bd ；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy ＝0，则x 、y 中至少有一个为0.其中是真命题的是( B )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④[解析] ①中Δ＝4－4(－k )＝4＋4k >0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B ．4．(2020·山东潍坊高二期末)已知a ，b ，m ∈R ，则下列说法正确的是( D ) A ．若a >b ，则a >b B ．若a <b ，则am 2<bm 2C ．若1a <1b，则a >bD ．若a 3>b 3，则a >b[解析] 选项A 中，a >b 得不出a >b ，比如，a ＝4，b ＝－2时； 选项B 中，m ＝0时，a <b 得不出am 2<bm 2；选项C 中，1a <1b得不出a >b ，比如，a ＝－2，b ＝4；选项D 中，∵y ＝x 3是增函数，∴a 3>b 3得出a >b . 故选D ． 二、填空题5．(1)三角形的三个内角的和等于180°. (2)2020年奥运会的举办城市是英国伦敦． (3)这是一棵大树呀！ (4)实数的平方是正数．(5)能被4整除的数一定能被2整除． 上述语句中是命题的序号是__(1)(2)(4)(5)__. [解析] (3)是感叹句不是命题，(1)(2)(4)(5)是命题． 6．设a 、b 、c 是空间的三条直线，下面给出四个命题： ①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；②若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ④若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面． 其中真命题的个数是__0__.[解析] ∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，∴命题①不正确；∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确； ∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b 时，两平面内分别可以作出直线a 与c ，即直线a 与c 不一定共面，∴命题④不正确．综上所述，真命题的个数为0. 三、解答题7．判断下列语句中哪些是命题，是命题的并判断真假． (1)末位是0的整数能被5整除；(2)△ABC 中，若∠A ＝∠B ，则sin A ＝sin B ； (3)余弦函数是周期函数吗？(4)求证：当x ∈R 时，方程x 2＋x ＋2＝0无实根．[解析] (1)是命题，真命题．(2)是命题，真命题．(3)、(4)不是命题． 8．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假． (1)对角线相等的四棱柱是长方体； (2)整数的平方是非负整数；(3)能被10整除的数既能被2整除，也能被5整除．[解析] (1)可写为：“若四棱柱的对角线相等，则它是长方体”，这个命题是假命题，如底面是等腰梯形的直四棱柱．(2)可写为：“若一个数是整数，则它的平方是非负整数”，真命题．(3)可写为：“若一个数能被10整除，则它既能被2整除，也能被5整除”，真命题．B级素养提升一、选择题1．“若x2－2x－8<0，则p”为真命题，那么p是( A )A．{x|－2<x<4} B．{x|2<x<4}C．{x|x>4或x<－2} D．{x|x>4或x<2}[解析] x2－2x－8<0解得－2<x<4，∴p是{x|－2<x<4}，故选A．2．(2019－2020学年南康中学平川中学信丰中学联考)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：(1)若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；(2)若m⊂a，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；(3)m⊥β，n⊥α，m⊥n⇒α⊥β；(4)若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的命题是( D )A．(1)(3) B．(2)(3)C．(2)(4) D．(3)(4)[解析] (1)若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能相交，也可能平行，所以不正确．(2)若m⊂a，n⊂α，m∥β，n∥β，当直线m，n相交时，才能得出α∥β，所以不正确．(3)若m⊂α(或n⊂β)时显然有α⊥β成立．当m⊄α且n⊄β时，显然α，β相交，设α∩β＝CD，过直线m上一点N作n′∥n，则n′⊥α.因为m⊥β，所以m⊥CD，同理n′⊥CD.设m和β的交点是A，n′和α的交点是β，则CD⊥平面NAB.将平面NAB延展与直线CD相交于点E，连接AE，BE，则有BE⊥CD，AE⊥CD，所以∠BEA为二面角α－CD－β的平面角．显然有∠BEA＝90°，即α⊥β；所以正确．(4)因为α∩β＝l，l⊂α，l⊂β，又l∥γ，β∩γ＝m，根据线面平行的性质有l∥m.同理再由γ∩α＝n，得l∥n.所以m ∥n ，所以正确．故选D ．3．(多选题)下面的命题中是假命题的是( ACD ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a>0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形 [解析] y ＝sin 2x ＝1－cos2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；当AB →·BC →>0时，向量AB →与BC →的夹角为锐角，B 为钝角，故D 为假命题． 