云南省红河州泸西县第一中学2019_2020学年高一数学5月月考试题

姓名，年级：时间：高一阶段检测数学试卷一、选择题.(每小题4分，共52分，其中1-10为单选题，11-13为多选题）1．设集合{}1,2,3A =,{}220Bx x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ )A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}32．某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取2%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人,则样本容量和该地区的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，50B ．100，1250C ．200，50D ．200，12503.已知θ是第四象限角,且sin （θ+π4)=35，则tan （θ–π4）= ( ）A ．43-B ．43C ．34D ．34-4.设,,a b c 分别是ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直5．如图，已知ABC ∆中，D 为AB 的中点，13AE AC =,若DE AB BC λμ=+，则λμ+=（ )A ．56-B ．16-C ．16D ．566．设a ,b ，c 均为正数，且11232112log ,()log ,()log 22ab c b c a ===，则（ ） A ．b c a >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>7．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点,线段AB 的中点为M （1，－1），则直线l 的斜率为（ ）A ．32B ．23C ．32-D ．23-8．如图，已知A(4,0)、B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 ( ）A ．25B ．33C ．6D ．2109．已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ） A ．32 B ．105C ．155D ．3310.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b A =，则cos sin A C +的取值范围是( ） A 。

2019-2020年高一下学期5月月考数学试题一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）m为任意实数时，直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5必过定点（9，﹣4）．2．（5分）函数y=sin2x+2cosx（≤x≤）的最小值为﹣2．3．（5分）已知数列的前n项和，第k项满足5＜a k＜8，则k的值为8．4．（5分）设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m=﹣1时，l1∥l2．5．（5分）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，c=2a，则cosB的值为．6．（5分）若函数f（x）=sinωx （ω＞0）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω=．7．（5分）过点A（1，4）且在x、y轴上的截距相等的直线共有2条．8．（5分）已知以x，y为自变量的目标函数z=kx+y （k＞0）的可行域如图阴影部分（含边界），且A（1，2），B（0，1），C（，0），D（，0），E（2，1），若使z取最大值时的最优解有无穷多个，则k=1．9．（5分）（xx•湖北）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，则q的值为﹣2．，则为，10．（5分）若三直线x+y+1=0，2x﹣y+8=0和ax+3y﹣5=0相互的交点数不超过2，则所有满足条件的a组成的集合为{，3，﹣6}．11．（5分）设S n=1+2+3+…+n，n∈N*，则函数的最大值为．12．（5分）直线l：x=my+n（n＞0）过点A（4，4），若可行域的外接圆直径为，则实数n 的值是2或6．13．（5分）过点（1，3）作直线l，若l经过点（a，0）和（0，b），且a，b∈N*，则可作出的l的个数为2条．14．（5分）若a，b，c∈R，且满足，则a的取值范围是[1，5]．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知函数，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和最小值；（2）已知，，，求f（β）的值．析：，）∵∴16．（14分）如图，要测量河对岸两点A、B之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求AB之间的距离．17．（15分）过点P（2，1）的直线l与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．（1）求u=|OA|+|OB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程；（2）求v=|PA|•|PB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程．）知，18．（15分）某工厂生产甲、乙两种产品，这两种产品每千克的产值分别为600元和400元，已知每生产1千克甲产品需要A种原料4千克，B种原料2千克；每生产1千克乙产品需要A种原料2千克，B种原料3千克．但该厂现有A种原料100千克，B种原料120千克．问如何安排生产可以取得最大产值，并求出最大产值．19．（16分）已知二次函数f（x）满足f（﹣1）=0，且x≤f（x）≤（x2+1）对一切实数x恒成立．（1）求f（1）；（2）求f（x）的解析表达式；（3）证明：+…+＞2．）因为20．（16分）（2011•朝阳区一模）有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，…，a nn成等差数列．（Ⅰ）证明d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），并求p1+p2的值；（Ⅱ）当d1=1，d2=3时，将数列d m分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为（c m）4（c m＞0），求数列的前n 项和S n．（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n＞N时，对于（Ⅱ）中的S n，求使得不等式成立的所有N的值．=。

2019-2020学年度一中学校5月月考卷一、单选题1．在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则FC =（ ） A ．3142AB AD + B ．3142AB AD - C ．1324AB AD + D ．1324AB AD - 2．已知向量(1,2),(3,1),(4,3)AB CB CD ===--，则下列关系式中正确的是( ) A ．AD BC = B ．2AD BC = C ．AD BC =- D ．2AD BC =- 3．若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞二、双空题4．在△ABC 中，点M ，N 满足2,AM MC BN NC ==，若MN x AB y AC =+，则x ＝________，y ＝________.三、填空题5．已知(2,1),(1,4)A B --，直线AB 上一点P 满足||2||PA PB =，则点P 的坐标为______.6．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ=_____．7．若曲线22ln y x x =-的一条切线的斜率是3，则切点的横坐标为________． 8．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________．四、解答题9．设函数2()(1)x f x x e =-.（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求实数a 的取值范围.10．设函数()ln f x x =，()1g x ax =+，a R ∈，记()()()F x f x g x =-.（1）求曲线()y f x =在x e =处的切线方程；（2）求函数()F x 的单调区间；（3）当0a >时，若函数()F x 没有零点，求a 的取值范围.11．已知函数()2ln 1f x x a x =--，（a R ∈）. （Ⅰ）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设()()21x g x e x ex f x =+---，若()0g x ≥，若函数对[)1,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数， 2.71828e =⋅⋅⋅）12．已知函数()2ln 1a x bx x f x =+++(a R ∈，b R ∈). （1）当0a =时，若函数()f x 在()0,∞+上有两个零点，求b 的取值范围；（2）当0b =时，是否存在a R ∈，使得不等式()()12a f x x ≤+恒成立？若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由.13．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值． （1）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围． 14．设函数2()ln(1)1f x x ax x =-+++，2()(1)x g x x e ax =-+.（1）若0a ≥，讨论()g x 的零点个数；（2）证明：()()f x g x ≤.15．已知函数()()11ln 1.f x a x x a a x⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭ （1）试讨论()f x 在区间()0,1上的单调性；（2）当[)3,a ∈+∞时，曲线()y f x =总存在相异两点()()()()1122,,,P x f x Q x f x ，使得曲线()y f x =在,P Q 处的切线互相平行，求证1265x x +>. 16．已知函数()()sin 1ln f x m x x =-+.（1）当1m =时，求函数()f x 在()0,1的单调性；（2）当0m =且1a e ≥-时，()()1g x af x x=-+，求函数()g x 在(]0,e 上的最小值；（3）当0m =时，()()1(2h x f x b x=+-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>. 17．已知函数()()21f x a x b =-+.(1)讨论函数()()xg x e f x =-在区间[]0,1上的单调性； (2)已知函数()12x x h x e xf ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若()10h =，且函数()h x 在区间()0,1内有零点，求a 的取值范围.18．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD ，BC 的中点，2CA CB CD BD ====，AB AD ==（1）求证：BD AC ⊥；（2）求锐二面角E AC D --的余弦值．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点，2AB BC ==，1C F AB ⊥.（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）若直线1C F 和平面11ACC A 所成角的正弦值等于10，求二面角A BE C --的平面角的正弦值.20．如图,五边形ABSCD 中,四边形ABCD 为长方形,SBC ∆为边长为2的正三角形,将SBC ∆沿BC 折起,使得点S 在平面ABCD 上的射影恰好在AD 上.（Ⅰ）当AB =,证明:平面SAB ⊥平面SCD ；（Ⅱ）若1AB =,求平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值.21．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，2AC AB SA ===，AC AB ⊥，,D E 分别是,AC BC 的中点，F 在SE 上，且2SF FE =.（1）求证：AF ⊥平面SBC ；（2）在线段DE 上是否存在点G ，使二面角G AF E --的大小为30︒？若存在，求出DG 的长；若不存在，请说明理由.22．如图，在四棱锥C ﹣ABNM 中，四边形ABNM 的边长均为2，△ABC 为正三角形，MB =MB ⊥NC ，E ，F 分别为MN ，AC 中点．（Ⅰ）证明：MB ⊥AC ；（Ⅱ）求直线EF 与平面MBC 所成角的正弦值．23．如图，在四边形ABCD 中，,,BC CD BC CD AD BD =⊥⊥，以BD 为折痕把△折起，使点A到达点P的位置，且PC BCABD⊥.（1）证明：PD⊥平面BCD；--等于60°，求直线PC与平面MCD所成（2）若M为PB的中点，二面角P BC D角的正弦值.24．