金属自由电子理论

第四章金属自由电子论材料科学与程学院材料科学与工程学院凌涛内容提纲内容提1.经典自由电子论2.量子自由电子论33.金属的比热4.功函数与接触电势差内容提纲内容提1.经典自由电子论2.量子自由电子论33.金属的比热4.功函数与接触电势差4.1经典自由电子论-特鲁德模型特鲁特(Drude)模型当金属原子凝聚在一起时，原子封闭壳层内的电子和原子核一起在金属中构成不可移动的离子实；原子封闭壳核起在金中构成移动的离实闭壳层外的电子会脱离原子而在金属中自由地运动。

这些电子构成自由电子气系统，可以用理想气体的运动学理论进行处理。

该模型有如下假设：(1)电子在没有发生碰撞时，电子与电子、电子与离子之()间的相互作用完全被忽略。

电子的能量只是动能。

4.1经典自由电子论-特鲁德模型(2)电子只与离子实发生弹性碰撞，电子与离子的碰撞过离实碰撞离碰撞程用平均自由时间τ和平均自由程l来描述。

τ表示一个电子与离子实相继作两次碰撞所间隔的平均时间；l是电子在平均两次相继碰撞之间的平均飞行距离。

(3)电子气是通过和离子实的碰撞达到热平衡的，碰撞前后电子速度毫无关联，运动方向是随机的，速度是和碰撞发生处的温度相适应的，其热平衡分布遵从波尔兹曼统计。

内容提纲1.经典自由电子论2.量子自由电子论33.金属的比热4.功函数与接触电势差4.2量子自由电子论索末菲模型金属中自由电子的运动应服从量子力学规律和相应的能量分布规律。

价电子在金属内恒定势场中彼此独立地自由运动，只是在金属表面处被势垒反射。

求解电地自由运动只是在金属表面处被势垒反射子运动的薛定谔方程，得到电子所允许的波函数和能量分布状态。

量分布状态4.2量子自由电子论-电子的波函数周期性边界条件：假设在三维空间有无限多个三维限度都是L 的势井相连接在各个势井的相应位置上电子波函数相等的势井相连接，在各个势井的相应位置上，电子波函数相等。

总的边界条件为：(0,,)(,,)0y z L y z ψψ=⎫⎪(,0,)(,,)(,,0)(,,)x z x L z x y x y L ψψψψ=⎬⎪=⎭空间电子态空间电子态：由波矢K 所代表的自由电子可能的空间运动状态。

第四章 金属自由电子理论1.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。

根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。

2.金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？解：金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面都是球形。

费米能量与电子密度和温度有关。

3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。

4.驰豫时间的物理意义是什么？它与哪些因素有关？解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。

驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。

5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差？解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。

6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。

试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。

解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为：dEdkdk dZ dE dZ E ⋅==)(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为：dk Ldk dZ π=∆=k 2 …………………………（2） 又由于 mk E 222η=所以 mkdk dE 2η= …………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为：EmL E 22)(ηπρ= (4)（2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为：11)(+=-TK E E B F eE f (5)于是，系统中的电子总数可表示为：⎰∞=)()(dE E E f N ρ (6)由于0=T K ，所以当0F E E >，有0)(=E f ，而当0F E E ≤，有1)(=E f ，故（6）式可简化为：⎰=)(FE dE E N ρ＝⎰0022FE dE E m L ηπ＝240FmE L ηπ由此可得： 222208mL N E Fηπ= (7)（3）在0=T K 时，晶体电子的平均能量为： ⎰∞=0)()(1dEE E Ef N E ρ＝dE EmL E N FE 2210⎰⋅ηπ＝230)(232F E m N L ηπ＝022223124F E mL N =ηπ 7.限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子，电子的能量为)(2),(222y x y x k k mk k E +=η。

金属自由电子理论文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]第四章金属自由电子理论1.金属自由电子论作了哪些假设得到了哪些结果解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。

根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。

2.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状费米能量与哪些因素有关解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。

费米能量与电子密度和温度有关。

3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。

4.驰豫时间的物理意义是什么它与哪些因素有关解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。

驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。

5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。

6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。

试求：（1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。

解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为：dEdkdk dZ dE dZ E ⋅==)(ρ (1)考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为：dk Ldk dZ π=∆=k 2 (2)又由于 mk E 222 =所以mkdk dE 2 = …………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为：EmLE 22)(πρ= (4)（2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为：11)(+=-TK E E B F eE f (5)于是，系统中的电子总数可表示为：⎰∞=0)()(dE E E f N ρ (6)由于0=T K ，所以当0F E E >，有0)(=E f ，而当0F E E ≤，有1)(=E f ，故（6）式可简化为：⎰=)(FE dE E N ρ＝⎰0022FE dE E m L π＝240FmE L π由此可得：222208mLN E Fπ= …………………………（7） （3）在0=T K 时，晶体电子的平均能量为： ⎰∞=0)()(1dEE E Ef N E ρ＝dE EmL E N FE 2210⎰⋅π＝230)(232F E m N L π＝022223124F E mLN = π 7.限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子，电子的能量为)(2),(222y x y x k k mk k E += 。

