2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(理科)含解答解析

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 在一次数学测试中，成绩在区间 上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为

A. ￢ ￢ B. ￢ C. ￢ ￢ D.

【答案】A

【解析】解：由题意值￢ 是“甲测试成绩不优秀”，￢ 是“乙测试成绩不优秀”，

则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”，

则用 ￢ ￢ 表示，

故选：A．

求出￢ ，￢ ，结合或且非的意义进行求解即可．

本题主要考查逻辑连接词的应用，结合复合命题之间的关系是解决本题的关键．

2. 抛物线 的焦点坐标是

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】解： 在抛物线 -- ，即

，

，

，

焦点坐标是

，

故选：C．

先把抛物线的方程化为标准形式，再求出抛物线 的焦点坐标．

本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，比较基础．

3. 的一个必要不充分条件是

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】解： 的充要条件为

对于A是 的充要条件

对于B，是 的充分不必要条件

对于C， 的不充分不必要条件

对于D，是 的一个必要不充分条件

故选：D．

通过解二次不等式求出 的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到 的一个必要不充分条件．

解决一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，再进行判断，判断时常有的方法有：定义法、集合法．

4. 已知双曲线C：

的离心率为

，则C的渐近线方程为

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】解：由题意可得

，

即为

， 由 ，可得

，

即 ，

双曲线的渐近线方程为

，

即为 ．

故选：D．

运用双曲线的离心率公式可得

，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．

本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和双曲线的方程，考查运算能力，属于基础题．

5. 四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，P是MN的三等分点 靠近 ，若 ， ， ，则

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】解：根据题意得，

故选：B．

运用平面向量基本定理可解决此问题．

本题考查平面向量基本定理的简单应用．

6. 点 到直线 的距离为d，则d的最大值为

A. 3 B. 4 C. 5 D. 7

【答案】A

【解析】解：直线 即 ，令 ，解得 ， ．

可得直线经过定点 ．

则当 时，d取得最大值 ．

．

故选：A．

直线 即 ，令 ，解得直线经过定点 则当 时，d取得最大值 ．

本题考查了直线经过定点、相互垂直的直线，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7. 如图：在直棱柱 中， ， ，P，Q，M分别是 ，BC， 的中点，则直线PQ与AM所成的角是

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】解：以A为坐标原点，分别以AB，AC， 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

设 ，则 0， ， 2， ， 0， ， 1， ．

， ．

．

直线PQ与AM所成的角是

．

故选：D．

以A为坐标原点，分别以AB，AC， 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设 ，分别求出 与 的坐标，利用空间向量求解．

本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题．

8. 《九章算术 商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”， ， ，M是 的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为

A. 40 B. C. 50 D.

【答案】B

【解析】解：几何体是一个“堑堵”， ， ，M是 的中点，

过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，

取 的中点N，连结MN，BN，

， ，

三棱台 的表面积为：

梯形 梯形 梯形

．

故选：B．

取 的中点N，连结MN，BN，则三棱台 的表面积为 梯形 梯形 梯形 ．

本题考查三棱台的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

9. 直线l过椭圆

的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若 是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】解：由

，得 ， ，

．

则 ，则左焦点 ．

由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，

则直线l的方程为 ．

设l与椭圆相交于 、

，

联立

，得： ．

则PQ的中点M的横坐标为

．

是以OF为底边的等腰三角形，

，解得：

．

故选：B．

由椭圆方程求得椭圆的焦点坐标，设出直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系结合中点坐标公式求出M的坐标，由

，求得直线l的斜率．

本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．

10. 已知抛物线 的焦点为F，准线为l，直线m过点F，且与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，过A点作l的垂线，垂足为，若，则

A.

B.

C.

D. P

【答案】C

【解析】解：抛物线 的焦点为

，准线为l：

，

当直线m的斜率不存在时， ，不满足题意；

当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为

，

与抛物线联立，得

，

消去y整理得

，

，

又 ， ，

，

．

故选：C．

讨论直线m的斜率不存在时，不满足题意；直线m的斜率存在时，设直线m的方程为

，与抛物线联立消去y得 的值；利用 求出 的值，再求 的值，从而求得 的值．

本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．

11. 已知椭圆C的两个焦点分别是 ， ，短轴的两个端点分别为M，N，左右顶点分别为 ， ，若 为等腰直角三角形，点T在椭圆C上，且 斜率的取值范围是

，那么 斜率的取值范围是

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】解：设椭圆方程为

．

由 为等腰直角三角形，且 ，

得 ，解得 ， ．

则椭圆C的方程为

．

则 ， ．

设 ，

则

，得

，

，

，

，

又

，

，

解得： ．

斜率的取值范围是 ．

故选：C．

由已知求得椭圆方程，分别求出 ， 的坐标，再由斜率之间的关系列式求解．

本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力及推理运算能力，是中档题．

12. 如图：已知双曲线

中， ， 为左右顶点，F为右焦点，B为虚轴的上端点，若在线段BF上 不含端点 存在不同的两点 ，使得 构成以 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是

A.

B. C.

D.

【答案】A

【解析】解：由题意， ， ，则直线BF的方程为 ，

在线段BF上 不含端点 存在不同的两点 ，

使得 构成以线段 为斜边的直角三角形，

，

，

，

在线段BF上 不含端点 有且仅有两个不同的点 ，使得

，

可得 ，

，

，

．

故选：A．

求出直线BF的方程为 ，利用直线与圆的位置关系，结合 ，即可求出双曲线离心率e的取值范围．

本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. “ ”是假命题，则实数m的取值范围是______．

【答案】

【解析】解：命题“ ”是假命题，

则命题的否定是： ， ”是真命题，

则 ，解得：

故答案为： ．

特称命题与其否定的真假性相反，求解全称命题是真命题，求出m的范围即可．