24.1图形的相似形导学案

24.1《相似的图形》 学案（1）学习目标：1、了解什么是相似图形。

知道通过平移和对称变换得到的图形与原图形是相似图形。

2、会利用格点图画出已知的简单的多边形的相似图形。

研讨过程一、复习导学：1、平移、旋转、对称各有什么特征？2、什么叫图形的全等？全等图形有哪些性质？3、观察问题：这几组图片有什么相同的地方呢？图24.1.1这些图片虽然 不一样，但形状 ．二、概念形成：由于不同的需要，我们用同一底片冲洗、放大得到的相片有1寸的、也有2寸的、也有更大的，这些大小不一样的相片其形状是 .大小不同的中国地图或世界地图，其形状也是相同的，只是由于需要的不同，它们被印制成大小不一样的图片.小结：日常生活中我们会碰到很多这样形状 、 不一定相同的图形，在数学上，我们把具有 的图形称为相似形.问题1 如图所示是一些相似的图形.图24.1.3想一想 (1)放大镜下的图像与原来的图形相似吗？(2)你看过哈哈镜吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？判 断 下图中的三组图形，看起来每组中的两个有点相像，它们是不是相似形？.图24.1.4图24.1.2试一试 1.如下图所示，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，和你的伙伴交流一下，看谁的方法又快又好.2．判断题：1．所有的三角形都相似； 2．所有的梯形都相似；3．所有的等腰三角形都相似； 4．所有的直角三角形都相似；5．所有的矩形都相似； 6．所有的平行四边形都相似；7．大小的中国地图相似； 8．所有的正多边形都相似。

3．下列说法正确的是( )(1)所有的圆都是形状相同的图形 (2)所有的正方形都是形状相同的图形(3)所有的等腰三角形都是形状相同的图形(4)所有的矩形都是形状相同的图形A 1个B 2个C 3个D 4个4．下列说法正确的是( )A 所有的平行四边形都是相似图形B 所有的菱形都是相似图形C 所由的等腰梯形都是相似图形D 所有的全等三角形都是相似图形三、课堂达标练习1.观察你周围的一切，举出几个相似图形的例子.2.你看到过你在水中的倒影吗？倒影中的形象与你本人相似吗？（注意分多种情况） 3.图中的三个边长不等的等边三角形是相似的图形吗？四、作业： 1.观察你周围的事物，并举出几个相似图形的例子．五、小结： 本节课我学会了 ； 使我感触最深的是 ； 我感到最困难的是 ； 我想进一步探究的问题是 。

24.1《相似的图形》 学案（2）学习目标1、能用图形放缩运动的观点理解相似形的意义；2、知道相似形的概念，理解相似多边形的意义，掌握相似形的性质。

学习重点1、掌握相似形的性质以及相似与全等的关系；2、会在网格图中画出与已知图形相似的图形。

学习难点网格图中相似图形的具体画法（知道平面的二维空间思想） 学习过程一、学前准备①你还能举几个生活中常见的相似形吗？如： ； ②在你所举的例子中，发现相似形是 相同， 不一定相同的图形．二、画龙点睛 2、实践操作：在直角坐标系中描出点A(-1,-1)，B(0,1)，C(1,3)，D(2,1)，E(3,-1)，顺次连接A ，B ，C ，D ，E ，再用线段连接B ，D 两点.1）你得到一个什么图形？2）填表1，在直角坐标系中描出点O 1、A 1、B 1、C 1、D 1并按同样的方法连接各点，你得到了一个什么图形？填写表2，你又得到一个什么图形？填写表3呢？ 表1 （x ,y ） O （0,0） A （1,2） B （2,4） C （3,2） D （4,0） （2x ,y ） O 1（ , ） A 1（ , ） B 1（ , ） C 1（ , ） D 1（ , ） 表2 （x ,y ） O （0,0） A （1,2） B （2,4） C （3,2） D （4,0） （x ,2y ） O 2（ , ） A 2（ , ） B 2（ , ） C 2（ , ） D 2（ , ） 表3 （x ,y ） O （0,0） A （1,2） B （2,4） C （3,2） D （4,0） （2x ,2y ） O 3（ , ） A 3（ , ） B 3（ , ） C 3（ , ） D 3（ , ） 3）在上述所得的四个图形中，哪些图形是相似呢？第三个第二个第一个三、自我测试：1、张宇去动物园为大熊猫拍摄了一张照片，然后又把照片放大了一张，这两张照片上熊猫的形状 。

2、张朗同学有一张80㎝×60㎝的台湾地图，他想绘制出比原地图小的地图，若新地图长为40㎝（原地图长为80㎝），则新地图的宽应为 ㎝。

课 题：27.1 图形的相似（二）学习目标：1.知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．2.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．学习重、难点：1.重点：相似多边形的主要特征与识别．2.难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算．学法指导或使用说明：利用导学案，采用学生自学和小组讨论的方式进行合作探究式学习。

课前预设一、探索新知1、如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．2．【结论】：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______． 反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中若1111;;D D AA B B C C ；． 11111111D =ABBC C DA A B B C C D D A 则四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1 D 1相似（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？结论：相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．二、例题讲解例1（补充）（选择题）下列说法正确的是（）A．所有的平行四边形都相似B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似分析：A中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故A错；B中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B错；C中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C也错；D中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D说法正确，因此此题应选D．例2、例(教材P26页)α和的大小和EH的长度x．如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角β27.1-6例3（补充）已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD 的各边的长．分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题．解：三．随堂练习1．在比例尺为1：10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm，求两地的实际距离．2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的长度．四、归纳总结1．你收获了哪些知识。

