1问题描述
某周边简支非均匀的矩形（或圆形）板在均布载荷作用下挠度过大。结合实际，提出集中改进设计方案，并进行对比分析。
2.问题分析
不均匀板有两种主要的情况，结构不均匀和材料不均匀，结构不均匀是指板的厚度不是常量，材料不均匀体现在板的弹性模量和泊松比是变化的。另外，有的板可以是以上两种情况的混合情形。
不均匀板与均匀板的有限元问题有哪些差别呢？下面从均匀板问题推导出非均匀板有限元问题的解决方法。
2.1应力应变
先以结构不均匀板为例来讨论。假设一矩形板长为2，宽为2，厚度沿x ，y 不均匀，由一函数()h ,h x y =描述，但仍然符合薄板假设。对于均匀板，显然h 是一个常数。设挠度为()=x,y ωω，则板内应变向量可以表示为
{}2222211==z 1
2x x y y xy xy x z y x y ρεεεωεγγ⎧⎫⎧⎫∂⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪⎪
⎪=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬
∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪
∂∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
应力应变关系为
{}1p z D σρ⎧⎫⎡⎤=⎨
⎬⎣⎦⎩⎭
弯矩扭矩矩阵
{}{}()()
h ,2h ,2
x y x y M zdz σ-=⎰
这里就体现出不均匀板和均匀板的区别了。积分完毕后，可以得到
{}[]1M D ρ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
其中薄板的弯曲系数矩阵
[]()()()3
21
,10
1210
1/2Eh x y D μ
μμμ⎡⎤
⎢
⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦
是关于薄板总体坐标的函数，所以对各个分单元都是不同的。 各单元的弯曲系数矩阵可以采用单元中心处的代替。那么就可以得出一系列的弯曲系数矩阵[]D e
i 。如果单元划分得足够细，是可以代替真实解的。
2.2单元分析
可以将板分为边长为0.25的矩形小单元，每一个单元都是一样的。对于任何一个单元的节点，都有3项独立的位移
{}i i i xi i yi i w w w y w x δθθ⎧⎫⎪⎪
⎪
⎪⎧⎫⎪⎪⎛⎫∂⎪⎪⎪⎪
==⎨⎬⎨⎬
⎪∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪
⎪∂⎛⎫⎪⎪- ⎪∂⎪⎪⎝⎭⎩⎭
位移模式
()223123456722333
89101112,w x y x y x xy y x x y xy y x y xy αααααααααααα=+++++++
++++
形状函数矩阵是一个112⨯的行向量
()[],k
l m
n N x y N N N N =⎡⎤⎣⎦
其中
222222222
2
22222211128111111i i i i i i i i i i i i i x x y y x x y y x y N a b a b a b x x y y y y x x y y x x y x a b b a b a ⎛
⎫⎡⎛⎫⎛⎫=++++--⎡⎤ ⎪
⎪⎪⎣⎦⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎝⎭
⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--++-⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦
(),,,i k l m n =
单元刚度矩阵
[][][][]1212e
e T
S k B D B dxdy ⨯=⎰
很明显，积分式中包含了弹性系数矩阵，而不同单元的弹性系数矩阵是不同的，所以，
即便单元划分相同，得到的单元刚度矩阵也不同。对于均匀板，相同形式的单元，刚度矩阵
是相同的。均匀与非均匀的差别，完全体现在弹性系数矩阵上。但是非均匀板的一些结果可以间接地运用。
矩形单元四节点单元刚度矩阵是一个规律性很强的对称矩阵。矩阵中待求的独立元素只有21个。
142563710111108423
11
9563212
1516172021115132018421614211956317202112151671011201815131082119
16
14
00(,)360(1)00000000
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k Eh x y k k k k k k k ab k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k μ-----------------对称
14211
9
5
6
30
k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦
如果以单元中心点的参数代替单元的参数，那么非均匀的薄板单元刚度矩阵与均匀板差别不大，即各个单元的刚度矩阵都需要利用单元中心的参数来代替。这个结论对材料不均匀板也是实用的。下面运用这种近似来求解非均匀薄板问题。
3问题求解
求解的模型仍然是边长为2的正方形薄板，材料的弹性模量E 25000000000Pa =，泊
松比0.3μ=。
图1 薄板单元
3.1 均匀板
将板分为均匀的正方形单元44⨯，88⨯等，可以得到精度不等的数值解。
厚度为0.035的薄板，在载荷100000000P q a =作用下可以计算出板的挠度。可以看出挠度是完全对称的，并且最大挠度出现在板的几何中心上。
