ch5-双曲型方程的差分方法共40页文档

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5-双曲型方程的差分方法(2)

(2) 迎风格式：
u n +1 − u n j j
τ
u
n +1 j
+ an j +a
n j
u n − u n−1 j j h u
n j +1
=0 =0
an ≥ 0 j an < 0 j
−u
n j
−u h
n j
τ
u n+1Байду номын сангаас− u n j j
写成统一的形式，写成统一的形式，有：
τ
+a
n j
(1) Lax − Friedrichs 格式：格式：
u
n +1 j
1 n n − u j + 1 + u j −1 u n+ 1 − u n−1 j j n 2 +aj =0 τ 2h
(
)
冻系 ” 分稳性不格： “ 结数法析定（严）先 a看与 , j无的数用把作 n 关常， Fourier 方得稳定件再指变。法到定条后使标化
对第l个方程，构成迎风格式，有： w
n +1 lj
=w −
n lj
λ
2
λl ( w
n lj +1
−w
n lj −1
) + 2 λ (w
l
λ
n lj +1
− 2w + w
n lj
n lj −1
)
写成矩阵形式： w
n+1 j n j
= w − Λ ( w − w ) + Λ ( w − 2w + w 2 2

双曲型方程的差分方法I

分格式的依赖区域应该包含微分方程解的依赖区域 20
at n
h a 0
x j nh x j an x j

其中 .
a 0 0 a 1
h
a 0 x j an x j 不收敛
P
n
D
D'
C
D'
21
右偏心格式C.F.L条件
unj 1 unj
不稳定，C.F.L条件仍为
| a| 1，
C.F.L条件下不收敛
26
课堂练习
1. 试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏
心格式、中心差分格式的C.F.L条件。
27
5.利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式
x k 1 x
x xk
（两点式），
L1 ( x )
yk
yk 1
xk 1 x k
2
2
2
2
2
a 1,|G( ,k )| 1,Von Neumann 条件满足
条件稳定
7
a 0
v
n 1
u
n1
j
u

n
j
a
u
n
j 1
u
n
j
h
((1 a ) a e )v
ikh
,
n
| G( k , ) |2 (1 a a cos kh)2 a 2 2 sin 2 kh
( , t n )
3
x j 2 t
6
x
t
n
2
3
2u
ah2 3 u

(x j , )

2-双曲型方程的差分方法

其截断误差是
n 1 n 1 n n u u u u a j 1 j 1 j 1 j 1 0 2 2 h 2 h
T O( h )
2 2
其增长因子是
1 1 2 ia sin kh G 1 1 2 ia sin kh
2 2 2 1 1 a sin kh 4 G 1 2 1 2 2 1 4 a sin kh 2
),
a0 a0
1 n n n un u a ( u u j j j 1 j ),
也可写成统一形式
1 n n n n n n 1 1 un u a ( u u ) a ( u 2 u u j j j 1 j 1 j 1 j j 1 ) 2 2
u ( P) u (Q) u (C ) a u (C ) u ( B) 1 a (1 a ) u ( B) 2u (C ) u ( D) 2
对应差分格式即为Lax-Wendroff格式
2 2 a a n 1 n n n n n n uj uj u j 1 u j 1 u j 1 2u j u j 1 2 2

代入前面的表达式有
u
n 1 j
u
n j

a
u
n j 1
u
n j 1
2h
u u a x t j
n

2h 2
n n n 2 2 2 a2 u 2 u u O ( h h ) j j 1 j 1
得到二阶精度的显式格式，即Lax-Wendroff格式
隐式格式
u u
n j
n 1 j

偏微分方程数值解-双曲线方程的有限差分法-9页word资料

双曲型方程的有限差分法线性双曲型方程定解问题：（a ）一阶线性双曲型方程（b ）一阶常系数线性双曲型方程组其中A ，s 阶常数方程方阵，u 为未知向量函数。

（c ）二阶线性双曲型方程（波动方程）()x a 为非负函数（d ）二维，三维空间变量的波动方程 §1 波动方程的差分逼近 1.1 波动方程及其特征线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程：（1.1） 22222xu a t u ∂∂=∂∂ 其中0>a 是常数。

（1.1）可表示为：022222=∂∂-∂∂x u a t u ，进一步有由于x a t ∂∂±∂∂当a dt dx ±=时为()t x u ,的全导数（=dt du dt dx x u t u ⋅∂∂+∂∂xuat u ∂∂±∂∂=）,故由此定出两个方向（1.3）adx dt 1±= 解常微分方程（1.3）得到两族直线（1．4） 1C t a x =⋅+ 和 2C t a x =⋅- 称其为特征。