图形的相似课题：27.1 图形的相似〔1〕学习目标：1、知识和技能：通过对事物的图形的观察、思考和分析，认识理解相似。

2、过程和方法：经历动手操作的活动过程，增强学生的观察、动手能力。

3、情感、态度、价值观：体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识。

学习重点：认识图形的相似，形成图形相似的概念学习难点：相似图形的认识导学方法：自主探索法课时：1课时导学过程：一、课前预习预习课本内容，完成《导学案》的教材导读和自主测评。

二、课堂导学请同学们看黑板正上方的五星红旗，五星红旗上的大五角星与小五角星他们的形状、大小有什么关系？给我们什么样的印象呢？2.出示任务，自主学习相似图形的概念：观察：请同学们观察教材P34图27.1-1想想：用同一张底片洗出不同尺寸的照片；大小不同的两个足球；一辆汽车和它的模型，它们给我们什么印象？观察：教材P34图27.1-2，每组中的两个图形的大小之间有什么联系？3．合作探究两个相似图形之间的关系人站在平面镜前看到的镜像及哈哈镜里看到的镜像，它们相似吗？为什么？三、展示反应归纳：把形状相同的图形说成是相似图形.归纳：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．四、学习小结1、相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关〔其大小可能一样，也有可能不一样，当形状与大小都一样时，两个图形就是全等形，所以全等形是一种特殊的相似形〕。

2、相似形不仅仅指平面图形，也包括立体图形的情况，如飞机和飞机模型也是相似形。

3、两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的局部拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形。

五、达标检测1．教材P35的练习．2．《导学案》根底反思和展题设计.课后作业：1. 课本习题.2.《导学案》难点探究和能力提升.板书设计：1、相似图形的概念2、两个相似图形之间的关系课后反思：通过本节课的学习，第二套学习目标：1、知识和技能：关系；2、会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解；3.会用估算方法估计一元二次方程的根.2、过程和方法：经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，进一步理解体会方程与函数之间的联系.3、情感、态度、价值观：通过探究二次函数图像与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的情况的关系，进一步体会数形结合思想.学习重点：一元二次方程与二次函数之间的联系。

24．1相似的图形主备人： 班级： 姓名：学习目标: 1.理解和掌握相似图形的概念2理解和掌握成比例线段的概念，理解比例的基本性质重点难点和关键: 比例基本性质的应用学习过程:一、创设情境，引入新课 相似图形的概念及其辨别在色彩斑斓的世界中，我们接触过很多图形，有规则的，也有不规则的，有大小一样的，也有不一样的，有形状相同的，也有不相同的。

本节我们走近形状相同的图形。

阅读课本42――43页，得到相似图形的概念是1．完成课本44页所有练习2．下列说法正确的是( )(1)所有的圆都是形状相同的图形 (2)所有的正方形都是形状相同的图形(3)所有的等腰三角形都是形状相同的图形 (4)所有的矩形都是形状相同的图形A 1个B 2个C 3个D 4个3．下列说法正确的是( )A 所有的平行四边形都是相似图形B 所有的菱形都是相似图形C 所由的等腰梯形都是相似图形D 所有的全等三角形都是相似图形二．合作交流，探究新知探究(一)、成比例线段的意义1．完成课本45页试一试：从而概括得出成比例线段的定义 即a cb d =或a:b=c:d 2．判断是否成比例线段(阅读课本45页例1，注意解题格式)温馨提示：成比例线段是有顺序的，如线段 a 、b 、c 、d 是成比例线段，则有a cb d =；线段a 、d 、b 、c 是成比例线段，则有cb d a = 例 已知四条线段a=2cm,b=30m,c=6cm,d=10m,判断它们是否成比例线段？探究(二)、比例的基本性质 (小组合作 思考得到结论)1．如果a c b d=那么ad=bc (如果a b ＝b c 那么b 叫做a 、c 的比例中项，也可以写成b 2＝ac) 2．如果ad=bc(a.,b,c,d 都不是0)那么a cb d = 阅读课本46页例题2 .(注意解题方法，并探索有无其它的解题思路)三.、应用新知，体验成功1．已知两条线段a=2m,b=80cm,则a:b=2、已知a=3cm,b=2cm,若b 是a 和c 的比例中项，则b ＝3、.已知4x-3y=0.则x y y+= 4、下面四组线段中，不能成比例的是（ ）A 、4,2,6,3====d c b aB 、3,6,2,1====d c b a C 、10,5,6,4====d c b a D 、32,15,5,2====d c b a 5、已知a:b:c=2:3:5, 且a+b+c=5.m+n=2 求322a b c m n+-+的值 四、达标测试，巩固提高1、延长线段AB 到C ，使BC=2AB,则AC ：BC= ；BC ：AB=2、已知A,B 两地的实际距离是60km,画在地图上的距离是A ’B ’=6cm.则这幅地图的比例尺是3、已知：四条线段a=0.5m, b=25cm, c=0.2m .d=10cm.这四条线段是否成比例?4、已知0345x y z ==≠，求x y z x y z +--+的值5、已知578a b c ==，且3a-2b+c=3.求 2a+4b-3c 的值.五．探究延伸，拓展思维（想一想再回答）(选)（1）如果dc b a =，那么d d c b b a -=-成立吗？为什么？ （2）如果dc b a =，那么d d c b b a ±=±成立吗？为什么 （3）．如果fe d c b a ==，那么ba f db ec a =++++成立吗？为什么？ （4）如果d c b a =＝…＝n m （b ＋d ＋…＋n ≠0），那么b a n d b m c a =++++++ 成立吗？为什么． （小组讨论完成上面的问题）六、课堂练习1．已知d c b a =＝3，求b b a -和d d c -，b b a -＝d d c -成立吗？2．已知d c b a =＝fe ＝2 （b ＋d ＋f ≠0），求：（1）f d b e c a ++++；（2）f d b e c a +-+-； （3）f d b e c a 3232+-+-；（4）fb e a 55--．（小组讨论并上黑板 3、已知()3:2:=-y y x ，求yx y x 2352-+的值。