金属自由电子气理论特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律 电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设11.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。

2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。

外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。

）特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设23.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。

4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。

每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。

特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。

202()1I j nev ne S j E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ⎧==-⎪⎧=⎪⎪-⎪⎪=+⇒⇒=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩=-⎪⎩2.经典模型的另一困难：传导电子的热容根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故333(),222A B e U U N k T RT C R T ∂====∂33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.）但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。

4.2 Sommerfeld 的自由电子论1925年：泡利不相容原理 1926年：费米—狄拉克量子统计 1927年：索末菲半经典电子论抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计，认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级，费米面等重要概念，并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。

化学导电知识点总结高中一、金属导电的原理1. 自由电子理论：金属中存在大量自由电子，这些自由电子能够在金属中自由移动，从而形成电流。

2. 金属晶体结构：金属的晶体结构中存在大量的“电子海”，这些电子可以自由流动，形成电流。

二、金属导电性能的影响因素1. 金属晶体结构：晶体结构密度、晶体质量、晶格畸变等因素都会影响金属的导电性能。

2. 金属纯度：金属的纯度越高，晶体结构越完整，导电性能越好。

3. 温度：金属的导电性能随着温度的变化而有所改变，通常随着温度的升高，导电性能变差。

三、电解质溶液的导电原理1. 电解质溶液中的离子：在电解质溶液中，溶质会电离成为正负离子，这些离子在外加电场的作用下会发生迁移，形成电流。

2. 导电性能和浓度：电解质溶液的导电性能与其离子浓度直接相关，浓度越高，导电性能越好。

3. 温度：电解质溶液的导电性能也会受到温度的影响，通常情况下，温度越高，导电性能越好。

四、电解质固体的导电原理1. 固体电解质中的离子传导：固体电解质中的离子可以通过空穴的方式进行传导，这种传导方式能够形成电流。

2. 结构和导电性能：固体电解质的结构对其导电性能有着直接影响，通常情况下，离子传导路径越短，结构越完整，导电性能越好。

五、半导体导电性质1. 控制电导率：半导体材料的电导率可以通过控制其掺杂程度来实现，在n型掺杂和p型掺杂条件下，半导体的导电性质会有所不同。

2. 热激发和光激发：半导体在受到热激发或光激发的作用下，会产生电子和空穴对，从而形成电流。

六、导电材料的应用1. 电子器件：金属、半导体和导电聚合物等材料都被广泛应用于电子器件制造中。

2. 电解质溶液：电解质溶液被用于电池、电解质测定仪器等领域。

3. 固体电解质：固体电解质被应用于固体电池、传感器等领域。

综上所述，导电知识在化学中是一个很重要的知识点，金属、电解质溶液、固体电解质和半导体都是重要的导电材料，在我们的日常生活和工业生产中均有着广泛的应用。

金属自由电子理论Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】第四章金属自由电子理论1.金属自由电子论作了哪些假设得到了哪些结果解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。

根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。

2.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状费米能量与哪些因素有关解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。

费米能量与电子密度和温度有关。

3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。

4.驰豫时间的物理意义是什么它与哪些因素有关解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。

驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。

5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。

6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。

试求：（1）电子的状态密度；（2）电子的费米能级；（3）晶体电子的平均能量。

解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为：dE dk dk dZ dE dZ E ⋅==)(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为：dk L dk dZ π=∆=k 2 (2)又由于 mk E 222 = 所以 mk dk dE 2 = (3)将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为：Em LE 22)( πρ= …………………………（4） （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为： 11)(+=-T K E E B Fe E f (5)于是，系统中的电子总数可表示为：⎰∞=0)()(dE E E f N ρ (6)由于0=T K ，所以当0F E E >，有0)(=E f ，而当0F E E ≤，有1)(=E f ，故（6）式可简化为：⎰=00)(FE dE E N ρ ＝⎰0022FE dE E m L π＝240F mE L π 由此可得： 222208mL N E Fπ= …………………………（7） （3）在0=T K 时，晶体电子的平均能量为： ⎰∞=00)()(1dE E E Ef N E ρ＝dE Em L E N FE 22100⎰⋅ π＝230)(232F E m N L π＝022223124F E mL N = π 7.限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子，电子的能量为)(2),(222y x y x k k mk k E += 。

