2021-2022年高二上学期期中数学试卷(理科)含解析
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2021年高二上学期期中数学试卷（理科）含解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1．已知，给出下列四个结论：
①a＜b
②a+b＜ab
③|a|＞|b|
④ab＜b2
其中正确结论的序号是( )
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
2．在△ABC中，BC=5，B=120°，AB=3，则△ABC的周长等于( )
A．7 B．58 C．49 D．15
3．已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为( )
A．24 B．26 C． 27 D．28
4．已知x，y∈R，则“x+y=1”是“xy≤”的( ) 实用文档 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2=ac”在它的逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．在△ABC中，B=30°，AB=2，AC=2，那么△ABC的面积是( )
A．2 B． C．2或4 D．或2
7．已知F1、F2是椭圆的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
9．已知x，y满足，则使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为( )
A．（2，﹣2） B．（﹣4，0） C．（4，0） D．（7，3）
10．已知a＞0，b＞0，，若不等式2a+b≥4m恒成立，则m的最大值为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
二、填空题：（本大题5小题，每小题5分，共25分） 实用文档 11．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P（，），椭圆C的方程为__________．
12．不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是__________．
13．已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且=，（n∈N+）则+=__________．
14．已知函数f（x）=﹣x2+2x+b2﹣b+1（b∈R），若当x∈时，f（x）＞0恒成立，则b的取值范围是__________．
15．下列命题中真命题为__________．
（1）命题“∀x＞0，x2﹣x≤0”的否定是“∃x≤0，x2﹣x＞0”
（2）在三角形ABC中，A＞B，则sinA＞sinB．
（3）已知数列{an}，则“an，an+1，an+2成等比数列”是“=an•an+2”的充要条件
（4）已知函数f（x）=lgx+，则函数f（x）的最小值为2．
三、解答题：（本大题共6题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且，
（1）求角C的值；
（2）若a=1，△ABC的面积为，求c的值．
17．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0
（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn．等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，a3=b3．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn． 实用文档
19．经过长期观察得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大，最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
20．（13分）设的△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，b=2，cosC=．
（1）求c的值；
（2）求cos（A﹣C）的值．
21．（14分）设数列{an}前n项和为Sn，且Sn+an=2．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=a1，bn=，n≥2 求证{}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）设cn=，求数列{cn}的前n和Tn．
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xx山东省泰安市新泰一中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1．已知，给出下列四个结论：
①a＜b
②a+b＜ab
③|a|＞|b|
④ab＜b2
其中正确结论的序号是( )
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由条件可b＜a＜0，然后根据不等式的性质分别进行判断即可．
【解答】解：∵，∴b＜a＜0．
①a＜b，错误．
②∵b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，正确．
③∵b＜a＜0，∴|a|＞|b|不成立．
④ab﹣b2=b（a﹣b），∵b＜a＜0，
∴a﹣b＞0，即ab﹣b2=b（a﹣b）＜0，
∴ab＜b2成立．
∴正确的是②④．
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的性质，利用条件先判断b＜a＜0是解决本题的关键，要求熟练掌握不等式的性质及应用．
2．在△ABC中，BC=5，B=120°，AB=3，则△ABC的周长等于( )
A．7 B．58 C．49 D．15 实用文档 【考点】余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由BC=a，AB=c的长，以及sinB的值，利用余弦定理求出b的值，即可确定出周长．
【解答】解：∵在△ABC中，BC=a=5，B=120°，AB=c=3，
∴由余弦定理得：AC2=b2=a2+c2﹣2ac•cosB=25+9+15=49，
解得：AC=b=7，
则△ABC的周长为a+b+c=5+3+7=15．
故选D
【点评】此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
3．已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为( )
A．24 B．26 C．27 D．28
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】计算题．
【分析】由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于=22，再由前n项和为286==11n，求得
n的值．
【解答】解：由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于=22，
再由前n项和为286==11n，n=26，
故选B．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，前n项和公式的应用，求得首项与末项之和等于=22，是解题的关键，属于基础题．
4．已知x，y∈R，则“x+y=1”是“xy≤”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】由x+y=1，推出xy≤，判定充分性成立；由xy≤，不能得出x+y=1，判定必要性不成立即可． 实用文档 【解答】解：∵x，y∈R，当x+y=1时，y=1﹣x，
∴xy=x（1﹣x）=x﹣x2=﹣≤，∴充分性成立；
当xy≤时，如x=y=0，x+y=0≠1，∴必要性不成立；
∴“x+y=1”是“xy≤”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了充分与必要条件的判定问题，解题时应判定充分性、必要性是否都成立，然后下结论，是基础题．
5．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2=ac”在它的逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】四种命题的真假关系；等比数列的通项公式．
【专题】简易逻辑．
【分析】首先，写出给定命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断其真假即可．
【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac，为真命题
逆命题：若b2=ac，则a，b，c成等比数列，为假命题，
否命题：若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac，为假命题，
逆否命题：若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列，为真命题，
在它的逆命题、否命题，逆否命题中为真命题的有1个，
故选B．
【点评】本题重点考查了四种命题及其真假判断，属于中档题．
6．在△ABC中，B=30°，AB=2，AC=2，那么△ABC的面积是( )
A．2 B． C．2或4 D．或2
【考点】向量在几何中的应用．
【专题】计算题．
【分析】先根据正弦定理求出角C，从而求出角A，再根据三角形的面积公式S=bcsinA进行求解即可．
【解答】解：由c=AB=2，b=AC=2，B=30°，
根据正弦定理=得：sinC===，