27.1图形的相似1【教学内容】课本24---25页内容。

【教学目标】知识与技能1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似。

2、理解相似图形概念。

过程与方法通过观察、归纳等方法，与他人思维交流的过程和结果，能用所学的知识去解决问题。

情感、态度与价值观培养学生实事求是、勇于探索的精神。

【教学重难点】重点：相似图形的认识。

难点：相似图形的认识。

【导学过程】【知识回顾】反比例函数有哪些性质？K＞0( )K＜0( )【情景导入】如果两个图形形状一样，大小不在样它们有什么关系？【新知探究】探究一、1 、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？ (课本图27.1-1)( 课本图27.1-2)2 、小组讨论、交流．得到相似图形的概念．相似图形3 、思考：如图，是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?观察思考，小组讨论回答：…….【知识梳理】本节课你学习了什么知识？【随堂练习】1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？2．如图，图形a～f中，哪些是与图形（1）或(2)相似的？3、下列说法正确的是（）A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B．商店新买来的一副三角板是相似的.C．所有的课本都是相似的.D．国旗的五角星都是相似的.4、填空题形状的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的或而得到的。

5．观察下列图形，指出哪些是相似图形：。

第二十七章相似第1课时相似图形一、新课导入情景：依次展示每组图片，供学生欣赏.问题：每组图片中的两张图片有何关系？由此导入新课.〔1〕结合具体实例认识相似图形, 理解相似图形的概念, 会判断两个图形是否相似.〔2〕知道成比例线段，会求线段的比，知道相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.3.学习重、难点重点：图形相似及相似多边形的性质.难点：线段成比例的意义.二、分层学习〔1〕自学内容：教材P24~P25思考.〔2〕自学时间：5分钟.〔3〕学习方法：结合实际谈谈自己对相似图形的理解,并完成自学参考提纲.〔4〕自学参考提纲：①形状相同的图形叫做相似图形.两个图形相似, 其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.举例说明〔可以是书上的图片〕.②用一个放大镜观察一个图形,通过放大镜看到的图形与原图形相似.(填“相似〞或“不相似〞)③全等的两个图形是相似的.(填“相似〞或“不相似〞)④如果两个图形相似, 那么它们的形状相同, 而与它们的大小无关.⑤同一个人在平面镜中的像与哈哈镜中的像相似吗？为什么？不相似.哈哈镜中的像的形状发生了变化.2.自学：学生参考自学指导进行自学.〔1〕师助生：①明了学情：通过实例明了学生对相似图形的理解情况.②差异指导：对分不清相似图形的学生进行指导.〔2〕生助生：小组内相互交流、研讨.〔1〕相似图形的概念及实例.〔2〕练习：①如图1，放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？答案：相似.②如图2，图形a~f中，哪些图形是与图形〔1〕或〔2〕或〔3〕相似的？答案：与图形〔1〕相似的有ac;与图形〔2〕相似的有d;与图形〔3〕相似的有g.〔1〕自学内容：教材P26方框中的内容.〔2〕自学时间：5分钟.〔3〕自学方法：完成自学参考提纲.〔4〕自学参考提纲：①对于四条线段a,b, c, d, 如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即a cb d(或ad=bc) , 那么这四条线段叫做成比例线段, 简称成比例.②什么是比例尺？③如果线段a,b,c,d满足a∶b=c∶d，a=3，b=4，d=8，那么c=6.④一张桌面的长a=1.25 m，宽b=0.75 m，那么长与宽的比是多少？〔5∶3〕a.如果a=125 cm，b=75 cm，那么长与宽的比是多少？〔5∶3〕b.如果a=1250 mm，b=750 mm，那么长与宽的比是多少？〔5∶3〕⑤在比例尺是1∶10000000的地图上，量得甲乙两地的距离是30 cm，求两地的实际距离.30×10000000=300000000〔cm〕=3000(km).即两地的实际距离为3000 km.⑥a b a c b ckc b a+++===，求k的值.∵a+b=kc,a+c=kb,b+c=ka,a+b+a+c+b+c=k(a+b+c),即2〔a+b+c〕=k(a+b+c),∴k=2.2.自学：学生参考自学指导进行自学.〔1〕师助生：①明了学情：了解学生怎样理解线段成比例.②差异指导：根据学情进行指导.〔2〕生助生：小组间相互交流、研讨.4.强化：线段的比与成比例线段及等比式的处理.三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？有哪些缺乏？2.教师对学生的评价：〔1〕表现性评价：从学生答复以下问题，课堂的注意力等方面进行评价.〔2〕纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价〔教学反思〕.本课时作为“图形的相似〞的起始课，先通过大量的实例、图片来激发学生的学习兴趣，发动学生去发现、去参与寻找相似图形，给学生提供展示自我的时间和时机.学生通过画图、动手操作等实践活动加强对相似图形的理解，并能熟练判断图形的相似.一、根底稳固〔70分〕1.(10分)以下说法正确的选项是〔D〕2.(10分) 线段a，b，c，d满足ab=cd，把它改写成比例式，错误的选项是〔B〕A.a cd b= B.a cb d= C.d ba c= D.a dc b=3.(10分) 以下列图形中不一定是相似图形的是〔C〕4.(10分)a，b，c，d是成比例线段，其中a=3 cm，b=2 cm，c=6 cm，那么d=4cm.5.(10分)如图，放大镜里看到的的角与原来的角的关系是相等.6.(20分)观察以下列图形，指出哪些是相似图形，用“线〞将相似的图形连接起来.二、综合应用〔20分〕7.(10分)以下各组中的四条线段成比例的是〔C〕23 B.a=4，b=6，c=5，d=105,c=23,d=15 D.a=2，b=3，c=4，d=18.(10分) A 、B 两地的实际距离为2500 m ，在一张地图上的距离是5 cm ，那么这张地图的比例尺是1∶50000. 三、拓展延伸〔10分〕 9.(10分)234x y z ==，求2x y z -的值. 解：22132124x y x y z z z -=-=-⨯=-. 