二、填空题4．给出下列四个命题： ①若a >b >0，则1a >1b；②若a >b >0，则a －1a >b －1b；③若a >b >0，则2a ＋b a ＋2b >ab；④若a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋1b的最小值为9.其中正确命题的序号是__②④__.(把你认为正确命题的序号都填上) [解析] ①在a >b >0两端同乘以1ab 可得1b >1a，故①错；②由于⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －1b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab >0，故②正确； ③由于2a ＋b a ＋2b －ab ＝b 2－a 2a ＋2b b <0，即2a ＋b a ＋2b <ab，故③错；④由2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2ab，即a ＝b ＝13时取得等号，故④正确．5．(2019·北京文改编)已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：条件为__②③__，结论为__①__.[解析] ②③⇒①.证明如下：∵ m ∥α，∴ 根据线面平行的性质定理，知存在n ⊂ α，使得m ∥n .又∵ l ⊥α，∴ l ⊥n ，∴ l ⊥m .①③⇒②.证明略． 三、解答题6．设p ：关于x 的不等式a x>1的解集是{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．[解析] 若p 真，则0<a <1，若p 假，则a ≥1或a ≤0.又若q 真，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0⇒a >12.若q 假，a ≤12，又p 和q 有且仅有一个正确，当p 真q 假时，0<a ≤12.当p 假q 真时，a ≥1，故综上所述得a ∈(0，12]∪[1，＋∞)．7．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解析] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1， 即x 2－2x －3≥0. 解得x ≤－1或x ≥3. 故命题p ：x ≤－1或x ≥3.又命题q ：0<x <4，且命题p 为真，命题q 为假， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，所以x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．。

2.2.2 直线的两点式方程基础练习一、单选题1．直线10x y --=与两坐标轴所围成的三角形的面积为． A ．14B ．2C ．1D ．122．若直线l 过点和，且点91,b 在直线l 上，则b 的值为（ ） A ．183 B ．182C ．181D ．180A ．470x y ++=B ．470x y -+=C ．470x y ++=D ．470x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．下列说法正确的是（ ） A ．11y y x x --＝k 不能表示过点M （x 1，y 1）且斜率为k 的直线方程 B ．在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为1x ya b+=C ．直线y ＝kx +b 与y 轴的交点到原点的距离为bD ．过两点A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）的直线方程为212212()()()()0x x y y y y x x -----= 6．已知ABC 的三个顶点3,2A 、、，则下列说法正确的是（ ） A ．直线AC 的斜率为13B ．直线AB 的倾斜角为钝角C ．BC 边的中点坐标为()1,4D ．BC 边上的中线所在的直线方程为50x y +-=7．一束光线经过点()1,2A -由x 轴反射后，经过点()2,1B 射出，则反射光线所在直线方程是______．8．已知直线l 过点1,3G -，2,1H -，则直线l 的方程为__________．10．若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有______条.为________.13．过点1,1A -与点,4B m （m ∈R ）的直线的方程为______．14．已知直线l 经过点(0,2)，其倾斜角为30︒. （1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积. (1) tan 3k =的方程为：2y -=令0x =，则15．求符合下列条件的直线l的方程：(1)过点A(﹣1，﹣3)，且斜率为14 -；(2)A(1，3)，B(2，1))求直线AB的方程；(3)经过点P(3，2)且在两坐标轴上的截距相等.(1)所求直线过点(2)所求直线过直线过16．求与两坐标轴围成的三角形的面积是12，且斜率为2-的直线的斜截式方程．。

