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ch5-双曲型方程的差分方法

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双曲型偏微分方程组的数值解法研究

双曲型偏微分方程组的数值解法研究

双曲型偏微分方程组的数值解法研究双曲型偏微分方程组是描述波动、传播、传输等现象的常见数学模型之一，在各个科学领域中都有广泛的应用。

双曲型偏微分方程组通常具有复杂的特征，其解析解往往难以求得，因此需要用数值方法求解。

本文将介绍双曲型偏微分方程组的数值解法，并分析其优缺点，以及应用举例。

双曲型偏微分方程组的数值解法可以分为两类，即有限差分方法和有限元方法。

有限差分方法是将区域分割成网格，通过在网格上构建差分格式来近似微分方程，进而求解数值解。

有限元方法则是利用变分原理，将微分方程转化为弱形式，再通过有限元空间的数值逼近来求解数值解。

下面我们将分别介绍这两类方法。

有限差分方法是求解偏微分方程最常用的数值方法之一。

这类方法的基本思想是将区域划分成网格，通过差分逼近微分算子，将微分方程转化为代数方程组，进而求解数值解。

通常有限差分方法分为显式和隐式两种。

显式差分方法是根据精确度和稳定性的需求，选择合适的差分格式，将数值解的某一时刻的计算公式，仅由该时刻之前的数值解和已知的初值组成，计算简单，但存在较为严格的稳定性限制。

隐式差分方法则以更加严格的精确性和稳定性为代价，使用迭代法求解非线性代数方程组，计算复杂，但稳定性更加优良。

有限差分是求解双曲型偏微分方程最常见的数值方法之一。

虽然有限差分法计算公式简单，但是稳定性限制较高，当空间步长、时间步长不足以满足稳定性条件时，容易产生不稳定性及不合理的解，这是有限差分法的致命弱点之一。

此时有限元法常被作为替代方法。

有限元方法是求解双曲型偏微分方程另一种常用的数值方法。

有限元法基于变分原理，把求解微分方程转化为求最小值问题。

首先，将问题的定义域划分为若干子区域，然后在每个子区域内选取适当的试函数，通过构造一个弱变分解，就可以得到一个线性代数方程组。

有限元法具有更广泛的适用范围，解高维复杂结构问题时可以体现其独特性。

虽然有限元法可以处理不规则区域，但是计算量较大，常会出现稳定性的问题。

5-双曲型方程的差分方法(2)

5-双曲型方程的差分方法(2)

(2) 迎 风 格 式 ：
u n +1 − u n j j
τ
u
n +1 j
+ an j +a
n j
u n − u n−1 j j h u
n j +1
=0 =0
an ≥ 0 j an < 0 j
−u
n j
−u h
n j
τ
u n+1Байду номын сангаас− u n j j
写成统一的形式， 写成统一的形式，有：
τ
+a
n j
(1) Lax − Friedrichs 格式： 格式：
u
n +1 j
1 n n − u j + 1 + u j −1 u n+ 1 − u n−1 j j n 2 +aj =0 τ 2h
(
)
冻 系 ” 分 稳 性 不 格 ： “ 结 数 法 析 定 （ 严 ） 先 a看 与 , j无 的 数 用 把 作 n 关 常 ， Fourier 方 得 稳 定 件 再 指 变 。 法 到 定 条 后 使 标 化
对第l个方程，构成迎风格式，有： w
n +1 lj
=w −
n lj
λ
2
λl ( w
n lj +1
−w
n lj −1
) + 2 λ (w
l
λ
n lj +1
− 2w + w
n lj
n lj −1
)
写成矩阵形式： w
n+1 j n j
= w − Λ ( w − w ) + Λ ( w − 2w + w 2 2

双曲型方程的差分方法I

双曲型方程的差分方法I
分格式的依赖区域应该包含微分方程解的依赖区域 20
at n
h a 0
x j nh x j an x j

其中 .
a 0 0 a 1
h
a 0 x j an x j 不收敛
P
n
D
D'
C
D'
21
右偏心格式C.F.L条件
unj 1 unj
不稳定，C.F.L条件仍为
| a| 1，
C.F.L条件下不收敛
26
课堂练习
1. 试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏
心格式、中心差分格式的C.F.L条件。
27
5.利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式
x k 1 x
x xk
（两点式），
L1 ( x )
yk
yk 1
xk 1 x k
2
2
2
2
2
a 1,|G( ,k )| 1,Von Neumann 条件满足
条件稳定
7
a 0
v
n 1
u
n1
j
u

n
j
a
u
n
j 1
u
n
j
h
((1 a ) a e )v
ikh
,
n
| G( k , ) |2 (1 a a cos kh)2 a 2 2 sin 2 kh
( , t n )
3
x j 2 t
6
x
t
n
2
3
2u
ah2 3 u