5.3.1 平行线的性质 一、新课导入1.导入课题：利用同位角、内错角、同旁内角之间的关系可以判定两条直线平行.你还记得这些判定方法分别是如何表达的吗？反过来，如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢？这就是本节课我们所要研究的内容.〔板书课题〕2.学习目标：〔1〕能表达平行线的三条性质.〔2〕能运用平行线的三条性质进行简单的推理和计算.3.学习重、难点：重点：对平行线性质的理解及它们与平行线的判定之间的关系.难点：性质2和性质3的推理过程的逻辑表述.二、分层学习1.自学指导：〔1〕自学内容：课本P 18的内容.〔2〕自学时间：8分钟.〔3〕自学要求：正确画图、测量、验证、归纳.〔4〕探究提纲：①画图：画两条平行线a ∥b,再画一条截线c 与直线a 、b 相交〔如图1所示〕. ②测量：测量这些角的度数,把结果填入表内.③分析：∠1～∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？答案：同位角有：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8，相等.④猜想：两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系？⑤验证：如果改变截线的位置，你的猜想还成立吗？⑥归纳：a.你能用文字语言表述你发现的结论吗？b.你还能用符号语言表述该结论吗？2.自学：学生按探究提纲进行研讨式学习.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：了解学生围绕探究提纲进行学习的情况及存在的困惑.②差异指导：对个别学生在学法和认知有偏差时进行点拨引导.〔2〕生助生：小组内学生之间相互交流，展示成果，查找并纠正不正确的认识或结论.4.强化：〔1〕平行线的性质1及其几何表述.〔2〕经历平行线的性质1的探究过程，体会研究几何图形的一般方法.1.自学指导：〔1〕自学内容：课本P19的内容.〔2〕自学时间：8分钟.〔3〕自学要求：阅读教材，重要的局部做好圈点，疑点处做好记号.〔4〕自学参考提纲：①与平行线的判定类似，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？a.结合图2，你能写出推理过程吗？b.类比性质1，你能用文字语言表述上面的结论吗？答案：两直线平行，内错角相等.c.你还能用几何语言表述该结论吗？②a.类似地，可以推出平行线关于同旁内角的性质3:两直线平行，同旁内角互补，如图2，用几何语言表述为：∵a∥b,∴∠2+∠4=180°.b.试写出用性质1推出性质3的推理过程.c.试写出用性质2推出性质3的推理过程.③如图3，平行线AB、CD被直线AE所截.∠1＝110°，可以知道∠2是多少度吗？为什么？答案：∠2=110°.两直线平行，内错角相等.∠1＝110°，可以知道∠3是多少度吗？为什么？答案：∠3=110°.两直线平行，同位角相等.∠1＝110°，可以知道∠4是多少度吗？为什么？答案：∠4=70°.两直线平行，同旁内角互补.④如图4，AB∥CD，AE∥CF，∠A＝39°，∠C是多少度？为什么？答案：∠C=39°.∵AB∥CD,∴∠C=∠FGB,又∵AE∥CF,∴∠A=∠FGB,∴∠A=∠C=39°.2.自学：同学们可参照自学参考提纲进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：教师深入课堂巡视了解学生的自学情况，尤其是性质2和性质3的推理过程，看学生能否写出来.②差异指导：对局部感到困难的学生进行点拨引导.〔2〕生助生：小组内相互交流、研讨、订正.4.强化：〔1〕平行线的性质1、2、3及其几何表述.〔2〕判定与性质的区别：从角的关系得到两直线平行，就是判定；从直线平行得到角相等或互补，就是性质.〔3〕练习：课本P20“练习〞第1题和第2题.三、评价1.学生学习的自我评价：各小组组长对本组的学习成果和困惑进行总结交流.2.教师对学生的评价：〔1〕表现性评价：对学生在学习中的态度、方法、成效及缺乏进行点评.〔2〕纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价〔教学反思〕:这节课比较成功的地方是：①对教学的方式进行了一定的尝试，注重学生的分析能力，启发学生用不同方法解决问题.②尽量锻炼学生使用标准性的几何语言.缺乏的是师生之间的互动配合和默契程度有待加强.(时间：12分钟总分值：100分)一、根底稳固〔60分〕1.〔10分〕如图，由AB∥CD可以得到〔C〕A.∠1＝∠2B.∠2＝∠3C.∠1＝∠4D.∠3＝∠4第1题图第2题图2.〔10分〕如图，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝〔C〕A.180°B.270°C.360°D.540°3.〔10分〕如图,一条公路两次转弯后,和原来的方向相同,那么如果第一次拐的角是76°,那么第二次拐的角是76度,根据是两直线平行，内错角相等.4.〔10分〕如图,要在公路的两侧铺设平行管道,如果公路一侧铺设的管道与纵向联通管道的角度为120°,那么,为了使管道对接,另一侧应以60°角度铺设纵向联通管道,根据是两直线平行，同旁内角互补.第3题图第4题图第5题图5.〔20分〕如图,a∥b,c、d是截线，假设∠1＝80°，∠5＝70°，求∠2、∠3、∠4各是多少度?为什么？解：∵a∥b，∴∠2=∠1=80°〔两直线平行，内错角相等〕,∠3=180°-∠5=110°(两直线平行，同旁内角互补).∵∠4=∠3(两直线平行，同位角相等)，∴∠4=110°.二、综合运用〔20分〕6.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1＝45°，∠2＝122°，求图中其他角的度数.解：由题意得：∠3=∠1=45°,∠1+∠7=180°,∴∠7=180°-∠1=135°.∴∠8=∠7=135°.又∠4=∠2=122°，∠2+∠5=180°，∴∠5=180°-∠2=58°.∴∠6=∠5=58°.三、拓展延伸〔20分〕7.如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°.〔1〕∠DAB等于多少度？为什么？〔2〕∠EAC等于多少度？为什么？〔3〕∠BAC等于多少度？〔4〕由〔1〕、〔2〕、〔3〕的结果，你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？解：〔1〕∵DE∥BC，∴∠DAB=∠B=44°〔两直线平行，内错角相等〕. 〔2〕∵DE∥BC，∴∠EAC=∠C=57°(两直线平行，内错角相等).〔3〕∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，∴∠BAC=180°-∠DAB-∠EAC=180°-44°-57°=79°.。