特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。

比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。

（行波法、特征线法）将（1.4）视为),(t x 与),(21C C 之间的变量替换。

由复合函数的微分法则同理可得将22x u ∂∂和22tu∂∂代入（1.1）可得：即有求其对2C 的积分得：()11C f C u=∂∂ 其中()1C f 是1C 的任意可微函数。

再求其对1C 的积分得：（1.5） ()()11,dC C f t x u ⎰= ()()()()at x f at x f C f C f ++-=+=212211 其中()∙1f 和()∙2f 均为任意的二次连续可微函数。

（1.5）为（1.1）的通解，即包含两个任意函数的解。

为了确定函数()at x f -1和()at x f -2的具体形式，给定u 在x 轴的初值（1.5） ()()+∞<<∞-⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂===x x tu x u t t 1000ϕϕ将（1.5）式代入上式，则有注意()=t x u t ,()()()a at x f a at x f ⋅+'+--'21；()=0,x u t ()()()()x a x f x f 112ϕ='-'，有并对x 积分一次，得与（ⅰ）式联立求解，得将其回代到通解中，即得（1.1）在（1.5）条件下的解：（1.6） ()t x u , ()()[]at x at x ++-=0021ϕϕ()ξξϕd a atx atx 121⎰+-即为法国数学家Jean Le Rond d ’Alembert (1717-1783)提出的著名的D ’Alembert 公式。

8_双曲型方程的有限差分法(III)

计算v
n 1 0
, 就转化为计算
n 1 0
采用迎风格式
n n n 0 1 0 (1n 0 )
方法二、从方程本身出发
已知边界条件 u(0, t ) 0 有： u (0, t ) 0, t 0
0 1 其中： u u，v），A （ 1 0
一阶双曲型方程及方程组的边界条件怎样给边界条件使方程适定区域为x1不能给边界条件x0不能给边界条件初始条件为对角阵对角线元素为负的对角阵1为对角阵对角线元素为零的对角阵为对角阵对角线元素为正的对角阵s为a的特征向量的列所构成的矩阵处边界条件数目等于负特征值数目处边界条件数目等于正特征值数目零特征值不需给出边界条件件问题会不适定
v v -1 0 为对角阵对角线元素为正的对角阵 v S u t x
为对角阵对角线元素为零的对角阵
I -1 II 0 S AS III +
v v -1 v S u 0 t x
注：采用插值法构造边界条件要用内插公式，使用外推方法往往是不行。即要用稳定的格式构造边界条件. 例如：下面的两个不可用的边界条件
用u1 , u2两点的值作线性插值，外推得u0的值
u =2u u
n 0 n 1
n 2
再如（对边值不稳定）
u
n 1 0
=u
n 1 0
2a (u u )
I I II II III III v v v I v II v III v =0, =0, =0 t x t x t x
v (x ,0) g (x ),0 x 1 v (1,t ) (t ),
I I

ch5-双曲型方程数值格式

o ( x ,0) 0 x
x0 x at u( x, t ) ( x at )
t
(2)a为函数 a(x,t), 特征线为不平行的曲线。双曲型方程的解沿特征线仍为常数。特征线相交时，解出现奇异。
o
x
5.2 差分格式的建立
u u a 0, 0 t T , x x t u( x , 0) ( x ) t
dx 特征线方程为： a , dt
1、双曲型方程的解沿特征线为常数。
du u u dx u u a 0 dt t x t x dt
所以 u(x,t) 沿特征线为常数。 a>0:向右传播；a<0：向左传播。
特征线方程为：dx a ,
dt (1)a为常数: x at c x at c
( u( x j , t n ) u ( x j , t n )
' t
2
2
ut" ( x j , t n ) o( 3 )) u( x j , t n )
u ( x j , tn )
' t

2

ut" ( x j , t n ) o( 2 )
u 将(2)左边的 u( x j 1 , tn ) , ( x j 1 , tn )在 ( x j , tn )处Taylor展开：

3、中心格式： u a u 0
t x

un 1 un j j

a
un1 un1 j ຫໍສະໝຸດ 2hhj-1
j
n+1 n j+1
0,(1)
将(1)中的数值解换成精确解： u( x j , tn1 ) u( x j , tn ) u( x j 1 , t n ) u( x j 1 , t n ) a Rn ,(2) 2h 将(2)左边的u( x j , tn1 ) 在 ( x j , tn )处Taylor展开：左边1=

