7.6 空间直线及其方程_图文.ppt

x − x0 y − y0 z − z0 令 = = =t m n p
x = x0 + mt y = y0 + nt z = z + pt 0
直线的参数方程 直线的一组方向数 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为 直线的方向余弦 方向余弦. 直线的方向余弦
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
m1 n1 p1 = = , (2) L // L2 ⇐⇒ 1 m2 n2 p2
r 例如， 例如， 直线 L : s1 = {1,−4, 0}, 1 r 直线 L2 : s2 = {0,0,1}, r r r r Qs1 ⋅ s2 = 0, ∴s1⊥ s2 , 即 L1⊥L2 .
(− 例3 求 过点 −3, 2, 5)且与 两平面x − 4z = 3和
r^r π (s, n) = −ϕ 2
r s = {m, n, p}, r n = {A, B, C},
r^r π (s, n) = + ϕ 2
π π sinϕ = cos( −ϕ ) = cos( +ϕ ) . 2 2
| Am + Bn + Cp | sinϕ = A2 + B2 + C2 ⋅ m2 + n2 + p2
所求直线方程为
x − 2 y −1 z − 3 . = = 2 −1 4
四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹 称为直线与平面的夹角． 角ϕ 称为直线与平面的夹角． ϕ π 0 ≤ϕ ≤ . 2
x − x0 y − y0 z − z0 L: , = = m n p Π : Ax + By + Cz + D = 0,
x y z = 和平面3x − 2 y + 7z = 8的关系是 5、直线 = 3 −2 7 ____________； ____________； x−2 y+2 z−3 6、直线 = = 和 平面x + y + z = 3的 关 3 1 −4 系是_________ 系是_________ .

因此所求直线的方程为
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例7.6.3 求过 的交点且方向向量为
解：所给直线的参数方程为
与平面2x＋y＋z－6=0
的直线
x = 2 + t, y =3+t, z=4+2t, 代入平面方程中，得 2(2+t) + (3+t) + (4+2t)－6=0. 解得t =－1. 把求得的t值代入直线的参数方程中即，得 所求交点的坐标为 故所求直线方程为
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(2) 直线 l 的任一方向向量
直线的一组方向数, 而向量
角的余弦称为直线的方向余弦
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2. 直线的对称式方程与参数方程
已知直线上一点 任取直线上一点 和方向向量
则
即 向量式参数方程
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所以 坐标式参数方程
解: 先在直线上找一点.
令 x = 1, 代入直线方程得
解得
是直线上一点 .
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再求直线的方向向量
交已知直线的两平面的法向量为
因为直线与两平面的法向量垂直,所以可取
故所给直线的对称式方程为 参数式方程为
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所以投影直线的方程为
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x 5 y z 0, 例 7.6.7 求 通 过 直 线 且与平面 x z 4 0 π x 4 y 8 z 1 2 成0 角的平面． 4 解： 设所求的平面为 ( x 5 y z ) ( x z 4) 0 ，

空间直线的一般方程25直线的点向式方程其中方向向量26两直线的夹角公式求上半球与圆柱体的公共部分在2121xoy公共部分体在坐标面的投影为圆面xoz公共部分体在坐标面的投影为37页习题84282121axxoyxoz求上半球与圆柱体的公共部分在2121消去参数xoz消去参数30定义直线和它在平面上的投影直线的夹cpbnamsincos32直线与平面的位置关系
i
j k
3i 4 j k
2 1 3 1 3 2
ijk
s2 n3 n4 2 2 1
38 1
2 1 2 1 2 2
i 8
j 13
k 13
8 10i 5 j 10k
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s1 s2 cos( L1 , L2 ) s1 s2
30 20 10
0.
9 16 1 100 25 100
y3
z4
1
1
2
的解。
2x y z 6 0
利用直线的参数方程求解更简便
第39页/共64页
设 x2 y3 z4 t
1
1
2
x 2 t, y 3 t, z 4 2t
代入题中平面方程 2 x y z 6 0
中得：4 2t 3 t 4 2t 6 0
t 1
代入参数方程中得： x 1, y 2, z 2
注：
x
同一条直线的方向向量有无穷多个。
有单位向量，还有一般的向量。
第5页/共64页
下面导出直线的点向式方程
z
s
L
M0( x0, y0, z0 ), s (m, n, p),
M L, M ( x, y, z),
M M0
o
y
M0M// s

