2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(理科)(解析版)
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2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知命题p： ， ，命题q： ， ，则
A. 命题 是假命题 B. 命题 是真命题
C. 命题 ￢ 是真命题 D. 命题 ￢ 是假命题
【答案】C
【解析】解：当 时， 成立，
故命题p为真命题；
当 时， ，
故命题q为假命题，
故命题 是真命题，故A错误；
命题 是假命题，故B错误；
命题 ￢ 是真命题，故C正确；
命题 ￢ 是真命题，故D错误；
故选：C．
举出正例 可知命题p为真命题；举出反例 可知命题q为假命题，进而根据复合命题真假判断的真值表得到结论．
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，特称命题，难度基础．
2. 在 中， ， ， ，则边c等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解： ， ， ，
，
则
，即
得
，
故选：D．
根据三角形的内角和，求出C的大小，结合正弦定理进行求解即可．
本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理是解决本题的关键 比较基础．
3. 若实数x，y满足
，则 的最小值为
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【答案】D
【解析】解：画出实数x，y满足
表示的平面区域，
如图所示；
平移目标函数 知，
当目标函数过点A时，z取得最小值，
由 ，解得 ，
的最小值为 ．
故选：D．
画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．
本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．
4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
【答案】B
【解析】解：设塔的顶层共有 盏灯，
则数列 公比为2的等比数列，
，
解得 ．
故选：B．
设塔的顶层共有 盏灯，则数列 公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5. 已知实数a， ，a，b的等差中项为
，设
，则 的最小值为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】解： ， ，a，b的等差中项是
，
又
当且仅当 时，等号成立，
取得最小值5
故选：C．
先由等差中项求得 ，又
，再构造基本不等式求解．
本题主要通过数列知识来考查基本不等式求最值，属于基础题．
6. 已知四棱锥 的底面是正方形，且 底面ABCD， ，则异面直线PB与AC所成的角为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：建立以点A为空间直角坐标系原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，设 ，
则 0， ， 1， ， 0， ， 0， ，
则 1， ， 0， ，
设 ， ，夹角为 ，
则
，
所以 ，
即异面直线PB与AC所成的角为 ，
故选：B．
由异面直线所成角及空间向量的坐标运算得：建立以点A为空间直角坐标系原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，设 ，则 0， ， 1， ， 0， ， 0， ，则 1， ， 0， ，设 ， ，夹角为 ，则
，即 ，即异面直线PB与AC所成的角为 ，得解．
本题考查了异面直线所成角及空间向量的坐标运算，属中档题．
7. 若不等式 对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为
A.
或
B.
或 C.
D.
【答案】C
【解析】解：不等式 对一切实数x都成立，
则 ，
即 ，
解得
，
所以实数a的取值范围是
．
故选：C．
根据题意得出 ，由此列出不等式组求出a的取值范围．
本题考查了利用判别式求不等式恒成立问题，是基础题．
8. 过抛物线 的焦点F作倾斜角为 的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则
A. B. 1 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】解：由题意可知过焦点的倾斜角为 直线方程为
，
与抛物线方程联立，得
，
消去y可得：
，
，
，
解得： ．
故选：C．
写出过焦点的倾斜角为 直线方程，与抛物线方程联立，消去y得关于x的一元二次方程，
由根与系数的关系和抛物线的定义写出 的值，列方程求得p的值．
本题主要考查了抛物线的定义与性质的应用问题，是中档题．
9. 如图，已知顶角A为 的三角形ABC满足 ，点D，E分别在线段AB和AC上，且满足 ，当 的面积取得最大值时，DE的最小值为
A. 1 B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解： 的面积
．
当且仅当 时取等号，此时三角形ABC为等边三角形，
设 ，则
，
当
时， 取得最小值
，故DE的最小值为
，
故选：B．
易得且仅当 时取等号，此时三角形ABC为等边三角形，
设 ，则 ， ，故DE的最小值为
，
本题考查了三角形面积的最值，函数思想，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
10. 已知不等式 的解集为 ，则 ______．
【答案】3
【解析】解： 不等式 的解集为 ，
和b为 的解，
将 代入方程得： ，即 ，
方程化为 ，将 代入方程得： ，
解得： 不合题意，舍去 或 ，
则 ．
故答案为：3
由不等式的解集，得到方程 的解为1和b，将 与 代入求出a与b的值，即可求出 的值．
此题考查了一元二次不等式的解法，根据题意得出方程 的解为1和b是解本题的关键．
11. 设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 ______．
【答案】45
【解析】解： ，
，
所以 ，
则 ．
故答案为：45
由 减 得到 的值，然后利用等差数列的性质找出 的和与 的和即与 的关系，由 的值即可求出等差d的值，然后再利用等差数列
的性质找出 与d和 的关系，把d和 的值代入即可求出值．
此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道中档题．
12. 一艘轮船从港口A处出发，以15海里小时的速度沿着北偏西 的方向直线航行，在港口A处测得灯塔M在北偏东 方向，航行40分钟后，轮船与灯塔的距离是
海里，则灯塔M与港口A的距离为______海里．
【答案】5
【解析】解：设轮船航行40分钟后到达B点，由题意可知
海里， 海里， ，
由正弦定理可得：
，
即
，解得 ，
，
海里．
故答案为：5．
利用正弦定理计算 得出 是直角三角形，再计算AM即可．
本题考查了解三角形的应用，属于基础题．
13. 如图，双曲线C：
上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足 ，
，则双曲线的离心率e的值为______．
【答案】
【解析】解： ，可得 ，
在 中， ，
，
在直角三角形ABF中，
，可得
，
，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，
，
．
故答案为：
运用三角函数的定义可得
，
，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得 ，由离心率公式，即可得到所求值．
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
14. 已知命题p：实数x满足 ，命题q：实数x满足 ．
Ⅰ 当 且 为真命题时，求实数x的取值范围；
Ⅱ 若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】解： Ⅰ 当 时，由 得 得 ，
由 得
，
若 为真命题时，则p，q同时为真命题
即
，得
，即实数x的取值范围是
Ⅱ 由 ，得
，
若p是q的必要不充分条件，
则
，
则
，即
，即实数m的取值范围是
．
【解析】 Ⅰ 当 时，求出p，q为真命题的等价条件，结合 为真命题时，则p，q同时为真命题进行求解即可
Ⅱ 利用充分条件和必要条件转化为对应集合关系进行求解即可