第5章差分法

8

3、边界外虚结点用内结点示之在上、下两边， * 0 * xds 0
5 7 , 6 8 , 2 12 , 1 13
误差值：＝＞(Δ x3)
同理： f * f 2 f 4 df , o
2h dy fo ** f2 f4 2 fo (5) 2 h
混合二阶导数：
f o *' f o * f *1 f *3 / 2h 1 2h
f6 f5 f7 f8 1 f6 f8 f5 f7 2h 2 2 h 4h
CH 5 差分法
§5-1 导数的差分表示及差分方程
§5-2 应力函数的差分解
CH 5 差分法
解析方法——从微分方程积分求出用连续函数表示解 f(x)，精确解
差分解——是微分方程一种的数值方法，得出函数在若干点的数值。内容：将微分用有限差分代表替
dx x x 2 x1 df f f 2 f 1
y
' x
A B
C
D EFGH
I
J
0
0
0
0
0
0
0
0
0
＋4
2
0
0 0 0 －4 8 用力矩之和计算（面力之力矩之和）或者

12
D
x 8Ydx x 8 2 dx 4
6 8 6
'
x x0 h
2 1 2 f 3 f 0 f 0 h f 0 h ......( 3) 2

一阶线性常系数双曲性方程的有限差分方法的研究2012.5.3

数学系07-5班阿达莱提·阿卜杜喀迪尔１引言主要讨论双曲性方程及双曲性方程组的差分方法。

从简单的一届线性双曲型方程开始，构造差分格式，分析其稳定性及其他性质，然后推广到一届线性双曲性方程组。

双曲方程与椭圆方程，抛物方程的重要区别，是双曲方程具有特征和特征关系，其解对初值有局部依赖性质。

初值的函数性质（如间断，弱间断等）也沿特征传播，因而解一般无光滑性，迄今已发展许多逼近双曲方程的差分格式，这里只介绍常见的九种方法，讨论了各种求解方法，分析了其性质，最后对初边值问题及二维问题进行了讨论。

1 一阶线性常系数双曲型方程先考虑线性常系数方程[1]0=∂∂+∂∂xu a t u ,R x ∈,t>0 (1.1) 其中a 为给定常数，这是最简单的双曲型方程，一般称其为对流方程。

虽然（1.1）式非常简单，但是其差分格式的构造以及差分格式性质的讨论是讨论复杂的双曲型方程和方程组的基础。

它的差分格式可以推广到变系数方程，方程组以及拟线性方程和方程组。

对于方程（1.1）附以初始条件[1]u(x,0)=u 0(x), R x ∈ (1.2)在第一章中讨论了初值问题（1.1），（1.2）式的解，其解沿方程（1.1）的特征线[1]ε=-at x (1.3)是常数，并可表示为)()(),(00at x u u t x u -==ε下面讨论双曲性方程的应风格式，Lax-Friedrichs 格式，Lax-wendroff 格式，Courant-Friedrichs-Lewy 条件利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式，蛙跳格式，数值例子。

数学系07-5班阿达莱提·阿卜杜喀迪尔２1.1 迎风格式迎风格式在实际计算中引起了普遍的重视，从而产生了很多好的方法和技巧。

迎风各式的基本思想是简单的，就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，（1.1）式的迎风各式[1]是011=-+--+hu u au u nj n j n jn j τ, a>0 (1.4)的截断误差和稳定性:011=-+--+hu u au u nj n j n jn j τ, a>0+∂∂+∂∂+∂∂=-+3332221!31!21τττtu t u t u u un jn j/τ÷ +∂∂+∂∂+∂∂=-⇒+233221!31!21τττtu t u t u u u njn j ① n j n ju u 1-- +∂∂+∂∂-∂∂=333222!31!21h tu h x u h x u (两边乘于ha）,得 ⇒hu u anj n j 1+-=axu∂∂-!2a 22xu∂∂h +!3a 33xu ∂∂()420h h + ②①+②τn jn j u u -+1+hu u anj n j 1+-=tu∂∂+!2122t u ∂∂τ!3133t u ∂∂2τ+()30τ+a xu ∂∂-!2a 22xu∂∂h +!3a 33xu ∂∂()420h h +数学系07-5班阿达莱提·阿卜杜喀迪尔３⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂x u a t u+!2122t u∂∂τ-!2a 22xu∂∂h +!3a 33x u ∂∂2h +所以(,)j n T x t =!2122t u ∂∂τ-!2a 22xu∂∂h +截断误差为()h +τ0迎风格式对τ一阶精度,对h 一阶精度.当0,0h τ→→时(,)0j n T x t →,故迎风格式相容. 下面讨论迎风格式（1.4)的稳定性：先把差分格式变化为便于计算的形式 n jn j u u -+1+()n j n j u u a 1--λ=0其中hτλ=网格式1+n j u =n j u -()n j n j u u a 1--λ令nj u =n u ikjh e则1+n vikjh e =nv ikjh e -λa ()()h j ik n ikjh n e v e v 1--1+n v ikjh e =n v ikjh e -λa n v ikjh e +λa n v ikjh e ∙ikh e -1+n v=()ikh e a a -+-λλ1n v()k G ,τ=ikhae a -++λ1=()11-+-ikhea λ=λa +1()1sin cos -+kh i kh =λa +1khcos -λa kh sin=λa +1()kh cos 1--λa i kh sin数学系07-5班阿达莱提·阿卜杜喀迪尔４()2,k G τ=()[]2cos 11kh a --λ+kh a 222sin λ=()kh a cos 121--λ+22λa ()2cos 1kh -+kh a 222sin λ= ()kh a cos 121--λ+22λa +kh a 222sin λ=λa 221⨯-2cos 1kh-+22λa -22λa kh cos 2+22λa kh 2cos +22λa kh sin=λa 41-2sin 2kh+22λa -22λa kh cos 2+22λa =λa 41-2sin 2kh+222λa -222λa kh cos =λa 41-2sin 2kh+222λa ()kh cos 1- =λa 41-2sin 2kh +2⋅222λa 2cos 1kh-=λa 41-2sin 2kh+422λa 2sin2kh=λa 41-()λa +12sin 2kh当 1<λa 时原差分格式是稳定的。