（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.参考答案1．C【解析】【分析】根据平面向量的基本定理、平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和平行四边形的性质进行求解即可.【详解】111111313()222222424FE EC AE BC AB BC BC AB B F C AB AD C =+=+=++=+=+故选：C【点睛】 本题考查了平面向量的基本定理、平面向量共线定理、平面向量的加法的几何意义，属于基础题.2．B【解析】【分析】根据选项分别计算,AD BC 再判断即可.【详解】由题，()()()()1,23,14,36,2AD AB CB CD =-+=-+--=--，()3,1BC CB =-=--，故2AD BC =.故选：B【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题.3．D【解析】【分析】【详解】试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ．考点：利用导数研究函数的单调性.4．12 16- 【解析】特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2A M CB N ，1(2,),(4,0),2MN AB =-=(0,3)AC =，则1(2,)(4,0)(0,3)2x y -=+，11142,3,,226x y x y ==-∴==-.考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.5．70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或(4,9)【解析】【分析】根据条件得2PA PB =或2PA PB =-，再根据向量相等求结果.【详解】因为直线AB 上一点P 满足||2||PA PB =，所以2PA PB =或2PA PB =-，设(,)P x y ，则由2PA PB =得，(2,1)2(1,4)x y x y ----=-- 22241829x x x y y y --=-=⎧⎧∴∴⎨⎨--=-=⎩⎩由2PA PB =-得，(2,1)2(1,4)x y x y ----=---022271823x x x y y y =⎧--=-+⎧⎪∴∴⎨⎨--=-+=⎩⎪⎩因此点P 的坐标为70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或(4,9) 故答案为：70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或(4,9) 【点睛】本题考查向量相等、向量共线，考查基本分析求解能力，属基础题.6．23【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出CD CA AD =+①，CD CB BD =+②； 由①、②得出1233CD CA CB =+，从而求出λ的值． 【详解】 ABC ∆中，D 是AB 边上一点，2AD DB =，13CD CA CB λ=+，如图所示， ∴2CD CA AD CA DB =+=+①，CD CB BD =+，22222CD CB BD CB DB ∴=+=-②；①+②得，32CD CA CB =+， ∴1233CD CA CB =+；23λ∴=． 故答案为：23．【点睛】本题考查平面向量的加法与减法的几何意义、平面向量基本定理，考查数形结合思想的运用． 7．2【解析】【分析】根据曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，令导数223y x x '=-=，解得x 的值，结合函数定义域即可得解．【详解】解：22ln y x x =-，223y x x '∴=-=，2002320x x --=，解得012x =-（舍去）或02x =，所以02x =，故答案为：2.【点睛】本题考查导数的几何意义，曲线上某点处的切线斜率的意义以及函数的定义域，属于基础题. 8．1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x '=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．9．（I ）函数()f x 在(,1)-∞和1,+)∞上单调递减，在(1)上单调递增.（II ）[1,)+∞.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间；（2）对a 分类讨论，当a ≥1时，()()()11e 11x f x x x x ax =-+≤+≤+，满足条件；当0a ≤时，取()()()2000001111x f x x x ax =>-+=>+，当0＜a＜1时，取012x =，()()()20000111f x x x ax >-+>+. 试题解析： 解（1）f ’(x )=(1-2x -x 2)e x令f’(x )=0得x ，x当x ∈（-∞，）时，f’(x )<0；当x ∈（）时，f’(x )>0；当x ∈（，+∞）时，f’(x )<0所以f (x )在（-∞，），（，+∞）单调递减，在（）单调递增(2) f (x )=(1+x )（1-x ）e x当a ≥1时，设函数h (x )=（1-x ）e x ，h ’(x )= -xe x ＜0（x ＞0），因此h (x )在[0，+∞)单调递减，而h (0)=1， 故h (x )≤1，所以f (x )=（x +1）h (x )≤x +1≤ax +1当0＜a ＜1时，设函数g （x ）=e x -x -1，g ’（x ）=e x -1＞0（x ＞0），所以g （x ）在在[0，+∞)单调递增，而g (0)=0，故e x ≥x +1当0＜x ＜1，()()()211f x x x =-+，()()()221111x x ax x a x x-+--=---，取012x =则()()()()20000000,1,110,1x x x ax f x ax ∈-+-=〉+故当 ()()0000010,112112a x f x x x ax ≤=〉-+=〉+时，取（） 综上，a 的取值范围[1，+∞）点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.10．（1）曲线()y f x =在x e =处的切线方程1y x e=；（2）当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a ，减区间是1(,)a+∞；（3）实数a 的取值范围为21(,)e+∞. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）求曲线()y f x =在x e =处的切线方程，由导数的几何意义得，对函数()f x 求导得1()f x x '=，既得函数()f x 在x e =处的切线的斜率为1k e=，又()1f e =，得切点(),1e ，由点斜式可得切线方程；（2）求函数()F x 的单调区间，由题意得，()ln 1F x x ax =--，求函数()F x 的单调区间，先确定函数的定义域为()0,∞+，由于含有对数函数，可对函数()F x 求导得，11()axF x a x x-=-='，由于含有参数a ，需对a 讨论，分0a ≤，0a >两种情况，从而得函数()F x 的单调区间；（3）当0a >时，若函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解，由（2）可知，当0a >时，函数()F x 的最大值为1F a ⎛⎫⎪⎝⎭，只要1F a ⎛⎫⎪⎝⎭小于零即可，由此可得a 的取值范围． 试题解析：(1)1()f x x '=，则函数()f x 在x e =处的切线的斜率为1k e=.又()1f e =， 所以函数()f x 在x e =处的切线方程为11()y x e e-=-,即1y x e =（2）()ln 1F x x ax =--，11()axF x a x x-=-='，（0x >）.①当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(0,)+∞上单调递增；②当0a >时，令()0F x '<，解得1x a >；令()0F x '>，解得10x a<<.综上所述，当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞； 当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a ，减区间是1(,)a+∞. （3）依题意，函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解.由（2）知，当0a >时，函数()F x 在区间1(0,)a 上为增函数,区间1(,)a+∞上为减函数， 由于(1)10F a =--<，只需111()ln 1ln 20F a a a a a=-⋅-=--<， 解得2a e ->.所以实数a 的取值范围为21(,)e +∞. 考点：函数与导数，导数的几何意义，函数的单调性，函数的零点． 11．（Ⅰ）(]{},02-∞（Ⅱ）[)0,+∞【解析】 【分析】（Ⅰ）首先确定函数定义域为()0,∞+，求出导数；当0a ≤时，可知函数单调递增，根据()10f =可知满足题意；当0a >时，可求得导函数的零点；1=可知满足题意；1<1>结合函数的单调性和零点存在性定理可判断出存在不止一个零点，不满足题意；综合上述情况得到结果；（Ⅱ）当0a ≤时，可知()0g x '≥，得到()()10g x g ≥=，满足题意；当0a >时，根据()g x ''符号可知()g x '单调递增，由零点存在性定理可验证出()()01,ln x e a ∃∈-，使得()00g x '=，从而得到()g x 在()01,x 上单调递减，则()()010g x g <=，不满足题意，从而得到结果.【详解】（Ⅰ）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，则()()2220a x a f x x x x x-'=-=>①当0a ≤时，()0f x '>恒成立 ()f x ∴在()0,∞+上单调递增又()10f = ()f x ∴有唯一零点，即0a ≤满足题意 ②当0a >时当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>即()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增()min ln 12a f x f a ∴==-1=，即2a =时，()()min 10f x f ==，()f x 有唯一零点，满足题意1<，即02a <<时，()10f f <= 又122110a a af e e e ---⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭，且11a e -<11ax e -⎛∴∃∈ ⎝，使得()()110f x f ==，不符合题意1>，即2a >时，()10f f <= ()()()()()211ln 112ln 1f a a a a a a a -=----=---设11a t -=>，()1ln h t t t =--，则()1110t h t t t-'=-=> ()h t ∴在()1,+∞上单调递增 ()()10h t h ∴>=，即()10f a ->又1a ->21x a ⎫∴∃∈-⎪⎪⎭，使得()()210f x f ==，不符合题意 综上所述：a 的取值范围为：(]{},02-∞（Ⅱ）由题意得：()ln xg x a x e ex =+-，则()x a g x e e x '=+-，()2x ag x e x''=- ①当0a ≥时，由[)1,x ∈+∞得：()0g x '≥恒成立()g x ∴在[)1,+∞上单调递增 ()()10g x g ∴≥=即0a ≥满足题意②当0a <时，()0g x ''>恒成立 ()g x '∴在[)1,+∞上单调递增又()10g a '=<，()()()()()()1ln ln 0ln ln a e a ag e a a e a e a --'-=-=>-- ()()01,ln x e a ∴∃∈-，使得()00g x '=当()01,x x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()01,x 上单调递减()()010g x g ∴<=，则0a <不符合题意综上所述：a 的取值范围为：[)0,+∞ 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数零点个数求解参数范围、恒成立问题的求解、零点存在性定理的应用等知识；本题解题的关键是在无法确定零点所在位置时，能够灵活应用零点存在定理找到不满足题意的点，从而使问题得以解决. 12．（1）10b e-<<.（2）存在，a 的取值集合为{}1. 【解析】 【分析】（1）将0a =代入，求得函数的导数，当0b ≥时显然不成立，当0b <时，利用零点的存在定理，即可求解的结论； （2）当0b =时，设()()2ln 112a ax x x g x =+-++，由()10g =，进而条件转化为不等式()()1g x g ≤对0x >恒成立，得到()1g 是函数()g x 的最大值，也是函数()g x 的极大值，故()10g '=，当1a =时，利用导数得到不等式()()12af x x ≤+恒成立，即可求解. 