金属中的自由电子模型在金属中，原子固定在晶格中，共享其外层电子形成金属键。

与共价键不同，金属键不是由两个原子共享电子形成的，而是由整个金属晶体共享所有电子形成的。

因此，金属中的电子是高度移动的，可以在整个晶体中自由移动。

这种高度移动的电子被称为自由电子。

自由电子模型为了更好地理解金属中的自由电子，我们可以使用自由电子模型来进行说明。

自由电子模型假设金属中的所有原子共享它们的外层电子，形成一个巨大的电子气体。

这个电子气体中的电子可以看作是独立的，它们可以在整个晶体中自由移动，没有受到单个原子的束缚。

这种自由运动的电子是金属的导电电子，可以在金属中形成电流。

自由电子模型的一个重要假设是，电子在金属中形成一个连续的能带。

这个能带可以看作是一系列接近的能级，电子可以在其中自由移动。

不同的金属有不同的能带结构，这决定了它们的导电性和其他电学和热学性质。

在自由电子模型中，金属晶体的离子核可以看作是一个均匀的正电荷背景，与电子相互作用形成电子-正离子相互作用。

这种相互作用决定了自由电子的运动和能带结构。

能带结构能带结构是自由电子模型的一个重要概念。

在一个金属晶体中，由于相邻的原子之间形成了化学键，形成了共享电子的状态。

在这种情况下，电子的能量不再被离子核所束缚，而是自由移动。

它们可以在一系列接近的能级上自由移动，形成了能带结构。

概念上，我们可以将能带结构看作单位晶体内的所有电子的哈密顿量，哈密顿量代表所有电子的能量。

根据能带结构理论，所有电子都会填充到有限数量的能带中。

当一个能带被填充满时，下一个更高的能带就变成了空的，这个空的能带就可以被其他电子占据，从而继续导电。

导电性金属的导电性可以通过自由电子模型来解释。

在自由电子模型中，金属中的电子可以以任何方向自由移动，导致电流。

金属中的导电性与其能带结构有关。

金属中的电子被分为价带和导带，价带电子被紧密束缚在原子周围的状态中，电子的运动受到离子核的束缚。

而导带电子则在能带结构中自由移动，不受到束缚。

金属导电原理基于自由电子理论引言：金属是一类具有良好导电性能的材料，这一特性得益于金属导电原理的存在。

金属导电原理基于自由电子理论，这一理论解释了金属中为何能够自由流动的电子参与电导过程。

本文将深入探讨金属导电原理基于自由电子理论的背景、原理和应用。

一、背景金属是一种晶体结构的物质，它是由金属离子团按照一定排列方式构成的。

在这种晶体结构中，固定的金属离子被包围在共享的电子云中。

这些电子具有较低的束缚能量，因此能够容易地在金属中自由移动。

自由电子理论就是基于这一观察结果提出的。

二、自由电子理论自由电子理论是指，金属中的导电过程是由自由电子在金属中的自由运动而产生的。

根据该理论，金属中的电子可以被看作是以高速在金属中自由运动的自由电子气体。

同时，自由电子理论假设金属中的固定阳离子对电子没有束缚力。

自由电子理论的核心观点包括：1. 金属中的电子具有连续的能量和动量；2. 金属中的电子之间没有相互作用力；3. 金属中的电子可以通过碰撞与晶格振动相互作用。

三、导电原理基于自由电子理论，金属中的导电过程可以被解释为自由电子在外加电场作用下沿着晶格正方向移动的结果。

当外加电场应用于金属时，它作用于自由电子，导致电子在平均自由程内发生碰撞。

然而，由于金属中的自由电子数量巨大，并且自由电子在碰撞后很快就能够重新获得动能，电流得以不受阻碍地通过金属。

导电过程中的一些重要现象包括：1. 电阻：电阻是电流通过金属时遇到的阻力。

导电过程中的阻力来自于自由电子与晶格振动以及其他自由电子的碰撞。

2. 热效应：导电过程中，电流通过金属时会产生热量。

这是因为电流中的能量被耗散在自由电子与晶格振动之间，使金属发热。

3. 磁效应：根据电流在金属中移动的现象，会形成磁场。

根据右手螺旋定则，电流方向可以确定磁场方向。

四、应用金属导电原理基于自由电子理论的应用非常广泛，以下列举几个重要应用领域：1. 电子设备：金属导电原理使得电子设备能够顺畅传递信号和电能。