M(x,y,z)
M(x0,y0,z0)
O
y
x
1.对称式方程(点向式)
• 方向向量:
– 如果一个非零向量s平行于一 条已知直线，这个向量s就叫 做该直线的方向向量。
对称式方程的建立
直线上任一向 量都与s平行.
s
L
M(x,y,z)
依据：
M(x0,y0,z0)
过空间一点可以做且只可做一条直线与已知直 线平行，故当已知直线上一点M0与一个方向向 量s，则直线位置完全可以确定下来。
第六节 空间直线及其方程
在空间直角坐标系中： 一个三元一次方程表示一个平面； 一个三元二次方程表示一个曲面； 两个曲面的交线表示一空间曲线； 两个平面的交线表示（空间直线）。
F (x2, y2, z2) = 0
²¦
第 八节 空间直线及其方程
直线的点向式方程 直线的一般方程 直线的参数方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 例题、练习与思考
2.将直线对称式方程L化 为一般方程.
L:x1= y =z2 4 1 3
解 （2） 求一般方程，
由

x y

=
=y
z 2
？？？
x y = z y = 2
即为所要求的一般方程.
3.将直线的一般方程L化 为标准方程
（即对称式方程）.
= 1 = 2.=.
22
4
的夹角
设直线 L的方向向量 s={m,n,p} 设平面π的法线向量 n ={A,B,C} 则定义s 与n 的夹角为直线 L与平 面π的夹角.记作φ .
直线与平面的夹角（图示）
这是平面π与 直线L的交角
s={m,n,p}

其中系数 A1、B 1、C 1 与 A 2、B 2 、C 2 不成比例. 方程
A1x B1y C1z D1 A2x B2 y C2z D2 0
表示通过直线 L 的平面束(通过直线L 的平面的全体), 其中 是任意常数.
例6
求直线
x y z1 0
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
| 1 2 (1) (1) 2 2 | 7 .
6 9
36
arcsin 7 为所求夹角．
36
五、平面束
设直线 L 的方程为

A1x A2 x

B1 y B2 y
C1z D1 0, C2z D2 0
y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解得 y0 0, z0 2
点坐标 (1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s

n1

n2

{4,1,3},
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
x 1 4t
(s^,n)
2
(s^,n)
2
sin

cos
2



cos
2
.
sin
| Am Bn Cp | A2 B2 C 2 m2 n2 p2
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1)
L

A B C. mn p
第六节 空间直线及其方程
空间直线方程 空间直线和直线，直线和平面的
夹角

x − x 0 y − y0 z − z 0 = = m n p
z
(2)
以图形与方程的两个条 件 检验知( 2)即为所求直线的方 程.
(2)叫直线的对称式方程 (2)叫直线的对称式方程
o
l
M •
•
r s
M0
y
r 注意 因方向向量 s 和点M 0 对于直线来说并不是唯 一的, 所以直线的对称式方程 也非
令
得l的参数方程为
x y −1 z − 2 = = = t， 1 −7 −5
x = t， y = 1 − 7 t， z = 2 − 5t.
解法 2 l的方向数为
−1 −1 2 2 1 : : = 1 : ( −7) : ( −5), −1 2 2 3 3 −1 1
2 −9 再设 z = 0, 解得 : x = , y = , 5 5
两 平 面 的 交 线
方程(Ⅱ)不是 方程(
l 的对称式方程,所以向量 {8 , 2 , 3 }, 的对称式方程,
2 , 3 }// {4 , 2 , 3 }
也不是 l的一个方向向量 . 点(1,1,4) 也不是 l 上一定点 .
事实上
{8 ,
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = m n p
直线的一组方向数 直线的一组方向数
r s = (m, n, p)是直线的方向向量.
方向向量的余弦称为直线的方向余弦 方向向量的余弦称为直线的方向余弦. 方向余弦
x − x 0 y − y0 z − z 0 令 = = =t p m n
x = x0 + mt y = y0 + nt z = z + pt 0
(λ为任意常数 )