【详解】（1）当0a =时，()ln b f x x x =+，()11bx b x xf x +=='+(0x >)， 当0b ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增，不合题意，舍去； 当0b <时，()0f x '=，1x b=-， 进而()f x 在10,b ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,b ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，依题意有10f b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，1ln 10b ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，1e b ->，解得10b e -<<， 又()10f b =<，且11e b ->>，()f x 在10,b ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，进而由零点存在定理可知，函数()f x 在10,b ⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一零点； 下面先证1ln x x e <(0x >)恒成立，令()1ln x x x e ϕ=-，则()11x e x e x exϕ-'=-=， 当(0,)x e ∈时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(,)x e ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增，进而()()0x e ϕϕ≥=，∴1ln x x e ≥，∴1112222ln 2ln x x x x e=≤<，可得()12ln x bx f x x bx =+<+， 若120x bx +=，得21x b=， 因为1e b ->，则221e b >，即当1,x b ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，取021x b =，有12222110b f b b b⎛⎫⎛⎫<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即存在021x b =使得()00f x <，进而由零点存在定理可知()f x 在10,b ⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一零点；（2）当0b =时，存在1a =，使得不等式()()12af x x ≤+恒成立. 证明如下：当0b =时，设()()2ln 112a a x x x g x =+-++，则()()21221a x x g a x =--+'， 依题意，函数()0g x ≤恒成立，又由()10g =，进而条件转化为不等式()()1g x g ≤对0x >恒成立，所以()1g 是函数()g x 的最大值，也是函数()g x 的极大值，故()10g '=，解得1a =.当1a =时，()()()()()23221222121x x x x xx x x x g x -++--==-+'+(0x >)， 令()0g x '>可得01x <<，令()0g x '<可得1x >. 故()g x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减. 因此()()10g x g ≤=，即不等式()()12af x x ≤+恒成立. 综上，存在且a 的取值集合为{}1. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 13．解：（1）1,22a b =-=-，递增区间是（﹣∞，23-）和（1，+∞），递减区间是（23-，1）．（2）1,2c c <->或 【解析】 【分析】（1）求出f '（x ），由题意得f '（23-）＝0且f '（1）＝0联立解得a 与b 的值，然后把a 、b 的值代入求得f （x ）及f '（x ），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x ∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值为f （2），代入求出最大值，然后令f （2）＜c 2列出不等式，求出c 的范围即可． 【详解】（1）()32f x x ax bx c =+++，f '（x ）＝3x 2+2ax +b由()2124'0393'1320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=⎩解得，122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩f '（x ）＝3x 2﹣x ﹣2＝（3x +2）（x ﹣1），函数f （x ）的单调区间如下表：所以函数f （x ）的递增区间是（﹣∞，23-）和（1，+∞），递减区间是（23-，1）． （2）因为()[]3212122f x x x x c x =--+∈-，，，根据（1）函数f （x ）的单调性， 得f （x ）在（﹣1，23-）上递增，在（23-，1）上递减，在（1，2）上递增，所以当x 23=-时，f （x ）2227=+c 为极大值，而f （2）＝22227c c +>+，所以f （2）＝2+c 为最大值．要使f （x ）＜2c 对x ∈[﹣1，2]恒成立，须且只需2c ＞f （2）＝2+c ． 解得c ＜﹣1或c ＞2． 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．14．（1）当0a =时，()g x 有唯一零点；当0a >时，()g x 有两个零点；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得函数的导数()()2xg x x e a '=+，求得当0a =，函数()g x 有唯一的零点1x =； 当0a >，利用导数求得函数的单调性与最值，结合最值，即可求解.（2）令()()()(1)ln(1)1xH x g x f x x e x x =-=-----，求得导数()11xH x x e x ⎛⎫'=-⎪-⎝⎭，令1()1xt x e x =--，得到()t x 在(1,)+∞有唯一零点0(1,2)x ∈，结合导数求得函数()H x 的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数2()(1)x g x x e ax =-+，则()()22xxg x xe ax x e a '=+=+，①当0a =，则函数()(1)xg x x e =-，此时()g x 有唯一的零点1x =；②当0a >，令()0g x '=，可得0x =，所以min ()(0)1g x g ==-，()g x 最多两个零点，当0x <时，可得01x e e <=且10x -<，所以()11xx e x ->-，所以2()1g x ax x >+-，故x →-∞时，()0>g x ， 所以()g x 在(,0)-∞有一个零点； 当0x >时，(1)0g a ，所以()g x 在(0,)+∞有一个零点.综上可知，当0a =时，()g x 有唯一零点；当0a >时，()g x 有两个零点. （2）令()()()(1)ln(1)1,1xH x g x f x x e x x x =-=----->，则()111111x xx x H x xe xe x e x x x ⎛⎫'=--==- ---⎝-⎪⎭， 令1()1xt x e x =--，可得()t x 在(1,)+∞是增函数， 且（()2212210,(2)10e t eee t e --++=-<=->，所以()t x 在(1,)+∞有唯一零点0x ，且0(1,2)x ∈， 当()01,x x ∈时，()0H x '<，()H x 在()01,x 上为减函数， 当()0,x x ∈+∞时，()0H x '>，()H x 在()0,x +∞上为增函数，故()()()0min 0000()1ln 11xH x H x x e x x ==-----，且0011x e x =-， 所以()000110H x x x =+--=，∴()0()0H x H x =，所以()()f x g x ≤成立. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 15．（1）()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）求导得()()21'?x a x a f x x ⎛⎫--⎪⎝⎭=-，讨论1a和a 的大小下结论即可； （2）由题意可得()()12''f x f x =，整理可得121212121114x x a a x x x x x x ++=+=>+，整理得1241x x a a+>+，求右边最值即可.试题解析：(1)由已知()()2222111110,'1x a x x a x a a a a x f x x x x x⎛⎫⎛⎫-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>=--=-=-， 由()'0f x =，得121,x x a a ==， 11,01a a >∴<<,且1a a >，所以在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()'0f x <；在区间1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上， ()'0f x >，故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1a⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.(2) 由题意可得，当[)3,a ∈+∞时， ()()1212''(,0)f x f x x x =>且()12x x ≠，即221122111111a a a a x x x x ++--=--，所以[)121212111,3,x x a a a x x x x ++=+=∈+∞，因为12,0x x >，且12x x ≠，所以212122x x x x +⎛⎫< ⎪⎝⎭恒成立，所以()2121214x x x x >++，又12121212140,x x x x a a x x x x ++>∴+=>+，整理得1241x x a a+>+.令()[)()4,3,,1g a a g a a a =∈+∞∴+在[)3,+∞单调递减，所以()41g a a a=+在[)3,+∞上的最大值为()12663,55g x x =∴+>.16．（1）()f x 在()0,1上单调递增（2）()min 1g x a e=-（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）求得函数的导数()()1cos 1f x x x'=--+，结合导数的符号，即可求得函数的单调性； （2）由()1ln g x a x x=-，求得()21ax g x x +'=-，分类讨论求得函数的单调性与极值，进而求得函数的最小值，得到答案.（3）由()1ln 2h x x b x=+-，根据题意，得到111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=， 两式相减，1212122ln x x x x x x -=，令()120,1x t x =∈，得到函数()12ln l t t t t =--，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()()sin 1ln f x x x =-+，则()()1cos 1f x x x'=--+， 又∵()0,1x ∈，∴11x>，()cos 11x -<，∴()0f x '>， ∴()f x 在()0,1上单调递增. （2）由()()11ln g x af x a x x x =-+=-，则()2211a ax g x x x x+'=--=-， （1）当0a ≥时，()0,x e ∀∈，()0g x '<， 此时图数()g x 在区间(]0,e 上单调递减，∴函数()g x 在x e =处取得最小值，即()()min 1(g x g e a e==-； （2）当0a <时，令()10g x x a'=⇒=-，当1e a -≥时，即当10a e-≤<，()0,x e ∀∈，()0g x '<， 此时函数()g x 在区间(]0,e 上单调递减，函数()g x 在x e =处取得最小值， 即()()min 1g x g e a e==-； 综上所得()()min1g x g e a e==-.（3）证明：根据题意，()()1ln 02h x x b x x=+->， ∵1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x=+-的两个零点， ∴111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=. 两式相减，可得122111ln22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=， ∴1212122ln x x x x x x -=，则1211212ln x x x x x -=，2121212ln xx x x x -=. 令12x t x =，()0,1t ∈，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=. 记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，则()()221t l t t-'=. 又∵()0,1t ∈，∴()0l t '≥恒成立，故()()1l t l <，即12ln 0t t t--<.可得112ln t t t->，∴121x x +>.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 17．