(x j , )

2-双曲型方程的差分方法

2-双曲型方程的差分方法


其截断误差是
n 1 n 1 n n u u u u a j 1 j 1 j 1 j 1 0 2 2 h 2 h
T O( h )
2 2
其增长因子是
1 1 2 ia sin kh G 1 1 2 ia sin kh
2 2 2 1 1 a sin kh 4 G 1 2 1 2 2 1 4 a sin kh 2
),
a0 a0
1 n n n un u a ( u u j j j 1 j ),
也可写成统一形式
1 n n n n n n 1 1 un u a ( u u ) a ( u 2 u u j j j 1 j 1 j 1 j j 1 ) 2 2
u ( P) u (Q) u (C ) a u (C ) u ( B) 1 a (1 a ) u ( B) 2u (C ) u ( D) 2
对应差分格式即为Lax-Wendroff格式
2 2 a a n 1 n n n n n n uj uj u j 1 u j 1 u j 1 2u j u j 1 2 2

代入前面的表达式有
u
n 1 j
u
n j


a
u
n j 1
u
n j 1
2h
u u a x t j
n

2h 2
n n n 2 2 2 a2 u 2 u u O ( h h ) j j 1 j 1
得到二阶精度的显式格式，即Lax-Wendroff格式
隐式格式
u u
n j
n 1 j

8_双曲型方程的有限差分法(III)

8_双曲型方程的有限差分法(III)

计算v
n 1 0
, 就转化为计算
n 1 0
采用迎风格式
n n n 0 1 0 (1n 0 )
方法二、从方程本身出发
已知边界条件 u(0, t ) 0 有： u (0, t ) 0, t 0
0 1 其中： u u，v），A （ 1 0
一阶双曲型方程及方程组的边界条件怎样给边界条件使方程适定区域为x1不能给边界条件x0不能给边界条件初始条件为对角阵对角线元素为负的对角阵1为对角阵对角线元素为零的对角阵为对角阵对角线元素为正的对角阵s为a的特征向量的列所构成的矩阵处边界条件数目等于负特征值数目处边界条件数目等于正特征值数目零特征值不需给出边界条件件问题会不适定
v v -1 0 为对角阵对角线元素为正的对角阵 v S u t x
为对角阵对角线元素为零的对角阵
I -1 II 0 S AS III +
v v -1 v S u 0 t x
注：采用插值法构造边界条件要用内插公式， 使用外推方法往往是不行。即要用稳 定的格式构造边界条件. 例如：下面的两个不可用的边界条件
用u1 , u2两点的值作线性插值，外推得u0的值
u =2u u
n 0 n 1
n 2
再如（对边值不稳定）
u
n 1 0
=u
n 1 0
2a (u u )
I I II II III III v v v I v II v III v =0, =0, =0 t x t x t x
v (x ,0) g (x ),0 x 1 v (1,t ) (t ),
I I

二阶双曲方程显、隐差分法

二阶双曲方程显、隐差分法
二阶双曲型方程的 显、隐差分法
一、研究对象
1. 研究的对象——二阶双曲型方程.
2 2 u( x , t ) 2 u( x , t ) a f ( x , t ), 0 x 1, 0 t T , 2 2 x t u u ( x , 0) ( x ), ( x , 0) ( x ), 0 x 1, t u(0, t ) ( t ), u(1, t ) ( t ), 0 t T ,
k u 将数值解 i 代替精确解 u( xi , tk ) 并忽略高阶小项， 则第四步，可以建立以下显差分格式：
k k k uik 1 2uik uik 1 2 ui 1 2ui ui 1 a f ( xi , t k ), 1 i m 1, 1 k n 1, 2 2 h 0 ui1 ui0 ( xi ), 0 i m , ui ( xi )， k k u0 ( t k )，um ( t k ), 1 k n.
从而得增长因子为
G 1 2r sin
2
h
2
4r sin
2
h
2
( r sin
2
h
2
1)
如果 r 1 ，则
G 1 2r sin
2
h
2
i 4r sin
2
h
2
(1 r sin
2
h
2
)
从而 | G | 1 ，满足Von Neumann 条件。 但此时由于 | G | 1 ，所以Von Neumann条件只 是差分格式稳定的必要条件而非充分条件。当 r <1