课时分层作业(一) 命题(建议用时：60分钟)一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0D．x2＋y2＝0B[对于A，是疑问句，不是命题；对于C，D，不能判断真假，不是命题；对于B，是陈述句且能判断真假，是命题．]2．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2>x，则x>1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3 D．4C[①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．故选C．]3．命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的条件是()A．两条直线B．一个平面C．垂直D．两条直线垂直于同一个平面D[命题的条件是“两条直线垂直于同一个平面”．]4．下列四个命题中，真命题是()A ．a ＞b ，c ＞d ⇒ac ＞bdB ．a ＜b ⇒a 2＜b 2C ．1a ＜1b ⇒a ＞bD ．a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －dD [可以通过举反例的方法说明A 、B 、C 为假命题．]5．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－3C [由题意知，Δ＝a 2－4<0，故a ＝0符合题意．]二、填空题6．命题“函数y ＝2x ＋1是增函数”的条件是________，结论是________，它是________命题(填“真”或“假”)．[答案] 函数y ＝2x ＋1 y 是增函数 真7．将命题“奇函数的定义域和图象均关于原点对称”，改写为“若p ，则q ”的形式为________．若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称 [命题若p ，则q 的形式为“若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称”．]8．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y ＝a x ＋1是指数函数吗？③正方形既是矩形又是菱形；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5＞0；⑥作AB ∥A ′B ′．其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．①③⑤ ③⑤ [①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是真命题，由正方形定义可知；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．]三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？(1)2＋22是有理数；(2)1＋1>2；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？[解](1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)体对角线相等的四棱柱是长方体；(2)能被10整除的数既能被2整除又能被5整除；(3)正弦值相等的两个角的终边相同．[解](1)若四棱柱的体对角线相等，则这个四棱柱是长方体．该命题是假命题．(2)若一个数能被10整除，则这个数既能被2整除又能被5整除．该命题为真命题．(3)若两个角的正弦值相等，则这两个角的终边相同．该命题为假命题．1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是() A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思A[“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A．]2．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是()A．余弦值B．第二象限C．一个角是第二象限角D．没有条件C[原命题可改写为若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C．] 3．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°．其中真命题的序号为________．② [①若a ·b ＝a ·c ，则a ·(b －c )＝0，因此b ＝c 不正确；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则－2k －6＝0，即k ＝－3，正确；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△AOB 为等边三角形，因此，a 与a ＋b 的夹角为30°，③不正确，故选②．]4．已知a ，b 为实数，且ab ≠0，则下列命题是真命题的是________(填序号)． ①若a ＞0，b ＞0，则a ＋b 2≥ab ； ②若a ＋b 2≥ab ，则a ＞0，b ＞0；③若a ≠b ，则a ＋b 2＞ab ；④若a ＋b 2＞ab ，则a ≠b ．①④ [①中，由基本不等式可得：若a ＞0，b ＞0，则a ＋b 2≥ab ，正确；②中，当a ＝b ＝0时，满足a ＋b 2≥ab ，但不满足a ＞0，b ＞0，错误；③中，若a ，b 都为正数时成立，否则不成立，错误；④中，由a ＋b 2＞ab ，平方得(a －b )2＞0，虽然a ≠b ，正确，故填①④．]5．已知p ：5x －1＞a ，q ：x ＞1，请确定实数a 的取值范围，使得(1)“若p ，则q ”为真命题；(2)“若q ，则p ”为真命题．[解] (1)命题“若p ，则q ”即为“若x ＞1＋a 5，则x ＞1”，由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4，故实数a 的取值范围为[4，＋∞)．(2)命题“若q ，则p ”即为“若x ＞1，则x ＞1＋a 5”，由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4，故实数a 的取值范围为(－∞，4]．。