（1）见解析（2）12e a -<< 【解析】试题分析：（1）先求导数：()()'21xg x e a =--，再根据导函数符号是否变化分类讨论：当32a ≤时，()'0g x ≥，当12e a ≥+时，()'0g x ≤，当3122ea <<+时，在区间()0,ln 22a ⎡⎤-⎣⎦上单调递减，在区间()(ln 22,1a ⎤-⎦上单调递增.（2）先求函数()h x 导数()() '?h x g x =，因为()()010h h ==，结合（1）结论得：3122e a <<+，因此()00g >，()10g >，()()ln 220g a -<,由于102g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()()ln 220g a -<恒成立，解()00g >，()10g >得a 的取值范围.试题解析：解：(1)由题得()()21xg x e a x b =---，所以()()'21xg x e a =--.当32a ≤时，()'0g x ≥，所以()g x 在[]0,1上单调递增； 当12ea ≥+时，()'0g x ≤，所以()g x 在[]0,1上单调递减；当3122ea <<+时，令()'0g x =，得()()ln 220,1x a =-∈， 所以函数()g x 在区间()0,ln 22a ⎡⎤-⎣⎦上单调递减，在区间()(ln 22,1a ⎤-⎦上单调递增. 综上所述，当32a ≤时，()g x 在[]0,1上单调递增； 当3122ea <<+时，函数()g x 在区间()0,ln 22a ⎡⎤-⎣⎦上单调递减，在区间()(ln 22,1a ⎤-⎦上单调递增； 当12ea ≥+时，所以()g x 在[]0,1上单调递减. (2)()()21112xx x h x e xf e a x bx ⎛⎫=--=----⎪⎝⎭，()()()'21xh x e a x b g x =---=， 设0x 为()h x 在区间()0,1内的一个零点，则由()()000h h x ==，可知()h x 在区间()00,x 上不单调，则()g x 在区间()00,x 内存在零点1x ，同理，()g x 在区间()0,1x 内存在零点2x ，所以()g x 在区间()0,1内至少有两个零点. 由(1)知，当32a ≤时，()g x 在[]0,1上单调递增，故()g x 在()0,1内至多有一个零点，不合题意.当12ea ≥+时，()g x 在[]0,1上单调递减，故()g x 在()0,1内至多有一个零点，不合题意，所以3122ea <<+，此时()g x 在区间()0,ln 22a ⎡⎤-⎣⎦上单调递减，在区间()(ln 22,1a ⎤-⎦上单调递增. 因此，()(10,ln 22x a ⎤∈-⎦，()(2ln 22,1x a ⎤∈-⎦，必有()010g b =->，()1220g e a b =-+->.由()10h =，得a b e +=，102g e ⎛⎫=<⎪⎝⎭. 又()010g a e =-+>，()120g a =->，解得12e a -<<.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题. 18．（1）证明见解析；（2）17【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得出BD ⊥平面AOC ，最后由线面垂直的性质定理得出BD AC ⊥；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）证明：连接OC∵在BDC 中，2BD BC CD ===且O 是BD 的中点∴OC =OC BD ⊥∵在ABD △中，AB AD ==2BD =∴ABD △为等腰直角三角形 又O 是BD 的中点，∴112AO BD ==且AO BD ⊥ 而OC OA O ⋂=，,OC OA ⊂平面AOC ，∴BD ⊥平面AOC ∵AC ⊂平面AOC ，∴BD AC ⊥．（2）解：∵在AOC △中，OC =1AO =，2AC =∴222AO OC AC +=，即AO OC ⊥又由（1）知BD ⊥平面AOC ，,AO OC ⊂平面AOC ，则,BD AO BD OC ⊥⊥ 所以建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,1A ，()1,0,0B，()C ，()1,0,0D -∴()0,1AC =-，()1,0,1AD =--，()1,0,1AB =-设平面EAC 与平面ACD 的法向量分别为()111,,n x y z =，()222,,m x y y =，则00n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩与00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即111100x z z -=⎧⎪-=与222200x z z --=⎧⎪-=∴(31,n =,，(3,1,m =-∴1cos ,7n m n m n m ⋅==- 所以锐二面角E AC D --的余弦值为17【点睛】本题主要考查了证明线线垂直以及利用向量法求二面角的余弦值，属于中档题.19．（1）见解析；（2）5. 【解析】试题分析：（1）要证面面垂直，先证线面垂直，AB ⊥平面11BCC B ，再由面面垂直的判定得到面面垂直；（2）建系得到面的法向量和直线的方向向量，根据公式得到线面角的正弦值．. 解析：（1）在直三棱柱中1CC AB ⊥ 又1C F AB ⊥ED ⊂平面EAB ，1C F ⊂平面EAB ，111CC C F C ⋂=∴AB ⊥平面11BCC B 又∵AB ⊂平面EBA ∴平面ABE ⊥平面11B BCC . （2）由（1）可知AB BC ⊥以B 点为坐标原点，BC 为X 轴正方向，BA 为Y 轴正方向，1BB 为Z 轴正方向，建立坐标系.设1AA a =()000B ，，，()200C ，，，()020A ，，，()100B a ，，，()120C a ，，，()102A a ，，，()11E a ，，，()100F ，，直线1FC 的方向向量()10a a =，，，平面1ACC A 的法向量()110m =，， 可知10m a m a ⋅=∴2a = ()020BA =，，，()112BE =，，，()200BC =，， 设平面ABE 的法向量()1n x y z =，，∴2020y x y z =⎧⎨++=⎩∴()1201n =-，，设平面CBE 的法向量()2n x y z ，，= ∴2020x x y z =⎧⎨++=⎩∴()2021n =-，，记二面角A BE C --的平面角为θ1cos 5θ=∴26sin 5θ=二面角A BE C --. 20．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)13. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）作SO AD ⊥，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ，则,SO AB AB AD ⊥⊥，AB ⊥平面SAD ，AB SD ⊥，结合勾股定理可得SA SD ⊥，则SD ⊥平面SAB ，平面SAB ⊥平面SCD .（Ⅱ）由几何关系，以,,OA OE OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面SCD 的法向量()2,0,1m =-，平面SBC 的法向量()0,2,1n =.计算可得平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13. 试题解析：（Ⅰ）作SO AD ⊥，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ，,SO AB SO CD ∴⊥⊥， 又AB AD ⊥，AB ∴⊥平面SAD ，,AB SA AB SD ⊥⊥利用勾股定理得SA ===SD =在SAD ∆中，2,AD SA SD SA SD ===∴⊥SD ∴⊥平面SAB ，又SD ⊂平面SCD ，所以平面SAB ⊥平面SCD（Ⅱ）连结,BO CO ，SB SC =，Rt SOB Rt SOC ∴∆≅∆，BO CO =，又四边形ABCD 为长方形，,Rt AOB Rt DOC OA OD ∴∆≅∆∴=.取BC 中点为E ，得OE ∥AB，连结,SE SE ∴= 其中1OE =，1OA OD ==，OS =由以上证明可知,,OS OE AD 互相垂直，不妨以,,OA OE OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.1,OE OS =∴=，()()()0,1,0,1,1,2,2,0,0DC SC BC ∴==--=-，设()111,,m x y z =是平面SCD 的法向量，则有00m DC m SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即111100y x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩， 令11z =得()2,0,1m =-设()222,,n x y z =是平面SBC 的法向量，则有00n BC n SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2222200x x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令11z =得()0,2,1n =. 则1,333m n cosm n m n⋅===⋅ 所以平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13. 21．（1）见解析；（2）存在，12DG =【解析】 【分析】（1）由已知可得EFAEAS ∆∆，所以AF SE ⊥，又由已知可证BC ⊥底面SAE ，所以BC AF ⊥，问题得解；（2）以A 为坐标原点，建立空间坐标系，可求得平面AFG 的法向量为(,1,1)m t t =--，平面AEF 的法向量为(1,1,0)n =-，所以有cos30︒=，求解即可.【详解】（1）由2,AC AB SA AC AB ===⊥E 是BC的中点，所以AE =因为SA ⊥平面ABC ，所以SA AE ⊥ 在Rt SAE ∆，SE =1,33EF SE ==因此2,AEEF SE AEF AES =⋅∠=∠所以EFAEAS ∆∆则90AFE SAE ︒∠=∠=，即AF SE ⊥SA ⊥平面ABC ，SA BC ∴⊥又BC AE ⊥，BC ∴⊥底面SAE 则BC AF ⊥，又SE BC E =，所以AF ⊥平面SBC .（2）假设满足条件的点G 存在，并设DG t =， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系则：(0,0,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,,0)A S E G t ，2222,(,,)333SF FE F =∴则()()2221,1,0,,,,1,,0333AE AF AG t ⎛⎫===⎪⎝⎭设平面AFG 的法向量为111(,,)z m x y =111112220033300m AF x y z m AG x y t ⎧⎧⋅=++=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+=⎩ 取11y =，则1x t =-，11z t =-(,1,1)m t t ∴=--设平面AEF 的法向量为()222,,n x y z =，222222220033300n AF x y z n AE x y ⎧⎧⋅=++=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+=⎩， 取2221,1,0y x z =∴=-=(1,1,0)n ∴=-cos30︒∴=化简得：22520t t -+=()10,1,2t t ∈∴=于是满足条件的点G 存在，且12DG =. 【点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明和二面角的求法，本题几何体比较规则，用空间向量方法求二面角比较易解，属于中档题. 22．（Ⅰ）详见解析；． 【解析】 【分析】（Ⅰ）连接AN ，由题意可得MB AN ⊥，结合MB NC ⊥，利用线面垂直的判定可得MB ⊥平面NAC ，利用线面垂直的性质即可得证；（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接FG ，NG ，MG ，证明MG 与EF 相交，记交点为O ，则O 为MG 与EF 的中点．则直线EF 与平面MBC 所成角，就是FO 与平面MBC 所成角，记为θ．由已知求解三角形可得OF ，记F 到平面MBC 的距离为h ，利用等体积法求得h ，则sin h OF θ==，即可得解. 【详解】（Ⅰ）证明：连接AN ，∵四边形ABNM 的边长均为2，∴MB AN ⊥，∵MB NC ⊥，且AN NC N =，∴MB ⊥平面NAC ，∵AC ⊂平面NAC ，∴MB AC ⊥；（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接FG ，NG ，MG ，显然//FG MN ，且12FG MN =，即//FG ME ，FG ME =， ∴MG 与EF 相交，记交点为O ，则O 为MG 与EF 的中点．∴直线EF 与平面MBC 所成角，就是FO 与平面MBC 所成角，记为θ,由（Ⅰ）知MB AC ⊥，又ABC 为正三角形，∴BF AC ⊥，且BF =∵MB BF B =，∴AC ⊥平面MBF ，而BF ⊂平面MBF ，则MF AC ⊥，得MF =2MC =，∵MB =BF =MF BF ⊥，AC BF F =，∴MF ⊥平面ABC ，又FG ⊂平面ABC ，MF FG ⊥，∴MF ME ⊥，可得112OF EF ===．