九年级数学上册图形的相似全章导学案一、相似基础知识1. 定义相似的概念是指两个图形的形状相同，但大小不同的关系。

如果说两个图形相似，那么它们的对应边长成比例，对应角度相等。

2. 相似的判定条件两个多边形相似的充分必要条件是：它们的对应角度相等（形状相同）并且对应边长成比例（大小不同）。

3. 相似比例相似多边形的相似比例是指对应边长的比。

例：以下两个图形相似，它们的相似比例是 1:2。

┌─┐┌──┼─┼──┐│ │└─────┘┌──┐┌──┼─┼─────┐│ │└─────┘4. 相似的性质•相似图形的面积和周长的比例等于相似比例的平方。

•相似三角形的高与底边的比例相等。

•相似三角形的中线和垂线与底边的比例等于相似比例。

•在平面直角坐标系中，直线段平移、旋转、镜面对称和等比例伸缩，都不改变它们之间的相似关系。

二、相似的应用1. 图形的放缩•在平面直角坐标系中，用直线段起点为定点，将直线段伸长或缩短一个相似比例，则新直线段与旧直线段相似。

•直线段和平面图形的等比例伸缩，也不改变相似关系。

2. 三角形的性质•如果对于两个三角形，其对应的角度和边长都相等，则这两个三角形相似。

•三角形的相似关系可以用三角形对边比的形式来表示。

3. 勾股定理勾股定理是三角形的基本定理之一，它指出：在直角三角形中，直角边的平方等于斜边两段与斜边的乘积。

勾股定理公式：c² = a² + b²其中，c 表示斜边，a 和 b 表示直角三角形的两条直角边。

三、相似的概念是数学中常用的一种概念，其应用很广泛。

我们学习了相似的基础定义、判定条件、相似比例和相似的性质，还学习了相似关系在图形的放缩、三角形的性质和勾股定理中的具体应用。

要牢记相似的定义和判定条件，学会使用相似比例来求解问题。

在解决问题时，我们应该注意用图形来进行辅助和推导，具体应用时还要注意数据的单位和标准化。

北师大版九年级数学上册《图形的相似》导学案图形的位似（第一课时）【学习目标】1.探索并了解位似图形的有关概念，能利用位似将一个图形放大或缩小；2.经历探索位似图形的定义与性质的过程，进一步体会位似图形的特征，发展空间观念.【知识梳理】阅读课本第123-124页内容，完成下列问题.1.如果两个每组对应顶点A，A′的，且有，那么这样的两个多边形叫做，点O叫做 .实际上，k就是这两个相似多边形的 .2. 位似多边形的性质：如果两个多边形是位似图形，且对应边平行或在同一直线上，那么图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于 . 【典型例题】知识点一：位似多边形的概念1.下列3个图形中是位似图形的有个.知识点二：位似多边形的性质2.下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？对应边有何位置关系？知识点三：位似多边形的作图3.如图 1-30，已知△ABC 与点 O . 以点 O 为位似中心，画出△A'B'C'，使它与△ABC 是位似图形，并且相似比为 3∶2 .画法一：（位似中心在图形的同一侧）画法二：（位似中心在图形之间）.【巩固训练】 1.下列说法中正确的是( ) A.位似图形可以通过平移而相互得到 B.位似图形的对应边平行且相等C.位似图形的位似中心不只有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等2.下列图形中位似中心在图形上的是( )3.如图，已知△EFH 和△MNK 是位似图形，那么其位似中心是点（ ）A.AB.BC.CD.D4.如图，△ABC 与△A 1B 1C 1为位似图形，点O 是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC 的面积为3，那么△A 1B 1C 1的面积是 .5.已知△ABC 与点O ， 以O 为位似中心，画出△A ’B ’C ’，使它与△ABC 是位似图形，并且相似比为1：2.【拓展延伸】6. 如图，在8×6网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和四边形ABCD 的顶点均在小正方形的顶点上。