ch5-双曲型方程数值格式

o ( x ,0) 0 x
x0 x at u( x, t ) ( x at )
t
(2)a为函数 a(x,t), 特征线为不平行的曲线。 双曲型方程的解沿特征线仍为常数。 特征线相交时，解出现奇异。
o
x
5.2 差分格式的建立
u u a 0, 0 t T , x x t u( x , 0) ( x ) t
dx 特征线方程为： a , dt
1、双曲型方程的解沿特征线为常数。
du u u dx u u a 0 dt t x t x dt
所以 u(x,t) 沿特征线为常数。 a>0:向右传播；a<0：向左传播。
特征线方程为：dx a ,
dt (1)a为常数: x at c x at c
( u( x j , t n ) u ( x j , t n )
' t
2
2
ut" ( x j , t n ) o( 3 )) u( x j , t n )
u ( x j , tn )
' t

2

ut" ( x j , t n ) o( 2 )
u 将(2)左边的 u( x j 1 , tn ) , ( x j 1 , tn )在 ( x j , tn )处Taylor展开：

3、中心格式： u a u 0
t x

un 1 un j j

a
un1 un1 j ຫໍສະໝຸດ 2hhj-1
j
n+1 n j+1
0,(1)
将(1)中的数值解换成精确解： u( x j , tn1 ) u( x j , tn ) u( x j 1 , t n ) u( x j 1 , t n ) a Rn ,(2) 2h 将(2)左边的u( x j , tn1 ) 在 ( x j , tn )处Taylor展开： 左边1=

第5章差分法


8




3、边界外虚结点用内结点示之 在上、下两边， * 0 * xds 0
5 7 , 6 8 , 2 12 , 1 13
误差值： ＝＞(Δ x3)
同理： f * f 2 f 4 df , o
2h dy fo ** f2 f4 2 fo (5) 2 h
混合二阶导数：
f o *' f o * f *1 f *3 / 2h 1 2h
f6 f5 f7 f8 1 f6 f8 f5 f7 2h 2 2 h 4h
CH 5 差 分 法
§5-1 导数的差分表示及差分方程
§5-2 应力函数的差分解
CH 5 差 分 法
解析方法——从微分方程积分求出用连续函数表示解 f(x)，精确解
差分解——是微分方程一种的数值方法，得出函数在若 干点的数值。 内容：将微分用有限差分代表替
dx x x 2 x1 df f f 2 f 1
y
' x
A B
C
D EFGH
I
J
0
0
0
0
0
0
0
0
0
＋4
2
0
0 0 0 －4 8 用力矩之和计算（面力之力矩之和）或者


12
D
x 8Ydx x 8 2 dx 4
6 8 6
'
x x0 h
2 1 2 f 3 f 0 f 0 h f 0 h ......( 3) 2

偏微分课程课件5_双曲型方程的差分方法(II)


uvn j
uv t
n j
2
2
2uv t 2
n j
O(
3
)
uv n1 j
uv
n j
A
uv x
n j
2
2
A2
2uv n
x
2
j
O(
3)
用中心差商代替偏导数
uvn j
A
uvn uvn
j1
j1
2h
2
2
A2
2
x
uv n j
h2
O(
3
2h2
h2 )
舍去截断误差, 有LW差分格式.
1 2
a
nj （（u
n ）2
j 1
（u
n ）2）
j1
21
（unj 1）2
1 2
(unj 1 )2
（unj1）2 )
1 2
anj
( unj 1 )2
(
un j 1
)2
(4)用h乘上式两边并对 j 求和，记离散模
un
2
h
（unj）2h
||
un1
||h2 ||
un
||h2
1 2
a
n j
((unj 1
t
x
2u t 2
（ t
a(x)
u ） x
a(x)
x
(u ) t
= a(x) (a(x) u ) a(x) (a(x) u )
x
x
x x
25
代入Taylor展开式,于是有
u(
x
j
,
tn 1 )
u(x
j
,