∴111113322M BCF BCF V S MF -=⋅=⋅⋅=， 记F 到平面MBC 的距离为h ，在MBC △中，∵2MC BC ==，MB =MBC S =△∴111332F MBC MBC V S h h -=⋅==△，得h =故sin 5h OF θ==.所以直线EF 与平面MBC 所成角的正弦值为5.【点睛】本题考查了线面垂直的判定和性质，考查了线面角的求解和空间思维能力，属于中档题.23．（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；（2）由题意知，60PCD ∠=︒，取BD 的中点O ，连接,OM OC ，易知,,OM OC BD 两两垂直，以O 为原点建立如图所示的坐标系O xyz -，设1OB =，平面MCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，求出向量n ，则向量,PC n 所成角的余弦值的绝对值即为所求.【详解】（1）证明：因为,,BC CD BC PC PC CD C ⊥⊥=∩，所以BC ⊥平面PCD ，又因为PD ⊂平面PCD ，所以BC PD ⊥.又因为,PD BD BD BC B ⊥=∩，所以PD ⊥平面BCD .（2）因为,PC BC CD BC ⊥⊥，所以PCD ∠是二面角P BC D --的平面角，即60PCD ∠=︒，在Rt PCD中，tan 60PD CD =︒=，取BD 的中点O ，连接,OM OC ，因为,BC CD BC CD =⊥,所以OC BD ⊥,由（1）知，PD ⊥平面BCD ，OM 为PBD △的中位线，所以,OM BD OM OC ⊥⊥，即,,OM OC BD 两两垂直，以O 为原点建立如图所示的坐标系O xyz -，设1OB =，则(1,0,0),(0,1,0),,(1,1,6),(1,1,0)P C DM CP CD ⎛=-=- ⎝⎭，CM ⎛=- ⎝⎭，设平面MCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0,0,n CD n CM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得0,0,x y x z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩令z =，得(3,3,n =， 所以3cos ,||||CP n n CP CP n⋅〈〉==， 所以直线PC 与平面MCD 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、二面角的平面角的判定和利用空间向量法求线面角的正弦值；考查空间想象能力、运算求解能力和转化与化归能力；熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.24．（1）见解析；（2）7. 【解析】 试题分析：（1）利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D –AE –C . 试题解析：（1）由题设可得，ABD CBD ≌△△，从而AD DC =. 又ACD 是直角三角形，所以=90ADC ∠︒.取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则DO ⊥AC ,DO =AO .又由于ABC 是正三角形，故BO AC ⊥.所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角.在Rt AOB 中，222BO AO AB +=.又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故90DOB ∠=.所以平面ACD ⊥平面ABC .（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,,1,0,0,0,0,1A B C D -.由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB的中点，得12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故()()11,0,1,2,0,0,1,22AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设(),,n x y z =是平面DAE 的法向量，则00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,10.2x z x y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩可取⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n . 设m 是平面AEC 的法向量，则00m AC m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，同理可取(0,=-m .则cos ,7⋅==n m n m n m . 所以二面角D -AE -C的余弦值为7. 【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.（2）设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n 互补或相等，故有cos cos ,m n m n m nθ⋅==.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.。

2019-2020年高一5月月考数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1、角π127为第（ ）象限角 A.第一象限 B .第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、角α的始边在x 轴正半轴、终边过点P （3,4）,则sin α的值为（ ） A.34 B. 43 C. 35D . 45 3、已知sin α=135，且α是第二象限角，那么tan α的值为（ ）A ．125-B ．125C ．512D ．512- 4、向量a →, b →均为非零向量，下列说法不正确的是( ) A. a →与b →反向，且|a →|>|b →|,则a →+b →与a →同向 B. a →与b →反向，且|a →|>|b →|,则a →+b →与b →同向C. a →与b →同向，则a →+b →与a →同向D. a →与b →同向，则a →+b →与b →同向5、=-)413tan(π（ ） A 1 B 1- C33 D 33- 6、、要得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只要将函数x y 2sin =的图象（ ） A 向左平移3π个单位 B 向左平移6π个单位 C 向右平移3π个单位 D 向右平移6π个单位 7、已知31tan =α，则ααcos sin 的值为（ ） A. 1 B. 103- C. 103 D.103±8、已知22sin -=x ，232ππ<<x ，则角x 等于（ ） A ．34π B ．43π C ．47π D ． 45π9、向量AB →+MB →+BO →+BC →+OM →化简后等于( )A. BC →B. AB →C. AC →D. AM →10、已知ABCD 的三个顶点A(1,2), B(2,-3), C(-3,1), 则顶点D 的坐标为A . (-4,6) B. (-2,-4) C.(6,-2) D. (4,-6)11、已知角θ为第二象限角，21cos sin =+αα，则ααcos sin -=（ ）。

2019-2020学年高一数学下学期5月月考试题一、选择题（每小题4分，共48分)1.若·>0，则的终边在第（）象限A．一B．四C．二或三D．一或四2.若cos，则sin（）A．B．C．D．3.设，角的终边经过点，那么+=（）A．B．C． D．4.下列函数中，最小正周期为，且图像关于直线对称的是（）A． B． C． D．5.平行四边形ABCD满足条件（）·（）=0，则四边形ABCD为（）A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．任意平行四边形6.若与夹角为120°，=3，，则（）A．5 B．4 C．3 D．17.已知，若，则x=（）A. 4 B． C．D．168.为了得到函数的图像，只需将的图像上每一个点（）A．横坐标向左平移个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度9.（）A． B． C． D．10.已知，则（）A．1 B．3 C． D．11.函数的最大值为（）A． B． C． D．312.已知向量，则=（）A． B． C．2 D．3二、填空题（共16分，每小题4分)13.终边落在轴上的角的集合是．14.己知与夹角为60°且，则在方向上的投影是．15.函数=（）的最大值为4，最小值为0，则A= ，B=______．16.己知，且A、B、C三点共线，则k= ．三、解答题（共56分)17.（本小题满分10分）已知，.（1）求的值；（2）求的值.18.（本小题满分10分）已知为锐角，，，求角。

19.（本小题满分12分）在ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点，G为交点，若，，试以为基底表示．20（本小题满分12分）己知，当为何值时．（1）与垂直；（2）与平行．21（本小题满分12分）设，，函数=．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间．选择题1-6 DBABCB7-12 ADBACB二、填空题13. 或14. 15. 2,216.三、解答题17.（1）（2）18.解：根据图形得：20.21.（2）2019-2020学年高一数学下学期5月月考试题一、选择题（每小题4分，共48分)1.若·>0，则的终边在第（）象限A．一B．四C．二或三D．一或四2.若cos，则sin（）A．B．C．D．3.设，角的终边经过点，那么+=（）A．B．C． D．4.下列函数中，最小正周期为，且图像关于直线对称的是（）A． B． C． D．5.平行四边形ABCD满足条件（）·（）=0，则四边形ABCD为（）A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．任意平行四边形6.若与夹角为120°，=3，，则（）A．5 B．4 C．3 D．17.已知，若，则x=（）A. 4 B． C．D．168.为了得到函数的图像，只需将的图像上每一个点（）A．横坐标向左平移个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度9.（）A． B． C． D．10.已知，则（）A．1 B．3 C． D．11.函数的最大值为（）A． B． C． D．312.已知向量，则=（）A． B． C．2 D．3二、填空题（共16分，每小题4分)13.终边落在轴上的角的集合是．14.己知与夹角为60°且，则在方向上的投影是．15.函数=（）的最大值为4，最小值为0，则A= ，B=______．16.己知，且A、B、C三点共线，则k= ．三、解答题（共56分)17.（本小题满分10分）已知，.（1）求的值；（2）求的值.18.（本小题满分10分）已知为锐角，，，求角。

2019-2020学年度一中学校5月月考卷一、单选题1．已知12,F F 是双曲线C 的左右焦点，点P 在双曲线C 上，126F PF π∠=，且2121()0F F F P F P +⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A 1B C 1D 2．已知双曲线的一个焦点与抛物线220x y =的焦点重合，且双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．221916y x -=D ．221169y x -=3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆222(1)sin 130x y -+=相切，则该双曲线的离心率等于（ ） A ．1sin 50B ．1cos50C ．2sin50D ．2cos504．双曲线x 224y -=1的渐近线方程是（ ）A ．yB ．yC ．y =±12xD ．y =±2x5．若双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（ ） A ．18B ．9C ．6D ．36．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线C 的一条渐近线交于点O 及点3,22A ⎛ ⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ） A ．2213y x -=B ．22126x y -=C ．2213x y -=D ．22162x y -=7．双曲线2222:1x y C a b-=0y -=，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2C D ．38．已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．x 2212y -=1B ．22134x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=9．已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A ，则APF ∆周长的最小值为（ ）A ．4B ．4(1+C ．D10．