图形的相似教案图形的相似教案相似图形是数学中一个重要的概念，它在几何学中有着广泛的应用。

相似图形是指形状相似但大小不同的图形。

在教学中，如何教授相似图形的概念和性质是一个关键问题。

本文将介绍一个以实际问题为基础的相似图形教案，旨在帮助学生更好地理解相似图形的概念和应用。

第一部分：引入实际问题教师可以通过引入一个实际问题来激发学生对相似图形的兴趣。

比如，假设学生们要设计一个城市公园，他们需要根据给定的条件来设计公园的布局。

这个问题可以引导学生思考如何利用相似图形来设计公园的不同部分。

第二部分：引入相似图形的定义在引入实际问题后，教师可以引导学生思考相似图形的定义。

相似图形是指形状相似但大小不同的图形。

教师可以通过展示不同大小的三角形或四边形来引导学生观察和比较它们的形状，并引导学生总结相似图形的特点。

第三部分：相似图形的性质在引入相似图形的定义后，教师可以介绍相似图形的性质。

相似图形具有以下性质：1. 边长比例：相似图形的对应边长之比相等。

教师可以通过展示几组相似图形，并让学生计算它们的边长比例来演示这一性质。

2. 角度相等：相似图形的对应角度相等。

教师可以通过展示几组相似图形，并让学生测量它们的角度来演示这一性质。

3. 面积比例：相似图形的面积比等于边长比的平方。

教师可以通过展示几组相似图形，并让学生计算它们的面积比例来演示这一性质。

第四部分：应用相似图形在学生理解相似图形的概念和性质后，教师可以引导学生应用相似图形解决实际问题。

比如，学生可以利用相似图形的性质来计算高楼大厦的高度，或者设计一个缩小比例模型。

第五部分：总结和拓展在教学的最后，教师可以与学生一起总结相似图形的概念和性质，并鼓励学生思考更多与相似图形相关的问题。

教师还可以引导学生拓展相似图形的概念，如黄金分割、相似三角形的中线定理等。

通过以上教案，学生可以通过实际问题的引入，理解相似图形的概念和性质，并能够应用相似图形解决实际问题。

【九年级数学预习学案】图形的相似（一）班级姓名主备人：*** 【学习目标】1、通过观察识别相似图形。

2、感受相似图形，理清他们之间的关系。

【学习重点】快速辨认相似图形。

【学习方法】自主探究、合作交流与同学讨论相结合。

【学习流程】一、知识链接什么是全等图形？全等图形具有哪些性质？二、学生自学三、出示自学提纲（学生独立完成，小组长批改。

）1、同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物的形状。

2、两个足球的形状它们的大小。

3、两个正方体物体的形状。

4、叫做相似图形。

5、两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形得到。

四、合作探究12、你看过哈哈镜吗？哈哈镜中你的形象与你本人相似吗？3、放大镜下的图像与原来的图形相似吗？4、指出下列各组图形中哪些是相似图形。

（1）两个腰长不等的等腰三角形。

（2）两个半径不等的圆。

（3）两个面积不等的矩形。

（4）两个边长不等的正方形。

以上各题，你自主学习的是合作学习的是你的收获是易错点是五、当堂检测（完成下列问题，你便可以顺利通过本节的学习了，加油啊！）1、下列几组图形中相似的有（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）2、下面给出的图形中，不是相似的图形的是（）A．刚买的一双手套的左右两只 B．宽度不同的两快长方形木板C．一对羽毛球球拍 D．复印出来的两个“春”字3、下面两个图形一定是相似图形的一组是（）①两个直角三角形；②两个大小不等的等腰直角三角形③两个边长相等的菱形；④两个等边三角形。

A. ①②B. ②④C. ①④D. ②③4、你看到过你在水中的倒影吗？倒影中的形象与你本人相似吗？5、在平面直角坐标系中，将下列各点连结起来(-2,2),(2,2),(2,-2),(-2,-2)（1）你能得到一个什么图形？（2）请你再画一个与该图形相似的图形。

六、拓展创新（下面的题目有一定的难度，你能解决吗？相信聪明的你会成功的！）如图，试着在方格纸中画出与原图形相似的图形，你用的是什么方法？七、盘点收获本节课你有哪些收获，与大家分享分享吧。

时间：2010年4月14日上午第一节科目：数学授课班级：915授课地点：915教室主讲人：万方红课题：《图形的相似》课型：复习课【教学目标】1.理解相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边的比相等，面积的比等于相似比的平方。

2.了解相似三角形的概念，掌握两个三角形相似的条件。

3.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。

4.认识现实生活中物体的相似，能利用图形的相似解决一些实际问题。

【教学重点】相似多边形的性质和判定【教学难点】运用图形的相似解答问题【教具准备】学案一份【课时安排】1课时【教学方法】讲练结合【教学过程】【知识梳理】一、图形的相似 1.如果两个多边形满足 相等， 相等，那么这两个多边形相似。

2.相似多边形的，。

3.我们把相似多边形称为相似比。

二、相似三角形及相似多边形1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

如图1，l 3∥l 4∥l 5，则ABBC=（ ） 如图2，l 3∥l 4∥l 5，则ADDB=（ ） 如图3，l 3∥l 4∥l 5，则DAAB=（ ）由图2、图3可以得到：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。

2.三角形的判定定理：①平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

②如果两个三角形的三组对应边，那么这两个三角形相似。

③如果两个三角形的两组对应边，并且相等，那么这两个三角形相似。

④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角 ，那么这两个三角形相似。

3.相似多边形的周长与面积 ①相似三角形周长的比，、、 都等于。

②相似多边形周长的比、对应对角线的比等于。

相似多边形面积的比等于。

三、位似图形1.如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线，对应边，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做。

2.在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于。

九年级数学《图形的相似》（第2课时）导学案
一、教学目标
知识与技能
理解并掌握相似多边形的性质以及运用相似多边形的性质解决实际问题。

过程与方法
经历探索相似多边形的性质的过程，进一步发展学生归纳、类比、反思、交流等方面的能力。

情感态度与价值观
在探索过程中激发学生的求知欲，发展学生的交流合作精神。

二、重点难点
重点
相似多边形的对应边成比例，对应角相等的性质。

难点
应用相似多边形的性质解决实际问题。

三、学情分析
我们已学过相似图形的概念和全等三角形的性质，在此基础上研究相似图形的性质并不是很困难，教学过程中要注意类比全等图形的性质，从特殊到一般，引导学生观察、猜想、归纳、验证推理，从而让学生掌握相似图形的性质。