双曲型方程的差分方法3


n1 j
a
u
n j 1
u
n j 1
0
2
2h
稳定性条件：a 1；截断误差：O 2 h2
设a 0，当 a 1即：a 1 ，则可知：
u n 1 j
u n 1 j
un j 1
un j 1
0
记 u0 (x) f (x) ，则由数学归纳法易知：
u
n j
f
j n h
f
x at
换言之，差分方程解是精确解。但注意这
里已经假设
u
0 j
和 u1j
是精确给定的。
可以证明如果给定的初始值有偏差，相应 的格式是不稳定的。（见书p. 53）
3
4) Lax Wendroff 格式
un u(x,t)
un1 u(x, t )
u(x,t ) u(x, ) ut (x,t)
1 2
utt
(
x,
t
)
2
O
3
u(x, ) aux (x,t)
17
如果前提条件不成立，则不一定有整体解。
例
t
ut
0,
x2ux 0 u u0(x)
t
dx dt 0, x
x2 x0
x0
x 1 xt
u( x, t )
u0
( 1
x xt
)
当 x 1/ t 时，解无意义。
b.差分格式的稳定性研究
设 a(x,t) 0
逆风格式为
u n1 j
u
21
2) 差分格式
a.逆风
u
n1
j
u
n j
un j 1
u
n j
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22
2
ia
sin
k h1
1
a sin2
kh 2
G, k 2 1 4a2 a 1 a 4 sin 4 kh
2
故当a 2时，二阶迎风格式稳定。
如果a 0，
二阶迎风格式为：
un1 j
u
n j
a
un j 1
u
n j
1 ar 1 a 2
un j2
2u
n j 1
u
n j
6、隐式格式
Lax-Wendroff格式：
un1 j
u
n j
1 2
a
un j 1
un j 1
1 a22
2
un j 有二阶精度,O( 2 h2 ).
利用Fourier方法分析稳定性，得增长因子为：
G, k 1 2a22 sin2 kh ia sin kh
2
G, k 2 1 4a22 1 a22 sin4 kh 2
格式不稳定,所以CFL条件不是稳定性的充分条件
Lax-Wendroff格式：
差分方程的依赖区域
u
0 j -n
,
,
....,
u
u 0
j -2,
0 j -2
,
u
0 j
,
u
, 0
j 1
u
0 j2
,
......,
u0 jn
CFL条件:x jn x j atn x jn | a | 1
实际上| a | 1 也是稳定性的充分条件
x j x j1 x j x j1
x j1 x j1 x j1 x j
U C aU C U B
1 a1 a U B 2U C U D
2
得Lax - Wendroff格式：
un1 j
u
n j
1 2
a
un j 1
un j 1
1 a22
2
un j 1
2u
n j
un j 1
2
2
（cos kh ia sin kh）vn
而且其增长因子为：
G(,k) | coskhia sin kh|
G , k 2 1 1 a22 sin2 kh
故当a 1时，
Lax - Friedrichs格式稳定。
Lax-Friedrichs格式的性质：
1、满足相容性，一阶精度，
截断误差为：T(xj ,tn ) O( h )
微分方程的依赖区域 x j atn
右偏格式：
差分方程的依赖区域u0j
,
u0j1,
u0 j2
,......,
u0 jn
显然，微分方程的依赖区域在差分方程的依赖区域之外，
不满足CFL条件，所以格式不稳定。
左偏格式（迎风格式）：
差分方程的依赖区域u0j
,
u0j -1 ,
u0 j-2
,
......,
u0 j -n
程的特征线。
t
(x0 ,t0)
x –at=
0 (x0 -at0 ,0)
x
采用对流方程开始研究双曲型方程的数值解法的原因：
第一、对流方程非常简单，对它的研究是探讨更复杂 的双曲型方程（组）的基础。 第二、尽管对流方程简单，但是通过它可以看到双 曲方程在数值计算中特有的性质和现象。 第三，利用它的特殊的、复杂的初值给定，完全可以 用来检验数值方法的效果和功能。 第四、它的差分格式可以推广到变系数双曲方程（组） 以及非线性双曲方程领域。
x at x j atn1
x at x j atn1
P
n+1
P
n+1
AB CD Q
n
j-2 j-1 j j+1 j+2
a>0
a 0
u n 1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
0,
h
un1 j
1 a
u