已知1F 、2F 为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过右焦点2F 的直线l ，交C 的左、右两支于A 、B 两点，若B 为线段2AF 的中点且1BF l ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．4 B ．5 C ．6D ．711．已知F 为双曲线C ：()222210x y a b a b-=>>的一个焦点，过F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为点A ，l 与C 的另一条渐近线交于点B ，若AB =，则C 的离心率为（ ）A ．2B C D 12．以双曲线221169x y -=的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )A ．216y x =B ．216y x =-C ．28y x =D ．28y x =-二、多选题13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率2e =，C 上的点到其焦点的最短距离为1，则（ ） A ．C 的焦点坐标为()0,2±B ．C 的渐近线方程为y = C ．点()2,3在C 上D ．直线()0mx y m m --=∈R 与C 恒有两个交点三、解答题14．[选修4-5：不等式选讲] 已知实数正数x , y 满足1x y +=． （1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15．[选修4-5：不等式选讲]已知函数()31f x x x =--+，M 为不等式()2f x 的解集.（1）求M ；（2）证明：当log a b M ∈时，12222aba b +--<-.16．已知函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()2f x x ≤+的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设0a >，0b >，且有a b m +=.求1212a b +++的最小值. 17．设函数()16f x x x a =++--.（1）当2a =时，求不等式()0f x ≤的解集；（2）若()23f x a ≥-，求a 的取值范围. 18．已知()12f x x x =-+-.（1）求使得()2f x >的x 的取值集合M ；（2）求证：对任意实数a ，()0b a ≠，当R x C M ∈时，()a b a b a f x ++-≥恒成立.19．已知函数()221f x x x =-+-. （1）求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()2274f x m m >-+对于x ∀∈R 恒成立,求实数m 的取值范围.20．已知函数()|1||2|f x x x a =++-． （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围．21．设函数()|1||21|f x x x =-+-. （1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）若x R ∀∈，不等式()||f x a x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 22．选修4-5：不等式选讲 已知函数()225f x x =+-. （1）解不等式：()1f x x ≥-；（2）设函数()2g x m x m =+-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求m 的取值范围. 23．已知函数()21f x x x =--+ （Ⅰ）解不等式()0f x x +>．（Ⅱ）若关于x 的不等式()22f x a a ≤-的解集为R ，求实数a 的取值范围．24．已知()2f x x a x =-++.（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集； （2）若对x R ∀∈，()1f x ≥成立，求a 的取值范围.25．已知函数()3f x x x a =-++．（1）当2a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()5f x x ≤-的解集包含[]1,3，求实数a 的取值范围． 26．已知函数()4()f x x x a a R =-+-∈的最小值为a . （1）求实数a 的值； （2）解不等式()5f x ≤. 27．设()|2||2|f x x x =-++ （1）解不等式()6f x ≥；（2）对任意的非零实数x ，有2()2f x m m ≥-+恒成立，求实数m 的取值范围.四、填空题28．设1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线分别交于A ，B ，且(,18)A m 在第一象限，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的实轴长为__________．29．过双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于,A B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ,则双曲线的离心率为__________．30．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()22210y x b b-=>的一个焦点到一条渐近线的距离为3，则此双曲线的离心率为________.31．已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离等于 ．32．已知双曲线22163x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x轴，则F 1到直线F 2M 的距离为_________.33．过双曲线2213y x -=的左焦点1F ，作倾斜角为6π的直线AB ，其中,A B 分别为直线与双曲线的交点，则AB 的长为________．34．设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，OP OF =，则双曲线C 的离心率为______.35．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，以右顶点A 为圆心，半径为2a c+的圆与过1F 的直线l 相切于点N ，设l 与C 的交点为,P Q ，若2PQ PN =，则双曲线C 的离心率为___________.36．设F 1，F 2是双曲线C :2212x y -=的左、右焦点，M 是C 上的第一象限的一点，若△MF 1F 2为直角三角形，则M 的坐标为_____________.37．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为________.参考答案1．D 【解析】 【分析】设N 为1PF 的中点，由2121()0F F F P F P +⋅=，可得12F F P 为等腰三角形，由双曲线的定义可得122PF a c =+，在直角三角2PNF中，122cos 2PN a c F PF PF c +∠===可求出答案. 【详解】如图，设N 为1PF 的中点，则21222F F F P F N +=, 由2121()0F F F P F P +⋅=，即210F N F P ⋅=,所以21F N F P ⊥ 所以12F F P 为等腰三角形，1222F F F P c ==由双曲线的定义有：122PF F P a -=，所以122PF a c =+ 则PN a c =+在直角三角2PNF 中，126F PF π∠=，所以122cos 22PN a c F PF PF c +∠===所以1a c +=e = 故选：D【点睛】本题考查向量在平面解析几何中的应用，求双曲线的离心率，关键是向量条件的转化处理，属于中档题. 2．C 【解析】 【分析】根据题意，先求得双曲线焦点坐标，再结合双曲线定义，即可求得,,a c b ，则方程得解. 【详解】因为220x y =的焦点为()0,5，故双曲线的焦点在y 轴上，故设双曲线方程为22221y x a b-=，则5c =；由双曲线定义知：26a =，解得3a =；故可得4b =；则双曲线方程为：221916y x -=.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及其定义，以及抛物线焦点坐标的求解，属综合基础题. 3．B 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，可得渐近线方程，然后根据直线与圆的位置关系，利用几何法表示，根据平方关系以及,,a b c 的关系，结合离心率公式，可得结果. 【详解】双曲线22221x y a b-=的渐近线为0bx ay ±=由渐近线与圆222(1)sin 130x y -+=相切sin130=两边平方：2222sin 130b a b =+，又222b c a =- 所以2222sin 130c a c -=，则2221sin 130a c -=所以2222cos 130cos 50a c==，由ce a =，所以1cos50e = 故选：B 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，还考查了双曲线的渐近线，关键在于利用几何法得到关系式子，细心计算，注意角度变换，属基础题. 4．D 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线定义即可求解. 【详解】双曲线的方程为2214y x -=，∴ 双曲线的渐近线方程为2y x =±，故选：D 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题. 5．A 【解析】 【分析】先写出双曲线渐近线方程，再根据双曲线的渐近线与直线13y x =垂直，由斜率乘积等于-1求解. 【详解】双曲线()222109y x a a -=>的渐近线方程为3a y x =±，因为双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，所以33a=， 解得9a =，所以此双曲线的实轴长为18. 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程：b y x a =，再将点3,22A ⎛ ⎝⎭代入可得b =，连接FA =，从而可求出c ，再由222c a b =+即可求解. 【详解】由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，则渐近线方程：by x a=±，b ∴=，连接FA ，则FAb AO a ===2c =， 所以2224c a b =+=，解得223,1a b ==.故双曲线方程为2213x y -=.故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题. 7．B 【解析】 【分析】由双曲线的方程，可判断双曲线的焦点在x 轴上，可得3b a =，再结合c e a ==得解 【详解】由题意，双曲线的焦点在x 轴上， 故渐近线方程为：b y x a=± ，故3ba =又222c a b =+故2c e a ====故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程和离心率，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题. 8．D 【解析】 【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可得1||22AF a c =+，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】解：由题可知，1212F A F F F A →→→=-+，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝，可得21222F AF F →→=，即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=， 可得1||22AF a c =+， 由于过F 2的直线斜率为247， 所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-， 则217cos 25AF F ∠=-， 由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-=，化简得：35c a =， 即35a c =，45b c =， 可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D ． 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题． 9．B 【解析】曲线22142x y -=右焦点为F)，APF ∆周长2l AF AP PF AF AP a PF =++=++'+ 要使APF ∆周长最小，只需AP PF +'最小，如图：当,,A P F '三点共线时取到,故l =2|AF |+2a =(41+ 故选B点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题. 10．