练习.思考.讨论
1.求过点A（3，-2，1）且垂直于直线
的平面方程.
1 .答 (x 案 3 ) (y 2 ： ) (z 1 )= 0
2.用参数方程与对称式方程表示直线：x y z =1
x =1 2t
2x y z = 4
参数方程：y =1 t
z =1 3t
解 先求点Mo，不妨令y=0, 则有 x=1,z=-2，即
Mo(1,0,-2); 再求 s, 由 n ={,,0}
n2 ={0,,},
s = nn2
i jk
= 0 = i j k
x1= y =z2 0 4 1 3
带回标准方程，得结果如左 .
3.验证两条直线 L1,L2是
否共面.其中
L:
2
x x

y z y 2
= 0, ( ) z = 0, ( 2
)
L2:
x 2

x


y
yz 2z
= =
, ( , ( )
) .
答：共面.可以由前三个 平面方程联立解得： x=4, y=5, z=-7,
φθ
这是直线L与其在平 面π上投影的交角
L
L:xx0 =yy0 =zz0
mn
p
π
π Ax+By+Cz+D=0
四.直线与平面的夹角
已知直线L的方向向量为（m, n, p） n={A,B,C}
平面π的法向量为（A，B，C），则有
φ
s={m,n,p
θ
夹角公式：
cos =
| mAnBpC|
m2 n2 p2 A2 B2 C2

4 1 3
参数式方程为

x y

1 t
4
t
z 2 3 t
解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量.
2019/10/31
6
例 2 求与两平面x－4y = 3 和2x－y－5z = 1 的交线平 行且过点(－3, 2, 5)的直线的方程.
解：因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直 线的方向向量s 一定同时与两平面的法线向量n1、n2 垂直，所以可以取
L1:
x1yz3 1 4 1
x y 2 0 L2 : x 2z 0
解: 直线 L 1的方向向量为 s1(1,4,1)
i jk
直线 L 2 的方向向量为 s 2 1 1 0 (2,2,1)
二直线夹角 的余弦为
10 2
cos 1 2 ( 4 ) ( 2 ) 1 ( 1 ) 2
面的全体称为平面束，而方程(III)就作为通过直线L的
平面束的方程(事实上，方程(III)表示缺少平面(II)的平
面束).
2019/10/31
15
例6 求直线 方程.
在平面x+y+z=0上的投影直线的
解：过直线
的平面束的方程为
(x +y- z-1) + (x－y+z+1)=0, 即 (1+ )x+(1- )y+(-1+ )z+(-1+ )=0, (*)
设 xx0yy0zz0t mn p
得参数式方程 :
xx0mt yy0nt zz0pt
2019/10/31
4
例1 用对称式及参数式表示直线
x yz 10 2x y3z 40

y0
2 1.5
交线在xoz坐标面的投影
1 0.5
-02
消去参数y,
z
2
a2
ax
y 0 PPT课件
-1 0 1
2
30
四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹
角 称为直线与平面的夹角．
0 .
2
L : x x0 y y0 z z0 , sr (m, n, p),
:
m
n
p
s1 s2
cos(L1, L2 ) ur ur
s s 1PPT课件2
20
281
2
cos(L1 , L2 )
. 1 16 1 4 4 1 2
所以两直线的夹角为 . 4
PPT课件
21
练习
求直线
5x 3y 3z 9 0
3x
2y
z
1
0
与
直线
2x
3
x
2 8 uur
y y
z z
PPT课件
9
从空间直线的一般方程到对称式方程
L
:
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
先在直线上任取一点。再求直线的方向向量。 uur
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 nuu1r (A1, B1,C1) 2 : A2 x B2 y C2z D2 0 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
代入题中平面方程 2 x y z 6 0
x x0 y y0 z z0 直线的对称式方程
m
n
p
PPT课件
7
下面得出直线的参数方程