n j
au
n j 1
AB CD Q
n
j-2 j-1 j j+1 j+2
a<0
a 0
1954年Lax和Friedrichs分别提出格式：
un1 j
1 2
un j 1
un j 1
a
u
n j 1
u
n j 1
0
2h
即：u
n1 j
1 2
u
n j 1
u
n j 1
1 2
a
u
n j 1
u
n j 1
此格式的截断误差为：O h2 O( h2 )
令u
n j
vneikjh，有
vn1 [ 1（eikh eikh） a（eikh eikh）]vn
当a 1时，差分格式稳定。
Lax-Wendroff格式的性质：
1、满足相容性，二阶精度，
截断误差为：T (xj ,tn ) O( 2 h2)
2、条件稳定的，稳定性条件为：| a | 1 3、条件收敛的，收敛条件为：| a | 1
4、Courant-Friedrichs-Lewy条件
由差分方程解的依赖区域与微分方程解的依赖区域 的关系导出的差分方程收敛的必要条件
CFL 条件 : x jn x j atn x j a 1
实际上 a 1 也是稳定性的充分条件
中心格式： 差分方程的依赖区域
u
0 j -n
,
,
....,
u
u 0
j -2,
0 j -2
,
u 0j
,
u
0 j 1
,
u
0 j2
,
......,
u
0 jn
CFL条件:x jn x j atn x jn | a | 1
(4)若用A, B,C三点进行抛物插值，得 二阶迎风格式：
un1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
1 a 1 a
2
u
n j
2u
n j 1
un j2
Beam-Warming格式
此格式具有二阶精度：E O 2 h2
且增长因子：
G, k 1 2ar sin2 kh 1 a1 a 4sin4 kh sin2 kh
①隐式中心
u
n j
u
n1 j
a
u
n j 1
u
n j 1
0
2h
即：au
n j 1
2u
n j
aunj1
2unj 1
截断误差：E O h2
增长因子：G, k
1
1 ai sin kh
1 ai sin kh 1 a22 sin2 kh
G, k 2
1
1 a22 sin 2
kh
1
格式无条件稳定。
5、 利用特征线构造差分格式
设t
t n 层上各网格点A,
B,C,
D上得u
n已计算出。
j
现计算t
t
n1层上P点的值u
n1：
j
设a 0，过P向下作特征线x at x j atn
交t tn于Q点，则有U P U Q。
对于U Q用不同的插值，可得不 同的差分格式：
(1)若用B，C两点进行线性差值，
一 般 的 ， 双 曲 型 方 程 的差 分 格 式 中 的unj， 会
涉 及 到 初 值 ：u0jl , u0jl1 ,
u
0 j
,
u 0j m
那 么x轴 上 的x jl , x jm 内 的 节 点 ， 即 是 差 分 方程
的
解u
n的
j
依
赖
区
域
，
而unj u x j , tn f x j atn
几种典型的差分格式
• 迎风格式 • Lax-Friedrichs格式 • Lax-Wendroff格式 • Courant-Friedrichs-Lewy条件 • 利用特征线构造差分格式 • 隐式格式 • 蛙跳格式
1、迎风格式
迎风格式的思想:在对微商进行近似的时候,关于空间导数
用在特征线方向一侧的单边差商来代替，于是有如下格式：
2、条件稳定的，稳定性条件为：| a | 1
3、条件收敛的，收敛条件为：| a | 1
两种格式的比较:
1、它们的精度都是一阶的精度,在实际应用中, L-F格式可以不考虑对应方程的特征线的走向, 而迎风格式却要考虑其走向.
注、如果迎风格式写成统一格式,也不必考虑特征线走向， 但多了绝对值的计算。
此格式也可以理解为在不稳定的中心差分格式
的基础上适当的增加了一个起耗散作用的扩散
项 h2
2
2u x2
0，（在固定，h
0），从而提高
稳定性，此格式也称为耗散中心差分格式。
截断 误差 为：R
h2
2
2u x 2
O（
h2）
3、Lax-Wendroff格式
1960年Lax和Wendroff 构造了一个二阶精度的二层格式。 构造的思想是利用Taylor展开式及方程本身。
第五章 双曲型方程的差分方程
第一节 一阶线性常系数双曲型方程
设一阶线性方程为
u
a
u
0
t x
ux,0 f x
x
为了讨论方便，设常数 a 0 。对流方程的特征方程是常微分方程 dx adt 0 ，求解出此微分方程，得到一组解， x at 。很显然，
P10 它们是一组相互平行的直线（如下图所示），称这组直线为对流方