1 A
B
4在比例尺为1:1000000的中国地图上,量
小结：。

图形的相似及相似图形的性质--知识讲解【学习目标】1、了解比例线段的概念及有关性质，明确相似比的含义并能灵活运用比例的性质进行运算求值；2、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似以及相似图形的性质.【要点梳理】要点一、相似图形1.定义：具有相同形状的图形称为相似图形.要点诠释：(1) 相似图形对应线段的比叫相似比；(2) 相似图形的周长比等于相似比；（3）相似图形的面积比等于相似比的平方.要点二、比例线段1．两条线段的比：在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条线段的比.2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：如果b c,a d=那么ad=bc.要点诠释：（1）a，b，c，d叫做这个比例的项，a，b叫做比例外项，b，c叫做比例内项. （2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a,c的比例中项）4．比例的性质：（1）合分比性质：如果a c,b d=那么a b c db d±±=；（2）等比性质：如果a c m......b d n===（b+d+……+n≠0），那么a c......m a.b d......n b+++=+++【典型例题】类型一、比例线段1. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cm C．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．2.（2014秋•滨海县期末）已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【总结升华】本题考查了比例线段及其相关计算，注意利用代数的方法解决较为简便．3.（2016•洪泽县一模）已知=，则=．【总结升华】本题考查了比例性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．举一反三：类型二、相似图形4. 指出下列各组图中，哪组肯定是相似形__________：(1)两个腰长不等的等腰三角形(2)两个半径不等的圆(3)两个面积不等的矩形(4)两个边长不等的正方形举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？类型三、相似多边形5.（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．图形的相似及相似图形的性质--巩固练习【巩固练习】一．选择题1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为（）A.3kmB.30kmC.300kmD.3 000km2. 下列四条线段中，不能成比例的是（）A.a＝2，b＝4，c＝3，d＝6B.a＝，b＝，c＝1，d＝C.a＝6，b＝4，c＝10，d＝5D.a＝，b＝2，c＝，d＝23. 下列命题正确的是( )A．所有的等腰三角形都相似B．所有的菱形都相似C．所有的矩形都相似D．所有的等腰直角三角形都相似4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )A．(-2a，-2b) B．(-a，-2b) C．(-2b，-2a) D．(-2a，-b)5.（2016•兰州模拟）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C．D．6.（2014•闸北区一模）对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变B．图形中线段的长度与角的大小都会改变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变二. 填空题7. （2016•常州）在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是km．8. 若，则________9．已知若-3=,=____;4x y xy y则若5-4=0,x y则x:y=___.10.（2015•和平区模拟）有一块三角形的草地，它的一条边长为25m．在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是m．11. 用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结论①放大后的∠B 是原来∠B 的10倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等， 则正确的有 . 12. 如图：梯形ADFE 相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则______.AEBE=三 综合题 13.如果a b c dk b c d a c d a b d a b c====++++++++，一次函数y kx m =+经过点（-1,2），求此一次函数解析式.14.（2014秋•慈溪市期末）一个矩形ABCD 的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD 的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF 后，余下的矩形EFDC 与原矩形相似，求余下矩形EFDC 的面积．15. (2015.新宾县模拟)如图：矩形ABCD 的长AB=30，宽BC=20． （1）如图（1）若沿矩形ABCD 四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似吗？请说明理由； （2）如图（2），x 为多少时，图中的两个矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似？平行线分线段成比例及相似多边形【学习目标】1. 平行线分线段成比例及其推论.2. 平行线分线段成比例及其推论的应用.3.相似多边形的有关概念. 【要点梳理】要点一、平行线分线段成比例及其推论平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 要点诠释：(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示：右全左全右上左上全上全上下上下上===,,等等. （2）有推论可以得出以下结论：要点二、行线分线段成比例及其推论的应用行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度. 要点三、相似多边形的有关概念 相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”.相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比. 要点诠释：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； （2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．【典型例题】类型一、平行线分线段成比例及其推论1、如图，直线AD∥BE∥CF，BC=2、（2015•安庆一模）如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．举一反三【变式】如图，直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，已知AC=4，CE=6，BD=3，则BF等于______________.类型二、平行线分线段成比例及其推论的应用3、如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC，△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，AB=7，求CD的长．A．4.5 B．8 C．10.5 D．144、如图，直线l1∥l2∥l3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF的值为（）A 23B32C 6 D16举一反三【变式】如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF ∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5类型三、相似多边形的有关概念5、如图是一个由12个相似（形状相同，大小不同）的直角三角形所组成的图案，它是否有点像一个商标图案？你能否也用相似图形设计出几个美丽的图案？最好再给你设计的图案取一个名字．6.（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．【巩固练习】一、选择题1. 下列四组图形中，一定相似的是（）A．正方形与矩形B．正方形与菱形2A ABEFBCDEFCBOOEDBCBE3．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）4．如图，在平行四边形ABCD 中，AC=4，BD=6，P 是BD 上的任一点，过点P 作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E 、F ，设BP=x ，EF=y ，则能反映y 与x 之间关系的图象是（ ）BCDA ．2B ． 4C ．D ．6．如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 7．（2014秋•江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有 （填序号）．8．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm ，这次复印的放缩比例是 ．9．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AB=6，AE=3，则AC的长为．10．如图，在△ABC中，若DE∥BC，=，DE=4cm，则BC的长为．11．如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AC，DE=4，那么EF的值是．12．如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=12∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长为．三、解答题13. 如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF=5：8，AC=24．（1）求AB的长；（2）当AD=4，BE=1时，求CF的长．14.（2014秋•慈溪市期末）一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．15．己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．（1）求证：BE=DF；（2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．探索相似三角形相似的条件【学习目标】1. 相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力. 【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A 的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似. 要点诠释：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果AC BCAB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 要点诠释：AC AB =≈0.618AB(0.618是黄金分割的准确值). 2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形举一反三：【变式】（2014秋•江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有（填序号）．类型二、相似三角形的三个判定定理2、如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．3、（2014秋•洪江市期中）如图所示，在△ABC 中，AB=8cm ，BC=16cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 同时出发，经过多长时间后，△PBQ 与△ABC 相似？试说明理由．