偏微分课程课件5_双曲型方程的差分方法(II)

uvn j
uv t
n j
2
2
2uv t 2
n j
O(
3
)
uv n1 j
uv
n j
A
uv x
n j
2
2
A2
2uv n
x
2
j
O(
3)
用中心差商代替偏导数
uvn j
A
uvn uvn
j1
j1
2h
2
2
A2
2
x
uv n j
h2
O(
3
2h2
h2 )
舍去截断误差, 有LW差分格式.
1 2
a
nj （（u
n ）2
j 1
（u
n ）2）
j1
21
（unj 1）2
1 2
(unj 1 )2
（unj1）2 )
1 2
anj
( unj 1 )2
(
un j 1
)2
(4)用h乘上式两边并对 j 求和，记离散模
un
2
h
（unj）2h
||
un1
||h2 ||
un
||h2
1 2
a
n j
((unj 1
t
x
2u t 2
（ t
a(x)
u ） x
a(x)
x
(u ) t
= a(x) (a(x) u ) a(x) (a(x) u )
x
x
x x
25
代入Taylor展开式,于是有
u(
x
j
,
tn 1 )
u(x
j
,

双曲型方程的差分方法3

n1 j
a
u
n j 1
u
n j 1
0
2
2h
稳定性条件：a 1；截断误差：O 2 h2
设a 0，当 a 1即：a 1 ，则可知：
u n 1 j
u n 1 j
un j 1
un j 1
0
记 u0 (x) f (x) ，则由数学归纳法易知：
u
n j
f
j n h
f
x at
换言之，差分方程解是精确解。但注意这
里已经假设
u
0 j
和 u1j
是精确给定的。
可以证明如果给定的初始值有偏差，相应的格式是不稳定的。（见书p. 53）
3
4) Lax Wendroff 格式
un u(x,t)
un1 u(x, t )
u(x,t ) u(x, ) ut (x,t)
1 2
utt
(
x,
t
)
2
O
3
u(x, ) aux (x,t)
17
如果前提条件不成立，则不一定有整体解。
例
t
ut
0,
x2ux 0 u u0(x)
t
dx dt 0, x
x2 x0
x0
x 1 xt
u( x, t )
u0
( 1
x xt
)
当 x 1/ t 时，解无意义。
b.差分格式的稳定性研究
设 a(x,t) 0
逆风格式为
u n1 j
u
21
2) 差分格式
a.逆风
u
n1
j
u
n j
un j 1
u
n j

