双曲型方程的差分方法(精)

双曲守恒律方程及其差分方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊双曲守恒律方程及其差分方法。

你说这双曲守恒律方程啊，就像是个调皮的小精灵，总是在数学的世界里蹦来蹦去，让人又爱又恨。

它描述的那些物理现象，就好像是一场奇妙的冒险，充满了未知和惊喜。

想象一下，各种物质的流动、变化，都能被这双曲守恒律方程给捕捉到。

它就像一个超级敏锐的观察者，不放过任何一个细微的动态。

而这差分方法呢，就像是给这个小精灵套上了缰绳，让我们能够更好地驾驭它，去探索那些神秘的领域。

你看啊，差分方法就像是一把神奇的钥匙，能打开双曲守恒律方程背后隐藏的秘密。

它通过巧妙的计算和分割，把复杂的问题变得简单易懂。

这就好比我们走路，一步一步稳稳当当，把长长的路给走完。

比如说，在研究流体流动的时候，双曲守恒律方程就发挥着重要作用。

差分方法能让我们更准确地预测流体的行为，就像是能提前知道水流会往哪里拐，风会往哪里吹。

这多厉害呀！要是没有这差分方法，那我们对这些自然现象的理解可就要大打折扣了。

而且啊，这双曲守恒律方程和差分方法可不是孤立存在的。

它们就像一对好搭档，相互配合，共同攻克一个又一个难题。

就好像篮球场上的队友，互相传球，一起为了胜利而努力。

咱再想想，要是没有对双曲守恒律方程及其差分方法的深入研究，那很多现代科技还能发展得这么快吗？那些酷炫的特效、精确的模拟，不都得靠它们嘛！这可不是随便说说的，这是实实在在的贡献啊！双曲守恒律方程及其差分方法，它们不仅仅是数学中的概念，更是打开科学大门的重要工具。

它们让我们能够更深入地理解这个世界，让我们的生活变得更加丰富多彩。

所以说啊，别小看了这双曲守恒律方程及其差分方法。

它们就像是隐藏在数学世界里的宝藏，等待着我们去发掘，去探索。

它们的价值和意义，远远超出了我们的想象。

总之，双曲守恒律方程及其差分方法，那可是相当重要啊！我们可得好好研究，好好利用，让它们为我们的生活带来更多的惊喜和进步！这就是我对它们的看法，你们觉得呢？。

双曲型方程的有限差分法§0 预备知识0.1双曲型方程的常见类型： （1）、一阶线性双曲型方程()0u ua x t x∂∂+=∂∂ （2）、一阶常系数线性双曲型方程组0u u A tx∂∂+=∂∂其中u 为未知函数向量，A 为p 阶常数方阵。

（3）、二阶线性双曲型方程（波动方程）一维 22(())0u ua x x x t∂∂∂-=∂∂∂ a (x )为正值函数二维 222222()0u u ut x y∂∂∂-+=∂∂∂三维 22222222()0u u u ut x y z∂∂∂∂-++=∂∂∂∂（4）、对流扩散方程()()(())(,)u u u c x b x a x f x t t x x x∂∂∂∂+-=∂∂∂∂ 等等。

这些方程的定解条件，可以是仅有初始条件，也可以是初始条件与边界条件的混合。

如对波动方程（一维），有 （1）、初值问题2222201,0(,0)()(,0)()u u a x t Tt xu x x x u x x x tϕϕ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩∂∂=-∞<<∞<≤∂∂=-∞<<∞∂=-∞<<∞∂（2）、混合问题第一类：222220101,0(,0)()01(,0)()01(0,)(1,)00t u u a x t Tt x u x x x u x x x u t u t t Tϕϕ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩∂∂=<<<≤∂∂=≤≤=≤≤==<≤第二类：边界条件改为：(0,)0,(1,)0,0u u t t t T x∂==<≤∂第三类：边界条件改为：(1,)(0,)0,(1,)00u t u t u t t T xα∂=+=<≤∂0.2 波动方程及其特征线性双曲型方程的最简模型：波动方程初值问题22222,0,.u u a a x t x∂∂=>-∞<<∞∂∂ （1） 0(,0)()u x x ϕ= 1(,0)()t u x x ϕ=下面讨论它的特征和解析解。

41-波动方程的差分逼近第五章 双曲型方程的有限差分法 4.1 波动方程的差分逼近 1. 特征针对波动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂ （1） 其初值条件为 01(,0)(),(,0)(),t u x x u x x x ϕϕ==-∞<<∞其中0a >是常数。