4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF ． 【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽△DEF ．举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似？并证明你的结论．类型三、黄金分割5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215 ≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？举一反三：【变式】以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，（1）求AM，DM的长，（2）试说明AM2=AD·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）.A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm【总结升华】黄金分割知识的理解和运用要结合生活实践.【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：（1）若AB= A1B1，AC= A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；（2）若AB= A1B1，AC= A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；（4）若AC：A1C1=CB：B1C1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．其中真命题的个数为（）A． 4个B． 3个C． 2个D． 1个2．（2015•大庆校级模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．3．）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（）A．P1 B． P2 C． P3 D． P44．如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ABC的是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm二、填空题7.（2015•伊春模拟）如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为．8．如图，已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠DEC，且点E为AB边中点，则图中有对相似三角形．9．如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是．10．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，当AC=3，AB=5，DE=10，EF=8时，Rt△ABC和Rt△DEF 是的．（填“相似”或者“不相似”）11. 如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长约为__________cm（结果精确到0.1cm）.△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________．三、解答题13. 如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，求证：△ABC∽△DEF．14．如图，△ABC 中，∠ABC=60°，AD ，CE 分别为BC ，AB 上的高，F 为AC 的中点，试判断△DEF 的形状，并证明你的结论．15.（2014秋•元宝区校级月考）如图，在三角形ABC 中，AB=8，AC=16，点P 从点B 开始沿边BA 向点A 以2厘米每秒的速度移动，点Q 从点A 向点C 以4厘米每秒的速度移动，如果点P 、Q 分别从点B 、A 同时出发，经过多少秒时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与三角形ABC 相似？相似三角形判定定理的证明【学习目标】1.熟记三个判定定理的内容.2.三个判定定理的证明过程.3.学选会用适当的方法证明结论的成立性. 【要点梳理】要点一、两角分别相等的两个三角形相似已知：如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′.求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A ′B ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则∠ADE=∠B ，∠AED=∠C,(.AD AEABAC平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F,则(AD CFAB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CFAC CB= ∵DE ∥BC,DF ∥AC,∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF.∴AE:AC=DE:CB ∴AD AE DEAB AC BC==. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠A ′,∠ADE=∠B=∠B ′,AD=A ′B ′, ∴△ADE ∽△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时 辅助线的做法.要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 已知，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′,''''AB ACA B A C =,求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A ′B ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,∴△ABC ∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似).∴AB ACAD AE =. ∵''''AB ACA B A C = ,AD=A ′B ′, ∴''AB ACAD A C = ∴''AC ACAE A C =而∠A=∠A ′∴△ADE ≌△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的. 要点三、三边成比例的两个三角形相似 已知：在△ABC 和△A ′B ′C ′中， ''''''AB BC ACA B B C A C ==. 求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A ′B ′,AE=A ′C ′,连接DE. ∵''''AB ACA B A C =，AD=A ′B ′,AE=A ′C ′, ∴AB ACAD AE= 而∠BAC=∠DAE,∴△ABC ∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).∴AB BCAD DE = 又''''AB BCA B B C =，AD= A ′B ′, ∴ ''AB BCAD B C = ∴''BC BCDE B C = ∴DE=B ′C ′,∴△ADE ≌△A ′B ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. 【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似1、在△ABC 中，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为D ，CE⊥AB，垂足为E ，求证：△ADE∽△ABC．举一反三【变式】如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE=60°，求证：BD•CD=AC•CE.2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD．【总结升华】考查了垂直定义、三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．举一反三【变式】（2015•随州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．=D．=4、（2014秋•揭西县校级期末）如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．举一反三【变式】如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=°，BC= ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．类型三、三边成比例的两个三角形相似5、已知：正方形的边长为1（1）如图①，可以算出正方形的对角线为，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，n个呢？（2）根据图②，求证△BCE∽△BED；（3）由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1．∠BEC+∠BDE=45°；⒉∠BEC+∠BED=45°；⒊∠BEC+∠DFE=45°【巩固练习】一、选择题1. 如图，已知∠C=∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是（）A ∠BAD=∠CAEB ∠B=∠DC BC ACDE AE= DAB ACAD AE=2．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（）A．一定相似B．当E是AC中点时相似 C．不一定相似D．无法判断3．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC=BC ．图中相似三角形共有（ ）A ． 1对B ． 2对C ． 3对D ． 4对4. （2015•荆州）如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABP=∠CB ． ∠APB=∠ABCC ． =D ．=5．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）A B C D6．在△ABC 与△A′B′C′中，有下列条件：（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4二、填空题7.（2015春•工业园区期中）如图，在△ABC 中，P 为AB 上一点，则下列四个条件中 （1）∠ACP=∠B；（2）∠APC=∠ACB；（3）AC 2=AP•AB；（4）AB•CP=AP•CB， 其中能满足△APC 和△ACB 相似的条件有 （填序号）．8．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）9．如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC △DEF（在横线上方填写“一定相似”或“不一定相似”或“一定不相似”）．10．如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知，又因为，可证明△AOB∽△DOC．11．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD ∽△COE．正确的序号是．12．如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形中共有对相似三角形．（不添加任何辅助线）三、解答题13.（2014秋•射阳县校级月考）如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G点，（1）求证：AC2=CE•CF；（2）若∠B=38°，求∠CFD的度数．14．如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）如果AC=BD，AD=2BD，设BD=a，求BC的长．15．已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M．（1）求证：△ABF≌△DAE；（2）找出图中与△ABM相似的所有三角形（不添加任何辅助线）．相似三角形的性质及应用--知识讲解【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。