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注、如果迎风格式写成统一格式,也不必考虑特征线走向，但多了绝对值的计算。
2、比较截断误差
迎风格式： (a>0)
unj1unj aunj1unj1ahunj12unj unj1
2h 2
h2
LaF x ried格 ri式 ch改 s 写为
un j1un j aun j12 hun j12hun j12hu2n j un j1
并用中心差商近似 u x, x2u 2
u xn j u(xj1,tn)2 hu(xj1,tn)O(h2)
2、条件稳定的，稳定性条件为：| a|1
3、条件收敛的，收敛条件为：| a|1
2、Lax-Friedrichs 格式
中心差分格式
un j1un j aun j1un j1 0
2h
用 F ourier分析方法分析此格式的稳定性。
设 un j vneikjh于是有
vn1 （ 1-iasinkh)vn
x at x j atn1
x at x j atn1
P
n+1
P
n+1
A2
a>0
a 0
AB CD Q
n
j-2 j-1 j j+1 j+2
a<0
a 0
u n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
0,
h
un1 j
1 a
u
n j
a
u
n j 1
u
|G (,k )| |1 ia sk in | h1 a 22s2 ikn
所以此格式绝对不稳定.
1 9 5 4 年 L a x 和 F r i e d r i c h s 分别提出格式：
unj11 2unj1unj1 aunj1unj10
2h
即 u n j 1 ： 1 2 u n j 1 u n j 1 1 2 au n j 1 u n j 1
n 1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j
0
u n1 j
1 a
u
n j
a
u
n j 1
若引入:
ama i,0 n 1 2aa 0 a
a0 a0
ama a ,0x 1 2aa 0 a
a0 a0
迎风格式可统一成：适用于变系数的情形
unj1unj aunj unj1aunj1unj 0,
第一节一阶线性常系数双曲型方程
设一阶线性方程为
uau0 t x
ux,0fx
x
为了讨论方便，设常数 a 0 。对流方程的特征方程是常微分方程 dx adt 0 ，求解出此微分方程，得到一组解， x at 。很显然，
P10 它们是一组相互平行的直线（如下图所示），称这组直线为对流方
程的特征线。
t
(x0 ,t0)
x –at=
0 (x0 -at0 ,0)
x
采用对流方程开始研究双曲型方程的数值解法的原因：
第一、对流方程非常简单，对它的研究是探讨更复杂的双曲型方程（组）的基础。第二、尽管对流方程简单，但是通过它可以看到双曲方程在数值计算中特有的性质和现象。第三，利用它的特殊的、复杂的初值给定，完全可以用来检验数值方法的效果和功能。第四、它的差分格式可以推广到变系数双曲方程（组）以及非线性双曲方程领域。
u (x j,tn 1 ) u (x j,tn )[ u t]n j2 2[ 2 2 u t]n j O (3 )
利用微分方程u有： a u t x
2u t2
（a t
u） x
a2
2u x2
代入上面的式子,于是有
u (x j,tn 1 ) u (x j,tn ) a [ u x ]n j a 2 2 2 [ 2 2 u x ]n j O (3 )
此格式也可以理解为在不稳定的中心差分格式的基础上适当的增加了一个起耗散作用的扩散
项h2 2u0，（在固定，h0），从而提高 2 x2
稳定性，此格式也称为耗散中心差分格式。
截断误 R差 2 h 2 x 2u 2为 O （： h2 ）
3、Lax-Wendroff格式
1960年Lax和Wendroff 构造了一个二阶精度的二层格式。构造的思想是利用Taylor展开式及方程本身。
故当 a 1时，
Lax-Friedr格 ich式 s 稳定。
Lax-Friedrichs格式的性质：
1、满足相容性，一阶精度，
截断误差为：T(xj,tn)O(h)
2、条件稳定的，稳定性条件为：| a | 1
3、条件收敛的，收敛条件为：| a | 1
两种格式的比较:
1、它们的精度都是一阶的精度,在实际应用中, L-F格式可以不考虑对应方程的特征线的走向, 而迎风格式却要考虑其走向.
h
h
u n j 1 u n j a u n j u n j 1 a u n j 1 u n j
u n j 1 2a au n j u n j 1 1 2a au n j 1 u n j
迎风格式的性质：
1、满足相容性，一阶精度，
截断误差为： T(xj,tn)O(h)
a1a2hun j12hu2n j un j1
左端相同un j 1un j aun j 1un j 1
2h
它们都以 O （ h 2 ）趋近对流方程。
L-F格式的右端项： a1a2hunj12hu2nj unj1
由稳定性的限a制条 1，件如果a取1，
则上面2个的式子相等。如1，果则 L小 F于格式的截断误差截比断迎误风差大。
几种典型的差分格式
• 迎风格式 • Lax-Friedrichs格式 • Lax-Wendroff格式 • Courant-Friedrichs-Lewy条件 • 利用特征线构造差分格式 • 隐式格式 • 蛙跳格式
1、迎风格式
迎风格式的思想:在对微商进行近似的时候,关于空间导数
用在特征线方向一侧的单边差商来代替，于是有如下格式：
此格式的截断误差为： O h 2 O (h 2)
令unj vneikjh，有
vn1 [1（eikh eikh）a（eikh eikh） ]vn
2
2
（coskhiasinkh）vn
而且其增长因子为：
G (,k) |co k h si asikn |h
G ,k2 1 1 a 22s in 2k h