B 【解析】 【分析】设双曲线C 的焦距为()20c c >，作出图形，由中垂线的性质可得出12AF c =，由双曲线的定义得出222AF a c =+，13BF a c =+，然后利用勾股定理可得出关于a 、c 的二次关系式，由此可解出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的离心率为e ，则1e >，如下图所示：B 为线段2AF 的中点，且12BF AF ⊥，由中垂线的性质可得1122BF F F c ==，由双曲线的定义可得212BF BF a -=，21222BF BF a a c ∴=+=+，2212AF BF a c ∴==+，同理可得1223AF AF a a c =+=+， 由勾股定理得2221212AF AF F F +=，即()()()22232a c a c c +++=，整理得22450c ac a --=，等式两边同时除以2a 得2450e e --=，解得5e =. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，同时也涉及双曲线定义的应用，解题的关键就是利用双曲线的几何性质得出关于a 、b 、c 的齐次等式，考查计算能力，属于中等题. 11．C 【解析】 【分析】根据AB =列方程，求得tan AOB ∠，由此求得ba，进而求得椭圆的离心率. 【详解】依题意(),0F c ，双曲线的渐近线方程为by x a=或b y x a =-.不妨设过F 作C 的一条渐近线by x a=的垂线l ，垂足为点A ，l 与C 的另一条渐近线b y x a =-交于点B ，如下图所示.点F 到渐近线b y xa =即0bx ay -=bc b c ==.所以OA a ==.由于AB =，所以tan AB AOB OA∠===设AOF BOF θ∠=∠=，则tan 2tan AOB θ=∠=即22tan 1tan θθ=-22tan 0θθ+=，解得tan θ=（负根舍去），即b a =，所以3c e a ====.故C 选项正确.依题意(),0F c ，双曲线的渐近线方程为by x a=或b y x a =-.不妨设过F 作C 的一条渐近线by x a=的垂线l ，垂足为点A ，l 与C 的另一条渐近线b y x a =-交于点B ，如下图所示.点F 到渐近线b y xa =即0bx ay -=bc b c ==.所以OA a ==.由于AB =，所以tan AB AOB OAa ∠===所以3AOB π∠=.根据双曲线渐近线的对称性可知：13AOF BOF π∠=∠=，所以tan tan 3b AOF a π=∠==此时b =，即0b a >>不符合题意.故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于中档题. 12．A 【解析】 【分析】先由双曲线方程，得到右顶点坐标，设所求抛物线方程为22y px =，得到42p=，进而可求出结果. 【详解】由双曲线的方程221169x y -=可得：右顶点为：()4,0， 设所求抛物线方程为：22y px =， 因为其以()4,0为焦点，所以42p=，因此8p =； 故抛物线方程为：216y x =. 故选：A【点睛】本题主要考查由焦点坐标求抛物线方程，熟记双曲线的性质以及抛物线的标准方程即可，属于基础题型. 13．BC 【解析】 【分析】由12c a c e a -=⎧⎪⎨==⎪⎩，求得12a c =⎧⎨=⎩，得到双曲线C 的方程，再结合双曲线的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线2222:1x y C a b-=的离心率2e =，C 上的点到其焦点的最短距离为1，可得12c a ce a -=⎧⎪⎨==⎪⎩，解得12a c =⎧⎨=⎩，所以23b =，所以双曲线C 的方程为2213y x -=， 所以C 的焦点为()2,0±，A 错误； 双曲线C的渐近线方程为by x a=±=，所以B 正确； 因为223213-=，所以点()2,3在C 上，选项C 正确；直线0mx y m --=，即()1y m x =-，恒过点()1,0，当m =C 的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点． 故选：BC. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程和几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质，求得双曲线的方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力． 14．(1)1[,1)6.(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）利用零点分段法即可求解.（2）利用“1”的转换，以及基本不等式即可证明. 【详解】 （1）1,0,0x y x y +=>>且0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩01011112121222x x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎛⎫-+≤-≤+-≤+ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩解得116x ≤<，所以不等式的解集为1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）解法1：1,x y +=且0,0x y >>，()()222222221111x y x x y y x y x y +-+-⎛⎫⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222xy y xy x x y ++=⋅ 222222y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225x y y x =++59≥=. 当且仅当12x y ==时，等号成立. 解法2：1,x y +=且0,0x y >>，222222111111x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()221111x x y y x y +-+-=⋅()()2211x y y x x y ++=⋅1x y xyxy+++=21xy=+ 22192x y ≥+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭当且仅当12x y ==时，等号成立. 【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题.对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法.而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式. 15．(1) (0,)M =+∞ (2)见解析 【解析】分析：（1）对()f x 取绝对值，然后解不等式；（2）算出ab 的范围，进行分类讨论 详解：（1）解：当3x ≥时，()42f x =-<成立；当13x -<<时，()31222f x x x x =---=-<，∴03x <<； 当1x ≤-时，()42f x =>，不成立. 综上，()0,M =+∞.（2）证明：根据题意，得log 0a b >，∴11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩， 要证12222aba b +--<-成立，即证144224422a b a b a b a b ++-++-⋅<+-⋅成立， 即证()144440*aba b +-+--<成立，()()1114444414441a b a b a b b +---+--=-+- ()()14144b a -=--，当11a b >⎧⎨>⎩时，()1410b -->，()440a -<； 当0101a b <<⎧⎨<<⎩时，()1410b --<，()440a->，故()()141440b a ---<，所以()*式成立.点晴：分类讨论是解决这类题目的关键，分类讨论思想在高中数学中是重要的一思想，注意在分类的时候要做到不重不漏。

2019-2020学年高一数学5月月考试题(10)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．1060o-的终边落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知53)sin(=+απ且α是第三象限的角，则)2cos(πα-的值是（ ） A ．54- B ．54C ．54±D ．53 3.为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向左平行移动π6个单位长度 D ．向右平行移动π6个单位长度4. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．55.已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A.π3B.π2C.2π3D.5π66.若,αβ为锐角，且满足，则sin β的值为( )A B C D 7.函数)32sin(2π+=x y 的图像（ ）A.关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3π对称 B.关于直线4π=x 对称 C.关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4π对称 D.关于直线3π=x 对称8．若样本x 1＋1，x 2＋1，…，x n ＋1的平均数为10，方差为2，则对于样本x 1＋2，x 2＋2， …，x n ＋2，下列结论正确的是( )A ．平均数为10，方差为2B ．平均数为11，方差为3C ．平均数为11，方差为2D ．平均数为11，方差为49.已知向量,a b 的夹角为120，则向量23a b +在向量2a b + 方向上的投影为（ ）A B10．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值， 则点P 的坐标为( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)11.设0)3cos )(sin sin cos 2(=++-x x x x ，则xxx tan 12sin cos 22++的值为（ ）.A ．58 B ．85 C ．52 D ．2512.已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2，0)， 则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分 ）13．某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取____________名学生14．已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是 .15.化简求值：sin 50(1)︒+︒ . 16.如图，在四边形ABCD 中，1DC AB =，E 为BC 的中点，且AE x AB y AD =⋅+⋅， 则32x y -= .EDCBA三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分 已知tan α＝2. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1．18．（本小题满分12分在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少；(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内.19.（本小题满分12分）已知函数),0,0)(sin()(R x A x A x f ∈<<>+=πϕϕ的最大值是1，其图 象经 过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．20.（本小题满分12分已知向量(sin ,2cos )a x x =-，(sin ,cos )b x x x =+-，x R ∈， 函数()f x a b =∙.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.21.（本小题满分12分已知函数f （x ）=sinx （2cosx ﹣sinx ）+cos 2x ．（1）x ∈[0，π]时，化简函数f （x ），并写出递增区间，递减区间； （2）设24παπ<<，且1325)(-=αf ，求sin2α的值．22.（本小题满分12分已知向量a ＝(2＋sin x ，1)，b ＝(2，－2)，c＝(sin x －3，1)，d ＝(1，k )(x ∈R ，k ∈R)．(1)若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx ，且)//(c b a +，求x 的值 (2)是否存在实数k ，使得)()(c b d a+⊥+？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．高一月考试卷答案选择题：（每小题5分，共60分）1--6 AADCC 7-12 DACACCB填空题：（每小题5分，共20分）13. 40 14.3π/4 15. 1 16. 1三、解答题.17.18. 解析(1)∵各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10， 0.05∴第二小组的频率为：1.00(0.300.150.100.05)0.40-+++=∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高=频率组距0.400.0410==，则补全的频率分布 直方图如图所示(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x 人∵第二小组的频数为40人，频率为0.40∴400.40x=，解得100x =所以这两个班参赛的学生人数为100人(3)因为0.3×100＝30，0.4×100＝40，0.15×100＝15，0.10×100＝10，0.05×100=5 即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30，40，15，10，5 所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内19.