姓名，年级：时间：课时作业1 命题及其关系［基础巩固］一、选择题1．已知下列语句：①平行四边形不是梯形；②3是无理数；③方程9x2－1＝0的解是x＝±错误!；④3a>a；⑤2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年的日子．其中命题的个数是( )A．2 B．3C．4 D．52．命题“若a〉b，则a＋c〉b＋c”的逆命题是( )A．若a〉b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c,则a≤bC．若a＋c〉b＋c，则a>b D．若a≤b，则a＋c≤b＋c3．当命题“若p，则q”为真时，下列命题中一定为真的是( ）A．若q，则p B．若綈p,则綈qC．若綈q,则綈p D．若綈p，则q4．已知命题p:“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”,则下列说法正确的是( ）A．命题p的逆命题是“若x<a2＋b2,则x〈2ab”B．命题p的逆命题是“若x〈2ab，则x〈a2＋b2”C．命题p的否命题是“若x<a2＋b2，则x〈2ab”D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x<2ab”5．命题“若|a｜＝｜b｜，则a＝b”及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1C．2 D．4二、填空题6．下列语句中是命题的有________；是真命题的有________（填序号)．①这幅画真漂亮！②求证2是无理数．③矩形是平行四边形吗?④并非所有的人都喜欢苹果．⑤x2＋1〉0（x∈R)．7．命题“若x〉y,则x3〉y3－1”的否命题是______________．8．“若a〉1，则a2>1”的逆否命题是________，为________（填“真”或“假”）命题．三、解答题9．判断下列命题的真假：（1）已知a，b，c，d∈R,若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d;(2）若x∈N,则x3>x2成立；(3）若m〉1,则方程x2－2x＋m＝0无实数根；（4)存在一个三角形没有外接圆．10．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．（1)x，y∈R，若x2＋y2＝0，则x,y全为零;(2）若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0）中，b2－4ac〈0,则该函数图象与x轴有交点．［能力提升］11．下列命题为真命题的是（)①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m〉0，则x2＋2x－m＝0有实根"的逆否命题；④“若x－错误!是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④ B．①③④C．②③④ D．①④12．命题“若a＋b＝偶数，则a，b都是偶数"的否命题为________________,是________命题．(填“真”或“假"）13．把命题“全等三角形的面积相等"改写成“若p，则q"的形式,并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．14．已知命题甲:关于x的不等式x2＋（a－1)x＋a2≤0的解集为∅;命题乙:函数y＝(2a2－a）x为增函数．当甲、乙两个命题中有且只有一个为真命题时,求实数a的取值范围．课时作业1 命题及其关系1．解析：①,②，③，⑤是命题，④不是,因为④无法判断正误．答案：C2．解析：命题“若p,则q"的逆命题是“若q，则p",从而，命题“若a>b，则a＋c〉b＋c”的逆命题是“若a＋c>b＋c，则a>b”．答案:C3．解析：原命题为真时,原命题的逆否命题必为真，无法判断原命题的逆命题和否命题是否为真．答案：C4．解析:命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”,故A、B都错;命题p的否命题是：“若x<a2＋b2，则x〈2ab”，故C正确，D错误．答案：C5．解析：原命题是假命题，则原命题的逆否命题也是假命题．原命题的逆命题为“若a＝b，则｜a|＝｜b|"，是真命题,因此原命题的否命题也是真命题．故四个命题中真命题的个数为2.答案：C6．解析：①感叹句,不是命题．②祈使句，不是命题．③疑问句，不是命题．④是命题,有的人喜欢苹果，也有人不喜欢苹果，所以可判断该陈述句的真假,故它是命题，并且是真命题．⑤是命题,对于任意的x∈R，x2＋1>0，可以判断其真假，故它是命题,并且是真命题．答案：④⑤④⑤7．解析：将命题的条件和结论分别否定即可．所以否命题为“若x≤y，则x3≤y3－1”．答案：若x≤y，则x3≤y3－18．解析：条件“a>1”的否定为“a≤1"，结论“a2>1”的否定为“a2≤1",所以逆否命题为：若a2≤1，则a≤1,是真命题．答案：若a2≤1,则a≤1 真9．解析：(1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2。