其相应的特征方程为characteristic equation 2220dx a dt -= 即 221()0dt a dx-= 得到两个特征方向：characteristic direction1dt dx a=± （3） 解（3），得到两族直线： 12,x at c x at c -=+= 2. 显格式取空间步长h 及时间步长τ，用两族平行直线two family of parallel lines,0,1,2,j x x jh j ===±±L,0,1,2,n t t n n τ===L作矩形网格rectangle 。

在(,)j n x t 对方程（1）离散，得到111122222,0,1,2,,,1,2,n n n n n nj j jj j j u u u u u u aj n h τ+-+--+-+==±±L L （5.1）初始条件为00()j j u x ϕ= （5.2）101()j jj u u x ϕτ-= （5.3）（5.1）式逼近的截断误差为22()h τO +。

由于(5.3)式逼近截断误差为()τO ，因此对（5.3）的逼近可作适当改进。

（5）可显示算出各网点的值。

（5.1）简化后可以写成122111()2n n n n n j j j j ju r u u r u u +--+=++-（1-） （6） 针对混合问题：2222201,0,0,(,0)(),(,0)(),(0,)(),(,)().t u ua x l t T t x u x x u x x u t t u l t t ϕϕαβ⎧∂∂=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩此时取空间步长l h J =及时间步长TNτ=，同样建立离散格式（5），针对边值条件，可给出离散的边值条件(),().nn l u n u n ατβτ==3. 稳定性分析为了利用Fourier 方法，令uv t∂=∂，将（1）化成一阶偏微分方程组： 222uv tv u a tx ∂⎧=⎪⎪∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （7） 再令uw ax∂=∂，则（7）变为 v w a t x w v a tx ∂∂⎧=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （8）令(,)T U v w =及0a A a ⎛⎫=⎪⎝⎭则（8）变为0U UA t x∂∂-=∂∂ 因此，差分方程（5）可写成1112211111122n n n n j j j j n nn n j j j j w w v v a h w w v v ah ττ++-+++---⎧--⎪=⎪⎪⎨-⎪-⎪=⎪⎩（10） 按照Fourier 方法，设12exp(),exp()n n n nj j j j v v i x w v i x αα==，2p lπα=代入（10），消去公因子common factor exp()j i x α和12exp()j i x α-，得到1121111222(sin ),2(sin)n n n n n nphv ir v v lphir v v v lππ+++-=-+=即111122()n nn n v v ph G l v v π++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中 21()(2sin )1ic phph G c r l l ic c ππ⎛⎫== ⎪-⎝⎭为增长矩阵，其特征方程为22(2)10c λλ--+= （14） 其根按模小于1的充要条件是absolute value of root 2|2|2c -≤ （15） 即1r ≤，此为必要条件。

第三章 双曲型方程的差分方法1 一阶线性常系数双曲型方程考虑常系数线性方程0,,0u u a x R t t x∂∂+=∈>∂∂ （1.1） 其中，a 是常数。

附以初始条件0(,0)(),u x u x x R =∈ （1.2）其解沿（1.1）的特征线x at ξ-= （1.3）是常数，并可表示为00(,)()()u x t u u x at ξ==-以下讨论双曲型方程的一些常用格式。

1.1 迎风格式迎风格式的基本思想是在双曲型方程中关于空间偏导数，用在特征线方向一侧单边差商来代替。

（1.1） 的迎风格式为110n n n nj jj j u u u u ahτ+---+=，0a > （1.4）110n n n n j jj ju u u u ahτ++--+=，0a < （1.5）其中,h τ分别为时间步长和空间步长。

根据上一章讨论，当1a λ≤（/h λτ=）时，差分格式（1.4）是稳定的。

同样的方法可知，当||1a λ≤差分格式（1.5）是稳定的。

类似地，用Fourier 方法讨论差分格式：110n n n nj jj ju u u u ahτ++--+=，0a > （1.6）110n n n n j jj j u u u u ahτ+---+=，0a < （1.7）其增长因子为(,)1ikh G k a a e τλλ=+-由此有22222|(,)|[1(1cos )]sin G k a kh a kh τλλ=+-+214(1)sin 2kh a a λλ=++ 取sin02kh≠，|(,)|1G k τ>，从而破坏了von Neumann 条件，因此差分格式（1.6）是绝对不稳定的。

同理，差分格式（1.7）也是绝对不稳定的。

差分格式（1.4）与（1.7）在形式上式一致的，但因为a 的符号，一个是条件稳定的，一个是绝对不稳定。

主要原因是与微分方程的特征线有关，有以下结论：如果差分格式（所用的网格点）与微分方程的特征线走向一致，那么网格比满足一定条件下是稳定的，否则差分格式是不稳定的。