（本小题满分12分） 解：（1）依题意有1A = ...........................................................................1分则()sin()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32ϕπ+=，而0ϕ<<π，536ϕπ∴+=π，2ϕπ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=.........................................................................6分 （2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2αβπ∈，...........................8分45sin ,sin 513αβ∴====，........................10分3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=................12分 20．解析解（I ）b a x f ∙=）（=23)62sin(++πx …………4分 ∴f （x ）的最小正周期是π…………6分（II ）由（I ）知，b a x f ∙=）（=23)62sin(++πx21解析解：（1）化简可得f （x ）=2sinxcosx ﹣sin 2x+cos 2x =sin2x+cos2x=，由x ∈[0，π]可得，当即时，f （x ）递增；当即时，f （x ）递减； 当即时，f （x ）递增．综上可得函数f （x ）在区间、上递增，在区间上递减； （2）由可得，解得，∵，∴，∴， ∴sin2α===．22.解析.解：(1)∵b ＋c ＝(sin x －1，－1)，又a ∥(b ＋c )，∴－(2＋sin x )＝sin x －1，即sin x ＝－12.又x ∈[－π2，π2]，∴x ＝－π6... ....4分(3)a＋d＝(3＋sin x，1＋k)，b＋c＝(sin x－1，－1)，若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，即(3＋sin x)(sin x－1)－(1＋k)＝0，∴k＝sin2x＋2sin x－4＝(sin x＋1)2－5.由sin x∈[－1，1]，得sin x＋1∈[0，2]，∴(sin x＋1)2∈[0，4]，故k∈[－5，－1]．∴存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．... . 12分.。

高一数学考试注意：试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分。

请在答题卡上作答，答在试卷上一律无效。

第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.集合{,,,,}M a b c d e =，集{,,}N b d e =，则 A. N M ∈B. M N M =UC. M N M =ID.M N >2.下列各组函数中，表示同一函数的是A. ()1f t t =+与2()x xg xx +=B. 2()f x =()g x x =C. ()||f x x =与()g n =D. ()f x x =与 32()1t tg t t +=+3.函数243y x x =--+的单调递增区间是 A. (,2]-∞-B. [2,)+∞C. [2,)-+∞D.(,2]-∞4.已知集合2{|1}M y y x ==+，{|N y y ==，则M N =IA. (0,1)B. {0,1}C. {|1}x x ≥-D.{|1}y y ≥5.关于x 不等式0(0)ax b b +>≠的解集不可能是A. (,)ba+∞B. (,)ba-∞-C. ∅D. R6.已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x >时()(1)f x x x =-，则当0x <()f x 的解析式是()f x =A. (1)x x --B. (1)x x -C. (1)x x -+D.(1)x x +7.已知函数2()67,(2,5]f x x x x =-+∈的值域是A. (1,2]-B. (2,2]-C. [2,2]-D.[2,1)--8.若关于x 的不等式230ax bx ++>的解集为1(1,)2-，其中,a b 为常数，则不等式230x bx a ++<的解集是A. (2,1)-B. (1,2)-C. 1(,1)2-D.1(1,)2-9.已知集合4{|0}3x A x x -=≤+，{|211}B x m x m =-<<+且A B B =I ，则实数m 的取值范围为 A. [1,2)-B. [1,3]-C. [2,)+∞D.[1,)-+∞10.集合{|04}A x x =≤≤，{|02}B y y =≤≤下列表示从A 到B 的映射的是A. 1:2f x y x →=B. :f x y →=C. 2:3f x y x →= D. :f x y x →=11.已知223,0()3,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，则不等式2(4)(2)0f x f x -+-<的解集为A. (1,6)-B. (6,1)-C. (3,2)-D.(2,3)-12.设函数()f x 与()g x 的定义域为R ，且()f x 单调递增，()()()F x f x g x =+，()()()G x f x g x =-．若对任意1212,()x x x x ≠，不等式221212[()()][()()]f x f x g x g x ->-恒成立．则A. ()F x ，()G x 都增函数 B. ()F x ，()G x 都是减函数 C. ()F x 是增函数，()G x 是减函数 D. ()F x 是减函数，()G x 是增函数第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 13.若函数1()31xf x a =++是奇函数，则a =______． 14.已知函数()y f x =的定义域是[0,4]，则函数y =______．15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，则(1)f -=__________．16.有以下判断： ①||()x f x x =与1,0 ()1,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数； ②函数()y f x =的图像与直线2x =最多有一个交点； ③y =不是函数；④若点(,)ab 在()y f x =的图像上，则函数(2)2y fa xb =--+的图像必过点(,)a b .其中正确的判断有___________．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17、(本小题10分)计算：（1）11020.753270.064()[(2)]168π----+-+；（2．18、(本小题12分)已知函数2()2x af x x+=满足3(2)2f =.（1）求实数a 的值并判断函数()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性（可以不用定义）.19、(本小题12分)已知函数21, 22()3,212, 1 x x f x x x x x ⎧<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎩.（1）画出()f x 的图象； （2）由图回答：当函数()f x 在区间(,]m -∞上是增函数时，求实数m 的取值范围.20、(本小题12分)已知{|3}A x a x a =≤≤+，2{|450}B x x x =-++<. （1）若2a =-，求A B I ；（2）若A B B =U ，求实数a 的取值范围.21、(本小题12分)已知集合2{|450}A x x x =--≤，2{|1}B x x=>，{|}C x x m =<．（1）求()R A C B I ；（2）若A C A ≠I 且B C ≠∅I ，求实数m 的取值范围．22、(本小题12分)定义域为R 的函数()f x 满足：对于任意的实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x <时，()0f x >恒成立，且(1)1f =． （1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论； （2）判断()f x 在定义域上的单调性； （3）解关于x 的不等式2()(2)3f x f x +≥．数 学一、选择题答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BDADACCBDACA填空题答案13、12- ； 14、 (1,3]- ； 15、 1- ；16、 ②④ .。

泸化中学高2017级高一下第二次月考数学(文科)试题第一部分（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 把答案填在答题卡的相应位置）1. 已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则AB =（ ）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3 2．ππ2sincos 1212的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．143. 已知)0,1(=a ，)1,(λ=b ，若+与垂直，则λ的值是( ) A ．1 B ．1- C ．0 D ．1±4. 设a ，b 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．m ∥n ，n α⊂，则m α∥ B ．m α⊂，n β⊂，αβ∥，则m n ∥ C. αβ∥，m α⊂，则m β∥ D ．m α⊂，n β⊂，m β∥，n α∥，则αβ∥5. 数列{n a }中，()1nn a n =-，则1210a a a +++=（ ）A . 5B . 5-C . 10D . 10- 6. 已知52)tan(,21tan -=-=βαα，那)2tan(βα-的值为（ ） A ．43 B ．89 C.89- D ．1217.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）A ． 4B ．6+．28. 已知4log 0.7a =，2log 3b =，0.60.2c =，则,,a b c 的大小关系是( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<9. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处测得公路北侧一山顶D 在西偏北30︒（即 30BAC ∠=︒）的方向上；行驶600m 后到达B 处， 测得此山顶在西偏北75︒（即75CBE ∠=︒）的方向 上，且仰角为30︒．则此山的高度CD ＝( )A ．B ．C ．mD ．10. 三棱柱111A B C ABC -中，1A A ABC ⊥平面，AC BC ⊥ 12A A =、1AC =、BC =，则该三棱柱111A B C ABC -的外接球的表面积为( )A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π11. 如图，ABC ∆的外接圆的圆心为O ,2AB =,3AC =,BC =则⋅AO BC 等于( )A .32B .52C . 2D .3 12. 已知函数21(0)(),()(1)(0)x x f x f x x a f x x -⎧-≤==+⎨->⎩若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．[0,)+∞C ．[0,1)D ．(,1)-∞第二部分（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分.）13．已知第二象限的角α的终边与单位圆的交点(2P m ，则tan α= ． 14. 若向量a 与b 满足：||2,||2,||2a b a b ==-=，则a 与b 的夹角为________15. 已知数列{}n a ，11a =,1122n n n a a --=+, 则5a =__16. 如图所示，1111D C B A ABCD -为正方体，给出以下五个结论： ① //BD 平面11D CB ；② 二面角111C D B C --的正切值是2；③ 1AC ⊥平面11D CB ；④ 1AC 与底面ABCD 所成角的正切值是2； 其中，所有正确结论的序号为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）17. （本小题10分）已知)3,1(,4||-==. （1）若//，求的坐标；（2）若与的夹角为0120，求||-18、（本小题12分）已知函数R x x x x x f ∈++=,1cos sin 3cos )(2（1）求)(x f 的最小正周期和最值（2）设α是第一象限角，且,1021)62(=+παf 求)22cos()4sin(αππα++的值。